bab i - sebelas maret university... · web viewdistribusi ini adalah estimator distribusi sampling...

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Menghadapi krisis energi, khususnya bahan bakar minyak (BBM) yang

diinduksi oleh meningkatnya harga BBM dunia telah membuat beberapa negara

mencari sumber-sumber bahan bakar alternatif yang mungkin dapat

dikembangkan. Pada saat ini biodiesel merupakan salah satu upaya

pengembangan energi alternatif. Beberapa negara sudah memproduksi dan

menggunakan biodiesel secara komersial dengan bahan mentah minyak nabati

yang tersedia di wilayahnya (Sopian, 2005).

Salah satu tanaman yang memiliki potensi sebagai biodiesel adalah tanaman

jarak pagar (Jatropha curcas, L). Tanaman ini sudah dikenal oleh masyarakat

Indonesia sebagai tanaman obat dan penghasil minyak lampu, bahkan diolah

menjadi bahan bakar pesawat terbang pada zaman penjajahan Jepang. Sekarang

ini tanaman jarak pagar hanya ditanam sebagai pagar dan tidak diusahakan secara

khusus. Biodiesel yang dihasilkan oleh tanaman jarak pagar adalah minyak jarak

yang diperoleh dari biji tanaman tersebut (Hariyadi, 2005).

Berbagai penelitian dilakukan untuk mengetahui manfaat dari minyak jarak.

Misalnya melalui review yang dipublikasikan oleh Gubitz, disebutkan bahwa pada

tahun 1997 grupnya di Austria, telah mempublikasikan hasil uji adaptasi minyak

jarak sebagai subtitusi bahan bakar pada mesin diesel standar (Sopian, 2005).

Tanaman ini mulai mendapat perhatian di Indonesia ketika terjadi subsidi

BBM mengecil dan harga BBM menjadi mahal. Pengembangan minyak jarak di

Indonesia dipelopori oleh Dr. Robert Manurung dengan fokus ekstrasi minyak

tanaman jarak, yang kemudian diikuti lembaga-lembaga pemerintah yang lain

(Sopian, 2005).

Budidaya tanaman jarak dapat dilakukan dengan benih dan stek. Perbanyakan

tanaman ini dengan stek mempunyai beberapa keuntungan antara lain tidak

mengalami kemungkinan pengaruh buruk dari batang bawah, berbuah lebih cepat

1

dan akar serabutnya lebih banyak dibandingkan dengan penanaman benih

(Hariyadi, 2005).

Jika diinginkan bibit jarak pagar yang unggul maka perlu memberikan

beberapa perlakuan. Perlakuan optimal dalam memperbanyak tanaman dengan

stek sangat mempengaruhi pertumbuhan tanaman ini. Metode statistik yang dapat

digunakan untuk mengetahui pengaruh perlakuan adalah melalui pendekatan

parametrik yaitu rancangan percobaan. Penggunaan metode ini sangat disyaratkan

pemenuhan asumsi, yang berarti apabila asumsi tidak dipenuhi maka

kesimpulannya akan memberikan informasi yang menyesatkan. Oleh karena itu

digunakan pendekatan nonparametrik. Melalui pendekatan nonparametrik dapat

dicari estimasi fungsi densitas melalui berbagai metode, diantaranya melalui

histogram, penghalusan histogram dengan WARPing, fungsi kernel, dan

sebagainya (Hardle, 1990).

Data dikatakan kecil apabila n < 30, dan dikatakan besar apabila n ≥ 30.

Apabila data yang digunakan kecil, maka dapat dilakukan resampel data untuk

mengestimasi fungsi densitasnya. Menurut Efron dan Tibshirani (1993), resampel

adalah hasil penarikan sampel dari suatu sampel.

Pada penulisan skripsi ini akan dikaji ulang estimasi fungsi densitas melalui

histogram dan kernel Gaussian. Selanjutnya estimasi fungsi densitas yang

diperoleh akan diterapkan pada data pertumbuhan tanaman jarak pagar yang telah

diresampel menggunakan metode bootstrap untuk menentukan waktu optimal

pembibitannya.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, maka rumusan masalah dalam penulisan skripsi

ini adalah

1. Bagaimana menentukan rata-rata resampel dan rata-rata bootstrap dari data

pertumbuhan banyak tunas, daun, dan akar pada tanaman jarak pagar?

2

2. Bagaimana menentukan estimator fungsi densitas data pertumbuhan banyak

tunas, daun, dan akar pada tanaman jarak pagar melalui histogram dan kernel

Gaussian?

3. Bagaimana menentukan waktu pembibitan optimal tanaman jarak pagar ?

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penulisan skripsi ini adalah

1. Budidaya tanaman jarak pagar yang dilakukan adalah melalui stek batang dan

media yang digunakan adalah air .

2. Variabel yang diamati dari pertumbuhan tanaman jarak pagar adalah banyak

tunas dan daun dari batang yang tidak diberi hormon, serta akar dari batang

yang diberi hormon IBA 150 mg/liter dan kinetin 0 mg/liter .

3. Resampel data yang digunakan adalah melalui metode bootstrap.

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan skripsi ini

adalah

1. Menentukan rata-rata hasil resampel dan rata-rata bootstrap dari data

pertumbuhan banyak tunas, daun, dan akar pada tanaman jarak pagar.

2. Menentukan estimator fungsi densitas data pertumbuhan banyak tunas, daun,

dan akar pada tanaman jarak pagar melalui histogram dan kernel Gaussian.

3. Menentukan waktu tanam optimal dari pembibitan tanaman jarak pagar .

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah mengetahui waktu

tanam optimal pembibitan tanaman jarak pagar dengan stek batang melalui pola

distribusinya, serta menambah pengetahuan dan wawasan tentang estimasi fungsi

densitas histogram dan kernel Gaussian.

3

BAB II

LANDASAN TEORI

Ada dua bab yang akan dibahas pada landasan teori ini, yaitu tinjauan pustaka

dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berupa hasil penelitian yang telah

dilakukan oleh peneliti terdahulu yang disajikan dalam bentuk definisi, teorema,

dan pengertian yang berhubungan dengan pembahasan estimasi fungsi densitas.

Melalui kerangka pemikiran akan digambarkan langkah dan arah penulisan untuk

mencapai tujuan penelitian.

2.1 Tinjauan Pustaka

2.1.1 Jarak Pagar ( Jatropha curcas, L )

Tanaman jarak pagar termasuk famili Euphorbiaceae, satu famili dengan karet

dan ubi kayu. Jarak pagar dapat diklasifikasikan sebagai berikut,

Divisi : Spermatophyta

Subdivisi : Angiospermae

Kelas : Dicotyledonae

Ordo : Euphorbiales

Famili : Euphorbiaceae

Genus : Jatropha

Spesies : Jatropha curcas Linn.

Tanaman jarak pagar berupa perdu dengan tinggi 1-7 meter bercabang tidak

teratur. Batangnya berkayu, silindris, dan bila terluka mengeluarkan getah.

Daunnya tunggal berlekuk dan bersudut 3 atau 5, tersebar di sepanjang batang.

Perbanyakan tanaman jarak pagar dapat dilakukan secara generatif dengan biji

dan vegetatif dengan stek batang yang cukup berkayu atau cabang tua. Salah satu

cara perbanyakan dengan stek, bahan stek ditanam di polibag atau dengan

menanam langsung ke lahan. Pada umumnya lama pembibitan tanaman jarak

pagar ini 2- 3 bulan jika dilakukan di polibag tanah. Pembibitan dengan stek dapat

4

dipercepat dengan pemberian hormon perangsang pertumbuhan pada batang yang

akan distek.

Potensi biodiesel tanaman jarak pagar terdapat pada bijinya. Biji tanaman

jarak pagar memiliki kandungan minyak yang cukup tinggi. Minyak yang

dihasilkan sangat potensial untuk dimanfaatkan sebagai bahan bakar alternatif.

(Hambali,2006)

2.1.2 Konsep Dasar Statistik

Sebagaimana disebutkan dalam tujuan penelitian, yaitu menentukan estimasi

fungsi densitas histogram dan kernel, maka diperlukan beberapa konsep dasar

statistik untuk menunjang materi dalam pembahasan penulisan skripsi ini. Konsep

dasar yang diperlukan adalah pengertian variabel random, fungsi densitas

probabilitas, fungsi distribusi kumulatif, harga harapan, dan variansi.

