BAB V

PAGE

NAMA: ANTON SETYONONIM

: 4201412081ELEKTRON DALAM LOGAM I

(MODEL ELEKTRON BEBAS)

Logam memegang peranan penting dalam kehidupan manusia, misalnya besi dalam produksi otomobil, tembaga untuk penghantar listrik dan lain-lain. Umumnya, logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan tinggi, konduktivitas listrik dan termal baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini berkaitan dengan struktur mikroskopis bahan, yang dapat diasumsikan bahwa suatu logam mengandung elektron bebas, dengan konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam keseluruhan volume kristal.

Saat atom bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi elektron konduksi dalam logam. Elektron konduksi bergerak bebas di antara ion, sehingga keadaannnya berubah tajam. Berbeda dengan elektron cores yang tetap terlokalisasi sehingga karakternya relatif tidak berubah. Dengan demikian, gambaran sederhana tentang kristal logam adalah suatu kisi ion teratur dalam ruang, dan elektron bebas bergerak di antara ion tersebut. Gambaran lebih lengkapnya, bahwa ion bergetar secara termal di sekitar titik setimbang, dan demikian pula elektron bebas bergerak termal di antara ion kristal dan merubah arah geraknya setiap kali menumbuk ion (kemungkinan besar) atau elektron lain (kemungkinan kecil).

Dalam logam Na, proporsi volume yang terisi oleh ion cores hanya sekitar 15%. Hal ini terjadi karena radius ion Na+ adalah 0,98 ; sedangkan setengah jarak antartetangga terdekat atom adalah 1,83 . Konsentrasi elektron konduksi dapat dihitung dari valensi dan kerapatan logam. Jika m dan Z, masing-masing adalah kerapatan bahan dan valensi atom, maka konsentrasi elektronnya adalah dengan N adalah bilangan Avogadro dan M adalah berat atom. Logam memiliki konsentrasi elektron yang besar, yakni n = 1029/m3. Misalnya, logam Na, K, Cu, Ag dan Au adalah monovalen; dan logam Be, Mg, Zn dan Cd adalah divalen.

Bagian awal ini membahas perkembangan model elektron bebas. Bahasan kapasitas panas dan suseptibilitas magnetik dari sumbangan elektron menunjukkan bahwa yang sesuai dengan eksperimen adalah hanya jika elektron mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Kemudian, dikenalkan konsep tingkatan Fermi dan permukaan Fermi, yang dapat digunakan untuk memperjelas deskripsi konduktivitas listrik dalam logam.

Dalam bab ini juga dibahas pengaruh medan magnet terhadap gerakan elektron bebas, yakni efek Hall dan resonansi siklotron. Bahasan kedua hal ini menghasilkan informasi yang mendasar tentang logam.

Dalam model elektron bebas ini elektron mengalami tumbukan dengan fonon dan ketidakmurnian. Hal ini menghasilkan ungkapan hukum Matthiessen. Selain itu, elektron dapat melepaskan diri dari permukaan logam sehingga terjadi emisi thermionik. Akhirnya, bab ini ditutup dengan dikemukakannya beberapa kegagalan model elektron bebas dalam membahas sifat logam. 1. Elektron Konduksi

Dalam memahami konsep elektron konduksi, dapat kita tinjau melalui gas Na yang terdiri atas kumpulan atom-atom bebas, masing-masing atom mempunyai 11 elektron yang mengelilingi intinya. Sepuluh elektron berada pada struktur stabil yang mengisi kulit pertama dan kedua (orbit Bohr) dan sebuah elektron valensi pada kulit ketiga (kulit terluar).

Atom-atom Na secara bersama membentuk logam seperti ditunjukkan pada gambar 5.1, Elektron valensi dapat berpindah dari satu ion ke ion tetangganya, dan seterusnya. Elektron-elektron yang bergerak ini disebut elektron valensi dalam atom bebas yang selanjutnya menjadi elektron konduksi dalam zat. Dinamakan elektron konduksi karena elektron-elektron tersebut membawa arus listrik ketika diberikan medan listrik luar.

Jumlah elektron konduksi dapat dihitung dari valensi logam dan kerapatannya. Pada Na, jumlah elektron konduksi sama dengan nomor atomnya, demikian halnya untuk logam nobel Cu, Ag, Au (monovalent). Pada logam divalent seperti Be, Mg, Zn dan Cd, jumlah elektronnya dua kali nomor atomnya. Jika kerapatan zat padat (m, bilangan Avogadro NA dan M adalah berat atom, maka konsentrasi atomnya adalah ((m /M( )NA dan konsentrasi elektronnya:

(5.1)

dengan Zv adalah valensi atom.2. Gas Elektron-Bebas

Untuk model elektron-bebas, elektron konduksi diasumsikan sudah bebas, kecuali karena potensial pada permukaan (gambar 5.2), yang mempunyai pengaruh confining elektron ke bagian dalam spesimen. Menurut model ini elektron konduksi bergerak di sekitar bagian dalam spesimen tanpa tumbukan, kecuali kadang-kadang mengalami pemantulan pada permukaan, seperti halnya molekul-molekul dalam gas ideal. Oleh karena itu dikatakan sebagai gas elektron-bebas. Interaksi antar elektron konduksi tersebut adalah lemah.

a. Konduktivitas Listrik

Konduksi listrik dalam logam berkaitan dengan hukum Ohm

I = V/R

(5.2)

dengan I adalah arus, V perbedaan potensial dan R hambatan kawat. Hukum Ohm dapat dinyatakan dalam bentuk yang tidak bergantung pada panjang (L) dan penampang (A) kawat.

