bab ii segitiga - sebelas maret university

20
25 BAB II SEGITIGA Segitiga: Adalah bangun datar yang mempunyai: a. Tiga sisi. Ketiga ujung sisi saling bertemu dan membentuk tiga buah sudut. b. Tiga buah sudut. Jumlah ketiga sudutnya 180°. c. Tiga buah titik sudut. Gambar di sebelah ini disebut segi tiga ABC, dilambangkan dengan “ ABC” Sisi-sisinya: AB, BC, dan AC Sudut-sudutnya: Sudut A, sudut B dan sudut C. Masing-masing dilambangkan dengan A, B, dan C A + B + C = 180° Jenis-jenis Segitiga Untuk mengenal jenis suatu segitiga dapat kita tinjau berdasarkan: a. Panjang sisi-sisinya b. Besar sudut-sudutnya c. Panjang sisinya dan besar sudutnya. 1. Ditinjau dari panjang sisi-sisinya, terdapat segitiga berikut a. Segitiga sembarang Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjangnya. ABC di samping adalah segitiga sembarang. AB, BC, dan AC, tidak sama panjangnya.

Upload: others

Post on 16-Oct-2021

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

25

BAB II

SEGITIGA

Segitiga: Adalah bangun datar yang mempunyai:

a. Tiga sisi. Ketiga ujung sisi saling bertemu dan membentuk tiga buah sudut.

b. Tiga buah sudut. Jumlah ketiga sudutnya 180°.

c. Tiga buah titik sudut.

Gambar di sebelah ini disebut segi tiga

ABC, dilambangkan dengan “ ABC”

Sisi-sisinya: AB, BC, dan AC

Sudut-sudutnya: Sudut A, sudut B dan

sudut C.

Masing-masing dilambangkan dengan

A, B, dan C

A + B + C = 180°

Jenis-jenis Segitiga

Untuk mengenal jenis suatu segitiga dapat kita tinjau berdasarkan:

a. Panjang sisi-sisinya

b. Besar sudut-sudutnya

c. Panjang sisinya dan besar sudutnya.

1. Ditinjau dari panjang sisi-sisinya, terdapat segitiga berikut

a. Segitiga sembarang

Segitiga sembarang adalah segitiga yang

ketiga sisinya tidak sama panjangnya.

ABC di samping adalah segitiga

sembarang.

AB, BC, dan AC, tidak sama

panjangnya.

Page 2: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

26

b. Segitiga Samakaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang

memiliki tiga buah sisi yang sama

panjangnya.

ABC di samping adalah segitiga sama

kaki.

AC = BC.

c. Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang

ketiga sisinya sama panjang.

ABC di samping adalah segitiga sama

sisi.

AB = AC = BC

2. Ditinjau dari Besar Sudut-sudutnya, terdapat segitiga berikut

a. Segitiga lancip

Segitiga lancip adalah segitiga yang

ketiga sudutnya merupakan sudut lancip.

PQR di samping adalah segitiga lancip

P, Q, dan R adalah sudut lancip

b. Segitiga Siku-siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang

salah satu sudutnya siku-siku.

PQR di samping adalah segitiga siku-

siku. Q merupakan sudut siku-siku.

Page 3: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

27

c. Segitiga Tumpul

Segitiga tumpul adalah segitiga yang

salah satu sudutnya tumpul.

PQR di samping adalah segitiga

tumpul.

P merupakan sudut tumpul.