Ada beberapa istilah yang perlu diketahui dalam suatu eksperimen untuk

membangun suatu model matematik. Outcome merupakan hasil dari suatu

eksperimen. Sedangkan himpunan semua outcome yang mungkin dari suatu

eksperimen disebut ruang sampel, yang dinotasikan dengan S. Dari ruang sampel

didefinisikan suatu variabel, yaitu variabel random.

Definisi 2.1. (Bain dan Engelhardt, 1992) Variabel random X adalah fungsi yang

memetakan setiap hasil yang mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu

bilangan real x, sedemikian hingga X(e) = x.

Variabel random dibagi menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan variabel

random kontinu.

Perilaku variabel random dapat dilihat melalui fungsi yang menggambarkan

distribusi variabel random. Fungsi tersebut didefinisikan sebagai fungsi densitas

probabilitas (probability density function).

5

Definisi 2.2. (Bain dan Engelhardt, 1992) Jika himpunan semua nilai yang

mungkin dari variabel random X merupakan himpunan berhingga ,

atau , maka X disebut variabel random diskrit. Fungsi

, untuk x =

menyatakan probabilitas setiap nilai x yang mungkin disebut fungsi densitas

probabilitas diskrit (discrete probability density function).

Jika f(x) adalah fungsi densitas probabilitas diskrit, maka mempunyai sifat

, untuk semua x dan . Sedangkan jika f(x) adalah fungsi

densitas probabilitas kontinu, maka mempunyai sifat , untuk semua x dan

.

Cara lain untuk menggambarkan perilaku variabel random adalah melalui

fungsi distribusi kumulatifnya yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.3. (Bain dan Engelhardt, 1992) Fungsi distribusi kumulatif (cumulative

distribution function) dari variabel random diskrit X didefinisikan untuk setiap

bilangan real x sebagai

.

Definisi 2.4. (Bain dan Engelhardt, 1992) Variabel random X disebut variabel

random kontinu jika terdapat fungsi f(x) yang merupakan fungsi densitas

probabilitas dari X, sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan

dengan

.

Sesuatu yang perlu diketahui dari suatu distribusi variabel random adalah

pusat (central) distribusi dan variansi variabel random. Pusat distribusi

didefinisikan sebagai harga harapan (expected value).

6

Definisi 2.5. (Bain dan Engelhardt, 1992) Jika X suatu variabel random kontinu

dengan fungsi densitas probabilitas f(x), maka harga harapan (expected value)

dari X didefinisikan sebagai

,

dan variansi dari variabel random adalah

.

Teorema 2.1. (Bain dan Engelhardt, 1992) Variansi dari variabel random X

dinyatakan dengan

.

2.1.3 Metode Bootstrap

Menurut Efron dan Tibshirani (1993), bootstrap adalah metode yang

berdasarkan pada simulasi data untuk keperluan inferensi statistik. Apabila

bootstrap digunakan, maka inferensi dapat dilakukan tanpa membuat asumsi

distribusi. Dalam bootstrap dilakukan resampling dengan pengembalian.

Resampling dengan pengembalian ini membuat setiap resampel dapat mempunyai

beberapa elemen dari sampel asli muncul lebih dari sekali, dan mungkin beberapa

tidak muncul sama sekali. Langkah-langkah dalam prosedur bootstrap adalah

sebagai berikut

1. Membangun distribusi empiris dari suatu sampel dengan menempatkan

probabilitas 1/n pada setiap xi, dengan i = 1,2, …, n.

2. Mengambil sampel random sederhana berukuran n dengan pengembalian dari

fungsi distribusi empiris sebanyak B kali. Hal ini dinamakan sebagai

resampel dan disebut xb*. Sampel random dengan B ulangan dari (x1, x2, …, xn)

adalah

7

Pengambilan jika F berdistribusi normal dan jika F

berdistribusi eksponensial.

3. Menghitung statistik yang diinginkan dari resampel ini, disebut sebanyak

B kali.

4. Membangun distribusi empiris dari , dengan probabilitas masing-masing

1/B pada setiap . Distribusi ini adalah estimator distribusi

sampling , dan disebut . Selanjutnya distribusi tersebut dapat

digunakan untuk melakukan inferensi tentang .

Jika merupakan mean (rata-rata) hasil resampel, maka dapat ditentukan rata-

rata bootstrap

, (2.1)

dan variansi bootstrapnya adalah

. (2.2)

2.1.4 Sifat Estimator

Variabel random X dengan pdf , dengan θ parameter yang tidak

diketahui, terdiri atas mean dan variansi dari distibusinya. Berdasarkan data

observasi nilai θ diduga melalui estimasi titik (point estimation).

8

Definisi 2.6. (Bain dan Engelhardt, 1992) Statistik yang

digunakan untuk mengestimasi nilai dari disebut estimator dari dan

nilai dari statistik disebut estimasi (estimate) dari .

Selanjutnya estimator T dinotasikan dengan .

Misal Ω ruang parameter yang menunjukkan himpunan seluruh kemungkinan

nilai θ. Kriteria dari estimator yang baik ada dua yaitu tak bias (unbiassed) dan

variansi minimum.

Definisi 2.7. (Bain dan Engelhardt, 1992 ) Estimator dikatakan estimator tak

bias dari jika

untuk semua . Jika tidak, T dikatakan sebagai estimator bias dari .

Jika adalah estimator takbias dari ,kriteria lain yang sesuai adalah variansi

minimum yaitu

, untuk semua .

Definisi dari estimator bias sebagai berikut.

Definisi 2.8. (Bain dan Engelhardt, 1992 ) Jika adalah estimator dari ,

maka bias dinyatakan dengan

dan mean squared error (MSE) dari T dinyatakan dengan

.

Teorema 2.2. (Bain dan Engelhardt, 1992) Jika T adalah estimator dari ,

maka

.

9

MSE adalah kriteria yang sesuai yaitu mempertimbangkan variansi dan bias dari

estimator, sebagaimana kriteria variansi minimum pada estimator tak bias.

2.1.5 Estimasi Fungsi Densitas

Diasumsikan variabel random X kontinu, independen, dan berdistribusi identik

maka dinotasikan fungsi densitas f(x) sebagai

.

Estimasi fungsi densitas adalah mengestimasi fungsi densitas dengan memberikan

himpunan data observasi . Estimasi fungsi densitas dapat dilakukan dengan

pendekatan parametrik, yaitu data diasumsikan mempunyai distribusi tertentu.

Pendekatan yang lain adalah nonparametrik, yaitu data tidak diasumsikan

mempunyai berdistribusi tertentu. Estimasi fungsi densitas nonparametrik dapat

dilakukan melalui histogram dan fungsi kernel (Shen dan Agrawal,2006).

2.1.6 Estimasi Fungsi Densitas Histogram

Hardle (1990), menyatakan estimasi fungsi densitas histogram merupakan

cara yang cukup sederhana dan luas penggunaannya. Misal sampel random

berukuran n, dari suatu populasi dengan fungsi densitas f yang

tidak diketahui. Berdasarkan sampel random ini akan diestimasi fungsi

densitasnya. Misalkan daerah nilai X dibagi menjadi interval-interval yang tidak

tumpang tindih dengan lebar interval h1, h1 > 0 dan titik awal x0. Probabilitas

observasi X yang masuk ke dalam interval dapat dinyatakan

sebagai

. (2.3)

10

Dengan teorema harga menengah untuk fungsi terbatas kontinu diperoleh

, untuk . (2.4)

Jika f(x) didekati dengan nilai konstan pada , maka dapat

diperoleh pendekatan untuk f(x), adalah

. (2.5)

Dengan menggunakan persamaan (2.4) dan (2.5), diperoleh estimator untuk f(x),

yaitu

(2.6)

untuk semua .

Persamaan (2.6) dapat dinyatakan sebagai

(untuk observasi Xi dalam interval yang juga memuat x).

