BAB I PENGANTAR

1.1. Paijo Manajer Bisnis

Paijo adalah seorang manajer dalam bidang bisnis jual beli sebuah produk

yang sangat laris laju transaksi penjualannya sangatlah cepat. Sehingga suatu

ketika Paijo memutuskan pembelian produk yang sangat laris ini dengan jumlah

yang sangat besar dengan harapan akan mendapatkan untung yang besar, yang

terjadi kemudian karena suatu perubahan dalam keperluan konsumen akan produk

yang dijual oleh usaha jual beli Paijo, ini terjadilah barang yang terlanjur dibeli ini

tidak laku masih banyak menumpuk di gudangnya. Tentunya hal ini akan sangat

merugikan perusahaannya karena yang

tertanam dalam gudang tidak bisa

menghasilkan apa, malah harus mengeluarkan

biaya ekstra untuk merawat dan menjaga

barang itu jangan sampai rusak. Tentunya hal

ini akan membikin direksi perusahaan ini akan

menegur keras saudara Paijo sebagai manajer yang bertanggung jawab tentang

operasional perusahaan yang dia pimpin. Kesalahan saudara Paijo adalah, dia

langsung beraksi dengan menggunakan sistem yang asli yaitu hanya karena

mengetahui bahwa produk yang laju penjualannya sangat cepat Paijo mengambil

keputusan membeli barang itu dalam jumlah besar, sehingga terjadi overstock

yang merugikan perusahaan kerugian finansial yang terjadi akan sangat besar bila

yang dibeli itu barang yang gambar rusak (atau kedaluarsa). Ada cara yang lebih

baik yang sebetulnya bisa digunakan oleh Paijo untuk mengambil keputusan yang

lebih baik yaitu dengan mencari pola perubahan yang terjadi setiap waktu yang

sangat bersifat dinamis itu bisa dilihat dengan menggunakan simulasi, dimana

Materi yang dibahas: Paijo Manajer Bisnis Pailul dan Bagus Sebagai Komandan Kapal Fasilitas Gawat Darurat di Rumah Sakit Fasilitas Pelayanan Segera Fasiltas Pelayanan dengan Antre Latihan Soal

1

dalam simulasi keadaan dunia nyata yang ditirukan dengan menggunakan

program komputer tanpa menggangu kerja sistem yang asli, sehingga tidak akan

terjadi kerugian finansial. Sebetulnya saudara Paijo lebih baik mempelajari pola

transaksi untuk beberapa periode sehingga hal ini akan bisa memberikan

kesempatan mengambil keputusan yang lebih baik. Untuk itu sangat tepat bila

digunakan simulasi, karena simulasi dalam pengoperasiaanya tidak akan

menganggu operasi system yang asli, simulasi hanya akan berusaha mencoba

mengikuti pola transaksi melalui hitungan di computer saja.

