bab ii. konsep matematika dalam surveying

27
ILMU UKUR TANAH 1 2.0.0. KONSEP MATEMATIKA DALAM SURVEYING Disaat pekerjaan pengukuran, pada waktu yang bersamaan harus dilakukan bermacam-macam pekerjaan dan pengamatan. Karenanya, kesalahan-kesalahan baik yang kecil maupun besar mungkin saja terjadi. Untuk menghindari hal ini, maka tugas pengukur harus didasarkan pada prinsip-prinsip dasar pengukuran, yaitu: a. Perlu adanya pengecheckkan yang terpisah. Tidak cukup hanya satu kali pengukuran saja. b. Tidak ada kesalahan-kesalahan yang prinsip dalam pengukuran 2.1.0. Dimensi-Dimensi Yang Dapat Diukur -Jarak, dapat diukur dengan mistar, pita ukur dan alat optis seperti alat Penyipat Datar dan Theodolite - Ketinggian, dapat diukur dengan waterpass dan rambu ukur dan alat-alat optis seperti alat Penyipat Datar. -Sudut, dapat diukur dengan alat optis seperti Theodolite dan sebagainya Catatan untuk pengajar: - Jarak: perlihatkan alat-alat ukur, mistar, pita ukur, dan sebagainya POLITEKNIK NEGERI MEDAN 20

Upload: immanuel-lumbantobing

Post on 27-Dec-2015

94 views

Category:

Documents


5 download

DESCRIPTION

Konsep perhitungan dalam ilmu ukur tanah

TRANSCRIPT

Page 1: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

2.0.0. KONSEP MATEMATIKA DALAM SURVEYING

Disaat pekerjaan pengukuran, pada waktu yang bersamaan harus dilakukan

bermacam-macam pekerjaan dan pengamatan. Karenanya, kesalahan-kesalahan

baik yang kecil maupun besar mungkin saja terjadi. Untuk menghindari hal ini,

maka tugas pengukur harus didasarkan pada prinsip-prinsip dasar pengukuran,

yaitu:

a. Perlu adanya pengecheckkan yang terpisah. Tidak cukup hanya satu

kali pengukuran saja.

b. Tidak ada kesalahan-kesalahan yang prinsip dalam pengukuran

2.1.0. Dimensi-Dimensi Yang Dapat Diukur

- Jarak, dapat diukur dengan mistar, pita ukur dan alat optis seperti alat Penyipat

Datar dan Theodolite

- Ketinggian, dapat diukur dengan waterpass dan rambu ukur dan alat-alat optis

seperti alat Penyipat Datar.

- Sudut, dapat diukur dengan alat optis seperti Theodolite dan sebagainya

Catatan untuk pengajar:

- Jarak: perlihatkan alat-alat ukur, mistar, pita ukur, dan sebagainya

- Ketinggian dan sudut: hanya diperlihatkan alat-alat- penyipat datar dan

theodolit, tetapi tidak menerangkannya.

2.2.0. Konsep Trigonometri2.2.1. Jarak Vertikal (Vertikal Distance)

VAB

A

B

Gambar 2.1. Jarak Vertikal Titik A-B

2.2.2. Jarak Horizontal (Horizontal Distance)

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 20

Page 2: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

HAB

A

B

Gambar 2.2. Jarak Horizontal Titik A-B

2.2.3. Jarak Miring (Slope Distance)

A

B

Gambar 2.3. Jarak Miring Titik A-B

2.3.0. Rumus-rumus Dasar Trigonometri

2.3.1. Rumus Sinus

H

SV

A B

C

a

aa Htan Vor SsinV

Velev elev AC

aSCosH

Gambar 2.4. Rumus-Rumus Sinus

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 21

Page 3: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

Contoh 1 :

Diketahui jarak miring garis AC, S = 125,6m dan besar sudut kemiringannya

adalah α = 35º24'17". Carilah jarak horizontal dan jarak vertikal antara kedua

titik tersebut?

