BAB 2 Bilangan bulat

2.1 Sistem bilangari bulatDalam Bab 1 telah kita kemukakan sistem bilangan bulat sebagai suatucontoh untuk sistem yang dilengkapi dengan dua operasi, yaitu operasitambah dan operasi kalL Kita tidak melibatkan diri dengan konstruksi

.bilangan bulat, definisi operasi tambah dan operasi kali, dan pembuktiansifat operasi tersebut. Kita menerima sistem bilangan bulat beserta sifatoperasinya sebagai suatu kenyataan berdasarkan pengalaman yang telahkita miliki sebelumnya.

Himpunan semua bila.ngan bulat kita tandai dengan Z. Tanda ini jugakita gunakan untuk menyatakan sistem bilangan bulat, yaitu himpunanZ yang dilengkapi dengan operasi tambah: + dan operasi kali: x; kitatulis (Z,+, x). Jadi Z = (Z,+, x).

Kita kemukakan sifat berikut tanpa bukti.

Sifat 2.1.1 Sistem bilangan bulat memenuhi sifat berikut.1. Terhadap operasi tambah :a. Setiap bilangana, b"danc diZ memenuhi sifat asosiatif, (a + b)+c =a+,(b+c).b. Setiap bilangan a dan b di Z memenuhi sifat komutatif, a + b = b+ a.c. Terdapat bilangan 0 di Z yang memenuhi a + 0 = a untuk semuabilangan a E Z.d. Untuk setiap bilangan a E Z temapat bilangan -a E Z yang memenuhia+ (-a) =0.

2. Terhadap operasi kali :a. Setiap bilangan a, b, dan c di Z memenuhi sifat asosiatif, (ab) c =a (bc).b. Setiap bilangan a dan b di Z memenuhi sifat komutatif, ab = ba.c. Terdapat bilangan 1 di Z yang memenuhi a1 = a untuk semua bilangana E Z.d. Untuk setiap bilangan a dan b di Z yang memenuhi ab = 0 berlakua = 0 atau b = O.

3. Terhadap operasi tambah dan operasi kali, setiap bilangan a, b, dan cdi Z memenuhi sifat distributif, a (b+ c) = ab + ac.

Secara umum, suatu sistem yang dilengkapi dengan dua operasi yangmemenuhi sifat seperti dalam Sifat 2.1.1 kita Jlarnakan daerah integral.Sehubungan dengan ini, sistem bilangan bulat kita sebut juga daerahbilangan bulat. Sifat berikut dapat kita buktikan dengan menggunakanSifat 2.1.1.

Sifat 2.1.2 Untuk setiap bilangan a dan b di daerah bilangan bulat Zberlaku:1. Oa = 0,2. (-a) b = a (-b) = -ab.

Bukti. 1. Dari Sifat 2.1.1 kita punyai 0 = 0 + O. Jadi Oa= (0 + 0) a,atau

Oa+(-Oa) - (Oa+Oa) + (-Oa)o - Oa+ (Oa+ (-Oa))

- Oa+O- Oa.

2. Dari 1 dan Sifat 2.1.1, khususnya hubungan a + (-a) = 0, kitaperoleh 0 = Ob= (a + (-a)) b, dan

o = ab + a (-b) .

(-00) +0 - (-00) + (00+ (-a) b)-00 - « -ab) + ab) + (-a) b-00 - 0+ (-a)b-00 - (-a) b.

Dengan cara yang sejalan kita peroleh -ab = a (-b).Jadi (~a)b = a (-b) = -00. •

Soal'

1. Jika a E Z memenuhi a+a = a, maIm.a = O. Dengan menggunakansifat yang berlaku dalam sistein bilangan bulat (Z, +, x), berikandua cara pembuktian untuk sifat ini.

2. Buktikan (-1) a = -a untuk semua unsur a EZ.

3. Misalkan a E Z. Buktikan - (-a) = a.

4. Diketahui himpunan K = {s8 + t121 s dan t di Z} dan L ={r4 IrE Z}. Thnjukkan: K = L.

5. Jika a, b, c unsur di Z dengan a-:/:O dan memenuhi ab = ac,buktikan b = c. ,-

Suatu kenyataan yang berlaku pada daerah bilangan bulat Z ialah bahwasetiap dua bilangan a dan b di Z senantiasa dapat saling dibandingkan:a lebih kedl darib, a lebih besar dati b, a sarna dengan b, berturut-turut kita tuliskan dengan tanda a < b, a > b, a = b. Dari ketigahubungan tersebut hanya satu yang berlaku. Dengan demikian, semuabilangan bulat dapat kita gambarkan pada suatu garis bilangan sepertipada gambar berikut.

Dalam gambar ini a < b jika bilangan a terletak di sebelah kiri bilanganb.

Bilangan a E Z yang memenuhi 0 < a kita katakan positif. Seba-liknya, yang memenuhi a < 0 kita katakan negatif. Himpunan semua bi-langan bulat positif kita sebut juga himpunan bilangan asli, kita tandaidengan N. Jelas, himpunan bilangan asli N membentuk subhimpunandari daerah bilangan bulat Z. Berikut kita ketengahkan beberapa sifatberkenaan dengan himpunan bilangan asH N, yang kita terima sebagaikenyataan yang berlaku pada daerah bilangan bulat Z.

Sifat 2.2.1 Subhimpunan bilangan asli N dari daerah bilangan bulat Zmeme-nuhi :1. Untuk setiap bilangan a dan b di N berlaku a + b E N dan ab EN.2. Untuk setiap bilangan a E Z berlaku atau a = 0 atau a E Nata'll,-aEN.

Butir 1 dari Sifat 2.2.1 mengatakan bahwa N tertutup terhadap ope-rasi tambah dan operasi kali di Z. Jadi (N, +, x) membentuk suatusubsistem dari (Z, +, x). Seperti halnya dengan Z, subsistem (N, +, x)kita tandai juga hanya dengan N. Dengan demikian, N kita sebut jugasistem bilangan asH. (Lihat Sifat 2.2.3) • '

Dari Sifat 2.1.1 butir 1.d telah kita ketahui bahwa untuk setiap bi-langan a E Z terdapat bilangan -a E Z yang memenuhi a + (-a) = O.Bilangan -a ini kita sebut balikan (invers) bilangan a terhadap operasitambah. Dengan menggunakan kenyataan ini, selisih dua bilangan a danb di Z, yang kita tandai dengan a - b, dapat diartikan sebagai a + (-b).Jadi a - b = a + (-b). Sehubungan dengan selisih, kita punyai sifatberikut.

Sifat 2.2.2 Misalkan a dan b di Z. Maka a < b jika dan hanya jikab - a E N.

Dalam sistem N, bilangan 1 mempunyai sifat khusuS dibandingkandengan bilangan lain di N, yaitu setiap x E N memenuhi hubungan1 ~ x (1 = x atau 1 < x). Dalam hal ini kita katakan bilangan 1adalah bilangan terkecil di N. Sifat ini dapat diperluas untuk setiap sub-himpunan tak hampa. Misalkan N' subhimpunan yang memuat semuabilangan genap di N. Maka 2 adalah bilangan terkecil di N'. Untukmenunjukkan keberlakuan sifat ini seeara umum, lebih dahulu kita kete-ngahkan aksioma Peano untuk himpunan bilangan asli N.

Sifat 2.2.3 (Aksioma Peano)1. 1 adaloh anggota N.2. Setiap anggota x E N mempunyai pengikut p (x) E.N.3. Dua bilangan di N yang berbeda mempunyai pengikut yang berbeda.4. 1 bukan pengikut bilangan x E N yang mana pun.5. Jika subhimpunan S ~ N memuat 1dan pengikut dari setiap bilangandi S, maka S = N.

Aksioma di atas dikemuka.kan oleh Guisseppe Peano sekitar tahun1890 sebagai rumusan formal konsep bilangan asli, yaitu suatu konsepbilangan yang diperlukan untuk mengemukakan banyaknya sekumpulanbenda yang diketengahkan. Bilangan bulat positif dalam sistem bilanganbulat diidentifikasikan dengan bilangan asli dari Peano.

Pada garis bilangan (lihat gambar halaman 19) pengikut p (x) su-atu bilangan x E N adalah bilangan yang terletak langsung di sebelahkanannya. Jadi p (x) = x + 1. Pengertlan pengikut tidak lain adalah pe-metaan p : N ~ N yang bersifat satu-satu dan p (x) # 1 untuk semuax E N.

Butir 5 dalam Sifat 2.2.3 kita kenal sebagai induksi matematika danse-ring kita gunakan untuk membuktikan keberlakuan suatu sifat yangharus dipenuhi oleh semua bilangan asH di N. Sifat berikut kita buktikankeberlakuannya dengan menggunakan induksi matematika .

..-Sifat 2.2.4 Misalkan N' ~adalah subhimpunan dari N yang tak hampa.Maka N' memuat bilangan terkecil, yaitu terdapat x E N' yang bersifaix .$ y untuk semua YEN'.

Bukti. Jika 1 EN', jelas 1 adalah bilangan terkecil di N'. Selanjutnyamisalkan N' tidak memuat 1. Thlis S = N - N'. Maka 1 E S. Andaikanuntuk semua xES berlaku p (x) E S. Menurut induksi matematika,Sifat 2.2.3 butir 5, kita punyai S = N. Maka N' = 0. Hal ini bertentan-gan dengan yang diketahui bahwa N' # 0. Jadi terdapat xES denganpengikut p(x) ¢ S. Misalkan x adaIah bilangan pertama di S denganpengikut p (x) ¢ S, atau p (x) E N'. Maka setiap bilangan yEN' me-menuhi p (x) < y. Dengan kata lain p (x) adalah bilangan terkecil di N' .

•

1. Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa untuksetiap bilangan asli n berlaku :a. 1 + 2 + ... + n = ~n (n + 1).b. (a + bt = L~=o(~)an-kbk.

2. Misalkan Sn = 12 + 22 + ... + n2• Buktikan: untuk setiap n.E Nberlaku Sn = tn (n + 1) (2n + 1).

3. Misalkan Tn = 13 + 23 + ... + n3. Thliskan Tn sebagai fungsi darin dan buktikan bahwa penulisan itu berlaku untuk semua n EN.

4. Misalkan S subhimpunan tak hampa dari N yang bersifat: setiapbilang-an 8 E S memenuhi sifat P (8), yaitu setiap subhimpunantak hampa dari N yang memuat bilangan < 8 senantiasa memuatbilangan terkecil. Buktikan S = No

5. Misalkan T ~ N dan T =F 0. Dengan memanfaatkan soal nomor4 tunjukkan bahwa subhimpunan T senantiasa memuat bilanganterkecil.

2.3 Sifat bilanganbulatDalam pasal ini kita pelajari beberapa pengertian serta sifat bilanganbulat. Berbagai sifat itu pada hakekatnya juga akan mencerminkan sifatdaerah bilangan bulat.

Misalkan kita punyai dua bilangan a dan b di Z. Persamaan a +x = b senantiasa mempunyai solusi di Z. Artinya, senantiasa terdapatbilangan bulat x E Z yang memenuhi hubungan a+x = b. 'Di lain pihak,untuk bilangan bulat a yang tak nol, persamaan ax = b tidak senantiasamempunyai solusi di Z. Dalam hal persamaan ax = b mempunyai solusi,bilangan a kita sebut pembagi bilangan b. Di sini pengertian pembagihanya dikenakan pada bilangan bulat yang tak nol. Namun, kita dapatmemberikan definisi yang lebih umum.

Definisi 2.3.1 Misalkan a dan b bilangan di Z. Bilangan a disebutpembagi bilangan b jika terdapat bilangan c E Z yang memenuhi ac = b.

Bilangan a pembagi bilangan b kita tandai dengan a I b. Sebaliknya,a bukan pembagi b kita tandai dengan a f b. Dalam hal a = 0, makabilangan a hanya dapat menjadi pembagi bilangan b = O.

Di samping kata pembagi, kita gunakan Juga kata faktor, yaitu afaktor b. Selain kata tersebut, kita juga mengatakan a membagi b, atau bdapat dibagi oleh a. Pembagi bilangan 1 kita sebut unit. Jadi, bilanganu E Z adalah unit jika terdapat bilangan v E Z yang memenuhi uv = 1.Bilangan 1dan -1 adalah unit di Z.

Khususnya untuk bilangan a =f. 0, pengertian bilangan a pembagi bi-langan b dapat kita perluas mencakup a bukan pembagi b. Lebih dahulukita perkenalkan nilai mutlak untuk bilangan a E Z, yaitu lal, yangdidefinisikan oleh :

lal { a_'a, jika a ~ 0,jika a < O.

Sifat 2.3.1' Misalkan a dan b di Z, dan a =f. O. Maka terdapat bilanganq dan r di Z yang memenuhi b = qa + r dan 0 < r < lal.

Bukti. Pertama kita buktikan untuk a > O. Pandang himpunan

A = {b - sa I b - sa ~ 0 untuk suatu s E Z}.

- Ibl a ~ - Ibl s:. b

Dengan memilih s = -Ibl kita punyai b - sa ~ O. Dengan demikianA =f. 0. Dalam hal 0 E A, pilih q = s yang memenuhi b - qa = O.Jadi b = qa + r dengan r = O. Kalau 0 ¢. A, maka menurut Sifat 2.2.3himpunan A memuat bilangan terkecil. Namakan bilangan terkecil ini r.Maka b - SIa = r untuk suatu SI E Z. Selanjutnya kita tunjukkan bahwar < a; atau r - a < O.

Andaikan r ~ a. Maka terdapat r' E Z, r' ~ 0, yang memenuhir = r' + a, jadi r' + a = b - Sla. Selanjutnya r' = b - (SI + l)a E Adan 0 ~ r' < r. Karena 0 rt A, maka r' =f. O. Hubungan 0 < r' < rmustahil, karena r adalah bilangan terkecil di A. Jadi haruslah berlakur < a. Thlis q = SI' Maka b = qa + r dengan 0 < r < a.

Dengan demikian untuk a > 0 telah kita buktikan terdapatnya bi-langan q dan r di Z yang memenuhi b = qa + r dan 0 ~ r < a. Un-tuk a < 0, pandang -a. Maka terdapat q dan r di Z yang memenuhib = q (-a) + r dan 05 r < -a. Jadi untuk a -:f 0 selalu terdapat q danr di Z yang memenuhi b = qa + r dan 0.::; r < lal· •

Sifat 2.3.1 di atas akan kita gunakan dalam pembuktian sifat berikut.\,

Sifat 2.3.2 Misalkan S suatu subhimpunan daTi Z yang tak hampa. Un-tuk setiap bilangan a dan b di S berlaku a + b E S dan a - b E S. M akaterdapat bilangan n E S yang bersifat S = {kn I k E Z}.

