bagian arus
TRANSCRIPT
BAHAN AJAR
MATAKULIAH DINAMIKA LAUT
BAGIAN ARUS
Oleh
AMIRUDDIN
LABORATORIUM GEOFISIKA
PROGRAM STUDI GEOFISIKA JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
2006
BAB I
SIRKULASI ARUS YANG DITIMBULKAN ANGIN
Dua faktor penggerak Sirkulasi arus laut :
a. Angin
b. Perbedaan densitas
Pengaruh angin lebih dominan di lapisan 100 m ke atas
Dalam perkembangannya teori sirkulasi arus yang dibangkitkan angin mengalami tahapan-
tahapan sbb :
1. 1898 Nansen secara kualitatif menerangkan mengapa arus yang ditimbulkan angin tidak
bergerak searah dengan angin tetapi membentuk sudut 20o s/d 40o ke arah kanan angin
(di BBU)
2. 1902 Ekman secara kuantitatif menunjukkan bahwa penyimpangan arus terhadap arah
angin adalah disebabkan oleh rotasi bumi
3. 1947 Sverdrup menunjukkan bahwa angin merupakan "driving agent" arus permukaan
di darah ekuator
4. 1948 Stommel menerangkan intesifikasi arus di bagian barat bumi
5. 1950 Munk menghasilkan rumusan analitik yang dapat menerangkan secara kuantitatif
sirkulasi arus laut yang ditimbulkan oleh angin.
6. Tahun-tahun belakang ini berbagai model numerik tekah dikembangkan untuk
mensimulasi arus laut.
1.1. Pernyataan Kualitatif Nansen
Kita akan melihat kenapa arus permukaan tidak bergerak searah engan angin yang
membangkitkannya. Misalkan sebongkah es terapung di atas air dan angin berhembus di
atasnya (lihat gambar).
1
angin
Vo
V0
Z y
y x angin
x
(a) (b)
Gambar 1
Ft = gaya tangensial yang bekerja pada permukaan atas elemen es cenderung menggerakkan elemen es dalam arah angin.
Fc = gaya coriolis yang membelokkan gerakan elemen es ke arah kanan angin (di BBU)
Fb = gaya gesekan di dasar elemen es, bekerja dalam arah yang berlawanan dengan gerak elemen es.
Kombinasi Ft dan Fc akan mengakibatkan gerakan es dipercepat tetapi sejalan dengan itu
gaya gesekan Fb juga akan bertambah besar. Akhirnya tercapai keadaan tunak (steady)
dimana Ft, Fc, dan F berada dalam keadaan setimbang (lihat gambar 1.b) dan es bergerak
dengan kecepatan tetap V dalam arah antara F dan F yaitu ke arah kanan angin di BBU.
1.2. Persamaan Gerak yang Memperhitungkan Gesekan
Persamaan gerak horizontal yang memperhitungkan gesekan dapat dituliskan sebagai
(1)
Fx dan Fy komponen gaya gesekan (persatuan massa) dalam arah x dan y.
2
Elemen es
Untuk keadaan tidak dipercepat akaibatnya
(2)
yaitu :
Coriolis + Gesekan + Tekanan = 0
Kesetimbangan gaya - gaya ini diperlihatkan dalam gambar 2.a
P
Gaya tekanan
F
Gaya friksi (netto) P C
Diagram vektorC kesetimbangan
Gaya Coriolis(a) (b)
Penjumlahan vektor ketiga gaya - gaya tersebut diperlihatkan pada gambar 2.b
Berdua dengan aliran geostropik, akibat bekerjanya gaya gesekan, gaya tekanan dan gaya
Coriolis tidak lagi bertolak belakang.
Bagaimana terjadi gesekan di dalam fluida ?
Didalam fluida, bilamana dua lapisan berada dalam gerak relatif maka gesekan akan
terjadi. Kedua lapisan tersebut bisa saja bergerak dalam arah yang sama atau dalam arah
yang berlawanan.
Untuk gerakan yang arahnya sama satu lapisan harus bergerak lebih cepat dari yang lain.
Dalam kedua keadaan tersebut terdapat "velocity shear" di dalam fluida dan harga gesekan
merupakan fungsi dari velocity shear. Besarnya velocity shear dinyatakan sebagai
3
lihat gambar 3 di bawah ini.
Z0 U0
Z1 U1
Z2 .Uz = 0
Z3 U3
Z4 U4
Z5 U5 =
Z6 U6
Z7 U7
Z8 U8
Z9 U9
Z10 U10
Gambar 3
Hukum gesekan Newton :
(3)
strees gesekan
bekerja pada permukaan antara dua lapisan yagnbergerak dengan kecepatan berbeda.
cenderung memperlambat lapisan yang cepat dan mempercepat lapisan yang lambat.
Fluida yang memenuhi pers. (3) disebut fluida Newton.
= viskositas dinamik (molekuler)
= = veskositas kinematik (molekuler)
Persamaan (3) berlaku untuknaliran "laminer". Di laut, gerakan adalah turbulen dan
viskositas molekuler diganti dengan viskositas Eddy. Strees gesekan Eddy dinyatakan
sebagai
4
SHEAR KECEPATAN( : . ADA FRIKSI)
TIDAK ADA SHEAR ( : . TAK ADA FRIKSI)
Kita akan mencari gaya gesekan persatuan massa. Tinjau suatu elemen fluida seperti
terlihat pada gambar 4
z
U1
U2
U3 profil
U4 kecepatan
y U5
0 x
Gambar 4
Pada gambar 4 dapat dilihat bahwa
dimana = volume elemen fluida
jika maka
adalah gaya yang bekerja pada elemen fluida dalam arah
x.
Gaya persatuan volume = dan
Gaya persatuan massa = (4)
Bila dianggap adalah konstan maka gaya gesekan persatuan massa
5
(5)
Persamaan gerak horizontal dapat ditulis sebagai
(6)
suku seperti akan berperan dalam gerak fluida bila besarnya sebanding dengan
gaya Coriolis, atau
misalkan untuk Az = 10-1 m2/det, f = 10-4 /det maka atau
Gaya gesekan besarnya masih sekitar 10 % gaya Coriolis pada kedalaman 100 m. Jadi di
dalam lapisan setebal 1000 m dari permukaan atau dasar gaya gesekan harus
diperhitungkan.
1.3. Solusi Ekman Terhadap Persamaan Gerak Yang Memperhitungkan Gaya
Gesekan.
Dari pers. (6) dapat kita lihat bahwa ada dua gaya penyebab gerak fluida yaitu distribusi
massa (yaitu densitas) yang menimbulkan gradien tekanan, dan suku gesekan angin.
Karenanya kita dapat menyatakan kecepatan mempunyai dua komponen yang
berhubungan dengan gradien tekanan horizontal dan komponen yang berhubungan dengan
gesejkan vertikal.
(7)
dimana
ug, vg komponen kecepatan geostropik
6
dan
uE, vE komponen kecepatan Ekman
suku diabaikan karena besarnya .
Untuk menyederhanakan masalah, Ekman menganggap air adalah homogen dan tidak ada
slope dipermukaan sehingga suku tekanan akan nol. Sebagai akibatnya vg juga = 0, artinya
ia hanya menyelesaikan persamaan gerak dalam vE saja.
Secara keseluruhan anggapannya adalah :
1. Tidak ada batas lateral.
2. Dalam laut tak berhingga (untuk menghindari gesekan dasar)
3. Az = konstan
4. Angin dengan kecepatan tetap berhembus di atas permukaan air dalam waktu yang
cukup lama.
5. Air adalah homogen dan permukaan laut datar sehingga , karena
yaitu kondisi barotropik jadi tidak ada arus.
6. f adalah konstan yaitu pendekatan dengan bidang f.
Persamaan Ekman menjadi
(8)
atau Coriolis + gesekan = 0
Untuk penyederhanaan, dianggap angin berhembus dalam arah y.
Solusi persamaan Ekman adalah :
7
(9)
+ untuk BBU
- untuk BBS
dimana (10)
Arus permukaan Ekman toyal
= stress angin pada permukaan laut (berbanding lurus dengan kecepatan angin
kuadrat)
DE = (2 Az / f) 1/2 ; kedalaman Ekman atau kedalaman pengaruh gesekan.
Interprestasi Solusi :
1. Dipermukaan, z = 0
u = V0 cos 450 , v = V0 sin 450
artinya arus permukaan membentuk sudut 450 kearah kanan angin (di BBU) atau ke
kiri angin BBS.
2. Di bawah permukaan, kecepatan arus total = V0 e (z/DE) berkurang dengan dalam (z
menjadi lebih negatif) dan arah arus berubah menurut putaran jarum jam di BBU
(berlawawanan putaran jarum jam di BBS).
