i

Makalah Seminar Matematika

“Menemukan Rumus Volume Tabung dengan Menggunakan

Rumus Volume Prisma, Volume Benda dalam Ruang

Lempengan dan Integral Lipat Tiga

(koordinat cartesius)”

Oleh:MITHUN APRILIANI SIAHAAN

NIM. 0705045137REGULER SORE B

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MULAWARMAN

SAMARINDA

2010

ii

HALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN

Judul : Menemukan Volume Tabung dengan

menggunakan rumus volume prisma,

volume benda dalam ruang lempengan,

integral lipat tiga (koordinat cartesius).

Diajukan pada mata kuliah : Seminar Pendidikan Matematika

iii

KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan puji syukur kita panjatkan kehadirat Tuhan Yang

Maha Esa, karena atas karunia-NYA, maka akhirnya makalah Matematika Murni

ini dapat disusun dan disajikan sesuai dengan waktu yang telah ditetapkan.

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Seminar

Pendidikan Matematika dengan judul “Menemukan volume tabung”.

Dalam penyusunan makalah ini, penulis tidak lepas dari bantuan berbagai

pihak, baik moral maupun material.Pada kesempatan ini penulis ingin menyatakan

terima kasih kepada Bapak Drs.H. Zainuddin Untu, M.Pd, Ibu Dra.Suriaty ,M.Pd,

dan Bapak Safrudiannur, M.Pd selaku dosen mata kuliah Seminar Pendidikan

Matematika yang telah memberikan bimbingan dan arahan selama proses

penyusunan makalah ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada keluarga

dan teman-teman yang memberikan semangat dan bantuan kepada penulis.

Penulis menyadari, bahwa makalah ini masih terdapat banyak kekurangan,

karena keterbatasan kemampuan penulis dalam penyusunannya. Oleh karena itu

kritik sebagai perbaikan sangat penulis harapkan.

Akhir kata, penulis ucapkan terima kasih.

Samarinda, Desember 2010

Penulis

iv

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN .................................................. i

KATA PENGANTAR .................................................................................... ii

DAFTAR ISI ................................................................................................. iii

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah ............................................................... 1

B. Rumusan Masalah ......................................................................... 2

C. Tujuan Penulisan ........................................................................... 2

D. Manfaat Penulisan ......................................................................... 3

BAB II. PEMBAHASAN

1. Aplikasi rumus volume prisma tegak................................................4

2. Volume Benda Dalam Ruang Lempengan, Cakram, Cincin............ 5

3. Integral Lipat-Tiga (Koordinat Cartesius)………………………….7

BAB III. PENUTUP

A. Kesimpulan......................................................................................11

B. Saran................................................................................................12

Daftar Pustaka

v

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Bagi kebanyakan orang matematika merupakan pelajaran yang sangat

sulit, membingungkan dan menakutkan. Sehingga dari dulu sampai sekarang

matematikan selalu dijadikan momok. Sebenarnya hal yang membuat

matematika tidak disukai oleh kebanyakan orang, dikarenakan metode

pengajaran dan pendekatan dalam mengajar matematika yang digunakan

masih kurang tepat. Banyak kita temui seorang tenaga pendidik hanya

menjelaskan apa yang ada di buku, sehingga peserta didik cepat merasa bosan.

Pada dasarnya, siswa belajar dari hal-hal yang kongkrit. Bila kita ingin

menjelaskan mengenai uang. Maka peserta didik akan lebih mudah memahami

uang bila mereka sudah pernah memegang atau melihat uang. Tentunya kita

harus membawa bendanya. Contoh lain, jika kita ingin membahas mengenai

bangun ruang, kita harus menunjukan sebuah contoh bangun ruang yang kita

maksud. Dengan melihat dan merasakan langsung siswa akan lebih cepat

mengerti bagian – bagian dari bangun ruang tersebut. Namun Dalam belajar

pun kita cenderung untuk mencari cara yang efektif dan tidak merepotkan.

Misalnya ketika belajar matematika, biasanya kita akan berusaha mencari cara

yang efektif untuk mengingat rumus-rumus atau aturan.

Bagi kebanyakan orang mengingat dan menggunakan rumus-rumus

matematika itu amat merepotkan dan cenderung menyulitkan. Hal ini dapat

vi

dimaklumi karena rumus-rumus dalam matematika jumlahnya cukup banyak.