Bukti. Diketahui S -:f 0. Misalkan a E S j maka 0 = a - a E S.Jadi S memuat O. Selanjutnya kita pandang ~ua halj pertama, S hanyamemuat 0 dan kedua, S memuat bilangan tak no!.

1. S = {O}. Pilih n = O. Maka S = {kO I k E Z}.2. S;2 {O,a}. Maka -a = O-a E S. Jadi S memuat b~langan bulat

positif. Misalkan T = {x I xES, x > O}. Maka T -:f 0 j menurut' Sifat·2.2.4, subhimpunan T memuat bilangan terkecil, sebut n. Untuk setiapk E Z berlaku:kn = n + ... + n (k suku), untuk k > 0,kn = 0, untuk k = O.Untuk k < 0 tulis k = -m dengan m > O. Dengan menggunakan Sifat2.1.2 kita punyai hubungankn = (-m)n = m(-n) = (-n) + ... + (-n) (m suku) dan -n E S.

Dengan demikian kn E S untuk semua k E Z, atau S ;2 {kn I k E Z}.Untuk menunujukkan inklusi sebaliknya, ambil yES. Menurut Sifat2.3.1 terdapat q dan r di Z yang memenuhi y = qn + r dan 0 ~ r < n.Thlis r = y - qn. Karena qn juga di S, maka rES. Tetapi r < n.Pengambilan n sebagai bilangan bulat positif terkecil di S mengakibatkanr = O. Kita peroleh y = qn untuk suatu q E Z dan hubungan S ~{kn I k E Z}. Jadi S = {kn I k E Z}. •

Untuk selanjutnya himpunan {kn I k E Z} kita tandai dengan Zn.Sebagai terapan dari Sifat 2.3.2 pandang bilangan a dan b di Z clanhimpunan

K = {sa + tb I s, t di Z} .

Untuk setiap x dan y di K berlaku x + y E K, x - Y E K. Dengandemikian K = Zd untuk suatu d E K. Dari hubungan terakhir ini

berlaku a E Zd dan b E Zd, dan d = sla + t1b untuk suatu SI dan t1 diZ. Dua hubungan yang pertama, yaitu a E Zd dan b E Zd, mengatakanbahwa d I a dan bid, atau d adalah pembagi sekutu bilangan bulat adan b.

Selanjutnya misalkan e E Z suatu pembagi sekutu bilangan a dan b.Thlls a = uc dan b = ve untuk suatu u dan v di Z. Kitaperoleh

d = Sla + tlb = SI (ue) + t1 (ve) = (SIU + t1v) e.

Dalam hubungan di atas SI U + t1 V E Z, jadi e I d. Dengan berlakunyahubungan terakhir ini bilangan d kita sebut pembagi sekutu terbesar daria dan b. Dengan demikian, dari Sifat 2.3.2 kita punyai sifat berikut.

Sifat 2.3.3 Setiap bilangan a dan b di Z yang tidak keduanya 0 senan-tiasa mempunyai pembagi sekutu terbesar d E Z, dan d = sa + tb untuksuatu bilangan s dan t di Z.

Misalkan d pembagi sekutu terbesar dari a dan b di Z. Maka -d jugapembagi sekututerbesar dari a dan b. Kalau pembagi sekutu kita batasi

.yang positif saja, maka pembagi sekutu terbesar dari a dan b tidak lainadalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi a dan b. Bilangan adan b Z yarig mempunyai pembagi sekutu terbesar 1 kita katakan relatifprim.

Bilangan 1 dan -1 senantiasa membagi bilangan a EZ, atau meru-pakan faktor dari setiap~ E Z. Karena itu, faktor dari suatu bilangan diZ senantiasa kita maksudkan selain 1dan -1. Jika b EZ adalah pembagi(faktor) bilangan a, maka -b juga pembagi dari a. Dua bilangan sepertib dan -b, yaitu yang berbeda dengan faktor -1, kita katakan sekawan.Perlu kita catat, -1 adalah suatu unit di Z. Dalam menentukan faktorsuatu bilangan di Z kita tidak membedakan dua bilangan yang sekawan.

Pandang bilangan p E Z yang bukan 0, 1, atau -1, yang mempunyaisifat: Jika. p I ab, dengan a dan b dua bilangan di Z, maka p I a ataup I b. Bilangan p di Z yang mempunyai sifat tersebut kita katakan prim.Selanjutnya kita bertanya, bilangan di Z manakah yang dapat menjadipembagi (faktor) bilangan prim p selain 1, -1, p, dan -p? Misalkan U EZ adalah pembagi bilangan p yang bukan 1atau -1. Maka p = uv untuksuatu v E Z. Jadi pi uv. Menurut pengertian bilangan prim, p I u ataupi v. Andaikan p I v. Maka v = pw untuk suatu w E Z. Kita perolehp = uwp, atau (1 - uw)p = O. Karena p:l 0, kita punyai uw = 1. Kita

peroleh u = 1 atau u = -1; ini memberikan kontradiksi dengan pilihanu. Jadi, haruslah P I u, dan kita peroleh v = 1 atau v = -1, sedangkanu = P atau u = -po Dengan demikian, bilangan P hanya mempunyaipembagi (faktor) 1, -1, P, dan -po Tanpa memperhatikan faktor 1 dan-1, dan tanpa membedakan faktor yang sekawan, kita katakan bahwa:bilangan prim P E Z tidak mempunyai faktor lain selain dirinya sendiri.

Dengan demikian, untuk menentukan semua faktor dari suatu bi-langan tak nol di Z, kita memerlukan semua faktor prim dari bilangantersebut. Berkaitan dengan dengan hal ini kita punyai sifat berikut.

Sifat 2.3.4 Misalkan a suatu bilangan di Z yang bukan 0, 1, atau -l.Maka a senantiasa dapat dituliskan sebagai hasil kali faktor prim. Penu-lisan ini, tanpa melihat faktor 1dan -1 dan membedakan faktor sekawan,tunggal.

Bukti. Lebih dahulu kita buktikan untuk bilangan a yang positif sertauraiannya atas faktor prim yang positif.

Dalam hal a suatu bilangan prim, bukti kita telah selesai. Dalamhal a bukan prim, tulis a = biCI dengan bi dan CI pembagi sejati dari a(pembagi dari a selain 1, -1, a, dan -a). Dalam hal bi dan CI keduanyaprim, bukti kita selesai. Dalarn hal salah satu daripadanya tidak prim,misalnya bI, tulis bi = ~C2' Seperti halnya peninjauan di atas, dalam hal~ dan C2 keduanya prim, dengan memisalkan CI juga prim, bukti kitaselesai. Dalam hal salah satu ~ atau C2 tidak prim, misalnya ~, uraiankita lanjutkan dan kita tulis ~ = b:JC3. Bilangan bll ~, b:J, Cll C2, C3

semuanya adalah pembagi sejati bilangan a.Untuk bilangan a E Z yang bukan unit, banyaknya pembagi sejati

dari a senantiasa hingga. Akibatnya proses penguraian di atas akanberhenti, artinya terdapat suatu indeks k yang bersifat bk-I = bkCkde-ngan bk dan Ck keduanya prim. Ini berarti telah kita peroleh bilanganprim, misalnya PI, ... ,Pn yang hasil kalinya PI ... Pr = a. Karena apositif, kita pilih bilangan prim PI, ... ,Pr semuanya positif.

Selanjutnya kita tunjukkan bahwa uraian atas faktor prim a = PI ... Prtunggal. Misalkan ada uraian atas faktor prim yang lain a = qi .. , qs.

Untuk r = 1, berarti a = PI suatu bilangan prim. Jadi PI = qi ... qs'Dari pengertian bilangan prim, bilangan PI membagi salah satu bilanganqj, misalkan qi' Karena PI dan ql keduanya prim posit if, haruslah kedu-anya sarna, yaitu PI = qi. Sebagai akibatnya kita peroleh 1 = q2'" qs.

Jadi a = PI = ql. .Sekarang misalkan ketunggalan berlaku untuk pemfaktoran yang ter-

diri atas r - 1 faktor prim. Kita tunjukkan bahwa ketunggalan jugaberlaku untuk pemfaktoran yang terdiri atas r faktor prim.

Pandang

Maka Pr membagi salah satu qj, misalkan qs' Karena Pr dan qs keduanyabilangan prim dan kita misalkan positif, maka keduanya sarna, yaituPr = qs· Kita peroleh

Menurut hipotesis induksi, r - 1 = s - 1, atau r = s, dan untuk setiapi = 1, .. , , r - 1 terdapat satu dan hanya satu indeks ji yang memenuhiPi = qj; dan

Dengan demikian· telah kita buktikan ketunggalan uraian atas faktorprim positif.

Akhirnya, untuk bilangan a yang negatif, kita pandang uraian untuka = (-1) (-a) dan kita peroleh

Selanjutnya faktor prim Pi juga dapat kita pilih yang negatif. Ini tidakmempengaruhi ketunggalan, karena pengertian ketunggalan memboleh-kan adanya perbedaan dalam faktor unit. •

Soal

1. Untuk setiap bilangan a dan b di Z, dengan a > 0, buktikan hubun-gan - Ibl a < - Ibl < b.

2. Misalkan·a dan b bilangan ellZ dan d = sa+tb untuk suatu bilangans dan t di Z.a. Jika d 1:- 1, tunjukkan bahwa d tidak selalu merupakan pembagisekutu terbesar dari a dan b.b. Jika d = 1, tunjukkan bahwa d adalah pembagi sekutu terbesardari a dan b.

3. Diketahui m dan n bilangan di Z dan S = {kn I k E Z} ={fm leE Z}. Buktikan bahwa bilangan m dan n sekawan, yaituhanya berbeda dengan faktor unit.

2.4 Kongruensi-'

Dalam Sifat 2.3.2 telah dikemukakan subhimpunan

Zn = {/en I k E Z}.

Dengan subhimpunan ini kita definisikan relasi di daerah bilangan bulatZ.

Definisi 2.4.1 Dua bilangan a dan b di Z dikatakan kongruen modulon, elltulis a = b (mod n), jika a - bE Zn.

Sifat 2.4.1 Kongruensi modulo n adalah suatu relasi ekivalen di Z.

Bukti. 1. Untuk setiap a E Z berlaku a = a (mod n), karena a - a =o EZn.

2. Ambil a dan b ellZ dan misalkan a = b (mod n). Menurut Definisi2.4.1 kita punyai a - b E Znj jadi juga b - a E Zn. Kita peroleh b = a(modn). I

9. Ambil a, b, dan c ell Z dan misalkan a = b (mod n) dan b = c(mod n). Menurut Definisi 2.4.1, kita punyai a - bE Zn dan b - c E Zn.Selanjutnya kita punyai (a - b) + (b - c) = a - c E Zn. Kita peroleha = c (modn).

Jadi, kongruensi modulo n memenuhi sifat refteksif, simetris, dantransitif. Dengan demikian, suatu relasi ekivalen. •

Untuk bilangan a E Z klas ekivalen modulo n yang memuat a kitatandai dengan a, yaitu

a = {x I x E Z, x = a (mod n)} .

Koleksi semua kI~ekivalen modulo n kita tandai dengan lEn, yaitu

Telah dijelaskan dalam Sifat 1.2.3 bahwa Zn membentuk suatu partisi diIE, yaitu saling lepas dan gabungannya adalah seluruh Z. Dalam tandaa dapat kita baca: bilangan a adalah wakil dari kIas ekivalen a. DilEn, untuk n ¥ 0, setiap kIas ekivalen mempunyai wakil yang tak hinggabanyaknya.

Selanjutnya, untuk mendefinisikan operasi tambahdan operasi kalipada Zn lebih dahulu kita tinjau pengaitan berikut, yang didefinisikanuntuk setiap a dan b di Zn.

+ (a, b) t---t a + bx (a, b) t---t ab .

Perlu kita tunjukkan bahwa pengaitan di atas tidak bergantung padawakil dari klas ekivalen. Misalkan a = al dan b = bl. Kita tunjukkana + b = al +bl dan ab = a1bl.. Dari hubungan a = at dan b = bl berturut-turut kita punyai a =al +sn dan_b = bt+tn untuk suatu s dan t di Z. Kita punyai hubunganberikut

a+b = al +bt +(s+t)n, dengan s+t E Z,ab = aIbt + (aIr + bis + stn) n, dengan ait + bis + stn E IE.

Kita peroleh a + b = al + bi dan ab = aibl.Dengan demikian, pengaitan + : (a,b) t---t a + b dan x : (a~b) t---t

ab masing-masing mendefinisikan pemetaan pada Zn x IEn• Kita punyaidefinisi berikut.

Deflnisi 2.4.2 Operasi tambah dan operasi kali pada Zn berturut-turutadalah pemetaan + :Zn x Zn - Zn yang didefinisikan oleh pengaitan

+ : (a,b) t---t a +b = a + b,

dan pemetaan x : Zn x Zn - Zn yang didefinisikan oleh pengaitan

x : (0:, b) t---t lib = ab,

untuk semua a dan b di Zn.

Kita punyai sistem matematika (Zn, +, x). Sifat berikut menjelaskanstruktur yang dimiliki oleh sistem ini.

Sifat 2.4.2 Untuk setiap bilangan bulat n > 1, dan a, b, c di sistem(Zn, +, x) berlaku :1. Terhadap operasi tambah :

a. (a + b) + c = a + (b + c),b. a+b = b+a,c. Terciapat unsur 0' E Zn yang memenu.hi 0' +a = a + 0' = a,d. Untuk setiap a E Zn terdapat -a E Zn yang memenuhi a+ (-a) = 0'.2. Terhadap operasi kali :a. (ab) c = a (be) , _b. ab = 'ba, c. Terdapat unsur I E Zn yang memenuhi Ia = aI = a.3. Terhadap operasitambah dan operasi kali secara bersarna-sarna berlaku

a (b + c) = ab+ ere.Bukti. Pembuktiannya mengikuti langsung Definisi 2.4.1 dan Sifat

2.1.1. (Bukti yang lengkapdiserahkan kepada pembaca sebagai latihan) .

•Sistem (Znl +, x) selanjutnya kita tulis Zn, kita sebut sistem bilangan

bulat modulo n. Khususnya untuk n suatu bilangan prim sistem Znmemenuhi sifat lain selain yang telah disebut dalam Sifat 2.4.2.

