bab vii peluruhan radioaktif tujuan instruksional · peluruhan radioaktif merupakan bagian penting...

16
209 BAB VII PELURUHAN RADIOAKTIF Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini diharapkan pembaca dapat: 1. Menentukan solusi persamaan peluruhan radioaktif berdasarkan pendekatan analitik. 2. Menentukan solusi persamaan peluruhan radioaktif berdasarkan pendekatan numerik. 3. Menyusun suatu program komputer dengan Spreadsheet Excel untuk mensintesis serangkaian data analitik dan numerik peluruhan radioaktif. 4. Menentukan waktu paruh menurut pendekatan analitik dan numerik. 5. Menentukan waktu paruh berdasarkan serangkaian data peluruhan yang diperoleh dari percobaan. Spreadsheet. 6. Membuat grafik peluruhan menurut pendekatan analitik dan numerik kemudian menafsirkannya. 7. Menjelaskan pengaruh nilai Increment terhadap ketelitian data menurut solusi numerik dibandingkan data menurut solusi analitik. Pendahuluan Peluruhan radioaktif merupakan bagian penting dalam perkembangan ilmu fisika karena peluruhan radioaktif menjadi dasar dari perkembangan fisika nuklir. Dalam menganalisis karakteristik peluruhan radioaktif secara teoritis lebih mudah dan aman daripada menganalisis berdasarkan data-data pengamatan. Namun demikian hasil pengamatan menjadi dasar dalam menganalisis karakteristik secara teoritis seperti dalam penentuan laju peluruhannya. Untuk menganalisis proses peluruhan secara matematik dibutuhkan minimal dua teknik matematika yaitu turunan dan persamaan differensial sehingga proses peluruhan radioaktif ini dapat dianalisis menurut pendekatan analitik maupun numerik.

Upload: ngokhue

Post on 08-Jun-2019

259 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

209

209

BAB VII

PELURUHAN RADIOAKTIF

Tujuan Instruksional

Setelah mempelajari bab ini diharapkan pembaca dapat:

1. Menentukan solusi persamaan peluruhan radioaktif berdasarkan pendekatan

analitik.

2. Menentukan solusi persamaan peluruhan radioaktif berdasarkan pendekatan

numerik.

3. Menyusun suatu program komputer dengan Spreadsheet Excel untuk

mensintesis serangkaian data analitik dan numerik peluruhan radioaktif.

4. Menentukan waktu paruh menurut pendekatan analitik dan numerik.

5. Menentukan waktu paruh berdasarkan serangkaian data peluruhan yang

diperoleh dari percobaan. Spreadsheet.

6. Membuat grafik peluruhan menurut pendekatan analitik dan numerik

kemudian menafsirkannya.

7. Menjelaskan pengaruh nilai Increment terhadap ketelitian data menurut

solusi numerik dibandingkan data menurut solusi analitik.

Pendahuluan

Peluruhan radioaktif merupakan bagian penting dalam perkembangan ilmu

fisika karena peluruhan radioaktif menjadi dasar dari perkembangan fisika nuklir.

Dalam menganalisis karakteristik peluruhan radioaktif secara teoritis lebih mudah

dan aman daripada menganalisis berdasarkan data-data pengamatan. Namun

demikian hasil pengamatan menjadi dasar dalam menganalisis karakteristik secara

teoritis seperti dalam penentuan laju peluruhannya. Untuk menganalisis proses

peluruhan secara matematik dibutuhkan minimal dua teknik matematika yaitu

turunan dan persamaan differensial sehingga proses peluruhan radioaktif ini dapat

dianalisis menurut pendekatan analitik maupun numerik.