3. Arah arus berlawanan dengan arus permukaan untuk z = - DE. Kecepatan arus di
kedalaman z = - DE adalah e- kecepatan arus permukaan (e- = 0,04). DE biasanya
dinyatakan sebagai kedalaman efektif dari wind driven current (arus yang ditimbulkan
angin) atau "lapisan Ekman".
Interprestasi solusi Ekman secara ilustratif diperlihatkan pada gambar 5.
y
V0 = Kec. Permukaan angin V0
V0 x
8
Gaya friksi V1
Total V2
V3
V4
DE V5
V6
gaya coriolis V7
V8
V9
V10
V11
v = V0 sin 450
V0 V0
y 450
V1
u = V0 cos 450 V11
x V7 V2
V6
V5 V3
V4
Spiral ekmanGambar 5
Untuk mendapatkan hubungan empiris antara arue permukaan, Vo, kecepatan angin, w,
dan kedalaman, DE, Ekman mengadakan pengamatan.
1. Stress angin = = CD w2 dimanan
= densitas udara
CD = drag coeff 1,4 x 10-3 (besaran yang tidak berdimensi) dan
W = kecepatan angin (m/det).
= 1.3 kg m-3 x 1,4 x 10-3 x w2
= 1,8 x 10-3 w2 Pa.
Subtitusikan kedalam persamaan (10)
9
= 0,79 x 10-5 (11)
2. Observasi lapangan yang dilakukan Ekman menunjukkan bahwa arus permukaan
dankecepatan angin mempunyai hubungan sebagai :
diluar 100 lintang dari ekuator (12)
subtitusi (12) dalam (11) didapat
(13)
Jika diketahui kecepatan angin, w, disuatu lintang kita dapat menghitung V0 dan DE, dan
kecepatan pada tiap kedalaman di bawah permukaan. DE bergantung pada w lihat
persamaan (13); dari persamaan (10) dapat diperlihatkan bahwa Az bertambah dengan
bertambahnya w. Jika kita tahu DE kita dapat menaksir harga Az.
Beberapa harga numerik dari hubungan - hubungan di atas diberikan pada tabel 1.
Tabel 1.
Lintang 100 450 800
V0/w 0,030 0,015 0,013 Az
Kecepatan angin (w) (taksiran)
10 m/det
DE
10050 45 m 0,014 m2/det
20 m/det
DE
200100 90 m 0,055 m2/det
1.4. Transport dan Upwelling - Efek dari batas (boundaries)
Arus Ekman berkurang dengan dalam. Arus yang paling kuat adalah ke arah kanan (kiri)
angi. Kita tentu mengharapkan bahwa transport bersih (net transport) akan ke arah kanan
(kiri) angin. Pada kenyataannya transport bersih adalah tegaka lurus ke arah kanan (kiri)
angin. Persamaan gerak horizontal tanpa adanya gradien tekanan diberikan oleh
10
;
yang dapat ditulis sebagai :
, (14)
adalah massa yang mengalir pedetik dalam arah y melaluisuatu bidang vertikal
dengan kedalaman dz dan lebar 1 m dalam arah x.
= massa total perdetik yang mengalir dalam arah y dari kedalman z ke permukaan
melaui bidang vertikal dengan lebar 1 m.
= massa total yang mengalir dalam arah x persatuan lebar dari kadalaman z ke
permukaan.
Jika kita pilih z cukup dalam, maka integral akan mencakup seluruh arus yang ditimbulkan
angin. Kita pilih z = - 2 DE dimana kecepatan menjadi exp (-2) = 0,002 kali kecepatan
dipermukaan yang secara pendekatan 0. Kita gunakan simbol MxE dan MyE untuk
menyatakan tramsport Ekman dalam arah x dan y.
(15)
dan = 0 karena kecepatan di bawah kedalaman DE pada hakekatnya
adalah nol jadi tidak akan ada lagi shear, yang berarti tidak ada gesekan.
Akhirnya diperoleh
dan (16)
Variasi adalah kecil jadi dapat dikeluarkan dari integral dalam persamaan (15). Harga
yang dipergunakan adalah harga rata - rata dari kedalaman 2 DE ke permukaan.
11
Trasport volume (persatuan lebar)
sering digunakan sebagai alternatif dari transport massa.
Maka MyE = QyE dan MxE = QxE dan bentuk alternatif pers. (16) adalah :
dan
(16b)
Dalam contoh, angin berhembus dalam arah y, jadi x = 0. Oleh karena itu
MyE = 0, tetapi MxE ) karena
y 0. Hal ini menunjukkan bahwa transport bersih adalah lurus ke kanan (ke kiri) angin.
Hasil ini tetap benar untuk arah angin yang manapun.
1.5. Upwelling Dan Welling Yang Jauh Dari Daratan
Di laut sebenarnya, angin tidaklah uniform seperti anggapan yang dibuat Ekman tetapi
berubah dengan posisi. Sebagai contoh, jika arah angin adalah tetap tetapi kecepatannya
bervariasi dalam arah tegak arah angin, maka transport Ekman yang tegak lurus arah angin
akan bervariasi dan air di lapisan atas akan dipaksa mengarah atau menjauhi satu dengan
yang lain, artinya konvergensi atau divergensi akan terbentuk. Kontinuitas fluida
menghendaki konvergensi diikuti oleh gerakan ke bawah (down welling) sedangkan
divergensi diikuti oleh gerakan ke atas (upwelling). Sebagai contoh, di Atlantik Utara arah
angin umumnya ke arah timur di lintang tinngi dan ke arah barat di lintang rendah. Atau di
lintang tinggi angin adalah westerlies sedangkan di lintang rendah easterlies.
Daerah konvergen dan divergen yang timbul oleh transport Ekman akan mengakibatkan
terbentuknya gradien tekanan yang akan menghasilkan arus geostropik. Arus yang oleh
gradien tekanan ini (geostropik) mencapai kedalaman 1000 s/d 2000 m. Sedangkan arus
yang timbul oleh angin (arus Ekman) hanya mencapai kedalaman 100 s/d 200m.
12
Angin yang berhembus ke barat sepanjang daerah ekuator (gambar 6.b), meskipun tanpa
shear horizontal akan menyebabkan divergensi dan upwelling di ekuator (lihat gambar 6.d)
karena transport Ekman akan ke arah kanan da utara ekuator dan ke arah kiri di selatan
ekuator, yaitu kedua - duanya menjauhi ekuator.
1.6 Gesekan Dasar dan Efek Dangkal
Jika arus mengalir di atas dasar laut, gesekan akan menimbulkan pola arus spiral Ekman di
atas dasar tetapi arah rotasinya berlawanan dengan arah rotasi spiral Ekman di lapisan
dekat permukaan.
Dengan menganggap Az konstan, pers. Ekman (8) tetap berlaku tetapi syarat batasnya
berbeda, kecepatan tangensial harus nol di dasar ( u = v = 0 ) dan harus konstan di atas
lapisan Ekman, diatas Ekman layer dianggap kecepatan arus geotropik tidak bergantung z.
Jika kita ambil u = ug, V = 0 di daerah geostropik (meskipun rotasi relatif terhadap arus
geostropik tidak tergantung pada arah arus geostropik). Solusi Ekman di lapisan dekat
dasar laut (di BBU) adalah :
(17)
dimanan z = 0 diambil di dasar laut (yang dianggap datar)
Pers. (17) memenuhi pers. (8).
Di z = 0, uE = vE = 0 seperti yang dikehendaki. Untuk z DE / , e-z/DE 0 dan uE = ug, vE
= 0 (dikehendaki). Dekat, tidak pada, permukaan dasar z/DE1 dan dengan menguraikan
e-z/DE, sin (/DE), dan cos (z/DE) samapi ke orde pertama saja (mengabaikan orde yang
lebih tinngi) diperoleh
13
jadi dekat dasar u dan v berubah secara linier dengan dalam (z) dan di dekat dasar arus
membentuk sudut 450 ke kiri arus geostropik (di BBU) dan ke kanan di BBS. Kecepatan
arus adalah no; di dasar.
Kenapa arus dekat dasar ke arah kiri ? (di BBU).
Sebelum efek gesekan dasar dirasakan oleh arus geostropik gaya Coriolis diimbangi oleh
gaya gradien tekanan. Coriolis arahnya ke kanan arus sedangkan gradien tekanan ke kiri
arus. Kita dapat menganggap di dekat dasar kondisinya adalah barotropik dimana gradien
tekanan tidak tergantung pada kedalaman. Arus yang di dekat dasar akan mengalami
pengaruh gesekan dasar dan akibatnya arus akan diperlambat. Gaya coriolis akan
berkurang dengan diperlambatnya arus (coriolis berbanding lurus dengan diperlambatnya
arus). Dengan berkurangnya coriolis, gaya gradien tekanan tidak sepenuhnya diimbangi.