Secara umum penentuan estimasi fungsi densitas melalui histogram

menggunakan langkah-langkah sebagai berikut

1. Membagi garis riil dalam interval (bin) yaitu

dengan lebar interval (binwidth) , x0 pusat atau titik awal

histogram.

2. Menghitung banyaknya data untuk setiap interval.

Dari langkah-langkah di atas dapat dituliskan estimator fungsi densitas melalui

histogram adalah

(2.7)

Misal diasumsikan bahwa x0 = 0 dan , maka estimator

fungsi densitas histogram pada persamaan (2.7) dapat dinyatakan sebagai

11

. (2.8)

Sifat-sifat estimator fungsi densitas histogram sebagai berikut

Teorema 2.3. (Hardle,1990) Jika diberikan oleh persamaan (2.8), maka

adalah bias untuk f(x).


1. ,

2.

Melalui bias dan variansi dari , dapat ditentukan Mean Squared Error

(MSE) dari .

(2.9)

MSE merupakan jumlahan dari variansi dan bias kuadrat. Meminimalkan MSE

terhadap h1 dapat dipandang sebagai kompromi antara masalah estimasi fungsi

densitas yang sangat mulus, yaitu jika h1 sangat besar untuk menurunkan variansi,

dan masalah estimasi densitas yang tidak mulus, yaitu jika dipilih h1 yang kecil

untuk menurunkan bias kuadrat. Integral dari persamaan (2.9) didefinisikan

sebagai mean integrated squared error (MISE),

dengan .

Secara asimtotik unsur dapat diabaikan untuk dan

. Penghilangan unsur ini disebut asymptotic mean integrated squared error

(A-MISE) yang didefinisikan sebagai berikut

12

.

Menentukan lebar interval optimal h1opt, dapat dilakukan dengan menurunkan

A-MISE terhadap parameter h1, diperoleh

(2.10)

2.1.7 Estimasi Fungsi Densitas Kernel

Shen dan Agrawal (2006), menyatakan estimasi fungsi densitas kernel

merupakan cara yang sederhana untuk mengestimasi fungsi densitas tanpa asumsi

dari model parametrik. Estimator fungsi densitas kernel untuk estimasi nilai

densitas f(x) pada titik x didefinisikan sebagai berikut,

(2.11)

dimana K disebut fungsi kernel dan h2 adalah lebar jendela (bandwidth).

Diasumsikan fungsi kernel K adalah fungsi densitas kontinu, terbatas, simetris

di sekitar 0, dan berharga real. Kernel K memenuhi sifat-sifat:

1.

2.

3.

Salah satu fungsi kernel yang sering digunakan adalah kernel Gaussian. Bentuk

kernel Gaussian adalah sebagai berikut,

. (2.12)

Sifat-sifat estimator fungsi densitas kernel sebagai berikut

13


untuk

, untuk .


1. , dengan .

2. , ,dengan

.

Melalui pendekatan bias dan variansi dari , diperoleh

,

dan

Jika bagian yang berorder tinggi dari sisi kanan teorema yaitu

diabaikan, maka dapat didefinisikan sebagai A-MISE, diperoleh

Menentukan lebar jendela optimal h2opt, dapat dilakukan dengan menurunkan

A-MISE terhadap parameter h2, diperoleh

Lebar jendela optimal digunakan untuk mengestimasi fungsi densitas dari data

sehingga dapat diperoleh estimator fungsi densitas kernel yang akan mewakili

fungsi densitas data yang sebenarnya.

14

2.2 Kerangka Pemikiran

Fungsi densitas probabilitas menggambarkan karakteristik dasar perilaku dari

suatu variabel random X. Dengan melihat plot fungsi densitas dapat diketahui pola

distribusi dari variabel random X. Estimasi dari fungsi densitas yang tidak

diketahui dapat dilakukan melalui pendekatan nonparametrik yaitu menggunakan

histogram dan kernel.

Estimasi fungsi densitas histogram sangat tergantung pada pengambilan titik

awal x0 dan pemilihan lebar interval h1, sedangkan estimasi fungsi densitas kernel

tergantung pada pemilihan lebar jendela h2 dan fungsi kernel K. Estimasi fungsi

densitas yang diperoleh akan diterapkan pada data pertumbuhan tanaman jarak

pagar untuk mengetahui pola distribusi pertumbuhan banyak tunas, daun, dan

akar. Dari pola distribusinya akan ditentukan waktu optimal pembibitan tanaman

jarak pagar pada media air.

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi kasus.

Dengan mengumpulkan referensi dari buku dan jurnal akan diterapkan estimasi

fungsi densitas histogram dan kernel pada data pertumbuhan tanaman jarak pagar

dengan stek batang pada media air.

15

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut

1. Pengumpulan data

Bahan penelitian yang digunakan adalah stek batang cabang tua dari

tanaman jarak pagar yang diberi perlakuan berupa hormon perangsang akar

dan tunas. Media yang digunakan adalah air PAM yang diletakkan dalam

gelas transparan berukuran 220cc. Jenis hormon yang digunakan adalah IBA

(Indole-3- Butyric Acid) dan kinetin. Perlakuan yang digunakan adalah kontrol

(tanpa hormon), 50, 100, dan 150 mg/liter untuk IBA dan kinetin. Separuh

dari panjang stek batang tanaman direndam pada media cair 50 cc. Apabila

terjadi penurunan volume air, maka ditambahkan air secukupnya. Untuk setiap

perlakuan digunakan stek tanaman jarak pagar sebanyak 12 batang.

Rancangan percobaan yang digunakan dalam permasalahan ini adalah

rancangan percobaan faktorial. Variabel yang diamati dalam penelitian ini

adalah pertumbuhan banyak tunas, daun, dan akar tanaman jarak pagar setiap

5 hari selama 30 hari.

2. Analisis data

Langkah pertama adalah meresampel data dan menentukan rata-rata

resampel dari tiap variabel yang diamati dengan menggunakan metode

bootstrap. Rata-rata resampel digunakan untuk menentukan pola distribusi

pertumbuhan banyak tunas, daun, dan akar tanaman jarak pagar dengan

menggunakan estimasi fungsi densitas histogram dan kernel Gaussian. Dari

rata-rata hasil resampel ditentukan rata-rata dan variansi bootstrap untuk

menentukan waktu optimal pembibitan tanaman jarak pagar pada media air.

Analisis data dilakukan dengan menggunakan bantuan software S-PLUS for

Windows versi 3.2. Berikut bagan langkah-langkah yang dilakukan dalam

penulisan skripsi ini.

16

Pengumpulan referensi tentang estimasi fungsi densitas dan data

pertumbuhan jarak pagar

Resampel data

BAB IV

PEMBAHASAN

Ada banyak cara untuk mengestimasi fungsi densitas probabilitas,

diantaranya melalui histogram dan kernel. Histogram dan kernel merupakan cara

yang sederhana untuk mengestimasi fungsi densitas tetapi banyak memberikan

informasi yang penting melalui plot estimasinya. Estimasi fungsi densitas kernel

17

Estimasi fungsi densitas dengan histogram

Estimasi fungsi densitas dengan kernel Gaussian

Penarikan kesimpulan

Penentuan waktu optimal pembibitan tanaman jarak pagar

mempunyai kelebihan jika dibandingkan dengan estimasi fungsi densitas

histogram yang dipengaruhi oleh penentuan titik awalnya. Pada estimasi fungsi

densitas histogram apabila diambil titik awal yang berbeda, maka akan diperoleh

hasil yang berbeda pula. Pada pembahasan ini akan diterapkan estimasi fungsi

densitas histogram dan kernel untuk data pertumbuhan tanaman jarak pagar. Dari

plot estimasi fungsi densitasnya akan ditentukan waktu optimal pembibitannya.

4.1 Deskripsi Data Pertumbuhan Tanaman Jarak Pagar

Data diperoleh dari hasil percobaan pembibitan tanaman jarak pagar dengan

stek batang pada media air di Laboratorium Pusat FMIPA UNS. Variabel yang

diamati adalah pertumbuhan banyak tunas, daun, dan akar. Berdasarkan hasil

percobaan, pertumbuhan banyak tunas dan daun diamati dari batang yang tidak

diberi hormon perangsang. Untuk pertumbuhan akar diamati dari batang yang

diberi hormon IBA 150mg/liter dan kinetin 0 mg/liter. Jumlah data pertumbuhan

banyak tunas dan daun yang diambil sebanyak 8, mulai dari pengamatan hari ke

10 sampai ke 30. Sedangkan data pertumbuhan banyak akar diambil sebanyak 6

mulai pengamatan hari ke 15 sampai hari ke 30. Data tiap variabel dapat dilihat

pada Tabel 2. Lampiran 2.

