bab ii kajian pustaka a. pemahaman...
TRANSCRIPT
7
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Pemahaman Konsep
Menurut Benyamin S. Bloom (dalam Siti, 2008 : 9) siswa dikatakan memahami
sesuatu apabila siswa tersebut mengerti tentang sesuatu itu tetapi tahap mengertinya
masih rendah. Kemampuan mengerti pada tahap ini misalnya mampu mengubah
informasi ke dalam bentuk paralel yang lebih bermakna, memberikan interpretasi.
Perbuatanya itu dilakukan atas perintah tanpa ada kaitannya dengan yang lain atau
melihat kegunaanya. Sedangkan menurut Zulaiha (2006: 19), hasil belajar yang
dinilai dalam mata pelajaran matematika ada tiga aspek. Tiga aspek itu adalah
pemahaman konsep, penalaran dan komunikasi, serta pemecahan masalah. Ketiga
aspek tersebut bisa dinilai dengan menggunakan penilaian tertulis, penilaian kinerja,
penilaian produk, penilaian proyek, maupun penilaian portofolio.
Pemahaman konsep menurut Rosser (dalam Somantri, 2010) adalah suatu
konsep abstraksi yang mewakili suatu kelas objek-objek, kejadian-kejadian atau
hubungan-hubungan yang mempunyai atribut yang sama. Jadi pemahaman konsep
dapat diartikan tingkat kemampuan untuk menangkap dan menguasai lebih dalam
lagi sejumlah fakta yang mempunyai keterkaitan dengan makna tertentu.
Kemampuan pemahaman matematis adalah salah satu tujuan penting dalam
pem-belajaran, memberikan pengertian bahwa materi-materi yang diajarkan kepada
siswa bukan hanya sebagai hafalan, namun lebih dari itu. Dengan pemahaman siswa
dapat lebih mengerti akan konsep materi pelajaran itu sendiri. Pemahaman matematis
8
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
juga merupakan salah satu tujuan dari setiap materi yang disampaikan oleh guru,
sebab guru merupakan pembimbing siswa untuk mencapai konsep yang diharapkan.
Hal ini sesuai dengan Hudoyo (dalam Siti, 2008) yang menyatakan tujuan mengajar
adalah agar pengetahuan yang disampaikan dapat dipahami peserta didik.
B. Konsep Bilangan Bulat
Jika k bilangan asli maka - k didefinisikan sebagai bilangan yang tunggal,
sehingga k + k = -k + k = 0. Dari definisi tersebut (-2) merupakan satu-satunya
bilangan yang bila ditambah dengan 2 menghasilkan 0, (-50) merupakan satu-satunya
bilangan, bila ditambah 50 menghasilkan bilangan 0. Dengan demikian secara umum
-k merupakan satu satunya bilangan bila ditambah dengan k menghasilkan 0, untuk k
bilangan asli Bilangan -k disebut invers dari k atau invers aditif dari k, atau lawan
dari k, atau negatif k.
Selanjutnya bila kita gabungkan antara {.... ,-k, -4, -3, -2, -1) dengan bilangan
asli dan {0), maka disebut dengan bilangan bulat. Dengan demikian bilangan bulat
itu adalah { ...,-4,-3,-2,-l, 0, 1,2,3,4,...).
Selanjutnya dari bilangan bulat itu berarti ada himpunan bilangan asli yang
merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat yang disebut dengan
himpunan bilangan bulat positif, ditulis 1, 2, 3, 4, ... ( 0 ) dan himpunan bilangan
bulat negatif yang ditulis . . , -4, -3, -2, -1 ).
9
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
C. Operasi dan Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
operasi penjumlahan bilangan bulat :
1. penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif. Untuk
operasi penjumlahan bilangan bulat yang kedua-duanya positif sama saja
dengan penjumlahan pada bilangan cacah.
2. penjumlahan bilangan bulat yang salah satunya bilangan bulat negatif atau
kedua-duanya negatif, maka operasi penjumlahan berlaku :
Gambar 2.1: Garis Bilangan
a. -a + -b = - (a + b) jika a dan b bilangan bulat tak negatif
b. a + (-b) a - b jika a dan b bilangan tak negatif serta a > b
c. a + ( -b ) = 0 jika a dan b adalah bilangan bulat tak negatif dan a = b
d. a + (-b) = -(b - a) jika a dan b adalah bilangan bulat tak negatif dan a < b
Kondisi diatas kalau kita masukan kedalam contoh adalah sebagai berikut :
1. -3 + -5 = - (3 + 5) = -8
2. 7 + (-4) = 7 - 4 = 3
3. 8 + (-8) = 0
4. 3 + (-7) = - (7-3) = -4
10
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Penjumlahan bilangan bulat mempunyai beberapa sifat yaitu :
1. Sifat tertutup
jika a dan b bilangan bulat, maka a + b juga bilangan bulat.
