BAB I

PENGANTAR STATISTIKA

1.1. Pendahuluhan

Seorang siswa pada jurusan bisnis atau ekonomi membutukan pengetauan dasar

dan keterampilan untuk mengatur atau memanajemen, menganalisis dan

mentrasformasi data serta menampilkan dan juga menjelaskan informasi. Statistika

akan sangat membantu siswa untuk dapat membangun dan mengembangkan

kemampuan dalam bisnis dan ekonomi.

Statistika adalah ilmu mengenai pengumpulan, pengaturan, menampilkan dan

menganalisis serta menginterpretasikan data untuk membantu dalam pengambilan

keputusan yang lebih efektif.

1.2. Mangapa penting mempelajari Statistika Ekonomi

Statistika dipelajari hampir pada seluruh jurusan pada Universitas. Hal yang

mendasari banyaknya jurusan yang menyajikan statistika adalah statistika dinataranya

sebai berikut

1. Selalu terdapat informasi numerik dimanapun.

2. Tekik statistik digunakan untuk pengambilan keputusan dari kehidupan sehari-

hari.

3. Pengetahuan akan metode statistik akan membentu kita memahami cara

mengambil keputusan dan memberi pengetahuan risiko dari keputusan tersebut.

Dengan kata lain dengan memami metode statistika akan membantu mengambil

keputusan yang lebih efektif.

1.3. Jenis Statistika

Jenis Statistika terbagi atas:

1. Statistika deskriptif

Statistika deskriptif merupakan metode untuk mengatur, menyimpulkan, dan

menampilkan data dalam bentuk sebuah informasi. Statistika deskriptif ditampilkan

dalam bentuk ditribusi frekwensi, tabel dan grafik.

2. Statistika inferensial

Statistika inferensial merupakan metode yang digunakan untuk mengestimasi nilai

dari populasi berdasarkan sampel. Populasi adalah hipunan dari objek-objek dalam

satu kategori. Sampel adalah bagian dari populasi dalam satu kategori.

Gambar 1.1 Populasi dan Sampel

1.4. Jenis Variabel

Klasifikasi variabel berdasarkan jenisya yaitu

1. Variabel qualitatif

Contoh: brand dari sepeda motor, jenis kelamin, warna rambut, suku di Indonesia

dan lain-lain.

2. Variabel quantitatif

Variabel quantitatif juga diklasifikasi menjadi varibel diskrit dan kontinu.

Contoh varibel diskrit: jumla adak dalam satu keluarga, banyak goal dalam satu

pertandingan bola, masa pakai sebuah batrai dan lain-lain.

Contoh variabel kontinu: pengasilan seluruh karyawan pada suatu perusaaan, nilai

pembayaran pajak pengasilan, berat badan sekumpulan maasiswa pada suatu

universitas, cura ujan pada suatu kota.

1.5. Jenis Data

Terdapat jenis skala pada data statistika yaitu

1. Data nominal

Data nominal bertujuan hanya mebuat klasifikasi pada data. Contoh kategori jenis

kelamin 1= pria 2=wanita, satus perekonomian suatu negara 1=negara miskin

2=negara berkembang 3= negara maju.

2. Data ordinal

Data ordinal menjadikan data berperingkat atau berurutan. Contoh perngkat nilai

pada suatu kelas, tingakat kepuasan pelanggan restoran A, tingkat huruf mutu dari

asil ujian siswa.

3. Data interval

Data interval menujukan perbedaan antara nilai. Contoh suhu udara, ukuran

pakaian dengan penomeran.

4. Data rasio

Data rasio mengandung makna nilai 0 dan rasio antar nilai. Contoh data return on

asset (ROA=laba bersih/total aset). Return saham= harga saham hari ini/ harga sa

harga saham kemarin.

1.6. Soal Latihan

1. Tentukan apakah pertanyaan dibawah termasuk sampel atau populasi, sertakan

alasannya.

a. Statistik merupakan sala satu mata kuliah pada suatu Unsika. Prof Novi

selama 5 tahun terakhir talah memiliki hampir 1500 mahasiswa.

Dapatkah anda menentukan nilai rata-rata hasil ujian MK tersebut.

b. Pada sebuah proyek penelitian, anda membutuhkan laporan rata-rata

profitablitas dari salah satu perusahaan industry selama 10 tahun

terakhir.

2. Untuk pernyataan dibawah ini, tetntukan apakah termasuk kategori sampel atau

populasi, sertakan alasannya

a. Peserta seminar bahaya narkoba.

b. Jumlah kendaraan yang melewati pintu masuk tol Cikarang dalam1

bulan terakhir.

3. Dcv

BAB 2

MENDESKRIPSIKAN DATA

2.1. Tabel Frekwensi, Distribusi Frekwensi dan Grafik

Pada bab 1 sebelumnya, telah dijelaskan bahwa teknik yang dapat digunakan

untuk mendeskripsikan himpunan dari data adalah deskriptif statistik. Tabel

frekwensi, distribusi frekwensi dan grafik merupakan bagian dari deskriptif statistik.

2.1.1. Tabel Frekwensi

Tabel frekwensi merupakan cara penyajian data dalam bentuk kelompok data

sehigga lebih mudah untuk diliat dan diahami. Penyajian ini bertujuan menjadikan

informasikan data menjadi lebih sederhana.

Gambar 2.1 Jumlah penjualan mobil merek A berdasarkan lokasi

2.1.2. Distribusi Frekwensi

Distribusi frekwensi juga peyajian data dalam bentuk tabel. Penyajian data

dibentuk dalam interval agar menyederhanakan informasi. Contoh diberikan

informasi profit dari perusahaan Applewood Auto Group selama 1 bulan terakhir.

Gambar 2.2 Profit Applewood Auto Group 1 bulan terakhir

Informasi gambar 2.2 akandisusun menjadi distribusi frekwensi sebagai berikut.

Gambar 2.3 Contoh tabel ditribusi frekwensi

2.1.3. Grafik

Penyajian data dalam bentuk sederana agar muda dibaca dan dihami tidak hanya

dengan tabel tetapi juga dapat melalu grafik. Grafik menyajian data dapat berupa

diagram batang, diagram lingkaran, diagram batang daun, istogram, pologon dan lain

sebagainya. Berikut akan diberikan contoh histogram dan poligon berdasarkan tabel

distribusi frekwensi pada gambar 2.2.

Gambar 2.4 Contoh histogram

Gambar 2.5 Contoh Poligon

2.2. Ukuran Pemusatan dari Data

Subbab ini akan fokus pada cara perhitungan numerik dalam mendeskripsikan

data yang disebut ukuran pemusatan. Tujuan menentukan ukuran pemusatan adalah

untuk menentukan lokasi pusat dari sekumpulan data.

3.2.1. Rata-rata atau Mean

Mean atau rata-rata terdiri dari 2 jenis yaitu rata-rata populasi dan rata-rata

sampel.