4.2 Resampling Data Menggunakan Metode Bootstrap

Bootstrap merupakan alat meresampling data untuk keperluan inferensi. Jika

jumlah data yang diambil dari percobaan terlalu kecil, maka dapat dilakukan

resampel data menggunakan metode bootstrap berdasarkan langkah-langkah pada

subbab 2.1.3. Data yang diperoleh dari hasil percobaan diresampel sebanyak 20n.

Jumlah data pertumbuhan banyak tunas dan daun adalah 8, maka resampel yang

diambil sebanyak 160. Sedangkan jumlah data pertumbuhan banyak akar adalah

6, maka diresampel sebanyak 120. Dari data hasil resampel ditentukan rata-rata

setiap resampel yang akan diestimasi fungsi densitasnya baik melalui histogram

maupun kernel. Rata-rata dari setiap resampel dapat dilihat pada Lampiran 3. Jika

18

B adalah jumlah resampling dan adalah rata-rata tiap resampel pada Lampiran

3, berdasarkan persamaan (2.1) dan (2.2) dapat ditentukan rata-rata dan variansi

bootstrap yang dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1. Rata-rata dan Variansi Bootstrap Pertumbuhan Banyak Tunas,

Daun, dan Akar

Pengamatan

hari ke

Banyak Tunas Banyak Daun Banyak Akar

Rata-rata Variansi Rata-rata Variansi Rata-rata Variansi

10 2.5984 0.51030 2.692 0.62202 0 0

15 2.5578 0.44691 6.273 2.57394 3.8514 1.83604

20 2.7289 0.360107 7.814 1.42885 9.1375 5.54793

25 2.8898 0.42342 5.608 1.44794 12.2903 2.41993

30 2.7414 0.394678 6.738 1.17418 11.7417 2.02187

4.3 Estimasi Fungsi Densitas Histogram Data Pertumbuhan

Tanaman Jarak Pagar

Rumus estimator fungsi densitas histogram pada persamaan (2.7) adalah

. Dari persamaan tersebut h1 (lebar interval)

dan , . Lebar interval optimal diperoleh dengan

meminimalkan A-MISE terhadap h1, diperoleh nilai .

Lebar interval h1 optimal untuk pertumbuhan banyak tunas dan daun dengan

jumlah data rata-rata resampel sebanyak 160, maka diperoleh

. Dengan dan titik awal tersebut

diperoleh persamaan estimator fungsi densitas histogram untuk pertumbuhan

banyak tunas dan daun sebagai berikut

19

=

= , (4.1)

dengan , .

Lebar interval h1 optimal untuk pertumbuhan banyak akar, jika jumlah data rata-

rata resampelnya 120 maka diperoleh . Dengan

tersebut dan pengambilan titik awal yang sama dengan titik awal pada

banyak tunas dan daun, maka diperoleh estimator fungsi densitas histogram untuk

pertumbuhan banyak akar adalah

=

= , (4.2)

dengan .

Berdasarkan persamaan (4.1) dan (4.2) selanjutnya akan digambarkan plot

estimasi fungsi densitas untuk data pertumbuhan banyak tunas, daun, dan akar

dengan dan . Plot estimasi fungsi densitas histogram pertumbuhan

banyak tunas, daun, dan akar dapat dilihat pada Gambar 1. sampai 3.

20

Gambar 1. Estimasi Fungsi Densitas Histogram Data Pertumbuhan

Banyak Tunas

Dilihat dari plot estimasi fungsi densitas histogram pada Gambar 1, rata-rata

pertumbuhan banyak tunas mengalami penurunan dari pengamatan hari ke 10

sampai 15. Dan rata-rata pertumbuhan banyak tunas pada hari ke 20 sampai 25

mengalami peningkatan. Sedangkan rata- rata distribusi pertumbuhan banyak

daun dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2. Estimasi Fungsi Densitas Histogram Data Pertumbuhan Banyak Daun

21

Rata-rata pertumbuhan banyak daun juga mengalami peningkatan sampai

hari ke 20, tetapi berkurang pada hari ke 25. Pada hari ke 30 rata-rata

pertumbuhan banyak daun meningkat lagi meskipun tidak lebih besar dari

pengamatan hari ke 20. Selanjutnya akan digambarkan plot estimasi fungsi

densitas untuk rata-rata pertumbuhan banyak akar.

Gambar 3. Estimasi Fungsi Densitas Histogram Data Pertumbuhan Banyak Akar

Rata-rata pertumbuhan banyak akar terbesar diperoleh pada pengamatan hari

ke 25. Pada pengamatan hari ke 30 rata-rata pertumbuhan akar mengalami

penurunan.

Estimasi fungsi densitas histogram sangat dipengaruhi oleh penentuan titik

awalnya. Jika diambil titik awal yang diambil berbeda maka diperoleh hasil yang

berbeda pula. Hal itu dapat dilihat dari plot estimasi fungsi densitas pertumbuhan

banyak daun pada hari ke 20 jika diambil x0 = 0, 1, 2, 3, dan h1 = h1opt pada

Gambar 4.

22

Gambar 4. Estimasi Fungsi Densitas Histogram Pertumbuhan Banyak Daun

Hari ke 20

Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa rata-rata pertumbuhan banyak daun

berubah jika penentuan titik awalnya berbeda.

4.4 Estimasi Fungsi Densitas Kernel Data Pertumbuhan

Tanaman Jarak Pagar

Dari persamaan (2.11) diperoleh estimator fungsi densitas kernel adalah

, dengan h2 lebar jendela merupakan

parameter yang perlu diestimasi. Pada penulisan skripsi ini fungsi kernel yang

digunakan adalah kernel Gaussian, maka bentuk estimator fungsi densitasnya

menjadi

. (4.3)

23

Lebar jendela optimal diperoleh dengan meminimalkan A-MISE terhadap h2,

yaitu . Dengan pendekatan lebar jendela optimal tersebut, diperoleh

untuk banyak tunas dan daun adalah . Dan

untuk banyak akar adalah .

Jika digunakan , maka estimator fungsi densitas kernel Gaussian pada

persamaan 4.1 untuk data pertunbuhan banyak tunas dan daun adalah

(4.4)

Sedangkan pada pertumbuhan banyak akar adalah

(4.5)

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (4.4) dan (4.5) akan diplotkan

estimasi fungsi densitas kernel pada setiap variabel. Plot estimasi fungsi densitas

kernel untuk setiap variabel dapat dilihat pada Gambar 5. sampai 7.

24

Gambar 5. Estimasi Fungsi Densitas Kernel Gaussian Data Pertumbuhan

Banyak Tunas

Dari Gambar 5. dapat dilihat, rata-rata pertumbuhan tunas dari pengamatan

hari ke 15 sampai ke 25 berjalan dari kiri ke kanan semakin besar. Kemudian

tidak mengalami peningkatan lagi setelah pengamatan hari ke 30.


Banyak Daun

25

Dari Gambar 6. dapat dilihat rata-rata pertumbuhan banyak daun mengalami

peningkatan dari pengamatan hari ke 10 sampai hari ke 20. Setelah itu terjadi

penurunan pada pengamatan hari ke 25.


Banyak Akar

Dari Gambar 7. dapat dilihat bahwa rata-rata pertumbuhan banyak akar pada

pengamatan hari ke 15 berada pada interval 0 sampai 10. Pada pengamatan hari ke

20 dan 25 rata-rata pertumbuhan banyak akar mengalami peningkatan. Sedangkan

pada pengamatan hari ke 30 terjadi penurunan rata-rata pertumbuhan banyaka

akar.