210

7.1 Analisis Peluruhan Radioaktif dengan Pendekatan Analitik

Aktivitas suatu sampel nuklida radioaktif menyatakan laju peluruhan inti

atom pembentuknya. Jika N menyatakan banyaknya inti yang dalam sampel pada

suatu saat, maka aktivitasnya dinyatakan dalam persamaan

𝐴 = −𝑑𝑁

𝑑𝑡 …(7.1)

tanda negatif menunjukkan bahwa N akan semakin menurun seiring dengan

bertambahnya waktu (t). Semakin besar aktivitasnya, maka semakin banyak inti

atom yang meluruh untuk setiap waktunya. Aktivitas radioaktif hanya tergantung

pada jumlah inti radioaktif (N) dengan probabilitas peluruhan sebesar λ sehingga

persamaan (7.1) dapat dinyatakan sebagai

A = λ N …(7.2)

berdasarkan persamaan (7.1) dan (7.2) diperoleh hubungan

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜆 𝑁

atau

𝑑𝑁

𝑁= −𝜆 𝑑𝑡 …(7.3)

persamaan (7.3) apabila diintegralkan akan diperoleh

𝐿𝑛 𝑁 = −𝜆𝑡 + 𝑐 …(7.4)

dengan asumsi bahwa pada t = 0 nilai N = N0 maka persamaan solusi (7.3) dapat

dituliskan

𝑁 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡 …(7.5)

Berdasarkan persamaan (7.5) ini dapat disimpulkan bahwa jumlah inti radioaktif

dalam suatu sampel meluruh terhadap waktu. Waktu paruh (𝑡1

2

) didefinisikan

sebagai waktu yang dibutuhkan aktivitas suatu unsur agar jumlah atomnya

menjadi setengah dari jumlah atom mula-mula. Secara matematis keadaan ini

dinyatakan dengan 𝑁 =𝑁0

2 pada saat 𝑡 = 𝑡1

2

sehingga persamaan (7.5) dapat

dinyatakan dengan

𝑁0

2= 𝑁0𝑒

−𝜆𝑡12⁄

211

𝑙𝑛𝑁0

2= ln 𝑁0 − 𝜆𝑡1

2⁄

𝑙𝑛𝑁02

𝑁0= −𝜆𝑡1

2⁄

𝑡12⁄ =

ln 2

𝜆

𝑡12⁄ =

0,693

𝜆 …(7.6)

dimana t(1/2) menyatakan nilai waktu paruhnya.

7.2 Analisis Peluruhan Radioaktif dengan Pendekatan Numerik

Untuk lebih memahami karakteristik peluruhan radioaktif dapat digunakan

persamaan (7.3) secara langsung atau dengan pendekatan numerik. Adapun

langkah yang perlu diuraikan dalam pendekatan numeriknya adalah sebagai

berikut. Berdasarkan persamaan

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜆 𝑁

dengan menggunakan metode Euler, maka persamaan (7.3) dapat diuraikan

menjadi

𝑑𝑁

𝑑𝑡≈

∆𝑁

∆𝑡=

𝑁(𝑡+Δ𝑡)−𝑁(𝑡)

Δ𝑡

sehingga berlaku

𝑁(𝑡+Δ𝑡)−𝑁(𝑡)

Δ𝑡= −𝜆 𝑁(𝑡)

𝑁(𝑡 + Δ𝑡) = 𝑁(𝑡) − 𝜆 𝑁(𝑡)Δ𝑡 …(7.7)

secara umum persamaan (7.6) dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑁𝑖+1 = 𝑁𝑖 − 𝜆 𝑁𝑖 Δ𝑡 …(7.8)

dengan:

𝑁𝑖+1 = Jumlah unsur pada interval waktu antara 𝑡 + Δ𝑡

𝑁𝑖 = Jumlah unsur pada waktu (t)

Δ𝑡 = nilai selang waktu atau Increment waktu

212

Persamaan (7.6) menyatakan bahwa suatu nuklida dengan jumlah mula-mula Nt

setelah selama ∆t akan meluruh dengan probabilitas λ maka jumlah nuklidanya

sama dengan jumlah nuklida akhir 𝑁𝑖+1 dikurangi jumlah nuklida sebelumnya 𝑁𝑖.

Contoh 7.1

Suatu unsur x memiliki jumlah atom 100000 buah kemudian meluruh dengan

tetapan peluruhan 0,5 s. Jika interval peluruhan diamati tiap selang waktu 0,001 s

tentukan jumlah unsur yang meluruh dengan mempergunakan pendekatan analitik

dan pendekatan numerik untuk t = 10 s.