,

dan

(5.3)

dengan J adalah rapat arus (arus per satuan luas), ( medan listrik dan ( resistivitas listrik. Kebalikan dari resistivitas disebut konduktivitas (().

(5.4)

Substitusi (5.3) dan (5.4) dalam (5.2) didapatkan

(5.5)

adalah bentuk hukum Ohm yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya.

Arus listrik ditimbulkan karena gerakan elektron konduksi di bawah pengaruh medan. Elektron konduksilah yang menimbulkan arus karena ion-ion terletak dan bervibrasi di sekitar titik tempat kekisi. Jumlah total translasinya nol, dan oleh karenanya ion-ion tidak menyumbangkan arus. Tinjau gerakan sebuah elektron konduksi dalam medan listrik. Medan mendesak elektron dengan suatu gaya -e(. Terdapat pula gaya gesekan karena tumbukan elektron dengan medium yang diam. Kita asumsikan gaya gesekan ini mempunyai bentuk m*v/(, dengan v adalah kecepatan elektron dan ( konstanta yang dinamakan waktu tumbukan. Dengan menggunakan hukum Ohm, kita dapatkan

(5.6)

m* adalah massa efektif elektron. Dapat kita lihat bahwa efek tumbukan ini seperti halnya dalam gaya gesekan atau gaya viskous, yaitu cenderung mengurangi kecepatan hingga nol. Pada solusi steady-state dimana akan diperoleh

(5.7)

v adalah kecepatan steady-state elektron, berlawanan dengan (. karena muatan elektron negatip

Kecepatan elektron dapat dibedakan menjadi dua. Kecepatan elektron pada persamaan (5.7) disebut kecepatan hanyut (drift velocity). Sedangkan kecepatan atau kelajuan yang lebih tinggi karena gerak random elektron dinamakan kecepatan random (random velocity). Pada gas umum, elektron mempunyai gerak random ketika tanpa medan listrik. Hal ini dikarenakan pada kenyataannya elektron senantiasa bergerak disekitarnya dan kadang-kadang terhambur sehingga berubah arahnya. Gerak random tidak menyumbang arus, walaupun terdapat medan listrik. Perbedaan antara gerak random dan hanyut elektron ditunjukkan pada gambar 5.3. Keduanya dinyatakan sebagai vr dan vd dimana vd, vr.

Rapat arus dapat dihitung dari (5.7). Oleh karena muatan persatuan volume (- Ne) dan masing-masing elektron mempunyai kecepatan hanyut seperti (5.7), selanjutnya jumlah muatan yang mengalir per satuan luas per satuan waktu adalah:

(5.8)

Arus searah dengan medan. Bandingkan (5.8) dengan hukum Ohm (5.5) akan diperoleh konduktivitas yang dinyatakan :

(5.9)

Tampak bahwa konduktivitas bertambah ketika N makin besar, karena pada saat N atau konsentrasinya bertambah akan terdapat pembawa arus yang lebih besar. ( adalah waktu antara dua tumbukan berurutan (free lifetime) atau disebut juga waktu relaksasi (relaxation time). Jika ( adalah waktu antara dua tumbukan berurutan, dapat ditulis pula

(5.10)

dengan l adalah jarak dua tumbukan berurutan dan vr adalah kecepatan random, sehingga

(5.11)b. Pengaruh Temperatur pada Resistivitas

Konduktivitas listrik logam bervariasi terhadap temperatur. Variasi ini biasanya dinyatakan dalam ( sebagai fungsi T. Gambar 5.4 menunjukkan kurva pengamatan untuk Na. Pada T ( 0(K, ( mempunyai nilai konstan yang rendah, sedangkan pada temperatur lebih tinggi ( bertambah. Pada awalnya pertambahannya secara perlahan tetapi kemudian bertambah secara linier dengan T. Perilaku linier tersebut berlangsung hingga temperatur mencapai titik lelehnya.

Karena ( = ( -1, dengan menggunakan (5.9) dapat dituliskan

(5.12)

Pada kenyataannya 1/( adalah probabilitas elektron terhambur per satuan waktu. Misal, ( = 10-14 s, artinya 1014 elektron mengalami tumbukan dalam setiap detiknya.

Elektron mengalami tumbukan karena adanya ketidaksempurnaan kekisi kristal logam. Dalam hal ini ketidaksempurnaan kekisi dapat diklasifikasikan menjadi dua, yaitu:

a) Vibrasi kekisi (fonon) dari ion-ion disekitar posisi kesetimbangannya karena eksitasi termal ion-ion.

b) Ketidaksempurnaan statik, seperti adanya ketakmurnian atau cacat kristal. Sebagai contoh dipilih ketakmurnian. Probabilitas elektron yang terhambur oleh fonon dan ketakmurnian ditambahkan, yang mana dua mekanisme tersebut diasumsikan saling bebas. Oleh karenanya dapat dituliskan

(5.13)

yang mana suku pertama pada sisi kanan adalah fonon dan suku kedua karena ketakmurnian (impurity). Substitusi (5.13) dalam (5,12) diperoleh

(5.14)

( terbagi dalam dua suku, yaitu (i karena hamburan oleh ketakmurnian (yang tidak bergantung T) disebut resistivitas residual, sedangkan (ph(T) karena hamburan oleh fonon besarnya bergantung temperatur dan disebut resistivitas ideal, merupakan resistivitas spesimen murni.