Contoh : 5 bilangan bulat, 7 bilangan bulat. 5 + 7 = 12 dan 12 juga bilangan
bulat
2. Sifat pertukaran
Jika a dan b bilangan bulat maka a ± b = b ± a
contoh : 5 bilangan bulat, 9 bilangan bulat, maka 5 + 9 = 9 + 5
3. Sifat pengelompokan
Jika a, b, c bilangan bulat maka ( a + b ) + c = a + ( b + c)
Contoh : 5, l dan 3 adalah bilangan bulat, maka (5+7)+3=5+(7+3)
4. Sifat adanya unsur identitas
Ada bilangan 0 yang bersifat a - + 0 = 0 + a = a
Contoh : 9 + 0 = 0 + 9 = 9
5. sifat adanya invers penjumlahan
Untuk setiap bilangan bulat a, ada bilangan bulat b sehingga a + b = b + a = 0,
bilangan b disebut invers atau lawan dari bilangan a dan biasanya dinyatakan
dengan lambang -a.
Contoh 5 + ( -5 ) = 0, maka bilangan -5 merupakan invers atau lawan bilangan 5.
6. Sifat ketertambahan
Jika a, b, dan c bilangan bulat, a b, maka a + c = b + c
Contoh : 4 + 5 = 4 + 5
11
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
7. sifat konselasi
Jika a, b dan c bilangan bulat, dan a + c = b + c maka a = b
Contoh : 3 + 8 = 3 + 8 maka 3 = 3
D. Operasi Pengurangan Dalam Bilangan Bulat
Definisi : Untuk p dan q bilangan bulat selisih atau pengurangan q dari p
(ditulis p - q) adalah bilangan bulat r jika dan hanya jika p = q + r
Dari definisi diatas kita bisa memberikan contoh :
1. 5 – 3 = 2, sebab 5 = 3 + 2
2. 5 – 7 = -2, sebab 5 = 7 + (-2)
3. (-4) -3 = -7, sebab -4 = 3 + (-7)
4. (-6) - (-2) = -4, sebab (-6) = (-2) + (-4)
Pengurangan bilangan bulat juga dapat diimplikasikan dengan garis bilangan.
Pengurangan dipikirkan sebagai invers penjumlahan.
Contoh 1 : 3 – 2 = 1
12
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Contoh 2 : 5 - 7 = -2
Contoh : 3 : (-4) – (-5) = 1
E. Pembelajaran Bilangan Bulat
Proses pembelajaran akan berhasil dengan baik apabila guru membuat
perencanaan dengan pertimbangan aspek siswa, materi, uraian sajian materi,
rangkaian proses berpikir dan keterampilan siswa, serta metode penilaian yang sesuai.
Perencanaan yang dibuat guru bertujuan untuk memberi kemudahan kepada
siswa untuk mencapai sasaran yang diinginkan. Dalam proses kegiatan pembelajaran
sebaiknya siswa melakukan berbagai kegiatan sebagai : mengalami, melakukan,
mencari dan menemukan sendiri konsep yang dipelajari serta pemecahan masalah
dari persoalan yang dihadapi.
Berikut ini salah satu contoh rencana pembelajaran penerapan bilangan bulat
positif dan negatif dalam kehidupan sehari-hari (rencana pembelajaran untuk siklus l
tindakan l).
13
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
1. Kegiatan Awal
a. Guru mengarahkan siswa kearah pembelajaran yang kondusif
b. Guru memberikan stimulus yang berhubungan dengan bilangan bulat positif
dan bilangan bulat negatif.
2. Kegiatan Inti
a. Guru memberikan LKS untuk dikerjakan oleh siswa.
b. Guni membimbing siswa dalam mengerjakan LKS.
c. Siswa mengumpulkan LKS, berupa pernyataan yang menggunakan bilangan
bulat positif dan bilangan bulat negatif
3. Kegiatan Akhir
a. Guru dan siswa mengerjakan LKS.
b. Penilaian
c. Penilaian diambil dari hasil kegiatan belajar siswa dalam LKS.
d. Tes akhir
F. Matematika di Sekolah Dasar
Pelajaran matematika merupakan bidang studi wajib pada tingkat SD (Sekolah
Dasar). Hal ini dikarenakan betapa pentingnya peran matematika dalam aplikasi pada
kehidupan sehari-hari. Namun dalam kenyataan seringkali siswa mengalami
kesulitan dalam menggunakan ide-ide dasar, konsep-konsep matematika dalam
kehidupan sehari-hari. Hal ini disebabkan karena pembelajaran matematika selama
ini hanya menekankan pada hasil dan bukan pada prosesnya.