Rata-rata populasi N

X

Rata-rata sampel n

XX

Rata-rata data berkelompok/data interval

n

XfX

ii

dimana

rata-rata populasi

X rata-rata sampel

X data/nilai

X jumlah data pada sampel/ pupulasi

if jumlah frekwensi pada kelas ke-i

iX nilai tengah dari kelas ke-i

N banyak data pada populasi

n banyak data pada sampel

Ciri-ciri dari rata-rata

1. Setiap himpunan data memiliki nilai rata-rata.

2. Semua nilai pada data akan masuk pada rata-rata.

3. Nilai rata-rata pasti tunggal.

4. Jumlah dari penyimpangan data dengan rata-rata adalah nol.

.0)( XX

rata-rata populasi ( ) merupakan sebuah contoh dari parameter. Parameter adalah

sebuah karakteristik dari populasi. Sedangkan, rata-rata sampel ( X ) merupakan sala

satu contoh statistic. Statistik adalah karakteristik dari sampel.

3.2.2. Median

Pada kumpulan data yang memiliki satu atau dua data dengan nilai sangat besar

atau sangat kecil (sering disebut dengan data pencilan), mean atau rata-rata kurang

representatif dalam menjadi ukuran pemusatan. Pusat dari data akan lebih baik jika

dideskrisikan oleh median. Median adalah titik tengah dari data setala data tersebut

diurutkan dari yang terecil hingga yang terbesar, atau sebaliknya. Letak nilai median

untuk data tunggal yaitu data ke dari rumus berikut

2

1

nMe

Untuk data interval nilai median dapat ditentukan melalaui

if

fkn

LMeMe

2

Me Median

n jumlah frekwensi

L Tepi bawa atau batas bawa kelas median

Mefk frekwensi kumulatif sebelum kelas median

f frekwensi kelas median

i range atau panjang kelas

Karakteristik dari median

1. Median tidak akan mendapatkan dampak dari nilai yang terlalu besar atau

terlalu kecil dari data.

2. Median dapat dihitung untuk data ordinal atau yang lebih tinggi.

3.2.3. Modus

Modus merupakan ukuran lain dari ukuran pemusatan. Modus adalah nilai

observasi dari data dengan frekwensi tertinggi. Conto pada observasi sebua merek

sabun various yang ingin mengetaui wangi sabun mana yang paling disukai oleh

pelanggan. Berikut hasil observasi dari beberapa pelanggan yang djadikan sampel.

Hasil observasi dapat diliat pada gambar 2.1.

Gambar 2.1. Jumlah pengguna sabun merek various

Untuk menentukan nilai modus pada data interval yaitu

idd

dLMo

21

1

Mo Modus

L Tepi bawa atau batas bawa kelas modus

1d selisih frekwensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

2d selisih frekwensi kelas modus dengan kelas sesudanya

i range atau panjang kelas

3.2.4. Posisi Relatif dari Mean, Median, dan Modus Data

Berikut beberapa posisi relative dari mean median dan modus pada data.

Gambar 2.2 Mean, Median dan Modus berada pada posisi yang sama

Gambar 2.3 Mean, Median dan Modus berada pada posisi yang berbeda.

Perbadaan dari posisi ketiga ukuran pemusatan ini akan menentukan bentuk

kemirinan dari sebuah data (skewed). Pada gambar 2.2 menunjukan bahwa bentuk

data simetris. Sedangkan gambar 2.3 menunjukan bentuk data yang memiliki

kemiringan positif (gambar kiri) dan kemiringan negative (pada gambar kanan).

2.3. Ukuran Dispersi atau Ukuran Penyebaran

Selain ukuran pemusatan, pada statistika deskriptif dibutukan juga ukuran

penyebaran. Informasi ukuran penyebaran dari data sangat dibutukan untuk

mengetahui penyebaran, selisih atau perbedaan nilai-nilai yang ada pada data dengan

pusat datanya. Selain itu, ukuran penyebaran diperlukan untuk mebandingkan apakah

2 rata-rata data dari 2 kumpulan data yang berbeda memiliki nilai data yang sama?.

Ilustarasi menengenai ukuran penyebaran dapat diliat pada gambar 2.4 dan 2.5.

Gambar 2.4 Jumlah karyawan Ammond 18 taun terakhir

Gambar 2.5 perbandingan jumlah produksi computer harian Boton rouge dan Tucson

Berikut adala ukuran penyebaran yang akan dipelajari pada subbab ini.

2.3.1 Range

Range merupakan ukuran penyebaran yang paling sederana.

Range= data terbesar/tertinggi- data terkecil/terendah.

2.3.2 Deviasi rata-rata (MD)

n

XXMD

2.3.3 Varians dan Deviasi Standar

Varians dari populasi

N

X

2

2)(

Varians dari sampel

1

)( 2

2

n

XXs

Deviasi standar pupulasi

2

Deviasi standar sampel

2ss

Deviasi standar data berkelompok/data interval

1

)( 2

n

XXfs

ii

dimana

2 Varians dari populasi

2s Varians dari sampel

rata-rata populasi

X rata-rata sampel

X data/nilai

if jumlah frekwensi pada kelas

iX nilai tengah dari kelas

N banyak data pada populasi

n banyak data pada sampel

interpretasi dari standar deviasi adala seberapa jau letak seberan ata dari rata-rata atau

pusat data. Penjelasan ini dapat diliat pada gambar 2.6.

Gambar 2.6 Bentuk lonceng dari kurva ubungan data (mean 100 dan standar deviasi

standar 10) dengan observasi

2.4. Ukuran Letak

Cara lain dalam mendeskripsikan variasi atau penyebaran impunan data adala

ukuran letak atau posisi. Ukuran letak yang akan dipelajari pada subbab ini adalah

kuartil, desil, persentil.

Letak data kuartil data tunggal 4

)1(p

nQ p

Nilai kuartil data interval if

fkpn

LQpQ

p

4

Letak data desil data tunggal 10

)1(p

nDp

Nilai desil data interval if

fkpn

LDpD

p

10

Letak data persentil data tunggal 100

)1(p

nPp

Nilai persentil data interval i

f

fkpn

LPpP

p

100

pQ kuartil ke-p

pD desil ke-p

pP persentil ke-p

n jumlah frekwensi

L Tepi bawa atau batas bawa kelas kuartil/desil/persentil

fk frekwensi kumulatif sebelum kelas kuartil/desil/persentil

f frekwensi kelas kuartil/desil/persentil

i range atau panjang kelas

2.5. Skewness

Karakteristik dari himpunan data yang lainnya adalah ukuran bentuk. Ukuran

bentuk dari data disebut dengan skewness. Ada tiga tipe bentuk dari data seperti yang

dapat diliat pada gambar 2.2 dan 2.3. Gambar 2.2 menunjukan bentuk data yang

simetris. Sedangkan gambar 2.3 (kiri) menunjukan bentuk kemiringan kekanan atau

kemiringan positif. Sedangkan gambar 2..3 (kanan) menunjukan bentuk kemiringan

kekiri atau kemiringan negatif.

Gambar 2.7 Bentuk- bentuk skewness

Nilai skewness dapat ditentukan melalui

s

MedianXSK

)(3

2.6. Kurtosis

Selain skewness dibutuhkan ukuran bentuk dari impuanan data yaitu kurtosis.

Kurtosis adalah ukuran keruncingan dari data. Ukurun kerundingan dari suatu data

diukur berdasarkan standar kurtosis pada kurva normal atau kurva sismetri yaitu 3.

Kurtosis untuk data tunggal dapat ditentukan melali rumus berikut.

