bab ii segitiga - sebelas maret university
TRANSCRIPT
25
BAB II
SEGITIGA
Segitiga: Adalah bangun datar yang mempunyai:
a. Tiga sisi. Ketiga ujung sisi saling bertemu dan membentuk tiga buah sudut.
b. Tiga buah sudut. Jumlah ketiga sudutnya 180°.
c. Tiga buah titik sudut.
Gambar di sebelah ini disebut segi tiga
ABC, dilambangkan dengan “ ABC”
Sisi-sisinya: AB, BC, dan AC
Sudut-sudutnya: Sudut A, sudut B dan
sudut C.
Masing-masing dilambangkan dengan
A, B, dan C
A + B + C = 180°
Jenis-jenis Segitiga
Untuk mengenal jenis suatu segitiga dapat kita tinjau berdasarkan:
a. Panjang sisi-sisinya
b. Besar sudut-sudutnya
c. Panjang sisinya dan besar sudutnya.
1. Ditinjau dari panjang sisi-sisinya, terdapat segitiga berikut
a. Segitiga sembarang
Segitiga sembarang adalah segitiga yang
ketiga sisinya tidak sama panjangnya.
ABC di samping adalah segitiga
sembarang.
AB, BC, dan AC, tidak sama
panjangnya.
26
b. Segitiga Samakaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang
memiliki tiga buah sisi yang sama
panjangnya.
ABC di samping adalah segitiga sama
kaki.
AC = BC.
c. Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang
ketiga sisinya sama panjang.
ABC di samping adalah segitiga sama
sisi.
AB = AC = BC
2. Ditinjau dari Besar Sudut-sudutnya, terdapat segitiga berikut
a. Segitiga lancip
Segitiga lancip adalah segitiga yang
ketiga sudutnya merupakan sudut lancip.
PQR di samping adalah segitiga lancip
P, Q, dan R adalah sudut lancip
b. Segitiga Siku-siku
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang
salah satu sudutnya siku-siku.
PQR di samping adalah segitiga siku-
siku. Q merupakan sudut siku-siku.
27
c. Segitiga Tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang
salah satu sudutnya tumpul.
PQR di samping adalah segitiga
tumpul.
P merupakan sudut tumpul.
3. Ditinjau dari Panjang Sisinya dan besar sudutnya terdapat segitiga
berikut:
a. Segitiga lancip sembarang, yaitu segitiga yang:
1) Ketiga sudutnya lancip, dan
2) Ketiga sisinya tidak sama panjang
b. Segitiga lancip sama kaki, yaitu segitiga yang
1) Ketiga suduthya lancip, dan
2) Memiliki dua sisi yang sama panjang.
c. Segitiga siku-siku sembarang, yaitu segitiga yang:
1) Salah satu sudutya siku-siku, dan
2) Ketiga sisinya tidak sama panjang.
d. Segitiga siku-siku sama kaki, yakni segitiga yang:
1) Salah satu suduthya siku-siku, dan
2) Memiliki dua sisi yang sama panjang.
e. Segitiga tumpul sembarang, yakni segitiga yang:
1) Salah satu sudutnya tumpul, dan
2) Ketiga sisinya tidak sama panjang.
f. Segitiga tumpul sama kaki, yaitu segitiga yang:
1) Salah satu sudutnya tumpul, dan
2) Memiliki dua sisi yang sama panjang.
Untuk setiap segitiga, jumlah sudut-sudutnya = 180O
28
Pembuktian Secara Induktif
Untuk mengetahui jumlah sudut suatu segitiga, buatlah segitiga-segitiga berikut
dari sehelai kertas.
Pada segitiga-segitiga yang telah dibuat, berilah nomor pada tiap-tiap sudutnya.
Potonglah sudut-sudut segitiga (i) menurut garis p, garis q, dan garis r seperti
gambar (a) berikut. Kemudian letakkan sudut-sudut tersebut sehingga ketiga titik
sudutnya berimpit dan kaki-kaki sudutnya saling bersisikan seperti gambar (b).
Ternyata ketiga sudut itu membentuk sudut lurus, yang berarti jumlah sudut-sudut
segitiga siku-siku adalah 180O.
Berikutnya selidikilah jumlah sudut-sudut pada segitiga lancip (ii) dan segitiga
tumpul (iii) dengan cara seperti pada segitiga (i). Apakah membentuk sudut lurus?
Dengan demikian, jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan sudut lurus yaitu
180O.
