bab viii bidang rata dan garis lurus

49
Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 121 By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com BAB VIII BIDANG RATA DAN GARIS LURUS 8.1. Persamaan Vektoris Bidang Rata Suatu bidang rata akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut. Misalkan, diketahui tiga titik pada bidang rata V: Titik P 1 1 1 , , z y x , Q 2 2 2 , , z y x , dan R 3 3 3 , , z y x PQ 1 2 1 2 1 2 , , z z y y x x PR 1 3 1 3 1 3 , , z z y y x x Untuk setiap titik sembarang z y x X , , pada bidang rata V berlaku , PR PQ PX Terlihat jelas pada gambar bahwa OX = OP + PX Atau: 1 , , , , , , , , 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z z y y x x z z y y x x z y x z y x , adalah persamaan vektoris bidang rata melalui tiga titik. Kedua vektor PQ dan PR disebut vektor–vektor arah bidang (setiap dua vektor, yang tidak segaris, pada bidang merupakan vektor–vektor arah bidnag tersebut) sehingga persamaan vektoris bidang rata diketahui melalui satu titik P 1 1 1 , , z y x dan diketahui kedua vektor arahnya a a a a z y x , , dan b b b b z y x , , adalah: b b b a a a z y x z y x z y x z y x , , , , , , , , 1 1 1 ………………………… (2) ~ ~ ~, ~ dan persamaan 2 dapat ditulis menjadi bidang parameter bidang rata: b a x x x x 1 …………………………………………………………(3) b a y y y y 1 ……………………………………………………….. (4) b a z z z z 1 ………………………………………………………… (5)

Upload: fithrifitrianii-asadiyah-al-khwarizmi

Post on 02-Aug-2015

2.424 views

Category:

Documents


336 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 121

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

BAB VIII

BIDANG RATA DAN GARIS LURUS

8.1. Persamaan Vektoris Bidang Rata

Suatu bidang rata akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak

segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut. Misalkan, diketahui tiga titik pada

bidang rata V:

Titik P 111 ,, zyx , Q 222 ,, zyx ,

dan R 333 ,, zyx

PQ 121212 ,, zzyyxx

PR 131313 ,, zzyyxx

Untuk setiap titik sembarang zyxX ,, pada bidang rata V berlaku

,PRPQPX

Terlihat jelas pada gambar bahwa OX = OP + PX

Atau: 1,,,,,,,, 131313121212111 zzyyxxzzyyxxzyxzyx

, adalah persamaan vektoris bidang rata melalui tiga titik.

Kedua vektor PQ dan PR disebut vektor–vektor arah bidang (setiap dua vektor, yang

tidak segaris, pada bidang merupakan vektor–vektor arah bidnag tersebut) sehingga

persamaan vektoris bidang rata diketahui melalui satu titik P 111 ,, zyx dan diketahui

kedua vektor arahnya a aaa zyx ,, dan b bbb zyx ,, adalah:

bbbaaa zyxzyxzyxzyx ,,,,,,,, 111 ………………………… (2)

~~~,~

dan persamaan 2 dapat ditulis menjadi bidang parameter bidang rata:

ba xxxx 1 …………………………………………………………(3)

ba yyyy 1 ……………………………………………………….. (4)

ba zzzz 1 ………………………………………………………… (5)

Page 2: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

122 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

8.2. Persamaan Linier Bidang Rata

Kalau dan kita eleminasikan dari persamaan 3 dan 4 diatas diperoleh :

C

yyxxxy bb 11 dan

c

xxyyyx aa 11

di mana C bb

aababa yx

yxxyyx ..............................................................(6)

dan misalkan 0

kemudian Kalau dan di atas kita substitusikan ke persamaan 5 diperoleh:

011111 xxyyyxzyyxxxyzzzC aabbba

atau 0111 zzCyyzxxzxxyzzy babababa ................ (7)

Azyzy

yzzybb

aababa

Bzyzy

zxxzbb

aababa

dan DCzByAx 111

persamaan 7 menjadi 0 CzByAx ……………….................………. (8)

yang merupakan persamaan linear (umum) dari suatu bidang rata.

8.3. Vektor Normal dari Bidang Rata

V Ax + By + Cz + D = 0 terlihat bahwa vektor

izyzy

CBAbb

aa,, + jxzxz

bb

aa + kyxyx

bb

aa

=

bbb

aaa

zyxzyxkji

= a x b, jadi merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang

dibentuk oleh a dan b, dalam hal ini bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0

Page 3: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 123

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

n = [ A,B,C] disebut vektor normal dari bidang rata V = 0 tersebut. Vektor

normal ini akan memegang peranan penting dalam pembahasan suatu bidang rata.

Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu

titik 111 ,, zyx dengan vektor normalnya CBA ,, berbentuk:

0111 zzCyyBxxA …………………………………. (9)

Catatan:

Hal-hal khusus dari bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0.

1 bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O(0,0,0) dan sebaliknya,

setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai harga

D = 0.

2 apabila D 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi Ax/ -D +

By/ -D + Cz/ -D = 1dan sebut berturut-turut A/ -D = p, B/ -D= q, C/ -D = r,

didapat persamaan x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu X di

0,0,p sumbu Y di 0,,0 p , sumbu Z di p,0,0 .

3 bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X

bila B = 0, bidang rata sejajar sumbu Y

bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z

4 bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidang XOY

bila B = C = 0, bidang rata sejajar bidang XOZ

bila C = C = 0, bidang rata sejajar bidang ZOZ

Contoh 28 :

1. Persamaan vektoris bidang rata melalui titik (1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7)

adalah 27,13,1125,13,122,1,1,, zyx

atau 5,2,03,2,12,1,1,, zyx

persamaan parameternya adalah:

1x . 221 y . 532 z .

Page 4: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

124 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dengan mencari vektor normal

sebagai hasil cross product 2,5,45,2,03,2,1

Kita dapat mengunakan hubungan (9):

0)2(215140111 zyxzzCyyBxxA atau

013254 zyx

2. Bidang 2x + 3y – 4z = 12 dapat ditulis menjadi x/6 + y/4 + z/3 = 1 akan memotong

sumbu-sumbu di (6,0,0), (0,4,0) dan (0,0,3).

3. Bidang x + y – z = 0 akan melalui titik asal (0,0,0). Untuk menggambarnya kita

tentukan garis-garis potong dengan bidang-bidang koordinat :

Garis potong dengan XOY : z = 0, x + y = 0

Garis potong dengan XOZ : y = 0, x – z = 0

Garis potong dengan YOZ : z = 0, y – z = 0

Page 5: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 125

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

4. Bidang x = 2y, bidang ini sejajar sumbu Z (hal di mana C = 0) dan melalui titik asal

(hal di mana D = 0) berarti bidang ini melalui sumbu Z. garis potonngnyadengan

bidang XOY adalah z = 0, x = 2y.

5. Bidang x + y = 4, bidang ini sejajar sumbu X (hal ini di mana A = 0 ). Garis potongnya

dengan bidang YOZ adalah x = 0, y + z = 4.

Catatan:

1. Kalau persamaan (7), (pada bagian 2) yang lalu :

0111 zzxyyxyyzxxzxxyzzy babababababa kita tulis

dalam bentuk dot prudoct akan menjadi :

babababababa xyyxzxxzyzzyzzyyxx ,,.,, 111 …… (10)

atau 1rr . n = 0 di mana r = vektor posisi sebarang titik pada bidang,

1r vektor posisi suatu titik tertentu pada bidang dan n = vektor normal bidang.

Page 6: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

126 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

2. Tapi n ba . di mana a dan b adalah vektor-vektor pada bidang, sehingga (10)

dapat ditulis sebagai 1rr . ba = 0 atau:

bbb

aaa

zyxzyx

zzyyxx 111 = 0...............................................................(11)

adalah persamaan bidang melalui titik 111 ,, zyxP dengan vektor-vektor arah

aaa zyxa ,, dan bbb zyxb ,, .

3. Kalau a kita ambil bertitik awal di 111 ,, zyxP dan titik ujungnya

222 ,, zyxQ serta b titik awalnya 111 ,, zyxP dan titik ujungnya

333 ,, zyxR maka bentuk (11) menjadi

0

131313

121212

111

zzyyxxzzyyxxzzyyxx

…………..........................(12)

adalah persamaan bidang rata diketahui melalui 3 titik 111 ,, zyxP ,

222 ,, zyxQ dan 333 ,, zyxR yang ditulis dalam bentuk diterminan.

4. Jadi empat buah titik( x1, y1, z1 ), ( x2, y2, z2 ), ( x3, y3, z3 ), ( x4, y4, z4 ) akan

sebidang jika dan hanya jika :

141414

131313

121212

zzyyxxzzyyxxzzyyxx

= 0 ............………(13)

8.4. Persamaan Normal Bidang Rata

Misakan CBAn ,, adalah vektor normal bidang

,,,0 DCzByAxV berturut- turut

sudut antara n dengan sumnu-sumbu koordinat (yang

arahnya ditentukan oleh vektor i, j, dan k).

Page 7: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 127

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Ternyata bahwa :

cos = nA

inin

.

cos = nB

jnjn

. ……………........….(14)

cos = nC

knkn

.

atau : [cos ,cos ,cos ] = nn

nCBA

,,cos,cos,cos …..............(15)

yaitu vektor satuan yang searah dengan n, juga berarti bahwa

222 coscoscos 222 cos,cos,cos.1 n disebut vektor cosinus dari

bidang V. atau boleh dikatakan juga vektor normal yang panjangnya satu. Misalkan,

P = jarak titik 0,0,0 ke bidang V = 0, dimana 0P dan zyxX ,, titik sebarang

pada bidang, maka P adalah proyek zyxOX ,, pada ň yaitu : P = OX.ň = [x,y,z].

222 cos,cos,cos atau :

p 222 coscoscos .............................................…..(16)

yang disebut persamaan normal (HESSE) dari bidang V = 0. untuk megubah bentuk

0 DCzByAxV ke bentuk normal maka (dari persamaan-persamaan 14)

diperoleh: Dn coscoscos .................................(17)

kita selalu menghendaki bahwa – D/|n| = P positif. Jadi, kalau D negatif, maka maing-

masing ruas persamaan (17) kita bagi dengan 222 CBAn dan kalau D

positif, masing-masing ruas kita bagi dengan n .

Contoh 29 :

Carilah bentuk normal dari 3x + 6y – 2z + 6 = 0 !

Penyelesaian :

D = 6 adalah positif, sedangkan |n| = 4369 = 7. jadi persamaan normalnya

76

729

73

zy

x

Page 8: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

128 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

8.5.Sudut Antara Dua Bidang Rata

Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya.

Misanya, sudut antara 011111 DzCyBxAV dan

022222 DzCyBxAV adalah sudut antara normal-normal.

1111 ,, CBAn dan 2222 ,, CBAn yaitu :