4

4

4)(1

s

XnK

Sedangkan untuk data kelompok

4

4

4)(1

s

XfnK

ii

4K Kurtosis

rata-rata populasi

X rata-rata sampel

X data/nilai

if jumlah frekwensi pada kelas

iX nilai tengah dari kelas

s deviasi stadar/simpangan baku

n banyak data pada sampel

2.7. Latihan Soal

1. Hitunglah rata-rata data dari sampel berikut: 1;3;7;3,6;4,1;5 dan tunjukan bahwa

0)( XX .

2. Misalkan anda pergi ke toko pakaian dan berbelanja sebesar $61,85 untuk 14

barang. Tentukan berapa rata-rata harga setiap barang.

3. Seorang investor membeli membeli saham PT. A pada bulan juni sebanyak 300

lembar dengan harga perlembar $20. Sedangkan pada bulan agustus harganya

menjadi $25 dan dibeli sebanyak 400 lembar. Pada bulan November membeli

400 lembar dengan harga $23. Berapakah rata-rata harga salam selama 6 bulan

terakhir?

4. Berikut adalah data pendapatan per tahun dari seorang marketing perumaan

mewah selama 11 tahun. Tentukan mean, median dan modus dari data ini.

5. Sebuah perusahaan akuntan publik mengitung nilai pajak pekerjaan dari beberapa

professional seperti dokter gigi, arsitek, pengacara, dan psikolog. Untuk

keperluan tersebut diambil sampe 11 orang professional pada bidang-bidang

tersebut. Berikut hasil nilai pajak dalam 1 taun terakhir.

58 75 31 58 46 64 60 71 45 58 80

Tentukan mean median dan modus dari data pajak tersebut. Jika anda sala satu

akuntan yang mengitung pajak tersebut ukuran pemusatan mana yang anda

rekomendasikan sebagai bentuk ukuran pemusatan dari data pajak tersebut?.

6. Berikut adalah data 50 perusahaan akuntan publik dengan jumlah relasinya.

Tentukan mean dan deviasi standarnya.

Banyak nasabah Frekwensi

20-30 1

30-40 15

40-50 22

50-60 8

60-70 4

7. Berikut adalah hasil ujian Statistika Mahasiswa Manajemen 2a.

Nilai Jumlah Mahasiswa

30-39 2

40-49 5

50-59 7

60-69 13

70-79 15

80-89 5

90-99 3

Tentukan mean, median, modus, range, standar deviasi, kuartil pertama, kuartil ke-2,

kuartil ke-3, desil ke-5, persentil ke-25, persentil ke-50, persentil ke-75, skewnes dan

kurtosis dari data nilai ujian Statistika tersebut.

BAB III

SAMPLING

3.1 Populasi

Populasi adalah wilayah generalisasi yang terdiri atas: objek atau subjek yang

mempunyai kualitas dan karakteristik tertentu yang ditetapkan oleh peneliti untuk

dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya (Sugiyono, 1999). Jadi populasi ukan

hanya orang tetapi juga objek dan benda-benda alam lainnya. Populasi bukan hanya

sekedar jumlah yang ada pada objek yang diteliti, tetapi meliputi seluruh karaktaristik

yang dimiliki oleh subjek/ objek itu. Contoh poulasi dalam arti karakteristik dari

subjek/objek seperti motifasi kerja, dan kepemimpinannya.

3.2 Sampel

Sampel adalah bagian dari jumlah dan karakteristik yang dimiliki oleh populasi

tersebut. Hal- hal yang diteliti dari sampel akan dijadikan ukuran yang diberlakukan

untuk populasi (Sugiyono, 1999). Untuk itu sampel yang diambil dari populasi harus

bear-benar representative (mewakili).

3.3 Teknik Sampling

Teknik sampling merupakan teknik pengambilan sampel/penarikan sampel

(Sugiyono, 1999).

Alasan dilakukan sampling adalah

1. Ukuran popolasi yang terlalu besar.

2. Jika menggunakan populasi sebagai objek penelitian membutuhkan biaya yang

terluli tinggi.

3. Jika menggunakan populasi sebagai objek penelitian membutuhkan bayak waktu.

4. Bentuk penelitian akan merusak.

5. Sampel dianngap memadai dalam menarik kesimpulan untuk mewakili populasi.

Teknik pengambilan sampel secara umum terdiri atas probability sampling dan

non probability sampling.

Probability sampling adalah teknik sampling yang memberikan peluang yang

sama bagi setiap unsur (anggota) populasi untuk dipilih menjadi sampel. Teknik ini

meliputi:

Simpel random saling (pengambilan sampel acak sederhana)

Contoh: berikut beberapa nomor sampel yang akan dipili enjadi sampel.

Systematic sampling (pengambilan sampel acak sistematik)

Sampel acak bertingakat (Stratified random sampling)

Contoh: Berikut jumlah dari populasi perusaan dengan profit tertentu, akan

diambil sampel dari setiap strata profit.

Area (cluster) sampling (sampling menurut daerah)

Contoh: Berikut adala suatu wilaya pada propinsi A. akan diambil sampel

pada tiap kabubaten berdasarkan area. Asil sampel seperti pada daera yang

berwarna.

Non probability sampling adalah teknik pengambilan sampel yang tidak memberi

peluang sama bagi setiap unsur atau anggota populasi untuk dipilih menjadi sampel.

Non probability sampling meliputi:

Sampling kuota

Sampling insidental

Purposive sampling

Sampling jenuh

Snowball sampling

3.4 Ukuran Sampel

Dalam penentuan keputusan tanpa adanya kesalahan penelitian tidak dapat

menggunakan sampel,tetapi harus menggunakan populasi. Jika ingin kesalahan pada

perhitungan sampel sengat kecil maka jumlah sampel harus mendekati populasi.

Jumlah sampel yang tepat digunkan dalam penelitian tergantung pada tingka kesalahn

yang dikehendaki, dimana tingkat kesalahan yang dikehendaki tergantung pada

sumber dana, waktu dan tenaga. Menurut Issac dan Michel, untuk tingkat kesalahan

1%, 5%, 10% rumus untuk menentukan ukuran sampel dari populasi yang diketahui

jumlahnya adalah sebagai berikut:

( )

dimana

s=jumlah sampel

= tingkat kesalahan (1%,5%,10%)

N= populasi

0,5

=0,05

Rumus perhitungan sampel di atas hanya berlaku jika populasi berdistribusi

normal. Jika populasi homogen (data yang diperoleh dari tiap-tiap anggota populasi

menunjukan hasil yang hamper sama) maka perhitungan jumlah sampel tidak perlu

menggunakan rumus cukup dimbil 1% saja dari populasi.

Selain dengan menggunakan rumus Issac dan Michel, terdapat rumus Slovin

dalam menentukan jumlah sampel yaitu:

21 Ne

Nn

dimana

n=jumlah sampel

N=jumlah populasi

E= tingkat kesalahan pengambilan sampel (1%,5%,10%).

3.5 Rancangan Sampling

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam rancangan sampling:

1. Rumusan masalah yang akan diteliti

2. Batas populasi dari rumusan masalah

3. Unit sampling yang diperlukan

4. Cara-cara pengukuran yang akan dilakukan. Skala dan data yang digunakan.

5. Penelitian sejenis terdahulu

6. Ukuran sampel

7. Cara pengumpulan data

8. Metode analisis data

3.6 Kesalahan pada Sampling

Sampel digunakan untuk mengestimasi karakteristik populasi. Sebagai contoh

rata-rata dari sampel dapat mengestimasi rata-rata dari pupulasi. Namun dlam

kenyataannya, menarik kesimpulan penelitian dengan menggunakan sample akan

memungkin terjadi kesalahan. Kesalah yang dimaksud berupa hasil penelitian

menggunakan sampel tidak representative untuk populasi. Representatif yang

dimaksud adalah hasil perhitungan menggunakan sampel diharapkan mendekati nilai

dari hasil perhitungan jika menggunakan populasi sebagai objek. Perbedahaan hasil

perhitungan sampel dengan parameter populasi ini disebut sebagai kesalahan

sampling.