3. Ditinjau dari Panjang Sisinya dan besar sudutnya terdapat segitiga

berikut:

a. Segitiga lancip sembarang, yaitu segitiga yang:

1) Ketiga sudutnya lancip, dan

2) Ketiga sisinya tidak sama panjang

b. Segitiga lancip sama kaki, yaitu segitiga yang

1) Ketiga suduthya lancip, dan

2) Memiliki dua sisi yang sama panjang.

c. Segitiga siku-siku sembarang, yaitu segitiga yang:

1) Salah satu sudutya siku-siku, dan

2) Ketiga sisinya tidak sama panjang.

d. Segitiga siku-siku sama kaki, yakni segitiga yang:

1) Salah satu suduthya siku-siku, dan

2) Memiliki dua sisi yang sama panjang.

e. Segitiga tumpul sembarang, yakni segitiga yang:

1) Salah satu sudutnya tumpul, dan

2) Ketiga sisinya tidak sama panjang.

f. Segitiga tumpul sama kaki, yaitu segitiga yang:

1) Salah satu sudutnya tumpul, dan

2) Memiliki dua sisi yang sama panjang.

Untuk setiap segitiga, jumlah sudut-sudutnya = 180O

Page 4: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

28

Pembuktian Secara Induktif

Untuk mengetahui jumlah sudut suatu segitiga, buatlah segitiga-segitiga berikut

dari sehelai kertas.

Pada segitiga-segitiga yang telah dibuat, berilah nomor pada tiap-tiap sudutnya.

Potonglah sudut-sudut segitiga (i) menurut garis p, garis q, dan garis r seperti

gambar (a) berikut. Kemudian letakkan sudut-sudut tersebut sehingga ketiga titik

sudutnya berimpit dan kaki-kaki sudutnya saling bersisikan seperti gambar (b).

Ternyata ketiga sudut itu membentuk sudut lurus, yang berarti jumlah sudut-sudut

segitiga siku-siku adalah 180O.

Berikutnya selidikilah jumlah sudut-sudut pada segitiga lancip (ii) dan segitiga

tumpul (iii) dengan cara seperti pada segitiga (i). Apakah membentuk sudut lurus?

Dengan demikian, jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan sudut lurus yaitu

180O.

Page 5: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

29

Pembuktian Secara Deduktif

Dengan menggunakan sifat-sifat garis sejajar yang dipotong oleh transfersal.

Bukti:

A = C1 karena sudut dalam berseberangan

B = C3 karena sudut dalam berseberangan

C = C2 karena sudut refleksi (diri sendiri)

C1 + C2 + C3 = 180O

Karena A + B + C = 180O

Jadi, benar bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 180O

Contoh:

1. Besar sudut-sudut suatu segitiga 40O dan 60O. Hitunglah besar sudut ketiga!

Yang dimaksud dengan sudut ketiga adalah sudut yang satu lagi (yang

lainnya).

Karena jumlah sudut-sudut segitiga = 180O, maka:

Besar sudut segitiga = 180O – (40O + 60O)

= 180° – 100°

= 80°

2. Sebuah BC siku-siku di A dan B = 35°. Hitunglah besar C!

Jawab

ABC siku-siku di A, maka A = 90O.

Besar C = 180° – (90° + 35°)

= 180° – 125°

= 55°

A B

C

2 3 1

Page 6: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

30

3. Besar sudut-sudut ABC adalah A = 2x°, B 40° dan C = 3x°

Hitunglah:

a. nilai x.

b. besar C.

Jawab:

a. A + C + B = 180°

5x = 180 – 40

2x + 3x + 40 = 180

5x + 40 = 180

5x = 140

x = 28

b. C = 3x°

= 3 * 28°

= 84°

4. Besar sudut-sudut suatu segitiga berturut-turut adalab 2x°, (x + 40)° dan

(4x + 35) °.

Hitunglah nilai x.

Jawab:

2x + (x+40) + (4x + 35) = 180

2x + x + 4x + 40 + 35 = 180

7x + 75 = 180

7x = 180 – 75

7x = 105

x = 15

Melukis Segitiga

Pada setiap segitiga terdapat tiga buah sisi dan tiga buah sudut. Untuk

melukis suatu segitiga dapat kita lakukan bila kita ketahui unsur-unsur berikut ini.

a. Tiga buah sisinya.

b. Dua sudut dan satu sisi.

c. Dua sisi dan satu sudut.

Page 7: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

31

Sebelum kita bicarakan cara melukis segitiga, terlebih dahulu kita pelajari cara

melukis sudut-sudut yang sama besarnya.