29
Pembuktian Secara Deduktif
Dengan menggunakan sifat-sifat garis sejajar yang dipotong oleh transfersal.
Bukti:
A = C1 karena sudut dalam berseberangan
B = C3 karena sudut dalam berseberangan
C = C2 karena sudut refleksi (diri sendiri)
C1 + C2 + C3 = 180O
Karena A + B + C = 180O
Jadi, benar bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 180O
Contoh:
1. Besar sudut-sudut suatu segitiga 40O dan 60O. Hitunglah besar sudut ketiga!
Yang dimaksud dengan sudut ketiga adalah sudut yang satu lagi (yang
lainnya).
Karena jumlah sudut-sudut segitiga = 180O, maka:
Besar sudut segitiga = 180O – (40O + 60O)
= 180° – 100°
= 80°
2. Sebuah BC siku-siku di A dan B = 35°. Hitunglah besar C!
Jawab
ABC siku-siku di A, maka A = 90O.
Besar C = 180° – (90° + 35°)
= 180° – 125°
= 55°
A B
C
2 3 1
30
3. Besar sudut-sudut ABC adalah A = 2x°, B 40° dan C = 3x°
Hitunglah:
a. nilai x.
b. besar C.
Jawab:
a. A + C + B = 180°
5x = 180 – 40
2x + 3x + 40 = 180
5x + 40 = 180
5x = 140
x = 28
b. C = 3x°
= 3 * 28°
= 84°
4. Besar sudut-sudut suatu segitiga berturut-turut adalab 2x°, (x + 40)° dan
(4x + 35) °.
Hitunglah nilai x.
Jawab:
2x + (x+40) + (4x + 35) = 180
2x + x + 4x + 40 + 35 = 180
7x + 75 = 180
7x = 180 – 75
7x = 105
x = 15
Melukis Segitiga
Pada setiap segitiga terdapat tiga buah sisi dan tiga buah sudut. Untuk
melukis suatu segitiga dapat kita lakukan bila kita ketahui unsur-unsur berikut ini.
a. Tiga buah sisinya.
b. Dua sudut dan satu sisi.
c. Dua sisi dan satu sudut.
31
Sebelum kita bicarakan cara melukis segitiga, terlebih dahulu kita pelajari cara
melukis sudut-sudut yang sama besarnya.
1. Melukis Sudut yang Sama Besar
Con toh:
Lukislah LKM yang sarna besarnya
dengan BAC pada gambar di samping
ini.
Lukisan:
a. Buatlah garis KL.
b. Pada BAC lukis busur lingkaran dengan pusat A, sehingga memotong
kaki DAC di titik D dan E. Kemudian dengan jari-jari AD (sama dengan
di alas), lukislah busur lingkaran dengan pusat K dan memotong KL di
titik S.
c. Dengan jari-jari DE, lukislah busur lingkaran dengan pusat S; sehingga
memotong busur dengan pusat K di titik T.
d. Lukis garis dari titik K melalui T, yaitu garis KM.
e. LKM terlukis.
2. Melukis segitiga yang diketahui ,panjang sisi-sisinya
Contoh:
Lukislah ABC jika diketahui panjang AB = 5 cm, BC = 4 cm. dan AC = 7
cm.
K () L
L K S
(2)
L S K
L K
m (4)
(3 T
32
a. Lukis garisAB = 5cm.
b. Dengan jari-jari 4 cm, lukislah busur
lingkaran dengan pusat B.
c. Dengan jari-jari 7 cm, lukislah busur
lingkaran dengan pusat A sehingga
memotong busur lingkaran dengan pusat B
di titik C.
d. Hubungkan titik A dan C.
e. Hubungkan titik B dan C.
f. ABC terlukis
3. Melukis Segitiga yang Diketahui Sisi, Sudut, Sisi
Contoh:
Lukislah PQR jika diketahui PQ = 5 cm, QPR = 75°, dan PR = 6 cm.
a. Lukislah garis PQ = 5 cm.
b. Lukislah sudut di titik P yang besarnya 75O
dengan menggunakan busur derajat.
c. Dengan jari-jari 6 cm, lukislah busur
lingkaran dengan pusat P sehingga
memotong kaki sudut P dan R
d.
e. Hubungkan titik Q dan R
f. PQR terlukis.