4.5 Waktu Optimal Pembibitan Tanaman Jarak Pagar

Rata-rata bootstrap untuk setiap variabel pengamatan pada Tabel 1. diplotkan

dengan waktu pengamatan untuk mengetahui waktu optimal pertumbuhan

masing-masing variabel. Plot waktu optimal pertumbuhan banyak tunas, daun,

dan akar dapat dilihat pada Gambar 8.

26

Gambar 8. Waktu Optimal Pertumbuhan Jarak Pagar

Jika Gambar 8. dibandingkan dengan hasil estimasi fungsi densitas histogram

dan kernel diperoleh hasil yang sama. Rata-rata pertumbuhan banyak tunas dan

akar terbesar adalah pengamatan ke 25, sedangkan untuk daun hari ke 20. Dari

hasil tersebut maka dapat dikatakan bahwa waktu optimal pembibitan tanaman

jarak pagar dengan stek batang pada media air adalah 20 sampai 25 hari.

27

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan dapat disimpulkan bahwa aplikasi kasus untuk data

pertumbuhan banyak tunas, daun, dan akar pembibitan tanaman jarak pagar

melalui stek batang dengan media air diperoleh

1. Berdasarkan rata-rata hasil resampel pada Lampiran 3 diperoleh rata-rata

bootstrap untuk pertumbuhan banyak tunas dan akar terbesar adalah pada

pengamatan hari ke 25, yaitu 2.8898 dan 12.2903. Sedangkan untuk

pertumbuhan banyak daun diperoleh pada pengamatan hari ke 20, yaitu

7.814.

2. Estimator fungsi densitas histogram untuk pertumbuhan banyak tunas dan

daun adalah

=

= ,

dengan ,

untuk pertumbuhan banyak akar adalah

=

= ,

dengan .

Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk pertumbuhan banyak tunas,

dan daun adalah

28

untuk pertumbuhan banyak akar adalah

3. Waktu optimal pertumbuhan banyak tunas dan akar adalah hari ke 25,

sedangkan banyak daun adalah hari ke 20.

Waktu optimal pembibitan tanaman jarak pagar dengan stek batang melalui

media air adalah 20 sampai 25 hari.

5.2 Saran

Bagi pembaca yang tertarik tentang estimasi fungsi densitas nonparametrik,

penulis memberikan beberapa saran

1. Perlu dilakukan estimasi fungsi densitas nonparametrik dengan metode yang

lain, misalnya dengan penghalusan kernel.

2. Perlu dilakukan estimasi fungsi densitas kernel dengan fungsi kernel yang

lain, misalnya kernel segitiga, kuadratik,dan yang lainnya.

3. Perlu dikembangkan estimasi fungsi densitas nonparametrik untuk kasus yang

lainnya.

29

DAFTAR PUSTAKA

Bain, L. J. and M. Engelhardt. (1992). Introduction to Probability and

Mathematical Statistics, Second Edition. Duxbury Press, Inc, California.

Efron, B. and R. J. Tibshirani. (1993). An Introduction to the Bootstrap. Chapman

and Hall, London.

Hambali, E, Hariyadi dan A. Suryani. (2006). Jarak Pagar Tanaman Penghasil

Biodiesel. Penebar Swadaya, Jakarta.

Hardle, W. (1990). Smoothing Technique with Implementation in S. Springer

Verlag, New York.

Hariyadi. (2005). Budidaya Tanaman Jarak Pagar (Jatropha Curcas) sebagai

Sumber Bahan Alternatif Biofuel. Makalah Departemen Budidaya Pertanian

Fakultas Pertanian IPB, Bogor.

Shen, X. and S. Agrawal. (2006). Kernel Density Estimation for An Anomaly

Based Intrusion Detection System. The Department of Mathematics, Ohaio

University. USA.

Sopian, T. (2005). Biodiesel dari Tanaman Jarak. www.beritaiptek.com

.

30

http://www.beritaiptek.com/

LAMPIRAN

Lampiran 1. Bukti teorema.

Lampiran 2. Data Pertumbuhan Banyak Tunas, Daun, dan Akar yang Mendapat

Perlakuan Optimal.

Lampiran 3. Rata-rata resampel data Pertumbuhan Banyak Tunas, Daun, dan

Akar.

Lampiran 4. Program Estimasi Fungsi Densitas Histogram dan Kernel

Gaussian.

31

LAMPIRAN

Lampiran 1. Bukti Teorema

Teorema 2.1. (Bain dan Engelhardt, 1992) Variansi dari variabel random X

dinyatakan dengan

Bukti

=

=

=

=

=

Teorema 2.2. (Bain dan Engelhardt, 1992) Jika T adalah estimator dari ,

maka .

Bukti

=

=

=

=

=


adalah bias untuk f(x).

Bukti

32

=

=

=

=

=


1. ,

2.

Bukti

=

= =

Jika dan diekspansikan taylor, dalam untuk turunan order

pertama

diperoleh

=

33

=

=

=

=

=

=

=

=

= , ,

= ,


untuk

, untuk .

Bukti

34

=

=

=

Dengan mensubtitusikan , untuk , diperoleh


1. , dengan .

2. , ,dengan

.

Bukti

=

=

=

=

=

=

35

=

=

=

=

=

=

=

Lampiran 2. Data Pertumbuhan Banyak Tunas, Daun, dan Akar yang

Mendapat Perlakuan Optimal

36

Tabel 2. Data Pertumbuhan Banyak Tunas, Daun, dan Akar Tanaman Jarak Pagar

Perlakuan Ulangan

Pengamatan hari

ke-

TUNAS 10 15 20 25 30

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 7 7 7 7 7

4 3 3 3 3 3

I0K0 5 3 3 3 2 2

6 2 2 2 2 2

7 2 2 2 2 2

8 - - 2 2 2

Perlakuan Ulangan

Pengamatan hari

ke-

DAUN 10 15 20 25 30

1 6 6 6 1 1

2 3 5 5 3 4

3 - 15 15 11 11

4 2 6 8 9 7

I0K0 5 7 9 10 4 8

6 3 3 4 4 4

7 1 5 6 6 9

8 - - 7 8 10

Perlakuan Ulangan

Pengamatan hari

ke-

AKAR 10 15 20 25 30

1 1 6 10 11

2 1 7 10 7

I150K0 3 6 14 12 12

4 6 11 15 15

5 0 0 8 8

6 8 17 19 18

Data yang dianalisis (output dari software S-PLUS for Windows versi 3.2)

> tunas10

37

[1] 1 2 7 3 3 2 2 0

> tunas15

[1] 1 2 7 3 3 2 2 0

> tunas20

[1] 1 2 7 3 3 2 2 2

> tunas25

[1] 1 2 7 3 3 2 2 2

> tunas30

[1] 1 2 7 3 3 2 2 2

> daun10

[1] 6 3 0 2 7 3 1 0

> daun15

[1] 6 5 15 6 9 3 5 0

> daun20

[1] 6 5 15 8 10 4 6 7

> daun25

[1] 1 3 11 9 4 4 6 8

> daun30

[1] 1 4 11 7 8 4 9 10

> akar15

[1] 1 1 6 6 0 8

> akar20

[1] 6 7 14 11 0 17

> akar25

[1] 10 10 12 15 8 19

> akar30

[1] 11 7 12 15 8 18

Lampiran 3. Rata-rata Resampel data Pertumbuhan Banyak Tunas,

Daun, dan Akar

38

Rata-rata resampel banyak tunas dengan 160 ulangan untuk setiap hari

pengamatan adalah

1. Rata-rata resampel hari ke 10

> retunas10<-matrix(sample(tunas10,8*160,replace=T),160,8)

> meantunas10<-apply(retunas10,1,mean)

> meantunas10

[1] 2.125 3.750 2.625 1.875 3.250 2.125 2.875 2.250 2.500 3.375 2.500 3.125

3.000 2.375 [15] 2.750 2.375 4.250 1.250 2.125 2.750 3.375 3.250 1.750

2.750 2.750 3.500 2.250 3.250 [29] 2.000 2.375 3.375 2.125 3.250 2.875

3.125 2.375 2.875 2.125 2.250 3.875 2.250 2.625 [43] 1.875 2.375 1.625

2.875 1.750 2.500 2.875 2.500 4.125 3.125 1.625 2.875 5.250 3.500 [57]

