bagian iv. topik-topik lanjutan · dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan...

58
440 Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN

Upload: doancong

Post on 14-Mar-2019

224 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

440

Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN

Page 2: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 441

BAB

16 Stabilitas Aliran Fluida

16.1 Pendahuluan

Apa yang telah kita lakukan selama ini adalah memprediksikan gerakan fluida dengan

menggunakan persamaan-persamaan dasar fluida. Dalam memprediksikan gerakan

fluida, kita sering menggunakan asumsi-asumsi, khususnya asumsi steady. Kita telah

mendapatkan banyak solusi–solusi dari persamaan–persamaan dasar fluida dengan

menggunakan asumsi aliran steady. Namun, seringkali solusi–solusi yang kita dapatkan

tidak sama persis dengan apa yang terjadi di alam semesta ini. Walaupun kasus–kasus

ini adalah solusi yang “exact”.

Aliran–aliran yang benar-benar terjadi di alam selain harus mematuhi persamaan–

persamaan dasar fluida juga haruslah stabil. Gangguan-gangguan kecil selalu ada dalam

aliran yang sebenarnya dan apabila aliran yang kita analisa tidak stabil, maka aliran–

aliran tersebut tidak akan dapat kita jumpai di alam. (aliran tidak stabil apabila

gangguan-gangguan ini terus membesar bersama-sama waktu.)

Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa stabilitas

terhadap aliran fluida. Tentunya tidak ada aturan umum untuk menentukan kestabilan

fluida. Apakah aliran tersebut stabil atau tidak harus dianalisa kasus per kasus. Kita

akan mulai dengan melakukan analisa stabilitas untuk stabilitas “interfacial” yang

Page 3: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 442

membatasi dua fluida yang berbeda. Kemudian kita pelajari stabilitas aliran parallel,

baik secara inviscid maupun tidak. Aliran–aliran yang akan dibahas di dalam bab ini

adalah aliran–aliran inkompresible.

Akan kita lihat bahwa analisa stabilitas untuk aliran adalah persoalan yang sangat rumit

secara matematis. Analisa yang agak sederhana akan kita jumpai untuk kasus interfacial

instability.

16.2 Interfacial Stability(Inviscid Flow)

Dalam kasus ini terdapat dua fluida yang berbeda yang dibatasi oleh sebuah interface/

pembatas. Kedua fluida ini dapat mengalir dengan kecepatan yang berbeda namun

kecepatan di setiap fluida adalah konstan. Permasalahan ini digambarkan di dalam

sketsa di bawah ini. x2

η x1

interface

B

AρA, UA

ρB, UB

g

x3

Fluida A dengan ρ = ρA dan U = UB bertemu dengan fluida B dengan ρ = ρB dan U

=UB. ρA, UA, ρB, UB adalah massa jenis dan kecepatan sebelum ada gangguan.

Kemudian, kita akan berikan gangguan dan kita akan lihat apa yang akan terjadi pada

interface. Diasumsikan bahwa aliran adalah aliran irotasional sehingga

( ) 1/ ˆA Bu U eφ= ∇ = .

Karena aliran adalah aliran inkompresibel maka, 2

1 0φ∇ = , (IS.1) 22 0φ∇ =

Page 4: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 443

di mana

21lim A Ax

U eφ→∞

∇ = dan 2

1lim B BxU eφ

→∞∇ =

Apabila kita berikan gangguan, maka interface yang tadinya berada di posisi x2 = 0 akan

berubah dan berada di posisi x2 = η(x1, x3, t). Kinematik boundary condition (kondisi

batas kinematik) di posisi x2 = η (interface) adalah,

( )2 0d xdt

η− = atau ( ) ( )2 2 0x u xt

η η∂− + ⋅∇ − =

, yang menyatakan bahwa partikel fluida yang berada di interface akan selalu berada di

interface. Karena x1, x2, x3, dan t adalah independen dan η = η (x1, x3,t) maka,

1 2 31 3

0u u ut x xη η η∂ ∂ ∂

− − + − =∂ ∂ ∂

atau

22 1 1 3

u3x t x x x x

φ η φ η φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂η

Karena terdapat dua fluida yang berbeda, maka untuk kasus ini terdapat dua persamaan

yaitu,

2 1 1 3

i i i

3x t x x x xφ φ φη η∂ ∂ ∂∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

η∂ , i = A, B (IS.2)

(dua persamaan untuk fluida A dan B)

Kondisi batas yang kedua adalah pA = pB di x2 = η. Dari persamaan

momentum(Bernoulli), 1x

22

12i i i i ip gx

t ibφρ φ ρ ρ∂+ + ∇ + =

, di mana bi adalah konstanta Bernoulli. Namun, pada interface pA = pB sehingga,

21 12 2

AA A A B B Bb g b

t tφ 2 B gφρ φ η ρ φ∂⎛ ⎞ ⎛− ∇ − − = − ∇ − −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η∂ ⎞⎟ (IS.3).

Sebelum ada gangguan , iddtφ

, 0η = , i Uiφ∇ = sehingga,

2 21 12 2A A A B B Bb U b Uρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Page 5: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 444

Sekarang kita berikan gangguan kecil kepada aliran. Karena gangguan ini kecil maka

kita dapat nyatakan

1 'i iu U e ui= +

, di mana 'i 'iu φ= ∇ i, atau 1 'i iU eφ φ= + di mana i = A dan B.

Apabila kita substitusikan ini ke persamaan (IS.1), (IS.2), (IS.3) dan abaikan suku yang

sangat kecil (misalnya u’η~ 0),seperti waktu mendapatkan persamaan untuk akustik

maka,

⇒)1.(IS 2 ' 0Aφ∇ = 2 ' 0Bφ∇ =

dimana kondisi batasnya adalah

2

lim ' 0Axφ

→∞∇ =

2

lim ' 0Bxφ

→∞∇ =

⇒)2.(IS 2 0

2 1

'lim AAx

Ux t xφ η η

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ,

2 02 1

'lim BBx

Ux t xφ η η

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂

⇒)3.(IS 1 1

' '' 'A BA A A B B BU g U g

x t x tφ φρ φ η ρ φ η

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

- - - - (IS)

Catatan:

• bA dan bB harus sama di x2 = η 2x

• Sama seperti waktu mempelajari thin airfoil, iφ dan turunannya dievaluasi di x2

= 0 karena η dianggap kecil sehingga, ( )2 12 2

,0 ...i iiu x

x xφ φ∂ ∂

= ≈ +∂ ∂

.

Sistem persamaan inilah yang harus diselesaikan untuk melihat stabilitas dari aliran ini.

Koefisien dari persamaan Laplace adalah konstan sehingga persamaan ini dapat

diselesaikan dengan menggunakan “normal modes analysis” dimana diasumsikan,

( )( )( )

( ) (1 1 3 3

2

2

2

''

R IMi k x k x i tA A

B B

xx ex

ω ω

η ηφ φφ φ

)⎡ + − + ⎤⎣ ⎦

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

, k1, k3 ∈ R (IS.4)

Dengan demikian maka solusi sistem persamaan (IS) adalah superposisi dari Fourrier

mode. Dari solusi di atas dapat dilihat bahwa ', ',A Bη φ φ terus membesar bersama waktu

Page 6: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 445

apabila ωIM > 0. Jadi untuk menentukan apakah aliran ini stabil atau tidak kita bisa lihat

harga ωIM:

0<IMω aliran stabil

0>IMω aliran tidak stabil

0=IMω adalah batas kestabilan

Sekarang kita cari ωIM dengan mensubtitusikan (IS.4) ke dalam sistem persamaan (IS).

Dari kedua persamaan Laplace,

21 1

kx kxA

2A e B eφ −= +

2 22 2

kx kxB A e B eφ −= +

di mana 2

1 3k k k= + 2. Dari kondisi batas

2

lim ' 0Axφ

→±∞∇ = ,

21 0 BA ==

Sementara itu kondisi batas 2

102 1

'lim A

xU

x t xφ η

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂η memberikan,

( )1 1 AB i ik U kηω= − − +

( )2 1 BA i ik U kηω= + − +

di mana IMR iωωω +≡ . Apabila kita subtitusikan hasil-hasil diatas ke dalam kondisi

batas terakhir (pA = pB ),

( )( )( ) ( )( )( )2 21 1A A Bkg i ik U kg i ik Uρ ω ρ ω− − + = + − + B

Persamaan terakhir adalah persamaan Eigenvalue untuk –iω. Persamaan ini persamaan

kuadrat untuk (–iω) dan solusinya adalah,

( )( )

( )( )

12 22

112

A B A B A B A A B B

A B A BA B

k U U kg U Ui iρ ρ ρ ρ ρ ρω

ρ ρ ρ ρρ ρ

⎡ ⎤− − ⎛ ⎞+− = ± − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟+ ++⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

k

Jadi persamaan untuk IMω adalah,

Page 7: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 446

( ) ( )

( )

2 2 21

2

A B A B B AIM

A B

k U U kgρ ρ ρ ρω

ρ ρ

− − −= ±

+ (IS.5)

Dari (IS.5) kita bisa lihat stabilitas aliran untuk kasus-kasus di bawah ini :

1) Apabila maka aliran ( ) ( 22 21B A A B A Bkg k U Uρ ρ ρ ρ− > − ) stabil karena IMω

imajiner.

2) Apabila ( ) ( 22 21A B A B A Bkg k U Uρ ρ ρ ρ− < − ) maka aliran tidak stabil karena ada

satu 0IMω > (yang satu lagi IMω < 0).

Contoh : Surface gravity wave

Untuk kasus ini 0Aρ = , 0A BU U= = sehingga IMω adalah imajiner

danaliran ini stabil.

Contoh : Internal gravity wave

Untuk kasus ini A Bρ ρ≠ , 0AU BU= = sehingga

A BIM

A B

kg ρ ρωρ ρ

⎛ ⎞−= ± ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Dengan demikian terdapat dua kemungkinan yaitu,

ρA > ρB tidak stabil

ρA < ρB stabil

Instabilitas tipe ini disebut “Rayleigh – Taylor Instability”.

Contoh : Vortex Sheet Untuk kasus ini ρA = ρB , UA ≠ UB sehingga,

( )21

4IM A Bk U Uω = ± − .

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa vortex sheet tidak pernah

stabil. Instabilitas ini disebut “Kelvin – Helmholtz Instability”. Karena

Page 8: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 447

( )

1 2A B

R

U Ukω

+= dan “phase velocity” adalah ( )1

2R

A BkC U

k kUω

≡ = +

maka gelombang instabilitas ini akan bergerak.

16.3 Parallel Shear Flow (Inviscid)

U =U(x2)

Sekarang kita beralih ke permasalahan stabilitas aliran paralel shear flow. Pertama–

tama kita akan pelajari secara inviscid. Di subbagian berikutnya, kita akan masukkan

efek viskositas. Sama seperti sebelumnya, dalam mempelajari stabilitas aliran ini kita

akan gunakan asumsi aliran inkompresibel. Aliran awalnya (sebelum diberikan

gangguan kecil) adalah aliran paralel di mana kecepatannya adalah fungsi dari

ketinggian, y, seperti dicontohkan di sketsa di atas. Jadi kita dapat nyatakan bahwa

( ) ( )( )txpptxuu ,'',,'' == ,

2 1( ) 'u U x e u= + , 'pPp +=

di mana 'p , 'u adalah “gangguan kecil”.

u dan p haruslah memenuhi persamaan kontinuitas dan momentum,

0=⋅∇ u dan puutu

−∇=∇⋅+∂∂

(dalam persamaan momentum harga ρ telah dibuat ρ = 1, karena ρ adalah konstan untuk

kasus ini). Sekarang kita subtitusikan u dan p ke dalam persamaan-persamaan di atas,

0'=⋅∇ u ( karena 1 0Ue∇ ⋅ = untuk U U 2( )x= )

x2

x1

Page 9: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 448

( ) ( )1 1' ˆ ˆ' 'u Ue u Ue u P p

t∂

+ + ⋅∇ + = −∇ − ∇∂

'

( )1 2 11 1 2

0

' ˆ ˆ' ' ' ' 'u dU Ue U u u u u Ue P pt x x dx

=

∂ ∂ ∂+ + + ⋅∇ + = −∇ +

∂ ∂ ∂

Karena u sangat kecil maka ' 'u u⋅∇ ≈ 0 . Selain itu sebelum ada gangguan,

memenuhi persamaan

( )2 1U x e

1 10

PU Ux x=

∂= −

∂ ∂∂ atau

1

0Px

∂=

∂.

Oleh karena itu, persamaan kontinuitas dan momentum menjadi,

' 0u∇ ⋅ =

2 11 2

' ' ˆ' 'u u dUU u et x dx

∂ ∂+ + = −∇

∂ ∂p

Baik persamaan kontinuitas maupun persamaan momentum adalah persamaan

diferensial dengan koefisien yang bukan merupakan fungsi waktu (koefisien untuk

persamaan momentum adalah U ( 2x ) dan ( )2

2

dU xdx

). Oleh karena itu, kita dapat

menggunakan “normal mode analysis” sehingga kita dapat nyatakan bahwa solusi dari

persamaan-persamaan di atas adalah,

( )( )

( )1 1 3 32

2

ˆ'ˆ'

i k x k x tu xue

p xpω+ −⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

di mana ( ) ( ) ( )2 1 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆu u x e v x e w x e≡ + + 3 .

