METODE BabI

Beberapakata-

perpindahan(translasidanrperpindahan, untukmemformulasikanhubunganantara

Kerjamaya(virtual Kerjariel (real Energi-regangan(strain Kerja-dalam(internal Kerja-luar(external

TujuanpembahasanMetodeE

dilakukanolehgayaKerja-

denganregandengantranslasi, momenM denganrotasi, korespondendiarahgayatersebut(misalnyantaragayadengankomponenperpindahperpindahan.

Kerjaadalahusahayang

melakukank

external

sebagaienergiregangan(strain menimbulkanenergiyang dilakukanolehgaya-gayadalam.

Kerja-dalam(internal work)

pada kasus batang dengan Ilustrasikonsepkerja-

dW=∫

Wc=∫u

lendutan-perpindahanu,

KerjaW yang dilakukanolehbebanP

pertambahanpanjangmaksimubertambahpanjanghinggapadaakhirnyadippembebananstatis (static load).

Batangdengan panjang L

Penjelas

W =∫k.u.du

=12

=12P.

dW Wc=∫

aksial Diperoleh external work pada batang

perpanjangan, yaitu k = (A.E)/L , dibutuhkan untuk menghasilkan dibebani secara aksial didefinisikan

Bila k sebagai kekakuan dari sebuah

Untuk material

Penjelas

Diagram tegangan -

tegangan Sebuah elemen kecil

Energi Regangan (strain

linier dari nol hingga mencapai gaya yang bekerja pada elemen tersebut

Bila elemen semula bebas dari pengaruh

sebanding dengan regangan

Oleh gaya tsb, elemen bertambah panjang sebesar εx.dx,

dimana εxadalah regangan dalam arah x. Bila elemen

σx.dy.dz, dimana dy.dz adalah luasan kecil tak berhingga

Sebuah elemen kecil (Gb.a) dengan tegangan normal σx.

Penjelas

energdalam struktur yang dinamakan energi

Kerja-dalam akan menimbulkan energi yang

dilakukan oleh gaya-gaya dilakukan oleh gaya luar dibarengi dengan

Pada struktur dengan beban luar, maka

elemeselama bekerja merupakan kerja yang

Gaya rata-rata dikalikan dengan jarak yang

deformasi adalah ½ σx. Gaya rata-rata yang bekerja pada elemen

Penjelas

ker

jarga

dV = volume elemen

12

12x x

d=

12σx.dy.

×εx. =.εx.dx.dy.dz =.εx.dV

tegangan pada sumbu tunggal Energi regangan U untuk elemen kecil yang

x.εx.UUc=

12

Pada material elastis linier,

dari diagram tersebut disebut energi Luas yang dibatasi oleh garis miring dan sumbu

pada diagram tegangan-regangan Atau dapat ditafsirkan sebagai luas di bawah garis

U x

=12σ

kerapatanenergiregangan(strain energy density) Energireganganpersatuanvolume

dpanj lu

L

U12

∫

M2

12

y2dA=

penampang, dan inersia I = ∫ y2dA, dengan dx adalah panjang elemen , dA

dd

x.

U=12

22

x

E

Energi Regangan pada Kasus

M =−

Momen lentur pada jarak x dari P

W =

External work akibat Gaya P mengakibatkan terjadinya

L,Ev

P

Defleksi pada balok Cont

diperol vP

=3

1

2

P2=

6

Konservasi We

=Wi

L

E

L

W d2

dx=P

2

U=1

∫

P2L

Energi elastis akibat internal

Virtual work

(kerjamayvirtual force padareal

Kerjadarireal force padavirtual

akanterjadipenambahanperpindahandangayadisplacement)ataugayaluarmaya(virtual

makamenghasilkandeformasidangaya

(Virtual MetodeKerjaMaya

d

penampangx AkibatbebanaksialU, makadisplacement

L

dx

U U

uddxδu

+

Aplikasiuntukbatangdenganbeba

adalahsama→ Diperolehbahwaexternal daninternal

External virtual

Internal virtual work

2=U

1−U

2=U( −δ

ddx

()

d()

dx=U∫L0

=∫ 2

d

Metodekerjamaya(lanj

Metodekerjamaya(lanj

mak

danregangInternal virtual work yang

d(vov

=∫σ

U A

u=d(δ

)d(v )

(i

vi

n

=∑P

∫

displacement δvisearahdenganarahbebanmaka

diberikanvirtual displacementyang

Padastrukturdengann bebannyataPimenyebabkan

Metodekerjamaya(lanj

suatustruktadalahsamadenganenergielastikdigeneralisirbahwainternal virtual daripersamaanterakhird

=δ

Metode kerja maya

seimbangolehbebanmayaδPiyang menyebabkanteganganδσ, dikenaibebanPimenyebabkandisplacementvidilokasidanarahgayamaya, akanmemberikanpersamaan:

Dengancarayang sama,

i Pi

n

)d(vol)=∑v

∫

(beban

akandihitu(padaarahdefleksiydikerjakanpadatitBebanmaya1

vertikalpadatiti→ gayariel P1, batangbidang) Plane Truss

X

C

(beban 1

PPP

denganprinsipVIRTUAL DEFLEKSI RANGKA BATANG

iii

E

∆li

adalahperubahanpanjangsetiapbatangakibatgaya-batangFi(akibatgayaluarPi),

i

=∑

Persamaanvirtual work

batangmayafiadalInternal virtual work yang

vadalah=External virtual work yang

i

=

DEFLEKSI RANGKA BATANG

li= panjangmasing-masingbatangAi= luaspenampangmasing-masingbatang

fi= gaya-dalammasing-masingbatangakibatbebanmaya1

Fi= gaya-dalammasing-masingbatangakibatbebanriel (beban

v = defleksivertikalpadatitikyang

iii

ii

v=1∑F

Substitusikepersamaanvirtual work

DEFLEKSI RANGKA BATANG

iii

ii

v=1∑F

disebutdengabatang(truss) Jadi,

DEFLEKSI

3)Gunakanrumusvirtual

batangakibatbebansatuantersebudefleksiyang akandihitung. diberikanbebanmaya sebesar1

2)Bebanluardiambil, kemudianpadatitikyang

1)Hitunggayabatangakibatbebanluar(bebanriel)

pada arah yang Perpindahan pada

i

fiAi

vF

i

ii

∑Fi

Juml

n

.

2

1

Fi . fiX . Li ALfFi

No

Tabel Hitungan Defleksi Truss metode

maupuninternal force yang dilakukandenganmetodebebansatuan. Hanyasaja, Analogipadaplane truss,

denganprinsipVIRTUAL DEFLEKSI BALOK

dL m

M

dL

dx∫y2A

myI

d(vol)=

My

q

rotasi selaras dengan (beban maya) berupa momensebesar 1 satuan di m adalah momen lentur dalam fungsi(x) akibat M adalah momen lentur dalamfungsi(x) akibat Deng

Prinsip Beban

Id

L Mm

BA

L

Menghitung rotasi di A (θA) pada simple beamakibat

Contoh

Substitusikepersamaa

m()=

LxLx−

=1−

m(

x

1

maya berupa momen 1 0

Persamaan m(x) akibat

x

Persamaan M(x) akibat M( 1

2M( = − 1

2=qLx−x2)

Menghitung rotasi di A

A

1

L

L

=∫M.

=EI

∫)(1−

xL)d

q=

2EI∫( −2

+x3L

q=

212 −

1

x+2

L1

=2

Menghitung rotasi di A

q

(karena defleksi selarans dengan beban (beban maya) berupa bebanterpusatPsebesar 1 m adalah momen lentur dalamfungsi(x) akibat M adalah momen lentur dalamfungsi(x) akibat denga

Prinsip Beban

Id

L∆C=∫M∆

BA

L

beamakibatbeban terbagi Menghitung Contoh

x<12

L ⇒m(x) = L−

0 x<< ⇒m(x) =

mayaP=1 diC →dibagi2 Persamaan m(x) akibat

14

Px

xPersamaan M(x) akibat

M(12

M( = − 12=qLx−x2)

defleksiditengahbentang….

Substitusikepersamaa

1

C

12 1

L

∆=∫M.

=EI

∫ ) +EI

∫ )

=0,013021qL4

EI

5=

38

defleksiditengahbentang….

+ 12

2(x (RAxRBx−8)− q x−1, xUntuk 8 < x < 12

RAM(x 812

− =Untuk 0 < x

ΣMA= 0 →RB= 30 ΣMB= 0 →RA= 8

akibat beban riel P dan q (sepertigambardiatas) Langkah 1 : susunlah persamaan momen lentur pada

(a)

Dimensi ABC = E = 2.000.000 Bila

Rotasi bDefleksi vertikal a

Hitun

30/70 CBA

4 8

P = q= 3

Conto

+m(x (rAxrBx−8 =Untuk 8 < x <

m( = =−0,Untuk 0 < x

ΣMA= 0 →rB= ΣMB= 0 →rA= -

CA B

4 8

P

akibat beban mayaP= 1 satuandiC Langkah 2: susunlah persamaan momen lentur pada

2

171∆C =

diperolDengan(EI) = (2.000.000) x (1/12 x 0,3 x

1 1

2

C

L

∆=∫M.

=EI

∫( x−1,5 +EI

∫( −1, −240 −12)

=E

Langkah 3:

m1

akibat beban riel,menyusun M(x)→ Langkah 1 : susunlah persamaan momen lentur pada

(b)

m(xUntuk 8 < x <

m( =Untuk 0 < x

CA B

4 8

1

akibat momen= 1 satuandiC Langkah 2: susunlah persamaan momen lentur pada

C0

0 8

.L

=∫M1

=EI

∫ 18

1+

EIx−1, −240)

=

Langkah 3:

fixed end moment yang Beberapaformula