1. Melukis Sudut yang Sama Besar

Con toh:

Lukislah LKM yang sarna besarnya

dengan BAC pada gambar di samping

ini.

Lukisan:

a. Buatlah garis KL.

b. Pada BAC lukis busur lingkaran dengan pusat A, sehingga memotong

kaki DAC di titik D dan E. Kemudian dengan jari-jari AD (sama dengan

di alas), lukislah busur lingkaran dengan pusat K dan memotong KL di

titik S.

c. Dengan jari-jari DE, lukislah busur lingkaran dengan pusat S; sehingga

memotong busur dengan pusat K di titik T.

d. Lukis garis dari titik K melalui T, yaitu garis KM.

e. LKM terlukis.

2. Melukis segitiga yang diketahui ,panjang sisi-sisinya

Contoh:

Lukislah ABC jika diketahui panjang AB = 5 cm, BC = 4 cm. dan AC = 7

cm.

K () L

L K S

(2)

L S K

L K

m (4)

(3 T

Page 8: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

32

a. Lukis garisAB = 5cm.

b. Dengan jari-jari 4 cm, lukislah busur

lingkaran dengan pusat B.

c. Dengan jari-jari 7 cm, lukislah busur

lingkaran dengan pusat A sehingga

memotong busur lingkaran dengan pusat B

di titik C.

d. Hubungkan titik A dan C.

e. Hubungkan titik B dan C.

f. ABC terlukis

3. Melukis Segitiga yang Diketahui Sisi, Sudut, Sisi

Contoh:

Lukislah PQR jika diketahui PQ = 5 cm, QPR = 75°, dan PR = 6 cm.

a. Lukislah garis PQ = 5 cm.

b. Lukislah sudut di titik P yang besarnya 75O

dengan menggunakan busur derajat.

c. Dengan jari-jari 6 cm, lukislah busur

lingkaran dengan pusat P sehingga

memotong kaki sudut P dan R

d.

e. Hubungkan titik Q dan R

f. PQR terlukis.

4. Melukis Segitiga yang Diketahui Sudut, Sisi, Sudut

Lukislah KLM jika diketahui LKM = 70°, KL = 5 cm dan KLM = 50°.

a. Lukislah garis KL = 5 cm.

b. Lukislah sudut di titik K yang besarnya 70O

dengan menggunakan busur derajat.

c. Lukis sudut di titik L yang besarnya 50O

dengan menggunakan busur derajat.

Page 9: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

33

d. Perpanjang kaki K dan kaki L sehingga

berpotongan di titik M.

e. KLM terlukis.

5. Melukis Segitiga yang Diketahui Sisi, Sisi, Sudut

Contoh:

Lukislah DEF jika diketahui DE = 4cm, DF= 5cm dan DEF = 45°

a. Lukislah garis DE = 4 cm.

b. Lukislah sudut di titik E yang besarnya 45°

dengan menggunakan busur derajat.

c. Dengan jari-jari 5 cm, lukislah busur

lingkaran dengan pusat D sehingga

memotong kaki FE di titik F.

d. Hubungkan titik D dan F.

e. DEF terlukis

Melukis Segitiga Istimewa

a. Melukis Segitiga Siku-siku

Telah kita pelajari bahwa segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu

sudutnya siku-siku. Jadi, untuk melukis segitiga siku-siku pada kertas polos

atau kertas berpetak, lukislah terlebih dahulu sudut siku-sikunya.

Contoh:

1. Lukislah pada kertas berpetak, PQR siku-siku di P dengan panjang PQ =

8 satuan.

a. Buatlah garis PQ = 8 satuan

b. Buatlah sudut siku-siku dengan titik

sudut P.

c. Buatlah garis PR = 6 satuan

d. Hubungkan titik Q dan R

e. PQR sudah terlukis

Page 10: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

34

2. Lukislah pada kertas tidak berpetak, ABC siku-siku di A dengan panjang

AB = 4 cm dan AC = 5 cm.

a. Buatlah garis AB = 4 cm.

b. Lukislah A= 90° dengan menggunakan

busur derajat.

c. Buatlah garis AC = 5 cm

d. Hubungkan titik B dan C

e. ABC sudah ter lukis.

b. Melukis Segitiga Sama Kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama panjang

dan dua sudut yang sama besar.

