bab xi confidence interval - elearning · pdf filemisal, jika cl = 0,90, maka pr (y2 < a) =...

Click here to load reader

Post on 04-Jun-2018

213 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • BabXI ConfidenceInterval

    KAT A KUNCI

    confidence interval adalah sebuah interval yang berdasarkan observasi sampel dan terdapatprobabilitas yang ditentukan. Interval mengandung nilai parameter sebenarnya yang tidakdiketahui (pada umumnya menghitung confidence interval dengan kemungkinan 95 persennilai sebenarnya).confidence level adalah tingkat keyakinan (copfidence) dihubungkan dengan confidenceinterval. Probabilitas interval mengandung nilai sebenarnya.

    Pada bab 10, telah dibicarakan bagaimana menggunakan observasi variabel randomuntuk mendapatkan informasi sebuah parameter yang tidak diketahui pada distribusi yangmenghasilkan variabel tersebut. Ada satu pertanyaan penting, yaitu: Adakah estimasi(perkiraan) yang benar-benar mendekati nilai sebenarnya?

    Sebagai contoh, anda akanmengestimasi banyaknyahari-hari pada saat hujan di Puncak.Tentu saja anda akah menggunakan penaksiran (estimator):

    (banyak hari saat anda berada di Puncak pada waktu hujan)

    (banyak hari saat anda berada di Puncak)

    Jika anda berada di Puncak hanya selama satu hari dan pada saat itu turun hujan, makaestimasi anda tidak baik (akurat), tetapijika andaberada diFlorida selama 10hari, andadapatmengestimasi dengan lebih akurat.

    Nilai statistik yang dipakai sebagai estimator tergantung pada nilai sejumlah variabelrandom, hal ini berarti estimator tersebut merupakan variabel random. Hal tersebut dapatmembantu jika kita dapat mengetahui bagaimana distribusi estimator.

    Anggaplah bahwa kita menggunakan rata-rata sampai x untuk mengestimasi nilai rata-rata variabel random normal.

    x=n

    142

  • Masing-masing x mempunyai distribusi normal, maka untuk variabel random normal x

    juga mempunyaidistribusinormal.TelahkitaketahuibahwaE (X)=Ildan Var (X) =cr2In.

    MENGHITUNGCOFIDENCEINTERVALUNTUKRATA-RATAJIKA VARIANCEDIKETAHUI

    Distribusi x telah kita ketahui, untuk selanjutnya kita dapat lebih mengetahui seberapabaik estimator yang digunakan. Kita mengetahui bahwa nilai sebenarnya Il? mendekati x,tetapi seberapa dekat? Apakah x mendekati 1 unit Il? Ataukah 50 unit? Sebaiknya kitamengetahui probabilitas yang jarak dari x ke Il akan lebih sedikit daripada beberapa nilaitertentu c. Dengan kata lain, kita ingin mengetahui probabilitas nilai sebenarnya Il adalahterletak antara (x - c) dan (x + c).

    Pada kenyataannya, probabilitas banyak bergantung pada nilai c yang kita pilih (lihatgambar 11-1). Jika kita pilih nilai c yang sangat besar, maka kita dapat hampir memastikannilai Il akan berada pada interval. Sebagai contoh, kita dapat menyusun c dengan tidakterbagtas. Probabilitas u akan berada pada interval 100 persen, karena kenyataannya Ilharusada antara 9x - tidak terbagtas) dan (x + tidak terbatas). Bagaimanapunjuga interval yang luastidak berguna. Sebaliknya jika kita buat interval yang lebih sempit dengan memilih nilai cyang lebih kecil, nilai Il dapat lebih diketahui dengan tepat.

