bab viii bidang rata dan garis lurus

Download Bab Viii Bidang Rata Dan Garis Lurus

Post on 02-Aug-2015

1.723 views

Category:

Documents

183 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 121 By : Turmudi E-mail : toermoedy@yahoo.co.id blog: www.toermoedy.wordpress.com BAB VIII BIDANG RATA DAN GARIS LURUS 8.1. Persamaan Vektoris Bidang Rata Suatubidangrataakantertentubiladiketahuitigabuahtitik(yangtidak segaris)yangterletakpadabidangratatersebut.Misalkan,diketahuitigatitikpada bidang rata V: Titik P( )1 1 1, , z y x , Q( )2 2 2, , z y x , dan R( )3 3 3, , z y xPQ| |1 2 1 2 1 2, , z z y y x x =PR| |1 3 1 3 1 3, , z z y y x x =Untuk setiap titik sembarang ( ) z y x X , ,pada bidang rata V berlaku ( ) < < < + = , PR PQ PX Terlihat jelas pada gambar bahwaOX = OP + PX Atau:| | | | | | | |( ) 1 , , , , , , , ,1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1z z y y x x z z y y x x z y x z y x + + = ( ) < < < , adalahpersamaanvektorisbidangratamelaluitigatitik. Keduavektor PQ dan PR disebut vektorvektor arahbidang (setiap duavektor, yang tidaksegaris,padabidangmerupakanvektorvektorarahbidnagtersebut)sehingga persamaanvektorisbidangratadiketahuimelaluisatutitikP( )1 1 1, , z y x dandiketahui kedua vektor arahnya a | |a a az y x , , = dan b| |b b bz y x , , =adalah:| | | | | | | |b b b a a az y x z y x z y x z y x , , , , , , , ,1 1 1 + + = (2) ( ) ~ ~ ~, ~ < < < < dan persamaan 2 dapat ditulis menjadi bidang parameter bidang rata: b ax x x x + + =1(3) b ay y y y + + =1.. (4) b az z z z + + =1 (5) 122| Geometri Analitik Datar dan Ruang 8.2. Persamaan Linier Bidang Rata Kalaudankita eleminasikan dari persamaan 3 dan 4 diatas diperoleh :( ) ( )Cy y x x x yb b 1 1 = dan ( ) ( )cx x y y y xa a 1 1 = di manaC b ba ab a b ay xy xx y y x = =..............................................................(6) dan misalkan =0 kemudian Kalau dandi atas kita substitusikan ke persamaan 5 diperoleh:( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } 01 1 1 1 1= x x y y y x z y y x x x y z z z Ca a b b b a atau( )( ) ( )( ) ( ) 01 1 1= + + z z C y y z x x z x x y z z yb a b a b a b a................ (7) Az yz yy z z yb ba ab a b a= = Bz yz yz x x zb ba ab a b a= = danD Cz By Ax = + +1 1 1 persamaan 7 menjadi0 = + + Cz By Ax .................. (8) yang merupakan persamaan linear (umum) dari suatu bidang rata. 8.3. Vektor Normal dari Bidang Rata V Ax + By + Cz + D = 0 terlihat bahwa vektor| | iz yz yC B Ab ba a= , ,+jx zx zb ba a +ky xy xb ba a = b b ba a az y xz y xk j i = a x b, jadi merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh a dan b, dalam hal inibidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0 Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 123 By : Turmudi E-mail : toermoedy@yahoo.co.id blog: www.toermoedy.wordpress.com n = [ A,B,C] disebut vektor normal dari bidang rata V = 0 tersebut. Vektor normal iniakan memegang peranan penting dalam pembahasan suatu bidang rata. Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu titik( )1 1 1, , z y x dengan vektor normalnya| | C B A , , berbentuk: ( ) ( ) ( ) 01 1 1= + + z z C y y B x x A . (9) Catatan: Hal-hal khusus dari bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0. 1bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O(0,0,0) dan sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai harga D = 0. 2apabila D= 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi Ax/ -D + By/ -D + Cz/ -D = 1dan sebut berturut-turut A/ -D = p,B/ -D= q, C/ -D = r, didapat persamaan x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu X di ( ) 0 , 0 , p sumbu Y di( ) 0 , , 0 p , sumbu Z di( ) p , 0 , 0 . 3bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X bila B = 0, bidang rata sejajar sumbu Y bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z 4bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidangXOY bila B = C = 0, bidang rata sejajar bidangXOZ bila C = C = 0, bidang rata sejajar bidangZOZ Contoh 28 : 1.Persamaan vektoris bidang rata melalui titik (1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7) adalah| | | | | | | | 2 7 , 1 3 , 1 1 2 5 , 1 3 , 1 2 2 , 1 , 1 , , + + = = z y xatau| | | | | | | | 5 , 2 , 0 3 , 2 , 1 2 , 1 , 1 , , + + = = z y xpersamaan parameternya adalah: + =1 x . 2 2 1 + + = y . 5 3 2 + + = z . 