Jawab:

Contoh 2 :

Diketahui jarak BC = 4,1667m dan jarak AB = 15,0m. Carilah besar sudut α dan

jarak miringnya (slope distance)

Jawab:

2.3.2. Rumus Cosinus

A

B

c

b

α

β

C

Gambar 2.5. Rumus-Rumus Cosinus

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 22

Page 4: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

a

A

B

C

Ukur jarak ABUkur jarak ACUkur jarak BCHitung sudut a

)AB)(AC2(

BCABACcos

222

Gambar 2.6. Menghitung sudut α di titik A

2.3.3. Rumus-Rumus Penting Lainnya

cos θ = cos (-θ) =sin(/2-θ)

sin θ = -sin (-θ) = cos(/2-θ)

tan θ = -tan (-θ) = cot(/2-θ)

sin 2θ = 2cos θ sin θ

cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ = 2 cos2 θ – 1 = 1 - 2 sin2 θ

tan 2θ = 2tan θ/ (1 - tan2 θ)

sin θ/2 = ±√{(1-cosθ)/2}

cos θ/2 = ±√{(1+cosθ)/2}

tan θ/2 = sinθ/ (1+cosθ)

cos2 θ + sin2 θ = 1

sec2 θ – tan2 θ = 1

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 23

Page 5: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

cosec2 θ – cot2 θ = 1

sin2 θ = ½(1 - cos2θ)

cos2 θ = ½(1+ cos2θ)

tan2 θ = (1-cos2θ)/(1+cos 2θ)

sin A + sin B = 2sin ½(A + B)cos ½(A - B)

sin A - sin B = 2cos ½(A + B)sin ½(A - B)

cos A + cos B = 2cos ½(A + B)cos ½(A - B)

cos A - cos B = -2sin ½(A + B)sin ½(A - B)

tan A + tan B = sin (A + B)/(cos A cos B)

tan A - tan B = sin (A - B)/(cos A cos B)

sin2 A + sin2 B = 1 - cos(A + B)cos(A - B)

sin2 A - sin2 B = sin(A + B)sin(A - B)

cos2 A + sin2 B = 1 - sin(A + B)sin(A - B)

cos2 A - sin2 B = cos(A + B)cos(A - B)

cos2 A + cos2 B = 1 + cos(A + B)cos(A - B)

cos2 A - cos2 B = -sin(A + B)sin(A - B)

2.4.0. Luasan Bentuk Lahan Yang Beraturan2.4.1. Rumus Sinus Mencari Luas

A

B

c

b

α

β

C

Gbr. 2.7. Rumus Sinus Mencari Luas

dimana s = ½ (a + b + c)

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 24

Page 6: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

Atau

Contoh 3:

Diketahui:- Gambar dan data seperti pada gambar di bawah ini- Luas tanah sebesar 325m2 akan dibebaskan

Ditanya:1. Panjang jarak BC2. Berapa luas tanah keseluruhan3. Panjang jarak B"-B, B'-B dan B"B'4. Panjang jarak B'-C5. Besar sudut AB'C, BB'C, ACB', dan BCB'

Jawab:1. Panjang jarak B-C

2. Luas Tanah Areal Total

a.

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 25

CLuas = 325m2

A B' B

c = 100,85m

146º47'01,8"

17º31'06,66" 15º41''51,56"

a

Page 7: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

b.

c.

d.

3. Panjang Jaraka. Panjang Jarak

Luas = 325m2

, dimana adalah jarakB’B

b. Panjang jarak

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 26

CLuas = 325m2

h

A B" B' B

c = 100,85m

a146º47'01,8"

15º41''51,56" δ 17º31'06,66"

sin'2

1acArea

Page 8: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

C.