14
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Matematika pada Kurikulum 2004 (Depdiknas, 2003 : 5) dinyatakan sebagai
suatu bahan kajian yang memiliki objek abstrak dan dibangun melalui proses
penalaran deduktif, yaitu kebenaran suatu konsep diperoleh sebagai akibat logis dari
kebenaran sebelumnya sehingga keterkaitan antar konsep dalam matematika bersifat
sangat kuat dan jelas.
Dalam kurikulum 2004 mata pelajaran matematika (Depdiknas, 2003 : 6)
bahwa matematika berfungsi untuk mengembangkan kemampuan bernalar melalui
kegiatan penyelidikan, eksplorasi, dan eksperimen, sebagai alat pemecahan masalah
melalui pola pikir dari model matematika, serta sebagai alat komunikasi melalui
simbol, tabel, grafik, diagram, dalam menjelaskan gagasan.
Bagi siswa sekolah dasar belajar matematika itu sangat penting karena dapat
diaplikasikan atau dapat dipraktekkan secara langsung dalam kehidupan sehari-hari.
Di samping itu juga belajar matematika di sekolah dasar merupakan langkah pertama
untuk belajar matematika di tingkat lanjutan. Karena matematika di sekolah dasar
merupakan prasyarat untuk belajar matematika di tingkat yang lebih tinggi.
Dalam Kurikulurn Berbasis Kompetensi mata pelajaran matematika
(Depdiknas, 2003 : 6) disebutkan bahwa tujuan pembelajaran matematika pada
jenjang pendidikan dasar, yaitu : (1) melatih siswa bagaimana cara berpikir dan
bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikan,
eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsisten, dan
inkonsistensi, (2) mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi,
intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran orisimi, rasa ingin tahu,
membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba, (3) mengembangkan
15
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
kemampuan siswa dalam memecahkan berbagai permasalahan matematika, (4)
mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan
gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, catatan, grafik, peta, diagram, dalam
menjelaskan gagasan..
Tujuan umum dibebankannya matematika pada jenjang pendidikan dasar
seperti yang dikemukakan dalam kurikulum pendidikan dasar 1994 (dalam Hidayat,
2005) adalah:
1. mempersiapkan siswa untuk menghadapi tantangan perubahan keadaan saat ini
yang selalu berkembang, melalui latihan bertindak atas dasar pemikiran secara
logis, rasional, kritis, cermat, jujur, dan efektif
2. mempersiapkan siswa agar mampu menerapkan matematika dan pola pikir
matematika dalam kehidupan sehari-hari, dan dalam mempelajari berbagai
ilmu pengetahuan.
Agar tujuan itu dapat tercapai, maka harus dilakukan berbagai macam kegiatan
pembelajaran matematika, baik dari segi pendekatan, strategi belajar mengajar,
maupun metode mangajar yang digunakan. Kegiatan-kegiatan tersebut harus dapat
menunjang tercapainya tujuan yang diharapkan. Tujuan tersebut dianggap tercapal
bila siswa telah memiliki sejumlah kemampuan di bidang matematika.
G. Pendekatan Realistik
Pendekatan realistik adalah proses pembelajaran matematika yang
menggunakan konteks dunia nyata sebagai titik awal pembelajaran dan
mengutamakan keaktifan siswa selama proses pembelajaran.
16
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Pengembangan pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik ini
merupakan salah satu usaha untuk meningkatan kemampuan siswa memahami
matematika. Dengan menggunakan pendekatan realistik, seperti yang dilaporkan
dalam sebuah penelitian yang dilakukan oleh Turmudi, 2000 (dalam MKPBM, Tim,
2001, h.131) bahwa pembelajaran matematika berdasarkan realistik telah mengubah
sikap siswa menjadi lebih tertarik terhadap matematika, dan siswa pada umumnya
menyenangi matematika karena cara belajarnya berbeda dari biasanya, pertanyaan-
pertanyaannya menantang, adanya pertanyaan-pertanyaan tambahan sehingga
menambah wawasan dan lebih mudah mempelajarinya karena persoalannya
menyangkut kehidupan sehari-hari (siswa tidak asing terhadap konteks yang
diberikan). Demikian juga dengan hasil laporan beberapa penelitian matematika yang
menggunakan pendekatan realistik, telah menghasilkan adanya perubahan positif
setelah dilakukannya pembelajaran matematika dengan pendekatan ini. Diantaranya
yaitu dengan suasana belajar yang interaktif siswa dapat aktif dalam belajar
matematika di kelas, siswa dapat mengetahui bermacam-macam cara dalam
mengerjakan soal dan siswa lebih termotivasi serta bersemangat dalam belajar
matematika. Oleh karena itu,pendekatan realistik merupakan salah satu pendekatan
yang cocok untuk disampaikan pada siswa sekolah dasar.