Contoh:

Lukislah ABC sama kaki bila diketahui:

AB = AC = 5 cm dan BAC = 40O.

1) Buatlah garis AB = 5 cm

2) Buatlah sudut dengan titik sudut A yang

besarnya 40O

3) Jangkakan dari A sepanjang AB

sehingga busur lingkaran memotong

kaki A di titik C.

4) Hubungkan titik B dan C

5) ABC sam kaki sudah terlukis.

c. Melukis Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi merupakan segitiga yang panjang sisi-sisinya sama dan

besar sudut-sudutnya sama.

Page 11: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

35

Contoh:

Lukislah ABC sama sisi yang panjang sisinya = 5 cm

1) Buat garis AB = 5 cm

2) Jangkakan dari A dengan panjang 5 cm,

sehingga terbentuk busur lingkaran.

3) Jangkakan dari B dengan panjang 5 cm,

sehingga memotong busur lingkaran

dengan pusat dari A di titik C.

4) Hubungkan titik A dengan C.

5) Hubungkan titik B dengan C.

6) ABC sama sisi sudah terlukis.

SIMETRI LIPAT DAN SIMETRI PUTAR UNTUK SEGITIGA

Gambar-gambar di atas bila dilipat menurut garis tertentu, maka akan

terjadi dua bagian gambar yang saling berimpit. Dengan demikian kedua bagian

gambar tersebut saling simetri terhadap garis tersebut.

Bangun-bangun seperti tersebut di atas dikatakan memiliki simetri lipat.

Garis tempat melipat (ditunjukkan dengan garis putus-putus) disebut garis simetri

atau sumbu simetri. Simtri lipat disebut pula:

1. Sirnetri sumbu, karena tempat melipatnya berupa sumbu (garis).

2. Simetri balik, karena dengan cara membalik terhadap sumbunya akan

diperoleh bangun bentuk semula.

A (i) B

Page 12: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

36

3. Simetri cermin, karena sumbu simetrinya seolah-olah sebagai cermin sehingga

bagian bangun yang satu merupakan bayang-bayang dari bagian bangun yang

lain.

Suatu bangun dikatakan memiliki simetri lipat (simetri sumbu, simetri balik,

simetri cermin) bila bangun tersebut dapat dibalik menurut garis tertentu sehingga

menempati bingkainya sendiri.

Contoh:

Bangun-bangun berikut adalah bangun-bangun yang memiliki simetri lipat.

Sumbu-sumbu simetrinya ditunjukkan dengan garis putus-putus.

Banyaknya sumbu simetri suatu bangun dengan bangun yang lain tidaklah

sama. Bahkan ada bangun yang tidak memiliki sumbu simetri. Dari gambar di

atas dapat diketahui:

• Persegi panjang memiliki 2 sumbu simetri.

• Persegi memiliki 4 sumbu simetri.

• Segitiga sama kaki memiliki 1 sumbu simetri.

• Belah ketupat memiliki 2 sumbu simetri.

Kita dapat menentukan hubungan antara banyaknya sumbu simetri suatu

bangun dengan banyaknva cara menempati bingkainya dengan memperhatikan

daftar berikut:

Nama Bangun Banyak Sumbu

Simetri

Banyaknya Cara

Menempati Bingkainya

Page 13: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

37

Persegi panjang

Persegi

Segitiga sami kaki

Belahk etupat

2

4

1

2

4 = 2 x 2

8 = 2 x 4

2 = 2 x 1

4 = 2 x 2

Jika suatu bangun memiliki n sumbu simetri, maka bangun tersebut dapat menempati

bingkainya dengan 2n cara.