21

21cosnnnn

22

22

22

21

21

21

212121

CBACBA

CCBBAA

........................................(18)

Contoh 30 :

Tentukan besar Sudut antara x + y + z + 3 = 0 dan 2x + y + 2z – 11 = 0 !

Penyelesaian :

22

22

22

21

21

21

212121cosCBACBA

CCBBAA

222222 212111)2(1)1(1)2(1cos

935cos

335cos

962,0cosar

o79,15

Page 9: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 129

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Catatan:

Kedudukan sejajar :

Bila V1 dan V2 sejajar maka n1 dan n2 sama (atau berkelipatan),

berarti [A1, B1, C1] = [A2, B2, C2] adalah syarat bidang V1 dan V2 sejajar

( sebarang 0 )

Contoh 31 :

Tentukan persamaan bidang rata V2 yang sejajar dengan bidang rata V1 = x + y + 5z = 9

jika bidang rata V2 melalui titik (0,2,1) !

Penyelesaian :

V1 = x + y + 5z = 9, karena V1 sejajar V2 maka n1 = n2

n1 = [1,1,5] maka V2 akan berbentuk x + y + 5z + D2= 0,

Sehingga bidang rata V2 melalui titik (0,2,1) maka :

V2 = x + y + 5z + D2 = 0

0 + 2 + 5(1) + D2 = 0

7 + D2 = 0

D2 = -7

Jadi, persamaan V2 = x + y + 5z -7 = 0

Catatan:

Kedudukan tegak lurus :

Bila V1 tegak lurus V2, maka vektor normalnya akan saling tegak lurus,

n1 n2, atau 00. 21212121 CCBBAAnn

Contoh 32 :

Tentukan persamaan bidang rata V2 yang tegak lurus pada bidang rata V1 x + y + z = 1

serta melalui titik (0,0,0) dan (1,1,0) !

Page 10: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

130 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Penyelesaian :

Misalkan V2 A2x + B2y + C2z + D2 = 0, tegak lurus V1 berarti :

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 atau A2 + B2 + C2 = 0

C2 = - A2 – B2…………(1)

V2 melalui (0,0,0) berarti D2 = 0, dan melalui (1,1,0) berarti :

A2 + B2 = 0 atau A2 = - B2……(2)

(1) dan (2)

C2 = - (- B2) – B2

C2 = 0

Jadi persamaan V2 : -B2x + B2y + 0z + 0 = 0 atau – x + y = 0

8.6. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata Dan Jarak Antara Dua

Bidang Sejajar

Pandang bidang V1 = xcos + ycos + zcos = p. kita hendak menentukkan jarak

titik R(x1, y1, z1) ke bidang V1. kita buat bidang V2 melalui R yang sejajar V1. jadi,

Vektor normal V1 dan V2 sama. Sedangkan jarak titik asal 0 ke V2 adalah p d

(tergantung letak V1 dan V2 terhadap titik 0)

V2 = xcos + ycos + zcos = p d, dan karena

R(x1, y1, z1) pada V2, maka terpenuhi x1cos +

y1cos + z1cos = p d atau

d = | x1cos + y1cos + z1cos -p|, adalah jarak

titik R(x1, y1, z1) ke bidang

V1 = xcos + ycos + zcos = p.

Kalau V1 berbentuk Ax + By + Cz + D = 0 maka :

222

111

CBA

DCzByAxd

Untuk mencari jarak dua bidang sejajar V2, kita ambil sembarang titik pada V2, lalu

menghitung jarak titik tersebut ke V1

Page 11: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 131

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Contoh 33 :

1. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2x + 6y – 3z = 13 !

Penyelesaian :

222 )3(62

133)3(7642

d

9364139428

d

4928

d

728

d

d = 4

2. Diketahui V1 = x + y + z – 2 = 0 dan V2 = x + y + z – 5 = 0. jika R pada V2, hitunglah

jarak tersebut ke V1 !

Penyelesaian :

Misal, kita ambil R pada V2 : x = 0, y = 0 dan z = 5, didapat R (0,0,5). Maka jarak titik

R ke V1 adalah 222 111

2510101

d

33

d

d = 3

8.7. Berkas Bidang Rata

Bidang–bidang 011111 DzCyBxAV dan

022222 DzCyBxAV berpotongan menurut sebuah garis lurus. Setiap titik

pada garis potong tersebut akan memenuhi persamaan 02211 VV , (dimana 1 dan

2 parameter). Persamaan diatas merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui

garis potong 1 dan 2 bila 01 kita dapat tuliskan menjadi 02211 VV atau

Page 12: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

132 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

021 VV , adalah persamaan berkas bidang melalui garis potng bidang-bidang

01 V dan 02 V .

Kalau 1V dan 2V sejajar maka berkas bidang 021 VV merupakan himpuna bidang-

bidang 01 V dan 02 V .

Dapat kita tulis menjadi :

kDzCyBxA 1111 k = parameter

Contoh 34 :

Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik 0,0,0 serta melalui garis potong

bidang-bidang :

024321 yxV

1222 zyxV

Penyelesaian :

V dapat dimisalkan berbentuk :

01221432021 zyxyxVV ...............................(*)

Karena 1V melalui 0,0,0 terpenuhi : 20120.200240.30.2 ,

yang kita subsitusikan ke (*), diperoleh V 044 zyx . Bidang yang diminta.

Page 13: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 133

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

8.8. Jaringan Bidang Rata

Pandang bidang rata 01 V dan 02 V dan

03 V yang terletak dalam sebuah berkas yang sama

(tidak berpotongan pada satu garis apapun sejajar

atau sama lain). Persamaan 0321 VVV

merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui

titik potong ketiga bidang diatas (pada gambar

melalui titik T). Dan himpunan bidang-bidang rata itu

disebut jaringan bidang.

Contoh 35 :

Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U = x + y +z = 1 serta melalui titik

potongan bidang .031 xV .042 yV 03 zV

Penyelesaian :

Bidang rata V berbentuk 0430321 zyxVVV

043 zyx ....................................................(*)

Karena sejajar dengan U maka 1,1,1 adalah normal dari V atau ,,1 kelipatan

dari 11,1,1 , jadi subsitusikan ke (*) menghasilkan V .07 zyx

yang diminta.

8.9. Persamaan Vektoris Garis Lurus

Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada garis

tersebut. Misalkan, titik 111 ,, zyxP dan 222 ,, zyxQ terletak pada garis lurus g.

Maka OP 111 ,, zyx OQ 222 ,, zyx , dan PQ 121212 ,, zzyyxx , untuk

setiap sembarang zyxX ,, pada g. Berlaku ,PQPX .

Jelas bahwa

121212111 ,,,,,, zzyyxxzyxzyxPXOPOX ..........(20)

adalah persamaan vektoris garis lurus melalui satu titik P 111 ,, zyx dan

222 ,, zyxQ .

Page 14: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

134 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Vektor PQ (atau vektor lain 0 yang terletak pada garis) disebut vektor arah garis

lurus, jadi bila garis lurus melalui satu titik P 111 ,, zyx dan mempunyai arah vektor

a cba ,, , persamaan cbazyxzyx ,,,,,, 111 ...................................(21)

Contoh 36 :

Persamaan garis lurus melalui titik (1,3,2) dan 2,3,5 Adalah

zyx ,, = 0,642,3,1,,22,33,152,3,1 zyx ....................(*)

sedangkan persamaan garis lurus melalui titik (1,0,2) dengan vektor arah a cba ,, adalah

a 7,3,12,0,1,, zyx ........................................................(**)

persamaan (21) dapat kita tulis menjadi tiga persamaan:

axx 1

ayy 1 ................................................................... (22)

azz 1

Yang persamaan parameternya garis lurus g.

Catatan :

Persamaan garis lurus dalam bentuk lain. Kalau persamaan (22), dieliminasi,

diperoleh :

czz

byy

axx 111 ,,

Atau c

zzb

yya

xx 111

................................................ (23)

Adalah persamaan garis lurus diketahui meleui titik P 111 ,, zyx dengan vektor arah

a cba ,, , atau :

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

(bila 012 xx , 012 yy , 012 zz .............. (24)

Adalah persamaan garis lurus diketahui melalui titik P 111 ,, zyx dan 222 ,, zyxQ .

Page 15: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 135