Penyelesaian

Sebagai langkah untuk menyelesaikan soal di atas adalah dengan mendeklarasikan

variable-variabel tersebut seperti tabel berikut.

Tabel 7. 1 Variabel-variabel Dalam Peluruhan Radioaktif

Langkah berikutnya adalah melakukan komputasi dengan Spreadsheet untuk

menghitung jumlah atom secara analitik dan numerik seperti tabel berikut.

Variabel Nilai Satuan

No 100000 Atom

λ 0.5 per detik

dt 0.001 detik

to 0

213

Tabel 7.2. Perbandingan Jumlah Atom Yang Meluruh dengan Pendekatan

Analitik dan Numerik

t N_Analitik N_ Numerik

0 1000000 1000000

0.001 999500.125 999500

0.002 999000.5 999000.25

0.003 998501.124 998500.7499

0.004 998001.999 998001.4995

0.005 997503.122 997502.4988

0.006 997004.496 997003.7475

0.007 996506.118 996505.2456

0.008 996007.989 996006.993

0.009 995510.11 995508.9895

0.01 995012.479 995011.235

0.011 994515.097 994513.7294

0.012 994017.964 994016.4725

0.013 993521.079 993519.4643

0.014 993024.443 993022.7046

0.015 992528.055 992526.1932

0.016 992031.915 992029.9301

0.019 990544.982 990542.6291

0.02 990049.834 990047.3578

0.021 989554.933 989552.3341

0.022 989060.279 989057.558

0.023 988565.872 988563.0292

0.024 988071.713 988068.7477

0.025 987577.8 987574.7133

0.026 987084.135 987080.9259

0.027 986590.716 986587.3855

0.028 986097.544 986094.0918

0.029 985604.619 985601.0447

0.03 985111.94 985108.2442

0.031 984619.507 984615.6901

0.032 984127.32 984123.3822

0.033 983635.379 983631.3206

0.034 983143.685 983139.5049

0.035 982652.236 982647.9351

0.036 982161.032 982156.6112

0.037 981670.075 981665.5329

… … …

214

Langkah terakhir adalah membuat grafik hubungan jumlah atom terhadap waktu

seperti tabel berikut.

Grafik 7.1. Perbandingan Jumlah Inti terhadap Waktu dengan Pendekatan

Analitik dan Numerik

Berdasarkan tabel 7.2 dan grafik 7.1 dapat dilihat bahwa pada t = 0 jumlah

unsur x memiliki jumlah atom sebanyak 100000 atom. Apabila unsur tersebut

meluruh dengan konstanta peluruhan λ= 0,5 dan selang waktu ∆t = 0,001s maka

jumlah atom pada t = 0,001s menurut pendekatan analitik adalah 999500.125 atom

sedangkan menurut pendekatan numerik jumlah atomnya adalah 999500 atom.

Apabila diamati lebih jauh maka antara jumlah atom pada t = 0,001 s solusi

numerik memiliki kesalahan sebesar 0.000013%. Seiring dengan bertambahnya

waktu untuk nilai Increment yang sama maka solusi numerik akan semakin

divergen dibandingkan data analitiknya. Sebagai gambaran bahwa untuk t = 1s

maka sisa jumlah atom menurut pendekatan analitik adalah 606530.66 ataom

sedang menurut pendekatan numerik sisa atomya adalah 606454.8228 atom pada

nilai-nilai ini solusi numerik memiliki kesalahan sebesar 0,0125%. Untuk t = 10 s

maka sisa jumlah atom menurut pendekatan numeriknya adalah 6729.527022 atom

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

0 2 4 6 8 10 12

Jum

lah

Ato

m

Waktu (s)

N_Analitik

N_ Numerik

215

buah sedangkan menurut pendekatan analitiknya sisa atomya adalah 6737.947

atom dengan demikian solusi numerik memiliki kesalahan sebesar 0.12496 %.