2.625 2.750 2.000 2.125 2.375 1.750 3.000 2.000 4.125 1.500 3.875 2.625

2.000 2.125 [71] 3.250 2.000 2.000 3.125 1.375 2.250 2.125 2.250 2.625

2.750 2.625 2.500 2.000 2.375 [85] 3.250 2.750 2.375 1.750 1.625 1.750

3.125 2.250 2.125 3.125 1.750 2.500 2.750 1.500 [99] 2.375 2.750 1.250

2.625 3.375 4.000 3.625 2.125 2.625 2.000 2.250 2.125 2.000 1.625[113]

2.250 2.375 1.500 2.750 1.250 2.500 4.125 2.625 1.750 3.125 3.500 2.250

3.125 2.000[127] 4.250 1.875 3.625 3.125 2.875 1.750 3.000 2.250 1.625

2.875 2.000 2.750 3.500 2.875[141] 1.750 3.250 2.875 3.750 3.000 3.750

2.625 1.875 3.500 3.000 2.000 3.000 2.625 3.750[155] 1.875 2.750 1.625

3.125 2.375 1.750




> meantunas15

[1] 3.000 3.875 2.125 3.000 2.750 3.250 2.750 2.125 3.000 2.375 2.250 2.625

2.250 2.750 [15] 2.000 2.625 1.500 2.750 2.875 2.000 2.625 2.875 1.875

1.125 2.125 1.500 1.875 3.625 [29] 1.625 2.500 2.250 4.875 2.500 2.875

1.625 2.375 2.000 2.625 2.375 3.125 2.750 2.250 [43] 2.000 1.875 2.000

2.750 3.250 1.875 3.125 2.500 1.875 3.250 2.250 2.375 2.125 2.250 [57]

2.125 1.875 1.250 2.750 2.750 2.625 2.750 2.375 2.500 1.750 2.500 1.875

39

2.375 1.750 [71] 2.875 1.500 2.500 3.000 2.500 2.625 3.000 2.375 1.250

1.250 2.375 1.250 3.625 3.375 [85] 3.250 3.000 3.625 3.125 2.375 3.375

3.250 2.125 1.625 2.250 3.250 2.125 2.625 2.000 [99] 2.625 2.125 2.000

3.250 2.750 3.625 3.125 2.500 2.625 3.500 3.375 2.250 4.125 1.875[113]

2.625 2.625 2.500 3.250 1.875 3.375 1.500 3.000 1.750 3.000 3.375 2.750

3.000 2.500[127] 3.250 4.500 1.875 3.000 1.750 1.875 2.750 2.250 1.875

3.875 4.000 3.375 2.750 2.625[141] 3.125 2.000 2.625 2.625 2.250 2.875

3.125 1.875 3.500 3.500 2.125 1.625 3.250 3.250[155] 2.125 2.750 1.625

2.625 2.250 2.000




> meantunas20

[1] 2.875 3.000 3.250 3.625 1.875 2.125 2.625 2.500 3.375 2.250 2.250 2.875

2.000 2.000 [15] 1.750 2.500 3.250 2.500 2.500 3.000 3.375 2.000 2.875

3.125 3.000 4.000 3.250 3.750 [29] 3.000 2.625 3.500 2.000 3.375 2.000

3.500 2.750 2.750 3.375 2.250 1.875 2.125 2.750 [43] 2.000 2.625 2.625

1.875 1.750 3.125 2.750 2.375 2.500 2.625 3.625 2.750 2.250 2.000 [57]

2.500 2.750 2.875 3.375 2.750 3.500 1.750 2.875 2.375 4.625 3.375 2.750

2.375 3.125 [71] 3.250 3.500 2.500 2.250 2.750 2.875 2.750 2.750 3.250

2.250 2.750 2.250 3.500 2.250 [85] 3.125 3.875 2.250 3.375 4.875 2.875

1.750 2.875 2.625 1.875 2.000 3.000 2.875 2.750 [99] 3.125 3.375 2.125

2.625 3.250 4.250 2.875 2.875 1.875 2.500 2.625 3.250 2.750 2.500[113]

2.750 3.125 1.875 1.875 3.375 2.125 3.250 3.375 3.750 2.625 3.250 2.000

2.875 2.375[127] 2.875 1.875 2.625 2.375 2.125 2.500 2.750 1.875 3.750

2.250 3.000 2.875 2.125 2.000[141] 2.625 2.500 2.375 3.125 1.750 4.125

1.875 2.625 2.875 1.875 2.250 2.750 2.625 2.250[155] 3.250 2.750 3.000

2.125 2.625 3.375




40

> meantunas25

[1] 3.125 2.250 3.000 3.125 3.625 2.500 3.125 3.125 2.000 2.875 3.000 3.125

2.750 3.625 [15] 3.250 1.875 3.000 2.875 2.125 2.875 2.375 3.250 3.000

3.375 2.500 3.250 2.625 2.000 [29] 3.250 4.750 3.875 2.750 2.250 2.000

1.875 3.125 3.000 3.625 2.750 4.000 2.750 2.250 [43] 2.750 2.500 3.375

2.750 3.500 3.000 3.625 3.250 2.250 2.375 2.125 2.875 1.750 4.000 [57]

2.500 2.750 2.750 2.500 2.750 3.500 2.125 3.625 3.000 3.000 3.125 2.375

1.750 2.875 [71] 2.250 2.250 4.000 2.250 3.250 2.125 2.875 3.375 2.750

3.500 3.125 2.500 3.375 3.500 [85] 2.750 2.250 4.125 3.375 3.500 2.375

4.000 3.375 3.125 3.625 4.000 3.500 2.625 3.250 [99] 2.250 2.875 3.375

3.000 3.125 1.875 2.750 2.250 2.375 2.500 3.125 3.250 4.125 3.500[113]

3.125 2.625 2.750 2.500 2.750 2.625 2.625 3.250 3.125 2.000 3.500 2.500

3.750 2.000[127] 3.625 3.875 2.125 2.625 2.875 1.750 2.875 2.750 4.000

2.000 2.375 3.250 2.875 4.250[141] 2.000 1.625 2.500 2.125 2.000 1.750

3.250 2.250 4.750 1.875 4.500 3.625 3.000 2.000[155] 2.375 2.875 3.875

2.750 2.250 2.625




> meantunas30

[1] 2.125 2.000 2.375 3.250 2.500 2.125 2.750 2.750 2.125 3.250 2.375 2.875

2.625 2.750 [15] 2.625 4.000 2.625 3.125 3.250 3.500 2.375 2.250 2.500

4.125 2.375 2.125 2.125 2.750 [29] 2.625 1.875 3.125 3.500 2.750 2.125

2.750 2.875 3.375 3.250 2.250 3.125 2.750 2.500 [43] 2.875 2.750 2.625

2.125 4.125 2.500 3.250 2.750 1.625 3.500 2.250 3.125 2.250 2.625 [57]

4.500 1.875 2.625 3.000 2.375 2.625 2.500 2.250 2.000 2.750 2.750 2.750

3.250 4.000 [71] 2.250 2.625 2.000 2.125 3.000 4.000 4.250 3.375 2.625

3.250 2.125 2.500 2.250 2.000 [85] 2.125 2.125 2.750 3.000 2.125 4.500

3.000 3.500 2.750 3.500 2.000 2.875 3.000 2.500 [99] 2.250 3.250 2.125

3.500 2.000 1.375 3.375 3.625 2.000 2.875 3.375 3.125 3.000 2.625[113]

2.750 2.125 2.875 2.375 4.000 3.500 2.250 4.625 2.625 2.000 2.000 3.375

41

3.000 2.500[127] 2.500 2.125 3.125 2.750 3.875 2.750 2.000 2.125 3.125

2.375 2.250 2.875 2.375 3.625141] 2.125 2.000 2.250 2.375 2.875 3.375

1.875 2.375 3.000 3.375 2.875 1.875 3.000 2.625[155] 3.750 2.000 2.250

1.875 3.750 2.375

Rata-rata resampel banyak daun dengan 160 ulangan untuk setiap hari

pengamatan adalah


> redaun10<-matrix(sample(daun10,8*160,replace=T),160,8)