Salah satu yang merepotkan adalah mengingat dan menggunakan rumus

volume tabung. Guru sering memberikan rumus untuk dihapalkan oleh siswa

tetapi jarang sekali di ajarkan bagaimana menemukan rumus tersebut. Siswa

sering lupa dengan hapalan tetapi jika mereka menemukan sendiri rumus

tersebut mereka akan dengan mudah mengerjakan soal yang diberikan tanpa

harus berusaha mengingat-ingat lagi.

Dari uraian diatas penulis terdorong untuk menguraikan

penggunaan rumus volume prisma tegak, Volume Benda Dalam Ruang

Lempengan, Cakram, Cincin dan Integral Lipat-Tiga (Koordinat

Cartesius) untuk menentukan volume tabung.

B. Rumusan masalah

Berdasarkan latar belakang diatas maka rumusan masalah dalam

makalah ini adalah: Bagaimana menemukan rumus volume tabung

menggunakan rumus volume prisma tegak, Volume Benda Dalam Ruang

Lempengan, Cakram, Cincin dan Integral Lipat-Tiga (Koordinat

Cartesius)?

C. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan ini adalah untuk mengetahui cara

menemukan rumus volume tabung menggunakan rumus prisma tegak,

Volume Benda Dalam Ruang Lempengan, Cakram, Cincin dan Integral

Lipat-Tiga (Koordinat Cartesius).

vii

D. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui

langkah-langkah menemukan rumus volume tabung menggunakan rumus

prisma tegak, Volume Benda Dalam Ruang Lempengan, Cakram, Cincin

dan Integral Lipat-Tiga (Koordinat Cartesius).

viii

BAB II

PEMBAHASAN

A. Aplikasi Rumus Volume Prisma Tegak

Dari pelajaran matematika Sekolah Menengah Pertama, kita sudah

diajarkan cara menghitung volume berbagai bangun ruang. Untuk menghitung

volume prisma tegak dengan tinggi t maka V = Luas Alas Tinggi.Untuk

lebih memahami tentang rumus tersebut, Gambar 1 berikut ini diharapkan

dapat membantu.

Volume Tabung

t

gambar 1

r

Telah kita sepakati bahwa tabung merupakan prisma tegak

yang alasnya berupa lingkaran. Dengan demikian kita dapat

menghitung volume tabung menggunakan rumus volume

prisma.

Vtabung = Luas alas Tinggi

= r2 t

= r2t

ix

B. Volume Benda Dalam Ruang Lempengan, Cakram, Cincin

Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas. Ini tidak

mengherankan oleh karena integral tersebut memang diciptakan untuk

keperluan itu. Akan tetapi integral tersebut dapat digunakan untuk banyak

persoalan lainnya. Hampir setiap besaran yang dapat dianggap sebagai hasil

pemotongan sesuatu menjadi bagian-bagian lebih kecil, penghampiran tiap

bagian, penjumlahan dan pengambilan limit apabila tiap bagian mengecil,

dapat diartikan sebagai suatu integral.

Kemudian perhatikanlah sebuah benda yang bersifat bahwa penampang-

penampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu.

Misalnya garis tersebut adalah sumbu x dan andaikan bahwa luas penampang

di x adalah A (x) dengan bxa (Gambar 2). Selang ba, kita bagi dengan

titik-titik bagi bxxxxa n 210 . Melalui titik-titik itu kita lukis

bidang tegak lurus pada sumbu x. Dengan demikian kita peroleh pemotongan

benda menjadi lempengan yang tipis-tipis ( Gambar 3). Volume iV suatu

lempeng dapat dianggap sebagai volume tabung yaitu

ii xxAV 1 iii xxX 1

Dan volume V benda dapat dihampiri sebagai berikut

n

iii xxAV

1

x

Apabila norma partisi kita tujukan ke nol, kita memperoleh suatu integral tertentu

integral ini kita definisikan sebagai volume benda

b

a

dxxAV

xi

y x

x

gambar. 4

Volume benda yang dibentuk oleh garis ry dan garis tx diputar mengelilingi sumbu x

xrV 2

V dxrt 2

0

txr 02

r2t

C. Integral Lipat-Tiga (Koordinat Cartesius)

Konsep yang diwujudkan dalam integral tunggal dan lipat dua meluas

secara wajar keintegral lipat tiga dan bahkan kelipat n. Kita dapat menghitung

luas bidang datar dengan menggunakan integral lipat dua, sehingga kita dapat

menghitung volume benda ruang menggunakan integral lipat tiga.

Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah

berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat kita tidak

dapat lagi menggambarkan grafik f (dimensi empat yang diinginkan), tetapi

kita dapat menggambar B (gambar 5). Bentuklah suatu partisi P dari B dengan

melewatkan bidang-bidang melalui B sejajar bidang koordinat, jadi memotong

B kedalam balok-balok bagian ;,,, 21 nBBB satu yang khusus Bk

r

t

xii

diperlihatkan pada gambar 5. pada Bk, ambil satu titik contoh kkk zyx ,, dan

perhatikan penjumlahan Riemann

n

k

f1

kkk zyx ,, kV

Dengan kV = kx ky kz adalah volume Bk. Andaikan norma partisi

P ini adalah panjang diagonal terpandang dari semua balok bagian. Maka kita

definisikan integral lipat tiga dengan

b

n

kp

fdVzyxf10

lim,, kkk zyx ,, kV

Asalkan limit ini ada

Gambar.5

xiii

Gambar 6

V 41

tabung

r xr t

zyxf0 0 0

22

),,( dz dy dx

r xr tz

0 0 0

22

dy dx

r xr

t0 0

22

dy dx

22

00

xrrty dx

22

0xrt

r dx

22

0xrt

r dx (t konstan)

Misal : rx Sin rdx Cos d Untuk rx 2

10x 0

Maka

22

0xrt

r dx 222

1

0

rSinrt r Cos d

2222

1

0Sinrrt r Cos d

222

1

01 Sinrt r Cos d

222

1

0Cosrt r Cos d

222 ryx

r

r

t

xiv

rCost 2

1

0r Cos d

222

1

0Cosrt d

22

1

0

2 Costr d ( 2r konstan)

212

1

0 212 Costr d

212

1

0

221 Costr d

12

1

0

221

tr d

22

1

0

221 Costr d

2

1

02

21 tr

22

1

0

241 Costr d(2 )

222 21 dddd

tr 241 2

1

02

41 2Sintr

= 41 r2t

Maka V 4

1tabung = 4

1 r2t

Vtabung = 4 V 41

tabung

= 4 41 r2t

= r2t

xv

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari uraian pada bab sebelumnya dapat disimpulkan bebera langkah-

langkah menentukan rumus volume tabung adalah sebagai berikut

1. Aplikasi Volume Prisma tegak

Volume prisma = luas alas tinggi. Karena alas tabung berbentuk

lingkaran maka luas alas = r2 dan tinggi t maka volume tabung = r2t

2. Volume benda dalam ruang lempengan, cakram dan cincin.

Partisi tabung menjadi n bagian dan volume V benda yang dipartisi

sebagai berikut

n

iii xxAV

1

. Apabila norma partisi kita tujukan ke

nol, kita memperoleh suatu integral tertentu integral ini kita definisikan

sebagai volume benda b

a

dxxAV

3. Integral lipat-tiga

ambil satu titik contoh pada tabung misalnya kkk zyx ,, dan perhatikan

penjumlahan Riemann

n

k

f1

kkk zyx ,, kV

xvi

Dengan kV = kx ky kz adalah volume Bk. Andaikan norma partisi

P ini adalah panjang diagonal terpandang dari semua balok bagian. Maka

kita definisikan integral lipat tiga dengan

b

n

kp

fdVzyxf10

lim,, kkk zyx ,, kV

B. Saran

Rumus volume tabung dengan menggunakan konsep volume prisma hanya

dapat digunakan untuk menentukan volume tabung biasa namun, untuk bentuk

tabung yang lain seperti tabung hiperboloid, tabung ellipsoida, sebaiknya kita

menggunakan integral lipat tiga (koordinat cartesius). Oleh sebab itu penulis

menyarankan untuk menggunakan rumus volume tabung dengan

menggunakan pendekatan volume prisma hanya diperkenalkan untuk siswa

sekolah menengah saja.

xvii

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Edwin J. Dkk. 1984. Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1, Erlangga:Jakarta.

Purcell, Edwin J. Dkk. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 2, Erlangga: Jakarta.

Sukino. 2004. Matematika untuk SMA Kelas 1, Erlangga: Jakarta.