1.2. Pailul dan Bagus Sebagai Komandan Kapal

Cerita lain dari yang di atas, yaitu cerita yang mungkin ada hanya dalam

dunia impian, Pailul adalah seorang komandan kapal yang mempunyai

persenjataan cukup handal dengan anak buah yang cukup trampil dalam

mengoperasikan peralatan kapal, sedang ada orang lain sebut saja Bagus, Bagus

juga sebagai seorang komandan kapal yang

mempunyai peralatan dan anak buah yang seimbang

dengan kapalnya Pailul, mereka ingin mengetahui

mana dari kapal yang mereka miliki beserta anak

buahnya yang lebih baik, mereka berdua ingin mengetahui yang lebih baik di

antara kapal dan anak buahnya, mereka melaksanakan perang, tentunya pembaca

bisa membayangkan keduanya akan berbahaya bisa tenggelam bersma-sama, di

sini yang dilihat adalah mereka mengambil resiko yang sangat besar dengan

mencoba sistem nyata yang ada untuk diadu. Kalau hanya untuk mengetahui mana

yang lebih baik masih ada cara lain yang

lebih aman tanpa harus melaksanakan perang

yaitu dengan menggunakan simulasi dengan

menggunakan simulasi dengan program

komputer mana dari kedua kapal itu lebih baik

akan segera bisa diketahui dengan memasukkan selengkap semua atribut dari

masing-masing kapal dan disimulasikan dalam perang akan bisa dilihat mana

kapal yang akan menang. Jadi kesimpulan kalau hanya ingin mengetahui mana

yang lebih tidak harus mengambil resiko nyawa ataupun fisik. Dalam hal kasus

Pailul dan Bagus, tidak perlu mereka harus perang secara fisik, cukup dengan

membuat program simulasi dengan catatan dalam membuar program simulasinya

2

semua operasional seperti senjata dan sebagainya harus masuk dalam parameter

yang akan menentukan hasil simulasi jadi tidak harus duel yang akan

mengorbankan nyawa anak buah dengan percuma.

1.3. Fasilitas Gawat Darurat di Rumah Sakit

Cerita lain dalam kehidupan sehari-hari

misalnya ada peristiwa kecelakaan yang

mengakibatkan bebebrapa korbannya

mendapatkan luka yang cukup serius dan

memerlukan penanganan segera tentunya harus

dibawa kerumah sakit untuk mendapatkan

pertolongan, tentunya untuk mendapatkan penanganan segera saat ini sudah ada

rumah sakit yang menangani korban kecelakaan yaitu para korban akan segera

mendapatkan pertolongan biar pasien ini tidak terlanjur lukanya makin parah

bahkan bias meninggal karena terlambat memberikan pertolongan. Jadi model

penanangan seperti ini dikatakan penanganan gawat darurat dimana pasien harus

segera ditolong pada saat pasien memerlukan pertolongan, yang penting tidak

harus menunggu untuk mendapatkan pelayanan, jadi dengan kata lain pasien

gawat darurat tidak harus menunggu untuk mendapatkan pelayanan. Dari hasil

simulasi bisa didapatkan misalnya rumah sakit sebaiknya menambah fasilitas

untuk menangani pasien gawat darurat.

1.4. Fasilitas Pelayanan Segera

Sedikit lain dengan pelayanan gawat darurat yang ada pada Rumah Sakit;

dalam kasus kapal yang sedang berlayar bila terjadi kerusakan apa saja yang akan

menganggu kelancaran pelayaran pasti harus

mendapatkan perbaikan segera, biar kapal bisa

berlayar dan selamat sampai ditempat tujuan.

Tentunya dalam hal kasus ini diasumsikan situasi

ideal, di mana selalu ada tersedia Team

Pemeliharaan dan Perbaikan (HARKAN) bila

sebuah peralatan mengalami kerusakan yang memerlukan perbaikan. Terlalu

dalam kegidupan sehari-hari kita mendengar kasus kecelakaan kapal di laut yang

mungkin saja disebabkan karena alat yang sebagai penca indra kapal tidak

3

berfungsi dengan benar. Dalam hal ini tidak ada penudaan perbaikan (Backlog

Demand). Asumsi ini mungkin tepat untuk kasus tertentu, tetapi tidak tepat untuk

kasus lainnya. Kapal sebagai alat transportasi di laut dalam hal keselamatan

pelayaran haruslah mendapatkan perhatian yang serius, terutama dalam

pemeliharaan dan perbaikan semua peralatan di kapal baik untuk mesin

pendorong pokok yang menyebabkan kapal mampu bergerak, maupun alat bantu

lainnya seperti Radio Detection and Ranging (RADAR) dan Sound Navigation

and Ranging (SONAR) merupakan mata dan telinga dari sebuah kapal ini semua

harus berfungasi secara penuh supaya kapal bisa berlalayar dengan aman. Untuk

itu setiap pada kapal akan diberi pertimbangan pelaksanaan “preventiive

maintenance” dikerjakan pada interval waktu yang rutin sesuai dengan saran yang

telah ditetapkan oleh pabrik pembuatan kapal itu sendiri dalam bentuk Planned

Maintenance System (PMS).