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Catatan :

Komponren-komponen vektor arah yaitu a. b. dan c masing-masing disebut bilangan

arah garis dan kalau . , dan berturut-turut sudut antara garis lurus (sudut-sudut

antara vektor arahnya, a = [a,b,c]) dengan sumbu-sumbu koordinat (vektor-vektor i

=[1,0,0], j = [0,1,0], dan k = [0,0,1]. Maka ac

ab

aa

cos,cos,cos atau

1coscoscos 222 . Jadi adalah vektor arah arah garis lurus dengan panjang

= 1, dan disebut vektor cosinus dari garis lurus (sedangkan masing-masing komponen

disebut cosinus arah). Jadi persamaan garis lurus dapat pula berbentuk :

coscoscos111 zzyyxx

.................................................................. (25)

Atau

axx 1

ayy 1 ................................................................................... (26)

azz 1

Di sini t = jarak titik zyx ,, ke 111 ,, zyx

Contoh 37 :

Persamaan garis melalui titik-titik (3,2,-2) dan (4,-2,-1) adalah

14,12,2,3,,21,22,342,2,3,, zyxzyx

Dengan persamaan parameternya 3x , 42 y , 2z dan dengan

mengeliminasi diperoleh :1

242

13

zyx

Vektor cosinus dari garis diatas adalah : 1,4,1181

atau

181,

184,

181 , berarti garis

dapat pula berbentuk ,1813x ,

1842 y

1812 z .

8.10. Hal Khusus dari Garis Lurus Dengan Vektor Arah [a,b,c]

1. Garis lurus yang melalui asal (0,0,0) akan berbentuk cbazyx ,,,,

atau cz

by

ax

Page 16: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

136 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

2. Bila a = 0, vektor cb,,0 terletak pada bidang rata yang sejajar bidang YOZ

Bila b = 0, garis lurus sejajar bidang XOZ

Bila c = 0, garis lurus sejajar bidang XOY

Dalam hal ini, lihat salah satu bilangan arah (misalkan. a = 0) persamaan garis

lurus menjadi 1111 ,,0,,,, xxcbzyxzyx , byy 1 ,

czz 1 dan dengan mengeliminasi diperoleh dua persamaan :

czz

byyxx 11

1.

yang bersama menyatakan garis lurus tersebut.

3. Bila a = 0, b = 0, vektor c,0,0 sejajar dengan arah sumbu Z

yaitu 1,0,0 , jadi garis lurus tersebut sejajar sumbu Z

bila a = c = 0, garis lurus sejajar sumbu Y

bila a = c = 0, garis lurus sejajar sumbu X

Contoh 38 :

Garis lurus 0,6,42,3,1,, zyx bersifat sejajar dengan bidang X0Y (hal dimana

c = 0) dan dapat kita tulis sebagai : 63

41

yx z = 2.

Garis lurus 0,4,02,3,2,, zyx bersipat sejajar sumbu Y(hal dimana a = c = 0)

dapat kita tulis sebagai x = 2, z = – 2 (dimana berlaku untuk setiap y)

8.11. Garis lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

Kita dapat pula menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan sembarang dua

bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya, garis lurus g adalah

perpotongan bidang rata.

011111 DzCyBxAV dan 022222 DzCyBxAV , maka

persamaan garis lurus g dapat ditulis :

00

:22222

11111

DzCyBxAVDzCyBxAV

g

Page 17: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 137

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Contoh 39 :

Persamaan

655372

zyxzyx

adalah persamaan-persamaan garis lurus yang merupakan perpotongan bidang-

bidang 72 zyx dan 653 zyx

Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata,

kita perhatikan Gambar berikut:

00

:22222

11111

DzCyBxAVDzCyBxAV

g

1111 ,, CBAn , 2222 ,, CBAn

Jelas bahwa 21 nn a merupakan vektor arah dari garis g.

Jadi a 222

121,,CBACBAkji

cba

22

11

22

11

22

11 ,,BABA

ACAC

CBCB

Dimana untuk mudah mengingatnya, kita tulis sebagai berikut :

222

2

11111

Bb

ACA

BAc

CBaA

.................................................... (28)

Untuk Mengubah Bentuk Persamaan 21 0 VV menjadi bentuk

czz

byy

axx 111 . Kita harus menentukan pula koordinat 111 ,, zyx .

Sembarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil titik potong dengan

bidang koordinat, misalnya, XOY 0 Z , diperoleh :

00

2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

Page 18: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

138 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Yang bila diselesaikan diperoleh :

22

11

22

11

BABABDBD

x

dan

22

11

22

11

BABADADA

Y

Contoh 40 :

Garis lurus 12 zyx . 853 zyx mempunyai vektor arah :

1353

21121

b

ca

Diman a 95112

; b 23511

; c 51321

. Atau 5,2,9,, cba

Ambil 33

15

13211821

0

xz . 15

8311

y

Titik (3,1,0) pada garis lurus, persamaan dapat ditulis : 5,2,99,1,3,, cba

8.12. Kedudukan Dua Garis Lurus

Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin sejajar, berimpit,

berpotongan, atau bersilangan. Diketahui garis lurus :

1111111 ,,,,,,: cbazyxzyxg dan 2222222 ,,,,,,: cbazyxzyxg

1. 1g sejajar 2g bila arah merika berkelipatan. Jadi bila

222111 ,,,, cbacba ;

bilangan 0 , atau bila 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

............................................ (29)

Kalau disamping sipat diatas berlaku pula : 111121212 ,,,, cbazzyyxx

maka 1g dan 2g berimpit.

Page 19: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 139

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Contoh 41 :

Garis lurus 2,7,43,4,2,,:1 cbag dan 4,14,82,0,1,,:2 cbag sejajar

karena 2,7,4 berke;ipatan dengan 4,14,8 tetapt tidak berimpit karena

1,4,132,40,21 tidak berkelipatan dengan 2,7,4

Demikian juga halnya 15

321

zyxh dan 32

5721:2

zyxh

Sedangkan garis

21

:1 zxyx

k dan 11:2 zyxk

Berimpit. Karena arah 1,1,1:1k dan arah 1,1,1:2k : salah satu titik di k1 adalah P(2,1,0)

dan salah satu di 2k adalah Q(1,0,1) yang sama 1,1,1 PQ berkelipatan dengan arah

garis yaitu vektor 1,1,1

2. Kalau arah 1g yaitu 111 ,, cba dan arah 2g yaitu 222 ,, cba tidak berkelipatan,

maka 1g dan 2g berpotongan di satu titik atau bersilangan. misalkan titik potong

000 ,, zyx berarti ada 1 sehingga 000 ,, zyx 1111111 ,,,, cbazyx dan ada 2

sehingga 000 ,, zyx 2222222 ,,,, cbazyx . Berarti :

1111111 ,,,, cbazyx 2222222 ,,,, cbazyx

Atau :

122211

122211

122211

zzccyybbxxaa

Berdasarkan teori persamaan linier, nilai 1 dan 2 ada. Bila diterminan :

0

1221

1221

1221

zzccyybbxxaa

........................................................... (30)

Merupakan dua garis lurus perpotongan pada satu titik. Sedangkan persamaan

bidang yang memuat garis 1g dan 2g tersebut :

0

1221

121

121

zzccyybbxxaa

........................................................... (32)

Page 20: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

140 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Contoh 42 :

Tunjukan bahwa 1g : 7

1434

zyx berpotongan dengan 2g

2

1: x

810

31

zy tentuka titik potong serta bidang rata yang memuat 1g dan 2g tersebut.

8,3,210,1,1,,:

7,4,11,3,4,,:

2

1

zyxgzyxg

Arah merika berkelipatan, jadi sejajar atupun berhimpit. Sedangjan diterminan :

0987

234321

110873134

4121

Jadi 1g dan 2g berpotongan. Titik potong diperoleh dari persamaan :

-V dua persamaan saja. 2.1 21 titik potong diperoleh dengan memasukan

1 kepersamaan 1g . Diperoleh 000 ,, zyx 6,7,57,4,111,3,4 sehingga titik

potong : (5,-7,6) (boleh juga dengan memasukan 22 ke persamaan 2g ). Bidang rata

yang memuat 1g dan 2g mempunyai vektor arah [4,-3,-1], jadi persamaan vektorisnya :

8,3,27,4,11,3,4,, zyx , atau bentuk liniernya (sesuai denga (31)) :

06756110187334421

zyxzyx

Catatan:

Sudut antara garis 1g dan 2g adalah sudut vektor-vektor arah 111 ,, cba dan

222 ,, cba yaitu :

2

22

22

22

12

12

1

212121

222111

222111 ,,,,,,,,.,,

coscbacba

ccbbaacbacbacbacba

....................... (32)

Kedua garis 1g dan 2g tersebut saling tegak lurus do product vektor merika = 0,

atau bila 111 ,, zyx . 212121222 ,, ccbbaazyx 0 ..................................... (33)

Page 21: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 141

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Contoh 43 :

Tentukan prsamaan garis lurus g yang melalui titik (1,3,1) dan sejajar garis

h 2,1,20,2,1,,: zyx !

Penyelesaian

Arah garis g 2,1,20,2,1,,: zyx

Sudut antara garis h dan garis k :

3,6,2,, zyx adalah 21

49364414

3.26.12.2cos

8.13. Kedudukan Garis Lurus dan Bidang Rata

Pandang garis lurus g yang ddengan vektor arah a = cba ,, dan bidang

rata V dengan vektor normal n = CBA ,, maka:

1. Garis lurus g sejajar bidang rata V vektor arah garis tegak lurus normal

bidang

atau n.a = 0 atau : 0 cCbBaA .............................................. (34)

2. Garis g tegak lurus bidang rata V vektor arah garis lurus = vektor normal

bidang rata (atau kelipatanya) atau Cc

Bb

Aa

........................ (35

3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi a n atau a.n = 0

0 cCbBaA ....................................................................... (36)

dan sembarang P pada garis g harus terletak pula pada bidang V.

1g sejajar denga bidang V

2g terletak pada bidang V

2g tegak lurus bidang V

Page 22: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

142 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Contoh 44 :

Garis lurus g : zyx

32

23 sejajar dengan V = x + y + z + 7 = 0,

Karena 01.1.1.1,3,2 tetapi g tidak terletak pada V. Karena suatu titik 0,2,3 pada g

tidak memenuhi persamaan V 070230

sedangkan garis 323

2:1

zyxg terletak pada V1 = x + y + z -1 = 0,

Karena 01.1.1.1,3,2 dan titik 2,3,1 pad 1g memenuhi persamaan

V 0123001

Sedangakan 2

3:2

zyxg tegak lurus bidan g2 52 zyx

Karena 2g 2,1,1: sama dengan vektor normal 2,1,1:2g .

8.14. Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain

Jika 1g : V 01 V 02 = U 2 maka persamaan umum dari garis lurus g yang

memotong 1g dan 2g adalah V 2121 0 UUV ................................. (37)

Contoh 45 :

tentukan pesamaan garus lurus yang melalui titik 1,1,2 dan 1g :

zyyx 2042 serta 2g : .852.43 zxzx

Penyelesaian

Garis lurus 085243.0242 zxzxzyyx ..................... (*)

memotong 1g dan 2g untuk setiap dan .

karena melalui 1,1,2 : (*) 01 dan ,01 atau .1,1 yang kita

subsitusikan :

,42.2 zxzyx merupakan persamaan yang duminta.

Page 23: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 143

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

2.15. Jarak Antar Dua Garis Lurus g1 dan g2

1. Bila g1 dan g2 sejajar , untuk menghitung jaraknya dapat dilakukan sebagai berikut:

- Pilihlah sembarang titik p pada g1

- Buatlah bidabg rata W melalui P dan tegak lurus g1, yang dengan sendirinya

juga tegak lurus g2

- Tentukan Q titik tembus g2 pada W

- Panjang PQ adalah jarak g1 dan g2

2. Bila g1 dan g2 bersilangan, dapat dilakukan sebagai berikut:

- Buat bidang rata W yang melalui g1 dan sejajar g2

- Pilih sembarang titik P pada g1

- Tentukan jarak P ke bidang W, merupakan jarak g1 dan g2.

Contoh 46 :

1. Tentukan jarak garis lurus g1

12

322

zyx , dan g2 :

1

83

42

zyx

Penyelesaian :

g1 // g2

pilihlah P (2,0,2) pada g1

persamaan bidan W melalui P dan tegak lurus g1

W = 2 2x + 3 0y + 2z = 0

2x + 3y + z – 6 = 0…………………………(*)

Page 24: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

144 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Mencari titik Q, yaitu titik terbus g1 pada W :

g2 dapat ditulis dalam persamaan parameter :

x = 2 , y = 4 + 3 , z = 8 + …………………(**)

dan subtitusinya ke (*) : 2(2 ) + 3(4 + 3 ) + (8 + ) – 6 = 0

14 + 14 = 0 1

Jadi Q(-2, 1, 7) berarti jarak g1 dan g2 adalah :

22 PQ + 22 2701 = 42

2. Tentukan jarak dan persamaan garis hubung terpendek dari sumbu Z kegaris lurus

g2 : x = -y + 1 = -z

Penyelesaian :

Sumbu Z mempunyai persamaan g1 : x = 0, y = 0, dan garis

g2 : x + z = 0, x + y – 1 = 0; bidang W melalui titik g1 berbentuk x + y = 0 dan //

g2 yang arahnya :

1101101

110

11

Berarti [ 1, 0, ] . 101,1,1

jadi W = x + y = 0 ; pilih sembarang titik P pada g2,

ambil x = 0 0 z , dan y = 1 atau P 0,1,0

jarak ke W = 0 adalah : d =

222 011

00.01.10.1

= 2212

1

g3 adalah garis hubung terpendek g1 dan g2, yang dapat dicari sebagai berikut :

bidang U melalui g2 dan tegak lurus W :

Page 25: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 145

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

,0101 zyxyxyx serta

: 00,1,1.1,,1

.21 berarti U= 02

12

12

1 ZYX atau x – y

+ 2z + 1 = 0

Titik tembus sumbu Z pada U : x = 0, y = 0,

z = 21,0,02

1

g1 melalui R dan vector arahnya = normal dari W berarti

g3: 0,1,121.0,0,, zyx atau x = y, z = 2

1

2.16. Jarak Sebuah Titik ke Sebuah Garis Lurus

Jarak p 111 ,, zyx ke garis g dapat kita cari sebagai

berikut :

- Buat bidang W melalui p tegak lurus g

- Cari titik Q, titik tembus g pada W.

- Garis PQ dalah suatu garis yang tegak lurus g dan

melalui titik P sehingga panjang PQ adalah jarak

titik P ke garis g

Contoh 47 :

Tentukan jarak titik 2,0,1 ke garis x = y = z

Penyelesaian:

Bidang W yang melalui 2,0,1 dan tegak lurus x = y = z adalah :

1 yx + 1 030210 zyxzy ………………(*)

Ttik tembus garis g pada W dpiperoleh dengan mensubsitusikan

x = y = z = ke (*) 1 atau titik tembus Q 1,1,1 .

jadi PQ = 2210111 222 adalah jarak yang diminta

Page 26: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

146 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Catatan:

Mencari persamaan garis h yang melalui titik P 111 ,, zyx serta memotong tegak lurus

g dengan persamaan zyx ,, = 222 ,, zyx + cba ,, .

Misalkan Q pada garis g berarti kordinat Q czbyax 222 ,, .

Vector PQ = 121212 ,, zczybyxax merupakan arah garis h

sebagai contoh, kita hendak memecahkan contoh 3 diatas, ambil Q ,, pada g,

vector

PQ= ,2,,1

PQ tegak lurus arah g, yaitu 1,1,1 berarti : 011 atau 1

Titik Q ( 1,1,1 ) dan jarak P ke garis g = PQ = 222 )21()01()11( = 2

2.17. Perpotongan Tiga Bidang Rata

Pandang tiga bidang rata :

V1 = A1x + B1y + C1z + D1

V2 = A2x + B2y + C2z + D2

V3 = A3x + B3y + C3z + D3

V1, V2 dan V3 tidak ada yang sejajar, terdapat tiga kemungkinan kedudukan ketiga

bidang tersebut :

1. hanya mempunyai satu titik persekutuan ( membentuk jaringan bidang ),

2. mempunyai satu garis lurus persekutuan ( membentuk berkas bidang ),

3. membentuk satu prima segitiga

h

Page 27: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 147

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

pandang bahwa V1 danV2 tidak sejajar. Garis potong V1 dan V2 yaitu g mempunyai

arah

n1 n2 = 222111 ,,,, CBACBA dan melalui titik P

0,,

22

11

22

11

22

11

22

11

BABADADA

BABABDBD

maka V1 = 0. V2 = 0. V3 = 0 membentuk prisma sisi tiga jika

g // V3 (g tidak terletak pada V3).

Berarti : 0. 321 nnn atau bila :

0

333

222

111

222

111

333

CBACBACBA

CBACBACBA

…………………(38)

dan misalkan titik P terletak pada V3 = 0, berarti tidak terpenuhi hubungan :