Sifat 2.4.3 Misalkan p suatu bilangan prim di Z. Untuk setiap unsu,a E Zp, a:F '0, terdapat b E Zp yang memenuhi ab = ba = T.

Bukti. Dari a =f; 0 kita punyai a ¢ Zp, atau p bukaJ? p~mbagi daria. Dengan demikian pembagi sekutu terbesar dari p dan a' adalah 1.Menurut Sifat 2.3.3 terdapat bilangan bulat s an t yang memenuhi 1 ==sp + ta. Kita peroleh T = ta, dan b = t adalah unsur di Zp yang kitacarL •

1. Buat tabel hasil kali untuk Zs dan Z6' Periksa sifat perkalianmanakah yang berlaku untuk ZS, tetapi tidak berlaku untuk Z6'

2. Tuliskan semua sifat yang berlaku untuk sistem matematika(Zs, +, x) dan bandingkan dengan sifat yang berlaku untuk sis-tern bilangan rasional (Q, +, x). Apakah hasil pengamatan Anda?Dapatkah Anda memberikan pernyataan yang lebih umum?

3. Diketahui a, b, ml, dan m2 bilangan di Z, dengan ml dan m2relatif prim. Tunjukkan terdapat bilangan x E Z yang memenuhikongruensi x = a (mod md dan x = b (mod m2)'

4. Diketahui a, b, c, ml, m2 dan ma bilangan di Z, dengan pasang(mb m2), (mb ma) dan (m2, m3) relatif prim. Tunjukkan terdapatbilangan x E Z yang memenuhi kongruensi x = a (mod ml)' x = b(mod m2) dan x = c (mod m3)'

5. Misalkan tanggal 1 Februari 1999 jatuh pada hari Senin Pahing.Tanggal berapakah hari Senin Pahing berikutnya?

BAB3 Grup

3.1 Contoh dan pengertianDalam bagian ini akan kita tinjau beberapa sistem matematika yangmemenuhi berbagai sifat tertentu, yaitu yang akan kita kenali dengannama grup .. Sifat yang menjadi perhatian terutama berkaitan denganoperasi yang berlaku pada sistem itu.

Pandang sistem bilangan bulat dengan operasi tambah. Sistem inikita tandai dengan (Z, +). Dari bagian 2.1 kita ketahui bahwa padasistem ini berlaku sifat berikut :

1. Setiap bilangan (L,..b, c di Z memenuhi (a + b) + c = a + (b + c),yaitu sifat asosiatir: '

2. Terdapat bilangan 0 di Z dengan sifat a + 0 = 0 + a = a untuksemua a di Z.

3. Untuk setiap bilangan a di Z terdapat bilangan -a di Z yangmemenuhi 0.+ (-a) = (-a) + a = O. Bilangan -a disebut baliko.n dario..

Sekarang pandang himpunan semua matriks berukuran 2 x 2, dengankomponen bilangan nyata dan tak singulir. Himpunan ini kita tandaidengan M2• Jadi, suatu matriks

terkandung di M2 jika dan hanya jika determinannya berbeda dari 0,

Dengan demikian, untuk matriks A dan B di A12, hasil kali AB juga diM2• Dengan kenyataan ini, pengaitan (A, B) 1---+ AB yang didefinisikanuntuk semua pasang (A, B) di M2 x M2 mendefinisikan operasi pada M2,

yaitu suatu pemetaan

Operasi ini kita sebut operasi kali. Dengan operasi kali pada M2 kitatelah menjadikan himpunan M2 suatu sistem matematika (M2, x). Se-lanjutnya, pada sistem (M2, x) berlaku sifat berikut :

1. Setiap matriks A, B; C di M2 memenuhi sifat asosiatif (AB) C =A(BC).

2. Terdapat matriks kesatuan J = (~ ~) di M2 dengan sifat

AI = IA = A untuk semua matriks A di M2.

3. Untuk setiap matriks A di M2 terdapat matriks A-I di M2 yangmemenuhi AA-I = A-I A = I. Matriks A-I kita sebut balikan dari A.Untuk matriks A = (~ ~), kita punyai

A-I _ 1 (d -b)- det (A) -c a .

Di atas telah kita kemukakan dua sistem matematika beserta sifat ter-tentu yang berlaku pada sistem tersebut. Kalau kit a perhatikan sifat de-ngan nomor yang bersesuaian, sifat pertama adalah sifat asosiatif, yaituberkenaan dengan operasi jika dikenakan pada tiga unsur. Sifat keduaberkenaan dengan adanya unsur yang tidak memberikan pengaruh apapun jika dioperasikan dengan unsur lain. Unsur dengan sifat ini kitasebut unsur netml, disamping sebutan yang lain, misalnya unsur kesa-tuan atau unsur identitas. Sifat ketiga berkenaan dengan adanya balikanuntuk setiap unsur yang terkandung dalam sistem.

Secara umum kita kemukakan suatu konsep yang bertalian dengansuatu sistem matematika yang memenuhi sifat tertentu, yaitu sifat yangberlaku untuk sistem bilangan bulat (Z, +) dan sistem matriks tak sin-gulir (M2, x).

Untuk ini pandang himpunan tak hampa G yang kita lengkapi dengansuatu operasi. Operasinya kita nyatakan sebagai operasi kali, yaitu

untuk semua a dan b di G. Pada hakekatnya operasi ini adalah ope-rasi kali yang abstrak. ,J(arena itu, hasil operasinya pun suatu hasilkali abstrak. Pada. kenyataannya operasi ini dapat berwujud operas1tambah seperti pada· sistem (Z, +), atau berwujud operasi kali matriksseperti pada sistem (M2, x). Adapun konsep yang bertalian dengan sis-tem (G, x) kita ungkapkan dalam definisi berikut.

Deftnisi 3.1.1 Sistem matematil-.a (G, x) disebut grup jika memenuhi:1. Sifat asosiatif. Untuk setiap unsur a, b, e di G berlaku (ab) e = a (be).2. Unsur kesatuan. Terdapat unsur e di G yang memenuhi ae = ea = auntuk semua unsur a di G. Unsur e disebut unsur kesatuan.3. Balikan. Untuk setiap unsur a di G terdapat unsur a-I di G yangmemenuhi aa-1 = a-1a = e. Unsur a-I disebut balikan unsur a.

Grup adalah suatu sistem matematika. Selanjutnya, sistem matema-tika adalah suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi dengan suatuoperasi padanya. Dengan kata lain, grup adalah suatu himpunan tak

hampa yang dilengkapi dengan suatu operasi yang memenuhi sifat 1,2, dan 3 dalam Definisi 3.1.1. Berkaitan dengan ini suatu grup kitaungkapkan juga sebagai suatu himpunan tak hampa yang membentukgrup terhadap suatu operasi tertentu. Untuk memeriksa apakah su-atu himpunan G membentuk grup terhadap suatu operasi, kita lakukanberbagai langkah pemeriksaan berikut:

1. Apakah G tak hampa.2. Apakah pemetaan x : G x G - G didefinisikan dengan baik.3. Apakah sifat 1, 2, dan 3 dalam Definisi 3.1.1 dipenuhi.

Notasi untuk grup (G, x) kita sederhanakan menjadi G saja. Jadisuatu grup G adalah sistem matematika (G, x) yang memenuhi syarattertentu. Tanpa penjelasan lain, operasi pad~;grup G senantiasa kitamaksudkan operasi kali abstrak. Dengan notasi ini kita punyai grupZ = (Z, +) dan M2 = (M2, x).

Perlu kita perhatikan bahwa grup Z memiliki sifat tambah yang tidakdimiliki oleh sifat kali dalam grup M2• Untuk setiap bilangan a dan b di

( 1 1) ~, (1 0)Z berlaku a+b = b+a. Untuk matriks A = 0 1 dan B = 1 1 I

di M2 berlaku

Jadi, AB ::j: BA. Sehub~ngan dengan ini kita ketengahkan definisiberikut.

Definisi 3.1.2 Grup G dikatakan komutatif jika untuk setiap unsur adan b di G berlaku ab = 00.

Hendaknya pembaca memeriksa manakah di antara contoh grup yangdikemukakan di atas yang membentuk grup komutatif.

Melihat banyaknya unsur yang terkandung dalam suatu grup, kita be-dakan antara yang hingga dan yang tak hingga. Suatu grup kita katakantak hingga jika memuat unsur yang banyaknya tak hingga. Sebaliknya,

suatu grup kita katakan hingga jika memuat unsur yang banyaknya hingga.Banyaknya unsur yang terkandung dalam grup hingga kita sebut tingkatgrup dan kit a tandai dengan t( -). Jadi, grup hingga G mempunyaitingkat t( G), yang menyatakan banyaknya unsur di G.

Bagian ini kita akhiri dengan menyimak kembali Definisi 3.1.1 sertamelengkapinya dengan berbagai sifat yang berkaitan dengan unsur kesa-tuan dan balikan. Unsur kesatuan kita sebut juga unsur netral.

Sifat 3.1.1 Suatu grup G hanya memuat satu unsur kesatuan.

Bukti. Misalkan e dan d menyatakan unsur kesatuan di G. Makae = ed = d, karena untuk semua unsur 9 E G berlaku 9 = eg = ge dan9 = dg = gd. •

Sifat 3.1.2 Setiap unsur di grup G hanya mempunyai satu balikan.

Bukti. Misalkan unsur a E G niempunyai balikan b dan c. Makaberlaku ab = ba = e dan ac = ca = e. Selanjutnya kita punyai

,.-. -1(a-1) = a dan (ab)-1 ='b-1a-I.

Bukti. Untuk'unsur a berlaku aa-1 = a-1a = e. Menurut Sifat 3.1.2,unsur a-I hanya mempunyai satu balikan. Jadi, (a-1 )-1 = a.

Untuk unsur a dan b, dengan menerapkan sifat asosiatif, kita peroleh(ab) (b-1a-1) = e dan (b-1a-1) (ab) = e. Menurut Sifat 3.1.2, balikanunsur ab tunggal, jadi (ab)-1 = b-1a-1. •

Definisi 3.1.1 dapat kita sederhanakan. Penyederhanaan ini kita tu-liskan dalam teorema berikut.

Teorema 3.1.4 Misalkan G = (G, x) suatu sistem matematika yangbersifat asosiatif. Maka pemyataan berikut ekivalen:1. G suatu grup.2.a. Terdapat e E G dengan sifat ae = a untuk semua a E G, dan2.b. Untuk setiap a E G terdapat bEG yangmemenuhi ab = e.

Bukti. (1===?2) Jelas berlaku.(2===?1) Telah diketahui ab = e. Kita buktikan ba = e. Untuk unsur

b terdapat e E G yang memenuhi be = e. Kita peroleh

Dengan demikian, untuk setiap a E G terdapat bEG yang memenuhiab = ba = e. Dalam hal ini b = a-I.

Selanjutnya kita ketahui ae = a untuk semua a E G. Kita buktikanea = a. Dari hubungan ab = ba = e kita peroleh

ea = (ab) a = a (ba) = ae = a.

Jadi, untuk semua a E G berlaku ae = ea = a.:..Sifat asosiatif diketahuiberlaku. Dengan demikian, telah kita tunjukkan G suatu grup. •

SoalPeriksalah apakah himpunan berikut, dalam soal 1 sampai dengan 5,

membentuk suatu grup terhadap operasi yang berlaku padanya.

1. Himpunan bilangan bulat modulo n terhadap operasi tambah.

2. Himpunan bilangan bulat modulo p yang berbeda dari '0 terhadapoperasi kali, dengan p suatu bilangan prim.

3. Himpunan bilangan rasional positif terhadap operasi kali.

4. Himpunan bilangan rasional yang berbeda dari nol terhadap ope-rasi kali.

5. Himpunan bilangan kompleks yang berbeda dari nol terhadap ope-rasi kali.

6. Buatlah tabel hasil kali untuk grup yang berturut-turut memiliki2, 3, dan 5 unsur.

7. Buatlah dua tabel hasil kali yang berbeda untuk grup dengan yangmemiliki 4 unsur.

8. Misalkan G = (G, x) suatu grup yang memiliki n unsur dan T(G)menyatakan tabel hasil kali grup G. Buktikan bahwa setiap kolomdan baris di T( G) senantiasa diisi unsur grup G yang berbeda.

3.2 SubgrupHimpunan bilangan nyata positif membentuk suatu grup terhadap ope-rasi kali. Himpunan bilangan nyata memuat subhimpunan yang terdiriatas bilangan rasional positif yang juga membentuk suatu grup terhadapoperasi kali. Operasi kali yang berlaku pada subhimpunan bilangan ra-sional positif adalah juga operasi kali yang berlaku pada himpunan bi-langan nyata positif; dengan kata lain, subhimpunan bilangan rasionalpositif tertutup terhadap operasi kali di himpunan l:>ilangannyata posi-tif. Yang perlu kita perhatikan ialah: hasil kali dua bilangan rasionalsenantiasa suatu bilangan rasional juga. Dengan menggunakan penger-tian dari Bab 1 bagian 1.4 kita katakan bahwa subhimpunan bilanganrasional posit if terhadap operasi kali membentuk suatu subsistem darigrup bilangan nyata positif. Selanjutnya, subsistem ini juga membentuksuatu grup.

Secara umum, pandang grup G . (G, x) dan subhimpunan H dariG.

'Definisi 3.2.1 Subhimpunan H dari grup G = (G, x) membentuk sub-grup dari q jika:1. H tidak hampa,2. H tertutup terhadap operasi kali di G,3. (H, x) membe~tuk sJ,latugrup.

Sifat berikutmemberikan karakterisasi untuk suatu subgrupo

Sifat 3.2.1 Misalkan G suatu grup dan H suatu subhimpunan tak hampadari G. Maka pemyataan berikut ekivalen:1.... H suatu subgrup dari G.2. a. Untuk setiap a dan b di H berlaku ab E H, dan2.b. Untuk setiap a E H berlaku a-I di H.3. Untuk setiap a dan b di H berlaku ab-I E H.

Bukti. (1=? 2) Mengikuti langsung Definisi 3.2.1.(2=>3) Ambil unsur a dan b di H. Menurut 2.b berlaku b-1 E H,

dan menurut 2.a berlaku ab-1 E H.(3=?1) 1) Diketahui H -:F 0.2) Ambil a - b di H. Maka berlaku e = aa-1 E H. Selanjutnya,

untuk setiap a E H berlaku a-I = ea-1 E H. Untuk setiap a dan b

sebarang ell H, berarti a dan b-l juga di H; jadi berlaku ab = a (b-l )-1 EH. Dengan demikian H tertutup terhadap operasi kali di G.