3.7 Uji Validitas dan Reliabilitas Instrumen

Validitas berasal dari kata validity yang mempunyai arti sejauh mana ketepatan

dan kecermatan suatu alat ukur dalam melakukam fungsi ukurannya (Azwar 1986).

Selain itu validitas adalah suatu ukuran yang menunjukkan bahwa variabel yang

diukur memang benar-benar variabel yang hendak diteliti oleh peneliti (Cooper dan

Schindler, dalam Zulganef, 2006).

Sedangkan menurut Sugiharto dan Sitinjak (2006), validitas berhubungan dengan

suatu peubah mengukur apa yang seharusnya diukur. Ghozali (2009) menyatakan

bahwa uji validitas digunakan untuk mengukur sah, atau valid tidaknya suatu

kuesioner. Suatu kuesioner dikatakan valid jika pertanyaan pada kuesioner mampu

untuk mengungkapkan sesuatu yang akan diukur oleh kuesioner tersebut.

Reliabilitas berasal dari kata reliability. Pengertian dari reliability (rliabilitas)

adalah keajegan pengukuran (Walizer, 1987). Sugiharto dan Situnjak (2006)

menyatakan bahwa reliabilitas menunjuk pada suatu pengertian bahwa instrumen

yang digunakan dalam penelitian untuk memperoleh informasi yang digunakan dapat

dipercaya sebagai alat pengumpulan data dan mampu mengungkap informasi yang

sebenarnya dilapangan. Ghozali (2009) menyatakan bahwa reliabilitas adalah alat

untuk mengukur suatu kuesioner yang merupakan indikator dari peubah atau

konstruk. Suatu kuesioner dikatakan reliabel atau handal jika jawaban seseorang

terhadap pernyataan adalah konsisten atau stabil dari waktu ke waktu. Reliabilitas

suatu test merujuk pada derajat stabilitas, konsistensi, daya prediksi, dan akurasi.

Pengukuran yang memiliki reliabilitas yang tinggi adalah pengukuran yang dapat

menghasilkan data yang reliabel.

Tinggi rendahnya reliabilitas, secara empirik ditunjukan oleh suatu angka yang

disebut nilai koefisien reliabilitas. Reliabilitas yang tinggi ditunjukan dengan nilai rxx

mendekati angka 1. Kesepakatan secara umum reliabilitas yang dianggap sudah

cukup memuaskan jika ≥ 0.600.

Pengujian reliabilitas instrumen dengan menggunakan rumus Alpha Cronbach

karena instrumen penelitian ini berbentuk angket dan skala bertingkat. Rumus Alpha

Cronbach sevagai berikut :

2

2

11 11

t

t

n

nr

keterangan :

11r :=reliabilitas yang dicari

n :=jumlah item pertanyaan yang diuji

2

t :=jumlah varians skor tiap-tiap item

2

t := varians total

Jika nilai alpha > 0.6 artinya reliabilitas mencukupi (sufficient reliability)

sementara jika alpha > 0.80 ini mensugestikan seluruh item reliabel dan seluruh tes

secara konsisten memiliki reliabilitas yang kuat. Atau, ada pula yang

memaknakannya sebagai berikut:Jika alpha > 0.90 maka reliabilitas sempurna. Jika

alpha antara 0.70 – 0.90 maka reliabilitas tinggi. Jika alpha 0.50 – 0.70 maka

reliabilitas moderat. Jika alpha < 0.50 maka reliabilitas rendah. Jika alpha rendah,

kemungkinan satu atau beberapa item tidak reliabel.

3.8 Latian Soal

Tentukan populasi, jumlah populasi, sampel, jumlah sampel, dan teknik sampling

yang digunakan pada studi kasus berikut.

Suatu penelitian mengenai Pengaruh Iklan Media Cetak dan Word of Mouth Terhadap

Keputusan Berkunjung Fitness Center (Studi Kasus Pada Helios Fitness Technomart

Karawang diketahui data pengunjung sebagai berikut.

Jumlah Pengunjung Helios Fitness Technomart Karawang

Bulan Jumlah Kunjungan

Mei 155

Juni 113

Juli 113

Agustus 169

September 135

Sumber: Manajemen Helios Fitness

Dalam penelitian ini populasinya adalah pengunjung Helios Fitness pada bulan

Agustus tahun 2016. Teknik penentuan sampel berdasarkan ketentuan bahwa siapa

saja yang secara kebetulan bertemu dengan peneliti dapat digunakan sebagai sampel,

bila telah dipastikan bahwa orang tersebut mengunjungi Helios Fitness.

BAB IV

KONSEP PROBABILITAS

4.1 Pengantar Probabilitas

Probabiltas atau yang sering dikenal sebgai peluang adalah suatu ukuran

mengenai kemungkinan suatu peristiwa yang akan terjadi. Nilai probabilitas berada

pada rentang 0-1. Nilai 0 menyatakan bawa peristwa tidak mungkin terjadi. Contoh:

probabilitas seorabg manusia tidak akan mati. Sedangkan nilai 1 menyatakan peritiwa

itu pasti terjadi. Contoh probabilitas seorang manusia mati.

Bicara probabilitas erat kaitanya dengan eksperimen, keluaran dari peristiwa

(outcome) dan kejadian. Eksperimen atau percobaan merupakan proses yang akan

mengasilkan suatu kejadian dari beberapa kejadian yang mungkin terjadi. Outcome

adala suatu asil dari percobaan. Kejadian adalah kumpulan dari satu atau lebih

outcome.

4.2 Pendekatan Probabilitas

Sebelum mebahas lebih lanjut mengenai probabilitas, kita akan membaas al-al

yang digunakan dalam mengitung probabilitas. Menghitung probabilitas erarti arus

mengetaui rung sampeli kejadian (S). Ruang sampel merupakan impunan dari semua

kemungkinan hasil dari suatu peristiwa dari suatu percobaan. Contoh: bentuk

perubahan harga maka S={inflasi, defasi}, pelemparan 1 buah dadu S={1,2,3,4,5,6}.

Jumlah dari banyaknya anggota ruang sampel disingkat n(S). Jumlah ruang sampel

pada perubahan harga adala 2 atau ditulis n(s)=2 dan pelemparan 1 buah dadu adala

n(s)=6.

Peristiwa atau kejadian yang mungkin terjadi adalah bagian dari ruang sampel.

Peristiwa atau kejadian disimbolkan dengan huruf kaital. Conto pada pelemparan 1

buah dadu kemungkinan muncul mata dadu genap A={2,4,6}. Jumlah dari peristiwa

atau kejadian disimbolkan dengan n(A), n(B), dan seterusnya sesuai simbol huruf

pada peristiwa.