Karakteristik peluruhan radio aktif lebih mudah bila diamati dari grafik

peluruhannya seperti pada grafik 7.1 namun demikian untuk mempermudah

menginterpretasikan grafik secara lebih akurat tabel tetap diperlukan. Sebagai

contoh menurut solusi analitik maka waktu paruh unsur x tersebut adalah 1.386 s.

Tentu saja nilai ini akan sulit jika akan dicari berdasarkan grafik peluruhannya,

namun demikian dapat ditelusuri secara teliti berdasarkan tabel peluruhannya.

Berdasarkan tabel 7.2 diketahui bahwa jumlah atom mula-mula adalah 10000

buah berarti waktu paruhnya adalah waktu yang dibutuhkan sehingga jumlah

unsurnya hanya tinggal sekitar 50000 baik secara analitik maupun numerik.

Secara mudah dapat ditemukan bahwa nilai waktu t untuk jumlah atom 50000

menurut pendekatan numerik dan analitik adalah 1,386 s dengan kesalahan sekitar

0 %.

Pertanyaan 7.1

1. Dengan menggunakan pendekatan analitik dan numerik selidikilah pengaruh

perubahan nilai λ terhadap peluruhan suatu unsur radioaktif?

2. Dengan menggunakan pendekatan analitik dan numerik tentukan waktu paruh

unsur tersebut?

3. Apakah waktu paruh suatu unsur tergantung dari jumlah unsur yang meluruh?

(petunjuk: variasikan jumlah atom yang meluruh kemudian tentukan nilai

waktu paruh tiap atom yang dihitung kemudian bandingkan waktu paruh

diantara jumlah atom yang divariasikan tersebut).

4. Dengan menggunakan pendekatan analitik dan numerik selidikilah apakah

mungkin suatu unsur radioaktif untuk waktu yang sangat lama meluruh

sehingga inti sisanya menjadi nol? Jelaskan!

5. Dengan menggunakan pendekatan analitik dan numerik selidikilah apakah

bentuk kurva peluruhan radio aktif dipengaruhi oleh jumlah unsur yang

meluruh?

216

7.3 Analisis Peluruhan dengan Prinsip Logaritma

Berdasarkan uraian sebelumnya telah dijelaskan teknik analisis peluruhan

dengan persamaan peluruhan

𝑁 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡

Namun untuk menganalisis suatu proses peluruhan dengan persamaan (7.5) kita

dihadapkan pada suatu kendala karena tidak mungkin kita dapat mengukur N

untuk waktu tertentu. Salah satu cara yang dapat kita lakukan untuk mengatasi

masalah ini adalah dengan mengukur aktivitasnya. Dengan demikian kita perlu

memanipulasi persamaan (7.5) sedemikian sehingga kita peroleh persamaan

aktivitasnya dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan (7.5) dengan 𝜆.

𝜆𝑁 = 𝜆𝑁0𝑒−𝜆𝑡 …(7.9)

Berdasarkan definisi 𝐴 = 𝜆𝑁 maka persamaan (7.9) dapat dinyatakan dengan

𝐴 = 𝐴0𝑒−𝜆𝑡 …(7.10)

Misalkan kita akan menghitung jumlah suatu unsur radioaktif dalam satu detik

maka kita dapat melakukannya dengan menghitung radiasi dari peluruhan unsur

tersebut tiap satu detik, kita tunggu beberapa lama kemudian kita hitung kembali.

Dengan demikian jika proses tersebut kita lakukan secara berulang-ulang maka

kita dapat menggambarkan aktivitas A sebagai fungsi waktu.

apabila kedua ruas dalam persamaan (7.10) dibagi dengan 𝐴0 akan kita peroleh

𝐴

𝐴0= 𝑒−𝜆𝑡 …(7.11)

dengan mengaplikasikan teori ln maka persamaan (7.11) dapat kita nyatakan

menjadi

ln𝐴

𝐴0= −𝜆𝑡 …(7.12)

217

dengan cara yang sama maka persamaan (7.5) dapat kita nyatakan pula dengan

persamaan

ln𝑁

𝑁0= −𝜆𝑡 …(7.13)

apabila persamaan (7.13) akan dinyatakan dalam bilangan logaritma dasar maka

dengan mengingat bahwa log x = 0,43429 ln x maka persamaan (7.13) dapat juga

kita tuliskan menjadi

2,3026 log𝑁

𝑁0= − 𝜆𝑡

log𝑁

𝑁0= −

𝜆

2,3026𝑡 …(7.14)

