8

BAB II

DASAR TEORI

2.1. Konsep Dasar Optimasi Rotating Disk Bertingkat

Rotating disk merupakan benda solid simetris yang berputar. Untuk rotating

disk yang bertingkat terdapat perbedaan ketebalan pada masing-masing tingkatan yang

diukur dari titik pusat. Sehingga terdapat beberapa variabel desain yang perlu

diperhatikan, antara lain: profil, diameter, pemilihan material, banyaknya segmen

(tingkatan) dan lain-lain. [Ref. 1 hal. 97].

Pada saat rotating disk berputar pada kecepatan tinggi, akan dihasilkan tegangan

akibat dari gaya sentrifugal. Jika tegangan berada di dalam daerah elastis dari bahan

rotating disk tersebut dan menghasilkan sebuah deformasi, maka ukuran dari rotating

disk akan kembali seperti keadaan semula ketika tegangan dihilangkan. Tetapi jika

tegangan mempunyai nilai yang besar, maka terdapat sebagian regangan hasil tegangan

tersebut yang tertinggal dalam rotating disk. Jika hal demikian dibiarkan terus-menerus

akan menyebabkan material ini gagal dan permulaan keretakan meningkat yang dapat

menyebabkan rotating disk pecah.

Gambar 2.1 Contoh rotating disk 4 tingkat. [atas seizin Wisnu Aji P.]

Gambar 2.1 merupakan contoh profil dari rotating disk 4 segmen/tingkat. Profil

dari rotating disk pada Gambar 2.1 masih dapat kita optimalkan sehingga diperoleh

Po

Pi

9

distribusi tegangan dan desain yang lebih baik, yakni lebih ringan tapi kuat. Salah satu

cara untuk mencapai tujuan tersebut adalah dengan metode optimisasi. Optimisasi

merupakan metode untuk mendapatkan hasil yang terbaik dengan batasan-batasan

tertentu. [Ref. 6 hal. 1]. Dalam Tugas Akhir ini yang akan kita kaji adalah optimasi

geometri rotating disk (dengan variabel radius dan ketebalan yang akan divariasikan)

untuk mendapatkan distribusi tegangan yang lebih baik.

2.2. Aplikasi Rotating Disk

Berdasarkan tipe poros, rotating disk dibagi menjadi dua macam:

a. Press Fitted with Central Hole

Merupakan rotating disk dengan bagian tengah yang berlubang. Lubang

poros ini dinotasikan dengan harga Rm. Harga Rm ini ditentukan sebagai ukuran

radius dari poros. Aplikasi dari rotating disk tipe ini banyak digunakan pada

turbin uap dan gas.

Gambar 2.2 Rotating disk dengan bagian tengah yang berlubang.

[Ref. 1 hal. 100]

Pemasangan antara piringan dengan poros dilakukan dengan cara

sambungan susut. Poros penggerak dipasang setelah jari-jari dalam piringan

dipanaskan yang kemudian didinginkan, maka antara kedua bagian terjadi

tekanan kontak yang disebut tekanan sambungan susut.

10

b. Disk with Integral saft

Merupakan rotating disk dengan integral poros atau poros menjadi satu

dengan piringan. Pada saat proses pembuatan piringan misalkan dengan cara

pengecoran poros dan piringan dibuat menjadi satu. Rotating disk tipe ini

dipakai pada rotor pada kondisi temperatur tinggi dan mempunyai diameter yang

relatif kecil.

Gambar 2.3 Rotating disk dengan integral poros. [Ref. 1 hal. 105]

Berikut merupakan aplikasi dari rotating disk dalam permesinan:

a. Turbin

Turbin adalah sebuah mesin berputar yang mengambil energi dari

aliran fluida. Turbin sederhana memiliki satu bagian yang bergerak,

"asembli rotor-blade". Fluida yang bergerak menjadikan baling-baling

berputar dan menghasilkan energi untuk menggerakkan rotor. Dalam

turbin ini menggunakan elemen yang berbentuk rotating disk yang

digunakan pada dudukan sudu atau blade.

11

Gambar 2.4 Aplikasi rotating disk pada sudu turbin.

b. Kompresor

Kompresor adalah alat mekanik yang berfungsi untuk

meningkatkan tekanan fluida mampu mampat, yaitu gas atau udara.