Sekarang kita substitusikan u’ dan p’ ke dalam persamaan kontinuitas dan momentum,

( )1 32

ˆˆ ˆ 0dvi k u k wdx

+ + = (kontinuitas)

( )12

ˆ ˆ ˆdUi Uk u v ik pdx

ω− + = − 1 (x-momentum)

( )12

ˆˆ dpi Uk vdx

ω− = − (y-momentum)

( )1 ˆi Uk w ik pω− = − 3 ˆ (z-momentum)

Page 10: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 449

(PSF.1)

Apabila kita berikan kondisi batas maka persamaan (PSF.1) dan kondisi batasnya akan

memberikan kita eigenvalue problem yang menghasilkan persamaan berbentuk D (k,ω)

= 0 di mana 21 3k k k= + 2 , seperti dalam kasus interfacial instability. Dari persamaan

seperti ini kita dapat lihat kapan aliran seperti ini menjadi tidak stabil.

Namun sebelum kita lanjutkan, ada sebuah torema yang sangat membantu.

Teorema Squire’s:

Apabila kx, kz, dan ω adalah eigenvalue dari (PSF.1), maka terdapat modus yang

lebih tidak stabil yaitu “mode” 2-D di mana eigenvaluenya adalah ( )1,0,k ω dan

IM IMω ω> .

Bukti:

Transformasikan (PSF.1) dengan menggunakan

2 21 1 3k k k≡ + , 1 1 3ˆ ˆk u k u k w≡ + , 1

1

ˆkp pk

≡ , ˆv v≡ .

Hasilnya adalah:

1

2

0dvik udx

+ =

( ) 112

dUi k U u v ik pdx

ω− + = −

( )12

pi k U vx

ω ∂− = −

( ) 31 ˆi k U w ik pω− = −

Jadi transformasi di atas menghasilkan persamaan 3-D yang sama/ mirip

dengan persamaan-persamaan untuk kasus 2-D (di mana , ˆ 0w = 3 0k = ).

Selain itu transformasi untuk 1ckω = adalah

Page 11: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 450

1 1IM IM IM IMk c k cω ω= > = (karena 1 1k k> ) di mana R Ic c ic M= + Q.E.D

Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa untuk setiap modus 3D yang tidak stabil,

ada modus 2D yang tidak stabil dengan laju pertumbuhan ( IMω ) yang lebih tinggi.

Jadi, menurut teorema ini, untuk menentukan stabilitas dari aliran ini kita cukup

mempelajari aliran 2-D.

Dalam aliran 2-D kita dapat menggunakan funsi arus ψ. Sekarang kita akan

perkenalkan ( ) ( )1 12

i k x tx e ωψ ζ −=

sehingga,

( 1 1

2 2

' i k x tdu ex dx

)ωψ ζ −∂= =

∂ atau

2

ˆ du Ddx

ζ ζ= ≡

( 1 11

1

' i k x tv ik ex

)ωψ ζ −∂= − = −

∂ atau 1v ik ζ= −

Substitusikan hasil di atas ke persamaan (PSF.1) untuk 2-D ( 30w k= = ) didapatkan,

( )( )2 2 2 0xU c D k D Uζ ζ ζ− − − = (Persamaan Rayleigh)

di mana 2

22

2

dDdx

ζζ ≡ , 2

22

2

d UD Udx

≡ , R Ic c ick Mω

≡ = + . Kondisi batas yang harus

dipenuhi persamaan Rayleigh adalah:

( )2 0wallxζ = , apabila terdapat dinding karena ( )2' 0wallv x =

( )2 0xζ → ±∞ = , apabila aliran tak terbatas karena ( )2' 0v x → ±∞ =

Persamaan Rayleigh mempunyai beberapa sifat-sifat umum:

1. Apabila kita gunakan transformasi , , ' 'u u→ − ' 'v v→ − x x→ − , , t t→ −

' 'p p→ − persamaan Rayleigh tidak berubah (invariant) sehingga apabila

( )1 1i k x te ωζ − adalah sebuah solusi maka ( )1 1i k x te ωζ − +− juga merupakan sebuah

solusi. Selain itu apabila (k1, ω) adalah eigenvalue untuk sebuah eigenfunction ζ

maka (-k1, -ω) adalah eigenvalue untuk eigenfunction ζ* (kompleks konjugate

dari ζ). Dengan kata lain apabila ζ adalah sebuah solusi maka ζ* juga

Page 12: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 451

merupakan solusi. Dari kedua solusi tersebut kita menggunakan prinsip

superposisi dan membentuk sebuah solusi yang real yaitu, *ζ ζ ζ= +

Berikutnya adalah beberapa kriteria untuk instabilitas (ωIM > 0 atau cIM > 0). Untuk

mendapatkan kriteria-kriteria tersebut, diperlukan hubungan di bawah ini. Apabila

terdapat instabilitas, cIM ≠ 0 sehingga (U – c) ≠ 0. Oleh karena itu, persamaan Rayleigh

dapat dituliskan seperti

( ) ( )2

2 21 0D UD k

U cζ ζ− − =

Sekarang kita kalikan persamaan di atas dengan ζ* (kompleks konjugate dari ζ) dan

integrasikan

( )2

1

22 2

1 2* * *y

y

D UD k dxU c

ζ ζ ζζ ζζ⎛ ⎞

0− − =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠∫

di mana y2 dan y1 adalah batas-batas fluida. Suku pertama dapat dijabarkan, 22 2

1 1

1

22

2 222 2 22

0

** *yy y

y y

y

d d d ddx dx D dxdx dx dxdx

ζ ζ ζ ζζ ζ

=

= − = −∫ ∫2

1

2

y

y

ζ∫

di mana telah digunakan kondisi batas ζ = 0 = ζ* di batas-batas fluida. Dengan

demikian maka integral tersebut menjadi,

( )( ) ( )

2 2 2

1 1 1

2 22 22 22

1 2 22 22 2

Riil Imajiner

0y y y

R IM

y y yR IM R IM

U c D U c D UD k dx dx i dx

U c c U c c

ζ ζζ ζ

−= + + +

− + − +∫ ∫ ∫ 2 (PSF.2)

Sekarang kita akan gunakan integral di atas untuk mendapatkan kriteria-kriteria untuk

instabilitas. Kriteria-kriteria ini adalah kondisi yang harus dipenuhi untuk terjadinya

instabilitas namun bukanlah kondisi yang cukup untuk menentukan apakah suatu aliran

stabil atau tidak (ini adalah “necessary condition” bukan “sufficient condition”)

Page 13: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 452

2. Teorema Rayleigh Inflection Point:

“Apabila terdapat instabilitas dalam aliran, 2

22

2

d U D Udx

= haruslah berubah tanda

di sebuah posisi y0 di antara y1 dan y2” (Instabilitas hanya terjadi apabila terdapat

2 0

2

22

0x y

d Udx

=

= di mana y1 ≤ y0 ≤ y2).

Bukti: Karena (PSF.2) adalah hubungan kompleks meka, suku riil = 0 dan suku

imajiner = 0. Perhatikan suku imajiner,

( )( )

2

1

22

22 20

yIM

y R IM

c D Udx

U c c

ζ=

− +∫ (PSF.3)

Apabila terdapat instabilitas, 0IMc ≠ maka karena 2 0ζ ≠ dan ( ,

haruslah berubah tanda (dari positif ke negatif misalnya) di suatu titik y

)2 0RU c− ≠

2D U 0 di

antara y2 dan y1 untuk memenuhi hubungan di atas ( ). Dengan

demikian maka harus terdapat y

( )2

1

2 0y

y

dx =∫

0 di mana 2 0D U = . (Q.E.D)

Dari teorema di atas maka apabila 2

22

0d Udx

≠ di mana pun di daerah y1 ≤ 2x ≤ y2,

aliran adalah aliran yang stabil karena cIM haruslah sama dengan nol (cIM = 0).

Namun, sekali lagi, teorama ini tidak menyatakan bahwa apabila di

suatu titik maka aliran pasti tidak stabil. Kondisi yang lebih ketat dinyatakan

oleh teorema berikut ini.

2 0D U =

3. Teorema Fjortoft:

“Kondisi yang diperlukan untuk instabilitas adalah ( ) 2 0cU U D U− ≤ di mana

, ”. ( )2c cU U x y≡ = 1 2cy y y≤ ≤

Bukti: Sekarang kita lihat suku riil dari (PSF.2),

( )( )

2 2

1 1

2 22 22

2 12 2

0

0y y

R

y yR IM

U c D Udx D k dx

U c c

ζζ ζ

>

−+ +

− +∫ ∫ 2 = (PSF.4)

Apabila terdapat instabilitas maka 0IMc ≠ dan (PSF.3) menjadi

Page 14: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 453

( )( )

( )

2 2

1 1

22 22

22 20

y yc R

y yR IM R IM

U c D UD Udx dx

U c c U c c

ζζ −= =

− + − +∫ ∫ 22 2 (PSF.5)

Sekarang kita tambahkan (PSF.5) ke (PSF.4) dan hasilnya adalah,

( )( )

2 2

1 1

022

2 22 12 2

0

0y y

c

y yR IM

U U D Udx D k dx

U c c

ζζ ζ

>

>

−= − + ≤

− +∫ ∫ 2

Untuk memenuhi pertidaksamaan di atas maka,

( ) 2 0cU U D U− di mana ( )c cU U y≡ , 1 cy y y2≤ ≤ (Q.E.D)

Dalam pembuktian di atas Uc adalah kecepatan di titik yc yang merupakan titik

sembarang di antara y1 dan y2. Oleh karena itu maka kita dapat saja memilih

titik y0 (posisi di mana 2 0D U = ) sehingga Uc = U0 dan biasanya posisi inilah

yang digunakan. teorema Fjortoft adalah syarat yang lebih ketat untuk

instabilitas bila dibandingkan dengan teorema Rayleigh Inflection Point. Setiap

profil kecepatan yang mempunyai titik infleksi (terdapat titik di mana )

menurut teorema Rayleigh Inflection Point adalah tidak stabil. Namun, menurut

teorema Fjortoft instabilitas terjadi apabila, selain

2 0D U =

2 0

2 0x y

D U=

= ,

( ) 2 0cU U D U− ≤

4. Critical Layer

“Harga CR adalah diantara harga minimum dan maximum dari harga U.

Terdapat suatu titik didalam aliran di mana kecepatan gelombang ( )Rc U=

Bukti: Definisikan, GU c

ζ≡

− dan subtitusikan definisi ini ke persamaan

Rayleigh sehingga,

2 2 21

1

'( ) ( ) 0d G U c k U c Gdx

⎡ ⎤− − − =⎣ ⎦

Kemudian kalikan persamaan ini dengan G* dan integrasikan dari y1 ke y2.

Hasil real dan imaginer dari operasi ini adalah,

Page 15: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 454

0( )

( )

2

1

2

1

22 21 2

21 2

0

( ) ' * ' *

( ) ' * ' * 0

y

R IMy

y

IM Ry

U c c G G k GG dx

c U c G G k GG dx>

⎡ ⎤− − + =⎣ ⎦

− + =

∫.

Apabila terdapat instabilitas maka cIM > 0 sehingga integral terakhir hanya akan

terpenuhi apabila terdapat titik diantara y1 dan y2 dimana ( )Rc = U (Q.E.D)

Posisi di mana cR = U disebut “Critical Layer” pada posisi ini, persamaan

Rayleigh menjadi “singular”. Tetapi perlu di ingat bahwa ini adalah kasus di

mana tidak terdapat viskositas (subbagian berikut) maka singularitas ini akan

hilang. Investigasi tentang “Critical Layer”ini dilanjutkan oleh Lin (1945). Ia

membuktikan bahwa “Critical Layer” (titik di mana cR = U) juga terdapat pada

profil kecepatan yang mempunyai titik infleksi. Bahkan ia menunjukan bahwa

pada kasus ini Critical Layer berada di titik infleksi.

Dengan adanya “Critical Layer” pada kasus profil kecepatan dengan titik infleksi kita

dapat menjelaskan mekanisme fisis yang menyebabkan terjadinya instabilitas pada

kasus ini. Di daerah sekitar “Critical layer” terdapat fluida yang bergerak lebih cepat

dan lebih lambat dari gelombang. Fluida yang bergerak lebih lambat akan mengambil

energi dari gelombang. Fluida yang bergerak lebih cepat akan “memberikan” energi

kepada gelombang yang “digunakan” oleh gelombang untuk mengamplifikasikan

amplitudonya. Dengan demikian maka instabilitas akan terjadi apabila lebih banyak

fluida yang bergerak lebih cepat dari gelombang.

16.4 Paralel Shear Flow (Viscous Theory)

Sekarang kita akan memasukan efek viskositas dalam analisa stabilitas dari aliran shear

parallel. Persamaan–persamaan dasar (kontinuitas dan momentum) kita tuliskan dalam

bentuk nondimensional dengan mengunakan variabel-variabel berikut ini.

ou U u= , 2o op U pρ= , ( )0

0

'LUt t= , xLx o

~= , konstanoρ ρ= =

Page 16: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 455

Sehingga,

0u∇ ⋅ = dan 21u u u p ut Re

∂+ ⋅∇ = −∇ + ∇

Sekarang kita akan berikan gangguan dan seperti biasa tuliskan

2 1( )u U x e u= + ' , 'p P p= +

Persamaan persamaan untuk mean flow ( ),U P adalah,

2

22

10 p d Ux Re dx

∂= − +

∂,

2

0Px

∂=

Kita akan abaikan simbol “~“ dan melinearkan persamaan seperti sebelumnya dan

hasilnya adalah,

21

1 2

' 0' ' 1ˆ' '

uu u UU v e pt x x Re

∇ ⋅ =∂ ∂ ∂

+ + = −∇ + ∇∂ ∂ ∂

'u

Karena persamaan persamaan di atas linear dan koefisiennya bukan fungsi waktu maka

kita bisa melakukan normal mode analysis.