Akibatnya arus akan dibelokkan ke arah kiri hingga jumlah vektor gaya - gaya coriolis dan
gesekan dapat mengimbangi gaya gradien tekanan.
Solusi yang sama (dengan anggapan yang sama) berlaku untuk angin yagn berhembus di
atas laut atau darat. Karena di BBU angin permukaan adalah 450 ke kiri angin geostropik
(angin di atas Ekman layer), arus permukaan adalah 450 ke kanan angin permukaan, maka
arus permukaan arahnya akan sama dengan arah angin geostropik. Di BBS hasil yang sama
juga akan diperoleh. Arah penyimpangan angin permukaan biasanya kurang dari 450, yang
umum diamati di atas laut adalah 100 - 200. Pada ketinggian 10 m kecepatan angin
permukaan adalah 60 - 70 % kecepatan angin geostropik. Ketebalan lapisan Ekman
(Ekman Layer) di atmosfir 10 kali lapisan Ekman di laut. Viskositas kinematik Eddy (Az)
100 kali viskositas Eddy di lapisan Ekman untuk laut.
Situasi yang lebih kompleks : kombinasi arus geostropik dan arus Ekman yang bertumpang
tindih di permukaan (dan dengan arus Ekman di lapisan dasar jika air adalah dangkal dan
pengaruh geostropik sampai ke dasar). Keadaan di atas akan lebih kompleks lagi bila
bertumpang tindih dengan arus pasut yang mungkin saja berotasi. Akan sangat sukar sekali
untuk menganalis arus yang terdiri dari tiga komponen : geostropik, arus Ekman, dan
pasut, terutama sekali bila ketiga - tiganya berubah dengan waktu.
14
Jika air adalah dangkal dan kedalaman kurang dari DE atau sebanding dengan DE maka
arus Ekman permukaan dan arus Ekman dasar akan saling menutup atau bahkan overlap.
Di perairan dangkal kedua Spiral Ekman akan cenderung saling
menghapus/menghilangkan sehingga transport total akan mengarah mengikuti angin tidak
lagi tegak lurus angin. Bila kedalaman air berkurang menjadi kira - kira 1/10 DE maka
transport pada hakekatnya mengikuti arah angin. Disini efek gaya coriolis dihilangkan oleh
gesekan.
1.7 Keterbatasan Teori Ekman
Teori Ekman cukup bagus, tetapi kita tidak menjumpainya di laut. Namun kita dapat
mengamati di laboratorium. Kenapa Spiral Ekman tidak kita jumpai di laut ?. Alasannya
adalah : Ekman membuat anggapan - anggapan yang kurang realistis dalam penurunan
teorinya.
Komentar tentang anggapan - anggapannya :
1. tidak ada batas - tidak realistik
tetapi anggapan yang tidak terlalu jelek untuk daerah yang jauh dari pantai.
2. Dalam laut yang tak berhingga - tidak benar
Tetapi hanya memberikan kesalahan yang klecil di laut terbuka. Harga DE : 100 - 200
m yang relatif lebih kecil dibanding kedalaman rata - rata laut 4000 m
3. Az adalah konstan - mungkin tidak benar
Tetapi sangat sedikit sekali pengetahuan orang tentang Az dewasa ini.
4. Solusi steady state dan angin tetap - mungkin merupakan sumber sebenarnya dari
kesalahan karena baik angin maupun laut tidaklah Steady (kecuali sekitar daerah angin
paasut)
5. Ada sumber - sumber lain dari gerakan fluida di laut yaitu thermohaline, pasut,
gelombang permukaan dan gelombang dalam (internal wave). Sukar untuk
memisahkan komponen arus Ekman dari komponenn arus - arus yang ditimbulkan
15
sumber - sumber lain dari gerak tadi. Untuk memisahkannya diperlukan data arus yang
diukur dalam satuan waktu yang lama.
6. Air homogen - tidak realistik, anggapan yang patut di kritik. Sverdrup telah
mengkoreksi anggapan ini.
7. Asumsi bidang - f - merupakan sumber kesalahan yang kecil untuk daerah yang
terbatas.
BAB II
SOLUSI SVERDRUP UNTUK SIRKULASI ARUS YANG
DITIMBULKAN ANGIN
Persamaan gerak yang mengabaikan percep[atan dan gesekan akibat gradien horizontal
kecepatan adalah :
(6)
yaitu : Tekanan = Coriolis + gesekan
16
Ekman mengabaikan suku gradien tekanan dengan menganggap laut yang homogen ("tidak
realistik") dengan isobar - isobar yang datar yaitu bukan aliran geostropik. Sverdrup tetap
menentukan u dan v sebagai fungsi dari kedalaman z secara detail. Sverdrup hanya
menentukan transport massa Mx dan My diseluruh lapisan yang dipengaruhi angin. Ia
mengintegrasikan persamaan gerak dari permukaan (diambil sebagai z = 0 karena akan
lebih kecil dari pada DE) sampai ke z = - h (dianggap di atas dasar) dimana gerak arus
yang ditimbulkan angin menjadi nol. Gerakan arus itu tidak saja meliputi arus Ekman
tetapi juga arus geostropik yang ditimbulkan oleh divergensi aliran Ekman. Jadi h DE.
Integrasi pers. (6) menghasilkan
(18)
x dan y adalah stress gesekan angin dipermukaan dalam arah x dan y
Ingat : dan kedua - duanya nol karena pada z = - h gerakan arus yang
ditimbulkan angin sama dengan nol.
Untuk menyederhanakan notasi, subkript kita hilangkan dalam pembahasan berikut.
Diferensir persamaan pertama dari (8) terhadap y dan persamaan kedua terhadap x,
kemudian kurangkan.
atau
17
___________________________ -
sama dengan nol karena f tidak berubah dengan lintang ( f f(x) )
, dari persamaan kontinuitas.
Jadi
(19)
Persamaan (19) dan persamaan kontinuitas transport massa
(20)
membentuk pasangan persamaan yang menggambarkan transport massa Mx dan My
Perhatikan kembali persamaan (19)
adalah komponen vertikal
dari curl (atau )
(21)
Persamaan (21) disebut persamaan Sverdrup.
sumbu y adalah arah utara - selatan bila menggunakan notasi bidang
18
Pada beberapa tempat curl z akan hilang (sama dengan nol) dan pada tempat - tempat
tersebut tidak akan ada transport utara - selatan (meskipun di tempat tersebut ada aliran -
aliran yang bila ditambahkan akan saling menghilangkan). Garis sepanjang mana curl z
merupakan batas alami yang memisahkan sirkulasi menjadi "gyres". Mx dan My
merupakan transport total dilapisan yang dipengaruhi angin, didefinisan sebagai
dan
Kita tulis : MX = MXE + Mxg
Dengan MXE = transport Ekman (non - geostropik), Mxg = transport geostropik
Hal yang sama berlaku untuk My
My = MyE + Myg
Pers. (18) menjadi
(22)
hal yang sama berlaku untuk Mx
2.1. Besar (magnitude) suku - suku persamaan Sverdrup
19
Untuk menaksir magnitude suku - suku persamaan Sverdrup kita tinjau daerah di Atlantik
Utara pada lintang 350 N dengan kecepatan angin 7 - 8 m/detik (sekitar 15 knots) yang
berhembus dari barat.
(atau Pa) dan
menggunakan persamaan (22) dan harga - harga di atas diperoleh
tanda ( - ) menunjukkan aliran ke arah selatan.
Menggunakan pers. (21)
kita lihat bahwa Myg = -4 x 103 kg m-1s-1 yang ditimbulkan oleh variasi utar - selatan dari
angin dan konsekuensi dari konvergensi MyE, Myg jauh lebih besar dari MyE. Harga My di
atas hanya untuk lebar laut = 1 m, jadi untuk lebar laut 5000 km = 5 x 10 6 m, aliran ke
selatan akan menjadi
25 x 109 kg s-1 25 x 106 m3 s-1
transport massa transport volume
atau 25 Sverdrup
Dalam oseanografi, biasanya digunakan = kg m3 bila ingin merubah dari transport massa
menjadi transport volume karena kesalahannya hanya 3 % relatif terhadap penggunaan
20
densitas yang sebenarnya. Kesalahan ini dapat diabaikan bila dibandingkan dengan
ketidakpastian dalam menaksir transport.