124| Geometri Analitik Datar dan Ruang Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dengan mencari vektor normal sebagai hasil cross product| || | | | 2 , 5 , 4 5 , 2 , 0 3 , 2 , 1 = Kita dapat mengunakan hubungan (9): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ) 2 ( 2 1 5 1 4 01 1 1= + = + + z y x z z C y y B x x A atau 0 13 2 5 4 = + z y x2.Bidang 2x + 3y 4z = 12 dapat ditulis menjadi x/6 + y/4 + z/3 = 1 akan memotong sumbu-sumbu di (6,0,0), (0,4,0) dan (0,0,3). 3.Bidang x + y z = 0 akan melalui titik asal (0,0,0). Untuk menggambarnya kita tentukan garis-garis potong dengan bidang-bidang koordinat : Garis potong dengan XOY : z = 0, x + y = 0Garis potong dengan XOZ : y = 0, x z = 0Garis potong dengan YOZ : z = 0, y z = 0 Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 125 By : Turmudi E-mail : toermoedy@yahoo.co.id blog: www.toermoedy.wordpress.com 4.Bidang x = 2y, bidang ini sejajar sumbu Z (hal di mana C = 0) dan melalui titik asal (hal di mana D = 0) berarti bidang ini melalui sumbu Z. garis potonngnyadengan bidang XOY adalah z = 0, x = 2y. 5.Bidang x + y = 4, bidang ini sejajar sumbu X (hal ini di mana A = 0 ). Garis potongnya dengan bidang YOZ adalah x = 0, y + z = 4. Catatan: 1.Kalau persamaan (7), (pada bagian 2) yang lalu :( )( ) ( )( ) ( )( ) 01 1 1= + + z z x y y x y y z x x z x x y z z yb a b a b a b a b a b a kita tulis dalam bentuk dot prudoct akan menjadi : ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | |b a b a b a b a b a b ax y y x z x x z y z z y z z y y x x , , . , ,1 1 1 (10) atau( )1r r . n = 0 di mana r = vektor posisi sebarang titik pada bidang, 1r vektor posisi suatu titik tertentu pada bidang dan n =vektor normal bidang. 126| Geometri Analitik Datar dan Ruang 2.Tapi nb a = . di mana a dan b adalah vektor-vektor pada bidang, sehingga (10) dapat ditulis sebagai ( )1r r . ( ) b a = 0 atau: b b ba a az y xz y xz z y y x x1 1 1 = 0...............................................................(11)adalah persamaan bidang melalui titik( )1 1 1, , z y x P dengan vektor-vektor arah | |a a az y x a , , =dan| |b b bz y x b , , = . 3.Kalau a kita ambil bertitik awal di( )1 1 1, , z y x P dan titik ujungnya( )2 2 2, , z y x Q serta b titik awalnya( )1 1 1, , z y x Pdan titik ujungnya ( )3 3 3, , z y x R maka bentuk (11) menjadi 01 3 1 3 1 31 2 1 2 1 21 1 1= z z y y x xz z y y x xz z y y x x ..........................(12)adalah persamaan bidang rata diketahui melalui 3 titik( )1 1 1, , z y x P , ( )2 2 2, , z y x Qdan( )3 3 3, , z y x R yang ditulis dalam bentuk diterminan. 4.Jadi empat buah titik( x1, y1, z1 ), ( x2, y2, z2 ), ( x3, y3, z3 ), ( x4, y4, z4 ) akan sebidang jika dan hanya jika : 1 4 1 4 1 41 3 1 3 1 31 2 1 2 1 2z z y y x xz z y y x xz z y y x x = 0 ............(13) 8.4. Persamaan Normal Bidang Rata Misakan| | C B A n , , = adalah vektor normal bidang , , , 0 = + + + D Cz By Ax Vberturut- turut sudut antara n dengan sumnu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan oleh vektor i, j, dan k). Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 127 By : Turmudi E-mail : toermoedy@yahoo.co.id blog: www.toermoedy.wordpress.com Ternyata bahwa :cos= nAi ni n=. cos = nBj nj n=..........(14) cos= nCk nk n=. atau : [cos ,cos ,cos ] = | |nnnC B A= =, ,cos , cos , cos ..............(15) yaitu vektor satuan yang searah dengan n, juga berarti bahwa 2 2 2cos cos cos + + | | 2 2 2cos , cos , cos . 1 = = n disebut vektor cosinus dari bidang V. atau boleh dikatakan juga vektor normal yang panjangnya satu. Misalkan,P = jarak titik( ) 0 , 0 , 0ke bidang V = 0, dimana0 > Pdan( ) z y x X , ,titik sebarang pada bidang, maka P adalah proyek( ) z y x OX , , pada yaitu : P = OX. = [x,y,z]. | | 2 2 2cos , cos , cosatau : p = + + 2 2 2cos cos cos ...............................................(16) yang disebut persamaan normal (HESSE) dari bidang V = 0. untuk megubah bentuk 0 = + + + D Cz By Ax Vke bentuk normal maka (dari persamaan-persamaan 14) diperoleh:( ) D n = + + cos cos cos .................................(17) kita selalu menghendaki bahwa D/|n| = P positif. Jadi, kalau D negatif, maka maing-masing ruas persamaan (17) kita bagi dengan2 2 2C B A n + + + = +dan kalau D positif, masing-masing ruas kita bagi dengann . Contoh 29 : Carilah bentuk normal dari 3x + 6y 2z + 6 = 0 ! Penyelesaian : D = 6 adalah positif, sedangkan |n| =4 36 9 + += 7. jadi persamaan normalnya 7672973= + zyx