Dengan demikian apabila persamaan (7.12), (7.13) dan (7.14) diplotkan dalam

suatu grafik akan diperoleh grafik berikut

Grafik 7.2 grafik Hubungan Ln (N/N0) terhadap waktu (t)

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

Ln (

N/N

o)

Waktu (t)

218

Grafik 7.3 Grafik Hubungan Ln (A/A0) terhadap waktu (t)

Grafik 7.4 grafik Hubungan Log (A/A0) terhadap waktu (t)

Berdasarkan grafik (7.2) sampai (7.4) dapat disimpulkan bahwa ketiga grafik

tersebut menunjukkan grafik yang linear dimana persamaan garisnya dapat kita

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 2 4 6 8 10 12

Ln (

A/A

o)

Waktu (t)

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 2 4 6 8 10 12

Log

(A/A

o)

Waktu (t)

219

nyatakan dengan persamaan y = m x. Berdasarkan ketiga grafik di atas dapat kita

nyatakan persamaan garis lurusnya sebagai berikut:

ln (𝑁

𝑁𝑂) = −𝜆𝑡 dengan 𝜆 menyatakan nilai gradiennya.

log𝑁

𝑁0= −

𝜆

2,3026𝑡 dengan −

𝜆

2,3026 menyatakan nilai gradiennya.

dengan demikian berdasarkan grafik (7.2) sampai (7.4) kita dapat menentukan

nilai waktu paruh menurut analisis grafik dengan berpedoman bahwa waktu

paruhnya mengacu pada waktu dimana 𝑁

𝑁𝑂= 0,5 atau ln (

𝑁

𝑁𝑂) = 0,693 ataupun

log𝑁

𝑁0= 0,301

Contoh 7.2

Suatu unsur y yang mula-mula berjumlah 100000 atom meluruh dan radiasinya

peluruhannya diukur dalam waktu tiap 1 s dengan tabel pengamatan sebagai

berikut.

Tabel 7.3 Jumlah Atom yang Terukur dalam Suatu Percobaan Peluruhan

Detik ke- Jumlah Atom

0 1000000

1 606530.66

2 367879.441

3 223130.16

4 135335.283

5 82084.9986

6 49787.0684

7 30197.3834

8 18315.6389

9 11108.9965

10 6737.947

11 4086.77144

12 2478.75218

13 1503.43919

14 911.881966

15 553.08437

220

16 335.462628

19 74.8518299

20 45.3999298

21 27.5364493

22 16.7017008

23 10.1300936

24 6.14421235

25 3.72665317

26 2.26032941

27 1.37095909

28 0.83152872

29 0.50434766

30 0.30590232

Berdasarkan tabel (7.3) tersebut buatlah grafik hubungan 𝑙𝑛𝑁

𝑁0 terhadap waktu

kemudian berdasarkn grafik yang telah dibuat tentukan waktu paruh unsur y

tersebut!

Penyelesaian

t N_Analitik N/No Ln (N/No)