> meandaun10<-apply(redaun10,1,mean)

> meandaun10

[1] 4.000 2.500 3.500 2.750 2.875 2.000 2.125 2.125 2.750 2.875 3.250 3.375

3.125 3.250 [15] 2.875 1.500 2.375 2.250 2.375 1.875 3.000 2.625 3.000

2.750 2.000 1.375 2.750 3.375 [29] 1.750 3.125 2.250 2.500 1.750 4.000

2.625 3.000 2.750 3.375 4.000 3.625 1.500 3.625 [43] 1.375 3.000 3.625

1.125 1.250 1.625 4.125 2.875 1.375 1.500 1.875 3.000 1.625 1.625 [57]

2.125 2.625 2.875 2.625 2.375 3.500 2.500 2.750 2.500 4.125 2.500 2.125

2.125 3.250 [71] 2.125 1.875 2.750 2.000 2.125 2.375 2.375 3.500 3.625

3.125 3.375 0.625 1.875 3.250 [85] 2.375 1.625 4.625 2.000 2.250 2.375

1.500 1.625 3.250 3.125 4.250 3.250 2.500 4.000 [99] 3.125 4.875 3.250

2.875 2.875 2.125 3.250 2.125 2.500 2.125 2.625 2.500 1.750 2.875[113]

2.875 3.000 3.375 4.125 2.875 2.250 2.750 1.750 3.500 3.375 3.250 3.000

1.250 4.000[127] 2.250 3.500 2.875 3.500 2.625 2.000 2.500 1.375 2.750

3.750 3.250 2.875 3.125 2.625[141] 3.625 1.125 2.500 2.625 2.250 1.875

3.375 2.625 2.000 3.375 2.125 1.875 3.750 2.875[155] 2.250 2.500 4.750

3.250 3.625 3.000




> meandaun15

42

[1] 7.625 8.625 5.750 5.375 7.625 6.375 5.625 7.500 3.500 5.250 4.125

3.500 [13] 7.375 6.375 6.500 5.875 6.875 5.750 5.000 3.125 5.250

7.750 5.125 7.875 [25] 6.500 6.375 4.250 6.500 6.625 6.625 4.875

4.000 8.000 8.875 5.500 9.250 [37] 4.625 8.625 4.375 8.250 4.875

5.500 8.000 4.500 4.500 7.750 6.375 5.500 [49] 4.500 8.125 4.750

7.125 6.500 7.250 7.625 4.625 5.125 4.250 11.250 6.500 [61] 5.125

6.875 6.750 5.875 4.875 5.250 4.000 4.625 4.250 8.250 3.500 9.250

[73] 8.625 7.500 4.750 5.250 5.375 8.500 4.000 6.375 6.500 6.750

6.375 6.375 [85] 8.500 7.125 5.875 6.875 4.625 7.625 3.500 5.750

10.750 6.750 6.375 6.750 [97] 9.250 6.250 5.750 6.000 4.500 7.250

5.750 7.125 7.000 5.000 6.875 8.375[109] 5.875 4.500 8.875 5.250

8.125 6.625 7.125 6.375 7.000 3.750 5.750 5.250[121] 5.500 8.500

5.875 4.000 6.000 6.250 5.250 5.875 5.125 10.625 6.750 5.875[133]

5.125 3.875 8.000 5.250 7.375 5.875 4.000 8.125 6.250 8.000 7.125

10.750[145] 8.500 8.500 4.250 5.875 7.375 5.625 5.750 5.000 4.750

8.000 4.250 5.625[157] 6.250 5.750 6.000 6.125




> meandaun20

[1] 8.000 7.000 7.375 6.500 7.750 7.625 8.625 7.125 7.500 8.875 7.875

9.125 [13] 7.500 8.875 8.250 7.250 7.625 6.500 7.500 8.875 9.000

8.125 9.250 8.500 [25] 6.625 6.750 6.500 7.375 10.000 9.375 6.375

7.625 8.250 6.625 7.375 9.625 [37] 8.250 6.500 6.625 6.750 8.125

7.875 6.625 7.375 7.875 7.000 7.000 7.375 [49] 7.250 9.625 7.500

7.375 7.250 7.125 6.375 7.500 7.125 8.250 7.375 6.750 [61] 7.750

7.875 10.250 7.875 9.000 8.625 7.250 5.625 7.125 9.125 6.625 10.500

[73] 7.000 8.250 9.750 7.875 9.875 6.500 7.625 7.250 11.875 10.250

7.250 5.000 [85] 7.250 7.125 5.625 7.500 7.750 6.750 7.875 9.250

8.750 7.000 7.750 9.375 [97] 6.125 6.625 8.125 7.875 9.125 8.250

10.000 8.625 6.875 7.250 9.500 8.750[109] 6.625 6.625 10.875 6.375

43

7.000 6.875 8.500 6.625 6.125 8.125 8.250 8.875[121] 8.250 8.125

7.375 6.250 7.625 7.500 6.375 8.375 8.750 10.500 8.375 6.375[133]

6.000 6.125 6.000 8.625 10.125 8.125 9.125 7.375 9.500 6.875 7.750

8.750[145] 7.875 7.625 8.750 6.625 9.375 7.500 7.750 9.000 7.125

7.250 5.875 10.375[157] 9.375 6.875 7.250 7.250




> meandaun25

[1] 7.125 8.875 2.500 5.500 4.750 4.750 3.625 5.625 6.500 4.250 4.625 5.875

3.875 5.500 [15] 6.625 7.500 3.625 4.625 6.125 5.500 5.750 6.375 4.875

2.750 6.625 5.875 5.000 6.875 [29] 6.875 6.250 5.750 5.625 7.125 6.500

4.875 6.000 5.500 6.000 6.500 7.000 5.875 5.000 [43] 6.375 4.000 5.250

4.250 4.750 7.500 7.125 7.500 5.750 2.375 5.375 5.750 2.875 3.875 [57]

6.250 4.875 4.250 4.125 6.750 4.750 7.250 7.375 6.625 5.125 8.000 7.500

6.375 4.875 [71] 6.250 6.500 5.500 6.875 5.500 5.125 4.625 6.625 4.500

5.750 5.500 4.750 6.750 7.000 [85] 5.750 5.125 5.750 5.875 6.750 5.500

6.000 6.000 5.375 3.250 6.125 5.500 4.750 6.375 [99] 5.625 4.750 6.250

5.500 5.750 7.125 3.875 5.000 5.375 6.875 7.125 4.500 6.000 5.625[113]

3.250 5.000 5.375 5.500 5.375 6.125 3.625 7.125 6.000 7.625 5.375 6.125

5.125 4.375[127] 6.875 5.000 5.125 7.250 4.625 4.000 7.000 5.375 6.125

6.250 3.750 5.500 6.125 6.250[141] 6.000 5.500 3.500 3.750 6.125 6.750

6.125 4.750 3.750 7.500 4.250 5.750 8.125 5.625[155] 4.875 4.375 5.250

7.125 3.625 7.375




> meandaun30

[1] 3.500 5.625 5.500 5.500 7.000 6.250 6.000 7.250 5.625 7.875 7.875 7.875

8.000 3.625 [15] 5.750 5.500 7.125 6.625 5.750 6.875 9.000 6.750 5.375

6.125 8.250 6.500 6.250 8.750 [29] 8.125 7.375 5.625 7.500 6.625 7.500

44

7.375 6.250 5.250 7.875 7.625 5.625 8.250 6.375 [43] 6.500 7.375 7.125

5.125 5.875 9.375 7.375 5.875 6.750 7.000 6.625 9.500 6.625 7.250 [57]

6.875 7.625 5.750 6.750 6.875 8.750 5.750 5.875 6.875 6.625 7.500 6.625

8.875 7.500 [71] 8.000 8.000 6.875 7.250 3.875 7.625 7.500 6.750 6.500

6.875 6.375 7.125 7.375 8.375 [85] 6.000 6.625 4.125 7.250 7.000 6.875

6.750 8.000 7.250 6.875 7.250 6.750 7.750 7.250 [99] 7.000 6.500 6.875

6.625 5.500 6.250 5.750 6.875 6.000 6.625 7.375 8.125 7.375 6.750[113]