Tujuan meningkatkan tekanan dapat untuk mengalirkan atau kebutuhan

proses dalam suatu sistem proses yang lebih besar (contohnya pada

pabrik-pabrik kimia untuk kebutuhan reaksi). Rotating disk terdapat pada

pemegang sudu hantar, pada rotor radial.

c. Hard disk

Rotating disk juga digunakan dalam aplikasi penyimpanan data

berupa hard disk drives. Stabilitas dan kepresisian yang tinggi pada

operasi kecepatan tinggi merupakan kemampuan dan hasil dari sistem

ini.

Gambar 2.5 Aplikasi rotating disk pada hard disk.

12

d. Rem cakram

Rem cakram adalah perangkat pengereman yang digunakan

pada kendaraan modern. Rem ini bekerja dengan menjepit cakram yang

biasanya dipasangkan pada roda kendaraan, untuk menjepit cakram

digunakan caliper yang digerakkan oleh piston untuk mendorong sepatu

rem (brake pads) ke cakram. Rem jenis ini juga digunakan pada kereta

api, sepeda motor, sepeda.

Gambar 2.6 Rem cakram sepeda motor.

e. Giroskop

Giroskop adalah roda berat yang berputar pada jari-jarinya.

Sebuah giroskop mekanis terdiri dari sebuah roda yang diletakkan pada

sebuah bingkai. Roda ini berada di sebuah batang besi yang disebut

dengan poros roda. Ketika giroskop digerakkan, maka ia akan bergerak

mengitari poros tersebut. Poros tersebut terhubung dengan lingkaran-

lingkaran yang disebut gimbal. Gimbal tersebut juga terhubung dengan

gimbal lainnya pada dasar lempengan. Jadi saat piringan itu berputar,

unit giroskop itu akan tetap menjaga posisinya saat pertama kali dia

diputar.

13

Gambar 2.7 Aplikasi rotating disk pada giroskop.

Giroskop kemudian dikembangkan menjadi penemuan penting,

antara lain aplikasinya pada penyeimbang (stabilizers) pesawat udara

dan kapal laut.

2.3. Tegangan pada Rotating Disk

Hukum Pertama Newton tentang aksi dan reaksi, bila sebuah balok terletak di

atas lantai, balok akan memberikan aksi pada lantai, demikian pula sebaliknya lantai

akan memberikan reaksi yang sama, sehingga benda dalam keadaan setimbang. Gaya

aksi sepusat (F) dan gaya reaksi (F’) dari bawah akan bekerja pada setiap penampang

balok tersebut. Jika kita ambil penampang A-A dari balok, gaya sepusat (F) yang

arahnya ke bawah, dan di bawah penampang bekerja gaya reaksinya (F’) yang arahnya

ke atas.

Gambar 2.8 Tegangan yang timbul pada penampang A-A.

14

Pada bidang penampang tersebut, molekul-molekul di atas dan di bawah bidang

penampang A-A saling tekan menekan, maka setiap satuan luas penampang menerima

beban sebesar: F/A. Tegangan timbul akibat adanya tekanan, tarikan, bengkokan, dan

reaksi. Pada pembebanan tarik terjadi tegangan tarik, pada pembebanan tekan terjadi

tegangan tekan, begitu pula pada pembebanan yang lain. [Ref. 11].

2.4.3. Konsep Tegangan Rotating Disk Statik

Persamaan distribusi tegangan untuk rotating disk dapat diselesaikan dengan

pemecahan persoalan umum pada silinder dinding tebal. Asumsi yang digunakan adalah

rotating disk dalam kondisi statik atau tidak berputar. Pada sebuah silinder dengan tebal

seragam yang mengalami aksi tekanan dalam (Pi) dan tekanan luar (Po) yang merata

seperti dapat kita lihat pada Gambar 2.9 (a), maka deformasi yang dihasilkan adalah

simetris terhadap sumbu dan tidak berubah sepanjang sumbu tersebut. Demikian pula

dengan besar tegangan tangensial dan radial yang terjadi merupakan fungsi dari

radiusnya (r) dan tidak berubah terhadap sudut (dΦ) yang dibentuk dari sumbunya.

[Ref. 8 hal. 236].

Gambar 2.9 Distribusi tegangan pada rotating disk. [Ref. 8 hal. 237]

Dari pernyataan diatas, maka untuk mempermudah analisa tegangan yang

bekerja pada piringan tersebut dapat kita potong menjadi bagian kecil seperti pada

Gambar 2.9 (b) di atas. Hal ini tidak akan merubah besar nilai dari tegangan tersebut

karena rotating disk bersifat simetris sepanjang sumbu. Pada Gambar 2.9 (b) juga

(a) (b)

15

dijelaskan terdapat dua tegangan yang bekerja pada rotating disk tersebut, yakni

tegangan tangensial (σt) dan tegangan radial (σr).