Pada temperatur rendah, hamburan oleh fonon diabaikan karena amplitudo osilasi sangat kecil; (ph ( (, (ph ( 0 dan oleh karenanya ( = (i konstan. Kondisi ini sesuai dengan gambar 5.4. Pada saat T bertambah, hamburan oleh fonon menjadi lebih efektif, dan (ph(T) bertambah, demikian pula ( bertambah. Ketika T menjadi cukup besar, hamburan oleh fonon menjadi dominan dan ( = (ph(T). Pada temperatur tinggi, (ph(T) bertambah secara linier terhadap T dan sesuai dengan gambar 5.4. Pernyataan dimana ( terbagi dalam dua suku, yaitu (i tidak bergantung T dan (ph(T) bergantung temperatur dikenal dengan hukum Matthiessen seperti dinyatakan pada (5.14).

Selanjutnya akan dibahas hubungan antara (i dengan konsentrasi ketakmurnian Ni. Untuk menjelaskan hubungan tersebut digunakan teori kinetik gas dengan asumsi bahwa tumbukan yang terjadi serupa dengan bola keras. Pertama, tinjau tumbukan antara elektron dengan ketakmurnian. Dari (5.11) dapat dituliskan

(5.15)

dengan li adalah mean free part untuk tumbukan dengan ketakmurnian. Jika penampang lintang hamburan ketamurnian adalah (i yang merupakan luasan atom ketakmurnian, kemudian menggunakan argumen dari teori kinetik gas, dapat dituliskan

atau

(5.16)

Substitusi (5.15) dan (5.16) dalam (5.14) dapat ditentukan besarnya (i. Dapat dilihat bahwa (i sebanding dengan Ni (konsentrasi ketakmurnian).

Perhitungan (ph lebih sulit, tetapi persamaan serupa (5.15) dan (5.16) masih memenuhi, yang dapat dituliskan

(5.17)

dengan Nion adalah konsentrasi ion logam dalam kekisi dan (ion adalah penampang lintang hamburan per ion. (ion tidak ada hubungannya dengan geometri penampang lintang ion. Jika jarak deviasi dari kesetimbangannya x, maka rerata penampang lintang hamburan sekitar

(5.18)

dengan adalah rerata dari x2. Nilai dapat diperkirakan sebagai berikut. Jika ion merupakan sebuah osilator harmonik (telah dibahas pada bab sebelumnya), rerata energi potensial sama dengan setengah energi totalnya :

(5.19)

yang mana kita menggunakan formula dari energi kuantum osilator. Frekuensi ( adalah frekuensi Einstein atau Debey. Jika temperatur Debey ( sehingga dan apabila ini disubstitusikan dalam (5.14) dapat dituliskan

(5.20)

dimana M adalam massa ion. Untuk T (( (, dapat dituliskan

(5.21)

tampak linier terhadap T dan sesuai dengan hasil eksperimen.

Pada temperatur rendah, pers (5.20) memperkirakan bahwa (ph(T) akan berkurang secara eksponensial sebagai e-(/T. Akan tetapi pada kenyataannya teramati berkurang sebagai T 5. Alasan ketidak-sesuaian ini karena menggunakan model Eisntein, yang mana gerak ion-ion tetangganya diperlakukan saling bebas. Ketika hubungan antara gerak ionik diperhitungkan seperti dalam teori vibrasi kekisi Debey, diperoleh hubungan T 5 yang sesuai dengan hasil pengamatan. c. Kapasitas Panas Elektron KonduksiDalam model elektron-bebas, elektron konduksi diperlakukan sebagai partikel bebas yang mematuhi hukum mekanika klasik, elektromagnetik, dan mekanika statistik. Dari pembahasan sebelumnya tampak adanya kesulitan dalam perlakuan tumbukan dalam model ini, dan juga bagaimana seharusnya menambahkan konsep kuantum agar supaya model tersebut tetap dipertahankan. Kesulitan lainnya timbul dalam hubungannya dengan kapasitas panas elektron konduksi.

Besarnya kapasitas panas per mol untuk elektron konduksi pada model Drude Lorentz dapat dihitung sebagai berikut. Dari teori kinetik gas diketahui bahwa partikel bebas dalam kesetimbangan pada temperatur T mempunyai rerata energi 3/2 kT. Rerata energi per mol adalah

(5.22)

dengan NA adalah bilangan Avogadro dan R = NA k.

Kapasitas panas elektron . Karena itu

( 3 kal/mol (K

(5.23)

Kapasitas panas total dalam logam, termasuk fonon, kemudian dapat dituliskan

C = Cph + Ce

(5.24)

Yang pada temperatur tingggi, mempunyai nilai

4,5 R ( 9 kal/mol (K

(4.25)

Eksperimen pada kapasitas panas dalam logam menunjukkan bahwa C adalah sangat mendekati 3R pada T tinggi, seperti untul kasus insulator. Pengukuran akurat dalam mana kontribusi elektron pada kapasitas panas total menunjukkan bahwa Ce lebih rendah dari nilai klasikal 3/2 R dengan faktor sekitar 10-2. Untuk menjelaskan ketidak-cocokan ini, selanjutnya digunakan konsep kuantum.