Atau tidak memenuhi:

A3 = 00 33

22

11

22

11

22

11

22

11

DC

BABADADA

BABABDBD

atau tak memenuhi :

3333

2222

1111

DCBADCBADCBA

= 0 ……………………….(39)

Page 28: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

148 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Jadi:

- Ketiga bidang rata membentuk suatu berkas bidang rata, jika terpenuhi

persamaan (38) dan (39)

- Ketiga bidang rata membentuk suatu prisma sisi tiga jika terpenuhi persamaan

(38) dan (39)

- Dalam hal lain, membentuk jaringan.

Contoh 48 :

Tentukan bahwa bidang ,03 zyx 0223 zyx dan 07742 zyx

membentuk prisma segitga.

Penyelesaian

Persamaan (38) terpenuhi, yaitu :

07 4 22- 1 31 1 1

sedangkan persamaan (39)

,0407 4 22- 1 33 1 1

tidak terpenuhi.

Page 29: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 149

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

8.18. Soal-soal dan Pemecahannya

1. Tentukan persamaan bidang rata melalui titik P (2,2,1) dan Q (9,3,6) serta tegak lurus

bidang V = 2x + 6y + 6z = 9 !

Penyelesaian :

Misalkan persamaan bidang W = Ax + By + Cz + D = 0,

Melalui titik P(2,2,1) 2A + 2B + C + D = 0 …………………………..(1)

Melalui titik Q(9,3,6) 9A + 3B + 6C + D = 0 …………………………(2)

Dan karena tegak lurus V, 2A + 6B + 6C = 0……...…………………..(3)

(2) – (1) : 9A + 3B + 6C + D = 0

2A + 2B + C + D = 0 -

7A + B + 5C = 0 …………………………………………(4)

Dan (4) – (3) : 7A + B + 5C = 0 (x6)

2A + 6B + 6C = 0 (x1)

42A + 6B + 30C = 0

2A + 6B + 6C = 0 -

40A + 24C = 0

A = -3/5C

Substitusikan nilai A ke persamaan (4) : 7(-3/5C) + B + 5C = 0, diperoleh B = -4/5 C.

substitusikan nilai A dan B ke ke persamaan (1) : 2(-3/5C) + 2(-4/5C) + C + D = 0,

diperoleh D = 9/5 C.

jadi persamaan bidang yang dimaksud adalah :

-3/5Cx – 4/5Cy + Cz + 9/5 C = 0, C = -5

maka : 3x + 4y – 5z – 9 = 0

Page 30: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

150 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

2. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui (-1,3,2) serta tegak lurus bidang-bidang

V1 = x + 2y + 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8 !

Penyelesaian :

Bidang W yang diminta, melalui (-1,3,2) berbentuk

A(x + 1) + B (y – 3) + C (z – 2) = 0,

W tegak lurus dengan V1 maka A + 2B + 2C = 0 ……………..(1)

W tegak lurus dengan V2 maka 3A + 5B + 2C = 0 ……………(2)

(2) – (1) diperoleh 2A + 3B = 0 atau A = -3/2 B .

-3/2 B(x + 1) + B (y – 3) – 1/4 B(z – 2) = 0, atau 6x – 4y + z + 16 = 0

3. Tunjukan bahwa garis lurus yang menghubungkan titik-titik P(-1,-2,-3) dan Q(1,2,-5)

serta garis lurus yang menghubungkan R(6,-4,4) dan S(0,0,-4) saling berpotongan.

Penyelesaian :

jelas bahwa PQ = [2,4,-2] tidak sejajr denga RS = [-6,4,-8]. Selanjutnya akan

ditunjukan bahwa keempat bidang tesebut sebidang.

W 0121

727242

PSPSPS

PRPRPR

PQPQPQ

zzyyxxzzyyxxzzyyxx

Jadi P,Q,R, dan S terletak pada suatu bidang PQ tidak sejajar dengan RS. Berarti

garis melalui PQ berpotongan dengan garis melalui RS.

4. Tentukan persamaan bidang rata W melalui garis potong bidang

V 0731 zyx

dan V 05322 zyx serta tegak lurus bidang V .07323 zyx

Penyelelasian :

W melalui perpotongan V 1 dan V 2 berarti berbentuk berarti

053273 zyxzyx

Page 31: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 151

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

05731321 zyx .

Dan karena tegak lurus V 1 . Maka dot product

: 922903,2,1.31.3.21

Jadi W : 0.57.31..3..21 92

92

92

92 zyx

Atau 073152913 zyx

5. Tentukan persamaan garis lurus yang memotong kedus garis lurus

zyxyxg 32012:1 dan 325403:1 zyxzxyg serta

.32

:3zyxg

Penyelasaian :

Persamaan umum garislurus yang memotoing garis 1g dan 2g adalah :

03222303212zyxzyx

zyxyxg

Atau 2

1

32215143013212

VzyxVzyx

Karena g sejajar dengan 3g berarti arahnya = [1,2,3], yang tegak lurus normal bidang

1g dan normal bidang 2g , berarti : 3203.32.2

Dan 2103212.511.43

Maka persmaan garis lurus yang diminta adalah :

07472.03674: zyxzyxg

6. Tentukan persamaan vektoris garis lurus hasil proyeksi tegak lurus g. [x,y,z] = [1,-1,2]

pada 1,0,2 pada bidang rata W = 2x + 3y – z = 0.

Penyelesaian :

Garis lurus g proyeksi P merupakan garis potong antara W dan V (yang melalui g dan

tegak lurus W).

Page 32: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

152 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

g : x - 2z + 3 = 0. y = -1

W berbentuk 0320132 zyxyzx

V W 340232

V 05643 zyx

Jadi P:

05643032

zyxVzyxW

Yang arahnya 1g :

49

3643

3217

13222

Untuk menetukan sebuah titik pada P kita boleh mengambil titik tembus g pada W

yaitu diperoleh dari subsitusi : 1302013212 atau titik

potong 3,1,3

7. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P(1,-2,-3), sejajar bidang rata V

022 zyx menyilang tegak lurus .23,14:1 zyzxg tentukan pula

jarak dari awal sumbu ke garis

Penyelesaian

vektor arah g1 :

130310

011

4041

Page 33: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 153

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Misalkan vektor arah garis g = [a,b,c] karena g // bidang rata V

02202,1,2.,, cbacba ................................................................ (*)

Dan tegak lurus 1g 03401,3,4.,, cbacba .................................. (**)

Dengan menyelesaikan (*) dan (**) diperoleh : b = c dan a = c21 . Karena g melalui

(1,-2,-3), persamaannya : [x,y,z] = [1,-2,-3] + [ c21 ,c,c] = 1,2,13,2,1

Untuk mencari jarak titik O(0,0,,) k g, kita dapat buat bidang U melalui O(0,0,0)

tegak lurus .022: zyxUg

titik tembus U 102322221: .

Titik tembus Q(2,0,-1)

Jarak O ke g adalah :

OQ .5102 222

8. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P(1,0,-1), terletak pada bidang

03 zyxV serta tegak lurus garis 1g : 1532.32 zyxzyx

Penyelesaian :

Garis g hanya mungkin bila titik P terletak pada bidang W. Ternyata terpenuhi

1+3.0-1=0.

Jadi P terletak pada bidang V.

Misalkan, vektor arah dari g : a = [a,b,c], karena g terletak pada V berarti a tegak

lurus vektor normal dari V, 0301,3,1.,, cbacba

................................................ (1)

Vektor arah 1g :

375532

217

1271

Karena g 1g berarti 007,7,7.,, cbacba ..................................... (2)

Page 34: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

154 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) diperoleh .2, bcba dan karena

gmelalui (1,0,-1) persamaannya :

bbbcba 2,,1,0,1,, atau 2,1,11,0,1,, cba .

9. Tunjukan bahwa ketiga bidang rata V 0321 zxy ,

V 0122572 zyx , V 04323 zyx berpotongan hanya pada satu titik

(jadi membentuk jaringan bidang). Kemudian tentukan persamaan bidang W yang

melalui titik potong tersebut dan sejajar pada bidang V 0434 zy .

Penyelesaian :

076321257

122

Jadi titik potong di satu titik.

Persamaan bidang melalui titik potong :

0321 VVV atau

05321225732 zyxzyxzyx 05123.321.251.72 zyx

Karena //V4 berarti 072 serta 33211.251

dimana 194 dan 19

10 ,

W : 015571903 194 zyy

Page 35: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 155

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

8.19. Soal-Soal Latihan

1. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier bidang rata melalui titik :

(a) (3,4,1), (-1,-2,5), (1,7,1)