2.3.2.1. Tegangan Tangensial

Tegangan tangensial (tangential stress) atau Tegangan Keliling

(Circumferential Stress atau Hoop Stress) adalah gaya per satuan luas yang arah

gayanya searah dengan garis singgung penampang rotating disk. [Ref. 10]. Satuan (SI)

untuk tegangan tangensial adalah Pascal (Pa).

Gambar 2.10 Tegangan tangensial dan radial pada satu segmen rotating disk. [Ref. 14]

Gambar 2.10 diatas menjelaskan letak bekerjanya tegangan tangensial (σt) yang

terdapat pada satu segmen rotating disk. Dalam kondisi statik, tegangan tangensial

terjadi akibat adanya tekanan luar (Po) dan tekanan dalam (Pi) dari rotating disk itu

sendiri. Berikut merupakan persamaan tegangan tangensial (σt) untuk rotating disk

dengan ketebalan seragam:

[Ref. 8 hal. 239]

16

2.3.2.2. Tegangan Radial

Tegangan radial (radial stress) adalah gaya per satuan luas yang arah gayanya

searah dengan jari-jari penampang rotating disk. [Ref. 10]. Satuan (SI) untuk tegangan

radial adalah Pascal (Pa). Letak bekerjanya tegangan radial (σr) yang terdapat pada satu

segmen rotating disk diperlihatkan pada Gambar 2.10. Dalam kondisi statik, tegangan

radial terjadi akibat adanya tekanan luar (Po) dan tekanan dalam (Pi) dari rotating disk

itu sendiri. Berikut merupakan persamaan tegangan radial (σr) untuk rotating disk

dengan ketebalan seragam:

[Ref. 8 hal. 239]

2.4.3. Tegangan pada Rotating Disk dengan Variabel Ketebalan

Pada rotating disk dengan ketebalan seragam, harga ketebalan dalam

perhitungan tegangannya dapat diabaikan. Sedangkan pada perhitungan tegangan

rotating disk bertingkat (terdapat variasi ketebalan), harga ketebalan pada tiap tingkat

harus diperhitungkan.

Gambar 2.11 Geometri rotating disk (tampak samping) dengan variasi ketebalan.

[Ref. 1 hal. 100]

N

17

Gambar 2.11 di atas merupakan gambar geometri setengah bagian rotating disk

sebanyak n segmen dengan radius R2, R3, hingga Rm dan dengan variasi ketebalan mulai

dari L2 (tebal pada segmen terluar) hingga Lm (tebal pada segmen paling dalam yang

berimpit dengan poros).

Pada batas segmen (cincin) satu dengan yang lain, gaya aksi reaksi dapat

dinyatakan dalam hubungan tekanan dengan ketebalan. Pada Gambar 2.11 di bawah

merupakan gambar hubungan antara ketebalan dengan tekanan pada perbatasan cincin.

Pada cincin bagian atas jika mendapat beban sebesar

akan mendapat reaksi

sebesar Pn+1. Untuk mendapat tekanan yang sama terhadap Pn+1, maka harga tekanan

dikali dengan rasio antara ketebalan cincin Ln dan Ln+1 yakni menjadi

dan

akan mendapat reaksi dari Pn+2 dan seterusnya untuk cincin-cincin berikutnya.

Gambar 2.12 Hubungan antara ketebalan dengan tekanan pada rotating disk

[Ref. 1 hal. 105]

Untuk lebih jelasnya, dapat kita lihat contoh pada Gambar 2.13 berikut ini:

axis of rotation

18

Gambar 2.13 Substitusi n=2 pada hubungan antara ketebalan dengan tekanan.

Jika kita substitusikan n=2, maka dari Gambar 2.13 dapat kita lihat hubungan

tekanan dengan ketebalan pada segmen L2 dan L3. Pada cincin L2, tekanan yang bekerja

adalah P2 (karena L1=L2, maka yang bekerja hanyalah P2) dan P3. Sedangkan pada

cincin dengan ketebalan L3, tekanan yang bekerja adalah

dan P4.

Pada perbatasan antar cincin terdapat dua sisi yang bekerja, yakni pada sisi

sebelah atas disebut dengan sisi outer dan pada sisi bawah disebut dengan sisi inner

seperti yang dapat kita lihat pada Gambar 2.13.