3) Kita tunjukkan bahwa subsistem (H, x) membentuk suatu grup.a) Setiap unsur a, b, e di H adalah juga unsur di G. Jadi, berlaku(ab) e = a (be).b) Dalam 2) telah kita tunjukkan bahwa e E H. Jadi, untuk setiap a E Hberlaku ae = ea = a.c) Dalam 2) juga telah kita tunjukkan untuk setiap a E H berlaku a-I EH.Dari a), b), dan c) kita simpulkan bahwa (H, x) suatu grup. Jadi, Hmembentuk suatu subgrup dari G. •

Berbagai karakterisasi seperti dalam Sifat 3.2.1 memudahkan kitamemeriksa apakah suatu subhimpunan dalam- suatu grup membentuksuatu subgrupo Dalam grup G, subgrup terbesar adalah grup G sendiri.Sebaliknya, subgrup terkecil adalah subgrup yang hanya memuat unsurkesatuan. Demikian pula jika K dan L adalah subgrup dari G; denganmenggunakan Sifat 3.2.1 dapat kita tunjukkan bahwa irisan K n L juga,membentuk subgrup dari grup G. (Hendaknya pembaca menunjukkanini). Dalam hal ini K n L adalah subgrup terbesar di G yang termuatdalam subgrup K dan Lj semua subgrup lain dari G yang termuat dalamK dan L senantiasa termuat dalam subgrup K n L.

Sebaliknya, bagaimana kita menemukan subgrup dari G yang terkecilyang memuat subgrup K dan L. Untuk mel1jawab pertanyaan ini kitalihat secara umum cara menemukan subgrup terkecil di G yang memuatsuatu subhimpunan 8 dari G.

Misalkan 8 suatu subhimpunan dari grup G. Dalam hal subhimpunan8 hampa, subgrup yang hanya memuat unsur kesatuan e dari G meru-pakan subgrup terkecil dari G yang memuat 8. Subgrup ini kita tandaidengan (e). Selanjutnya, kita tinjau jika subhimpunari 8 tak hampa.Untuk barisan hingga yang terdiri atas unsur di 8 atau balikan unsur di8, misalnya 81, ... ,8k, kita bentuk hasil kali 81' .. 8k. Hasil kali sepertiitu kita sebut hasil kali hingga unsur di 8. Himpunan semua hasil kalihingga unsur di 8 kita tandai dengan (8). Jika 8 = 0, maka hasil kalihingga unsur di 8 didefinisikan sarna dengan unsur kesatuan e di G. De-ngan demikian, kita punyai (8) = (0) = (e). Himpunan (8) memilikisifat seperti tertera dalam pernyataan berikut.

Sifat 3.2.2 Misalkan G suatu grop dan 8 suatu subhimpunan dari G.Maka (8) adalah subgrup terkecil di G yang memuat subhimpunan 8.

Bukti. Dalam hal 8 = 0, maka (8) = (e), subgrup terkecil di G.Selanjutnya, pandang 8 f; 0. Lebih dahulu kita tunjukkan bahwa (8)suatu subgrup dari G. Kita punyai 8 ~ (8). Karena 8 f; 0, maka juga(8) f; 0. Thlis 8-1 = {S-l Is E 8}. Ambil unsur u dan v di (8). Makau dan v adalah hasH kali hingga unsur di 8, yaitu

-1 ( ) ()-1 -1-1UV = Xl'" Xk Y1'" Yt = Xl ••• XkYt •. , Y1

suatu hasil kali hingga unsur di 8. Jadi, uv-1 E (8). Menurut Sifat3.2.1, (8) suatu subgrup dari G.

Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa (8) subgrup terkecil di G yangmemuat 8. Hal ini ekivalen dengan mengatakan: Setiap subgrup dari Gyang memuat 8 senantiasa memuat (8). Misalkan H suatu subgrup dariG yang meItluat 8. Maka H memuat 8 U8-1; jadi juga memuat semuahasil kali hingga unsur di 8U 8-1 (dengan kata lain: hasil kali hinggaunsur di 8). Jadi, H memuat (8). •

,.-

Kembali kepada pertanyaan apakah subgrup terkecil yang memuatsubgrup K dan L; jawabnya adalah (8) dengan 8 = K U L. Subgrup inikita beri tanda K V L; jadi K V L = (K U L). Perlu kita catat bahwapada umumnya gabungan dua subgrup, seperti K UL, tidak membentuksubgrup dari G.

Subgrup (8), yaitu subgrup terkecil yang memuat 8, kita sebut sub-grup yang dibangun oleh 8. Adapun unsur di (S) kita peroleh denganmenghimpun semua hasH kali hingga unsur di 8. Dalam hal (8) = G,berarti seluruh grup G dibangun oleh subhimpunan 8. Kita katakanjuga S membangun grup G. Khususnya untuk 8 yang hanya memuatsatu unsur, yaitu 8 = {g} ~ G, kita tuliskan (8) = (g) dan kita katakansubgrup yang dibangun oleh unsur g. Subgrup yang dibangun oleh satuunsur, yaitu (g), kita sebut subgrup siklis. Dalam hal G = (g), kita pu-nyai G suatu grup siJdis. Untuk mengenali semua unsur subgrup siklis(g), kita kemukakan notasi berikut. Seperti dalam Bab 2, Z menyatakan

{

=g ... g,gm = e,

= g-1 ... g-1,

jika m > 0, yaitu hasH kali m faktor g,jika m = 0,jika m < 0, yaitu hasH kali - m faktor g-l.

Sifat 3.2.3 Misalkan G suatu grup dan 9 E G. Untuk setiap bilanganbulat m dan n berlaku

Bukti. Untuk membuktikan hubungan pertama, kita lihat berbagaikasus.

a. m = n = 0, gmgn = ee = e = gO = gm+ir.b. m dan n keduanya positif, gmgn = (g ... g) (g ... g) = gm+n.c. m dan n keduanya negatif, gmgn = (g-1 ... g-l) (g-.1 ... g-l) =

gm+n.d. m dan n berlawanan tanda. Misalkan m < 0 dan n > O. J

gmgn = (g-1 ... g-l) (g ... g) berturut-turut terdiri atas -m faktor g-1

dan n £{akto~::. 9 = gm+n, jika m + n > 0,gmgn =e =gm+n, jikam+n=O,

= g-1 ... g-1 = gm+n, jika m + n < O.Dengan demikian, telah kita tunjukkan gm gn = gm+n untuk semua bi-langan bulat m dan n.

Untuk membuktikan hubungan kedua, kita lihat kasus berikut.a. m sebarang dan n = 0, (gm)" = e = gO = gm.O = gmn.b. m sebarang dan n > O. Kasus ini kit a tunjukkan dengan induksi

atas n.1) n = 1. (gm )1 = gm = gm'l .2) n = k. Misalkan berlaku (gm)k = gmk.3) n = k + 1. Kita peroleh (gm)k+l = (gm)k gm = gmkgrn = gmk+m =gm(k+l) .Jadi, untuk semua n > 0 berlaku (gm)" = gmn.

c. m sebarang dan n = -1. Untuk kasus ini kita lihat berbagaidaerah nilai untuk m.1) m > 0, (gm)-1 = (g ... g)-1 = g-I ... g-1 = g-m = gm(-I).2) m = 0, (grn)-1 = e = gO = gm(-I).

3) m < 0, (gm)-1 = (g-I ... g-I)-1 = g ... 9 = g-m =m(-I).

Jadi, untuk m sebarang dan n = -1 berlaku (gm)-l = gm(-I).d. m sebarang dan n < -1. Thlis n = - k dengan k > 1.

(gmt _ (gm)-k = (gm)-l ... (gm)-1= gm(-l) ... gm(-l) = gm(-k)= gmn.

Derrgan demikian, telah kita tunjukkan (gmt = gmn untuk semua bi-langan bulat m dan n. •

Kembali kepada masalah pengenalan unsur grup sikHs, kita punyaisifat berikut.

Sifat 3.2.4 Misalkan G suatu grup dan 9 E G. Maka

(g) = {gm I"m E Z}.

Bukti. Lebih dahulu kita tllnjukkan bahwa himpunan

H = {gm 1m E Z}

membentuk suatu subgrup dari G. Jelas H tidak hampa, karena gO =e E H; dan dari Sifat 3.2.3 kita punyai

(gm) (on)-1 = gmg-n = gm-n E H,

untuk semua m dan n di Z. Menurut Sifat 3.2.1, ini menunjukkanbahwa H suatu subgrup dari G. Selanjutnya, setiap subgrup dari Gyang memuat 9 juga memuat H. Dengan demikian, H = (g), yaitusubgrup terkecil yang memuat g. •

Bagian ini kita tutup dengan catatan bahwa setiap grup sikHs senan-tiasa komutatif. Karena gmgn = gm+n = gngm.

Soal

1. Dengan meHhat tabel hasil kali, tunjukkan bahwa grup yang memi-100 5 unsur bersifat sikHs.

2. Jika nEZ, tunjukkan bahwa himpunan nZ = {nk I k E Z} mem-bentuk subgrup dari Z = (Z, +). Sebaliknya, tunjukkan bahwa un-tuk setiap subgrup H dari Z = (Z, +) terdapat bilangan n E Zyang memenuhi H = nZ.

3. Jika K dan L subgrup dari grup G, tunjukkan bahwa K n L jugasubgrup dari G.

4. Misalkan G = (g), yaitu grup siklis yang dibangun oleh g. Selan-jutnya diketahui terdapat bilangan m dan n di Z, m =I n, yangmemenuhi gm = gn. Buktikan bahwa banyaknya unsur dari grupG hingga.

5. Misalkan G = (g) suatu grup siklis yang mempunyai n unsur.Thnjukkan G = {e,g,g2, ... ,gn-l} dan untuk bilangan bulat k,1 < k < n, unsur l juga membangun grup G jika dan hanya jikak dan n relatif prim.

6. Diberikan Z2, sistem bilangan bulat modulo 2, dan himpunan Gyang unsurnya matriks 2 x 2 dengan komponen di Z2 dan determi-nannya berbeda dari O. .a. Thliskan semua unsur himpunan G.b. Himpunan G dilengkapi dengan operasi kali matriks. Buat tabelhasH kali dan tunjukkan bahwa sistem matematika (G, x) memben~tuk grup.c. Periksa apakah grup G komutatif.d. Thliskan semua subgrup dari G.

Dalam bagian 3.2 telah kita bahas subgrupo Dalam bagian ini akankita kaji partisi pada grup yang diakibatkan oleh suatu subgrupo Un-tuk ilustrasi, pandang lagi grup bilangan bulat dengan operasi tambah.Selanjutnya, pandang subhimpunan bilangan genap dan subhimpunanbilangan ganjil di Z. Kedua subhimpunan ini membentuk suatu partisidi Z. Untuk setiap dua bilangan ganjil, selisihnya senantiasa genap. De-mikian pula, setiap dua bilangan genap, selisihnya juga genap. Bilangangenap adalah bilangan bulat kelipatan 2. Dengan demikian, subhim-punan bilangan genap membentuk subgrup H yang dibangun oleh 2,yaitu H = {k2 I k E Z}. Sementara itu, subhimpunan bilangan ganjilmemuat semua bilangan bulat a dan b yang selisihnya a - b E H.

Ilustrasi di atas dapat kita buat lebih umum dengan mengambil sub-grup H dari Z yang dibangun oleh sebarang bilangan n, yaitu H = (n).

Suatu klas ekivaIen terdiri atas semua bilangan bulat yang selisih, darisetiap dua di antaranya senantiasa terkandung di H.

Sekarang pandang grup G dan subgrup H dari G. Dua unsur a dan bdi G kita katakan kongruen modulo subgrup H jika ab-1 E H; kita tulisa = b (mod H). Jadi, kongruen modulo subgrup adalah suatu relasi diG. Untuk relasi ini kita punyai sifat berikut.

Sifat 3.3.1 Di dalam grup G, terhadap subgrup H dari G, relasi =(mod H) adalah suatu relasi ekivalen.

Bukti. 1. Untuk setiap unsur a E G berlaku aa-1 = e E H. Jadi,a = a (mod H), yaitu memenuhi sifat refieksif.

2. Untuk a dan b di G yang memenuhi a = b (mod H) berlakuab-1 E H. Karena H suatu subgrup, maka berlaku (ab-1 )-1 = ba-1 E H.Dengan kata, lain b = a (mod H). Sifat simetri berlaku.

3. MisaIkan a = b (mod H) dan b = c (mod H). Kita punyai ab-1 E Hdan bc-1 E H. Karena H subgrup, maka berlaku (ab-l) (be-I) = ac-1 EH. Jadi, a= c (mod H) berlaku. Sifat transitifberlaku. •

Relasi ekivalen == (mod H) pada grup G mengakibatkan suatu partisipada grup. Untuk unsur a E G, klas ekivalen yang memuat a, yaituk (a), adaIah subhimpunan

k(a)--; {x E G I x = a (modH)}.

Selanjutnya x = a (mod H) jika dan hanyajika xa-1 E H. Jadi xa-1 = hdengan h E H, atau x = ha. Subhimpunan {ha I h E H} kita tandaidengan Ha. Maka kita punyai

Klas ekivalen pada grup G yang diakibatkan oleh relasi ekivalen kongruenmodulo subgrup H, yaitu = (mod H), adalah

Subhimpunan Ha kita sebut koset kanan terhadap subgrup H.Perlu kita perhatikan bahwa a = b (mod H) didefinisikan oleh per-

syaratan ab-1 E H. Pengertian koset kanan Ha = {ha I hE H} padahakekatnya ditimbulkan oleh persyaratan ab-1 E H ini.

Dengan mengubah definisi a = b (mod H) oleh persyaratan a-1b E H,kita tetap mempunyai suatu relasi ekivalen. Klas ekivalen yang ditim-bulkan oleh relasi ekivalen ini adalah subhimpunan

yang dapat diperoleh untuk setiap unsur a E G. Subhimpunan ini kitasebut koset kiri terhadap subgrup H.