(b) (3,1,4), (2,1,6), (3,2,4)

(c) (3,2,1), (1,3,2), (1,-2,3)

Penyelesaian :

(a) 032623,0,3,24,6,41,4,3,, zyxzyx

(b) 0102,0,1,02,0,14,1,3,, zxzyx

(c) 01653,2,4,21,1,21,2,3,, zyxzyx

2. Apakah empat titik berikut sebidang, jika sebidang tentukan persamaan liniernya :

(a) (2,1,3), (4,2,1), (-1,-2,4), (0,0,5)

(b) (4,2,1), (-1,-2,2), (0,4,-5), 0,, 21

21

(c) (3,1,2), (4,-2,-1), (1,2,4), (1,2,1)

Penyelesaian:

a. Ya. 015345 zyx

b. Ya. 03131711 zyx

c. Tidak

3. Tentukan hal-hal istimewa pada bidang-bidang rata berikut serta berikan gambarnya :

(a) x + y = 6

(b) 2x – z = 0

(c) 2y – 3z = 6

(d) X – 6 = 0

(e) 2x + 4y + 3z = 0

(f) 3x – 5y + 2z = 30

Page 36: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

156 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

4. Tentukan persamaan linier bidang rata :

(a) Melalui (3,-2,-4) yang hotizontal :

(b) Sejajar su,bu Z memotong sumbu X positif sebesar 2, memotong sumbu Y

negatif sebesar 3.

(c) Melalui (3,-2,4) dan tegak lurus garis [x,y,z] = 3,2,2

(d) Melalui (-1,2,-3) tegak lurus dan garis lurus yang melalui (-3,2,4) dan (5,4,1)

(e) Tegak lurus berpotonga garis P(-2,2,-3) dan Q(6,4,5) seerta melalui tengah-

tengah PQ

Penyelesaian:

(a) z + 4 = 0

(b) 3x – 2y – 6 = 0

(c) 2x + 2y – 3z + 10 = 0

(d) 8x + 2y – 3z = 0

(e) 4x + y + 4z – 15 = 0

5. Tentukan persamaan linier bidabg rata yang :

(a) Melalui (-1,2,4) dan sejajar bidang rata 2x – 3y – 5z + 6 = 0

(b) Sejajar bidang rata 3x – 6y – 2z = 0 dan berjaraj 3 dari titik asal (0,0,0)

(c) Sejajar bidang rata 4x – 4y + 7z – 3 = 0 dan berjarak 4 dari titik (4,1,-2)

Penyelesaian :

(a) 2x – 3y – 5z + 28 = 0

(b) 3x – 6y – 2z 21 = 0

(c) 4x – 4y + 7z + 38 = 0

Page 37: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 157

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

6. Tentukan persamaan bidang rata :

(a) Melalui (3, –2,4) dan tegak lurus bidang rata 7x – 3y + z – 5 = 0 dan

4x – y – z + 9 = 0

(b) Melalui (4,–3,2) dan tegak lurus garis potong bidang rata x – y + 2z – 3 = 0 dan

2x – y – 3z = 0

(c) Yang tegak lurus bidang rata 3x – y + z = 0 dan x + 5y + 3z = 0 serta berjarak

6 dari titik asal

(d) Melalui titik (2,1,1) dan (3,2,2) serta tegal lurus bidang rata x + 2y – 5z = 0

Penyelesaian:

(a) 4x + 11y + 5z – 10 = 0

(b) 5x +7y + z – 1 = 0

(c) x + y – 2z 6 = 0

(d) 7x – 6y – z – 7 = 0

7. Tentukan titik potong ketiga bidang rata :

(a) 2x – y – 2z = 5. 4x + y + 3z = 1. 8x – y + z = 5

(b) 2x + y – z – 1 = 0 . 3x – y –z + 2 = 0. 4x – 2y + z – 3 = 0

(c) 2x + 3y + 3 = 0. 3x + 2y – 5z + 2 = 0. 3x – 4z + 8 = 0

Penyelesaian :

(a) 3,4,23

(b) (1,2,3)

(c) 21

23 ,2,

Page 38: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

158 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

8. Suatu bidang rata memotong sumbu-sumbu koordinat titik A, B dan C sedemikian

sehingga titik berat segitiga ABC adalah titik (a,b,c) tunjukan bahwa persamaan

bidang rata tersbut adalah 3cz

cy

ax

9. Tentukan persamaan bidang rata :

(a) melalui sumbu X dan tegak lurus bidang rata 2x – y – 3z = 5

(b) melalui garis potong bidang-bidang rata x + y + z = 6 dan 2x + 3y + 4z + 5 + 0

serta titik (1,1,1)

(c) melalui garis potong bidang-bidang rata 2x – y = 0 dan 3z – y = 0 serta tegak

lurus bidang rata 4x + 5y – 3z = 8

(d) melalui garis potong bidang-bidang rata ax + by + cz + d = 0 , a1x + b1y + c1z + d

= 0 serta tegak lurus bidang XOY

Penyelesaian :

(a) 3y – z = 0

(b) 20x + 23y +26z – 59 = 0

(c) 28x – 17y + 9z -0

(d) 0111111 cddccbbcycaacx

10. Tentukan persamaan bidang rata yang :

(a) melalui titik (3,–3,1) dan tegak lurus garis lurus yamg menghubungkan titik (3,4,-

1) dan (2,-1,5).

(b) membagi dua potongan garis lurus yang melalui (1,2,3), (3,4,5) dengan sudut

siku-siku.

Penyelesaian

(a) x + 5y – 6z + 18 =0

(b) x + y + z = 9

(c)

Page 39: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 159

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

11. Tentukan jarak

(a) titik (-2,2,3) kebidan rata 2x + y – 2z = 4

(b) titik (0,2,3) ke bidang rata 6x – 7y – 6z + 22= 0

(c) bidang rata : 2x – 2y + z + 3 = 0 dan 4x – 4y + 2z + 5 = 0

(d) bidang-bidang rata : 6 x – 2y + 3z = 7 dan 6x – 2y + 3z = 9

Penyelesaian:

(a) 4

(b) 1110

(c) 61

(d) 72

12. Buktikan bahwa bidang-bidang rata bagi (bissectors) dari bidang-bidang rata :

A1x + B1y + C1z + d2 = 0 dan A2x + B2y + C2z + d2 = 0 adalah :

22

22

22

2222

21

21

21

1111

CBA

DyCyBxA

CBA

DyCyBxA

(tanda . Menunjukkan bidang bagi dalam atau bidang bagi luar). Tentukan bagi

dalam bidang-bidang rata : x + 2y + 2z – 3 = 0 dan 3x + 4y + 12z + 1 = 0

Pernyelesaian : 11x + 19 y + 13z – 18 = 0

13. Tunjukan volume bidag empat yang dibatasi oleh bidang-bidang rata : y + z = 0, z

+ x = 0, 0 yx dan x + y + z = 1

Penyelesaian : 32

Page 40: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

160 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

14. Tunjukan bahwa bidang-bidang berikut merupakan sisi-sisi sebuah parallel

epipedum : 3x – y + 4z – 7 = 0, x + 2y – z + 5 = 0, 6x – 2y + 8z + 10 = 0, 3x + 6y –

3z – 7 = 0

15. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan-persamaan linier garis lurus melalui

titik

(a) (1,2,1), (-2,3,2)

(b) (1,-3,2), (4,1,0)

(c) (1,0,2), (2,3,2)

Penyelesaian :

(a) [x,y,z]= [1,2,,1] + [-3,1,1], 1231

zyx

(b) [x,y,z]= [1,-3,2] + [3,4,-2], 223

31

zyx

(c) [x,y,z]= [1,0,2] + [1,3,0], x – 1 = 23

zy

16. Tentukanlah vektor arah, kemudian persamaan vektoris garis lurus perpotoongan

bidang-bidang rata :

(a) x – 2y + z = 0, 3x + t + 2z + = 7

(b) 2x + 3y – 2 = 0, y – 3z + 4 = 0

(c) x + 2z – 6 = 0 , y = 4

Penyelesaian :

(a) [x,y,z] 7,1,50,1,2

(b) [x,y,z] 2,6,90,4,7

Page 41: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 161

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

(c) [x,y,z] 1,0,20,4,6

17. Tentukan koordinat titik tembus :

(a) Garis lurus 2

23

31

zyx dan bidang rata 5543 zyx

(b) Garis lurus x – y – z + 8 = 0. 5x + y +z + 10 = 0 dan bidang rata x + y + z – 2 = 0

(c) Garis lurus yang melalui (2,-3,1), (3,-4,-5) dan bidang rata 2x + y + z = 7

Penyelesaian

a. (1,3,-2)

b. (-3,3,2)

c. (1,-2,7)

18. Tentukanlah

(a) jarak titik tembus garis lurus 12

24

13

2

zyx dan bidang rata

5 zyx ke titik (-1,-5,-10)

(b) tentukan pajang potongan garis dari (3,-4,5) ke bidang 2x + 5y – 6z = 19 yang

diukur sepanjang garis lurus dengan vektor arah [2,1,-2]

(c) carilah koordonat bayangan dari titik (1,3,4) pada bidang rata 2x – y + z + 3 = 0

Penyelesaian

(a) 13

(b) 9

(c) (-3,5,2)

19. Tentukanlah

Page 42: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

162 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

(a) persamaan garis lurus melalui titik (-1,3,2) dan tegak lurus x + 2y + 2z = 3,

tentukan pula titik tembus garis tersebut pada bidang rata.

(b) Tentukan koordinat titik tembus garis lurus yang ditarik dari titik asal. Tegak

lurus bidang rata V = 2x + 3y – 6z + 49 = 0, pada V. Tentukan pula bayangan

titik asalpada bidang rata V.

Penyelesaian

(a) ( x + y) 32

35

35 ,,;

22

23

zy

(b) (-2,-3,6), (-4,-6,12)

20. Tunjukan bahwa kedua garis lurus berikut berpotongan, dan tentukan bidang yang