4.3 Menghitung Probabilitas

Probabilitas dapat diitung melaui pendekatan empirik. Peritungan probabilitas

melalui pendekata emprik yaitu

1)(0)(

)()( APdengan

Sn

AnAP

dimana

P(A) adalah probabilitas pada suatu peristiwa A

n(A) adalah banyaknya kejadian A

n(S) banyaknya ruang sampel.

Contoh 4.1: tentukan probabilitas kejadian muncul mata dadu genap pada pelemparan

1 bua dadu.

Sifat- sifat probabilitas

1. Probabilitas memiliki nilai maksimum 1 dan minimum 0, 1)(0 AP .

2. Probabilitas total dari semua peristiwa sama dengan probabilitas ruang sampel

atau dapat ditulis P(S)=1.

3. Jika terdapat 2 peristiwa A dan B, dimana peristiwa A dan B saling lepas maka

P(A atau B)=P(A U B)= P(A)+P(B)

Contoh 4.2: Pada pelemperan 1 bua dadu, A adalah peristiwa muncul mata dadu

genap, B adala adalah peristiwa muncul mata dadu ganjil.tentukanla probabilitas

A atau B.

4. Jika pada Peritiwa A dan B tidak saling lepas sehingga ada irisan antara kedua

peristiwa tersebut maka

P(A atau B)=P(A B)= P(A)+P(B)-P(A B)

Contoh 4.3: Pada pelemperan 1 bua dadu, A adalah peristiwa muncul mata dadu

genap, B adalah adalah peristiwa muncul mata dadu prima. Tentukanla

probabilitas A atau B.

5. Jika terdapat 2 peristiwa A dan B, dimana peristiwa A dan B saling bebas, maka

P(A dan B)=P(A B)= P(A) P(B)

Catatan: P(AB)= P(BA)

Contoh 4.4: Pada pelemperan 1 buah dadu sebanyak 2 kali, A adalah peristiwa

muncul mata dadu genap pada peemparan pertama, B adalah adalah peristiwa

muncul mata dadu ganjil pada pelemparan kedua. Tentukanla probabilitas A dan

B.

6. Jika terdapat 2 peristiwa A dan B, dimana peristiwa B merupakan komplemen

dari peristiwa A atau peristiwa B dapat ditulis sebagai CA , maka

P( CA )= 1-P(A)

Contoh 4.4: Pada pelemperan 1 buah dadu, A adalah peristiwa muncul mata dadu

genap, B adalah adalah peristiwa muncul mata dadu bukan genap (ganjil).

Tentukanlah probabilitas peristiwa B.

4.4 Teorema Bayes

Sebelum membahas teorema Bayes, terlebih dahulu akan dibahas mengenai

probabilitas bersyarat. Probabilitas bersyarat adalah suatu nilai probabilitas dari suatu

peristiwa dimana peristiwa lain telah terjadi lebih dahulu. Misalkan terdapat 2

peritiwa dimana sebelum peristiwa B terjadi, peristiwa A terjadi lebih dahulu. Maka

P(A dan B)=P(A B)= P(A) )( ABP

atau

)(

)()(

AP

BAPABP

namun jika A dan B saling bebas maka

)()( BPABP

Contoh 4.5: Seorang pemain golf memiliki 12 baju golf yang selalu digunakan pada

saat bermain golf. Diantara 12 baju tersebut, 9 diantaranya berwarna putih dan

sisanya berwarna biru. 2 hari kedepan pemain golf tersebut akan bermain dan harus

menggunakan 2 baju berbeda karena ketentuan dari panitia. Tentukan probabilitas

bahwa pemain golf akan mengambil kedua baju berwarna putih.

Konsep dasar dari probilitas bersyarat dikembangkan oleh Thomas Bayes untuk

menentukan probabilitas bersyarat dengan banyak kejadian.

Teorema Bayes Misalakan terdapat peristiwa nBBBB ,....,,, 321 yang merupakan

peristiwa pada ruang sampel S dan diberikan peristiwa A yang terjadi sebelumnya

sebagai syarat maka probabilitas perisriwa nBBBB ,....,,, 321 dengan syarat A adalah

)()(...)()()()(

)()()(

2211 nn

jj

jBPBAPBPBAPBPBAP

BPBAPABP

Contoh 4.6: Diketaui dari hasil penelitian di Indonesia bahwa 5% dari perokok pasif

pasti terkena kangker paru-paru. 90% yang terkena kangker paru-paru melakukan tes

karena mengeluhkan sesak nafas. Sedangkan terdapat 15% orang yang di tes hasilnya

tidak memiliki kangker paru-paru yang berasal dari perokok pasif tetapi mereka

mengeluhkan sesak nafas. Tentukan probabilitas bawa 1 orang Indonesia yang

diambil secara acak dan mengelukan sesak nafas dan kemudian dites terbukti

memiliki kangker paru-paru

4.5 Permutasi dan Kombinasi

Permutasi merupakan pengmbilan r objek dari suatu grup degan n kemungkinan

objek yang tersedia dengan memperatikan urutan. Permutasi dapat diitung melalui

)!(

!

rn

nPrn

Kombinasi merupakan pengmbilan r objek dari suatu grup degan n kemungkinan

objek yang tersedia tanpa memperatikan urutan. Kombinasi dapat diitung melalui

)!(!

!

rnr

nCrn

4.6 Soal Latihan

1. Sebuah sampel diambil dari 40 perusaaan minyak bumi dan gas untuk keperluan

investigasi. Investigasi melibatkan 1 objek pertanyaan yaitu isu kerusakan

lingkungan akibat aktifitas perusaan.

a. Tentukan eksperimen dari kasus di atas

b. Sebutkan 1 kemungkinan kejadian atau peristiwanya.

c. Hasil investigasi 10 dari 40 perusaaan dinyatakan melakukan kerusakan

lingkungan. Berdasarkan hasil ini tentukan probabilitas bahwa sebuah

perusahaan akan melakukan kerusakan lingkungan.

2. Diketahui bahwa probabilitas terjadinya peristiwa A adalah 0,2 dan terjadinya

probabilitas peristiwa B adalah 0,3. Probabilitas terjadinya peristiwa A dan B

adala 0,15. Tentukan probabiltas terjadinya peristiwa A atau B.

3. Sebuah penelitian pada pengasilan 200 perusahaan periklanan setela kena pajak

megasilkan data berikut:

Pengasilan setalah

kena pajak

Jumlah perusahaan

< $ 1 juta 102

$1 juta-$20 juta 61

>$20 juta 37

a. Berakah probabilitas sebuah perusahaan periklanan memiliki pengasilan

setalah kena pajak< $ 1 juta

b. Berakah probabilitas sebuah perusahaan periklanan memiliki pengasilan

setalah kena pajak $1 juta hingga >$20 juta.

4. Pada suatu tempat training perusaaan PT. A, diketaui bawa 80% dari peserta

training adalah wanita 20% pria. 90% dari peserta training wanita diketaui

mengadiri kelas training dan 78% dari peserta pria juga mengadiri kelas training.

a. Jika manajemen training memilih secara acak 1 peserta training, tentukan

probabilitas bahwa yang terambil adalah peserta wanita dan peserta yang adil

pada kelas training.

b. Apakah antara peritiwa berdasarkan jenis kelamin dan keadiran di kelas saling

bebas?

c. Bentuklah diagram pohon untuk menentukan probabilitas bersyarat dan join

probabilitas dari kasus di atas.

d. Apaka total join probabilitas bernilai 1?