Dengan demikian, di dalam grup G, untuk setiap subgrup H dari G,kita punyai himpunan koset kanan

Unsur a E G yang muncul dalam penulisan Ha kita sebut wakil kosetkanan H a. Demikian juga unsur a yang muncul dalam penulisan aHkita sebut wakil koset kiri aH. Pada hakekatnya setiap unsur dalam J

suatu koset kanan, atau koset kiri, dapat bertindak sebagai wakil darikoset tersebut. Untuk kedua himpunan K, dan £, di atas kita punyai sifatberikut.

Sifat 3.3.2 Di dalam grup G, terhadap suatu subgrup H dari G, terdapatkorespondensi satu-satu antara himpunan koset kanan K, dan himpunankoset kiri £'.

Bukti. Akan kita tunjukkan terdapat pemetaan cp : K, -- £, yangbersifat satu-satu dan pada. Pandang pengaitan cp : Hg ~ g-l H untuksemua H 9 E K,. Untuk koset kanan dengan wakil yang berbeda, yaituHg = Hgo, dipenuhi ggol E H, atau (g-lr1 gol E H. Hubungan yangterakhir ini mengatakan g-l H = gol H. Jadi, pengaitan cp : Hg ~g-l H untuk semua Hg E K, mendefinisikan pemetaan cp : K, __ £'.

Selanjutnya, pandang H gl dan H g2 di K, yang dipetakan menjadicp(Hg1) = cp(Hg2). Kita punyai g11H = g21H, atau (gI1)-1 g21 =glg21 E H. Dari hubungan terakhir ini kita peroleh Hg1 = Hg2. Jadi,pemetaan cp : K, --+ £, bersifat satu-satu. Selanjutnya, untuk setiapgH E £'senantiasadapatkitapilihHg-l E K,yangmemenuhicp(Hg-l) =gH. Dengan kata lain, pemetaan cp: K, -- £, bersifat pada.

Jadi, telah kit a tunjukkan terdapat pemetaan c.p : K, - I: yang bersi-fat satu-satu dan pada, atau terdapat korespondensi satu-satu antara K,dan 1:. •

Dari Sifat 3.3.2 dapat kita catat bahwa banyaknya koset kanan dan"" koset kiri di grup G terhadap suatu subgrup H senantiasa sarna, kita

sebut indeks subgrup H di G dan kita tandai dengan [G: H}. Nilaiindeks [G: H] dapat hingga ataupun tak hingga.

Selanjutnya, peninjauan kita khususkan pada koset kanan atau him-punan koset kanan karena sifat yang berlaku untuk koset kanan senanti-asa berlaku juga untuk koset kiri.

Berangkat dari relasi kongruen modulo subgrup, atau kongruensi mod-ulo subgrup, kita peroleh partisi yang terdiri atas koset kanan. Seba-liknya, akan kit a tunjukkan bahwa. himpunan semua koset kanan ter-hadap subgrup H di grup G senantiasa membentuk suatu partisi di G.Untuk ini kita punyai sifat berikut.

Sifat 3.3.3 ·Misalkan G suatu grup dan H suatu subgrup dari G. Maka:1. Untuk setiap unsur a dan b di G berlaku atau H a = Hb atau H a nHb=0.2. UaEGHa = G.

Bukti. 1. Pandang koset kanan Ha dan Hb. Maka selalu berlakuatau Han Hb = 0 atau'llan Hb =f: 0. Selanjutnya kita tunjukkan, jikaHa n Hb =f: 0 maka Ha = Hb. Pilih x E Ha n Hb. Maka x = hia = h2buntuk suatu hI dan h2 di H. Selanjutnya, ambil y E H a. Kita punyaiy = h3a untuk suatu h3 E H, dan y = h3 (h11h2b) = (h3h1Ih2) b = h'bdengan h' = h3h11 h2 E H. Kita peroleh y E Hb. Jadi H a ~ Hb.Dengan cara yang sejalan kita peroleh Hb ~ Ha. Jadi Ha = Hb.

2. Ambil 9 E G. Maka 9 E Hg, jadi 9 E UaeG Ha. Kita perolehG ~ UaEG Ha. Di samping ini, yang jelas berlaku adalah UaEG Ha ~ G.Jadi, G = UaEG H a. •

Sifat 3.3.3 mengatakan bahwa himpunan koset kanan

membentuk suatu partisi di G. Bilamana dua unsur ell G termuat dalamsatu koset kanan kita tegaskan dalam sifat berikut.

Sifat 3.3.4 Misalkan G suatu grup dan H suatu subgrup di G. Duaunsur a dan b di G terkandung dalam satu koset kanan terhadap H }ikadan hanya jika ab-1 E H.

Bukti sifat di atas diserahkan kepada pembaca. Di samping itu, hen-daknya pembaca membandingkan Sifat 3.3.4 dengan definisi (pengertian)kongruedmodulo subgrup H yang diketengahkan menjelang Sifat 3.3.l.

Telah kita ketengahkan pengertian indeks suatu subgrup H di dalarhgrup G sebagai banyaknya koset kanan, yaitu [G: H). Apakah lOta be-kerja dengan koset kanan, ataupun dengan koset lOri, nilai [G : H) tetap.Hal ini dijamin oleh Sifat 3.3.2. Korespondensi satu-satu juga terdapatantara dua koset kanan. Hal ini lOta ketengahkan dalarn sifat berikut.

_.Sifat 3.3.5 Misalkan G suatu grup dan H suatu subgrup dari G. Untuksetiap unsur a dan b di G, pemetaan 1/J : Ha --+ Hb yang didefinisikanoleh pengaitan 1/J : ha f--+ hb untuk semua ha E H a bersifat satu-satudan pada.

Bukti. Untuk setiap hE H pengaitantP : ha f--+ hb jelas mendefinisi-'kan pemetaan 'l/J: Ha --+ Hb. Untuk h1a dan h2a di Ha yang dipetakanmenjadi 1/J (h1a) = 'l/J (h2a), yaitu menjadi hib = h2b, senantiasa mem-berikan hI = h2. Dengan demikian hia = h2a dan ini menunjukkanbahwa pemetaan 'l/J : H a --+ Hb bersifat satu-satu. Selanjutnya, untukhb E Hb senantiasa dapat lOta pilih ha E H a yang dipetakan menjadi'l/J (ha) = hb. Ini menunjukkan bahwa pemetaan 'l/J : H a --+ Hb bersifatpada. Jadi, pemetaan 'l/J: Ha --+ Hb bersifat satu-satu dan Pacia. •

Sifat 3.3.5 mengatakan bahwa terdapat korespondensi satu-satu an-tara setiap dua koset kanan. Dengan demikan, setiap koset kanan ter-hadap subgrup H memuat unsur sarna banyak, sebanyak unsur di sub-grup H, hingga ataupun tak hingga. Khususnya untuk grup G yanghingga, kita punyai teorema berikut.

Teorema 3.3.6 (Teorema Lagrange) Di dalam grup hingga, tingkat su-atu subgrup senantiasa merupakan pembagi tingkat grup.

Bukti. Misalkan G suatu grup hingga dengan tingkat t( G) = n, danH suatu subgrup dari G dengari tingkat t(H) = k. Himpunan kosetkanan K = {Hal a E G} 8.dalah suatu partisi pada G dan setiap kosetkanan H a memuat k unsur. Banyaknya koset kanan di K adalah indeks

subgrup H di G, yaitu IG: H]. Jadi t(G) = IG: H]t(H), dengan katalain t(H) adalah pembagi t(G). •

Subgrup H Yang hanya memuat unsur e adaIah juga subgrup yangdiba-ngun oleh unsur e. Jadi H = {e} = (e). Subgrup ini akan seringkita tuliskan dengan e saja, jadi H = e. Banyaknya unsur di dalam suatugrup G dapat juga kita lihat sebagai indeks subgrup e di G, yaitu t(G) =[G: e]. Hubung-an t(G) = [G: H]t(H) yang kita jumpai dalam buktiTeorema 3.3.6 dapat kita perluas untuk sebarang grup G dan sebarangsubgrup H dari G dan kita peroleh hubungan

Bukti. Misalkan G suatu grup dengan tingkat [G: e] = p dengan psuatu bil~gan prim, dan 9 E G, 9 t= e. Pandang subgrup H = (g).Menurut Teorema 3.3.6 berlaku [H : e] I [G: e]. Karena 9 t= e, maka[H : e] t= 1. Maka haruslah [H : e] = p, yaitu (g) = H = G. •

Contoh koset kanan'-:"yangberbeda dari koset kiri, yaitu H 9 t= gHuntuk suatu unsur 9 di grup G, hanya dapat kita temui dalam grupyang tidak komutatif. Untuk meninjau hal ini lebih daIam kita pandangpemetaan dari himpunan S ke daIam himpunan S sendiri yang bersifatsatu-satu dan pada. Dari Sifat 1.3.4 kita ketahui bahwa pemetaan f :S -- S yang bersifat satu-satu pada senantiasa mempunyai balikan.Di samping itu, komposisi tiga pemetaan senantiasa asosiatif. Jika Smenyatakan himpunan semua pemetaall f : S -- S yang bersifat satu-satu pada, maka terhadap komposisi sebagai operasi kali pada S, sistemmatematika (S, x) membentuk suatu grup. Khususnya kita pilih S ={1,2,3}. Dalam hal ini kita tuliskan juga S = Sa. Pemetaan 7l" E Sa,kita sebut permutasi, kita tandai dengan

( 1 23)7l" = 7l" (1) 7l" (2) 7l" (3) .

50 Bab 3 Grup

Dengan demikian, kita punyai

(~2

; ) , 71"1 = ( ~ 2~ ) ,71"2 = ( ~ 2 ~)71"0 - 2 3 2

( ~2

~ ) , 71"4 = ( ~2

~ ) ,71"5 = ( ~ 2~ ).71"3 = 1 3 1

Komposisi 7I"i7l"j pada himpunan S3 = {7I"0, 71"1171"2, 7I"a, 71"4, 7I"5} kita tuliskanpada tabel berikut.

7I"i \7I"j 71"0 71"1 71"2 71"3 71"4 71"5

71"0 71"0 71"1 71"2 7I"a 71"4 71"571"1 71"1 71"0 71"4 71"5 71"2 71"371"2 71"2 71"5 71"0 71"4 71"3 71"171"3 71"3 71"4 71"5 71"0 71"1 71"271"4 71"4 71"3 71"1 71"2 71"5 71"071"5 71"5 71"2 71"3 71"1 71"0 71"4

Dari tabel dapat kita lihat bahwa terhadap operasi kali pada S3, yaitu X :Sa X S3 --+ S3 yang didefinisikan melalui komposisi, sistem matematika(S3, x) membentuk suatu grup, disebut grup simetri. Balikan setiapunsur di S3 dapat dilihat dalam tabel tersebut. Dari tabel tersebut jugadapat dilihat bahwa grup S3 tidak komutatif.

Sekarang perhatikan subgrup dari Sa berikut :HI = {7I"0, 7I"1},H2 = {7I"0,7I"2},Ha = {7I"0,7I"a},Aa = {7I"0, 71"4, 7I"5}.

Terhadap subgrup HI, H2, dan Ha koset kanan tidak senantiasa sarnadengan koset kiri. Lain halnya terhadap subgrup Aa, koset kanan senan-tiasa .sarna dengan koset kiri. Ini karena indeks subgrup Aa di Sa, yaitu[Sa: Aa] = 2. Untuk menekankan kepada subgrup dengan ciri yang ter-akhir ini, kita punyai definisi berikut.

Deftnisi 3.3.1 Subgrup H dari grup G dikatakan normal jika Hg = gHuntuk semua 9 E G.

Seperti halnyadengansubhimpunan Hg = {hg I h E H}, tandagHg-Imenyatakan subhimpunan gHg-I = {ghg-1 I hE H}. Sehubungan de-ngan pengertian subgrup normal, kita punyai sifat berikut.

Sifat 3.3.8 Untuk subgrup H dari grup G pernyataan berikut ekivalen:1. Subgrup H normal di G.2. gHg-I S; H untuk semua 9 E G.3. gHg-l = H untuk semua 9 E G.

Bukti. (l~2) Ambil h E H dan 9 E G. Kita punyai gh E gH.Karena gH = Hg, maka juga gh E Hg, artinya gh = h1g untuk suatuhI E H. Kita peroleh ghg-I = hI E H. Hubungan terakhir ini berlakuuntuk semua h E H dan 9 E G. Jadi gHg-1 ~ H untuk semua 9 E G.

(2==;..1) Sekali lagi ambil h E H dan 9 E G. Dari 2. kita punyaigHg-l S; H dan g-IHg ~ H. Jadi ghg-1 E H, atau ghg-1 = hi denganhi E H. Kita peroleh gh = h'g; artinya gh E gH untuk semua h E H,atau gH ~ Hg. Demikian juga g-lhg E H, atau g-lhg = h" denganh" E H. Kita peroleh hg = gh", artinya hg E gH untuk semua h E H,atau Hg ~ gH. Dengan demikian Hg = gH dan ini berlaku untuksemua 9 E G. Menurut Definisi 3.3.1, subgrup H normal di G.

(2==;..9)·Sekali lagi ainbil h E H dan 9 E G. Karena gHg-l ~ Huntuk semua 9 E G, kita punyai g-lh (g_I)-1 = g-lhg = ho denganho E H, atau h = ghog-I. Jadi h E gHg-I untuk semua h E H, atauH ~ gHg-l. Dengan demikian gHg-I = H untuk semua 9 E G.

(9==;..2) Implikasi ini jelas berlaku. •

Telah kita lihat dalam grup simetri Sa subgrup Aa suatu subgrupnormal. Hal ini dijamin oleh indeks [Sa: Aa] = 2. Secara umum, setiapsubgrup H dari grup G dengan indeks [G : H] = 2 senantiasa normal.

. Dalam grup komutatif setiap subgrupnya bersifat normal.

Soal

1. .Dalam S3 tunjukkan bahwa A3 suatu subgrup normal.

2. Dalam Sa tunjukkan bahwa subgrup H}, H2 dan Ha tidak bersifatnormal.

3. Setiap 8ubgrup H dan grup G dengan indeks [G : H) = 2 senantiasanormal. Thnjukkan.

4. Misalkan a suatu grup, dan K dan L masing-masing subgrup nor-mal dari a.a. Thnjukkan K n L subgrup normal dari a.b. Jika K n L = e, buktikan xy = yx untuk semua x E K danyE L.

WMisalkan a suatu grup, H suatu subgrup, dan K suatu subgrupnormal dari a. Didefinisikan HK = {xy I x E H dan y E K}. .a. Buktikan H K subgrup dari a.b. Jika H dan K masing-masing subgrup normal dari a, buktikanH K juga subgrup normal.