    Langkah umum pada statistik adalah sebagai berikut, pertama kita pilih probabilitasyang diinginka, dengan kata lain kita letakkan probabilitas Ildi tengah interval. Biasanya 95persen. Kemudian kita hitung berapa luas intervaljika kemungkinan 95 persen mengandungnilai sebenarnya. Interval ini dinamakan confidence interval dan 95 adalah confidenceleval.

    x

    x-c2j

    x -c1j

    X +cl1

    X +c21

    50% mengandung Il

    95% mengandung Il

    Gambar 11-1

    Kini kita akan menghitung nilai c yang memenuhi persamaan

    Pr (x - c < Il < x + c) = 0,95atau

    Pr(-c

  • --

    Sekali kita mengetahui nilai c, maka kita harns mengetahui berapa besar confidenceinterval. Ini berarti kita harns mencari nilai c. Marilah membuat variabel random yaitu Z :

    Z=

    a

    Z mempunyai distribusi normal (mean 0 dan variance 1,lihat bab 8), sehingga persamaandapat ditulis menjadi

    =0,95

    =0,95

    Problem ini dipakai untuk tabel probabilitas normal. Definisikan a sebagai a =c -vn /a, maka

    Pr (a < Z < a) =0,95

    Selanjutnya lihat tabel distribusi normal (tabel A3-2) sampai ditemukan nilai a yangmemenuhi persamaan. Lihat kolom kebawah, kita dapat jumpai nilai yang benar untuk aadalah 1,96. Sekarang nilai c dapat kita temukan.

    1,96 ac=

    Kita mengetahui berapa luas confidence interval. Ada 95 persen kemungkinan nilaisebenarnya ~ akan berada diantara x -1,96 a/ -vn dan x + 1,96 a -vn.

    Ada dua ciri khas dari hasil ini yaitu pertama, confidence intervallebih luas (lebih tidakpasti) jika a lebih besar. Jika variance tiap observasi individuallebih besar, maka akan sukar

    144

  • mendekati nilai sebenamya, J.1.Kedua, confidence intervallebih sempit jika n lebih besar. Iniberarti jika kita melakukan observasi lebih banyak, kita akan meramal nilai sebenamya /.lsecara tepat.

    Bahkan kita dapat berhati-hati, jika diinginkan. Anggaplah kita ingin 99 persen confi-dence interval mengandung nilai sebenamya J.1.Kemudian kita harns menentukan luasnya,paling tidak mendekati interval. Atau jika kita tidak ingin berhati-hati, kita dapat menghitungconfidence interval yang lebih kedl yang mempunyai probabilitas yang lebih rendah darinilai sebenamya.

    Langkah Umum Menghitung Confidence.lnterval untuk Rata-rata

    Bila anda mempunyai n observasi dari a distribusi normal dengan standar deviasi cr.1. Tentukan confidence interval yang diinginkan. Jika anda lebih waspada ambil tingkat

    yang lebih tinggi (0,95 salah satu tingkat yang umumnya paling banyak).2. Lihat nilai a pada tabel 11-1.3. Hitung x dan a cr/-.Jfi.

    Confidence interval adalah dari x - a a/n sampai x + a aln.

    Tabel 11-1

    Contoh soal mencari confidence interval untuk rata-rata jika variance diketahui:

    Di bawah ini terdapat kelompok angka yang mendekati distribusi normal dengan a =4,1835.

    21,12,22,22,22,10,13,10,17,14,15,19,

    21, 19, 11, 19, 18, 18, 19, 18,20,20, 14,24,

    15, 19, 19,24,14, 12, 16,26, 14,25, 9, 18,

    14,18,12,17,20,18,12,16,19,191,13,20,

    19,11,18,23,19,23,17,12,23,22,14,20,

    13,16,17,18,13,21,14,11,15,21,18,25,

    145

    confidence level cr

    0,85 1,28

    0,85 1,44

    0,90 1,65

    0,95 1,96

    0,99 2,58

  • -- --

    18,21,20,15,23,20,20,12,15,18,19,18,

    18,20,13,18,20,16,15,15,18,13,28,17,

    25, 10, 15, 17, 17, 18, 15, 19, 15, 15,24, 15,

    14,18,16,20,21,15,12,19,19,22,19,18,

    16,20,21, 16, 15, 11, 11, 11

    Jawab:

    Pertama, kita hitung arata-rata sampel: x = 17,3.Banyaknyasampeladalah128,nilaicuntuk 95% confidencd interval adalah c =1,96x 4,1835/"'128= 0,7248.Sehinggadidapatconfidence interval adalah dari 16,58 sampai 18,02.