2.2. Aplikasai Persamaan Sverdrup
Sverdrup menerapkan persamaan (19) & (20) pada daerah angin pasat di lintang rendah
dimana y dan dapat dianggap tak berarti (jauh lebih kecil dari suku - suku yang lain),
dan variasi x dengan X dirata-ratakan.
F = 2 sin ; dy = R d dimana
R = jari jari bumi
dari pers. (19) :
, = rata - rata dari x
atau
menggunakan pers. (20) :
21
integrasi dari x = 0 (pantai) dimana Mx disana sama dengan nol.
(23)
dan
disini x adalah jarak dari pantai yang membujur dari utara - selatan ke suatu titik P di
tengah laut yang terletak di sebelah barat pantai (lihat gambar 6)
Nilai x disini adalah negatif. Tanda bar ( - ) di atas suku stress angin menunjukkan
harga rata - rata yang diambil dalam jarak x.
Harga Mx dan My adalah harga di titik P.
Bila kita bandingkan solusi Ekman dan solusi Sverdrup kita lihat bahwa solusi Sverdrup
tidak memberikan perubahan kecepatan arus terhadap kedalaman seperti yang secara detail
22
Gamabr 6
diberikan oleh Ekman. Tetapi Sverdrup teloah memasukan satu batas lateral yang
merupakan suatu langkah maju menuju suatu laut yang realistik (tidak seperti Ekman yang
meninjau suatu laut yang tapa batas horizontal.
Kelebihan lain dari solusi Sverdrup adalah laut yang ditinjau Sverdrup tidak lagi homogen
jadi lebih mewakili laut sebenarnya.
Perhatikan kembali pers. (23)
Harga Mx ditentukan oleh dua suku :
dan
Di daerah angin pasat dan di daerah ekuator ternyata dari kedua suku tersebut, yang
lebih penting. Pada gambar 7 diperlihatkan karakter komponen x dari angin rata - rata di
Pasifik Timur (garis penuh) dan karakter dari (garis putus -
putus).
23
Gambar 7
Perkataan "karakter" disini dimaksudkan untuk menyatakan gambaran skematis. Variasi
angin terhadap lintang yang sebenarnya tidaklah teratur seperti yang terlihat pada gambar.
9.
Dapat dilihat bahwa :
a. Di utara lintang 150 N dan di selatan 20 N harga adalah positif dan x adalah
negatif, jadi Mx adalah nrgatif yaitu arus bergerak ke arah barat (NEC & SEC)
b. Antara 150 N dan 20 N (dol of drum), harga adalah negatif dan x adalah negatif,
jadi Mx positif, yaitu arus bergerak ke arah timur (NECC).
Secara kualitatif gambar di atas memperlihatkan bagaimana solusi Sverdrup menerangkan
adanya (eksistensi) sistem arus di equator yang terdiri dari dua arus yang mengalir ke barat
(NEC & SEC) dan arus yang mengalir ke timur (NECC) di antar NEC dan SEC.
Sistem arus ini tidak simetris terhadap ekuator tetapi agak bergeser sedikit ke utara sesuai
dengan sistem angin pasat yang tidak simetris terhadap ekuator Pasifik. Distribusi arus di
Atlantik sama seperti di Pasifik tetapi di lautan Hindia, pola angin berubah menurut musim
dan pola arus berubah mengikuti angin. Pada waktu Monsoon timur laut (November s/d
Maret) pola angin sama seperti pola angin di Pasifik dan Atlantik tetapi terletak sedikit ke
selatan. NEC mangalir di atas ekuator sedangkan NECC dan SEC terletak di bawah
ekuator.
Pada waktu Monsoon barat daya (Mei s/d September) angin pasat tenggara melintasi
ekuator dan diutara ekuator angin bertiup ke arah timur laut (disebut Monsoon barat daya).
Akibatnya hanya ada dua sistem arus yaitu arus yang digerakkan oleh monsoon barat daya
ke arah timur (mengalir ai atas ekuator) dan Southern Equatorial Current di selatan ekuator
mengalir ke arah barat.
24
Sverdrup secara kuantitatif menguji solusinya dengan cara :
a. Menghitung x dari angin rata - rata dan kemudian menghitung curl dst. Kemudian
menghitung Mx dan My pada posisi - posisi tertentu yang didefinisikan dengan x
(jarak dari batas sebelah timur)
b. Menetukan Mxg dan Myg secara independent dengan metoda geostropik berdasarkan
data oseanografi lapangan dan kemudian menambahkan transport Ekman untuk
mendapatkan transport total, dan
c. Membandingkan hasil kedua perhitungan di atas.
Hasil dari perhitungan ini setelah direvisi oleh Reid (1948) diperlihatkan pada gambar 10.
Harga Mx diperlihatkan pada gambar yang kiri dan harga My pada gambar yang kanan.
Karena harga My adalah kecil, kesalahan relatif dalam menentukan My dari medan
densitas adalah besar. Hal ini sedikitnya mungkin merupakan alasan mengapa ada
ketidaksesuaian harga My yang dihitung dengan kedua metoda di atas tidak seperti halnya
dengan Mx. Ingat bahwa , yang berbanding lurus dengan Mx, mempunyai struktur
yang rumit bila angin sebenarnya yang digunakan ( tidak sederhana seperti yang terlihat
pada gambar 9 ).
Perhatikan bahwa Mx 10 My yang merupakan hal yang khas terutama sekalai untuk
daerah ekuator. Alasannya terletak pada perbedaan antara skala panjang arah timur - barat
dan utara - selatan dari sistem gyre. Skala panjang dalam arah timur - barat (Lx) ditentukan
oleh batas - batas benua, dan skala panjang dalam arah utara - selatan (Ly) ditentukan dari
garis - garis curlz . Umumnya rasio Lx/Ly adalah 10/1. Karena dari kontinuitas:
maka
kenyataan ini dapat kita lihat dari sudut pandang yang lain. Air yang bergerak ke utara atau
ke selatan di dalam suatu gyre harus bergerak ke timur atau ke barat untuk "menutup" gyre.
25
Jadi transport total utara - selatan sama dengan trasport total timur - barat yaitu MyLx =
MxLy atau
Air mengalir dalam arah yang ditunjukkan oleh tanda panah antara dua garis, transport
total adalah 5 x 106 ton perdetik (atau sekitar 5 sv)
2.3. Keterbatasan - keterbatasan teori Sverdrup
1. Aplikasinya hanya terbatas padda bagian timur yang dari laut,karena x dalam ekspresi
untuk Mx (persamaan (23)) akan membuat Mx bertambah ke arah barat. Mx memang
bertambah besar ke arah barat tetapi tidak sebesar harga yang diperoleh dengan
persamaan (23). Mungkin alasan perbedaan ini adalah dikarenakan gesekan lateral
(antara arus) diabaikan. Gesekan lateral ini akan bertambah dengan bertambah
besarnya arus. Jadi di laut sebenarnya Mx tidak terus menerus betambah ke arah barat
secepat yang ditunjukkan oleh persmaan Sverdrup. Suku -suku stress x dan jelas
bervariasi dalam x dan ini tidak dapat dimasukkan dalam membangun teori
Sverdrup.
2. Persamaan diferensial hanya mengijinkan satu syarat batas yang harus dipenuhi, tidak
ada aliran mengalir melalui pantai. Untuk dapat menerapkan lebih banyak syarat batas
(misalnya syarat no slip di batas bagian timur dan mungkin syarat - syarat di bagian
barat), diperlukan persamaan yang lebih kompleks.
3. Solusi persamaan Sverdrup hanya memberikan transport massa yang diintegrasikan
terhadap dalam tetapi tidak memberikan detail distribusi kecepatan terhadap
kedalaman.
26
BAB III
KONTRIBUSI STOMMEL : INTENSIFIKASI ARUS
DI BAGIAN BARAT BUMI
Kalau kita perhatikan peta sirkulasi arus laut yang ditimbulkan angin maka akan terlihat
adanya intensifikasi arus di barat bumi. Sebagai contoh : Gulf Stream, Kuroshio dan arus
Agulhas. Alasan fisis dari fakta ini belum diketahui hingga Stommel mengemukakan
teorinya.
Dalam menerangkan intensifikasi arus ini, Stommel beranjak dari persamaan Sverdrup
dengan menambahkan faktor gesekan.
Sebelum kita bicarakan teori Stommel secara detail, terlebih dahulu ada baiknya kita
tunjau masalah intensifikasi arus ini secara kualitatif dilihat dari sudut pandang vortisitas.
Misalkan kita mempunyai profil angin seperti yang terlihat pada gambar 8.