128| Geometri Analitik Datar dan Ruang 8.5.Sudut Antara Dua Bidang Rata Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya. Misanya, sudut antara01 1 1 1 1= + + D z C y B x A Vdan 02 2 2 2 2= + + D z C y B x A Vadalah sudut antara normal-normal. | |1 1 1 1, , C B A n =dan| |2 2 2 2, , C B A n =yaitu : 2 12 1cosn nn n = 2222222121212 1 2 1 2 1C B A C B AC C B B A A+ + + ++ +=........................................(18) Contoh 30 : Tentukan besar Sudut antara x + y + z + 3 = 0 dan 2x + y + 2z 11 = 0 ! Penyelesaian : 2222222121212 1 2 1 2 1cosC B A C B AC C B B A A+ + + ++ +=

2 2 2 2 2 22 1 2 1 1 1) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1cos+ + + ++ += 9 35cos= 3 35cos = 962 , 0 cos ar = o79 , 15 ~ Bab VIII : Bidang Rata dan Garis Lurus| 129 By : Turmudi E-mail : toermoedy@yahoo.co.id blog: www.toermoedy.wordpress.com Catatan: Kedudukan sejajar : Bila V1 dan V2 sejajar maka n1 dan n2 sama (atau berkelipatan),berarti [A1, B1, C1] = [A2, B2, C2] adalah syarat bidang V1 dan V2 sejajar ( sebarang 0 = ) Contoh 31 : Tentukan persamaan bidang rata V2 yang sejajar dengan bidang rata V1 = x + y + 5z = 9 jika bidang rata V2 melalui titik (0,2,1) ! Penyelesaian : V1 = x + y + 5z = 9, karena V1 sejajar V2 maka n1 =n2 n1 =[1,1,5] maka V2 akan berbentuk x + y + 5z + D2= 0, Sehingga bidang rata V2 melalui titik (0,2,1) maka : V2 = x + y + 5z + D2 = 0 0 + 2 + 5(1) + D2 = 0 7 + D2 = 0 D2 = -7 Jadi, persamaan V2 = x + y + 5z-7 = 0 Cat