    YANG HARUS DIINGAT

    1. Pada saat kita menghitung sebuahestimasi parameter populasi yang tidak diketahui, kitaperlu mengetahui bagaimana tepatnya estimasi tersebut.

    2. Menghitung confidence interval sangat berguna - sebuah interval yang mempunyaiprobabilits tetap yang mengandung nilai parameter populasi yang tidak diketahui.

    3. Probabilitas tetap ini merupakan confidence interval dan umumnya sebesar 95 persen.4. Confidence interval yang sempit lebih baik karena anda dapat membuat estimasi yang

    mendekati nilai sebenarnya dari parameter.5. Pada umumnya, confidence interval akan menjadi lebih sempit jika jumlah observasi

    bertambah.

    MENGHITUNGCONFIDENCEINTERVALMENGGUNAKANDISTRIBUSI"T"

    Kita sekarang tidak mengetahui nilai sebenarnya dari (32.Perkiraan pertama, kita dapatmenggunakan variance sampel untuk mengestimasi nilai (32.Jika banyak sampel (n) cukupbesar (n > 30), kita dapat menggunakan confidence interval yang telah dibahas pada sub babdi muka, dengan variance sF dipakai sebagai pengganti (32.Untuk sampel kecil, kita gunakancara lain yaitu dengan distribusi "t".

    Ingat, confidence interval dengan distribusi normal adalah:

    "'n (x - ~)z=

    (3

    Sedangkan dengan distribusi "t" adalah:

    T=

    146

  • Catat bahwa tepatnya T sarnadengan Z kecuali nilai S2=s22yang"diketahuitelahdigantioleh nilai cr yang tidak diketahui. Kita dapat harapkan distribusi T sangat menyerupaidistribusi standar normal. Setelah ada sedikit manipulasi, kita dapatkan

    ZT=

    dimana y 2 adalah variabel random yang barn yang berhubungan dengan s 12dan S22:

    (n - l)s22nsFy2=

    a a

    y2 mempunyai distribusi chi-square dengan derajat kebebasan (degree of freedom ataudf) sebesar n - 1.Kini kita dapat menghitung besar confidence interval dan dapat mencari nilaic pada persamaan

    Pr (x - c < 11< x + c) =0,95

    Menggunakan definisi T maka didapat persamaan

    -c...Jn c...JnPr

  • ---

    Karena itu, 95% confidence interval untuk 11adalah dari x -8za/-vn 8ampaiX + 8za /-vn .

    Contoh soal:

    Marilah kita lihat jurnlah kursi yang kalah di parlernen pada saat pernilihan presiden (lihattabeI11-2)

    Tabelll-2

    Rata-rata sampai sampel: 32,09Standar deviasi sarnpai (sz>: 17,807

    Anggaplah jurnlah kursi yang kalah berdistribusi normal dengan rata-rata J.ltidak diketahuidan variance o-Z tidak diketahui. Hitung 95% confidence interval untuk J.L

    Jawab:

    Pertarna kita dapatkan x =32,09 kernudian kita ternukan Sz=17,8. Karena ada 11 observasi,rnaka lihat tabel distribusi "t" dengan df 10. Kita dapatkan nilai a adalah 2,228. Kernudiankita dapatkan confidence interval adalah dari 20,1 sampai 44,1.

    Langkah-Iangkah Menghitung confidence Interval dengan Distribusi "t" Jika Ada nobservasi x Variabel Random

    1. Tentukan confidence level (urnurnnya 0,95)2. Hitung x:

    Xl + Xz+ ... + XuX=

    n

    148

    Tahun Partai Kursi yang kalah

    1942 Dernokrat 501946 Dernokrat 541950 Dernokrat 291954 Republik 181958 Republik 471962 Dernokrat 51966 Dernokrat 481970 Republik 121974 Republik 481978 Dernokrat 161982 Republik 26

  • n

    n-l

View more