( ) ( )1 1 3 32ˆ' i k x k x tu u x e ω+ −=

( ) ( )1 1 3 32ˆ' i k x k x tp p x e ω+ −=

Substitusikan kedua persamaan di atas, hasilnya;

1 32

ˆ ˆ ˆ 0dik u v ik wdx

+ + = (c)

( ) ( )2

2 21 3 1 12

22

ˆ ˆ ˆ ˆe ed u k k u ik R U c u ik R p R v

dxdx− + − − = + ˆe

dU (x)

( ) ( )2

2 21 3 12

22

ˆˆ ˆ ˆed v k k v ik R U c v R

dxdx− + − − = e

dp (y)

( ) ( )2

2 21 3 1 12

2

ˆ ˆ ˆed w k k w ik R U c w ik R p

dx− + − − = ˆe (z)

( PSFV.1)

Page 17: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 456

Apabila kita tambahkan kondisi batas: vwu ˆˆ0ˆ === di 2 1x y= dan 2 2x y= maka akan

didapat eigenvalue problem. Untuk 1k , 3k , Re yang rill maka kita akan dapatkan

persamaan dalam bentuk ( ), , 0D k Reω = .

Seperti kasus inviscid, dapat dibuktikan bahwa Teorema Squire dapat digunakan dalam

kasus ini (viscous ). Namun, sekarang

vv ˆ≡ , 1 1

ˆp pkk

≡ , 1k Re kRe= , 21 1 3k k k 2≡ + , 3 0k =

1 1 32

ˆ ˆduk u k k wdx

= + , cc =

Dengan transformasi ini maka persamaan (x) menjadi,

( ) ( )221 1 1ˆe eD u k u ik R U c u ik R p R DU v− − − = + e (x2)

Sedangkan persamaan (y) dan (c) menjadi,

( ) ( )221 1 ˆeD v k v ik R U c v R D p− − − = e (y2)

1 ' 0ik u v+ = . (c2)

Apabila di perhatikan, persamaan (x2) , (y2) dan (c2) serupa dengan (x), (y) dan (c)

apabila k3 = 0. Karena 1 1/Re k Re k= dan 1 1k k≥ maka Re Re≥ . Jadi untuk

mendapatkan Reynold number minimum di mana instabilitas terjadi (Critical Reynold

number), kita hanya perlu mempelajari kasus 2-D.

Oleh karena itu, untuk mempelajari kestabilan aliran, kita kembali ke (PSFV.I) untuk 2-

D. Seperti biasa untuk kasus 2-D, kita perkenalkan fungsi arus ψ sehingga,

( )1 12( ) i k x tx e ωψ ζ −= , u Dζ= , 1v ik= −

Apabila kita subsitusikan u dan v ke persamaan (x2), kemudian turunkan persamaan

ini terhadap

ˆ ˆ

2x . Setelah itu digunakan (y2) untuk mengeliminasi 2

dpdx maka di

dapatkan persamaan diferensial untuk ζ yaitu,

Page 18: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 457

( ) ( )( )( )22 2 2 2 21 1 1D k ik Re U c D k D Uζ ζ ζ− = − − −

Dengan kondisi batas yang harus dipenuhi yaitu,

0 Dζ ζ= = di permukaan &/ 0ζ → di 2x → ±∞

(Persamaan Orr-Sommerfeld/ OSE)

Solusi persamaan (OSE ) memberikan kita D (ω, k, Re) = 0. Namun, persamaan

tersebut cukup rumit sehingga kita harus menggunakan komputer untuk mendapatkan

solusi. Berikut ini adalah solusi-solusi dari persaman tersebut:

1. Stabilitas aliran Poiseuille (pipe flow)

]

Untuk kasus Re sedikit lebih tinggi

dari Recr terdapat daerah k di mana

ωim(k) > 0. Daerah ini kecil dan

berada di sekitar 0imddkω

= (max.

ωim). Untuk kasus ini, ωR ≠ 0

sehingga gelombang ganguan

bergerak dengan kecepatan ddkω .

Jadi kurang lebih instabilitas yang terjadi dalam aliran ini dapat dijelaskan sebagai

berikut. Apabila aliran ini diberikan “gangguan” yang berupa superposisi dari

gelombang-gelombang, maka amplitudo dari gelombang-gelombang yang

memiliki k tertentu (k yang ωim nya positif) akan teramplifikasikan sedangkan

gelombang-gelombang lainnya (dengan k yang ωim-nya negatif) tidak

teramplifikasikan. Karena ωR ≠ 0 maka gelombang-gelombang yang

teramplifikasi ini akan bergerak dengan kecepatan ddkω . Jadi ωim > 0 sekarang

berarti amplifikasi dari gangguan ketika gangguan tersebut bergerak.

Ada dua kemungkinan yang dapat terjadi. Pertama, walaupun gangguan yang

teramplifikasi ini bergerak, ganguan ini terus membesar bersama waktu di setiap

Page 19: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 458

titik di dalam ruang. Instabilitas tipe ini disebut “absolute instability.

Kemungkinan yang kedua adalah gangguan yang membesar ini “terbawa” oleh

aliran dengan cepat sehingga apabila kita amati sebuah titik yang pada awalnya

terjadi instabilitas, lama kelamaan “gangguan” di titik ini akan hilang. Instibilitas

tipe kedua ini disebut “convected instability”. Untuk aliran poiseuille, yang terjadi

adalah convected instability.

Untuk kasus convected instability, gangguan membesar seiring dengan

bertambahnya “downstream” koordinat (x1). Jadi gangguan tidak membesar

seiring dengan waktu di sebuah titik. Oleh karena itu kita dapat menyelidiki

instabilitas tipe ini dengan membalikkan (meng”inverse”kan) fungsi ω(k).

Dengan kata lain untuk kasus ini “ω” kita anggap riil dan “k” dianggap kompleks.

Apabila 0IMk < , maka faktor akan bertambah seiring dengan bertambahnya

harga x (gangguan teramplifikasi “downstream”). Di sini k didefinisikan sebagai

. Kemudian batas antara kasus aliran yang stabil dengan yang tidak

stabil ditentukan oleh persamaan

ikxe

R IMk k ik+≡

( , ) 0IMk Reω =

Kalkulasi untuk mendapatkan ( , ) 0IMk Reω = sangatlah rumit. Namun, hasil yang

didapatkan kurang lebih seperti yang digambarkan di bawah ini. Daerah yang

diarsir adalah daerah di mana aliran akan menjadi tidak stabil.

Apabila Re→∞, kedua kurva yang membatasi daerah yang stabil dengan yang

tidak stabil akan mendekati axis Re. Jadi untuk kasus ini untuk ω yang berada di

antara O dan Mω ada harga-harga Re tertentu di mana gangguan akan

Page 20: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 459

terimplifikasi. Untuk kasus Re→∞ (kasus invisid) maka tidak ada gangguan yang

teramplifikasi. Jadi dalam kasus ini dapat dikatakan bahwa viskositas

memberikan “destabilizing effect” atau adanya viskositas membuat aliran menjadi

tidak stabil.

2. Stabilitas Lapisan Batas

Seperti aliran laminar lainnya, pada Re tertentu lapisan batas laminar menjadi

tidak stabil. Bagaimana aliran ini kehilangan stabilitasnya mirip dengan kasus

aliran dalam pipa (Poiseuille Flow). Namun, aliran ini mempunyai keunikan

tertentu yaitu Re-nya berubah sepanjang permukaan benda. Untuk pelat datar,

misalnya, Re adalah 1UxRe ν= sehingga harga Re bertambah tinggi apabila harga

x1 bertambah.

Karena perubahan ketebalan lapisan batas berlangsung secara perlahan, maka

untuk mempelajari stabilitas lapisan batas kita dapat menggunakan model PSF

dengan profil u yang tidak berubah sepanjang x1 (untuk melihat stabilitas di suatu

daerah kecil dalam lapisan batas). Secara matematis, analisa stabilitas untuk kasus

ini hampir sama dengan kasus pipe flow. Perbedaannya adalah dalam kasus ini

profil u tidak simetrik. Investigasi yang mendalam telah dilakukan oleh Tollmien

dan Schlichting pada tahun 30-an. Hasilnya adalah sebagai berikut:

Bentuk dari kurva yang membatasi daerah yang stabil dengan yang tidak stabil

dalam diagram ω-Re tergantung dari profil u. Apabila dalam profil u tidak

terdapat titik infleksi, maka kurva ini sama persis dengan kurva untuk aliran pipa.

Namun, apabila dalam profil u terdapat titik infleksi, maka kurva agak sedikit

berbeda. Untuk kasus ini kurva bagian atas (II) tidak mendekati axis Re ketika Re

→∞ (lihat gambar). Namun, kurva bagian bawah tetap mendekati axis Re ketika

Re→∞. Profil kecepatan (u) yang tidak mempunyai titik infleksi tidak mungkin

tejadi untuk kasus di mana aliran di luar kecepatannya berkurang “downstream”.

Page 21: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Stabilitas Aliran Fluida 460

Alasannya adalah apabila kita perhatikan bagian kecil dari permukaan maka, dari

persamaan yang didapatkan di subbagian separasi aliran,

2

2

21 12 0

1

x

u dp Udx dxx

dUνρ

=

∂= = −

Jadi apabila 1

0dUdx

< maka 2

22

ux

∂∂

di dekat permukaan (atau di dekat permukaan u

adalah minimum). Namun, apabila “ 2x ” dinaikkan maka pada akhirnya u akan

mencapai U. Apabila kita perhatikan geometrinya maka dapat di simpulkan

bahwa harus terdapat titik infleksi.

Karena Re bertambah sepanjang lapisan batas, maka sifat-sifat gangguan ketika

mereka bergerak downstream agak sedikit aneh. Misalkan aliran ini kita berikan

gangguan dengan ω tertentu di antara 0 dan ωM. Pada awalnya gangguan ini akan

teredam. Karena ωr ≠ 0 maka gangguan ini akan bergerak ke arah downstream.

Ketika gangguan ini bergerak, Re akan meningkat hingga akhirnya kita akan

sampai di kurva I. Mulai dari posisi yang berhubungan dengan titik di kurva II

dan setelah itu gangguan akan teredam kembali. Perbedaan antara kasus A dan B

terjadi di daerah Re→∞ (kasus inviscid). Untuk kasus A, gangguan akan teredam,

sedangkan untuk kasus B gangguan akan selalu teramplifikasi (aliran tidak stabil).

Page 22: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 461

BAB

17 Aliran Turbulen

Telah kita lihat pada bab sebelum ini bahwa aliran laminer dapat menjadi tidak stabil

terhadap gangguan-gangguan. Ketidakstabilan ini menyebabkan aliran mengalami

“transisi”, dari aliran laminer menjadi aliran turbulen. Setelah proses transisi ini, aliran

menjadi aliran yang disebut “Fully Developed Turbulent”. Aliran inilah yang akan kita

bahas pada bab ini.

17.1 Karakteristik dari Fully Developed Turbulence

u

25 cm/sec t

Gambar A. Variasi kecepatan terhadap waktu dalam aliran turbulen

Page 23: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 462

Gambar B. Aliran turbulen didalam water channel (diambil dari Schlichting)

Gambar (A) memperlihatkan contoh data kecepatan pada suatu titik pada aliran turbulen

di dalam sebuah terowongan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa kecepatan pada titik

tersebut berfluktuasi/berubah-ubah terhadap waktu disekitar kecepatan 25 cm/sec.

Fluktuasi tersebut tidak beraturan atau ”random” . Sama sekali tidak tampak adanya

periode dari fluktuasi tersebut dan apabila data tersebut di rata-ratakan maka kecepatan

rata-ratanya adalah konstan, yaitu sekitar 25 cm/sec. Dengan kata lain, aliran ini

tampak seperti aliran di mana terdapat fluktuasi irregular (gerakan mixing atau Eddying)

yang tersuperposisikan di dalam aliran utama (yang disebut mainstream atau mainflow)

Page 24: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 463

Untuk memahami apa yang terjadi, perhatikan Gambar B yang merupakan visualisasi

dari aliran tersebut. Dalam foto-foto di gambar ini, aliran di dalam terowongan tersebut

bergerak dengan kecepatan yang sama atau konstan. Namun, dalam gambar (B) kamera

yang digunakan untuk mengambil setiap foto bergerak dengan kecepatan yang berbeda.

Dari gambar ini, terlihat bahwa aliran turbulen ini terdapat gumpalan-gumpalan yang

dikenal dengan sebutan “Eddy”. Eddy-eddy ini mempunyai ukuran yang berbeda-beda,

yang bergerak dengan kecepatan berbeda pula. Eddy yang besar bergerak dengan

kecepatan yang lebih tinggi daripada eddy yang kecil (Foto-foto pada gambar (B)

diambil dengan kecepatan yang berbeda-beda. Yang tertinggi adalah yang terbawah dan

terendah adalah yang teratas).