Pada gambar di atas, persegi panjang ABCD pada letak 1 kita putar

berlawanan dengan arah perputaran jarum jam sejauh 180O (setengah putaran) dengan

pusat perputaran O (lihat letak 2), ternyata persegi panjang tersebut dapat menempati

bingkainya kembali. Tetapi titik A, B, C, dan D berubah letaknya.

Jadi, bangun persegi panjang bila diputar kurang dari 1 putaran (360o akan

menempati bingkainya dengan 2 cara, yaitu;

▪ Letak 1 adalah letak mula-mula sebelum diputar.

▪ Letak 2 adalah letak setelah diputar setengah putaran.

Karena bangun di atas setelah diputar kurang dan 360O dapat rnenempati

bingkainya dengan 2 cara, maka bangun tersebut memiliki simetri putar tingkat dua,

dengan titik O disebut pusat simetri.

Berikutnya perhatikanlah gambar berikut ini:

Page 14: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

38

Pada Gambar di atas, segitiga sama sisi ABC pada letak 1 diputar sepertiga

putaran (120O) dengan pusat simetri O (lihat letak 2), ternyata dapat menempati

bingkinya kembali. Demikian .juga setelah diputar duaa pertiga putaran (240°)

ternyata dapat menempati bingkainya kembali (lihat letak 3).

Jadi, segitiga sama sisi bila diputar kurang dan satu putaran akan menempati

bingkainya dengan 3 cara, yaitu:

1. Letak 1 adalah letak mula-mula

2. Letak 2 adalah letak setelah diputar 120O

3. Letak 3 adalah letak setelah diputar 240O.

Karena segitiga sama sisi setelah diputar kurang dari 360O dapat menempati

bingkainya kembali dengan 3 cara, maka segitiga sama sisi memiliki simetri tingkat

tiga.

Bila suatu bangun setelah diputar kurang dari 360° pada pusatnya dapat menempati

bingkainya dengan n cara (n > 1), maka bangun tersebut memiliki simetri putar

tingkat n.

Segitiga Sama Kaki

Bila dua buah segitiga siku-siku yang kangruen diletakkan sedemikian hingga

salah satu sisi siku-sikunya berimpit, maka akan terbentuk segitiga sam kaki seperti

pada gambar berikut:

Page 15: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

39

Berikut ini akan kita pelajani sifat-sifat yang terdapat pada segitiga sama kaki.

ADC dan BDC merupakan segitiga siku-siku

yang kongruen.

Jika ABC dilipat menurut garis CD, maka ADC

dan BDC akan saling berimpit.

Jadi, ADC dan BDC simetris terhadap garis CD.

Maka CD merupakan sumbu simetris dari ABC.

Karena segitiga sama kaki memiliki 1 sumbu simetri, maka dapat menempati

bingkainya dengan car berikut ini:

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa:

Segitiga sama kaki memiliki satu sumbu simetri, dan dapat menempati bingkainya

dengan dua cara.

Karena segitiga sama kaki dapat menempati bingkainya kembali menurut

sumbunya setelah dibalik, maka dapat kita selidiki sifat-sifat berikut ini

Page 16: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

40

ABC (sama kaki) dibalik menurut sumbu

simetri CD, maka:

A → B (A menempati B)

C → C (C menempati C)

AC → BC

Jadi, AC = BC

BAC → ABC

Jadi, BAC = ABC

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

Setiap segitga sama kaki memiliki dua sisi yang sama panjang dan dua sudut yang

sama besar.

Pada segitiga sama kaki, sisi-sisi yang sam disebut kaki, dan sisi yang lain

disebut alas walaupun letaknya belum tentu pada bagian bawah, seperti gambar

berikut ini:

ABC sama kaki

AB = AC.

ABC = ACB.

AB dan AC disebut kaki

BC disebut alas.

Contoh:

ABC di samping sama kaki.

Panjang AC = 10 cm dan BD = 4 cm.

Besar BAC = 50o.