memuat kedua garis tersebut. Serta titik potong kedua garis tersebut !

(a) 02

15

63

4

zyx dan 3x – 2y + z + 5 = 0 = 2x + 3y + 4z – 4

(b) 810

31

21

zyx dan (x – 4)

71

43

zy

(c) 7

55

33

1

zyx dan 5

63

42

zyx

Penyelesaian

(a) 45x – 17y + 25z + 53 = 0. (2,4,-3)

(b) 11x – 6y – 5z – 67 = 0. (5,-7,6)

(c) X – 2y + z = 0. 23

21

21 ,,

21. Tunjukan bahwa kedua garis lurus ini sejajar. Hitung jaraknya !

(a) x + 2y = 6, z – 2 = 0 dan z + 2y = 9, z = 0

(b) zyx

26

7 dan 112

16

2

zyx

Penyelesaian :

(a) 13

Page 43: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 163

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

(b) 165

22. Tentukan persamaan bidang rata yang memuat garis-garis lurus

(a) 5

2434

zyx dan

5423 zyx

(b) x = y = z dan (x – 3)= (y +1) = z

Penyelesaian

(a) 11x – y - 3z = 3

(b) X + 3y – 4z = 0

23. Tentukan jarak :

(a) Titik (4,-5,3) ke garis lurus 5

643

33

zyx

(b) Titik (5,4,-1) ke garis lurus 592

8 zyx

Penyelesaian :

(a) 6

(b) 99

24. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui P dan memotong tegak lurus g bila :

(a) P(2,4,-1), 96

435:

zyxg

(b) P 42

213:,3,2,2

zyxg

(c) P(0,0,0), g : x + 2y + 3z + 4 = 0 = 2x + 3y + 4z + 5 = 0

Penyelesaian

(a) 2

13

46

2

zyx

Page 44: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

164 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

(b) 31

26

2

zyx

(c) 42zyx

25. tentukan persamaan garis yang memotong 2201 zyxzyx dan

44203 zyxzyx serta melalui titik (1,1,1). Carilah titik potongnya !

Penyelesaian x = 1, 3

11

zy , 2,0,1,,,1 21

21

26. Tentukan persamaan garis lurus yang :

(a) Ditarik dari titik asal dan memotong garis-garis lurus 3x + 2y + 4z – 5 = 0

1432 zyx dan 3430642 zyxzyx

(b) Melalui (1,0,-1) dan memotong garis lurus x = 2y = 2z serta

254.143 zxyx

Penyelesaian

(a) zyxzyx 3128041313

(b) 9

16

1

zyx

27. Sebuah garis, sejajar garis zyx 4/7/2 dan memotong garis-garis

3/1x = 1/7 y 2 z serta

.4/)5(2/)3(3/)3( zyx tentukanlah titik-titik potong tersebut !

Penyelesaian : (7,5,0); (0,1,1)

Page 45: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 165

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

28. Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar 4/3/2/ zyx dan memotong garis-

garis lurus 9x + y + z + 4 = 0 = 5x + y + 3z serta x + 2y – 3z – 3 = 0 = 2x – 5y + 3z

+ 3 !

Penyelesaian : 4/3/2/)1( zyx

29. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-4,3,1) sejajr x + 2y – z = 5

serta )3(2/)3(3_/1( zyx tentukan pula tiik potongnya !

Penyelesaian

)3,1,2).(1()3(3/)4( zyx

30. Tentukan persamaan garis lurus yang memotong tegak lurus garis

y – 2z = 0 , x – 2z = 3 dan terletak seluruhnya pada bidang x + 3y – z + 4 = 0

Penyelesaian:

4/)1(3/)2(5/)1( zyx

31. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3,4) tegak lurus sumbu X dan

memotong garis x = y = z !

Penyelesaian :

x = 2, 2y – z = 2

32. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik asal dan memotong garis lurus

zyx )3(2/)3( denga sudur 60 0 !

Penyelesaian :

2/2/ zzyx

Page 46: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

166 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

33. Tentukan jarak dan persamaan garis hubung terpendik garis-garis lurus :

(a) 5/)9(7/)14(2/)3( zyx serta 3/)9(1/)1(2/)1( zyx .

(b) 1/)2(2/)4(1/)3( zyx serta 2/)2)3/)7(1/)1( zyx

(c) 5x – y – z = 0. x – 2y + z – 3 = 0 serta 7x – 4y – 2z = 0. x – y + z – 3 = 0

Penyelesaian :

(a) 34.zyx

(b) 35.5/)3(3/)2()4( zyx

(c) 75.673158039192017 13xzyxzyx

34. Tentukan persamaan garis lurus yang memotog dengan sudut yang sama garis-garis

lurus 4 yx dan 4,0 zy serta tegak lurus x = y = z.

Penyelesaian : .2/)8(2 zyx

35. Bagaimana perpotongan tiga bidang rata berikut ?

(a) 01822,02245,02254 zyxzyxzyx

(b) 052,0433,0232 zyxzyxzyx

(c) 051027,092263,02735 zyxzyxzyx

Penyelesaian :

(a) prisma

(b) titik (jaringan bidang)

(c) garis lurus (berkas bidang)

Page 47: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 167

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

Soal-soal Tambahan

1. Tentukan volume dari bidang empat yang dibatasi bidang-bidang rata lx + my + nz=

p, 0 nzmylx . nz + lx = 0

Penyelesaian

lmnp 332

2. Bidang-bidang rata dibuat sehingga sudutnya dengan garis lurus x = y = z adalah 600

dan sudutnya dengan gars lurus 0x adalah 450. tujukan bahwa semua bidang-

bidang rata itu memuat 60 0dengan bidang x = 0

3. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik (0,1,1) dan (2,0,-1) serta garis

lurus yang melalui titik (-1,2,-2) dan (3,-2,4). Tentukan pula jarak antara garis lurus

dan bidang rata.

Penyelesaian

1379.011106 zyx

4. Tunjukan bahwa bayangan garis lurus x – 1 = -9 (y – 2) = -3(z + 3) pada bidang rata

3x – 3y + 10z = 16 adalah garis lurus

Penyelesaian

3/)7(1/)1(9/)4( zyx

5. Tentukan persamaan garis lurus tyany melalui titik (3,1,2) memotong garis lurus

2(214 zyx dan sejajar bidang rata 4x + y + 5z = 0.

Penyelesaian

2/)2)2/)1(3/)3( zyx

6. Garis lurus 8/)14(3/)10(3/)7( zyx adalah hipotenusa (sisi miring) sebuah

segitiga siku-siku sama kaki yang titik sudutnya (7,2,4). Tentukan persamaan kedua

sisi yang lain !

penyelesaiaan

2/)4(6/)2(3/)7( zyx dan 6/)4(3/)2(2/)7( zyx

Page 48: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

168 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

7. Tentukan persamaan kedua garis lurus yang ditarik dari titik asal dan memotong garis

lurus zyx )3(2/)3( dengan sudut 600.

Penyelesaian

zyxzyx 21

21 ,

8. Tentukan garis lurus yang merupakan proyeksi tegak lurus garis garis lurus

22,123 zxzyx ke bidang 023 zyx

Penyelesaian :

15/)1(9/)1(11/)1( zyx

9. Tunjukan bahwa bidang-bidang rata 2x + 3y + 4z = 6 , 3x + 4y + 5z = 2,

232 zyx membentuk prisma, tentukanlah lusa dari perpanjangantegak lurusnya

Penyelesaian :

638

10. Segitiga dengan titik sudut (5,-4,3), (4,-1,-2), dan (10,-5,2) diproyeksikan tegak lurus

ke bidang x – y = 3 tentukan koordinatdari titi-titik sudut dan luas segitiga hasil

proyksi tersebut!

Untuk soal-soal 11 sampai dengan 16, kubus ABCD-EFGH dengan rusuk = 4 di

tempatkan di oktan seperti pada gambar

Page 49: Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 169

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

11. Tentukan persamaan garis lurus yang memotong tegak lurus garis-garis BD dan CF

Penyelesaian :

x + z = y = 4

12. Bila P titik tengah rusuk AE, tentukan persamaan garis lurus yang melalui P,

memotong HF serta tegak lurus CF.

Penyelsaian :

)2(3/)4( zyx

13. Tentukan persamaan garis lurus yang bersudut sama besar dengan rusuk-rusuk AB

dan EH, tegak lurus AG serta memotong EH dan DC !

Penyelesaian :

.2/1/)2( zyx

14. Tentukan persamaan garis lurus yang berjarak 3 dari bidang BDE serta memotong

EH dan CG !

Penyelesaian :

11/)4(4/7/)7(;5/)4(4/1/)01( zyxzyx

15. Tentukan persamaan garis sejajar AG. Memotong BE di P dan CF di Q. Buktikan

bahwa PQ merupakan garis hubung antara BE dan CF !

Penyelesaian :

0820122 zyxzyx

16. Tentukan pesamaan garis yang sejajar dengan bidang alas ABCD, memotong DE di

P dan memotong BC di Q sedemikian hingga PQm = 52

Penyelesaian :

P(3,0,3), Q(1,4,3) ; 3;2/)3(: zyxPQ dan P(1,0,1)

Q(3,4,1); PQ(x – 1) 1;2/ zy