Dari contoh yang di bahas diatas dapat disimpulkan bahwa, fluktuasi tak beraturan yang

ditemui dalam aliran turbulen disebabkan oleh gumpalan-gumpalan atau eddy-eddy

yang ada dalam aliran ini. Proses bagaimana terbentuknya gumpalan-gumpalan ini

sangat rumit dan, sampai sekarang, masih belum dapat dijelaskan secara tepat. Namun,

secara umum eddy-eddy tersebut terbentuk dari gangguan-gangguan yang teramplifikasi

karena adanya instabilitas dalam aliran.

Dalam aliran turbulen diketahui bahwa apabila Re dinaikkan (Kecepatan main stream

bertambah, misalnya) maka eddy yang besar muncul terlebih dahulu setelah itu diikuti

oleh eddy-eddy yang lebih kecil. Bagian terpenting dalam aliran turbulen diperankan

oleh eddy yang terbesar. Ukuran karakteristk dari eddy ini (l) adalah satu orde dengan

dimensi dari aliran (dalam gambar A, misalnya, adalah lebar dari channel tersebut).

Eddy yang terbesar ini bergerak dengan kecepatan yang sama besarnya sekitar atau

beda kecepatan relatif dari titik-titik dalam aliran main stream yang berjarak sekitar l.

Namun, frekuensi dari Eddy ini sebanding dengan

u∆

lu di mana u adalah kecepatan main

stream di mana eddy tersebut berada. Ini dikarenakan pola aliran tersebut terbawa oleh

mainstream yang bergerak dengan kecepatan u. Karena eddy yang terbesar ini bergerak

dengan kecepatan yang tertinggi, maka energi dari aliran turbulent (energi kinetic)

sebagian besar merupakan kontribusi dari eddy-eddy ini. Hanya sebagian kecil dari

total energi yang merupakan kontribusi dari eddy-eddy yang kecil.

Page 25: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 464

Dari gambaran di atas kita dapat mengambil kesimpulan tentang variasi dari fluktuasi

kecepatan dari titik ke titik dalam aliran turbulen pada suatu saat 0t t= . Apabila titik-

titik ini berjarak sekitar l maka perbedaan dari fluktuasi kecepatan antara titik-titik

tersebut adalah sekitar . Apabila titik-titik ini berjarak sangat dekat dibandingkan

dengan l maka perbedaan antara fluktuasi kecepatan relatif kecil, apabila dibandingkan

dgn , namun sangat besar apabila dibandingkan dengan perbedaan kecepatan

mainstream antara titik-titik tersebut.

u∆

u∆

Apabila panjang dan kecepatan karakteristik dari sebuah eddy diketahui ( λ dan )

kita dapat definisikan Reynolds number untuk eddy tersebut.

λu

uRe λλ

λν

=

Dari definisi ini terlihat bahwa Reλ naik bersama dengan ukuran dari eddy ( λ ). Reλ

yang terbesar adalah untuk eddy yg terbesar dan harganya sebanding dengan Re dari

aliran mainstream. Namun, karena Re sangat besar ini berarti untuk eddy tersebut,

viskositas tidak penting. Oleh karena itu tidak terjadi disipasi energi di dalam eddy

yang terbesar. Viskositas menjadi penting apabila ukuran Eddy sangat kecil sehingga

di mana utk Eddy ini 0 1Reλ ∼ 0λλ ≡ . Jadi walaupun eedy-eddy yang sangat kecil

tidak terlalu menentukan pola dari aliran turbulen, dalam eddy-eddy inilah terjadi

disipasi energi.

Pembahasan di atas menjadi dasar dari konsep disipasi energi dalam aliran turbulen

yang diperkenalkan oleh Richardson pada thn 1922. Dalam konsep yang juga disebut

“energy Cascade” ini, energi dipindahkan dari eddy-eddy yang terbesar ke eddy-eddy

yang terkecil tanpa disipasi energi. Disipasi energi hanya terjadi di eddy yg terkecil. Di

sinilah energi didisipasikan menjadi panas. Agar proses ini terjadi terus-menerus maka

harus ada suplai energi yang kontinu kepada eddy yang terbesar. Energi ini diberikan

oleh mainstream.

Sekarang kita akan lakukan “dimensional analysis” untuk menentukan besar dari

disipasi energi dalam aliran turbulen. Lebih spesifik kita akan cari besar dari (energi

disipasi per unit waktu per unit massa). Dari argumen “Energy Cascade” di atas maka,

Page 26: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 465

walaupun disipasi terjadi karena viskositas, ε ditentukan oleh kuantitas yang merupakan

karakteristik dari eddy yang terbesar yaitu ρ, l, dan u∆ (viskositas tidak disertakan

karena Re dari eddy yang terbesar sangat tinggi). Karena ε mempunyai 3

2

sm maka,

3

~ uε ∆⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Hubungan ini dapat dituliskan dengan menggunakan variabel lain. Apabila kita

perkenalkan turbν atau viskositas turbulen yang berbeda dengan ν maka,

~turb uν ∆

karena ν mempunyai unit m2/s. Dengan demikian maka ε dapat dinyatakan seperti, 2

~ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆u

turbνε

Bentuk ini adalah bentuk yang biasanya digunakan untuk menjelaskan ε karena untuk

aliran laminer2

2

1~ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂xuνε , misalnya.

Sekarang kita akan melihat sifat-sifat dari turbulen eddy yang ukurannya ( )λ <<λ .

Untuk eddy-eddy ini, gerakan dari fluid partikel relatif terhadap mainstream dianggap

homogeneous dan isoentropik apabila fluida tersebut jauh dari permukaan benda.

Asumsi isoropik berarti sifat-sifat turbulen di Eddy ini ( <<λ ) tidak tergantung dari

arah mainstream. Sifat-sifat dari turbulen eddy dengan ukuran <<λ disebut juga

sifat-sifat lokal.

Kolmogorov (1941) menemukan sifat-sifat lokal yang penting untuk eddy dengan

<<<< λλo , di mana diingatkan bahwa oλ adalah ukuran dari eddy yang terkecil di

mana terjadi disipasi energi. Kuantitas-kuantitas karakteristik untuk eddy-eddy ini

adalah ρ, λ, ε. ε merupakan karakteristik dari eddy-eddy ini karena argumen “Energy

Cascade” yang telah kita bicarakan sebelumnya. Dari ρ, λ, ε, kita dapat membentuk

hanya satu kuantitas yang mempunyai unit kecepatan yaitu, ( ) 31

ελ . Oleh karena itu,

kecepatan eddy-eddy di mana <<<< λλo adalah,

Page 27: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 466

( ) 3

1~ ελλu ( T.1 )

Inilah yang disebut dengan “Kolmogorov Law“. Hukum ini dapat dituliskan dengan

menggunakan “wave length“ (k). Apabila ( )E k dk adalah energi per unit massa di

dalam eddy dengan harga k di antara dk maka E (k) mempunyai unit m3/s2. Karena

1 1~kmλ

∼ dan maka, 32 /~ smε

( )52

3E k kε−

∼ 3 (T.2 )

Hubungan seperti (T.I) didapatkan dengan mengingatkan bahwa

( ) ( )2kinetik energiunit massaE k dk d u= = . Dengan demikian maka.

( ) 32

32

22 ~~

−∞

∫Ε κεκ

dkku .

Berikutnya kita lihat apa yang terjadi di “scale“ oλ . Untuk eddy-eddy ini, kuantitas

karakteristiknya adalah ε, ρ, µ atau ε dan ν . Dari ε dan ν kita hanya dapat

membentuk suatu kuantitasyang mempunyai unit m yaitu,

41

3

~ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε

νλo ( T.3 )

oλ adalah ukuran dari eddy yang terkecil dalam turbulen sebelum terjadi disipasi

energi. oλ disebut juga “Kolmogonov length“. Harga oλ biasanya sekitar 0.1 ds 1

mm.

Terakhir kita lihat sifat-sifat aliran di daerah di mana oλλ << . Di daerah ini eddy-eddy

tadi telah terdisipasi sehingga di daerah ini kecepatan berubah secara perlahan

(smoothly). Dengan demikian maka kita dapat expansikan dengan menggunakan

“power series” dari

λu

λ . Karena λ sangat kecil maka

( )konstanuλ λ≈ .

Page 28: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 467

Karena di 0λλ = , 0λλ uu = maka “konstan“ tersebut adalah

0

0

λλu sehingga,

λλ

λλ

0

0~u

u

Dalam teori turbulen, “range scales“ ~λ disebut “energy range“. Sementara itu

untuk 0λλ ≤ disebut “dissipation range“. Untuk kasus Re yang tinggi kedua “range

scale“ ini sangat jauh. “Range Scale“ di antara keduanya yaitu untuk λ di mana

<<<< λλ0 disebut “inertial range“. Di inertial range inilah hukum Kolmogorov

berlaku.

17.2 Reynolds Average Navier-Stokes Kita telah lihat bahwa aliran turbulen merupakan superposisi dari eddy-eddy yang

mempunyai ukuran dari mulai s/d 0λ . Karena 0λ ~0.1 s/d 1 mm maka metode

kontinum dapat digunakan sehingga persamaan Navier-Stokes juga kemungkinan dapat

digunakan. Namun, untuk menyelesaikan persamaan Navier-Stokes di dalam komputer

diperlukan “computer space“ yang sangat besar karena kita harus menghitung secara

detail eddy-eddy dari mulai ~λ s/d 0~ λλ (seperti telah dijelaskan, makin tinggi

harga Re, makin jauh jarak yang harus digunakan). Untuk komputer yang ada saat ini,

perhitungan turbulen dengan menggunakan persamaan Navier-Stokes untuk Re yang

sesuai dengan aplikasi sehari-hari (Re > 105) adalah hal yang tidak praktis. Oleh karena

itu kita harus mencari persamaan lain untuk menghitung aliran turbulen.

Persamaan yang biasanya digunakan adalah persamaan Reynolds Average Navier-

Stokes. Dalam menurunkan persamaan ini, kecepatan dan tekanan kita dekomposisikan

menjadi,

'u U u= + dan 'p P p= + ( RAN. 1 )

di mana U dan P adalah “ time average “ atau,

( )1 ,2

T

T

U u x t dtT −

≡ =∫ u

Page 29: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 468

( )1 ,2

T

T

P p x t dtT −

≡ ∫ p= (RAN.2)

dan u’ dan p’ adalah harga-harga fluktuasi di sekitar U dan P. Pada waktu melakukan

time averaging, waktu sampel 2T haruslah cukup panjang dibandingkan dengan time

scale dari eddy yang kecil tetapi cukup singkat dibandingkan dengan time scale dari

eddy yang besar. Dari definisi (RAN.1) dan (RAN. 2), jelaslah bahwa,

( )' 0u u U u U= − = − = dan ' 0p =

Selain itu kita asumsikan bahwa

( )u u U∇ = ∇ = ∇

atau diferensiasi dan time averaging adalah operator yang komutatif.

Untuk aliran inkompresibel, seperti kita ketahui, kita harus menyelesaikan persamaan

kontinuitas dan momentum. Apabila kita lakukan time averaging terhadap persamaan

kontuinitas maka didapatkan,

( )0 u u= ∇⋅ = ∇⋅ = ∇ ⋅U atau

0U∇ ⋅ = (RAN.a)

Berikutnya kita akan lakukan time averaging dari persamaan Navier-Stokes.

2

2

u uu p ut

u uu p ut

ρ µ

ρ µ

∂⎛ ⎞+ ∇ ⋅ = −∇ + ∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂

+ ∇ ⋅ = −∇ + ∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( RAN.3 )

Selain itu,

( )( ) ( )( )

' ' ' ' '

' ' ' '

i j i i j j i j j i i j i j

i j i j i j j i i j i j i j

uu u u U u U u U U u U u U u u

uu u u U U U u U u u u U U u u

= = + + = + + +

= = + + + = +

'

' 'uu UU u u= +

, di mana telah digunakan U U= dan ' 0u = . Dengan demikian maka ( RAN.3 )

menjadi,

21 ' 'U U U P U u ut

νρ

∂+ ⋅∇ = − ∇ + ∇ − ∇ ⋅

∂ (RAN.b)

Page 30: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 469

Persamaan (RAN.b) serupa dengan persamaan Navier-Stokes untuk “mean flow“ U

namun terdapat “stress“ tambahan yaitu suku ' 'u u−∇ ⋅ . Stress ini disebut “Reynolds

stress“. Melalui stress inilah turbulen mempengaruhi “mean flow“ U .

Untuk mendapatkan solusi untuk “mean flow“ diperlukan hubungan antara ''uu dengan

U . Apabila kita dapatkan hubungan ini maka (RAN.a) dan (RAN.b) dapat diselesaikan.

Terdapat beberapa model lama yang memberikan hubungan “konstitutif“ untuk ''uu .

Salah satu dari hubungan ini diperkenalkan oleh Boussinesq yaitu,

22

i turbdUu udx

ν− =

di mana turbν disebut juga “Eddy viscosity“ yang harganya adalah tergantung dari

turbulen di dalam aliran dan bukan sifat dari fluida seperti ν . Selain hubungan ini,

terdapat pula hipotesa yang diperkenalkan oleh Prandtl. Hipotesa ini disebut “mixing

length hypothesis“. Hipotesis ini menyatakan bahwa,

2

2turb

dUdx

ν =

di mana disebut “mixing-length” yang serupa dengan “mean free path“ dalam teori

kinetik gas.