Jadi,

4. Panjang jarak

sin" aCB

Sehingga jarak

5. Sudut Dalam

a. Sudut

, dimana

b. Sudut

c. Sudut

d. Sudut

2.4.2. Luasan Segitiga (The Area of Triangles)

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 27

Page 9: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

Topik ini membahas perhitungan luas areal berdasarkan hasil pengukuran

maupun penggambaran beserta ciri-cirinya. Ada beberapa rumus yang dapat

digunakan untuk mencari luasan segitiga, antara lain:

A = , dimana h = tinggi

a

b

c

A

B

C

h

Gambar 2.8. Luasan Segitiga

2.4.3. Luasan Trapesium (The Trapezium)

A = , dimana a and b harus sejajar/parallel

a

b

p

Gambar 2.9. Luasan Trapesium

2.4.4. Lingkaran (The Circle)

a. Luasan Lingkaran Penuh: Keliling = 2πr

r

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 28

Page 10: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

Gambar 2.10. Luasan Lingkaran

b. Luasan Sebuah Sektor Dalam Lingkaran:

Panjang Busur =

r rθ

Gambar 2.11. Luasan Sektor Lingkaran

c. Luasan Sebuah Segmen Dalam Lingkaran:

r rθ

h

Gambar 2.12. Luasan Segmen Lingkaran

2.4.5. Luasan Ellipse Dan Parabola

a. Ellipse

A =

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 29

Page 11: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

a

b

Gambar 2.13. Luasan Ellipse

b. Parabola

A =

h

b

Gambar 2.14. Luasan Parabola

2.4.6. Bentuk Lahan Yang Tidak Beraturan

1. Cara Trapesium

Rumus Trapesium ini sering digunakan untuk menghitung luasan tanah

yang bentuknya tidak beraturan. Bagi-bagilah areal tersebut ke dalam

beberapa bagian yang lebih kecil hingga bagian tersebut bentuknya lebih

mendekati sebuah trapezium. Lebar masing masing bagian biasanya sama

besarnya (L). Untuk mencari luasan areal seperti terlihat pada gambar di

bawah ini adalah:

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 30

Page 12: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

h1 h2 h3 h4 h5 h7h6 h8 h9

L L L L L L L L

Gambar 2.15. Luasan Dengan Cara Trapesium

- Luasan trapesium pertama:

- Luasan trapesium kedua:

- Luas Total:

Contoh 4:

Diketahui:

h1 = 12,35m h4 = 10,47m h7 = 09,73m

h2 = 11,74m h5 = 09,86m h8 = 08,84m

h3 = 11,05m h6 = 10,98m h9 = 08,57m

dan L = 2,40m

Ditanya : Cari luas areal tersebut dengan cara trapezium

Jawab:

Luas Total:

2. Cara Simpson (The Simpson's Rule)

Untuk mencari luas diantara h1 dan h3

A = luas trapezium + luas parabola

A = (luas parabola)

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 31

Page 13: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

A =

A =

A =

h1 h2 h3

a

bc

dL L

f

g

e

g

e

a

f

h1 h2 h3

b Lc

L d

Dan bagian trapesium ini akan dilanjutkan dan dijumlahkan untuk

mendapatkan luas total dari sebuah potongan yang tidak beraturan, namun

jumlah h yang membagi potongan tersebut harus ganjil.

h1 h2 h3 h4 h5 h7h6 h8 h9

L L L L L L L L

Gambar 2.16. Luasan Dengan Simpson

Dengan demikian, maka luas total:

A =

Contoh 5:

Diketahui:

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 32

Page 14: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

h1 = 12,35m h4 = 10,47m h7 = 09,73m

h2 = 11,74m h5 = 09,86m h8 = 08,84m

h3 = 11,05m h6 = 10,98m h9 = 08,57m

dan L = 2,40m

Ditanya : Cari luas areal tersebut dengan cara trapezium

Jawab:

Luas Total =

Ingat!!!! Agar rumus ini berguna, jumlah h harus ganjil

Hasil dari perhitungan ini lebih baik dibanding dengan cara trapesium.