Hitunglah:

a. ABC, ACD, BCD, dan ACB.

b. Panjang BC, AD, dan AB.

Jawab:

a. ABC = BAC = 50O

ACD = 180O – (CAD + CDA)

A B D

C

C

B A

Page 17: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

41

= 180° – (50° + 90°)

= 180O – 140°

= 40O

BCD = ACD = 40O

ACB = 40O + 40O

= 80O

b. BC = AC = 10 cm

AD = BD = 4 cm

AB = AD + DB

= 4 cm + 4 cm

= 8 cm

Segitiga Sama Sisi

Buatlah segitiga sama sisi dengan menggunakan kertas atau karton manila seperti

berikut:

Lipatlah ABC menurut garis AD, ternyata ABD

dan ACD berimpit dengan tepat. Maka AD adalah

sumbu simetri.

Lipatlah ABC menurut garis BE, ternyata BAE

dan BCE berimpit dengan tepat. Maka BE adalah

sumbu simetri.

Lipatlah ABCmenurut garis CF, ternyata CAF

dan CBF berimpit dengan tepat. Maka CF adalah

sumbu simetri.

Dengan demikian

Segitiga sama sisi memiliki tiga sumbu simetri

Selanjutnya perhatikan gambar-gambar berikut ini:

Page 18: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

42

Gambar di atas menunjukkan letak segitiga sama sisi ABC pada bingkainya.

Letak 1 merupakan letak ABC sebelum diputar atau dibalik.

Letak 2 merupakan letak ABC setelah diputar 31 putaran (120°)

Letak 3 merupakan letak ABC setelah diputar 32 putaran (240O)

Letak 1, 2, dan 3 menunjukkan bahwa segitiga sama sisi ABC dapat menempati

bingkainya dengan 3 cara jika diputar kurang dari 360°. Oleh karena itu, segitiga

sama sisi memiliki simetri putar tingkat tiga, karena bila diputar kurang dan 360°

dapat menempati bingkainya dengan 3 cara.

Segitiga sama sisi memiliki simetri putar tingkat tiga

Letak 4, 5, dan 6 merupakan letak segitiga sama sisi ABC setelah dibalik menurut

sumbu simetrinya

Dan letak 1 sampai letak 6 menunjukkan bahwa

Page 19: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

43

Segitiga sama sisi dapat menempati bingkainya dengan 6 cara

Perhatikan letak segitiga sama sisi ABC pada bingkainva untuk letak 4 dan letak 5.

ABC dibalik menurut sumbu simetri CF, maka,

AC → BC

BAC → ABC

Jadi, AC = BC ...................................................... (1)

BAC = ABC ................................................... (2)

ABC dibalik menurut sumbu simetri BE, maka,

AB → BC

BAC → ACB

Jadi, AB = BC ...................................................... (3)

BAC = ABC ................................................... (4)

Dari bentuk persamaan (1) dan (3) kita peroleh:

AC = BC ............................................................... (1)

BC = AB ............................................................... (3)

Jadi, AC = BC = AB

Dari bentuk persamaan (2) dan (4) kita peroleh:

ABC = BAC .................................................... (2)

BAC = ACB ................................................... (4)

Jadi, ABC = BAIC = ACB.

Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa:

Page 20: BAB II SEGITIGA - Sebelas Maret University

44

Untuk sifat segitiga sama sisi, setap sisinya sama panjang dan ketiga sudutnya sama

besar.

ABC sama sisi

AB = BC = AC

Karena besar sudut-sudutnya sama, maka:

BAC = ABC = ACB = 3

180O

= 60O

Pada segitiga sama sisi besar tiap-tiap sudutnya = 60O

Sifat-sifat segitiga sama sisi adalah:

1. Memiliki 3 sumbu simetri

2. Memiliki simetri putar tingkat 3

3. Dapat menempati bingkainya dengan 6 cara

4. Memiliki 3 sisi yang sama panjang

5. Memiliki 3 sudut yang sama besar

A B

C

o

o o