4. Melukis Segitiga yang Diketahui Sudut, Sisi, Sudut
Lukislah KLM jika diketahui LKM = 70°, KL = 5 cm dan KLM = 50°.
a. Lukislah garis KL = 5 cm.
b. Lukislah sudut di titik K yang besarnya 70O
dengan menggunakan busur derajat.
c. Lukis sudut di titik L yang besarnya 50O
dengan menggunakan busur derajat.
33
d. Perpanjang kaki K dan kaki L sehingga
berpotongan di titik M.
e. KLM terlukis.
5. Melukis Segitiga yang Diketahui Sisi, Sisi, Sudut
Contoh:
Lukislah DEF jika diketahui DE = 4cm, DF= 5cm dan DEF = 45°
a. Lukislah garis DE = 4 cm.
b. Lukislah sudut di titik E yang besarnya 45°
dengan menggunakan busur derajat.
c. Dengan jari-jari 5 cm, lukislah busur
lingkaran dengan pusat D sehingga
memotong kaki FE di titik F.
d. Hubungkan titik D dan F.
e. DEF terlukis
Melukis Segitiga Istimewa
a. Melukis Segitiga Siku-siku
Telah kita pelajari bahwa segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu
sudutnya siku-siku. Jadi, untuk melukis segitiga siku-siku pada kertas polos
atau kertas berpetak, lukislah terlebih dahulu sudut siku-sikunya.
Contoh:
1. Lukislah pada kertas berpetak, PQR siku-siku di P dengan panjang PQ =
8 satuan.
a. Buatlah garis PQ = 8 satuan
b. Buatlah sudut siku-siku dengan titik
sudut P.
c. Buatlah garis PR = 6 satuan
d. Hubungkan titik Q dan R
e. PQR sudah terlukis
34
2. Lukislah pada kertas tidak berpetak, ABC siku-siku di A dengan panjang
AB = 4 cm dan AC = 5 cm.
a. Buatlah garis AB = 4 cm.
b. Lukislah A= 90° dengan menggunakan
busur derajat.
c. Buatlah garis AC = 5 cm
d. Hubungkan titik B dan C
e. ABC sudah ter lukis.
b. Melukis Segitiga Sama Kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama panjang
dan dua sudut yang sama besar.
Contoh:
Lukislah ABC sama kaki bila diketahui:
AB = AC = 5 cm dan BAC = 40O.
1) Buatlah garis AB = 5 cm
2) Buatlah sudut dengan titik sudut A yang
besarnya 40O
3) Jangkakan dari A sepanjang AB
sehingga busur lingkaran memotong
kaki A di titik C.
4) Hubungkan titik B dan C
5) ABC sam kaki sudah terlukis.
c. Melukis Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi merupakan segitiga yang panjang sisi-sisinya sama dan
besar sudut-sudutnya sama.
35
Contoh:
Lukislah ABC sama sisi yang panjang sisinya = 5 cm
1) Buat garis AB = 5 cm
2) Jangkakan dari A dengan panjang 5 cm,
sehingga terbentuk busur lingkaran.
3) Jangkakan dari B dengan panjang 5 cm,
sehingga memotong busur lingkaran
dengan pusat dari A di titik C.
4) Hubungkan titik A dengan C.
5) Hubungkan titik B dengan C.
6) ABC sama sisi sudah terlukis.
SIMETRI LIPAT DAN SIMETRI PUTAR UNTUK SEGITIGA
Gambar-gambar di atas bila dilipat menurut garis tertentu, maka akan
terjadi dua bagian gambar yang saling berimpit. Dengan demikian kedua bagian
gambar tersebut saling simetri terhadap garis tersebut.
Bangun-bangun seperti tersebut di atas dikatakan memiliki simetri lipat.
Garis tempat melipat (ditunjukkan dengan garis putus-putus) disebut garis simetri
atau sumbu simetri. Simtri lipat disebut pula:
1. Sirnetri sumbu, karena tempat melipatnya berupa sumbu (garis).
2. Simetri balik, karena dengan cara membalik terhadap sumbunya akan
diperoleh bangun bentuk semula.
A (i) B
36
3. Simetri cermin, karena sumbu simetrinya seolah-olah sebagai cermin sehingga
bagian bangun yang satu merupakan bayang-bayang dari bagian bangun yang
lain.
Suatu bangun dikatakan memiliki simetri lipat (simetri sumbu, simetri balik,
simetri cermin) bila bangun tersebut dapat dibalik menurut garis tertentu sehingga
menempati bingkainya sendiri.
Contoh:
Bangun-bangun berikut adalah bangun-bangun yang memiliki simetri lipat.