2.4.7. Mencari Luas Dengan Metode Koordinat

Dengan mengetahui koordinat dari semua titik-titik sudut dari sebuah

potongan, dapat dicari besar luas potongan tersebut dengan menggunakan

metode koordinat. Misalkan, sebuah potongan dengan empat buah sudut,

ABCD, yang masing-masing mempunyai koordinat (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), dan

(x4,y4) seperti telihat pada gambar 2.17 di bawah ini. Rumus untuk mencari

luasnya:

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 33

Page 15: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

x3 C

x4 D

x2 B

x1 y3 y2

A y4

y1

O

Y

X

c

d

b

a

Gambar 2.17. Mencari Luas Dengan Metode Koordinat

Luas = Abba + BCcb – Adda –DCcd

Luas = (x1 + x2)(y2 – y1) + (x2 + x3)(y3 – y2) -

(x1 + x4)(y4 – y1) - (x3 + x4)(y4 – y3)

Luas = [y1(x4 + x2) + y2(x1 – x3) + y3(x2 + x4) + y4(x3 + x1)]

Dapat dinyatakan bahwa aturan untuk mencari luas dengan metode

koordinat ini adalah dengan mengalikan setiap ordinat (y) dengan perbedaan

antar dua absis (x) yang menghimpitnya, dan hasil penjumlahannya dibagi

dengan dua.

Aturan yang lebih sederhana untuk mencari luas potongan ini didapat

dengan memutar berlawanan arah jam koordinat-koordinat titik-titik sudutnya.

Seperti pada gambar 2.17 di atas, dalam bentuk fraksi, koordinatnya diatur, di

mulai dan diakhiri dari titik yang sama, dengan absisnya berada dibagian atas

fraksi tersebut, yaitu:

y1 y2 y3 y4 y1

x1 x2 x3 x4 x1

Dengan mengalikan secara diagonal fraksi-fraksi yang diberi tanda dan

menjumlahkan (hasilnya positif) dan fraksi-fraksi yang tidak diberi tanda dan

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 34

Page 16: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

menjumlahkannya (hasilnya negatif), hasil penjumlahannya sama dengan dua

kali besar luas yang sebenarnya.

Untuk memudahkan perhitungan mencari luas areal potongan yang berada

diantara titik pusat (center line), dimana koordinatnya 0,0, harus dibagi dengan

dua bagian. Dengan menghilangkan tanda negatif pada koordinatnya,

perhitungan luas bagian tersebut dapat dicari dan putaran koordinatnya harus

searah jarum jam.

Contoh 6:

Cari luas potongan tanah yang akan digali seperti pada gambar 2.18 di bawah

ini.

A1 A2

C

6m 6m6

0

6

0

9

5,10

6,16,7

3,29,10

4,2

Gambar 2.18. Menghitung Luas Galian

Jawab:

Luas bagian kiri, A1:

0 0 2,4 2,3 1,6 0

0 6 10,9 7,6 0 0

2A1 = 0 + 14,4 + 25,07 + 12,16 + 0 – (0 + 0 + 18,24 + 0 + 0) = 33,39m2

Luas bagian kanan, A2:

0 0 1,5 1,6 00 6 9 0 0

2 A2 = 0 + 9,0 + 14,4 + 0 – (0 + 0 + 0 + 0) = 23,4 m2

Luas Total =

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 35

Page 17: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

2.5.0. Keliling Bumi

α/2 α/2

O

r

Panjang Busur

Panjang Tali Busur

A B

Gambar 2.19. Panjang Busur dan Tali Busur

r = 6370km (Versi IUT I)

Keliling bumi (km) Panjang Busur (km) Panjang tali Busur (km)

2 πr

360º 40023.8904067  180º 20011.9452034    90º   10005.9726 9008.54039245º   5002.986301 4875.3869281º   111.1774734 111.176062230'   55.58873668 55.588560291'   1.852957889 1.852957883

30"   0.926478945 0.9264789441"   0.030882631 0.030882631

Tabel 2.1. Panjang Busur dan Tali Busur Versi IUT 1 PEDC

r = 6378.136km (Versi ITRS, hal 17)

Keliling bumi (km) Panjang Busur (km) Panjang tali Busur (km)

2 πr

360º 40075.01040239   180º  20037.50520120    90º   10018.75260060 9020.0464338645º   5009.37630030 4881.613953141º   111.31947334 111.3180604330'   55.65973667 55.659560061'   1.85532456 1.85532455