27
Gambar 8 Profil angin dan vortisitas yang ditimbulkannya
Distribusi angin ini akan mengakibatkan laut berotasi mengikuti arah putaran jarum jam,
karenanya menimbulkan vortisitas yang negatif atau vortisitas antisiklonik.
Di pihak lain, gerak utara - selatan di dalam sikulasi arus mengakibatkan perubahan
vortisitas relatif karena perubahan komponen vertikal vortisitas planeter. Perubahan
vortisitas relatif akibat perubahan komponen vertikal vortisitas planeter adalah sedemikian
sehingga vortisitas absolut adalah konstan.
Untuk laut yang dalamnya konstan hubungan antara vortisitas relatif dan komponen
vertikal vortisitas planeter diberikan oleh :
f + z = konstan
f = parameter Coriolis = komponen vertikal vortisitas planeter
z = vortisitas relatif atau vortisitas lokal yang di amati
konstanta = vortisitas absolut
Parsel air yang bergerak dari selatan ke utara ( f bertambah ) cenderung meimbulkan
vortisitas relatif yang negatif. Sebaliknya parsel air yang bergerak dari utara ke selatan ( f
berkurang ) akan menimbulkan vortisitas relatif yang positif.
28
Dalam model sirkulasi laut, secara rata - rata kita perlukan jumlah air yang mengalir dari
selatan ke utara sama dengan jumlah air yng mengalir dari utara ke selatan (hukum
kontinuitas). Vortisitas bersih (net vorticity) yang ditambahkan oleh angin tidak dapat
diimbangi oleh transport meridional besih dari fluida. Kita perlukan mekanisme lain yang
akan bertindak sebagai sink (sumur) bagi vortisitas yang ditambahkan oleh angin. Akan
kita lihat apakah gesekan lateral dapat mengatasi masalah ini.
Jika gesekan lateral bekerja pada batas - batas utar - selatan, maka vortisitas yang
berlawanan (vortisitas positif) dengan sirkulasi akan terbentuk. Jadi kita telah mempunyai
sink yang kita perlukan.
Kita gunakan istilah - istilah :
- vortisitas stress angin
- vortisitas gesekan f
- vortisitas planeter p
dan kita anggap aliran adalah tunak yang berarti vortisitas di setiap titik adalah konstan.
Sekarang kita akan menaksir besar (magnitude) ketiga vortisitas yang disebut di atas.
Distribusi vortisitas stressangin dipandang tetap dan diberi harga relatif -1. Jika sirkulasi
arus laut adalah simetris, tendensi vortisitas gesekan di batas barat atau timur
magnitudenya satu orde lebih kecil, katakanlah +1,1. Tendensi vortisitas planeter mungkin
ordenya -1 di bagian bagian barat dan +1 dibagian timur (secara pendekatan), tetapi di
bagian barat tidak terdapat keseimbangan. Untuk laut yang seperti ini (edaran arus yang
simetris) kondisi yang tunak tidaklah mungkin.
TABEL 1
Tendensi vortisitas Aliran arus ke utara di
bagian barat
Aliran arus ke selatan di
bagian timur
Stress angin - 1, 0 - 1, 0
Gesekan + 0, 1 + 0, 1
29
Planeter - 1, 0 + 1, 0.
Total - 1, 9 + 0, 1
Sebaliknya, jika sistem arus sangat tidak simetris, dengan streamlines yang rapat di bagian
bagian barat, suatu keadaan yang hampir setimbang antara vortisitas stress angin dan
vortisitas planeter di bagian timur tidaklah banyak berubah dan vortisitas gesekan tetap
kecil.
Tetapi di bagian barat, karena streamlines yang rapat, kecepatan dan shear dari aliran
bertambah dan vortisitas gesekan dan vortisitas planeter karenanya bertambah dengan
cepat, ordenya lebih besar dari orde magnitude vortisitas stress angin, katakanlah + 10 dan
- 9. Keseimbangan antara vortisitas di bagian barat dan timur dari laut diperlihatkan dalam
tabel 2 Keseimbangan antara vortisitas ini menghasilkan kondisi yang tunak.
TABEL 2
Tendensi vortisitas Aliran arus ke utara di
bagian barat
Aliran arus ke selatan di
bagian timur
Stress angin - 1, 0 - 1, 0
Gesekan + 10, 0 + 0, 1
Planeter - 9, 0 + 0, 9.
Total 0, 0 0, 0
3.1. Model Sirkulasi Arus Stommel
Tinjau suatu laut segi empat dengan titik awal koordinat kartesian terletak di sudut barat
daya. Sumbu x ke arah timur dan sumbu y ke arah utara, sumbu z positif ke arah atas.
30
Batas - batas lateral adalah x = , y = 0, dan y = b. Laut dipandang homogen dan bila
dalam keadaan diam kedalaman (yang konstan) adalah D. Bila ada arus kedalaman akan
berbeda dengan D, dengan faktor tambahan h = (x, y). Jadi kedalaman total adalah (D +
h).
Angin yang berhembus di atas laut dianggap hanya dalam arah zonal (barat - timur) seperti
terlihat pada gambar 12.
Bentuk fungsional sederhana dari stress angin diambil sebagai
, (22)
untuk menjaga agar gerakan arus tidak dipercepat, maka diperlukan suku gesekan.
Misalkan Ex dan Ey adalah komponen gesekan lateral..
Persamaan gerak horisontal adalah :
(23)
(24)
dimana Kv = Av/, koefisien Austausch (kinematik).
Komponen persamaan gerak dalam arah z adalah persamaan hidrostatik.
(25)
Karena air adalah homogen maka persamaan hidrostatik dapat diintegrasikan terhadap z,
(26)
Persamaan (26) dideferensir terhadap x dan y,
31
, (27)
Substitusikan dalam persamaan (23) dan (24) dan diintegrasikan secara vertikal dari - D
ke h :
(28)
(29)
Untuk menyederhanakan analitis, Stommel mengambil u dan v tidak tergantung pada
kedalaman.
Dengan menulis
integrasikan persamaan (28) dan (29) menghasilkan
(30)
(31)
Untuk gesekan lateral Ex dan Ey, digunakan bentuk yang sederhana yaitu : berbanding
lurus dengan kecepatan fluida.
(D + h) Ex - u (D + h) Ey - v
atau (D + h) Ex - Ru (32)
(D + h) Ey = - Rv
R : adalah konstanta yang merupakan koefisien gesekan dengan satuan (panjang/waktu).
Harga R ditentukan kemudian dengan cara tunning agar didapatkan harga kecepatan
layak.
32
Untuk mendapatkan satu persamaan yang menyatakan keseimbangan vortisitas, persamaan
(22) dan (32) disubstitusikan ke dalam persamaan (30) dan (31) dan kemudian persamaan
pertama dideferensir terhadap y dan persamaan kedua terhadap x, hasilnya
(33)
dan
(34)
kurangkan persamaan (33) dan (34) diperoleh :
(35)
Kita harus menambahkan persamaan kontinuitas :
(36)
atau dapat ditulis sebagai :
(37)
Untuk yang konstan serta u dan v yang tidak bergantung pada z,
persamaan (37) di atas menghasilkan,
(38)
Jadi persamaan (35) menjadi :
(39)
Suku ruas kiri dan dan suku pertama di ruas kanan dari persamaan (39) merupakan suku -
suku persamaan zonal dari Sverdrup :
33
Suku - suku ini menyatakan keseimbangan antara transport meridional dari vortisitas dan
curl dari stress angin. Suku ketiga merupakan suku tambahan yang menyatakan tambahan
vortisitas yang disebabkan oleh gesekan lateral.
Di laut sebenarnya, h << D (h ordenya cm, D ordenya m). Jadi sebagai pendekatan
pertama kita dapat menuliskan kembali persamaan (39) sebagai
(40)
Persamaan (38) juga ditulis kebali sebagai
(41)
Karena aliran adalah dua dimensi dan inkompreaibel maka kita dapat mengintrodusir
stream function , dimana
; (42)
sebagai penyingkatan didefinisikan
; (43)
Persamaan (40) dapat ditulis kembali sebagai
(44)
Syarat batas yang harus dipenuhi untuk mendapatkan solusi persamaan ini adalah : tidak
ada aliran melalui batas - batas laut yaitu (lihat gambar 14),
atau bila dinyatakan dalam
(45)
Secara fisis syarat ini menyatakan bahwa batas "vertikal" laut adalah Stream line.
Dalam oseanografi, variasi f dengan lintang disebut efek beta dan sistem koordinat bidang
singgung dimana parameter coriolis dianggap konstan kecuali diturunkan terhadap
meridional (arah y) disebut bidang beta ( ).