Energi elektron dalam logam adalah terkuantisasi menurut mekanika kuantum. Gambar 5.5 (a) menunjukkan tingkat energi kuantum. Elektron dalam logam menempati tingkat-tingkat energi tersebut menurut prinsip kuantum yaitu prinsip larangan Pauli (Pauli exclusion principle), yang mana tingkat-tingkat energi dapat mengakomodasi paling banyak dua elektron, satu dengan spin up dan lainnya dengan spin down. Kemudian dalam pengisian tingkat energi, dua elektron menempati tingkat terendah, dua lebihnya pada tingkat berikutnya, dan seterusnya hingga semua elektron dalam logam terakomodasi seperti ditunjukkan dalam gambar 5.5(a). Energi tingkat tertinggi yang ditempati dinamakan tingkat energi Fermi (Fermi energy level) atau singkatnya tingkat Fermi (Fermi level) saja. Perhitungan tingkat Fermi akan dilakukan pada sub-bab berikutnya. Nilai energi Fermi dalam logam sekitar 5 eV.

Situasi yang digambarkan berlaku dalam logam pada T = 0(K. Ketika temperatur sangat rendah, sistem elektron mempunyai banyak jumlah energi berdasarkan prinsip larangan Pauli. Seandainya tidak ada prinsip larangan tersebut, semua elektron akan masuk dalam tingkat terendah, dan total energi sistem akan diabaikan. Hal ini sesuai dengan pernyataan dalam mekanika klasik, bahwa saat T ( 0(K semua gerak berhenti, dan energinya lenyap. Pernyataan ini jelas tidak dapat diterapkan pada elektron konduksi.

Distribusi elektron diantara tingkat-tingkat energi biasanya digambarkan oleh fungsi distribusi, f(E), yang didefinisikan sebagai probabilitas bahwa tingkat energi E ditempati oleh elektron. Kemudian jika suatu tingkat energi dengan pasti tidak ditempati elektron, f(E) = 0, dan apabila dengan pasti terisi penuh, f(E) = 1. Pada umumnya, f(E) mempunyai nilai antara nol dan satu.

Sesuai dengan pembahasan sebelumnya, fungsi distribusi untuk elektron pada T=0(K dapat dituliskan dalam bentuk

(5.26)

semua tingkat energi di bawah EF terisi secara sempurna, dan semua tingkat di atas EF benar-benar kosong. Fungsi ini diplot pada gambar 5.5(b), yang menunjukkan adanya diskonstinuitas pada energi Fermi.

Ketika sistem dipanasi (T ( 0(K), energi termal mengeksitasi elektron. Tetapi energi ini tidak terbagi sama untuk semua elektron, seperti halnya dalam kasus klasik, karena elektron terletak di bawah tingkat Fermi EF tidak dapat menyerap energi. Jika elektron menyerap energi, mereka akan berpindah ke tingkat lebih tinggi yang siap ditempati, dan disini prinsip larangan Pauli dilanggar. Energi yang diserap elektron secara termal adalah berorder kT (= 0,025 eV pada temperatur ruang), yang jauh lebih rendah dari EF yang berorder 5 eV. Oleh karena itu hanya elektron dekat dengan tingkat Fermi yang dapat tereksitasi, karena tingkat di atas EF adalah kosong, dan ketika elektron berpindah ke tingkat lebih tinggi tidak ada pelanggaran prinsip larangan. Jadi hanya sebagian kecil elektron yang mampu tereksitasi secara termal, dan ini dapat menjelaskan panas jenis (kapasitas panas) listrik pada logam yang nilainya rendah.

Fungsi distribusi f(E) pada temperatur diberikan oleh

(5.27)

dikenal dengan distribusi Fermi-Durac. Fungsi ini juga diplot dalam gambar 5.5(b), yang menunjukkan bahwa secara substansi sama seperti distribusi pada T = 0(K, kecuali ketika sangat dekat dengan tingkat Fermi, dimana beberapa elektron tereksitasi dari bawah EF pindah di atas EF.Fungsi distribusi (5.27) dapat digunakan untuk menghitung energi termal dan kapasitas panas elektron, tetapi merupakan pekerjaan yang rumit, sebagai gantinya dicari pendekatan yang baik dengan rumusan matematika yang minim. Apabila hanya elektron dalam daerah kT dari tingkat Fermi yang tereksitasi, kita dapat simpulkan bahwa hanya sebagian kT/EF dari elektron yang dipengaruhi. Oleh karena itu jumlah elektron yang tereksitasi per mol sekitar NA(kT/EF), dan masing-masing elektron menyerap energi kT, selanjutnya bahwa energi termal per mol diberikan secara pendekatan dengan

(5.28)

dan panas jenis adalah

(5.29)

Kita lihat bahwa panas jenis elektron berkurang dari nilai menurut pandangan klasik, yang berorder R, dengan faktor kT/EF. Untuk EF = 5 eV dan T = 300(K, faktor tersebut adalah 1/200, merupakan pengurangan yang cukup besar bila dibandingkan dengan eksperimen.