Model-model seperti ini adalah model-model yang paling sederhana dan tidak terlalu

akurat. Oleh karenanya, para ilmuan sampai sekarangpun masih terus mencari model

yang terbaik. Contoh-contoh dari model turbulen yang kini banyak digunakan adalah

model K-ε, K-l, Spalart-Alamaras, dan masih banyak lagi yang tidak dapat disebutkan

satu-persatu. Pada umumnya model-model ini menggunakan persamaan diferensial

yang cukup rumit. Karena pembahasan detail dari model-model ini tidak akan terlalu

banyak membantu kita dalam memahami fisik aliran turbulen lebih dalam, pembicaraan

tentang turbulence modeling dalam buku ini hanya cukup sampai disini.

Untuk memahami Reynold stress lebih jauh, kita turunkan persamaan yang menjelaskan

''uu . Prosedurnya adalah sebagai berikut :

Page 31: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 470

1) Dapatkan persamaan untuk dengan melakukan 'iu

(Navier-Stokes) – (RAN.b).

2) Kalikan persamaan yang didapatkan di 1) dengan 'ju

3) Lakukan hal yang sama seperti 1) dan 2) dengan mengganti i dengan j.

4) Tambahkan persamaan yang didapatkan di 2) dengan persamaan yang didapatkan

di 3).

5) Lakukan “time averaging“terhadap persamaan yang didapatkan di 4).

Apabila kita lakukan prosedur tersebut, maka kita akan dapatkan persamaan di bawah

ini.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

' ' 1' ' ' ' ' ' ' ' '

1' ' ' ' ' ' ' '

'

i jk i j k i j j i

k k i j

diffusi

i k j j k i i jk k j

produksi

j

u uU u u u u u p u p u

t x x x x

u u U u u U p u p ux x x

u

ρ

ρ

ν

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − − +⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂− + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂+

ix∂

'i i jk k k k

destruksi

u u ux x x x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂′ ′+⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Dua suku pertama disebut suku difusi karena apabila kita integrasikan suku-suku ini di

batas-batas fluida (di mana 0=′u ) maka suku suku ini sama dengan nol. Jadi suku-

suku ini menjelaskan proses redistribusi dari turbulen. Dua suku terakhir mempunyai

koefisien ν. Jadi kedua suku ini menjelaskan lenyapnya uu ′′ yang disebabkan oleh

viskositas. Proses produksi dari Reynolds stress sendiri dijelaskan oleh dua suku

tengah. Dari suku ini terlihat jelas bahwa produksi Reynolds Stress disebabkan adanya

k

Ux∂

∂ atau shear pada “mean flow” dan “pressure-strain correlation”. Dalam

kenyataannya k

Ux

∂∂

biasanya lebih dominan. Oleh karena itu apabila dalam aliran

0U∇ = (tidak ada shear dalam mean flow) maka tidak terdapat produksi dari Reynolds

Page 32: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 471

stress. Akibatnya apabila terdapat turbulen dalam aliran tersebut, turbulen tersebut akan

lenyap (“decay”).

Hal terakhir yang akan kita bahas di subbagian ini adalah “turbulence intensity” atau

intensitas turbulen yang didefinisikan sebagai, 12

0

1 ' '3 i iu u

IU

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠≡

di mana adalah kecepatan karakteristik dari mean flow. Untuk turbulen yang

isotropik, maka

0U

u′ tidak mempunyai kecenderungan arah sehingga,

1 1 2 2 3 3' ' ' ' 'u u u u u u= = '

Untuk kasus ini maka ekspresi untuk intensitas turbulen adalah,

( )12

1 1

0

' 'u uI

U=

17.3 Energi aliran turbulen

Untuk mengetahui bagaimana interaksi antara eddy-eddy dalam turbulen dan mean

flow, kita perlu memperhatikan energi kinetik dari mean flow dan energi kinetik dari

turbulen. Persamaan yang menjelaskan energi kinetik dari mean flow didapatkan

dengan mengkalikan (RAN.b) dengan yang hasilnya adalah (dengan menggunakan

persamaan RAN.a),

iU

( )( )

2 2

' '

1 1 22 2

2

iji j i i j j ij i

ij ij i j ij

U U U PU U D U u ut x x

D D u u Ux

ρ µ

µ ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∂

− +∂

' 'jρ

(RAN.KE)

12

jiij

j i

UUDx x

⎛ ⎞∂∂≡ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Page 33: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 472

Selanjutnya persamaan yang menjelaskan tentang energi kinetik dari turbulen

didapatkan dengan langkah-langkah berikut ini. Kita mulai dari persamaan momentum

untuk yang didapatkan dengan cara melakukan operasi (Navier-Stokes untuk 'iu

'u U u= + ) – (RAN.b).

2' 1' ' ' ' ' ' 'u u u u U U u P u u ut

νρ

∂+ ⋅∇ + ⋅∇ + ⋅∇ = − ∇ + ∇ + ∇ ⋅

∂'

Kemudian dot product antara persamaan tersebut dengan u’ dan merata-ratakan hasil

yang didapatkan. Dengan melakukan prosudur tersebut didapatkan persamaan yang

menjelaskan energi kinetik dari turbulen yaitu (dimana telah digunakan persamaan

kontinuitas),

( )

2 2 2

' '

1 1 1' ' ' ' ' ' 22 2 2

2

i j i i j i jj i

ij ij i j ij

u U u u u u p u dt x x

d d u u Ux

ρ ρ

µ ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠∂

− −∂

' ijµ ⎞⎟⎠ (RAN.KET

)

''12

jiij

j i

uudx x

⎛ ⎞∂∂≡ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Sekarang kita telah siap untuk melihat interaksi antara mean flow dan turbulen. Karena

turbulen mempengaruhi “mean flow” melalui Reynolds Stress, penambahan atau

pengurangan energi yang dilakukan oleh turbulen dilakukan oleh suku terakhir dalam

(RAN.KE). Yang menjadi pertanyaan menarik adalah, apakah turbulen mengambil

energi dari mean flow? Pertanyaan selanjutnya adalah apa konsekuensi dari jawaban

pertama terhadap energi kinetik turbulen? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita

perhatikan suku terakhir dari (RAN.KE) dan (RAN.KET). Kita ketahui bahwa,

( ) ( )' ' ' ' ' 'ii i j i j i i j

j j

UU u u u u U u ux x

ρ ρ ρjx

∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂

Persamaan ini kita integrasikan dan hasilnya adalah,

( )ˆ' ' ' ' ' 'ii i j j i j i i j

j jS V V

UU u u n dS u u dV U u u dVx x

ρ ρ ρ∂ ∂= +

∂ ∂∫ ∫ ∫

Page 34: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 473

di mana telah digunakan teorema Gauss untuk suku kiri. Apabila kita pilih S yang tipis

di arah U sehingga 0U∆ ≈ , namun S mencakup batas batas luar dari turbulen di mana

' 0u = , maka suku kiri sama dengan nol sehingga

( )' ' ' ' ii i j i j

j jV V

UU u u dV u u dVx x

ρ ρ KEI∂∂− =

∂ ∂∫ ∫ ≡ .

Oleh karena itu untuk menjawab pertanyaan tadi kita perlu melihat apakah atau

. Selain itu dari hasil ini juga terlihat bahwa harga dari suku terakhir (RAN.KE)

adalah negatif dari suku terakhir (RAN.KET). Dengan demikian apabila ,

misalnya, maka efek suku terakhir dari (RAN.KE) adalah mengurangi energi kinetik

dari mean flow dan efek suku terakhir dari (RAN.KET) adalah menambahkan energi

kinetik turbulen.

0>KEI

0<KEI

0<KEI

Untuk itu kita perhatikan kasus yang digambarkan di gambar (B). misalkan kita

perhatikan fluid element di 2x A= .

Karena adanya fluktuasi dalam aliran turbulen misalkan elemen ini berpindah ke 2x B=

(disebabkan oleh 02 >′u di 2x A= ). Karena elemen ini mempunyai U yang sama

dengan U di maka ini menimbulkan Ax =2 1 ' 0u < di Bx =2 (karena U di 2x A=

lebih kecil daripada U di 2x B= ). Dengan demikian maka

2 120 0

0

' ' 0dUu udx

> <>

<

Apabila kita perhatikan kasus lainnya di mana elemen di 2x A= berpindah ke

karena adanya maka dengan argumen yang serupa,

Cx =2

2 0u′ < 01 >′u di . Dengan

demikian maka,

Cx =2

Page 35: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 474

2 120 0

0

' ' 0dUu udx

< ><

<

Dari contoh ini jelaslah bahwa iu′ ju ′ 0i

j

Ux

∂<

∂ secara umum.

Dengan demikian maka dan dapat disimpulkan bahwa OIKE < turbulen mengambil

energi dari mean flow. Energi inilah yang secara kontinyu disalurkan ke eddy-eddy dari

yang terbesar hingga yang terkecil. Energi ini kemudian didisipasikan oleh eddy yang

terkecil menjadi panas.

17.4 Aliran turbulen di dekat permukaan benda Di subbagian “fully-developed turbulence” kita telah lihat karakteristik aliran turbulen

di daerah yang jauh dari permukaan. Sekarang kita akan lihat karakteristik-karakteristik

dari aliran turbulen di daerah di dekat permukaan benda.

Hasil eksperimen menunjukkan bahwa aliran di bagian bawah dari lapisan batas

turbulen (inner region) mempunyai struktur turbulen yang sama dengan aliran di daerah

dekat permukaan dari aliran di dalam pipa atau channel. Dengan kata lain, struktur

turbulen di dekat permukaan adalah selalu sama untuk tipe aliran yang berbeda. Satu

satunya kesamaan dari aliran aliran ini adalah tidak terdapat panjang karakteristik dalam

permasalahan ini. Oleh karana itu aliran mempunyai “self similar” (seperti aliran

lapisan batas dari pelat datar).

Dari persamaan RANS kita lihat bahwa stress di setiap titik dalam aliran adalah

penjumlahan antara Reynold dan viscous stress. Karena kondisi batas mengharuskan

kecepatan dipermukaan adalah nol, maka Reynold stress dipermukaan adalah nol

sehingga di daerah ini hanya terdapat viscous stress. Sedangkan untuk aliran fully

developed, Reynold stress lebih dominan dari pada viskous stress sehingga di daerah

yang sedikit jauh dari permukaan hanya terdapat Reynold stress dan tidak terdapat

viscous stress. Dari penjelasan ini maka terlihat bahwa beberapa lapisan pada aliran

Page 36: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 475

turbulen disekitar permukaan. Lapisan pertama yang berada sangat dekat dengan

permukaan dimana tidak terdapat Reynold stress (inner layer), lapisan yang agak jauh

dari permukaan sehingga tidak terdapat viscous stress (outer layer). Lapisan terakhir

adalah lapisan dimana terjadi transisi dari kedua kasus tersebut.

Sekarang kita akan lakukan “dimensional analysis” untuk aliran di inner layer (daerah

yang sangat dekat dengan permukaan dan daerah ini berada di dalam lapisan batas,

misalnya). Kuantitas kuantitas karakteristik di daerah ini adalah ρ, µ, wallτ . Dalam

kasus ini wallτ adalah kuantitas karakteristik yang menjelaskan efek dari aliran di luar

daerah ini (“outer region”). Kuantitas ini diperlukan karena apabila kecepatan aliran

main stream diubah, misalnya, maka wallτ juga berubah. Namun, kita tidak

menggunakan atau U sebagai karakteristik di luar daerah ”inner region” karena

di daerah ini efek U tidak dirasakan secara langsung namun dirasakan melalui

invU ∞

∞ wallτ .

Selain itu, seperti telah dijelaskan sebelumnya, tidak ada panjang karakteristik dalam

kasus itu. Oleh karena itu, kita ikut sertakan sebagai salah satu dari parameter. 2x

Dari penjelasan di atas maka profile kecepatan (u) di daerah “inner layer” mempunyai

bentuk seperti,

( )2; , , wallu u x ρ µ τ=

Dari parameter-parameter ini kita dapatkan group nondimensional yaitu, (3 kuantitas

yaitu ρ, µ, wallτ -1variabel: ) 2x

*

uuu

+ ≡ , 2 *x uyν

+ ≡

di mana ρ

τ wallu ≡* . Oleh karena itu maka,

( )++ = yfu di inner layer …(law of the wall)

Hubungan ini disebut juga “law of the wall”.