5. Toko Karawang elektronik memiliki persediaan LED tv dari beberapa merek.

20% merek tv diisi oleh Samsung, 30% Sony, 25% Tosiba dan 25% LG.

Diketahui dari hasil survey bahwa kerusakan LED tv dari merek Samsung 3%,

sony 4%, Tosiba 7% dan LG 6,5.%.

a. Tentukan total probabilitas kerusakan LED tv yang berada di Toko Karawang

elektronik

b. Tentukan probabilitas menemukan bawa ada 1 LED TV yang rusak di gudang,

tentukan probabilitas bawa yang ditemukan rusak tersebut adalah merek

samsung.

6. Diambil 4 orang dari 10 orang yang akan dijadikan sampel untuk poling

pemilihan kepala daerah. Tentukan berapa banyak grup yang terbentuk dari 4

orang tersebut.

7. Tersedia 15 pertanyaan yang akan digunakan sebagai ujian saringan masuk pada

suatu perusaaan BUMN. Dari pertanyaan tersebut akan diambil 10 pertanyaan

yang akan ditanyakan pada peserta seleksi. Tentukan berapa bayak kemungkinan

bentuk pertanyaan yang terbentuk dari 10 soal tersebut.

BAB V

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT

5.1 Makna Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas adalah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan

kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil. Karaktristik

distribusi probabilitas

1. Nilai probabilitas suatu kejadian berada pada interval 0-1.

2. Jumla dari seluru kejadian akan menghasilkan nilai peluang total yaitu 1.

5.2 Variabel Acak

Variabel acak adalah ukuran atau nilai hasil suatu percobaanyang bersifat acak

dan dapat diasumsikan memiliki nilai yang berbeda-beda. Variabel acak biasanya

disimbolkan dengan huruf capital misalkan (X). Jenis variabel acak yaitu

1. Variabel acak diskrit

Contoh variabel acak diskrit jumlah absensi mahasiwa Unsika pada mata kuliah

Statistika 1={0,1,3,4,…,16}

2. Variabel acak kontinu

Contoh variabel acak kontinu pengasilan total karyawan PT. A={kurang dari 2,5

jt, 2,5-5 juta, besar dari 5 jt}

Gambar 4.1 Jenis probabilitas akibat jenis varibel acaknya

Variabel acak

Variabel acak diskrit akan

membentuk distribusi probabilitas

diskrit

Variabel acak kontibu akan

membentuk distribusi probabilitas

kontinu

5.3 Mean, Varians, dan Deviasi Standar Distribusi Probabilitas Diskrit

Sebelumnya pada bab 2 kita tela mendiskusikan bahwa pada sekumpulan

infirmasi dalam bentuk data al awal yang perlu untuk diketahui adala mengenai pusat

dan penyebaran data. Pusat dan penyebaran data pada umumnya dapat dilihat dari

mean dan variansi. Begitu juga alnya dengan distribusi probabilitas, untuk

mengetahui informasi dasar dari distribusi probabilitas kita perlu menentukan ukuran

dan penyebaran dari distribusi probabilitas tersebut melaui mean dan variansi. Mean,

varians dan deviasi standar/simangan baku dari distribusi probabilitas diskrit atau

dapat disingkat ditribusi diskrit dapat ditentukan melalui

)(][)( XPXXEMean

)()()( 22 XPXVarians

2 STD

dimana

rata-rata hitung atau mean dati distribusi probabilitas

X variabel acak atau nilai kejadian

)(XP probabilias dari kejadian atau probabilitas dari variabel acak

Contoh 5.1: Sebuh sorum penjualan mobil tipe A telah mengembangkan suatu model

penjualan jumlah mobil yang terjual setiap minggunya. Model penjualan ini

diasumsikan mengikuti distribusi probabilitas diskrit. Adapun bentuk pola

distribusinya adalah

Jumlah mobil terjual (dalam 1 minggu)

X

Probabilitas mobil

terjual

P(X)

0 0,10

1 0,20

2 0,30

3 0,30

4 0,10

total 1

Tuntukan mean dan standar deviasi dari penjualan mobil tersebut.

Terdapat banyak jenis distribusi diskrit.

1. Distribusi Uniform (seragam)

2. Distribusi Bernoulli

3. Distribusi Binomial

4. Distribusi Poisson

5. Distribusi Multinomial

6. Distrubisi Hipergeometik

7. Distribusi Geometrik

8. Distribusi Binomial Negatif

Tetapi dalam modul ini, hanya beberapa yang akan dibahas. Pembahasan dapat diliat

pada subbab berikut ini.

5.4 Distribusi Beroulli

Distribusi Bernoulli merupakan hasil dari percobaan yang terdiri dari 1 usaa

dimana menghasikan 2 keluaran (outcome) yaitu sukses dan gagal. Setiap outcome

tersebut masing masing memiliki probabilitas. Sukses probabilitasnya adalah p dan

gagal adalah (1-p=q)

gagal

suksesX

,0

,1

Misalkan X berdistribusi Bernoulli maka ),(~ pXBerX dan nilai probabiltasnya

adalah

.,0

,...2,1,0,)(

1

lainnya

xqpxXP

xx

Selain nilai probabilitasnya, mean dan variansnya juga dapat diitung melalui

pXE X ][

qpXVar X .][ 2

5.5 Distribusi Binomial

Distribusi Binomial merupakan hasil dari percobaan Binomial yang terdiri atas:

a. Sejumlah n usaha yang berulang

b. Setiap usaa mengasilkan outcome sukss dengan peluang p dan gagal dengan

peluang q

c. Peluang sukses tidak beruba dari usaha yang satu keusaha berikutnya

d. Setiap usaha saling bebas.

Misalkan X berdistribusi Binomial maka ),(~ pnBX . Seingga nilai proabilitas,

mean dan varians dari X dapat ditentukan dengan

xnx

xn qpCxXP ..)(

pnXE X .][

qpnXVar X ..][ 2

Contoh 5.2:Terdapat 5 penerbangan dari Jakarta ke Solo dengan maskapai lionair.

Misalkan probabilitas terjadinya keterlambatan penerbangan adalah 0,20. Berapakah

probabilitas tidak terjadi keterlambatan penerbangan hari ini. Berapakah probabilitas

terjadi keterlambatan penerbangan lebih dari 1 kali?.

Perhitungan nilai probabilitas distribusi Binomial tidak hanya dapat dilakukan

dengan rumus yang telah dijelaskan sebelumnya. Selain dengan rumus nilai

probabilitas dapat dilihat pada tabel distribusi Binomial.

5.6 Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik merupakan banyaknya kejadian sukses dalam sampel

acak berukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung S sukses dan N-S

gagal. Kajadian tersebut biasnya disimbolkan dengan X.

Misalkan X berdistribusi hipergeometrik maka S)n,h(N,~X . Sehingga nilai

proabilitas, mean dan varians dari X dapat ditentukan dengan

nN

xnsNxS

C

CCxXP )(

N

SnXE X

][

N

S

N

Sn

N

nNXVar X 1

1][ 2

dimana

N=populasi

S=jumla kejadian sukses

N=jumla sampel

X=0,1,2,…

Contoh 5.3: PT. Novi Inc. memperkerjakan 50 orang karyawan. 40 orang karyawn

diantaranya merupakan karyawan tetap dan sisanya karyawan kontrak. 5 orang

karyawan dipilih secara acak untuk menjadi komite dewan pekerja. Berapaka

probabilitas bahwa 4 dari 5 orang karyawan yang dipilih berasal dari karyawan tetap.