3.4 Grup kuosienDalam bagian 3.3, yaitu dalam Definisi 3.3.1, telah diketenga~kan penger-tian subgrup normal. Ciri subgrup normal terletak pada koset kanan dankoset kiri yang senantiasa sarna. Selanjutnya, terhadap suatu subgrupnormal, kita hanya akan menyebut koset.

Misalkan a suatu koset dan N suatu subgrup normal dari a. Him-punan semua koset terhadap N di a kita nyatakan dengan a/N. Operasipada a/N, yaitu pemetaan x : a/N x a/N --. a/N, didefinisikan olehpengaitan x : (Na, Nb) ~ N (ab). Untuk mendukung hal ini kitaperlukan sifat berikut.

Sifat 3.4.1 Misalkan a suatu grup dan N suatu subgrup normal daTia.Pengaitan (Na, Nb) ~ N (ab) tidak bergantung pada wool koset.

Bukti. Misalkan Na = Na' dan Nb = Nb'. Kita tunjukkan bahwaN (ab) = N (a'b'). Dari Na = Na' dan Nb = Nb' berturut-turut kitaperoleh a = nla' dan b = n2b' untuk suatu nl dan n2 di (1/. Selanjutnyakita punyai .

Kesamaan a'n2 = n3a' untuk suatu n3 E N dipenuhi, karena N subgrupnormal dari a. Dari ab = (nln3) a'b' dengan nln3 E N kita perolehN (ab) = N (a'b'). •

Dengan operasi x : GIN x GIN --+ GIN kita peroleh siatem ma-tematika GIN = (GIN, x). Struktur dari sistem GIN kita ketengahkandalam sifat berikut.

Sifat 3.4.2 Misalkan G suatu grup dan N suatu subgrup normal dari G.Maka sistem GIN = (GIN, x) membentuk suatu grup. '

Bukti. Dari definisi operasi x : GIN x GIN --+ GIN, untuk se-tiap koset N a clan Nb di GIN hasH operasinya, yaitu hasH kalinya, kitatwiskan NaNb. Jadi NaNb = N (ab).

1. Untuk setiap koset N a, Nb, dan N c di GIN berlaku

Na(NbNc) = Na(N(bc» = N(a(bc» = N«ab)c)= (N (ab» Nc = (NaNb) Nc.

Jadi, berlaku sifat asosiatif Na (NbNc) = (NaNb) Nc.2. Terdapat koset N = Ne di GIN, dengan e unsur kesatuan di G,

yang memenuhi

NaNe = N (ae) = Na dan NeNa = N (ea) = Na

untuk semua koset N a E GIN. Dengan demikian, terdapat unsur kesa-tuan N = NeE GIN yang bersifat NaN e = N eN a = N a untuk semuaNa E GIN.

3. Untuk setiap koset N a di GIN terdapat koset N (a-I) di GINyang memenuhi

N (a-I) Na = N (a-Ia) = Ne.

Jadi, setiap koset Na E GIN mempunyai balikan (Na)-I = N (a-I).Dari 1, 2, dan 3 kita simpulkan bahwa (GIN, x) membentuk suatu

grup. •Grup GIN = (GIN, x) kita sebut grup kuosien atau grup faktor;

lengkapnya kita sebut grup kuosien, atau grup faktor, di grup G terhadapsubgrup normal N. Koset N a·== aN kita tuliskan juga dengan a. Dengantanda (notasi) ini kita punyai ab = ab, dan N = Ne = eN = e, dan(a)-1 = a-I.

Untuk contoh, pandang grup bilangan bulat terhadap operasi tam-bah, yaitu Z = (Z, +). Karena Z suatu grup komutatif, semua subgrup diZ bersifat normal. Misalkan n E Z dengan n > 1, dan H = {kn I k E Z}.Himpunan H membentuk suatu subgrup di Z, yaitu suatu subgrup nor-mal. Grup kuosien di Z terhadap H adalah

Z/ H = (Z/H, +) = {O,I, ... , n - I} .

Grup Z/ H ini tidak lain adalah Zn, yaitu sistem bilangan bulat modulon terhadap operasi tambah. Lihat Sifat 2.4.2.

Untuk contoh lain, pandang grup simetri 83 = {'7ro,'7rl,'7r2,'7r3,'7r4,'7rS}dan subgrup A3 = {'7rO,1l'4,1l'S}' Di 83 terhadap subgrup A3 hanya adadua koset kanan, yaitu A3 dan 83 -A3 = {'7rl,'7r2, '7r3}. Kedua koset kananini masing-masing juga merupakan koset kiri terhadap subgrup A3• Inimenunjukkan bahwa A3 suatu subgrup normal dari 83, Grup kuosiendari 83 terhadap subgrup A3, yaitu 83/A3, mempunyai koset {'7ro, '7r4,'7rs}dan {'7r1l'7r2,'7r3} sebagai unsurnya.

Kita tutup bagian ini dengan sifat berikut.

~ Sifat 3.4.3 Misalkan G suatu grup hingga dan N suatu subgrup normaldaTi G. Maka tingkat grup kuosien G/ N sarna dengan indeks subgrup Ndi G, yaitu t(G/N) = [G: N].

Soal

2. Jika G suatu grup dan subgrup H = (e), tunjukkan bahwa terdapatkorespondensi satu-satu antara G dan G/ H. Sebaliknya, jika H =G, tunjukkan bahwa G/ H hanya memuat satu unsur.

3. Misalkan G suatu grup dengan operasi kali abstrak. Untuk unsura dan b di G didefinisikan [a, b] = aoo-1b-1.a. Buktikan [a, b] = e jika dan hanya jika ab = 00.b. Misalkan 8 = {[a, b] I a dan b di G}. Buktikan (8), subgrupyang dibangun oleh himpunan 8, adalahsubgrup normal dari G.c. Buktikan grup kuosien G/ (8) bersifat komutatif.

4. Misalkan C menyatakan sistem bilangan kompleks dan bidang kom-pleks. Himpunan semua bilangan kompleks yang tak nol terhadap

operasi kali bilangan kompleks membentuk grup dan ditandai de-ngan G.a. Thnjukkan subhimpunan N = {a + bi I a2 + b2 = I} memben-tuk subgrup dari G.b. Gambarkan subgrup N dan koset di grup kuosien G/ N padabidang kompleks C.c. Thnjukkan setiap koset dalam grup kuosien G/ N dapat diwakilioleh bilangan nyata positif di JR.

3.5 Homomorfisma grupDalam bagian 1.3 telah kita temuibahwa untuk membandingkan duahimpunan, kita kaji pemetaan dari himpunan yang satu ke dalam him-punan yang lain. Demikian pula, untuk membandingkan dua grup, kitakaji pemetaan dari grup yang satu ke dalam grup yang lain yang mem-bawa serta hasil operasi di grup yang satu kepada hasil operasi peta di.grup yang lain. Bertalian dengan kejadian ini kita katakan bahwa peme-taan dati grup ke dalam grup "mengawetkan" operasi. Untuk pengertianini kita punyai definisi berikut.

Definisi 3.5.1 Pemetaan dari grup G ke dalam grup G', yaitu cp : G ----+

G', disebut homomorfisma grup jika untuk setiap unsur Q. dan b di Gberlaku <p(ab) = <p(a) <p(b).

Sebagai contoh, misalkan N suatu subgrup normal dari grup G danG' = GIN. Pengaitan v : 9 1--+ gN untuk semua unsur 9 E G mende-finisikan homomorfisma grup v : G -- GIN. Homomorfisma grup inikita sebut juga homomorfisma natural, atau pemetaan natural. Kalaugrup yang kita maksudkan telah jelas, kita hanya menyebutnya denganhomomorfisma <p : G -- G'; yang kita .maksud adalah homomorfismagrup <p : G -- G'.

Sifat berikut dapat kita turunkan dengan mudah.

Sifat 3.5.1 Misalkan <p: G -- G' suatu homomorfisma grup. Maka1. <p(e) = e', dengan e dan e' berturut-turut menyatakan unsur kesatuandari grup G dan G'.2. <p(a-1) = (<p(a))-l untuk semua unsur a E G.

Bukti. 1. Kita punyai ee = e. Jadi <p(e) <p(e) = <p(e). Hubungan inimengakibatkan <p (e) = e'.

2. Untuk setiap a E G berlaku aa-1 = a-1a = e. Kita punyai

<p(a) <p(a -1) = <p(a -1) <p(a) = <p(e) = e'.

Karena unsur balikan dari <p (a) di G' tunggal (lihat Sifat 3.1.2), maka(<p(a))-1 = <p(a-1). •

Inti homomorfisma <p : G --4 G', yang kita tandai dengan Inti (<p),adalah himpunan semua unsur di G yang dipetakan menjadi unsur kesa-tuan di G', yaitu

Inti(<p) = {g I 9 E G, <p(g) = e'}.

Peta homomorfisma <p : G --4 G', yang kita-'tandai dengan Peta (<p),adalah himpunan semua unsur di G' yang mempunyai prapeta di G,yaitu

Pet a (rp) = {g' I g' E G', g' = rp(g) untuk suatu 9 E G} .

Kedua himpunan ini memenuhi sifat berikut.

Sifat 3.5.2 Misalkan rp : G --4 G' suatu homomorfisma grup. MakaInti (rp) dan Pet a (rp) berturut- turut adalah subgrup daTi G dan G'.

Bukti. Inti (rp) tidak pernah hampa, karena senantiasa memuat unsurkesatuan e. Ambil unsur x dan y di Inti (rp). Maka

rp (xy -1) = rp(x) rp (y -1) = rp(x) (rp(y) ) -1 = e' e' -1 = e'.

Kita peroleh xy-l E Inti (rp). Jadi, menurut Sifat 3.2.1, Inti (rp) suatusubgrup dari G.

Demikian juga halnya dengan Peta (rp), tidak pernah hampa, karenasenantiasa memuat unsur kesatuan e'. Ambil unsur u dan v di Peta (rp).Maka u = rp(g) dan v = rp(h) untuk suatu 9 dan h di G, dan

uv-1 = rp(g) (rp(h))-1 = rp(g) rp (h-1) = rp (gh-1)

dengan gh-1 E G. Kita peroleh uv-1 E Peta(rp). Menurut Sifat 3.2.1,Peta (rp) membentuk subgrup dari G'. •

Sesuai dengan sifat pemetaan secara umum homomorfisma <p : G ----?

G' bersifat padajika dan hanyajika Peta (rp) = G'. Untuk homomorfismagrup lebih lanjut kita punyai sifat berikut.

Sifat 3.5.3 Misalkan I{) : G --t G' suatu homomorfisma grup. MakaI{) : G --t G' bersifat satu-satu jika dan hanva jika Inti (I{)) = e.

Bukti. Misalkan I{) : G --t G' bersifat satu-satu. Untuk unsur x EInti (I{), kita punyai I{)(x) = e' = I{)(e). Menurut Definisi 1.3.1, kitaperoleh x = e. Jadi, Inti (I{)) = e. Sebaliknya, misalkan Inti (I{)) = e.Ambil unsur x dan V di G yang memenuhi I{) (x) = I{) (V). Kita punyai

e' = I{) (x) (I{) (V»-1 = I{)(x) I{) (V-I) = I{) (xy-l) .

Jadi XV-1 E Inti (I{)). Karena Inti (I{) = e, maka xy-l = e, atau x = y.Sekali lagi, menurut Definisi 1.3.1, homomorfisma I{) : G --t G' bersifatsatu-satu. • '.

Catatan. Tanda Inti (I{) dan Peta (I{) dalam berbagai tulisan ataubuku berturut-turut sering digunakan Ker (I{)) dan 1m (I{)). Kedua tandayang terakhir ini hampir baku. Ker dan 1m berturut-turut adalah sing-katan dari kata "kernel" dan "image" .

Selanjutnya, Inti (I{)) mempunyai sifat berikut.·_·

Sifat 3.5.4 Misalkan I{) : G --t G' suatu homomorfismu-grup. MakaInti (r.p) suatu subgrup nonnal dari G.

Bukti. Dari Sifat 3.5.2 telah kita ketahui bahwa Inti (I{) suatu subgrupdari grup G. Ambil 9 Efl dan n E Inti (I{), ma&kita peroleh

r.p (gng-1) = I{) (g) r.p (n) I{) (g-l) = I{) (g) e'l{) (g-l) = I{) (gg-l)

= I{) (e) = e',

atau gng-1 E Inti (I{). Dengan demikian gInti(l{)g-1 ~ Inti(r.p) untuksemua 9 E G. Menurut Sifat 3.3.8, Inti (I{) suatu subgrup normal dariG. •

Sifat 3.5.4 mengatakan bahwa grup kuosien G/ Inti (I{) senantiasa da-pat dibentuk. Sifllt berikut memberi makna khusus kepada grup kuosienG/ Inti (I{).

'Thorema 3.5.5 Untuk setiap homomorfisma grup I{) : G --t G' ter-dapat satu dan hanva satu homomorfisma 'I/J : G/ Inti (I{) --t G' yangbersifat satu-satu dan memenuhi 'l/JI/ = r.p, dengan 1/ : G --t G/ Inti (r.p)homomorfisma natural.

Teorema 3.5.5 ini mengatakan bahwa setiap homomorfisma grup cp :G --+ G/ senantiasa dapat difaktorkan secara tunggal melalui homomor-fisma natural v : G --+ G/ Inti (cp).

Bukti. Untuk setiap unsur 9 E G/ Inti (cp) kita buat pengaitan t/J :9 ......-.cp (g). Kita tunjukkan bahwa pengaitan ini mendefinisikan pe-metaan 'l/J : G/ Inti (cp) --+ G/. Untuk ini pandang dua unsur gl dang2 di G yang mewakili satu koset di G/ Inti (cp), yaitu gl = g2. MaIm.glg;1 E Inti (cp), atau CP(glg;l) = e'. Kita peroleh cp(gdcp(g;l) =cp (gl) (cp (g2» -1 = e/, atau cp (gl) = cp (g2)' Ini berarti pengaitan t/J :9 ......-.cp (g) tidak bergantung pada wakil koset 9, dengan demikian men-definisikan pemetaan 'l/J : G/ Inti (<p) --+ G/.

Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa pemetaan 'l/J: G/Inti(cp) --+ G/bersifat : . .1. mengawetkan operasi,2. satu-satu,3. memenuhi 'l/Jv = cp,4. tunggal.