2.3.2.1. Tegangan Tangensial

Apabila banyaknya segmen (tingkat) pada rotating disk dinyatakan sebagai n

maka persamaan tegangan tangensial berdasarkan penyebabnya dibagi menjadi dua

macam:

a. Tegangan tangensial karena rotasi.

b. Tegangan tangensial karena tekanan.

[Ref. 1]

Dan karena pada setiap sambungan pada permukaan rotating disk terdapat dua macam

sisi yang bekerja, yakni sisi inner dan outer maka tegangan tangensial yang terjadi pada

tiap tingkat dibagi menjadi empat [Ref. 1 hal. 101], yaitu:

19

1. Tegangan tangensial (σt) yang terjadi pada radius ke- (n+1) berada pada sisi luar

(outer = o) akibat dari tekanan:

(1)

dimana :

(σt)(n+1)o = tegangan tangensial akibat tekanan (σt) yang terjadi pada

radius ke- (n+1) pada sisi outer (o).

Rn = radius sisi luar pada segmen (cincin) terluar.

Rn+1 = radius yang berada pada pertemuan antarmuka dari dua

segmen (cincin).

Pn, Pn+1, Pn+2 = tekanan arah radial pada permukaan cekung yang terjadi

pada radius Rn, Rn+1, Rn+2.

Ln-1, Ln, Ln+1 = ketebalan pada segmen (n-1), dimana n = 2, 3, 4, ...

2. Tegangan tangensial (σt) yang terjadi pada radius ke- (n+1) berada pada sisi luar

(outer = o) akibat dari rotasi:

(2)

dimana :

(σV)(n+1)o = tegangan tangensial akibat rotasi (σV) yang terjadi pada

radius ke- (n+1) pada sisi outer (o)

γ = berat jenis material disk (lbf/in3)

g = percepatan gravitasi

v = poisson’s ratio

R2 = radius sisi luar pada segmen (cincin) terluar pada bagian

20

batas luar disk

V = circumferential velocity (kecepatan pada arah keliling) dari

disk (dalam 100 in/s)

3. Tegangan tangensial (σt) yang terjadi pada radius ke- (n+1) berada pada sisi

dalam (inner = i) akibat dari tekanan:

(3)

dimana :

(σt)(n+1)i = tegangan tangensial akibat tekanan (σt) yang terjadi pada

radius ke- (n+1) pada sisi inner (i).

Rn+2 = radius sisi dalam pada segmen (cincin) terdalam

4. Tegangan tangensial (σt) yang terjadi pada radius ke- (n+1) berada pada sisi

dalam (inner = i) akibat dari rotasi:

(4)

dimana :

(σV)(n+1)i = tegangan tangensial akibat rotasi (σV) yang terjadi pada

radius ke- (n+1) pada sisi inner (i)

21

Gambar 2.14 Ilustrasi letak tegangan tangensial (σt). [atas seizin Wisnu Aji P.]

Pada Gambar 2.14 menunjukkan letak tegangan tangensial maupun radial yang

bekerja pada dua permukaan rotating disk. Permukaan bagian atas (luar) bekerja

tegangan tangensial dan radial sisi outer (luar) sedangkan pada bagian bawah (dalam)

bekerja tangensial dan radial sisi inner (dalam).

Untuk mendapatkan nilai tekanan (Pn+2) dapat dicari dengan persamaan berikut:

(5.a)

Dimana:

(5.b)

(5.c)

(5.d)

22

(5.e)

(5.f)

(5.g)

(5.h)

Dari persamaan (1), (2), (3) dan (4), persamaan tegangan tangensial pada sisi inner dan

outer bentuknya seperti demikian:

(6.a)

Dimana:

(6.b)

(6.c)

[Ref. 1 hal. 101-102]

Nilai tegangan tangensial di atas merupakan nilai rata-rata tegangan tangensial dari

rotating disk akibat rotasi dan tekanan pada sisi inner serta outer-nya.

2.3.2.2. Tegangan Radial

Nilai tegangan radial (σr) dapat ditentukan menggunakan persamaan berikut ini [Ref. 1

hal. 101-102] :

23

(7)

Nilai tegangan radial di atas merupakan nilai rata-rata tegangan radial dari rotating disk

akibat rotasi dan tekanan pada sisi inner serta outer-nya.