5.7 Distribusi Poison

Distribusi Poisson juga menghasilkan outcome sukses dan gagal. Ciri-ciri

distribusi Poisson:

1. Memiliki n kejadian yang berulang

2. Nilai sampel n besar (n>50)

3. Probabilitas sukses adalah p dan gagal adalah q. nilai probablitas sukses

0,1.

Misalkan X berdistribusi Poisson maka )(~ PoisX . Sehingga nilai

proabilitas, mean dan varians dari X dapat ditentukan dengan

!)(

x

exXP

x

pnXE X .][

pnXVar X .][ 2

dimana

=rata-rata

e=2,71828

x=0,1,2,…

Contoh 5.4: Diperoleh data pada sampel acak dari 1000 penerbangan nasional

terdapat 300 kasus kehilangan tas. Tentukan probabilitas bahwa tidak akan terdapat

keilangan tas pada penerbangan kali ini.

Selain dengan rumus nilai probabilitas dapat dilihat pada tabel distribusi Poisson.

5.8 Latian Soal

1. Tentukan jenis varibel acak berikut, apakah variabel acak diskrit atau kontinu

a. Rentang waktu ynag dibutuhkan untuk memotong rambut seorang pelanggan

pada sebuah salon

b. Banyaknya pasian yang melakukan pemeriksaan pada RSUD Karawang

c. Jumlah pelanggan pada Oak Street Wendy yang menggunakan fasiltas

drive-true

d. Jarak kota bandung dengan seluruh kota/kota kabupaten diseluruh Jabar-

Banten

2. Seorang investor yang berinvestasi pada perusahaan X dijanjikan akan

mendapatkan hasil invesatsi $1000, $2000 dan $5000 pada akhir tahun onvestasi

dengan peluang masing-masing 0,25, 0,60 dan 0,15. Tentukan rata-rata, varians

dan standar deviasi hasil investasi yang mungkin diterima investor.

3. Seorang auditor perusahaan asuransi mencatat bahwa 40% dari pemegang polis

asuransi yang berumur 50 tahun atau lebih melaporkan claim sepanjang tahun.

Sebanyak 15 pemegang polis diambil secara acak untuk melihat laporan.

Tentukan

a. Rata-rata banyak pemegang polis yang melaporkan klaim.

b. Berapakan probabilitas bahwa 10 orang pemegang polis melaporkan

kliam pada akhir tahun.

c. Berapakan probabilitas bahwa lebih besar sama dengan 10 orang

pemegang polis melaporkan kliam pada akhir tahun.

d. Berapakan probabilitas bahwa lebih dari 10 orang pemegang polis

melaporkan kliam pada akhir tahun.

4. Hasil penelitian di USA menunjukan bahwa 7,5% pekerja memiliki masalah

ketergantungan obat penenang. Diambil sampel sebanyak 20 oarang pekerja

untuk diteliti. Tentukan:

a. Berapakah rata-rata dan simpangan baku dari jumah pekerja yang

memiliki masalah ketergantungan obat penenang

b. Berapakah probabilitas bahwa tidak ada pekerja dari sampel yang

ketergantungan obat penenang

c. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit ada 1 orang pekerja dalam

sampel yang ketergantungan obat penenang

5. Firma hukum Hagel berlokasi didaerah Cincinnati. Merka meliliki 7 patner di

Ohio dan 3 patner di Kentucky. Ms Wendy sebagai Manager menginginkan 3

patnernya untuk pindah kantor dari Kentucky. Tentukan Probablitas bahwa

terdapat 1 patner yang pindah dari Kentucky dan probabilitas bahwa minimal 1

patner yang pindah kantor dari Kentucky.

6. The National Aeronautics and Space Administration (NASA) memiliki

pengalaman terhadap 2 kegagalan pada 113 misi kebulan yang pernah dilakukan

sebelumnya. Untuk tahun ini NASA akan kembali melakukan misi yang sama

sejumlah 23 kali. Tentukan peluang terdapat 2 kegagalan pada misi tahun ini.

Tentukan peluang bahwa tidak akan ada misi yang gagal.

BAB VI

DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU

6.1 Pengantar distribusi probabilitas Kontinu

Pembahasan sebeblumnya pada bab 6 kita mengkaji sebuah informasi dimana

data pada variabel acaknya berbentuk bilangan bulat. Bagaimana jika kita

menemukan data bukan dalam bentuk bilangan bulat atau dalam bentuk data

interval?. Informasi data ini tidak dapat diselesaikan dengan distribusi probabilitas

diskrit. Karena data dalam bentuk bialangan interval ataupun bilangan decimal bukan

termasuk dalam kategori variabel acak diskrit tetap merupakan jenis variabel acak

kontinu. Sehingga diperlukan jenis ditribusi khusu untuk menyelesaikan persoalan

data kontinu tersebut. Distribusi itu dinamakan ditribusi probabilitas kontinu. Berikut

akan disajikan beberapa distribusi probabilitas kontinu yang digunakan dalam

meneylesaikan permasalahan Ekonomi.

6.2 Distribusi Normal

Misalkan X berdistribusi Normal maka ),(~ 2NX . Sehingga nilai proabilitas

dapat ditentukan dengan

2

2

2

)(

2

1)(

x

eXP ,

14159,3

718,2

e

x

Karakteristik distribusi normal

1. Bentuk kurva distribusi normal seperti lonceng

2. Memiliki bentuk symetrik dengan mean berada ditengah sebagai sumbu simetri.

3. Ukuran pusat dari dari distribusi normal ditentukan oleh rata-ratanya dan ukuran

penyebaran ditentukan oleh deviasi standar.

Adapun karakteriktik distribusi normal dapat diliat pada gambar 6.1. Seperti yang

telah dijelaskan sebelumnya bahwa bentuk distribusi normal ditentukan dari ukuran

pemusatan dan penyebarannya. Ukuran yang dmaksud adala mean dan dan deviasi

standar. Perbedaan dari nilai mean dan deviasi standar akan menyebabkan perubaan

bentuk kurva normal. Gambar 6.2, gambar 6.4 dan gambar 6.4 berikut akan

memperliatkan perubahankuva normal akibat perubahan men dan deviasi standar.

Gambar 6.1 Karakteristik distribusi Normal

Gambar 6.2 Kurva distribusi normal dengan nilai mean yang sama dan standar

deviasi standar yang berbeda

Gambar 6.3 Kurva distribusi normal dengan mean berbeda dan deviasi standar yang

sama

Gambar 6.4 Kurva distribusi normal dengan mean dan deviasi standar yang berbeda

Luas dibawah kurva normal merupakan probabilitas total yaitu 1, atau dapat ditulis

sebagai P(X)=1.

6.3 Distribusi Normal Baku

Penyelesaian permasalahan distribusi normal sulit dikerjakan jika menggunakan

probabilitas dari distribusi normal tersebut. Sehingga untuk membantu

mempermudah memeberikan solusi pada kasus-kasus distribusi normal dapat

digunakan pendekatan distribusi normal baku atau normal standar.

Misalkan X berdistribusi Normal ),(~ 2NX , maka )1,0(~ NZ merupakan

distribusi normal baku. Perubahan ditribusi normal X menjai normal baku Z adala

perubaan nilai mean ( ) yang mutlak bernilai 0 dan nilai varians( 2 ) yang mutlak

bernilai 1.