Selanjutnya temperatur Fermi TF, yang kadang-kadang digunakan dalam konteks ini, didefinisikan EF = kTF, dan panas jenis dapat dituliskan sebagai

Besarnya TF berkaitan dengan EF = 5 eV adalah 60.000(K. Jadi agar supaya panas jenis elektron dalam zat padat sesuai nilai klasik, zat padat harus dipanaskan hingga temperatur setara dengan TF. Tetapi ini tidak mungkin terjadi karena zat padat akan meleleh dan menguap. Pada semua temperatur praktis, panas jenis elektron jauh di bawah nilai klasik.

Kesimpulan lain yang menarik dari (5.29) adalah bahwa kapasitas panas elektron Ce merupakan fungsi linier dari temperatur. Ini tidak seperti kapasitas panas kekisi CL, yang konstan pada temperatur tinggi, dan sebanding dengan T 3 pada temperatur rendah.

Perhitungan yang teliti dari kapasitas panas elektronik menghasilkan nilai

(5.30)

yang dengan jelas ordenya sama besar dengan persamaan (5.29).3. Permukaan Fermi

Elektron dalam logam bergerak dalam keadaan random, karena itu elektron dipandang sebagai partikel bebas, energi elektron sepenuhnya berupa energi kinetik dan dituliskan

dengan v adalah laju partikel. Sekarang kita masukkan konsep ruang kecepatan (velocity space), dengan sumbu koordinat vx, vy dan vz. Masing-masing titik dalam ruang merepresentasikan kecepatan unik, baik besar maupun arahnya.

Pandang elektron konduksi dalam ruang kecepatan. Elektron ini mempunyai kecepatan yang berbeda, dan karena kecepatan ini random, titik-titik mewakili elektron mengisi ruang secara merata seperti ditunjukkan gambar 5.6. Sebagai catatan bahwa, di bagian luar bola semua titik-titik kosong. Radius bola ini adalah kecepatan Fermi vF, yang berkaitan dengan energi Fermi dengan hubungan

(5.31)

Alasan mengapa semua titik-titik di luar bola kosong adalah bahwa mereka berkaitan dengan energi yang lebih besar dari EF, yang tidak ditempatinya pada T = 0(K, seperti telah dibahas pada sub bab 5.5. Semua titik-titik dalam bola penuh dengan sempurna. Bola ini diketahui sebagai bola Fermi (Fermi sphere), dan permukaannya sebagai permukaan Fermi.

Permukaan Fermi sangat penting dalam membahas fenomena zat padat, contohnya pada sifat transport tidak cukup besar dipengaruhi oleh temperatur. Ketika temperatur ditingkatkan, relatif hanya beberapa elektron tereksitasi dari dalam keluar permukaan Fermi, dan ini mempunyai pengaruh yang kecil. Selanjutnya permukaan Fermi adalah bebas, permanen dan diharapkan seperti karakteristik dari logam yang nyata.

Nilai energi Fermi ditentukan utamanya oleh konsentrasi elektron. Pada konsentrasi elektron maksimum, tingkat energi tertinggi diperlukan untuk mengakomodasi semua elektron (didasarkan gambar 5.5), dan EF mempunyai nilai yang tinggi. Besarnya EF dituliskan (akan dibahas pada bab berikutnya):

(5.32)

Jika nilai N = 1028 m-3 disubstitusikan akan menghasilkan nilai EF ~ 5 eV, sesuai dengan pernyataan sebelumnya. 4. Konduktivitas Listrik

Konduktivitas listrik pada subbab 5.3 telah dibahas dengan landasan teori klasik. Bagaimana jika dihitung dengan menggunakan permukaan Fermi? Tinjau gambar 5.7, pada saat tanpa medan listrik, bola Fermi berpusat pada titik pusat koordinat (gambar 5.7a). Elektron semuanya bergerak random sehingga sistem dalam keadaan nol, karena untuk setiap elektron bergerak dengan kecepatan v, terdapat elektron lain yang kecepatannya v sehingga jumlah dua arus tersebut adalah nol. Selanjutnya arus total diabaikan karena arus elektron saling meniadakan.

Kondisinya berubah ketika diberikan medan listrik luar. Jika medan listrik dalam arah-x positip, masing-masing elektron mempunyai kecepatan hanyut vd = -(e(/m*)(, seperti diberikan pada (5.7). Bola Fermi bergeser ke arah kiri seperti ditunjukkan gambar 5.7(b). Walaupun pergeserannya sangat kecil, dan kebanyakan elektron masih saling meniadakan satu sama lain, namun terdapat daerah yang tetap tidak netral yaitu daerah bulan sabit berbayang dalam gambar. Elektron dalam daerah tersebut yang menghasilkan arus.

Marilah kita tinjau besarnya rapat arus. Sebagian elektron yang tetap tak-terimbangi secara pendekatan adalah vd / vF. Konsentrasi elektron ini adalah N(vd / vF), dan karena masing-masing elektron kecepatannya mendekati vF, rapat arus diberikan oleh

substitusi diperoleh

dengan (F adalah waktu tumbukan elektron dengan bola Fermi. Selanjutnya diperoleh konduktivitas listrik:

(5.33)

persis sama seperti hasil yang diperoleh secara klasik, kecuali bahwa ( diganti dengan (F. Ekspansi persamaan (5.33), yang hanya merupakan penurunan secara aproksimasi, dapat dikuatkan dengan analisis statistik yang lebih luas dan akurat.