1. Ambil unsur a dan b di G/ Inti (cp). Maka

'l/J (ab) = 1/J (01)) . cp (ab) = cp (a) cp (b) = '¢ (a) '¢ (b) .

Jadi 1/J : G/ Inti (<p) --+ G/ suatu homomorfisma grup. ~2. Misalkan unsur 9 E G/ Inti (cp) dipetakan oleh '¢ menjadi t/J (9) =

e'. Berarti cp (g) = e/, atau 9 E Inti (cp). Jadi 9 = e dan dengan demikianInti (1/J) = (e). Menurut Sifat 3.5.2, homomorfisma,¢ : G/ Inti (cp) --+ G/bersifat satu-satu.

3. Untuk setiap 9 E G berlaku

Ini menunjukkan 1/Jv = cp.4. Misalkan ada homomorfisma ,¢' : G/ Inti (cp) --+ G/ yang meme-

nuhi 'l/J/v = cp. Untuk setiap 9 E G/Inti (cp) berlaku

1/J/ (9) = 1/J/ (v (g» = (1/J/v) (g) = cp (g) = ('l/Jv) (g)= 'l/J (v (g» = 'l/J (9) .

Sifat 3.5.3 Misalkan cp : G --+ G' su.atu. homomorfisma grup. Makacp : G --+ G' bersi/at satu.-satu. jika dan hanya jika Inti (cp) = e.

Bukti. Misalkan cp : G --+ G' bersifat satu-satu. Untuk unsur x EInti (cp), kita punyai cp(x) = f! = cp(e). Menurut Definisi 1.3.1, kitaperoleh x = e. Jadi, Inti (cp) = e. Sebaliknya, misalkan Inti (cp) = e.Ambil Unsur x dan y di G yang memenuhi cp(x) = cp(y). Kita punyai

e' = cp(x) (cp(y))-l = cp(x) cp (y-l) = cp (xy-l) .

Jadi xy-l E Inti (cp). Karena Inti (cp) = e, maka xy-l = e, atau x = y.Sekali lagi, menurut Definisi 1.3.1, homomorfisma cp : G --+ G' bersifatsatu-satu. •

Catatan. Tanda Inti (cp) dan Peta (cp) dalam berbagai tulisan ataubuku berturut-turut sering digunakan Ker (cp) dan 1m (cp). Kedua tandayang terakhir ini hampir baku. Ker dan 1m berturut-turut adalah sing-katan dari kata "kernel" dan "image".

Selanjutnya, Inti (cp) mempunyai sifat berikut.

Sifat 3.5.4 Misalkan cp : G --+ G' suatu homomorfisma grup. AlakaInti (cp) suatu subgrup normal dari G.

Bukti. Dari Sifat 3.5.2 telah kita ketahui bahwa Inti (cp) suatu subgrupdari grup G. Ambi.l 9 EP dan n E Inti (cp), maka kit' peroleh

cp(gng-1) = cp(g) cp(n) cp (g-l) = cp(g) e'cp (g-l) = cp (gg-l)= cp (e) = e',

atau gng-1 E Inti (cp). Dengan demikian 9 Inti (cp) g-1 ~ Inti (cp) untuksemua 9 E G. Menurut Sifat 3.3.8, Inti (cp) suatu subgrup normal dariG. •

Sifat 3.5.4 mengatakan bahwa grup kuosien G/ Inti (cp) senantiasa da-pat dibentuk. Sifat berikut memberi makna khusus kepada grup kuosienGI Inti (cp).

Teorema 3.5.5 Untuk setiap homomorfisma grup cp : G --+ G' ter-dapat satu dan hanya satu. homomorfisma 1/J : GI Inti (cp) --+ G' yangbersifat satu-satu. dan memenuhi 1/Jv = cp, dengan v : G --+ GI Inti (cp)homomorfisma natuml.

Teorema 3.5.5 ini mengatakan bahwa setiap homomorfisma grup <p:G --+ G' senantiasa dapat difaktorkan secara tunggal melalui homomor-fisma natural v : G --+ G/ Inti (<p).

Bukti. Untuk setiap unsur 9 E G/ Inti (<p) klta buat pengaitan t/J :

9 f--+ <p (9). Kits tunjukkan bahwa pengaitan ini mendefinisikan pe-metaan 'l/J: G/ Inti (<p) --+ G'. Untuk ini pandang dua unsur 91 dan92 di G yang mewakili satu koset di G/ Inti (<p), yaitu 91 = 92. Maka91921 E Inti (<p), atau <P(91921

) = e'. Kita peroleh <P(91)<P(g21) =

<p (9d (<p (92)) -1 = e', atau <p (gd = <p (92)' Ini berarti pengaitan t/J :

"9 f--+ <p (9) tidak bergantung pada wakil koset 9, dengan demikian men-definisikan pemetaan 'l/J: G/ Inti (<p) --+ G'.

Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa pemetaan 'l/J: G/ Inti (<p) --+ G'bersifat : .1. mengawetkan operasi,2. satu-satu,3. memenuhi 'l/Jv = <P,4. tunggal.

1. Ambil unsur li dan b di G/ Inti (<p). Maka

'l/J (lib) = 1/J (cib) = <p (ab) = <p (a) <p (b) = 1/J (0.) 1/J (b) .

Jadi'l/J : G/ Inti (<p) --+ G' suatu homomorfisma grup. .",2. Misalkan unsur 9 E G/ Inti (<p) dipetakan oleh 1/J menjadi 1/J (9) =

e'. Berarti <p (9) = e', atau 9 E Inti (<p). Jadi 9 = e dan dengan demikianInti ('l/J) = (e). Menurut Sifat 3.5.2, homomorfisma 'l/J: G/ Inti (<p) --+ G'bersifat satu-satu.

3. Untuk setiap 9 E G berlaku

Ini menunjukkan 'l/Jv = <po4. Misalkan ada homomorfisma 'l/J': G/ Inti (<p) --+ G' yang meme-

nuhi 'l/J'v = <po Untuk setiap 9 E G/ Inti (<p) berlaku

'l/J' (9) - 1/J' (v (g)) = (1/JIII) (9) = <p(g) = ('l/JII) (g)- 'l/J (v (g)) = ¢ (9) .

Jadi, homomorfisma '¢ : G/ Inti (<p) - G' memenuhi sifat yangdiminta, yaitu satu-satu, memenuhi '¢V = <p, dan tunggal. •

Dengan menggunakan diagram, Teorema 3.5.5 dapat kita katakansebagai berikut. Untuk setiap homomorfisma grup <p : G - G' senanti-asa terdapat homomorfisma 'r/J : G/ Inti (<p) - G', tunggal dan bersifatsatu-satu, yang menjadikan diagram berikut komutatif.

vI /faG/ Inti (<p)

Homomorfisma grup <p : G - G' yang bersifat satu-satu pada kitasebut isomorfisma grup. Sebagai pemetaan yang bersifat satu-satu danpada, menurut Sifat 1.3.4 pemetaan <p : G - G' mempunyai balikanX: G' - G yang memenuhi.x<p = ide dan <PX= idG,. Untuk pemetaan

. X : G' - G kita punyai sifat berlkut.

Sifat 3.5..6 Misalkan <p : G - G' suatu isomorfisma grup. Maka pe-metaan balikan X : G' - G juga su.atu isomorfisma grup

Bukti. Pemetaan <p ,:. G - G' bersifat sat~tu dan pada. MenurutSifat 1.3.4 pemetaan <p :" G - G' mempunyai 6alikan X : G' - G yangjuga bersifat satu-satu dan pada. Dalam hal ini X<P= idG dan <PX= idG,·

Sekarang ambil unsur a dan b di G'. Maka terdapat unsur u. dan v diG yang memenuhi <p (u) = a dan <p (v) = b. Rita peroleh

X (ab) - X (<p(u) cp(v)) = X (cp(uv)) = (Xcp) (uv) = ide (uv)- uv = X (a) X (b) .

lni menunjukkan bahwa pemetaan X : G' - G suatu homomorfismagrup. Jadi X: G' - G suatu isomorfisma grup. •

Untuk dua grup seperti dalam Sifat 3.5.6 kita punyai definisi berikut.

Definisi 3.5.2 Dua grup G dan G' dikatakan isomorf jika terdapat iso-morfisma grup I.{) : G ---+ G'.

Dua grup G dan G' yang isomorf kita tandai dengan G ::::::G'.

Sifat 3.5.7 Relasi::::::adalah relasi ekivalen.

Bukti. 1. Pemetaan identitas ide: G ---+ G suatu isomorfisma. JadiG::::::G.

2. Misalkan G ::::::G'. Menurut Definisi 3.5.2 terdapat isomorfismar.p : G ---+ G'. Menurut Sifat 3.5.6 pemetaan balikan X : G' ---+ G darir.p: G ---+ G' juga suatu isomorfisma. Kita peroleh G' ::::::G.

3. Misalkan G ::::::G' dan G ::::::G". Sekali lagi menurut Definisi 3.5.2kita punyai isomorfisma I.{) : G ---+ G' dan 'l/J;;..: G'. ---+ G". MenurutSifat 1.3.6 komposisi t/JI.{) : G ---+ G" juga bersifat satu-satu dan pada.Selanjutnya, ambil unsur u dan v di G, kita punyai

('l/JI.{)) (uv) = t/J (I.{) (uv)) = 'l/J (I.{) (u) I.{) (v)) = 'l/J (I.{) (u)) 'l/J (I.{) (v))= ('l/JI.{))( u)( 'l/JI.{))( v) .

~Ini menunjukkan bahwa pemetaan 'l/JI.{) : G -+ G" suatu isomorfisma.Jadi G::::::G". ..

Dengan demikian telah kita tunjukkan bahwa relasi ::::::bersifat refiek-sif, simetri, dan transitif; jadi, suatu relasi ekivalen. •

Isomorfisma I.{) : G ---+ G, yaitu isomorfisma dari G ke dalam dirinyasendiri, kita sebut automorfisma pada G. Himpunan semua automor-fisma pada G kita tandai dengan Aut (G). Selanjutnya, operasi padaAut (G) adalah pemetaan

x : Aut (G) x Aut (G) -+ Aut (G)

yang didefinisikan oleh pengaitan x : ('l/J, I.{)) 1--+ 'l/JI.{) untuk semua I.{) dan'l/J di Aut(G), dengan 'l/JI.{) menyatakan komposisi. Sistem (Aut (G), x)mempunyai struktur seperti diungkapkan dalam sifat berikut.

Sifat 3.5.8 Misalkan G suatu grup. Terhadap komposisi, Aut (G) mem-bentuk grup.

Bukti. 1. Komposisi pemetaan bersifat asosiatif. Dengan demikian,Aut (G) memenuhi sifat asosiatif, yaitu (o{3), = a ({3,) untuk semua a,(3, , di Aut (G).

2. Pemetaan kesatuan ide; = E membentuk unsur kesatuan di Aut (G).3. Menurnt Sifat 3.5.6, setiap unsur a E Aut (G) mempunyai balikan

a-I yang juga termuat di Aut (G).Dengan demikian, menurnt Definisi 3.1.1, himpunan Aut (G) dengan

komposisi sebagai operasi padanya, membentuk suatu grup. •

Salah satu automorfisma pada grup yang dapat kita kenali melaluipe-ngaitan antara unsur dengan unsur adalah automorfisma berikut. Mi-salkan G suatu grup dan a E G. Pengaitan

Selanjutnya kita tunjukkan bahwa pemetaan .xa : G - G suatu auto-morfisama grup. Untuk dua unsur 91 dan 92 di G kita punyai

~Aa (9192) - a (9192) a-I = (a91a-1) (a92a-1)

- Aa (91) Aa (92) .

Ini menunjukkan bahwa,),a : G - G suatu homomorfisma grup. Unsur9 E G yang dipetakan menjadi e, yaitu Aa (9) = e, atau 9 E Inti (Aa),memenuhi a9a-1 = e. Hubungan terakhir ini memberikan 9 = e. JadiInti (Aa) = e. Menurnt Sifat 3.5.3, homomorfisama Aa : G - G bersifatsatu-satu. Akhirnya, untuk setiap unsur 9 E G dapat kita pilih unsurg' = a-1ga, yang memenuhi Aa (g') = g. Ini menunjukkan bahwa homo-morfisma Aa : G - G bersifat pada.

Dengan demikian. pemetaan Aa : G - G suatu automorfisma grup.Automorfisma ini kita sebut automorfisma dalam. Himpunan semua au-tomorfisma dalam pada G kita tandai dengan In (G). Dalam hal G su-atu grup komutatif, himpunan In (G) hanya memuat pemetaan kesatuanpada G, In (G) \ { E }. Himpunan In (G) memiliki sifat seperti yangdiketengahkan dalam sifat berikut.

Sifat 3.5.9 Misalkan G suatu grup. Maka In (G) membentuk subgrupnormal dari Aut (G).

Bukti. Misalkan Aa dan Ab adalah automorfisma dalam pada G, yaituunsur himpunan In (G). Untuk setiap unsur 9 E G berlaku

(AaAb) (g) = Aa (Ab (g)) = a (bgb-1) a-I = (ab) 9 (ab)-1= Aab (g).

Kita peroleh AaAb = Aab, suatu unsur di In (G). Selanjutnya, AaAa-l =Ae = c, denganc = idG. Kita peroleh A~1 = Aa-I E In (G). Dengandemikian, In (G) membentuk suatu subgrup dari Aut (G).

Selanjutnya kita tunjukkan bahwa In (G) suatu subgrup normal dariAut (G). Ambil ~a E In (G) dan cp E Aut (G). Untuk setiap unsur 9 E Gberlaku

(cpAacp-l) (g) _ cp (Aa (cp-I (g))) = <p (acp-l (g) a-I)_ cp (a) gcp (a -1) = cp (a) 9 (cp (a) r1- A,p(a) (g). ~ ..

cpAacp-l = A<p(a)E In (G)

untuk semua Aa E In (G) dan cp E Aut (G) j atau cpIn (G) cp-l S; In (G)untuk semua cp E Aut (G). Ini menunjukkan bahwa In (G) suatu subgrupnormal dari Aut (G). •

Soal

1. Misalkan cp : G - G' suatu homomorflsma grup yang bersifatpada dengan N = Inti (cp). Buktikan G' ~ G/ N.

2. Misalkan G suatu grup, H suatu subgrup, dan K suatu subgrupnormal dari G. Tunjukkan:a. K suatu subgrup normal dari subgrup HK.b. H nK suatu subgrup normal dari H.c. (HK) /K isomorf dengan H/ (H n K).