2.4. Komponen Perancangan Optimasi Rotating Disk

2.4.3. Design Vector [Ref. 6 hal. 6-7]

Suatu sistem dapat digambarkan sebagai kumpulan variabel selama proses

desain. Kumpulan yang telah ditetapkan harganya disebut sebagai preassigned

parameters. Sedangkan semua kumpulan yang dianggap sebagai variabel disebut

dengan variabel desain (design variable) atau decision variables misal xi, i = 1, 2, ..., n.

Contoh problem design pasangan roda gigi.

Karakteristik dari desain roda gigi:

a. jumlah gigi T1 dan T2, jarak center

b. lebar roda gigi b

c. sudut kerja

d. profil gigi dan material

Bila jarak center, sudut kerja, profil gigi dan material telah ditetapkan, maka kumpulan

ini dikenal sebagai preassigned parameters. Jika dinyatakan sebagai design vector

menjadi seperti berikut ini:

X =

=

Dimana xi, i = 1, 2, ..., n merupakan variable design.

24

Gambar 2.15 Pasangan roda gigi dengan pembatas terhadap fungsi tujuan.

2.4.2. Constrained [Ref. 6 hal. 8]

Dalam mendesain suatu variabel harus memenuhi spesifikasi dari fungsi dan

kebutuhan yang lain. Batasan-batasan yang harus dipenuhi suatu variabel untuk

mendapatkan suatu desain yang dapat diterima disebut design constraints. Sedangkan

constrained itu sendiri dapat didefinisikan sebagai suatu batasan yang mempunyai

fungsi untuk membatasi darimana optimasi tersebut dilakukan dan juga sebagai syarat

agar desain variabel dapat ditampilkan. Berikut merupakan desain point yang dapat

diterima maupun yang tak dapat diterima:

a. Free and acceptable point

b. Free and unacceptable point

c. Bound and acceptable point

d. Bound and unacceptable point

Keempat tipe tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.16 berikut:

25

Gambar 2.16 Constraint surfaces pada ruang desain hypothetical dua-dimensi

Constraints dibagi menjadi empat macam, yaitu:

a. Linear Equality Constraints , .x = b

b. Linear Inequality Constraints, .x ≥ b

c. Nonlinear Equality Constraints, (x) = 0

d. Nonlinear Inequality Constraints, (x) = 0

Constraint yang akan digunakan disini adalah jenis linear inequality constraints.

Sebuah formulasi optimasi dapat dituliskan sebagai berikut:

=

dengan yarat,

Constraints:

a. Lower Bound (batas bawah)

26

b. Upper Bound (batas atas)

Subject to (contoh untuk variabel radius R3, R4)

Misal: untuk L2= 6 inch; L5= 2 inch

dimana,

Gambar 2.17 Ilustrasi untuk radius R2, R3, R4 dan R5. [Ref. 1 hal. 113]

2.4.3. Objective Function [Ref. 6 hal. 9]

Tujuan dari optimisasi adalah memilih yang terbaik dari desain yang tersedia,

sedangkan pada umumnya terdapat lebih dari satu desain yang memenuhi. Kriteria yang

menentukan disebut sebagai objective function. Optimasi dapat melibatkan lebih dari

satu objective function atau biasa disebut multiobjective function. Untuk multiobjective

function ini, kita dapat menganggapnya sebagai sebuah kombinasi yang linier.

45

34

23

1,0

1,0

1,0

RR

RR

RR

bxA .

1,2

1,0

9,5

.

10

11

01

x

N

27

Perhatikan contoh sebagai berikut :

dimana α1 dan α2 adalah konstan dengan nilai-nilai yang menunjukkan kepentingan

relatif dari satu relatif objective function ke yang lainnya.

Pada rotating disk sendiri terdapat 8 objective function yang dapat dianalisis,

diantaranya:

a. Minimize the maximum tangential stress.

b. Minimize the average tangential stress.

c. Minimize the difference between the maximum and minimum tangential stress.

d. Minimize the volume of the disk, the maximum tangential stress and the average

tangential stress with different weighing factors.

e. Minimize maximum equivalent stress.

f. Minimize the maximum shear stress.

g. Maximize the Inertia over Volume.

h. Maximize the difference between the Inertia over Volume ratio and the average

tangential stress ratio with different weighing factors.

[Ref. 1 hal. 109]

Untuk Tugas Akhir ini, objective function yang akan dianalisis adalah:

a. Minimize the difference between the maximum and minimum tangential stress.

b. Minimize the volume of the disk, the maximum tangential stress and the average

tangential stress with different weighing factors.