Gambaran nyata dari konduksi listrik cukup berbeda dari klasik seperti yang telah dibahas pada subbab 5.4, yang diasumsikan bahwa arus dibawa sama oleh semua elektron, masing-masing bergerak dengan kecepatan vd sangat kecil. Arus dalam kenyataannya, dibawa oleh hanya beberapa elektron, semua bergerak dengan kecepatan tinggi. Kedua pendekatan menghasilkan hasil sama, tetapi yang terakhir lebih akurat. Ini dapat dilihat dari kenyataan bahwa hanya terdapat parameter waktu tumbukan untuk elektron pada permukaan Fermi, (F, nampak dalam persamaan (5.32) untuk (.

Jika kita substitusikan (F = lF/vF dalam (5.32), akan diperoleh

Kuantitas pada sisi kanan yang bergantung pada temperatur adalah mean free part lF. Jika lF ~ 1/T pada temperatur tunggi, seperti kita lihat pada subbab 5.5, selanjutnya ( ~ 1/T atau ( ~ T, sesuai dengan yang telah dibahas sebelumnya untuk resistivitas listrik.

Pentingnya permukaan Fermi dalam fenomena transport sekarang tampak jelas. Ketika arus dibawa oleh elektron terletak dekat permukaan Fermi, fenomena ini sangat peka pada sifat, bentuk dan lainnya dari permukaan ini. Elektron bagian dalam tidak relevan dengan proses konduksi yang dibahas. Pada dasarnya jawaban sama diperoleh secara klasik seperti mekanika kuantum (dengan menyesuaikan yang tepat waktu tumbukan), mendorong kita untuk menggunakan prosedur kasik yang sederhana.

5.8 Konduktivitas Termal dalam Logam

Ketika ujung-ujung kawat logam berbeda temperatur, panas mengalir dari ujung yang panas ke dingin. Eksperimen dasar menyatakan bahwa arus panas Q yaitu jumlah energi termal persatuan luas persatuan waktu adalah sebanding dengan gradien temperatur,

dengan K adalah konduktiitas termal. Pada insulator, panas sepenuhnya dibawa oleh fonon, tetapi dalam logam panas mungkin diangkut oleh keduanya elektron dan fonon. Konduktivitas K oleh karenanya sama dengan penjumlahan dua kontribusi tersebut.

K = Ke + KphDimana Ke dan Kph didasarkan pada elektron dan fonon. Pada logam, kontribusi elektron sangat melebihi dari fonon, karena konsentrasi elektron tinggi, besarnya Kph~10-2 Ke. Selanjutnya konduktivitas fonon dapat diabaikan dalam sub-bahasan berikut ini.

Proses fisika dari konduksi panas yang dilakukan elektron diilustrasikan pada gambar 5.8. Elektron pada ujung panas (sebelah kiri) berjalan dalam semua arah, tetapi sebagian tertentu berjalan kekanan dan membawa energi menuju ujung dingin. Dengan cara serupa, sebagian elektron tertentu pada ujung dingin (sebelah kanan) berjalan ke kiri, dan membawa energi ke ujung panas. Arus elektron dalam arah yang berlawanan besarnya sama tetapi karena pada ujung panas energi lebih tinggi dibanding reratanya pada sebelah kanan, maka total energi diangkut hampir sepenuhnya oleh elektron dekat tingkat Fermi, karena di bawah tingkat tersebut kontribusinya saling meniadakan satu sama lainnya. Tampak bahwa elektron pada permukaan Fermi mempunyai peran penting dalam fenomena transport.

Besarnya konduktivitas K dapat dituliskan

dengan catatan bahwa

dan bahwa lF/vF = (F, selanjutnya dapat disederhanakan untuk K

(5.34)

Susbtitusi nilai-nilai parameter listrik didapatkan K ~ 50 cal/m(K.s. Tabel 5.1 memberikan nilai pengukuran dari K untuk beberapa logam dan menunjukkan adanya kesesuaian antara teori dan eksperimen.

Jika ( = Ne2(F/m*, rasio K/(T diberikan oleh

(5.35)

dengan L adalah bilangan Lorentz, karena ia hanya bergantung pada konstanta universal k dan e, sehingga sama untuk semua logam. Nilai numeriknya adalah 5,8 x 10-9 cal-ohm/s(K2. Kesimpulan ini dipercayai bahwa konduktivitas listrik dan termal berhubungan erat, karena baik arus listrik maupun arus termal keduanya dibawa oleh elektron. Tabel 5.1 menunjukkan daftar bilangan Lorentz untuk logam berbeda. dan tampak mendekati nilai yang diperkirakan.

Tabel 5.1 Konduksi termal dan Bilangan Lorentz (temperatur kamar)

UnsurNaCuAgAuAlCdNiFe

K, cal/m (K-s33941007150241416

L, cal-ohm/s-(K52x10-95.45,65,94,76,33,75,5

5. Gerak dalam Medan Magnet

Resonansi cyclotron

Gambar 5.9 mengilustrasikan fenomena resonansi cyclotron. Medan magnet diberikan pada lembaran logam yang menyebabkan elektron bergerak melingkar berlawanan arah jarum jam pada bidang normal tegak lurus medan magnet.