Menentukan peluang atau probabiitas pada distribusi normal itu artinya

menentukan peluang dibawa kurva distribusi normal. Nilai probabilitas/peluang dapat

ditentukan memalui tabel distribuis normal standar atau normal baku. Nilai

probabiltas yang dimaksud dalam tabel distribusi normal baku adalah luas daerah

dibawah kurva normal yang lebih kecil dari z tertentu. Biasanya dapat ditulis dengan

)( zZP . Nilai dari z ditentukan. Gambar berikut pemeperlihatkan nilai dari

probabilitas yang lebih kecil sama dengan 1,00 dimana mengikuti distribusi normal.

Dapat ditulis sebagai )00,1( ZP .

Gambar 6.5 )00,1( ZP

Menentukan nilai probabilitas dari gambar 6.5 sama artinya menentukan luas yang

diarsir. Untuk dapat menentukan nilai dari probabilitas tersebut kita dapat melihat

tabel distribusi normal baku atau normal standar. Berikut contoh bagian dari tabel

distribusi normal baku. Untuk lebih legkapnya tabel ditribusi normal baku biasanya

disajikan pada bagian akhir/lampiran atau apendiks buku-buku statistika.

Gambar 6.6 Contoh tabel distribusi normal baku atau normal standar

Menentukan nilai )00,1( ZP kita dapat melihat tabel normal baku. Hal pertama

yang arus diperatikan adalah kolom z. Karena kita ingin menentukan z<1,00 maka

liat nilai 1.0 pada kolom z (baris ke 12) dan 0,00 pada kolom 0,00. Pertemuan antara

keduanya adalah nilai 0,3413, sehingga 3413,0)00,1( ZP . Contoh lainnya,

misalakan kan ditentukan nilai dari )87,0( ZP . Maka liat kolom z yang

menunjukan nilai 0,8 (baris ke 10 kolom pertama). Kemudian karena 0,87 masih

harus melihat angka terair yaitu 0,07. Lihat kolom 0,07 (kolom ke 9). Pertemuan dari

0,8 dan 0,07 adalah nilai 0,3078 jadi 3078,0)87,0( ZP . Bagaimana jika kita ingin

menentukan nilai z sementara nilai probabilitasnya sudah diketahui?. Misalakan ingin

ditentukan nilai z dari 3830,0)( zZP . Maka perlu dilihat nilai 0,3830 pada nilai-

nilai yang terdapat pada tenagah kolom. Setela nilai 0,3830 ditemukan pada pojok

kanan bawah kolom , maka dapat ditentukan z adla nilai pada kolom z dan kolom

atasnya yaitu 1,1 dan 0,09 sehingga 3830,0)( zZP maka z=1,19.

6.4 Penyelesaian Distribusi Normal Melalui Distribusi Normal Baku

Seperti yang dijelaskan pada subbab 6.3, untuk membantu penyelesaian kasus

kasus pada distribusi normal digunakan penyelesaian distribusi normal baku. Adapun

distribusi normal baku Z dapat ditentukan melalui

XZ (6.1)

dimana

nilai rata-rata distribusi normal

nilai standar deviasi distribsi normal

Perubahan nilai distribusi normal menjadi normal baku dapat dilihat dari kurva

dibawah ini.

Gambar 6.7 Transformasi nilai distribusi normal menajadi normal baku

Contoh 6.1: Upah karyawan sebuah industri tahu di karawang diketahui mengikuti

distribusi normal dengan rata-rata upah adalah $1000 dan deviasi standar $100

perbulan. Berapakah probabilitas bahwa seorang karyawan akan mndapatkan upah

kecil dari sama dengan $900?. Berapakah probabilitas seorang karyawan akan

membawa pulang upah antara $900-$1100?. Berapakah proprobabilitas bahwa

seorang karyawan akan mendapat uapah lebih dari $1100.

6.5 Pendekatan Ditribusi Binomial dengan Normal

Sebelumnya pada bab 6 kita telah mempelajari distribusi Binomial sebagai

distribusi probabilitas diskrit. Dalam penentuannya distribusi Binomial jika n

diperbesasr ternyata dapat mendekati bentuk ditribusi probabilitas normal. Sehingga

distribusi binomial dapat diaproksimasi atau didekati melalui distribusi normal.

Gamabaran mengenai hal tersebut dapat dilihat pad gambar 6.8 berikut.

Gambar 6.8 Distribusi binomial dengan n=1, n=3, n=20 dan p=0,5

Pendekatan ditribusi binomial dengan normal ini juga menggunakan rumus (6.1)

pada subbab 6.4 dimana nilai mean dan deviasi standar diperoleh dari

qpn

pn

..

.

6.6 Distribusi Probabilitas Eksponensial

Distribusi probabilitas eksponensial atau sering disebut ditribusi eksponensial

merupakan distribusi yang menggambarkan situasi data yang bersifat kontinu. Contoh

masa pakai dari komponen litrik, waktu antar panggilan pada antrian pendaftaran

ruma sakit, waktu pularitas sebua website dan lain sebagainya. Umumnya distribusi

eksponensial merupakan gambaran mengenai waktu.

Misalkan terdapat peubah acak X yang mengikuti distribusi eksponensial. Maka

)(~ ExpX . Probabilitas mean dan varians dari ditribusi eksponensal dapat

ditentukan melalui

xexXP 1)(

1][ XXE

2

2 1][

XXVar

dimana = rata-rata waktu antar kedatangan dan x = waktu antar kedatangan

Gambar 6.9 Kurva ekponensial dengan berbeda

Contoh 6.2: Rata- rata waktu tunggu mendapatkan obat pada sebauah apotik di Teluk

Jambe adalah 20 menit. Berpakah probabilitas seorang pembeli obat akan

mendapatkan obatnya dalam waktu kurang dari 5 menit, antara 5-40 menit dan lebih

dari 40 menit.

6.7 Latihan Soal

1. Pendapatan karyawan suatu perusahaan perhari berdistribusi normal dengan rata-

rata = Rp 5.850 dan standar deviasi = Rp 1.250.

a. Berapa peluang karyawan yang mempunyai pendapatan antara Rp 4.500,-

sampai Rp 5.600,-

b. Jika diketahui terdapat 100 orang karyawan pada perusahaan tersebut,

tentukan berapa jumlah karyawan yang mempunyai pendapatan antara Rp

4.500,- sampai Rp 5.600,

2. Berdasarkan soal no 1, tentukan pendapatan minimal dari 15,15% kelompok

karyawan dengan pendapatan tertinggi.

3. Disuatu perusahaan perakitan mesin diberlakukan system bonus (insentif) dengan

ketentuan bagi karyawan yang mampu merakit lebih cepat diberi bonus Rp

1.000,- per menit. Apabila waktu perakitan sebuah mesin berdistribusi normal

dengan rata-rata 300 menit dan simpangan baku 40 menit, berapa probabilitas

seorang karyawan yang merakit sebuah mesin akan dapat menerima bonus

sebanyak :

a. Antara Rp 5.000,- sampai dengan Rp 10.000,-

b. Jika diketahuia terdapat 100 orang karyawan pada perusahaan perakitan

mesin, tentukan berapa jumlah karyawan menerima bonus antara Rp 5.000,-

sampai Rp 10.000,