Begitu pula penelitian yang dilakukan Armanto, 2002 (dalam Siti, 2010 : 31)
tentang pengembangan alur pembelajaran lokal topik perkalian dan pembagian
dengan pendekatan realistik di SD di dua kota, Yogyakarta dan Medan, menunjukan
bahwa siswa dapat membangun pemahaman tentang perkalian dan pembagian
dengan menggunakan strategi penjumlahan dan pembagian berulang.
17
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Penelitian Armanto, 2002 (dalam Siti, 2010 : 31) juga menunjukan bahwa
siswa belajar perkalian dan pembagian secara aktif membangun pemahaman mereka
sendiri dengan menggunakan strategi penemuan kembali, dan mendapatkan hasil
(menyelesaikan soal) baik secara individu maupun kelompok. Kesempatan siswa
untuk belajar dalam situasi yang berbeda-beda mendorong mereka merumuskan
kembali proses belajar mereka. Selama proses belajar siswa menunjukan kemajuan
yang signifikan dalam belajar perkalian dan pembagian bilangan multi-angka.
Penelitian yang lain telah dilakukan Fauzan, 2002 (dalam Siti, 2010 : 32)
tentang implementasi materi pembelajaran realistik untuk topik luas dan keliling di
kelas 4 sekolah dasar di Surabaya menunjukan bahwa materi PMR dapat digunakan
dalam pembelajaran matematika di SD. Dalam penelitian tersebut Fauzan, 2002
(dalam Siti, 2010 : 32) menemukan bahwa para guru dan siswa-siswa menyukai
materi pembelajaran matematika dengan pendekatan PMR, yaitu menurut mereka
materi tersebut sangat berbeda dengan buku yang dipakai sekarang baik dari segi isi
maupun pendekatannya.
Dalam pembelajaran matematika selama ini, dunia nyata hanya dijadikan
tempat mengaplikasikan konsep. Siswa mengalami kesulitan matematika di kelas,
akibatnya siswa kurang menghayati atau memahami konsep-konsep matematika dan
siswa mengalami kesulitan untuk mengaplikasikan matematika dalam kehidupan
sehari-hari. Salah satu pembelajaran matematika yang berorientasi pada matematisasi
pengalaman sehari-hari dan menerapkan matematika dalam kehidupan sehari-hari
adalah pembelajaran matematika realistik.
18
Ratna rohaetin,2013
Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Melalui Pendekatan Matematika Realistik Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Matematika Realistik adalah pendekatan pembelajaran matematika yang
berdasarkan pandangan kontruktivistik Yaitu proses belajar matematika yang
memberi keleluasaan kepada siswa tentang konsep-konsep matematika melalui
konteks (Kontekstual Problem). Konteks diterjemahkan siswa kedalam model-model
matematika sebagai jembatan untuk menghantarkan siswa sampai ke memahami
konsep-konsep formal. Tahap belajar mengajar dengan pendekatan realistik, pertama
guru menyajikan konteks (Kontesktual Problem) yaitu sebuah masalah situasi nyata
yang dikenal dan dipahami siswa. Melalui konteks yang dikenal dan dipahami, siswa
diharapkan termotivasi untuk membuat representasi bentuk model, baik model
tingkat rendah berupa reprentasi sederhana situasi konteks tingkat tinggi berupa
model yang mirip dengan konsep personal, tetapi bentuknya masih belum formal
tahap membuat model-model ini yang disebut sebagai matematisasi horizontal.
Ketika siswa membuat model formal sehingga sampai menemukan konsep
formalnya, maka tahap ini disebut matematisasi vertikal. Pada pembelajaran
matematika dengan pendekatan realistik guru tidak boleh menjelaskan,
menerangkan. Guru sebagai fasilitator, membimbing atau mengarahkan melalui
pertanyaan-pertanyaan untuk mengiring siswa sampai menemukan konsep (guide
reinvormation).
Ada lima ciri pembelajaran dengan pendekatan matematika realistik yaitu : 1
menggunakan konteks, 2) siswa menggunakan model-model, 3) siswa memproduksi
dan mengkontruksi model-model, 4) pembelajaranya interaktif dan 5) terjadi proses
keterhubungan antara konsep atau antar pokok bahasan (intertwinment)