30"   0.92766228 0.927662281"   0.03092208 0.03092208

Tabel 2.1. Panjang Busur dan Tali Busur Versi ITRS

2.6.0. Catatan Sejarah Tentang Konstanta

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 36

Page 18: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

Konstanta adalah perbandingan besaran keliling lingkaran dibagi

diameternya, yaitu S = D = 2r. Sejarah tentang konstanta sudah diketahui

sejak dulu kala. Barangkali pertama kali dicatat dari sebuah usaha untuk

mendapatkan nilai diberikan kepada seorang bangsa Mesir yang namanya

Ahmes, kira-kira pada Tahun 1600 B.C. Hasil perhitungannya tentang besaran

konstanta adalah 3,1605. Archimedes (287-212 B.C) menentukan nilai

konstanta dengan memberikan penjelasan dan membagi sebuah lingkaran

kedalam 96 segi. Hasilnya, nilai konstanta berada diantara dua nilai, yaitu

3,1429 dan 3,1408. Sedang Ptolemy (?100–168 A.D) menetapkan nilai

konsatanta sebesar 3,14166. Vieta (1540– 603) memberikan nilai konstanta

sebesar 3,141592653.

Dalam perhitungan Calculus dapat dibuktikan bahwa nilai konstanta yang

didapat berupa bilangan irrasional; ketingkat akurasi berapapun akan ditentukan,

nilai konstanta tidak pernah sama. Dapat dibuktikan dalam penyelesaian

matematika tingkat tinggi, nilai konstanta = 4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11……)

atau merupakan perkalian angka 4 dengan sebuah bilangan seri yang infinity.

Dengan menggunakan mesin hitung modern saat ini (komputer), nilai konstanta

bisa didapat sampai 100.000 angka dibelakang koma. Nilai ini sangat akurat

namun tidak memiliki nilai praktis. Nilai konstanta dengan akurasi 10 angka

dibelakang koma adalah 3,1415926536.

Soal-Soal:

1. Cari luas potongan tanah yang akan ditimbun seperti pada gambar di bawah ini.

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 37

Page 19: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

A1 d A2

6m

0

0

38,7

18,2

0

81,1

6

51,1

3

0

3

0

2. Cari Panjang setiap sisi dan luas dari sebidang tanah dengan koordinat titik-titik

sudutnya sebagai berikut:

X(m)   Y(m)A 1000.00 1000.00B 1183.79 1000.00C 1281.84 1128.72D 1140.99 1306.48E 986.55 1229.82F 986.55 1052.73A 1000.00 1000.00

3. Cari Panjang setiap sisi dan luas dari sebidang tanah dengan koordinat titik-titik

sudutnya sebagai berikut:

Titik 1 Titik 2 Titik 3

x1 = 27.350,14m x2 = 27.471,75m x3 = 27.437,51m

y1 = 45.214,43m y2 = 45.167,22m y3 = 45.330,72m

4. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi

pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya. Besar Sudut θ =

136º30'10".

A

100 m

C

θB

80 m

5. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi

pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 38

Page 20: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

B

50 m

C80

A60 m

6. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi

pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.

R

T100

S40

20 m

7. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi

pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.

R

P 20 Q

100

40 m

8. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi

pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 39

Page 21: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

Z

X 24 Y62

100 m

9. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi

pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.

Z

80 m

X W

Y

50

80 m

80 m

80 m

10. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi

pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.

G

60 m

E90

F

H

90

80 m

40 m

11. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi

pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.

D

100 m

B39

C

A 11

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 40

Page 22: BAB II. Konsep Matematika Dalam Surveying

ILMU UKUR TANAH 1

12. Cari luasan sebuah segmen dalam lingkaran yang berjari-jari 30m dengan besar

sudut = 761648?

13. Cari luasan sebuah sektor dalam lingkaran yang berjari-jari 30m dengan besar sudut

= 761648? Dan berapa panjang h nya.

14. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi

pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.R

S

60 m

T100

50 m

15. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi

pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.

16. Cari luas areal di bawah ini baik dengan cara trapezium dan simpson rule

3,2m 2,7 2,8 2,5 2,6 2,32,7 1,9 1,6m

L L L L L L L L

L= 1,25m

POLITEKNIK NEGERI MEDAN 41