2.4.3.1. Objective Function 1

Objective function 1 adalah fungsi untuk minimize the volume of the disk, the

maximum tangential stress and the average tangential stress with different weighing

factors. Untuk meminimumkan nilai objective function 2 tersebut didapatkan dengan

mengubah-ubah nilai radius serta ketebalannya. Objective function ini dapat dinyatakan

dalam persamaan matematis menjadi:

28

Min U = (σt)max - (σt)min

Gambar 2.18 Grafik 1 distribusi tegangan tangensial. [Ref. 8 hal. 256]

Dari Gambar 2.18 di atas diperlihatkan grafik distribusi tegangan tangensial.

Dalam gambar tersebut terlihat antara tegangan tangensial maksimum dengan

minimumnya terdapat perbedaan rasio yang cukup besar. Optimasi yang akan dilakukan

dalam objective function ini meminimumkan jarak rasio tersebut sehingga distribusi

tegangan tangensialnya dapat lebih merata.

2.4.3.2. Objective Function 2

Objective function 2 adalah fungsi untuk minimize the difference between the

maximum and minimum tangential stress. Dalam objective function 1 ini bertujuan

meminimumkan nilai perbedaan antara tegangan tangensial maksimum ((σt)max) dengan

tegangan tangensial minimum ((σt)min). Untuk meminimumkan nilai objective function 1

tersebut didapatkan dengan mengubah-ubah nilai radius serta ketebalannya. Objective

function ini dapat dinyatakan dalam persamaan matematis menjadi:

29

Min U = α1{Volume Ratio} + α2{(σt)max} + α3{(σt)average}

Gambar 2.19 Grafik 2 distribusi tegangan tangensial. [Ref. 8 hal. 256]

Dari Gambar 2.19 di atas diperlihatkan grafik distribusi tegangan tangensial.

Dalam gambar tersebut terlihat antara tegangan tangensial maksimum dengan rata-

ratanya terdapat perbedaan rasio yang cukup besar. Optimasi yang akan dilakukan

dalam objective function ini meminimumkan jarak rasio tersebut sehingga distribusi

tegangan tangensialnya dapat lebih merata.

2.5. Solusi Permasalahan Optimasi menggunakan Matlab

2.4.3. Fungsi Fmincon

Optimasi yang akan dilakukan dalam penelitian ini menggunakan fungsi

fmincon. Analisa dengan metode fmincon berfungsi untuk meminimalkan suatu fungsi

skalar dengan beberapa constrained dari beberapa variabel mulai dari tebakan awal

yang diberikan. [Ref.9]. Penggunaan metode ini dapat dilakukan dengan mengetikkan

30

objective function tersebut dalam m-file matlab dan dijalankan dengan optimization

toolbox di matlab maupun langsung dijalankan menggunakan m-file tersebut.

Persamaan matematis dalam metode ini adalah sebagai berikut:

x, b, beq, lb, dan ub adalah vektor, A dan Aeq adalah matriks, c (x) dan ceq (x) adalah

fungsi yang mengembalikan vektor, dan f (x) adalah fungsi yang mengembalikan skalar

f (x ), c (x), dan ceq (x) yang dapat menjadi fungsi non-linier.

Beberapa contoh syntax dalam fmincon adalah :

x = fmincon(fun,x0,A,b)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x = fmincon(problem)

[x,fval] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(...)

[Ref. 9]

Contoh kasus untuk fmincon :

Cari harga dari x yang meminimumkan f(x) = -x1x2x3, dimulai pada tebakan di titik

x = [10; 10; 10] dan dibatasi oleh constraints.

31

0 ≤ x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 72

Pertama, menuliskan fungsi persamaan yang akan dicari pada M-file.

function f = myfun(x)

f = -x(1) * x(2) * x(3);

Kemudian menuliskan kembali constraints kedalam bentuk berikut:

- x1 - 2x2 - 2x3 ≤ 0

x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 72

Dengan kedua persamaan constraints tersebut adalah linier, kita dapat menuliskan

persamaannya kedalam bentuk matrix inequality A . x ≤ b seperti berikut ini:

Berikutnya, berikan harga tebakan awal untuk x1, x2, x3 dan masukkan routine

optimasinya.

x0 = [10; 10; 10]; % Harga tebakan awal untuk masing-masing x1, x2, x3

[x,fval] = fmincon(@myfun,x0,A,b)

Setelah proses iterasi optimasi ke-66, solusinya sebagai berikut:

x =

24.0000

12.0000

12.0000

32

Dimana harga fungsinya adalah

fval =

-3.4560e+03

[Ref. 9]