. '.3. Misalkan G suatu grup dan H dan K subgrup normal di G yang

memenuhi K S; H. Tunjukkan:a. H/K.subgrup normal dari G/K.b. (G/K)/(H/K) ~ G/H.

4. Misalkan G suatu grup dan H suatu subgrup dari G. Diketahuisubgrup H invarian terhadap semua Q E Aut (G), artinya Q (H) ~H. Buktikan H normal di G.

5. Berikan contoh grup G dengan a E Aut (G), tetapi Q tI. In (G).

3.6 (jrup siDnetriDalam bagian 3.1 telah kita pelajari bahwa semua matriks 2 x 2 dengankomponen bilangan nyata dan tak singulir, terhadap operasi kali matriksmembentuk suatu grup yang tidak komutatif. Secara umum hal ini jugaberlaku untuk himpunan matriks yang berukuran n x n dengan n ~ 2.Grup ini memuat unsur tak hingga banyaknya. Dalam bagian ini kitakaji grup yang juga talkkomutatif, namun memuat unsur yang hinggabanyaknya.

Misalkan N = {I,··· ,n} I himpunan yang memuat n bilangan asli.Pemetaan satu-satu 7r : N --+ N kita tuliskan juga dengan tanda

(1 2 ... n )

7r = Xl X2 ••. Xn '

dengan Xi = 7r (i) untuk i = 1,··· ,n. Menurut Sifat 1.3.5, pemetaan11" : N --+ N juga bersifat pada. Untuk selanjutnya, pemetaan satu-satu 11" : N --+ N kita soout permutasi, lengkapnya permutasi pada N.Himpunan semua permutasi pada N kita tandai dengan Sn' BerdasarkanSifat 1.3.6, komposisi dua permutasi di Sn juga suatu permutasi di Sn.Dengan demikian, komposisi dapat kita definisikan sebagai operasi kalipada Sn, yaitu pemetaan

untuk semua pasang (cp,t/J) E Sn x Sn, yang memberikan sistem mate-matika (Snl 0) = Sn. Sifat yang dimiliki oleh sistem matematika ini kitaketengahkan dalam sifat berikut.

Bukti. Menurut Sifat 1.3.1 sistem 8n memenuhi sifat asosiatif. Per-mutasi kesatuan

(1 2 ... n)

11"0 = 1 2 ... n

adalah unsur kesatuan di 8n. Akhirnya, menurut Sifat 1.3.4 setiap per-mutasi di 8n mempunyai balikan di 8n. lni semua menunjukkan bahwa8n suatu grup .•

Grup 8n kita sebut grup simetri. Pada contoh grup simetri 83 dibagian 3.3 telah kita lihat bahwa tingkat grup 83, yaitu banyaknya unsurdalarn grup 83, adalah 6 = 3!. Secara umum kita punyai sifat berikut.

~-Sifat 3.6.2 Grup simetri 8n mempunyai n!unsur.

Banyaknya permutasi di 8n kita tandai dengan 18nl.Bukti. Kita buktikan dengan induksi. Untuk n = 1, jelas 18nl -

1 = I!. Misalkan untuk n = k berlaku 18kl = k!. Kita buktikan: untuk'n = k + 1 berlaku 18k+ll = (k + I)!.

Ambil sebarang permutasi 11" di 8k• Pandang permutasi <p di 8k+1

yang memenuhi sifat berikut.1. <p(I) = k+l,

<p (i) = 11" (i - 1) untuk i = 2,· .. , k, k + 1.Atau2. <p(i)

<p(j+l)<p(i)

Atau3. <p(i) = 11" (i) untuki= 1,· .. ,k,

<p (k + 1) = k + 1.Untuk setiap permutasi 11" E 8k kita peroleh k + 1 permutasi <p E 8k+1

yang memenuhi salah satu syarat di atas. Menurut hipotesis induksi,18kl = k!. Dengan demikian, 8k+l memuat paling sedikit k! (k+ 1) =(k + I)! permutasi, atau 18k+ll ~ (k + I)!. .

Selanjutnya, arnbil sebarang permutasi 1/J di Sk+l' Maka senantiasaterdapat f dengan 1 ~ f $" k + 1 yang memenuhi 1/J (f) = k + 1. Untukpermutasi 1/J senantiasa terdapat permutasi 11" E S" yang memenuhi sifat1, 2, dan 3 di atas berturut-turut untuk nHai f = 1, f = 2,· .. ,k, dan f =

= 11" (i)= k+1,= 11" (i - 1) untuk i = j + 2,· .. , k + 1.

k+l. Dengan demikian, 8k+1 paling banyak memuat (k + 1) k! = (k + I)!permutasi, atau 18k+l1 < (k + I)!. Kita peroleh \8k+11 = (k + I)!. •

Permutasi di 8n kita beri suatu tanda positif atau negatif. Pemberiantanda ini didasarkan pada nilai yang dimiliki oleh permutasi terse butyang dihitung dengan cara sebagai berikut. Misalkan l.p suatu permutasidi 8n, yaitu

(1 2 ... n )

l.p = Xl X2 ••• Xn

dengan l.p (i) = Xi untuk i = 1, ... , n. Nilai yang diberikan pada permu-tasi l.p adalah

n (Xi - X;)

l~i~n(Xl - X2) (Xl - X3) ••• (Xl - Xn)

(X'2 - X3) ... (X2 - Xn)

(Xn-1 - Xn)

Untuk pas~g (Xi, X;) dengan i < j, selisih Xi - X; muneul sekali dalamp (l.p). Dengan demikian, setiap pasang (k, l) E N x N dengan k ¥- l,salah satu dari selisih k - l atau l - k muncul dalam p (l.p).

Untuk permut~i k~tuan 11"0 E 8n,

11"0 = (11 2 n)2 n '

nilai yang dipunyai adalah

p(1I"0) = II (i - j).ls,i<;s.n

Ip (ep)1 = Ip (11"0)1·

Dengan kata lain peep) = p(1ro) atau peep) = -p(1I"o), Jika. permutasil.p memenuhi ep (i) > ep (j) untuk i < j sebanyak k kali, kita punyaihubungan peep) ='(-I)kp(lI'o). Sehubungan dengan nilai yang dipunyaioleh permutasi, kita ketengahkan definisi berikut.

Definisi 3.6.1 Tanda permutasi 'P E Sn yang ditandai dengan sgn ('P),adalah

p('P)sgn ('P) = -(-)'P 1ro

Tanda sgn adalah singkatan dari signum (kata Yunani yang artinyatanda) dan sgn ('P) mempunyai nilai +1 atau -1. Lebih lanjut sgn dapatkita pandang sebagai pemetaan dari Sn ke dalam {I,-I}. Karena Sndan {I, -I} masing-masing membentuk grup terhadap operasi kali yangsesuai, kita punyai sifat berikut.

Sifat 3.6.3 Pemetaan sgn : Sn ---+ {I,-I} yang didefinisikan oleh pe-ngaitan

untuk semua permutasi 'P E Snl adalah suatu homomorfisma grup.

Bukti. Misalkan 'P dan 1/J di Sn. Maka

perl) - IT ((rl) (i)) - ((rl) (j))l$i<hsn

IT ('P (1/J (i)) - 'P (1/J (j)))ls;.i<is..n

IT ('P (1jJ (i)) - 'P (1jJ (j))) IT ('P (1jJ (i)) - 'P (1/J (j)))l~i<j~n l~i<j~noj/(i)<oj/(j) oj/(i»oj/(j)

Misalkan k kali terjadi 1jJ(i) > 1jJ(j) untuk i < J. Maka p('l/J) =(_I)k P (1ro). Selanjutnya, kita peroleh

p (rl) = IT ('P (1jJ (i)) - 'P ('l/J (j))) II ('P (1/J (j)) - 'P ('l/J (i))) (_I)k .l<i<j<n l:>.i<j:o.noj/n><,;{'j) 1/I(i)>1/1(;)

II ('P(1/J(j)) - 'P(1/J(i)))(-l)k,l<i<j<n1/I(1»1/Iu)

p(cp'l/J) = IT (<p(1/J(i))-<p(1/J(j)))(-1)klS.tP(i)<,p(j)$n

_ p( ) p(1/J) = p(<p)p(1/J).<p p(1rO) p(1rO)

p (<p1/J) _ p (<p) p (1/J)- p(1rO) - p(1rO)p(1rO)- sgn (<p) sgn (1/J) •

•Permutasi <p E Sn kita 1atakan genap jika sgn (<p) = 1 dan ganjil

jib sgn (<p) = -1. Homomorfisma sgn : Sn ---+ {1,-1} bersifat pad a,sehingga

An = Inti (sgn) = {<p E Sn I sgn (<p) = 1}

mempunyai indeks [Sn: An] = 2. Koset lain di samping An adalahSn - Am y8.ng memuat semua permutasi ganjil di Sn' Dengan demi-kian, banyaknya permutasi genap dan banyaknya permutasi ganjil di SnSaIna. \. .,.-

Salah satu pemanfaatan tanda permutasi adalah pada pendefinisiandeterminan matriks n X n. Misalkan A = IIQij II matriks n X n dengankomponen bilangan nyata dan N = {I, ... , n}. Determinan matriks Akita definisikan sebagai

det (A) - L sgn (<p) Qlcp(l) ••• Qncp(n)

'PES"

- L sgn (<p) IIQitp(i)'

'PES" iEN

Misalkan <p suatu permutasi di Sn' Permutasi <p kita katakan siklisjika terdapat subhimpunan {Xl, ... ,X,.} ~ N yang memenuhi

- Xk+lI untuk k = 1, ... , r - 1,- Xli- j, untuk j E N - {XI, . .. , X,.} .

Permutasi sikHs pada subhimpunan {Xl, ... , Xr} kita tandai juga dengan(XIX2 ... Xr). Bilangan r kita sebut panjang permutasi siklis. Untukr = 2, permutasi sikHs r.p = (XIX2) kita sebut juga transposisi. Untukr = 1, tanda r.p = (xd menyatakan permutasi kesatuan. Dua permutasisikHs r.p = (Xl'" Xr) dan 'l/J = (YI'" Ys) kita katakan saling lepas jika{Xl, ... , Xr} n {YI, ... ,Ys} = 0. Untuk setiap permutasi di Sn berlakusifat berikut.

Sifat 3.6.4 Setiap permutasi di Sn dapat ditulis sebagai hasil kali per-mutasi siklis yang saling lepas.

Bukti. Kita ulang di sini bahwa Sn adalah grup permutasi pada N,dengan N = {1,··· , n}. Himpunan ~mua bilangan. asli kita nyatakandengan N. _.

Misalkan r.pE Sn' Untuk setiap ik E N kita definisikan

Semua Nk memuat satu unsur dipenuhi hanya jika r.p suatu permutasi i

kesatuan, yaitu r.p = 11"0. Dalam hal r.p i= 71"0, misalkan NIl N2, ••• , Nradalah semua yang memuat lebih dari satu unsur dan saling berbeda.Kita tunjukkan Np n Nq = 0 untuk p i= q.

Andaikan X E Np n Nq• Maka X = r.ps (ip) = r.pt (iq) untuk suatu sdan t diN. Misalkan s < t. Untuk s = t kita peroleh ip = iq, karenar.ps : N --+ N satu-satu. lni memberikan Np = Nq; bertentangan denganyang dimisalkan, yaitu Np i= Nq• Demikian pula untuk s < t, kitaperoleh r.pt-s (iq) = ip• Ini memberikan Np ~ Nq. Misalkan u E Nadalah bilangan terkecil yang memenuhi r.pu (iq) = ip• Karena Sn suatugrup hingga, menurut Teorema 3.3.6 permutasi r.p mempunyai tingkatv, pembagi nL Kita peroleh iq = r.p'lJ-U (ip). Ini memberikan Nq ~ Np•

Dengan demikian Np = Nqj bertentangan dengan yang dimisalkan. Jadi,untuk p i= q berlaku Np nNq = 0.

Misalkan banyaknya unsur di Nk adalah nk. Definisikan permutasisikHs

Kita buktikan <P = <PI ... <Pr' Ambil X E N.1. Jika X ~ NIU ... U Nr, maka <P (X) = (<Pl' .. <Pr) (X) = X.

2. Jika x E NI U ... U Nr, berarti x termuat dalarn satu dan hanya satuNk. Kita peroleh x = cp. (ik) untuk suatu s E N, dan

Jadi, untuk semua x E N berlaku I.{) (x) = (I.{)l ••• I.{)r) (x), atau I.{) =<Pi .•• I.{)r· •

~.

1. Jika I.{) = (1 2 n ) suatu permutasi di Sn, tuliskan 1/J Eal a2 ... anSn yang memenuhi t.p'l/J = .,pI.{) = 11'0, dengan 11'0 permutasi kesatuan.

2. Misalkan I.{) = (Xl ••• Xk) suatu permutasi siklis dan 11' suatu per-mutasi di Sn' Thnjukkan 1I't.p1l'-1 = (11' (Xl) ... 11'(Xk»'

3. Misalkan I.{) suatu permutasi di Sn dan I.{) = I.{)l ••• I.{)r dengan I.{)i

permutasi siklis yang saling lepas. Untuk setiap permutasi 11' E Sntunjukkan bahwa 1I't.p1l'-1 = <Pl'" I.{)~ dengan I.{)~ permutasi sikHsyang mempunyai panjang sarna dengan panjang I.{)i'

4. Buktikan bahwa setiap transposisi mempunyai tanda -1.

5. Thnjukkan bahwa setiap permutasi siklis dengan panjang k, k ~ 2,mempunyai tanda (_I)k-l.

6. Diketahui I.{) suatu permutasi siklis dan 11' suatu permutasi sebarangdi Sn' Thnjukkan bahwa sgn (I.{) = sgn (1I'1.{)1I'-1).

7. Thnjukkan bahwa setiap permutasi di Sn dapat dituliskan seba-gai h8sil ka1i transposisi. Apakah yang dapat dikatakan mengenaibanyaknya faktor transposisi dalarn penulisan tersebut?

8. Diketahui grup permutasi 8.c.a. Thliskan semua unsur subgrup A4 yang terdiri atas semua per-mutasi genap di S4'

b. Thnjukkan bahwa An tidak memuat subgrup dengan tingkat 6,namun memuat subgrup dengan tingkat 2, 3, dan 4.c. Berkaitan dengan Teorema Lagrange (Teorema 3.3.6), apakahyang dapat dikatakan mengenai pertanyaan b?