Jika f merupakan fungsi linier terhadap y, ,
34
disini R0 = jari - jari bumi.
Jadi
konstan
dan persamaan (44) adalah persamaan deferensial parsial dengan koefisien yang konstan.
Solusi umum persamaan (44) adalah :
adalah solusi dari persamaan homogen
adalah solusi dari persamaan non homogen
Jika kita anggap bahwa :
dan diintegrasikan dua kali, akan diperoleh
(46)
Persamaan homogen adalah
(47)
memenuhi syarat batas (45),2
dengan menggunakan dari persamaan (46) diperoleh
(48)
Dengan cara yang sama diperoleh
(49)
dan
35
(50)
Untuk mencari solusi persamaan (47) kita gunakan teknik pemisahan variabel, misalkan
dimana
x(x) hanya fungsi x saja
y(y) hanya fungsi y saja
Substitusi dalam persamaan (47) diperoleh :
Pisahkan x da y,
dimana n adalah suatu konstanta,
atau (51)
dan (52)
Persamaan karakteristik (51) adalah
(53a)
(53b)
Jadi
(54)
dimana C1 dan C2 adalah konstanta.
Solusi persamaan (52) adalah
(55)
C3 dan C4 juga konstanta.
Sekarang kita gunakan syarat - syarat batas. Dari kita lihat C4 = 0 dan dari
didapat . Kemudian untuk ,
36
(56a)
kita dapat mengambil C1 + C2 = 1
bila kita nyatakan
Dari ,
atau
(56b)
dari persamaan (56a) dan (56b) didapat :
(57a)
dan
(57b)
Solusi umum dari persamaan (3.35) adalah
(58)
k1 dan k2 diberikan oleh persamaan (53).
Garis - garis = konstan adalah stream line dari aliran horisontal.
Komponen -komponen kecepatan horisontal u dan v dapat diperoleh dari (42),
;
(59)
(60)
37
Untuk memvisualisasikan arti persamaan (58) dan untuk memperlihatka peranan yang
dimainkan oleh parameter - parameter yang berbeda, Stommel menghitung berbagai
contoh.
1. f dianggap sama dengan nol, kasus laut yang tidak berortasi
2. f dianggap konstan, kasus laut yang berotasi secara uniform
3. f dianggap fungsi linier dari lintang f y
Kasus ketiga ini yang paling mendekati laut yang sebenarnya.
Dimensi dari model laut Stommel :
= 109 cm = 104 km, b = 2 x 3 = 2 x 10 km = 6300 km
D = 2 x 10 cm = 200 m
Untuk menseleksi D agar kecil, Stommel hanya meninjau lapisan permukaan yang
langsung dipengaruhi oleh angin. Stress angin maksimum, F, diambil = 1 dyne/cm2. R =
koefisian - gesekan, diambil = 0,02.
1. Kasus Laut yang Tidak Berotasi
Untuk laut yang tidak berotasi, konstanta C1 dan C2 dari persamaan (43), (53) dan (57)
secara pendekatan (menurut Stommel) dengan kesalahan 1 % :
Dari persamaan (58), persamaan untuk stream line adalah
Plot streamline dari persamaan ini ditunjukkan pada gambar 9. Kita lihat bahwa
streamline adalah simetris terhadap garis utara - selatan dan barat - timur.
38
Gambar 9 Garis arus - garis arus untuk laut yang tak berotasi atau berotasi
secara seragam
2. Kasus Laut Yang Berotasi secara Uniform
Dengan mengambil f = konstan tidak merubah C1 dan C2. Streamlinenya sama
dengan yang diperlihatkan pada gambar 15.
3. Kasus Parameter Coriolis yang Merupakan Fungsi Linier dari Lintang
Di laut sebenarnya, variasi f hampir linier di lintang rendah dan = 1013 cm-1/det.
Dengan menggunakan harga ini bersama dengan parameter - parameter lain yang telah
dispesifikasikan menghasilkan streamline yang tidak simetri antara bagian barat
dan timur (lihat gambar 10).
Gambar 10 Garis arus - garis arus untuk laut yang berotasi, parameter Coriolis
merupakan fungsi linier dari lintang
39
Kita lihat streamline menumpuk dan menyempit di bagian barat sementara sirkulasi di
bagian tengah dan bagian timur tetap lebar. Hasil ini menunjukkan kesamaan dengan
intensifikasi arus di bagian barat dari laut yang sebenarnya. Penyebabnya adalah variasi f
dengan lintang.
Pembahasan di atas adalah untuk BBU.
Untuk BBS : f diambil negatif, tidak berubah, tetap positif.
Jika stress angin masih diberikan oleh
b < 0 dan y hanya berganti tanda.
Gambar 15 dan 16 dapat dipakaikan untuk daerah di selatan ekuator, karena dari
persamaan (59) dan (60) jelas bahwa :
u (x,y) = u (x, -y) dan
v (x,y) = - v (x,-y)
menumpuk dan menyempitnya streamlines di bagian barat dalam kasus f yang
merupakan fungsi linier dari lintang terdapat baik di BBU maupun di BBS.
40
BAB IV
TEORI MUNK TENTANG SIRKULASI LAUT YANG DISEBABKAN
OLEH PENGARUH ANGIN
Dalam model Stommel untuk intensifikasi arus di laut bagian barat, laut dianggap
homogen. Anggapan ini menghasilkan arus horisontal yang meluas sampai ke dasar. Hasil
ini bertentangan dengan hasil pengamatan yang memperlihatkan transport massa dalam
jumlah besar terjadi di lapisan atas. Anggapan ini juga menimbulkan komplikasi
matematik yang mamaksa Stommel mengambil jalan untuk mengatasi hal ini dengan
mengambil gaya gesekan yang agak sembarang.
Untuk menghindari kesulitan - kesulitan ini, Munk tetap mempertahankan transport massa
Sverdrup sebagai dependent variable. Sekali lagi hal ini memungkinkan untuk menyelidiki
kasus yang lebih umum dari laut yang baroklinik (tidak homogen) tanpa keharusan untuk
menspesifikasikan distribusi vertikal dari densitas dan kecepatan.
Seperti model Stommel, laut dalam model mempunyai batas - batas berbentuk segi empat
dan bila tidak ada arus permukaan laut adalah datar. Sumbu x ke arah timur, sumbu y ke
arah utara, dan sumbu z positif ke atas. Bidang z = 0 terletak pada muka rata - rata,
permukaan sebenarnya adalah z = h(x,y).
Persamaan gerak horisontal untuk kondisi tunak dan mengabaikan suku non linier adalah :
41
(1)
(2)
Persamaan - persamaan ini mempunyai suku - suku yang sama dengan suku persamaan
Stommel : gaya Coriolis, gradien tekanan, gesekan lateral dan gesekan vertikal.
Kita ingin mengintegrasikan persamaan (1) dan (2) secara vertikal dari suatu kedalaman z
= - D dimana gradien tekanan horisontal dan gerakan sama dengan nol (seperti model
Sverdrup) ke permukaan z = h(x,y).
Dengan mendefinisikan integrasi vertikal tekanan sebagai
(3)
Integral di gradien tekanan persamaan (1) dan (2) adalah
dan
Dua suku terakhir adalah nol karena
dan p(z=h) = 0
menggunakan (3) didapat
(4)
Integrasi suku - suku Coriolis dari persamaan (1) dan (2) menghasilkan komponen
transport massa Mx dan My
42
(5)
dan integrasi suku -suku shearing stress vertikal menghasilkan komponen x dan y dari
stress angin permukaan dan ,
(6)
Integrasi suku - suku shearing stress horisontal lebih rumit dan suatu pendekatan yang
sembarang harus dibuat agar hasil analitik dapat dicapai. Misalnya : ambil
AH = KH dan KH, viskositas kinematik eddy sebagai konstanta,
memperhitungkan/mengambil seluruh sukuk - suku ini tidaklah mungkin. Munk
menganggap bahwa integrasi, dengan menggunakan (5), dapat didekati sebagai
Akhirnya integrasi suku -suku shearing stress horisontal dapat didekati sebagai
(7a)
dan
43
(7b)
Menggabungkan persamaan (4), (5), (6) dan (7a,b) integrasi persamaan gerak (1) dan (2)
secara vertikal menghasilkan :
(8)
dan
(9)
Sekarang, karena variasi h dengan x dan y relatif kecil dan kita mencari solusi untuk
keadaan tunak, maka adalah mungkin (seperti dalam model Sverdrup) menggunakan
persamaan kontinuitas yang diintegrasi secara vertikal dalam bentuk
Hal ini menuntut adanya stream function transport massa sedemikian
sehingga
; (10)
Analog dengan stream function transport volume (x,y), yang ada bila aliran adalah dua
dimensi dan non divergen (divergensi horisontal dari kecepatan = 0,
u/x + v/y = 0). Suatu stream function transport massa ada bila aliran adalah dua
dimensi dan divergensi horisontal dari transport massa sama dengan nol (Mx/x +
My/y = 0).