Frekuensi gerak cyclotron, dinamakan sebagai frekuensi cyclotron,

(5.36)

Jika disubstitusikan nilai massa elektron bebas, diperoleh

dengan B dalam kilogauss. Misal B = 1 kG, frekuensi cyclotron adalah = 2,8 GHz, yang merupakan frekuensi pada daerah gelombang mikro.

Andaikan sinyal elektromagnetik melewati lembaran logam dalam arah sejajar B seperti tampak pada gambar. Medan listrik dari sinyal bekerja pada elektron, dan beberapa energi dalam sinyal terserap. Laju penyerapan terbesar ketika frekuensi sinyal sama dengan frekuensi cyclotron:

( = (c

(5.37)

Hal ini terjadi karena pada kondisi tersebut masing-masing elektron bergerak selaras dengan seluruh gelombang putar, dan oleh karena itu penyerapan berlangsung terus melalui lingkaran. Persamaan (5.37) berlaku untuk kondisi resonansi cyclotron. Pada sisi lain, ketika persamaan (5.37) tidak terpenuhi, elektron dalam fase gelombang hanya melalui sebagian lingkaran, dan selama waktu tersebut elektron menyerap energi dari gelombang. Pada sisa lintasan lingkaran, elektron keluar fase dan mengembalikan energi pada gelombang. Bentuk kurva penyerapan atau absorpsi sebagai fungsi frekuensi ditunjukkan pada gambar 5.9(b).

Resonansi cyclotron biasanya digunakan untuk mengukur massa elektron dalam logam dan semikonduktor. Frekuensi cyclotron ditentukan dari kurva absopsi dan nilai tersebut disubstitusikan pada (5.36) untuk menghitung massa efektif. Akurasi m* bergantung pada akurasi (e dan B.

Efek Hall merupakan suatu cara pengukuran eksperimental sifat listrik yang dilaporkan oleh E.H. Hall (1879). Dalam membahas efek Hall digunakan pendekatan sederhana menurut model elektron bebas klasik.Pada balok (gambar 5.10) bekerja dua medan luar yang saling tegak lurus, yaitu kuat medan listrik (x dengan arah sumbu-x, dan medan induksi magnetik Bz dalam arah sumbu-z. Karena pengaruh medan (x, akan ada arus listrik Ix yang searah dengan (z. Andaikan bahwa elektron merupakan pembawa arus, maka pengaruh medan Bz akan menyebabkan elektron melalui lintasan tidak dalam arah vx, akan terjadi melengkung ke bawah. Elektron akan berkumpul di bagian bawah balok logam. Dengan demikian terciptalah medan listrik karena tumpukan elektron di bagian bawah, dan kekurangan elektron di bagian sebelah atas balok. Kondisi ini menimbulkan medan listrik (y. Apabila keadaan sudah stasioner (y berharga tetap dan elektron bergerak dalam arah vx. Medan listrik (y inilah yang diukur dan kemudian memberikan informasi mengenai elektron konduksi di dalam logam.

Besarnya gaya yang dialami pada elektron adalah :

F = - e [ ( + v x B ]

Dalam keadaan setimbang gaya dalam arah y adalah nol, jadi :

Fy = 0

Fy = - e(y + e vx Bz Sehingga

(y = vx Bz

(5.38)

Besar rapat arus adalah

Jx = - Nevx

Darimana diperoleh harga konstanta Hall

(5.39)

dengan N adalah konsentrasi elektron konduksi dan e adalah harga muatan elementer.

Apabila (y, Jx dan Bz diketahui, maka akan diperoleh keterangan mengenai besarnya konsentrasi elektron N. Elektron bermuatan negatip sehingga konstanta Hall berharga negatip. Sebaliknya apabila konstanta Hall positip pembawa muatannya hole (bermuatan positip) yang akan dibahas pada bab berikutnya. Jadi tanda dari RH menunjukkan jenis pembawa muatannya, hal ini penting pada kasus semikonduktor. Seabagai contoh, konstanta Hall untuk Zn dan Cd keduanya positip menunjukkan bahwa arus dalam material tersebut pembawa muatannya adalah hole (Tabel 5.2).

Tabel 5.2 : Konstanta Hall (volt m3/amp weber pada temperatur ruang)

LiNaCuAgAuZnCdAl

-1,7 x 10-10- 2,50- 0,55- 0,84- 0,72+0,3+0,6- 0,30

a. Pancaran Termionik

Ketika logam dipanaskan, elektron dipancarkan dari permukaannya, fenomena tersebut dikenal sebagai pancaran termionik. Sifat ini diterapkan dalam tabung vakum, dalam mana katoda logam dipanaskan agar supaya dapat mensuplai elektron yang diperlukan untuk operasioanal tabung vakum.

Gambar 5.11 menunjukkan skema tingkat energi untuk elektron dalam logam menurut model elektron-bebas. Pada T = 0(K, semua tingkat terisi hingga tingkat Fermi EF, di atasnya semua tingkat kosong. Elektron pada EF tidak dapat lepas dari logam karena kehadiran penghalang energi pada permukaan. Tinggi dari penghalang ini ditunjukkan oleh ( dikenal sebagai fungsi kerja (work function). Fungsi kerja dari berbagai logam besarnya bervariasi, pada umumnya sekitar 1,5 - 5 eV.