Sumbu-sumbu simetrinya ditunjukkan dengan garis putus-putus.
Banyaknya sumbu simetri suatu bangun dengan bangun yang lain tidaklah
sama. Bahkan ada bangun yang tidak memiliki sumbu simetri. Dari gambar di
atas dapat diketahui:
• Persegi panjang memiliki 2 sumbu simetri.
• Persegi memiliki 4 sumbu simetri.
• Segitiga sama kaki memiliki 1 sumbu simetri.
• Belah ketupat memiliki 2 sumbu simetri.
Kita dapat menentukan hubungan antara banyaknya sumbu simetri suatu
bangun dengan banyaknva cara menempati bingkainya dengan memperhatikan
daftar berikut:
Nama Bangun Banyak Sumbu
Simetri
Banyaknya Cara
Menempati Bingkainya
37
Persegi panjang
Persegi
Segitiga sami kaki
Belahk etupat
2
4
1
2
4 = 2 x 2
8 = 2 x 4
2 = 2 x 1
4 = 2 x 2
Jika suatu bangun memiliki n sumbu simetri, maka bangun tersebut dapat menempati
bingkainya dengan 2n cara.
Pada gambar di atas, persegi panjang ABCD pada letak 1 kita putar
berlawanan dengan arah perputaran jarum jam sejauh 180O (setengah putaran) dengan
pusat perputaran O (lihat letak 2), ternyata persegi panjang tersebut dapat menempati
bingkainya kembali. Tetapi titik A, B, C, dan D berubah letaknya.
Jadi, bangun persegi panjang bila diputar kurang dari 1 putaran (360o akan
menempati bingkainya dengan 2 cara, yaitu;
▪ Letak 1 adalah letak mula-mula sebelum diputar.
▪ Letak 2 adalah letak setelah diputar setengah putaran.
Karena bangun di atas setelah diputar kurang dan 360O dapat rnenempati
bingkainya dengan 2 cara, maka bangun tersebut memiliki simetri putar tingkat dua,
dengan titik O disebut pusat simetri.
Berikutnya perhatikanlah gambar berikut ini:
38
Pada Gambar di atas, segitiga sama sisi ABC pada letak 1 diputar sepertiga
putaran (120O) dengan pusat simetri O (lihat letak 2), ternyata dapat menempati
bingkinya kembali. Demikian .juga setelah diputar duaa pertiga putaran (240°)
ternyata dapat menempati bingkainya kembali (lihat letak 3).
Jadi, segitiga sama sisi bila diputar kurang dan satu putaran akan menempati
bingkainya dengan 3 cara, yaitu:
1. Letak 1 adalah letak mula-mula
2. Letak 2 adalah letak setelah diputar 120O
3. Letak 3 adalah letak setelah diputar 240O.
Karena segitiga sama sisi setelah diputar kurang dari 360O dapat menempati
bingkainya kembali dengan 3 cara, maka segitiga sama sisi memiliki simetri tingkat
tiga.
Bila suatu bangun setelah diputar kurang dari 360° pada pusatnya dapat menempati
bingkainya dengan n cara (n > 1), maka bangun tersebut memiliki simetri putar
tingkat n.
Segitiga Sama Kaki
Bila dua buah segitiga siku-siku yang kangruen diletakkan sedemikian hingga
salah satu sisi siku-sikunya berimpit, maka akan terbentuk segitiga sam kaki seperti
pada gambar berikut:
39
Berikut ini akan kita pelajani sifat-sifat yang terdapat pada segitiga sama kaki.
ADC dan BDC merupakan segitiga siku-siku
yang kongruen.
Jika ABC dilipat menurut garis CD, maka ADC
dan BDC akan saling berimpit.
Jadi, ADC dan BDC simetris terhadap garis CD.
Maka CD merupakan sumbu simetris dari ABC.
Karena segitiga sama kaki memiliki 1 sumbu simetri, maka dapat menempati
bingkainya dengan car berikut ini:
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa:
Segitiga sama kaki memiliki satu sumbu simetri, dan dapat menempati bingkainya
dengan dua cara.
Karena segitiga sama kaki dapat menempati bingkainya kembali menurut
sumbunya setelah dibalik, maka dapat kita selidiki sifat-sifat berikut ini
40
ABC (sama kaki) dibalik menurut sumbu
simetri CD, maka:
A → B (A menempati B)
C → C (C menempati C)
AC → BC
Jadi, AC = BC
BAC → ABC
Jadi, BAC = ABC
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:
Setiap segitga sama kaki memiliki dua sisi yang sama panjang dan dua sudut yang
sama besar.