Substitusikan persamaan (10) ke dalam persamaan (8) dan (9) diperoleh
dan
Persamaan pertama diferensir terhadap y dan persamaan kedua terhadap x
44
_______________________________________________ _
(11)
dimana
4 adalah operator biharomik dua dimensi
Seperti sebelumnya, persamaan (11) ini adalah persamaan tendensi vortisitas yang
menyatakan keseimbangan antara tiga torsi : yaitu pertama yang disebabkan oleh gesekan
lateral, kedua yang disebabkan oleh vortisitas planeter dan yang ketiga disebabkan oleh
stress angin. Suku kedua dan ketiga persamaan (11) merupakan persamaan Sverdrup. Suku
- suku inilah yang akan tinggal dalam persamaan (11) bila kita anggap bahwa derivatif
dengan orde tinggi tidak penting.
Ada 8 syarat batas, 4 pada x dan 4 pada y, diperlukan untuk mendapatkan siolusi
persamaan (11) :
1. Tidak ada aliran melalui batas - batas
pada batas (12)
Syarat batas ini menyatakan bahwa batas - batas adalah streamline yang harganya
diambuil sama dengan nol.
2. Tidak ada shear aliran sepanjang batas
/n = 0 pada batas (13)
n adalah normal terhadap batas. Secara fisis persamaan (13) menyatakan tidak ada
transport massa sepanjang batas. Dinyatakan dalammlaut segi empat kita, dari x = 0
ke x = dan dari y = - b ke y = + b, syarat - syarat batas ini menjadi :
(14)
45
dan
(15)
Munk mengamati bahwa memiliki batas - batas laut yang sembarang seperti di atas, akan
membuat tidak mungkin untuk mempelajari laut yang sebenarnya. Tetapi ia menunjukkan
bahwa solusi untuk "bentuk umum" (main feature) dalam sirkulasi laut diharapkan tidak
sensitif terhadap pilihan batas - batas, kaena bentuk umum ini sama disemua laut meskipun
batas - batasnya tidak sama. Untuk amgin zonal (y = 0 ) stress pada permukaan laut dapat
dinyatakan sebagai
(16)
dimana n = 1,2,3, .....
n/b dapat dipandang sebagai bilangan gelombang angin (wind wave number).
Sebagai contoh :
n = 1
dan anggap bahwa a1, b1, c1, semuanya positif.
Plot komponen angin zonal ini akan terdiri dari jumlah ketiga suku di ruas kanan (lihat
gambar 18). Stress angin zonal total adalah jumlah seluruh x.n adalah x.n.
adalah jumlah suku - suku
atau
(17)
adalah komponen z dari curl dari n komponen stess angin zonal.
Karena x.n adalah kombinasi linier dari x.n (persamaan 16) maka tiap x.n dapat
digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial (11) secara independen dan kita dapat
menulis
46
(18)
Solusi umum dari persamaan (18) terdiri dari jumlah solusi khusus dari persamaan non -
homogen.
Solusi khusus didapat dengan mengintegrasikan
hasilnya
atau
(19)
dimanan m = n/b
subscript 1 menunjukkan solusi khusus.
Bentuk persamaan homogen dari persamaan (18) ditulis oleh Munk sebagai
(20)
Subscript 2 menunjukkan solusi persamaan homogen
(21)
yang disebut "bilangan gelombang Coriolis - Gesekan" (Coriolis - friction wave number),
k dianggap konstan.
Perbandingan gaya Coriolis dan gaya gesekan atau scaling variasi gaya Coriolis terhadap
gaya gesekan.
Karena solusi umum persamaan (18) :
(21a)
harus memenuhi syarat batas (14) maka,
47
jadi
karenanya Munk mengambil solusi persamaan homogen sebagai :
(22)
dimana Xn dan Yn harga fungsi dari x dan y saja. Dengan cara ini syarat batas (22)
dapat dipenuhi.
Selanjutnya bila Yn(y) dianggap sebagai :
maka
(23)
Bentuk ini dipilih oleh Munk untuk kemudahan. Kombinasi KHm4-1 adalah tanpa satuan,
jadi Xn(x) akan tanpa satuan, yang berarti X(x) adalah eksponensial dalam x.
Juga anggapan di atas menyederhanakan bentuk solusi umum n, yang dari persamaan
(21a) adalah
(24)
atau dari (19),
(25)
Untuk mendapatkan fungsi Xn(x), persamaan (23) disubstitusikan ke dalam persamaan
(20). Substitusi akan memerlukan derivatif - derivatif :
(26a)
(26b)
(27a)
48
dan
(27b)
yang menghasilkan persamaan diferensial biasa tidak homogen
(28)
Superscript menunjukkan diferensiasi terhadap x. Subscript n dihilangkan untuk
penyederhanaan. Solusi persamaan (28), sekali lagi, terdiri dari jumlah solusi khusus dan
solusi homogen.
X = X1 + X2
dimana
X1 adalah solusi khusus dan
X2 adalah solusi persamaan homogen
Dari persamaan (28) jelas bahwa kita dapat mengambil,
(29)
dan menganggap Xz mempunyai bentuk :
(30)
dimana c dan adalah konstanta - konstanta.
Substitusi ke dalam persamaan (28) akan menghasilkan :
(31)
dimana
Persamaan (31) dapat ditulis dalam bentuk :
(32)
49
Persamaan (31) atau (32) akan mempunyai 4 akar 1, 2, 3, dan 4, dua adalah real dan
dua adalah compleks conjugate. Misalkan akar yang kompleks dapat dinyatakan sebagai :
1 = 1' + i 1"
dan
2 = 2' + i 2"
dengan i = -1, 1' = 2' dan 1" = 2"
Munk mengilustrasikan kelakuan keempat akar 1, 2, 3, dan 4 sebagai fungsi dari
parameter n yang didapatkan dari solusi numerik persamaan (32). Jika panjang
gelombang zonal minimum diambil sebagai :
,maka
dan
k ditaksir dari (21)
Untuk harga n yang kecil solusi asimtotik adalah pendekatan yang cukup baik sehingga :
1 = -1/2 (1 + i3 )
2 = -1/2 (1 - i3 )
3 = n4
3 = 1
Substitusi harga - harga ini ke dalam persamaan (29) dan (30) dan jumlahkan, akan didapat
solusi umum X sebagai :
atau dituli kembali sebagai :
50
(33)
(33)
Untuk menetukkan konstanta - konstanta c1, c2, c3, dan c4, syarat batas pada x seperti
diberikan oleh persamaan (14) diterapkan melalui persamaan (24).
1. Dari dan x (0) = 0, dan
1 = c1 + c2 + c3 + + c4 = 0 (34)
2. Dari (,y) = 0 x () = 0, dan
(35)
3. Dari dan
(36)
4. Dari dan
(37)
Persamaan - persamaan ini : (34) s/d (37) dapat diselesaikan secara simultan dan dengan
menganggap bahwa :
; ; (38)
menghasilkan :
(39)
menggunakan harga - harga ini mengingat anggapan (38), persamaan (33) menjadi :
Barat
(40)
central Timur
51
dimana B 2/3 - 3 /k
Diferensiasi terhadap x menghasilkan :
Barat
(41)
central Timur
Perhatikan bahwa x tidak tergantung pada .......... konsekuensinya persamaan (25) dapat
ditulis sebagai :
(42)
yang dapat langsung dihitung dari pengamatan stress angin zonal tanpa menguraikan stress
angin dalam deret Fourier seperti yang ditunjukkan oleh pewrsamaan (17), asalkan deret
mencapai konvergensi dengan cepat sehingga untuk semua suku - suku yang penting
pendekatan yang ditunjukkan oleh persamaan (38) dipenuhi. Sepanjang setiap lintang
stream fucntion transport massa bervariasi dengan variasi X(x). Dari definisi (10) :
;
X (x) dapat ditafsirkan sebagai berbanding lurus dengan transport ke arah utara dari x =
0 hingga ke suatu titik x = x1.
X' (x) disetiap titik dan kelakuannya sepanjang garis lintang yang konstan akan identik.
Gambar 20 menunjukkan streamlines transport massa (x,y) di laut berbentuk segi empat
yang dihitung dari persamaan (42) untuk angin zonal tahunan rata - rata yang berhembus di
atas Lautan Pasifik. Di sebelah kiri adalah Plot x(y) dan curl x(y) : (d x/dy), di bawah
adalah plot fungsi X(x).