Hasil eksperimen untuk di sketsakan di gambar (c) +u

Page 37: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 476

Hasil eksperimen mengkonfirmasikan bahwa di “inner layer”, data-data eksperimen

untuk kasus-kasus aliran berbeda berada di kurva yang sama sesuai dengan law of the

wall. Di luar “inner layer”, data eksperimen untuk aliran yang berbeda mulai terpencar-

pencar mengikuti kurva yang berbeda. Daerah ini disebut “outer layer” dan di sini

tentunya lagi. )( +++ ≠ yuu

Daerah inner layer dibagi lagi menjadi 3 daerah yaitu “viscous sublayer” ( 0 ),

“buffer layer”

8y+≤ ≤

( )508 ≤< +y , “overlap layer” ( )30050 +≤< +y . Hasil eksperimen

menunjukkan bahwa di viscous sublayer terdapat set-set dari “counter rotating

vortices”. Selain itu daerah buffer layer adalah daerah dengan “turbulence intensity” I

yang tertinggi. Jadi walaupun daerah viscous sublayer dan buffer layer ini relatif sangat

kecil, namun di sinilah tempat terbentuknya turbulen. Di daerah ini Viscous dan

Reynolds stress adalah konstan. Di permukaan tentunya stress adalah 100% viscous

stress karena Reynolds stress = 0. Di buffer layer viscous stress turun namun Reynolds

stress naik. Di bagian terluar dari buffer layer seluruh stress adalah Reynolds stress dan

harganya tentunya sama dengan wallτ . Reynolds stress ini tetap konstan hingga

mencapai akhir dari daerah “overlap”.

Sekarang kita beralih untuk memperhatikan daerah “outer layer”. Kuantitas-kuantitas

karakteristik di daerah ini adalah ρ, δ, U, dan dxdp . Di sini U adalah kecepatan mean

flow di daerah ini dan δ adalah tebal dari lapisan batas atau radius dari pipa untuk aliran

di dalam pipa. Juga seperti dalam daerah “inner layer” kita perlu ikut sertakan x2.

Selain itu, dari gambar c terlihat bahwa u+ untuk “outer layer” bergabung dengan u+

untuk “inner layer”. Secara fisik, ini berarti aliran di “outer layer” dipengaruhi oleh

“inner layer”. Kuantitas “inner layer” yang paling logis untuk dimasukkan sebagai

Page 38: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 477

kuantitas karakteristik di “outer layer” adalah τwall. ν tidak dimasukkan sebagai

kuantitas karakteristik di outer layer karena viskositas tidak penting di daerah ini (di

daerah ini tidak terjadi disipasi energi).

Dengan penjelasan di atas, maka jelaslah bahwa,

21

; , , , , walldpu u x Udx

δ ρ τ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ρ dan τwall dapat digabung menjadi u* seperti yang kita lakukan di inner layer. Selain

itu, U tentunya beraksi sebagai reference. Dengan kata lain, yang kita butuhkan adalah

u - U. Oleh karena itu, maka kecepatan di outer layer berbentuk,

2 *1

; , , dpu U g x udx

δ⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

atau

2

* 1

2

, ,

di mana

u U x dp dpf fu dx

x

ξδ

ξδ

⎛ ⎞− ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝⎝ ⎠

dx ⎠ (defect law)

Hukum ini disebut juga “defect law”.

Karena “law of the wall” dan “defect law” harus bergabung di “overlap layer”, Millikan

(1928) berargumen sebagai berikut:

* *

( )u U u F yu u

+−→ = apabila 2 0x →

* *

( )u F yu u

+ u U−= → apabila 2x δ→

Untuk itu kita perhatikan pertama-tama kasus dimana 1

0dpdx

= .

Untuk kasus ini, ( )0*

u U fu

ξ−= . Apabila kita lihat turunan dari u terhadap x2 maka,

“law of the wall” menjadi,

' ' ' (1) *

* 2 2 2

1 du dy u yF F Fu dx dx xν

+ +

= = =

Page 39: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 478

di mana +≡

dydFF ' .

Sedangkan “Defect law” menjadi,

'0

2

'0

2

'0

2*===

1f

δf

dxξd

fdxdu

u (2)

di mana ξd

dff 0'

0 ≡ . Karena argumen Millikan tadi, maka dari (1) dan (2),

' '0

1konstankiri kanan

y F fξκ

+ = = ≡ (3)

κ1 adalah konstan karena sisi kiri adalah fungsi y+ dan sisi kanan adalah fungsi ξ dan

sisi kiri harus sama dengan sisi kanan. Konstanta κ dikenal dengan sebutan “Karman

Constant”.

Dari persamaan (3) maka

++ =ydy

dF 11κ

atau ln1κ

=F Ay ++ (4)

ξκξ110 =

ddf

atau ln10 κ

=f Bξ + (5)

Dengan demikian maka u untuk seluruh lapisan adalah

2 *

*

1 lnu x u Au κ ν

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

+ (6)

atau apabila kita gunakan “outer layer variables”,

2

* *

1 lnu U x Bu u κ δ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(7)

Sekali lagi diingatkan bahwa hasil di atas berlaku untuk kasus 01

=dxdp . Untuk kasus

yang lebih umum, di mana 01

≠dxdp maka, (

*

,u U fu

ξ )−= Π di mana П adalah

parameter yang menjelaskan dxdp

Page 40: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 479

Apabila kita gunakan “inner variables” untuk u (persamaan (6)) maka jelaslah bahwa

kita dapat nyatakan, ( )2 *

*

1 ln ,u x u A gu v

ξκ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Π

(8)

di mana ( ) 0,0 →πg dan * *

u Uu u

→ apabila 1→ξ .

Dengan mengambil limit 1→ξ maka dari (8),

( ) ( )*

1,U F y gu

+= + Π

atau ( )*

*

1 ln 1,U u A gu

δκ ν

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Π

(9)

Dari persamaan (8) dan (9) maka ((8)-(9)) didapatkan,

( )* *

1 ln (1, ) ( , )u U g gu u

ξ ξκ

= + + Π − Π

Persamaan di atas adalah persamaan untuk *u

uu ≡+ untuk kasus umum di mana

01

≠dxdp . Seperti telah dikatakan sebelumnya, persamaan untuk u+ ini berlaku di

seluruh layer dari mulai “inner” sampai dengan “outer” layer.

Fungsi g (ξ, П) sendiri ditentukan secara empiris. Hubungan empiris ini diberikan oleh

Coles (1956),

( ) 21, 2 sin2

g πξ ξκ

⎛ ⎞Π = Π ⎜ ⎟⎝ ⎠

(Coles’s law of the wake)

Sedangkan bunga empiris untuk Karman Constant (κ) adalah,

κ = 0.41

Harga-harga untuk П adalah sebagai berikut:

П = ¼ untuk pipe flow

П = 0.55 untuk lapisan batas dengan 01

=dxdp

Page 41: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Aliran Turbulen 480

17.5 Coles’ Relation

Hasil yang didapatkan di 17.3 dapat digunakan untuk menghitung skin friction drag

(misalnya, yang dihasilkan lapisan batas turbulen) dengan menggunakan metoda semi

empiris. Untuk mendapatkan bayangan bagaimana melakukan perhitungan semi

empiris ini, kita persamaan (8) pada posisi x2 = δ.

*

*

1 2lninU u Au v

δκ κ

Π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

+

Namun dari definisi u* dan skin friction coefficient (cf),

* 2

212

in in in

fwallf in

U U Uu c

c Uτ

ρρ

ρ

= = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dan * 2f

in

cu U=

Dengan demikian maka didapatkan,

2 1 2ln2

fin

f

cU Ac v

δκ

⎛ ⎞

κΠ

= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ (Coles Relation)

Hubungan diatas adalah hubungan antara cf dan δ. Apabila kita mempunyai hubungan

untuk δ sebagai fungsi dari x1 (misalnya dari hasil experimen) maka Coles Relation

memberikan cf sebagai fungsi dari x1. Tentunya, cf dapat diintegrasikan untuk

mendapatkan harga skin friction drag.

Sebagai contoh adalah kasus lapisan batas turbulen dari pelat datar. Untuk kasus ini,

diketahui dari hasil experimen bahwa

10.3 fx cδ ≈ .

Selain itu untuk kasus pelat datar,

0.55, 5, 0.41A κΠ = = = .

Dengan demikian maka Coles Relation untuk kasus ini menjadi,

( )2 1 ln 0.212 5 2.6830.41 f ex

f

c Rc

= + + dimana 1inex

U xRν

Apabila persamaan diatas diselesaikan tentunya akan didapatkan ekspresi untuk cf

sebagai fungsi dari x1.

Page 42: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 481

BAB

18 Dinamika Fluida Campuran

18.1 Pendahuluan Sampai saat ini fluida yang kita pelajari dianggap terdiri dari satu spesies saja (contoh :

udara, air). Sekarang kita akan pelajari mekanika fluida di mana fluida tersebut adalah

fluida campuran yang terdiri dari beberapa spesies yang dapat bereaksi (Misalnya ;

reaksi . Dalam reaksi ini O, N2O N N NO+ + 2, N, dan NO adalah spesies- spesies.

18.2 Kinematika Tugas pertama kita adalah bagaimana membuat model kontinuum untuk campuran yang

terdiri dari N komponen. Pertama-tama dengan model tersebut kita dapat mengikuti

setiap spesies secara individu ketika campuran dari N komponen tersebut bergerak yang

tentunya diikuti oleh deformasi dan reaksi kimia. Oleh karena itu model dari N

campuran ini haruslah dianggap sebagai superposisi dari N medium yang kontinyu.

Dengan kata lain, setiap titik di dalam ruang yang diduduki oleh campuran tersebut

terdapat N material element. Sudut pandang ini tidak bertentangan dengan fisika karena

material element bukanlah molekul (setiap titik dalam ruang tentunya hanya dapat

diduduki oleh satu molekul). Dan sudut pandang ini juga sesuai dengan cara kita

mengidentifikasi komposisi di setiap titik dalam fluida campuran (Misalnya sebuah titik

terdapat 60% N2, 10% O, 25% N, dan 5% NO ).

Page 43: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 482

Dengan demikian maka kita dapat nyatakan bahwa.

( ) ( )( )A Ax χ ξ= dan ( ) ( ) ( )1A A xξ χ −=

yang artinya adalah posisi x dalam ruang adalah posisi yang diduduki oleh material

element ξ(A) (sebuah partikel spesies A) dan ξ(A) adalah material element spesies A yang

berada di posisi x dalam ruang.

Gerak dari spesies A dapat dinyatakan sebagai,

( ) ( )( ),A Ax tχ ξ= dan ( ) ( ) ( )1 ,A A x tξ χ −=

Seperti pada waktu mempelajari kinematika fluida yang hanya terdiri dari satu spesies,

kita dapat gunakan posisi awal dari material element spesies A, ξ(A), untuk

mengidentifikasikan material element spesies A(ξ(A)). Dengan demikian gerak dari

spesies A dapat pula dinyatakan sebagai,

( ) ( )( ),A Ax tχ ξ= dan

( ) ( ) ( )1 ,AAx tξ χ −=

Sekarang bagai mana kita menyatakan turunan waktu dari F (sebuah kuantitas) yang

dilihat dari pengamat yang bergerak di material element spesies A. Kita definisikan

turunan material,

( )

( )

konstanA

Ad F Fdt t ξ =

∂⎛ ⎞≡ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠.

Apabila kita definisikan kecepatan material element dari spesies A sebagai,

( )( )

( ) ( )( )( ),AA A A

du x

dt tχ ξ∂ t⎡ ⎤≡ = ⎢ ⎥∂⎣ ⎦

maka,

( )( )

( )

( ) konstan

konstan

( )

3

1

,A

A

AA

i

i i

d F F F x tdt t t

xF Ft x t

ξ

ξ

ξ=

==

∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦∂ ∂⎝ ⎠

∂∂ ∂ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∑

atau

( )( )

AA

d F F u Fdt t

∂= + ⋅∇

Page 44: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 483

18.3 Dinamika Seperti pada waktu kita mempelajari mekanika fluida yang homogen, dalam

menurunkan persamaan-persamaan dasar untuk fluida campuran kita akan gunakan

rangka acuan inersial.

18.3.1 Kontinuitas spesies Hukum dasar pertama yang akan kita dapatkan adalah persamaan kontinuitas untuk

spesies A. Hukum ini tidak ada pada waktu kita mempelajari mekanika fluida homogen

karena dalam fluida homogen tidak terjadi reaksi kimia.

Untuk mendapatkan hukum ini, kita akan gunakan volum atur ( )AV . Volume atur ini

adalah volume atur yang diam dengan bentuk tetap. Karena adanya reaksi kimia maka

spesies A dapat “hilang” atau “terbentuk”di setiap titik dalam volume atur ( )AV . Jadi

hukum dasar yang pertama adalah:

Perubahan waktu dari massa sebuah spesies A di dalam volume atur ( )AV (yang

diam dan tetap) sama dengan “rate” dari terbentuknya atau hilangnya spesies A

(per unit volume) yang disebabkan oleh reaksi kimia yang homogenous.

Secara matemetis maka hukum ini dapat dituliskan:

( )

(A)

( )V

AV Ad m rdt

= ∫ dV

di mana adalah laju produksi/ hilangnya spesies A per unit )( Ar ( )AV yang disebabkan

oleh reaksi kimia yang homogeneous. Apabila )( Aρ adalah massa jenis dari spesies A

maka,

( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

Reynolds Transport Thm.