Pada segitiga sama kaki, sisi-sisi yang sam disebut kaki, dan sisi yang lain
disebut alas walaupun letaknya belum tentu pada bagian bawah, seperti gambar
berikut ini:
ABC sama kaki
AB = AC.
ABC = ACB.
AB dan AC disebut kaki
BC disebut alas.
Contoh:
ABC di samping sama kaki.
Panjang AC = 10 cm dan BD = 4 cm.
Besar BAC = 50o.
Hitunglah:
a. ABC, ACD, BCD, dan ACB.
b. Panjang BC, AD, dan AB.
Jawab:
a. ABC = BAC = 50O
ACD = 180O – (CAD + CDA)
A B D
C
C
B A
41
= 180° – (50° + 90°)
= 180O – 140°
= 40O
BCD = ACD = 40O
ACB = 40O + 40O
= 80O
b. BC = AC = 10 cm
AD = BD = 4 cm
AB = AD + DB
= 4 cm + 4 cm
= 8 cm
Segitiga Sama Sisi
Buatlah segitiga sama sisi dengan menggunakan kertas atau karton manila seperti
berikut:
Lipatlah ABC menurut garis AD, ternyata ABD
dan ACD berimpit dengan tepat. Maka AD adalah
sumbu simetri.
Lipatlah ABC menurut garis BE, ternyata BAE
dan BCE berimpit dengan tepat. Maka BE adalah
sumbu simetri.
Lipatlah ABCmenurut garis CF, ternyata CAF
dan CBF berimpit dengan tepat. Maka CF adalah
sumbu simetri.
Dengan demikian
Segitiga sama sisi memiliki tiga sumbu simetri
Selanjutnya perhatikan gambar-gambar berikut ini:
42
Gambar di atas menunjukkan letak segitiga sama sisi ABC pada bingkainya.
Letak 1 merupakan letak ABC sebelum diputar atau dibalik.
Letak 2 merupakan letak ABC setelah diputar 31 putaran (120°)
Letak 3 merupakan letak ABC setelah diputar 32 putaran (240O)
Letak 1, 2, dan 3 menunjukkan bahwa segitiga sama sisi ABC dapat menempati
bingkainya dengan 3 cara jika diputar kurang dari 360°. Oleh karena itu, segitiga
sama sisi memiliki simetri putar tingkat tiga, karena bila diputar kurang dan 360°
dapat menempati bingkainya dengan 3 cara.
Segitiga sama sisi memiliki simetri putar tingkat tiga
Letak 4, 5, dan 6 merupakan letak segitiga sama sisi ABC setelah dibalik menurut
sumbu simetrinya
Dan letak 1 sampai letak 6 menunjukkan bahwa
43
Segitiga sama sisi dapat menempati bingkainya dengan 6 cara
Perhatikan letak segitiga sama sisi ABC pada bingkainva untuk letak 4 dan letak 5.
ABC dibalik menurut sumbu simetri CF, maka,
AC → BC
BAC → ABC
Jadi, AC = BC ...................................................... (1)
BAC = ABC ................................................... (2)
ABC dibalik menurut sumbu simetri BE, maka,
AB → BC
BAC → ACB
Jadi, AB = BC ...................................................... (3)
BAC = ABC ................................................... (4)
Dari bentuk persamaan (1) dan (3) kita peroleh:
AC = BC ............................................................... (1)
BC = AB ............................................................... (3)
Jadi, AC = BC = AB
Dari bentuk persamaan (2) dan (4) kita peroleh:
ABC = BAC .................................................... (2)
BAC = ACB ................................................... (4)
Jadi, ABC = BAIC = ACB.
Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa:
44
Untuk sifat segitiga sama sisi, setap sisinya sama panjang dan ketiga sudutnya sama
besar.
ABC sama sisi
AB = BC = AC
Karena besar sudut-sudutnya sama, maka:
BAC = ABC = ACB = 3
180O
= 60O
Pada segitiga sama sisi besar tiap-tiap sudutnya = 60O
Sifat-sifat segitiga sama sisi adalah:
1. Memiliki 3 sumbu simetri
2. Memiliki simetri putar tingkat 3
3. Dapat menempati bingkainya dengan 6 cara
4. Memiliki 3 sisi yang sama panjang
5. Memiliki 3 sudut yang sama besar
A B
C
o
o o