0 1000000 1 0

1 606530.66 0.606531 -0.5

2 367879.441 0.367879 -1

3 223130.16 0.22313 -1.5

4 135335.283 0.135335 -2

5 82084.9986 0.082085 -2.5

6 49787.0684 0.049787 -3

7 30197.3834 0.030197 -3.5

8 18315.6389 0.018316 -4

9 11108.9965 0.011109 -4.5

10 6737.947 0.006738 -5

11 4086.77144 0.004087 -5.5

12 2478.75218 0.002479 -6

13 1503.43919 0.001503 -6.5

14 911.881966 0.000912 -7

15 553.08437 0.000553 -7.5

16 335.462628 0.000335 -8

19 74.8518299 7.49E-05 -9.5

20 45.3999298 4.54E-05 -10

21 27.5364493 2.75E-05 -10.5

221

22 16.7017008 1.67E-05 -11

23 10.1300936 1.01E-05 -11.5

24 6.14421235 6.14E-06 -12

25 3.72665317 3.73E-06 -12.5

26 2.26032941 2.26E-06 -13

27 1.37095909 1.37E-06 -13.5

28 0.83152872 8.32E-07 -14

29 0.50434766 5.04E-07 -14.5

30 0.30590232 3.06E-07 -15

Grafik 7.5 Hubungan Ln(N/No) terhadap t untuk Contoh 7.2

Dengan menggunakan fasilitas trendline dari Spreadsheet dengan mudah kita

ketahui bahwa gradient grafik 7.5 adalah – 0,5. Oleh karena itu waktu paruh unsur

y tersebut dapat kita perkirakan berdasarkan persamaan

ln (𝑁

𝑁𝑂) = −𝜆𝑡

dengan demikian 𝜆 bernilai 0,5. Apabila 𝑡12⁄ =

0,693

𝜆 maka

y = -0.5x

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 10 20 30 40

Ln (

N/N

o)

Waktu (s)

222

𝑡12⁄ = 1,386 𝑠

Sehingga dapat kita perkirakan bahwa waktu paruh unsur y adalah 1,386 s.

Kesimpulan

1. Menurut pendekatan analitik peluruhan radioaktif dinyatakan dengan

persamaan 𝑁 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡

2. Waktu paruh didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan aktivitas suatu

unsur radioaktif untuk meluruh agar jumlah atomnya menjadi setengah

dari jumlah atom mula-mula.

3. Secara matematis waktu paruh suatu unsur radioaktif dinyatakan dengan

persamaan 𝑡12⁄ =

0,693

𝜆.

4. Menurut pendekatan numerik peluruhan radioaktif dinyatakan dengan

persamaan 𝑁𝑖+1 = 𝑁𝑖 − 𝜆 𝑁𝑖 Δ𝑡

5. Aktivitas suatu unsur radioaktif dinyatakan dengan persamaan

𝐴 = 𝐴0𝑒−𝜆𝑡

6. Apabila dinyatakan dengan definisi logaritma, maka persamaan peluruhan

juga dapat dinyatakan dengan persamaan:

ln𝐴

𝐴0= −𝜆𝑡

ln𝑁

𝑁0= −𝜆𝑡

log𝑁

𝑁0= −

𝜆

2,3026𝑡

7. Berdasarkan grafiknya, maka waktu paruh suatu unsur radioaktif dapat

ditentukan sebagai berikut:

223

Untuk Grafik N/No terhadap waktu maka waktu paruh dapat

ditentukan pada saat 𝑁

𝑁𝑂= 0,5.

Untuk Grafik ln (𝑁

𝑁𝑂) terhadap waktu maka waktu paruh dapat

ditentukan pada saat ln (𝑁

𝑁𝑂) = 0,693.

Untuk Grafik log (𝑁

𝑁𝑂) terhadap waktu maka waktu paruh dapat

ditentukan pada saat log (𝑁

𝑁𝑂) = 0,301.

Soal

1. Suatu unsur x memiliki jumlah atom 1000000 buah kemudian meluruh

dengan tetapan peluruhan 0,05 s. Jika interval peluruhan diamati tiap selang

waktu 0,001 s tentukan jumlah unsur yang meluruh dengan mempergunakan

pendekatan analitik dan pendekatan numerik untuk t = 10 s dengan

menggunakan pendekatan logaritma kemudian bandingkan hasil komputasi

Anda!

2. Suatu unsur y yang mula-mula berjumlah 10000 atom meluruh dan radiasinya

peluruhannya diukur dalam waktu tiap 1 s dengan tabel pengamatan sebagai

berikut.

Detik ke- Jumlah Atom

0 10000

1 6065

2 3678

3 2231

4 1353

5 820

6 497

7 301

8 183

9 111

10 67

224

Berdasarkan tabel tersebut tentukan waktu paruhnya dengan menggunakan

grafik:

N/No terhadap waktu

ln (𝑁

𝑁𝑂) terhadap waktu

log (𝑁

𝑁𝑂) terhadap waktu