ˆA

A A A

AV AA A

V V S

d dm dV dV udt dt t

ndSρ

ρ ρ∂

= = +∂∫ ∫ ∫ ⋅

Page 45: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 484

Sehingga kontinuitas spesies menjadi,

( )

( )

( )( )

( )( )

ˆA A A

AA A

V S V

dV u ndS r dVt

ρρ

∂+ ⋅ =

∂∫ ∫ ∫

Apabila ρ(A), u(A), r(A) adalah fungsi yang kontinyu, kita dapat gunakan (*), (**) seperti

biasanya. Oleh karena itu persamaan untuk kontinuitas spesies menjadi,

( )( ) ( )( ) ( )

AAA Au r

t

ρρ

∂+ ∇ ⋅ =

atau ( ) ( )( ) ( ) ( )

A AAA A

du r

dt

ρρ+ ∇ ⋅ = (MC.1)

Sekali lagi reaksi kimia yang dijelaskan dalam persamaan di atas (r(A)) adalah reaksi

yang homogen. Reaksi yang tidak homogen (heterogeneous) terjadi di “phase

interface” dan dijelaskan dengan menggunakan kondisi batas.

Persamaan diferensial di atas menjelaskan perubahan ρ(A) dilihat oleh pengamat yang

bergerak dengan kecepatan u(A). Biasanya, orang tidak menggunakan kecepatan u(A)

dalam mempelajari fluida campuran. Biasanya digunakan kecepatan spesies A relatif

terhadap apa yang disebut dengan ”mass average velocity” (u) atau,

( ) ( )A Av u u≡ −

di mana

( ) ( )1

N

AAA

u uρ ρ=

≡ ∑ dan ( )1

N

AA

ρ ρ=

≡ ∑ .

Selain itu dapat pula digunakan kecepatan spesies A relatif terhadap “molar average

velocity” (u*)

( )* *

( )A Av u≡ − u di mana ( )** *

( )1

N

A Ai

c u c u=

≡ ∑

( )* *( )

1 1 ( )

N NA

AA A A

c cMρ

= =

≡ ≡∑ ∑ , M(A): berat molekul spesies A

Page 46: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 485

Apabila kita definisikan, )( )()()(

uuj AAA−≡ ρ maka persamaan (mc.1) menjadi,

( )( ) ( )( )

( )AA AA

u j rt

ρρ

∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =

∂ (MC.1a)

18.3.2 Hukum kekekalan massa Hukum ini adalah hukum pertama untuk mekanika fluida yang homogen kita akan lihat

dari persamaan (MC.1), kita akan dapatkan kembali hukum kekekalan massa yang telah

kita kenal. Kita mulai dengan menjumlahkan persamaan (MC.1) untuk seluruh spesies

(N spesies)

( )

( )

( )( ) ( )

1 1

( ) ( ) ( )1 1

N NA

1

A AA A

N N N

A A AA A A

u rt

u rt

ρρ

ρ ρ

= =

= =

∂⎛ ⎞+ ∇ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∂+ ∇ ⋅ =

∑ ∑

∑ ∑ ∑=

Dengan definisi-definisi yang telah diperkenalkan sebelumnya persamaan ini menjadi,

( )1

N

AA

u rt

ρ ρ=

∂+ ∇ ⋅ =

∂ ∑

Namun dalam reaksi kimia kita ketahui bahwa walaupun massa setiap spesies dapat

berubah-ubah, total massa haruslah konstan. Hukum ini disebut juga hukum “Lavosier”

(ingat pelajaran kimia dasar !!!). Dengan demikian, ( )1

0N

AA

r=

=∑ sehingga persamaan

menjadi,

0utρ ρ∂

+ ∇ ⋅ =∂

atau

( ) 0udu

dtρ

ρ+ ∇ ⋅ =

(MC.2)

di mana simbol ( )udu

dt tρ ρ∂

≡ + ⋅∇∂

adalah turunan waktu dari ρ yang dilihat oleh

pengamat yang bergerak dengan kecepatan “mass average” atau u. Hasil yang didapat

di sini sama persis dengan kasus fluida yang homogen. Ini menyarankan agar dalam

Page 47: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 486

menurunkan persamaan momentum, angular momentum, energi dan entropi kita

gunakan “mass average velocity” u.

Persamaan (MC.2) juga dapat digunakan untuk mendapatkan bentuk alternatif dari

persamaan (MC.1a). Apabila kita tuliskan suku kiri dari persamaan tersebut

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )A AA A AA A

uu A A u A

A A

u j u u jt t

dd dj j

dt dt t

ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρρ

ρ ρ

∂ ∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = + ⋅∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∂ ∂⎛ ⎞

= − + ∇ ⋅ = + ∇ ⋅⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Apabila kita definisikan ρ

ρ )()(

AAC ≡ (C(A) = mass fraction A/ konsentrasi A) maka

(MC.1a) menjadi,

( )( ) ( )( )

uA AA

dC j

dtρ + ∇ ⋅ = r (mc.1b)

18.3.3 Mass-Averaged Material Element Penurunan persamaan kontinuitas yang menyatakan hukum kekekalan massa

menyarankan agar kita menggunakan “mass-average velocity”. Untuk menurunkan

persamaan-persamaan dasar berikutnya, kita akan gunakan apa yang disebut “mass-

averaged material element” atau ”m-a material element”. “m-a material element”

adalah material element imaginer yang bergerak dengan kecepatan u (mass-average

velocity). Volume atur V(u) adalah volume atur yang terdiri dari “m-a material element”

yang sama sedangkan S(u) adalah permukaan yang membungkus V(u).

18.3.4 Hukum kekekalan momentum (hukum Newton II)

Sekarang kita akan melihat konsekuensi dari hukum Newton II untuk fluida campuran.

Apabila kita aplikasikan hukum Newton II untuk volume atur V(u) maka bunyi hukum

Page 48: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 487

ini sama seperti sebelumnya (namun kita perlu mengganti “material volume” dengan

“V(u)”). Secara matematis hukum ini dapat dituliskan seperti ,

( ) ( )

( ) ( )1( )

ˆu u

NT

A AAV u S V

d udV ndS G dVdt

ρ σ ρ=

= ⋅ + ∑∫ ∫ ∫

Dalam persamaan di atas kita telah anggap bahwa setiap spesies dapat “merasakan”

body force yang berbeda ( )( AG ).

Apabila ρ , u , σ , ( )AG adalah fungsi-fungsi yang kontinyu maka kita dapat gunakan

(***), (*), (**) ((***) dapat digunakan juga untuk fluida campuran (karena (mc.2) sama

persis dengan persamaan kontinuitas untuk fluida homogen) sehingga,

( )( ) ( )

1

Nu

A AA

du G

dtρ σ ρ

=

= ∇ ⋅ + ∑

Apabila kita definisikan ( ) ( )1

N

A AA

Gρ ρ=

≡ ∑ G maka,

( )udu

dtGρ σ ρ= ∇ ⋅ + (mc.3)

Persamaan ini sama persis seperti sebelumnnya namun definisi dari ρ , u , G di sini

harus diingat. u , misalnya, adalah “mass–average velocity”, ∑ ==

N

A A1 )(ρρ

( )( )1

N

A AA

G Gρ ρ=

= ∑ .

18.3.5 Hukum kekekalan momentum sudut Seperti dalam kasus fluida homogen, prinsip kekekalan momentum sudut diturunkan

dari persamaan momentum. Karena (mc.3) sama dengan persamaan momentum fluida

homogen maka persamaan yang menjelaskam prinsip kekekalan momentum sudut juga

sama seperti sebelumnya, yaitu :

( ) ( ) ( )

ˆ( )u u u

T

V V S

d x udV x GdV x n dSdt

ρ ρ σ× = × + × ⋅∫ ∫ ∫

Page 49: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 488

Juga untuk “non–polar medium” stress adalah tensor yang simetris atau,

σσ =T .

18.3.6 Hukum kekekalan energi (hukum termodinamika I ) Bunyi dari hukum termodinamika I untuk fluida campuran sama persis dengan untuk

fluida homogen. Apabila kita tuliskan hukum ini secara matematis untuk fluida di

dalam )(uV maka ,

( )( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

2

1

1

1 ˆ2

u u

u

NA

AAV S

N

A AAAV

d e u dV u q ndSdt

G u Q dV

ρρ σ

ρ

ρ ρ

=

=

⎛ ⎞+ = ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞+ ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑∫ ∫

∑∫

Apabila seluruh variabel dalam integral adalah fungsi kontinyu maka (***), (*), (**)

dapat digunakan dan persamaan ini menjadi ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

1 1

12

N Nu

A AA A AA A

de u u q Q G

dtρ ρ σ ρ ρ

ρ = =

⎛ ⎞+ = ∇ ⋅ ⋅ − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ u⋅

Karena, seperti biasa, biasanya tidak digunakan maka kita akan tuliskan dalam

suku-suku di atas dengan menggunakan

)( Au )( Au

u dan )( Av sehingga,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

1 1 1 12

N N N N

A AA A A A A AA A A A

u v u v uρ ρ ρ ρ ρ= = = =

= + = + +∑ ∑ ∑ ∑ v u⋅

Namun, karena ( ) ( )1

N

AAA

u uρ ρ=

≡ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

0N N N

A A AA A AA A A

v u u v u u uρ ρ ρ= = =

⎡ ⎤⋅ = ⋅ = ⋅ − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ρ .

Dengan demikian maka ,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1

N N

AA A AA A

u u vρ ρ ρ= =

= +∑ ∑

Page 50: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 489

Selain itu,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

N N

A A A AA AA A

G u G v Gρ ρ= =

uρ⋅ = ⋅ +∑ ∑ ⋅

Akhirnya ekspresi untuk persamaan energi menjadi ,

22( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

( ) 1 1 ( )2 2

N N

A A AA A

d u e u C v u q Q G u G vdt

ρ σ ρ ρ= =

⎛ ⎞+ + = ∇ ⋅ ⋅ − + + ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ A Aρ (mc.4)

di mana ρ

ρ )()(

AAC = .

Apabila kita ambil dot product dari persamaan (mc.3) dengan u maka,

2( )

2ud u u G

dtρ σ

⎛ ⎞uρ= ⋅∇ ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Dengan demikian maka, apabila (mc.4) dikurangi persamaan ini didapatkan,

( )2( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1( ) ( )2

N Nu u

A A AA A

d de C v u q Q G

dt dtρ ρ σ ρ ρ

= =

⎛ ⎞+ = ⋅∇ ⋅ − ∇ ⋅ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ A Av⋅ (mc.4.a)

yang tidak lain adalah persamaan untuk internal energi (e). Harga ∑ =

N

A AAu vC

dtd

1 )(2

)()(

21

biasanya sangat kecil dibanding dengan suku–suku lainnya dalam persamaan-persamaan

di atas dan biasanya suku ini (hampir selalu) dapat diabaikan. Apabila suku ini

diabaikan maka kita dapatkan persamaan-persamaan energi yang sama dengan kasus

fluida homogen.

18.3.7 Hukum termodinamika II

Sebelum kita tuliskan hukum termodinamika II untuk fluida campuran, sebaiknya kita

review dulu termodinamika untuk fluida campuran yang dapat bereaksi. Untuk fluida

yang terdiri dari N spesies, hukum termodinamika I adalah,

( ) ( )1

N

A AA

d Tds pdv dmε µ=

= − + ∑

Page 51: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 490

di mana ε adalah energi dalam, µ(A) adalah “chemical potential” untuk spesies A dan

m(A) adalah massa dari spesies A di dalam sistem. Sekarang kita akan tuliskan

persamaan di atas dengan menggunakan variabel-variabel per unit massa,

( ) ( )1

1 N

A AA

de Tds pd dcµρ =

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

di mana ( ) ( ) ( )( )

A A AA

dm md d

m m

ρ

ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dc . Dengan demikian maka,

( ) ( )1

N

A AA

pde Tds d dcρ ρ ρ ρµρ =

= + + ∑

sehingga dengan menggunakan (mc.2) dan (mc.1.b),

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1

Nu u

A A AA

d e d ST p u r j

dt dtρ ρ µ

=

= − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅∑ .

Apabila persamaan ini kita kurangi dengan persamaan (mc.4.a) maka hasilnya adalah,

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2

1

1 1

12

Nu u

A AA

N N

A AA A A AA A

d d sc v T u q Q

dt dt

G v r j

ρ ρ τ ρ

ρ µ

=

= =

⎛ ⎞− = − ⋅∇ ⋅ + ∇ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

− ⋅ + − ∇ ⋅

∑ ∑

atau

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

1 1 1

12

N N Nu u

A AA A A A AA A A

d s dT u q Q G v c v r

dt dtτ ρ ρ ρ µ

= = =

⎛ ⎞= ⋅∇ ⋅ − ∇ ⋅ + + ⋅ − − − ∇ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ A j

Dengan menggunakan,

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1

N N

A AA AA A

j v uρ ρ= =

= =∑ ∑ u− dan 2

1 1qq q

T T T⎛ ⎞

T∇ ⋅ = ∇ ⋅ − ⋅∇⎜ ⎟⎝ ⎠

maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi,

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

2

1

2

22

1 1

112

11 1 1 12

2

N

A A Au A

N NA A uA A A A AA

A A

v jd s q Q udt T T T T

v dq T j T G v v r

T T T dt T

µρρ τ

µµ

=

= =

⎧ ⎫⎛ ⎞+⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠+ ∇ ⋅ − − = ⋅∇ ⋅⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞− ⋅∇ − ⋅ ∇ − + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑

Page 52: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 491

Sekarang kita beralih ke Hukum Termodinamika ke II. Hukum ini didapatkan dengan

mengambil integral volume (V(u)) dari persamaan di atas dan membandingkan hasilnya

dengan pertidaksamaan entropi yaitu,

1 0dS Qdt T

δ σ− = ≥

Apabila kita lakukan ini maka dapat disimpulkan bahwa suku di sebelah kanan dari

persamaan di atas (mc.*) adalah σ sehingga (untuk kasus ini

( ) ( ) ( )2

1

12

N

A A AA

v jqQ QT T T

µ

Tδ ρ=

⎧ ⎫⎛ ⎞+⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠= −∇ ⋅ + −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∑),

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

2

22

1 1

11 1 1 1 12 0

2

N NA A uA A A A AA

A A

v du q T j T G v v r

T T T T dt T

µτ µ

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞⋅∇ ⋅ − ⋅∇ − ⋅ ∇ − + − + ≥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑

Apabila kita gunakan definisi-definisi berikut,

( )1 uTτ τΦ ≡ ⋅∇ ⋅ dan ( ) ( ) ( )

2

1

1 12

N

r A A AA

v rT

µ=

⎛ ⎞Φ ≡ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

maka pertidaksamaan di atas menjadi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )2 2

1 1

1 1 1 1 02 2

N Nu

r A AA A A AA AA A

dTq v j v G v jT T T dtτ µ µ

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ∇⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ + Φ − − + ⋅ − ∇ + − + ⋅ ≥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∑ ∑

Dari termodinamika kita ketahui bahwa

( ) ( ) ( ) ( )A A Ag h Ts Aµ≡ − = (A)

Apabila ini kita substitusikan ke dalam µ(A) pada suku ke-3 di atas maka pertidaksamaan

menjadi,

( ) ( )1

1 0N

Ar AA

T jT Tτ

=

∇Φ + Φ − ∈⋅ − Λ ⋅ ≥∑

di mana untuk mempersingkat penulisan, kita gunakan definisi-definisi berikut.