Fungsi - fungsi ini dikombinasikan secara grafik menurut (42) untuk menghasilkan isoline
dari . Transport diantara garis penuh yang berdekatan adalah 107 m3/det.
52
Sistem angin zonal terlihat membagi Sirkulasi menjadi beberapa gyre. Garis pemisah
antara gyre terjadi pada = b dimana dx/dy = 0, yang bersesuaian denganlintang -
lintang angin barat, angin pasat utara dan selatan dan doldrums. Hasilny asesuai dengan
yang ditentukan dari observasi oseanografi. Sumbu - sumbu lintang dari gyres (MxMy = 0)
terjadi di lintang - lintang = a dimana dx/dy mempunyai harga - harga ekstrim.
Laut Sargasso di Atlantik dihubungkan dengan titik belok dari stress angin rata - rata
antara Westerlies dan angin pasat. Titik belok antara doldrums dan angin pasat di BBU dan
di BBS menetukan batas dari Equator Counter Current.
53
Gambar 11 Garis - garis arus transport massa yang diintegrasikan secara vertikal untuk
edaran arus yang dibangkitkan angin zonal di dalam laut segi empat
Sepanjang setiap lintang, berubah hanya dengan X (x) dan kita telah melihat bahwa
fungsi X (x) da X' (x) secara fifis dapat diinterprestasikan sebagai komponen utara -
selatan dari transport massa dan transport massa per satuan panjang. Tinjau section
(bagian) di lintang - lintang melalui pusat Gyres dalam gambar 11. Bila X dan X'
dihitung dari (40) dan (41) didapatkan bahwa persamaan tersebut memberikan hasil yang
dapat dibagi dalam 3 bagian dimana laut (bagian barat, bagian tengah yang lebar dan
bagian timur). Lihat gambar 12.
Gambar 12 Plot variasi timur - barat transport massa ( x) dan kecepatan
transport massa ( x)
4.1. Daerah Arus Barat
Di pinggir bagian barat dari laut, x , persamaan (40) dapat didekati dengan :
54
disini diambil = 6000 km
Dengan menguraikan cosinus di ruas kanan diperoleh :
Karena k 1 kita dapat mendekati :
dan
Akhirnya pendekatan untuk Xw dapat ditulis sebagai :
(43)
Turunkan persamaan (43) terhadap x menghasilkan :
Uraikan cosinus dan sinus di ruas kanan,
atau
(44)
55
Persamaan (43) dan (44) menyatakan persamaan osilasi yang teredam (underdamp).
Persamaan (43) menunjukkan osilasi yang berkurang.
Secara eksponensial di sekitar angka/harga satu, sedangkan persamaan (44) menunjukkan
osilasi yang berkurang secara eksponensial di sekitar harga nol.
Panjang gelombang osilasi diberikan oleh :
(45)
kita lihat bahwa persamaan (43) dan (44) sama dengan suku - suku yang diberi label west
pada persamaan (40) dan (41). Plot Kx versus Xw dan X'w/k terlihat di bagian kiri gambar
21.
Munk juga menetukan lokasi dan harga dari beberapa harga ekstrem Xw dan X'w.
Sebagai contoh, harga ekstrem Xw' diperoleh dengan menurunkan (44) terhadap x dan
hasilnya disamakan dengan nol dan kemudian diselesaikan untuk kx. Hasilnya akan
memberikan poros arus barat dan poros counter current. Bila harga kx yang diperoleh ini
dibagi dengan persamaan (45) dan didapatkan lokasi dari sumbu - sumbu ini sebagai fraksi
dari Lw (western wave lenght). Harga ekstrem dari Xw menyatakan limit (batas) dari arus
- arus, yang didapat dengan men - nolkan persamaan (44) dan kemudian diselesaikan untuk
kx. Hasil perhitungan diberikan pada Tabel 3. Jelas bahwa counter current magnitudenya
kira - kira 17 % magnitude western current (exp - /3 = 0,09/0,55 = 0,17).
Hasil analisa data lapngan Gulfstream yang dilakukan oleh Wust (1936) dan Iselin (1936)
menunjukkan eksistensi Counter current dengan kecepatan maksimum sebesar kira - kira
19 % western current.
Tabel 3 Harga ekstrim dari Xw dan X'w berdasarkan persamaan (43) dan (44)
Lokasi (lihat gambar 12)
Western
Current
axis
Western
Current
limit
Western
Current
axis
Western
Current
limit
X/Lw 1/6 3/6 4/6 1
Xw 0,45 1,17 1,09 0,97
56
Xw'/k 0,55 0,00 - 0,09 0,00
Munk juga memperlihatkan persesuaian yang baik antara Xw dengan fungsi transport
memotong Gulfstream dan Kuroshio yang dihitung dari data oseanografi.
Bentuk kurva gambar 13 harus dibandingkan dengan bentuk kurva fungsi X yang terlihat
di bagian kiri gambar 12. Kita lihat ada kesamaan bentuk antara keduanya.
Gambar 13 Fungsi arus transport massa memotong Gulf Stream Dan Kuroshio,
dihitung dari data oseanografi
4.2 Central Ocean Drift
57
Di suatu jarak tertentu dari batas timur dan barat, faktor pengali eksponensial dari fungsi -
fungsi cosinus dan sinus dalam persamaan (40) dan (41) akan meredam osilasi dan untuk
daerah tengah (central) persamaan (40) dan (41) dapat dipakai oleh :
; (46)
dan dari persamaan (10) dan (42) didapat :
(47)
Persamaan ini menyatakan arus yang lebar dan konstan, tidak seperti arus di bagian barat
yang sempit dan cepat. Persamaan (47) adalah persamaan Sverdrup, yang ditulis untuk
angin zonal dan menyatakan keseimbangan antara aliran geostropik dan arus yang
ditimbulkan angin (pure wind drift).
Validitas persamaan ini telah didemontrasikan untuk arus ekuator di Pasifik Timur oleh
Sverdrup (1947) dan Reid (1948). Gambar 21 mengilustrasikan kelakuan persamaan (46).
Dengan menulis kedua persamaan (46) dalam bentuk :
; (48)
jelas dapat kita lihat bahwa persamaan pertama menyatakan suatu garis lurus dengan slope
= 1 bila ruas kiri adalah ordinat dan ruas kanan adalah absis. Persamaan kedua karena
tidak bergantung pada x, diplot sebagai garis horisontal.
4.3 Daerah Pantai Timur
Dari persamaan (40) dan (41) solusi untuk daerah pantai timur adalah
(49)
(50)
Persamaan (49) dapat ditulis kembali sebagai :
58
Jelas bahwa kXE dapat dinyatakan sebagai jumlah dua kurva (kXE)1 dan (kXE)2
dimana,
(kXE)1 k( - x) - 1 (51a)
dan
(kXE)2 e-k (-x) (51b)
Persamaan (51a) menyatakan suatu garis lurus dengan slope = 1 sedangkan persamaan
(51b) menyatakan fungsi yang berkurang secara eksponensial bila absis adalah k ( - x),
lihat gambar 23. Sebaliknya persamaan untuk X'E' yang berikan oleh (50) menggambarkan
suatu fungsi yang berkurang secara eksponensial dengan asimtot = - 1 bila k ( - x)
digunakan sebagai variabel bebas.
Hasil dari (49) dan (50) diperlihatkan pada bagian kanan gambar 21. Munk menamakan
bagian timur ini sebagai an eksponential slippage zona. Lebar efektif dari zona ini (dari
gambar 23) adalah kira - kira mendekati k ( - x) = bersesuaian dengan 200 km untuk
KH = 5 x 107 cm/det.
Dengan memperhitungkan seluruh suku -suku yang mewakili bagian barat, tengah, dan
timur, plot x versus X dan x versus X' sepanjang suatu sumbu gyre akan terlihat seperti
Gambar 14.
59
Gambar 14 Variasi X dan X' sepanjang suatu gyre
60
DAFTAR PUSTAKA
1. Hadi, S., (1998), Arus Laut, Departemen Geofisika dan Meteorologi, ITB, Bandung
2. von Schwind, (1980), Geophysical Fluid Dynamics for Oceanographers, Prentice-
Hall, Inc, USA
3. Komar, P.,D., (1976), Beach Processes and Sedimentation, Prentice-Hall, Inc, USA
4. Horikawa, K., (1988), Nearshore Dynamics and Coastal Processes, University of
Tokyo Press, Japan
5. McLelan, H.,J., (1965), Elements of Physical Oceanography, Pergamon Press, New
York
61