Pada T = 0 (K, tidak ada elektron yang dapat lepas dari logam. Tetapi pada saat temperatur dinaikkan, Tingkat di atas EF mulai ditempati karena adanya transfer elektron dari bawah EF. Ketika tingkat di atas penghalang yaitu ketika energinya lebih tinggi (EF + ( ), populasinya menjadi bertambah. Elektron dalam tingkat terakhir ini sekarang mempunyai energi yang cukup untuk melampau penghalang, dan mereka teramati melakukan pancaran dari permukaan.

Rapat arus untuk elektron yang dipancarkan dapat dihitung dengan menggunakan distribusi Maxweel-Boltzman karena elektron-elektron yang terlibat dalam proses pancaran semuanya di atas tingkat Fermi sehingga mereka dapat digambarkan sangat akurat dengan distribusi tersebut (subbab 5.5). Besar rapat arus dinyatakan dalam persamaan :

dengan . Dengan melakukan integrasi selanjutnya dapat dituliskan dalam bentuk :

(5.40)

dengan . Nilai numerik dari A adalah 120 amp/cm2 (K2. Persamaan (5.40) dikenal sebagai persamaan Richardson-Dushman. Dari persamaan tersebut tampak bahwa pertambahan arus bergantung pada temperatur. Ketika ( (( kT, rapat arus bertambah secara eksponensial terhadap temperatur. Tabel 5.3 memberikan fungsi kerja dari beberapa logam yang ditentukan dari pengukuran emisi termionik.Tabel 5.3 : Fungsi kerja berbagai logam, eV

WTaNiAgCaPt

4,54,24.64.81.85,3

inti

Elektron 3s

Gambar 5.1 Orbital 3s dalam sodium padatan yang saling tumpang tindih

V

x

Logam

Vakum

0

Gambar 5.2Potensial dalam model elektron bebas

(.

Drifting

electrons

(a)

(b)

Gambar 5.3(a) Medan listrik diberikan pada kawat logam. (b) Gerak random vs gerak hanyut elektron. Lingkaran merepresentasikan pusat-pusat hamburan

(b)

(a)

1

3

4

5

2

6

22

10

14

18

100

80

60

40

20

0

0

21

14

7

( 10-2

( 10-2

T, oK

T, oK

( (T)/(, 290oK)

( (T)/(, 290oK)

Gambar 5.4 Resistivitas ( (T) / ( (290(K) sebagai fungsi T untuk Na pada daerah temperatur rendah (a), dan pada temperatur tinggi (b). ( (290(K) ( 2,10 x 10-8 ohm-m.

T = 0oK

T ( 0oK

E

EF

0

1

F(E)

EF

(b)

(a)

Gambar 5.5(a) Penempatan tingkat energi menurut prinsip larangan Pauli. (b) Fungsi distribusi f(E) sebagai fungsi E, pada T = 0(K dan T ( 0(K.

vx

vy

0

Permukaan Fermi

Bola

Fermi

Gambar 5.6 Permukaan Fermi dan bola Fermi

vx

vy

0

vx

vy

0

(

Pergeseran

Bola Fermi

(a)

(b)

Gambar 5.7(a) Bola Fermi dalam kondisi setimbang. (b) Pergeseran bola Fermi karena medan listrik

T2

T2 ( T1

T1

EF

Gambar 5.8Dasar fisika untuk konduktivitas termal. Elektron pada sisi kiri membawa energi ke arah kanan

(

(c

(

B

elektron

Sinyal

Gambar 5.9(a) Gerak cyclotron, (b) Koefesien absorpsi sebagai fungsi (

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(x

(y

Bz

vx

Gambar 5.10 Medan Hall dan Efek Hall

vakum

elektron

logam

(

EF

Gambar 5.11 Pancaran termionik

1

_1190774260.unknown

_1191028369.unknown

_1979799703.unknown

_1979801300.unknown

_1979885777.unknown

_1979894638.unknown

_1979900989.unknown

_1979901151.unknown

_1979901319.unknown

_1979901000.unknown

_1979897257.unknown

_1979886815.unknown

_1979812429.unknown

_1979813110.unknown

_1979801876.unknown

_1979800780.unknown

_1979800850.unknown

_1979800650.unknown

_1191609394.unknown

_1979795635.unknown

_1979799671.unknown

_1492284676.unknown

_1191671825.unknown

_1191028934.unknown

_1191607320.unknown

_1191607553.unknown

_1191607639.unknown

_1191259893.unknown

_1191028839.unknown

_1190815553.unknown

_1190833626.unknown

_1190992196.unknown

_1191005310.unknown

_1190992173.unknown

_1190815846.unknown

_1190833581.unknown

_1190833599.unknown

_1190816052.unknown

_1190815749.unknown

_1190814533.unknown

_1190815278.unknown

_1190815394.unknown

_1190815232.unknown

_1190813569.unknown

_1190813826.unknown

_1190813029.unknown

_1190656144.unknown

_1190769941.unknown

_1190770981.unknown

_1190771983.unknown

_1190770144.unknown

_1190768647.unknown

_1190769250.unknown

_1190656231.unknown

_1190426031.unknown

_1190570011.unknown

_1190655843.unknown

_1190426253.unknown

_1190425695.unknown

_1190425735.unknown

_1190424295.unknown