Page 53: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 492

( ) ( ) ( )2

1

12

N

A A AA

q h v j=

⎛ ⎞⎛ ⎞∈ ≡ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )21

2u

AA A A A

ds T v G v

dtµ⎛ ⎞Λ ≡ ∇ + ∇ + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ A .

Karena ( )

1

0N

AA

j=

=∑ maka ( ) ( )

1

0N

NAA

j=

⋅Λ =∑

Sehingga, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )*

1 1 1

N N N

A A ANA AA A A

j j= = =

Λ ⋅ = Λ − Λ ⋅ = ⋅∑ ∑ ∑ Ad j dimana telah didefinisikan

( ) ( )( )*( )

1

N

AA NA

d=

≡ Λ − Λ∑

Dengan demikian maka pertidaksamaan diatas menjadi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 2

1 1

1 1 1 1 1 02

N N

A A A AAA A

Tu j d vT T T T T

τ µ= =

⎡ ⎤∇ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤⋅∇ ⋅ − ∈⋅ − ⋅ − + ≥⎜ ⎟⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ r ⎥ (mc.5)

Ini adalah hukum termodinamika ke II untuk fluida campuran.

Expresi untuk Λ(A) dapat pula dituliskan sebagai berikut. Kita nyatakan µ(A) (c(A), T, p)

sehingga,

( )( )

( )( )

( ) ( )

, ,,

A A AA A

A c T c pp T

c pc p T

µ µ µµ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟∇ = ∇ + ∇ + ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

T

Namun, karena dari persamaan (A) ( )( )

,

AA

p c

sT

µ∂⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

sehingga,

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

2

,,2

A A AA

uA AA

A c Tp T

v dc p G

c p

µ µ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟Λ = ∇ + ∇ + ∇ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

vdt

Dengan demikian maka gradien-gradien dari p dan c(A) juga menyebabkan kenaikan

entropy dalam system.

Page 54: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 493

18.4 Persamaan konstitutif

(Lihat subbagian Transport Phenomena sebelum membaca subbagian ini !!!).

Seperti pada kasus fluida yang homogen, untuk menyelesaikan system persamaan dasar

(mc.1.a), (mc.3), dan (mc.4) kita membutuhkan persamaan konstitutif. Mengikuti

prosedur yang telah kita bahas pada kasus fluida homogen, kita perhatikan hukum

termodinamika II untuk kasus ini (mc.5). Pertidaksamaan tersebut menginformasikan

kita tentang gradien-gradien apa saja yang mengakibatkan fenomena transport X. Dari

pertidaksamaan kita dapat identifikasikan,

( )

( ) ( )21

2

A

A A

jJ

v

τ

µ

⎧ ⎫⎪ ⎪∈⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪⎩ ⎭

dan ( )

( )

*A

A

uT

TXd

r

∇⎧ ⎫⎪ ⎪∇⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Karena J = Ω⋅ X maka,

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

*13 141211

*2422 2321

*3432 33312

*42 43 4441

:

:

:12

:

A A

A A

A

A A

A A

A A

Tu dTTu d

TjTu d

TvTu d

T

τ

µ

∇⎧ ⎫Ω ∇ + Ω ⋅ + Ω ⋅ + Ω⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ∇⎪ ⎪∈ Ω ∇ + Ω ⋅ + Ω ⋅ + Ω⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ∇⎪ ⎪ ⎪Ω ∇ + Ω ⋅ + Ω ⋅ + Ω⎪ ⎪ ⎪+⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∇⎪ ⎪Ω ∇ + Ω ⋅ + Ω ⋅ + Ω

⎪ ⎪⎩ ⎭

r

r

r

r

⎪⎬⎪⎪⎪

Namun, Currie’s Principle menyatakan bahwa tidak ada kopling antara j(A) dan ∈

dengan σ dan ( ) ( )21

2A vµ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠A sehingga

24 42 34 4313 3112 210Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω =

Selain itu tidak ada bukti experiment yang mendukung adanya kopling antara σ dengan

( ) ( )21

2A vµ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠A sehingga

14 410Ω = Ω = . Dengan demikian maka,

Page 55: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 494

11: uτ = Ω ∇ dan

( )

( )

( )

*22 23

*23 33

A

AA

T dT

j T dT

∇⎧ ⎫Ω ⋅ + Ω ⋅∈ ⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ∇⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ Ω ⋅ + Ω ⋅⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪⎬

, di mana telah kita gunakan Onsager Reciprocal Relation TΩ = Ω .

Selanjutnya hubungan-hubungan di atas harus memenuhi “Principle of Frame

Indifference”. Hubungan untuk τ terlihat sama persis dengan kasus fluida homogen

sehingga kita dapat langsung tuliskan,

( ) 2pI pI u I Dσ τ λ= − + = − + ∇ ⋅ + µ (mc.6)

Sedangkan untuk ∈ dan j(A) dapat ditunjukkan (Slattery, 1972) bahwa

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* 2

1 1

2*

1

12

ln

TN NA

A A A AA AA

NT

BA A B ABAB

Dk T c RT d q h v j

cj D T M M D d

ρ

ρ

= =

=

⎛ ⎞∈ = − ∇ − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ∇ +

∑ ∑

∑ (mc.7)

dimana mana,

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

1, 1, , ( , )

1*

c

N NA A

A A AB BB B A BB T p C C A B

d C V pC RT C

ρ µρ= ≠ =

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟≈ ∇ + − ∇ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ BG C G+

dan ( )( )

*

( ) , , ( )

,B

AA T p m B A

VV cm M

ρ

⎛ ⎞∂≡ ≡⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

.

( )TAD , adalah thermal dan multicomponent diffusion coefficient, dan M adalah

berat molekul. Harga-harga thermal dan diffusion coefficient didapatkan dari

experimen atau teori kinetik, seperti halnya λ, µ, dan k, dan haga-harga ini adalah fungsi

dari variabel-variabel termodinamik seperti T dan p.

( )ABD

Pada persamaan (mc.7) terlihat bahwa harga є tergantung pada konsentrasi dan gradien

tekanan melalui d(A). Ketergantungan ini disebut juga efek Dufour dan biasanya efek ini

sangat kecil sehingga dapat diabaikan. Selain itu, terdapat pula ketergantungan j(A)

terhadap gradien konsentrasi, gradien tekanan, gradien temperatur, dan body force.

Page 56: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 495

Ketergantungan j(A) terhadap gradien temperatur disebut efek Soret. Dalam kebanyakan

kasus, ketergantungan j(A) terhadap gradien-gradien dan body force, kecuali gradien

konsentrasi dapat diabaikan karena efek-efek ini sangat kecil. Kasus terakhir ini dikenal

dengan sebutan Ordinary diffusion dimana proses difusi hanya dipengaruhi oleh gradien

konsentrasi.

Sistem persamaan yang harus diselesaikan dalam mekanika fluida campuran adalah

persamaan-persamaan, (mc.1.a), (mc.3). (mc.4), (mc.6), dan (mc.7). “r(A)” dalam

persamaan (mc.1) dan (mc.4) didapatkan dari hasil analisis kimia. Juga dibutuhkan

persamaan keadaan untuk e.

Sekarang kita cek apakah jumlah persamaan yang kita miliki sama dengan jumlah

variabel yang dicari (dependent variable). Jumlah persamaan yang kita miliki adalah:

(mc.1) ⇒ N persamaan

(mc.3) ⇒ 3 persamaan

(mc.4) ⇒ 1 persamaan

(mc.6) ⇒ 6 persamaan (yang independent)

(mc.7) ⇒ 3+3(N-1)=3N persamaan

( ) ⇒ 1 persamaan ( ) ( )( 1, ,..., Ne e T ρ ρ= )Persamaan konstitutif untuk j(A) hanya mempunyai 3(N-1) persamaan independen

karena,

( ) ( ) ( )( )1 1

0N N

AAAA A

j uρ= =

u≡ − =∑ ∑

(definisi ( ) ( )1

N

AAA

uρ ρ=

≡ ∑ u ). Sehingga persamaan j(A) hanya mempunyai 3(N-1)

persamaan yang independen.

Dengan demikian total persamaan yang kita miliki adalah 4N+11. Sekarang kita hitung

variabel yang dicari (G(A), Q, r(A) diketahui)

( )A Nρ ⇒ , ( ) ( )3 1A

j N⇒ − , 3u ⇒ , 6σ ⇒ , , , 1e ⇒ 1T ⇒ 3q ⇒

Page 57: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 496

Jadi total variabel yang dicari adalah 4N+11. Karena jumlah persamaan sama dengan

jumlah variabel yang dicari maka secara prinsip sistem persamaan tersebut dapat

diselesaikan.

Catatan: Inilah alasannya mengapa kita tidak menganggap u(A) atau v(A) sebagai

dependent variable. Apabila u(A) atau v(A) dianggap sebagai dependen variable maka

kita tidak membutuhkan persamaan konstitutif untuk j(A) karena ( ) ( ) ( )

1

N

AAAA

j vρ=

= ∑ .

Namun tanpa persamaan konstitutif untuk j(A) kita kekurangan 3(N-1) persamaan dan

sistem persamaan tersebut tentunya tidak dapat diselesaikan.

18.5 Binary Solution (campuran dua jenis fluida)

Dari sub-bagian 18.4, terlihat jelas bahwa mekanika fluida campuran jauh lebih rumit

dari mekanika fluida yang telah kita pelajari dari mulai Bab 1 sampai dengan Bab 17.

Umumnya permasalahan mekanika fluida multi komponen ini tidak dapat diselesaikan

secara analitis dan hanya dapat diselesaikan dengan bantuan komputer. Tetapi banyak

kasus dimana hanya terdapat fluida yang terbentuk dari dua spesies. Kasus ini dikenal

dengan sebutan binary solution.

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, hasil experiment menunjukkan bahwa efek-efek

Dufour dan Soret sangat kecil dan dapat diabaikan. Selain itu body forces juga sangat

kecil kecuali untuk kasus-kasus tertentu. Apabila hal-hal tersebut dapat diabaikan maka

persamaan konstitutif untuk є dan j(A) untuk binary solution menjadi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2*0( )B ABA B ABA

k T

cj M M D d Dρρ

∈ = − ∇

= ≡ − AC∇

dimana telah diperkenalkan koefisien baru, binary diffusion coefficient, yaitu . 0( )ABD

Dengan persamaan konstitutif ini, hubungan untuk q diberikan oleh persamaan,

Page 58: Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN · Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakukan analisa ... Kinematik boundary condition ... diferensial dengan koefisien yang bukan

Dinamika Fluida Campuran 497

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 22

1 1

12

N

A A A A1

A A AA A

q h v j h j k T h j= =

⎛ ⎞= ∈+ + ≈ ∈+ = − ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑A=∑

dimana pada hubungan terakhir energi kinetik relatif dari spesies telah diabaikan karena

suku ini biasanya memberikan kontribusi yang sangat kecil.

Untuk kasus ini sistem persamaan yang harus diselesaikan adalah,

( )

( )

( )

( ) 0( ) ( ) ( )

( ) 0( ) ( ) ( )

( )

22 0

( )1

0

( ) 1 ( )2

uA AB A A

uB AB B B

u

AB AAA

dC D C r

dtd

C D C rdt

utd

udt

d u e u u k T h D Cdt

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ σ

Qρ σ ρ=

= ∇ ⋅ ∇ +

= ∇ ⋅ ∇ +

∂+ ∇ ⋅ =

= ∇ ⋅

⎛ ⎞⎛ ⎞+ = ∇ ⋅ ⋅ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ρ

dimana ( ) 2pI pI u I Dσ τ λ= − + = − + ∇ ⋅ + µ dan ( ) ( )( ), ,A Be e T ρ ρ= .