8.000 7.000 4.625 7.250 6.250 7.250 5.500 7.375 7.125 7.750 6.875 8.875

7.375 6.625[127] 7.250 5.625 5.625 5.250 6.500 7.625 5.875 8.125 6.625

6.875 5.125 7.375 5.875 4.500[141] 6.875 7.375 6.375 6.750 6.375 8.250

5.750 4.750 4.500 6.250 5.875 6.000 6.625 6.250[155] 5.625 8.250 8.375

5.875 5.250 6.500

Rata-rata resampel banyak akar dengan 120 ulangan untuk setiap hari pengamatan

adalah


> reakar15<-matrix(sample(akar15,6*120,replace=T),120,6)

> meanakar15<-apply(reakar15,1,mean)

> meanakar15

[1]1.333333 3.833333 2.666667 4.333333 3.000000 5.000000 5.166667

4.333333 2.500000 [10] 3.166667 1.666667 1.500000 4.833333 4.333333

3.500000 3.333333 2.666667 2.500000 [19] 3.666667 4.500000 3.333333

2.500000 5.000000 3.666667 4.666667 4.833333 1.833333 [28] 6.333333

2.666667 3.000000 4.500000 1.166667 6.166667 5.000000 4.166667

6.166667 [37] 2.666667 5.000000 4.166667 5.000000 4.500000 3.000000

2.166667 3.333333 6.500000 [46] 2.500000 5.833333 4.166667 3.333333

6.166667 4.000000 3.500000 2.500000 5.166667 [55] 6.500000 5.666667

4.500000 5.500000 2.500000 3.500000 4.000000 3.833333 3.666667 [64]

1.500000 4.166667 3.833333 2.333333 4.666667 6.666667 5.000000

4.000000 4.666667 [73] 2.166667 2.333333 2.833333 5.166667 2.333333

5.000000 5.166667 3.166667 4.000000 [82] 2.000000 4.833333 5.000000

3.000000 3.000000 3.833333 2.166667 4.666667 4.500000 [91] 3.333333

45

1.666667 5.666667 4.000000 4.666667 7.000000 5.500000 2.833333

0.500000[100] 6.500000 2.666667 4.000000 6.000000 3.500000 4.333333

3.000000 3.500000 2.833333[109] 3.833333 4.666667 4.166667 4.166667

1.500000 3.833333 1.833333 4.166667 3.000000[118] 4.333333 2.833333

4.333333




> meanakar20

[1] 8.666667 11.333333 8.500000 8.833333 12.000000 8.500000 8.166667

9.333333 [9] 12.500000 9.000000 11.833333 4.666667 8.500000 6.666667

7.166667 7.000000 [17] 6.000000 11.333333 8.833333 12.333333

11.500000 8.000000 12.166667 10.666667 [25] 6.166667 12.500000

9.833333 10.833333 6.500000 6.166667 6.333333 8.833333 [33] 5.833333

7.833333 6.666667 8.333333 9.000000 11.666667 8.000000 9.833333 [41]

9.000000 7.166667 12.833333 4.166667 11.000000 8.500000 4.666667

12.000000 [49] 8.333333 14.500000 13.166667 5.166667 11.833333

13.333333 8.500000 9.666667 [57] 10.500000 10.000000 6.166667

8.000000 9.666667 8.666667 8.000000 8.333333 [65] 11.333333 7.666667

10.166667 9.500000 13.833333 8.166667 5.666667 10.000000 [73]

11.833333 11.000000 8.833333 7.166667 9.500000 6.000000 8.166667

10.333333 [81] 4.500000 10.000000 9.166667 12.333333 9.833333

4.500000 11.500000 5.833333 [89] 10.333333 12.666667 8.000000

7.666667 8.333333 11.000000 12.166667 10.333333 [97] 3.166667

5.833333 8.833333 5.000000 10.500000 9.833333 11.500000

7.166667[105] 11.000000 12.666667 11.500000 8.333333 7.500000

9.666667 11.333333 11.500000[113] 9.833333 7.166667 7.500000

9.000000 9.666667 11.000000 10.000000 8.666667




46

> meanakar25

[1] 11.166667 11.833333 10.333333 13.500000 12.000000 12.500000

8.666667 13.333333 [9] 11.666667 14.333333 11.666667 13.833333

11.166667 11.666667 13.000000 13.000000 [17] 11.833333 14.000000

14.166667 13.833333 10.166667 11.166667 14.166667 12.166667 [25]

12.333333 14.500000 14.000000 12.000000 13.333333 13.500000 13.333333

13.833333 [33] 12.000000 12.833333 15.000000 14.500000 11.500000

12.500000 15.000000 10.166667 [41] 11.666667 14.166667 12.666667

10.333333 11.166667 12.000000 13.500000 12.833333 [49] 10.333333

10.666667 11.666667 9.666667 11.000000 11.500000 12.500000 12.833333

[57] 10.333333 9.000000 11.666667 14.500000 12.333333 14.666667

11.333333 10.500000 [65] 11.666667 9.833333 13.166667 15.000000

9.333333 11.500000 16.500000 14.166667 [73] 9.833333 11.166667

10.166667 10.500000 12.666667 12.666667 11.500000 13.000000 [81]

13.000000 12.166667 11.500000 13.333333 9.333333 11.166667 10.166667

10.500000 [89] 10.333333 13.833333 15.000000 12.500000 11.166667

10.833333 13.000000 13.833333 [97] 13.000000 12.333333 13.166667

14.500000 11.833333 14.500000 11.333333 12.666667[105] 10.166667

12.000000 13.166667 10.166667 13.833333 11.833333 11.000000

13.833333[113] 12.333333 15.000000 12.333333 12.666667 13.833333

12.166667 13.333333 11.166667




> meanakar30

[1] 13.833333 11.000000 10.333333 11.666667 11.500000 10.833333

12.666667 13.666667 [9] 13.000000 13.000000 11.666667 12.500000

10.500000 11.000000 12.500000 13.000000 [17] 12.000000 11.333333

13.500000 12.166667 11.500000 12.166667 12.000000 12.833333 [25]

13.166667 13.000000 11.833333 10.333333 12.000000 13.000000 12.333333

10.833333 [33] 10.333333 11.333333 12.666667 11.333333 11.333333

47

11.666667 13.000000 11.166667 [41] 10.333333 14.833333 10.833333

11.833333 12.333333 13.166667 13.500000 12.500000 [49] 11.000000

11.166667 13.666667 11.333333 12.166667 11.333333 13.500000 12.833333

[57] 10.666667 11.000000 11.000000 13.333333 12.500000 14.833333

12.333333 12.333333 [65] 14.500000 10.166667 10.000000 10.833333

11.166667 11.833333 10.500000 9.666667 [73] 11.500000 11.166667

13.333333 12.500000 13.666667 10.666667 11.333333 11.500000 [81]

9.833333 11.666667 8.833333 10.166667 9.666667 13.500000 12.833333

10.833333 [89] 13.333333 9.333333 14.833333 11.166667 13.833333

10.333333 11.333333 9.833333 [97] 9.500000 8.333333 12.833333

10.500000 10.500000 12.000000 11.500000 14.833333[105] 11.833333

8.500000 10.166667 12.500000 14.166667 12.000000 10.500000

10.500000[113] 8.833333 11.833333 12.666667 12.166667 9.500000

12.833333 9.000000 12.500000

Lampiran 4. Program Estimasi Fungsi Densitas Histogram dan Kernel

Gaussian

48

> win.graph()

>

hist(meantunas10, ,seq(1,6,0.1842016),prob=T,xlim=c(1,6),ylim=c(0,1),xlab="tun

as",ylab="")

> title("hari ke-10")

> ktunas10 <-

ksmooth(meantunas10,ker="normal",bandwidth=0.3623898,n.points=160)

> plot(ktunas10,type="l",xlab="tunas",ylab="")

> title("hari ke-10")

Lampiran 5. Gambar Tanaman Jarak Pagar

49

Gambar 9. Tanaman Jarak Pagar yang Memperoleh Perlakuan Optimal

50

bab i - sebelas maret university... · web viewdistribusi ini adalah estimator distribusi sampling...

Documents