1.5. Fasiltas Pelayanan dengan Antre

Pelayanan pada rumah sakit secara umum akan meng-gunakan model siapa

datang duluan akan dilayani duluan (atau sering disebut dengan model pelayanan

FIFO yang merupakan singkatan dari First In firast Out), jadi kalau seorang

pasien yang sakit seperti koreng, panu yang tidak perlu mendapatkan penanganan

segera, kalau datang kerumah sakit untuk mendapatkan penanganan pelayanan

dari dokter bila server atau dokternya sedang menangani seorang pasien, maka

pasien yang datang belakangan ini harus menunggu untuk mendapatkan pelayanan

dari dokter yang akan menangani penyakit apsien ini, jadi dalam hal pelanggan

yang datang belakangan harus menunggu dalam antrean untuk mendapatkan

pelayanan.

Ada empat macam displin pelayanan dalam antrean yaitu:

1. First In First Out (FIFO) yaitu seperti yang telah diutarakan

diatas adalah yang dating pertama akan dilayani pertama. Seperti

contohnya kalau kita beli BBM pasti kita harus antre tidak

mungkin kita saling mendahului

2. Last In First Out (LIFO) yaitu yang dating terakhir akan dilayani paling awal

sebagai contoh yang tepat kalau kita mau beli ke toko

bangunan membeli genteng asbes yang besar yang akan

4

diberikan kepada pelanggan adalah genteng asbes yang paling akhir ditumpuk.

Contoh pelayanan seperti ini adalah bila kita masuk dalam sebuah barisan

untuk nonton sesuatu, yang seperti terlihat pada gambar sebelah orang terakhir

masuk akan keluar pertama kali. Atau kalau kita beli genteng gelombang pada

sebuah took bangunan, pasti yang akan dijual oleh penjualnya adalah yang

ditaruh terakhir.

3. Service In Random Order (SIRO) yaitu pelayanan dilaksanakan secara acak,

tentunya biasanya menggunakan pengaturan dengan

bilangan acak. Model seperti in adalah yang akan

mendapat pelayanan terlaksananya akan acak tidak teratur.

4. Priority (Perioritas) yaitu yang menggunakan perioritas ini semacam

pelayanan yang dikaitkan dengan perioritas dari yang akan mendapatkan

pelayanan. Banyak contoh pelayanan dengan

menggunakan disiplin perioritas, misalnya kita di

Indonesia kalau ada pelajabat mau mendapat pelayanan tertentu biasanya mereka

minta didalukan.

Tentunya masih banyak cerita lain yang berhubungan dengan simulasi selain

beberapa cerita yang telah diutarakan di datas, tapi yang pasti adalah manfaat dari

simulasi adalah para pengguna simulasi bisa meneliti sebuah sistem dunia nyata

dengan simulasi tanpa menganggu sistem yang asli sama sekali, dari penggunaan

simulasi dengan program komputer akan mengurangi kerugian fisik dan finansial

jika kita secara langsung menggunakan operasian sistem yang asli.

1.6 Latihan soal

1. Dari cerita yang telah anda baca di atas apa alasan prinsip kita

mempelajari teknik simulasi, coba beri ulasan dengan cerita sesuai

dengan versi anda sendiri.

2. Simulasi bisa digunakan di bidang apa saja coba beri alasan yang

masuk akal, dengan dasar cerita yang anda baca pada semua cerita yang

ada diatas.

5

BAB II PEMODELAN & SIMULASI

2.1 Model

Dunia nyata sangatlah kompleks banyak hal-hal yang tidak bisa diterangkan

dengan logika biasa. Namun ada cara untuk mendekati dunia nyata itu yaitu

dengan membuat model, dimana model yang kita buat ini bisa dimengerti dengan

mudah, karena parameter yang membentuknya kita kenali (misalnya panjang,

lebar dan tinggi untuk sebuah benda tiga dimensi dan panjang kali lebar untuk dua

dimensi). Misalnya perhatikan Gambar 2.1 lingkaran luar yang ada batas dari

gambaran dunia nyata, maka kalau kita disuruh mencari luas dari dunia nyata ini

tentunya kesulitan maka kita bisa membuat beberapa bentuk gambar yang sudah

kita kenal misalnya dengan menggambarkan di dalam dunia nyata ini bentuk-

bentuk yang kita kenal pada semua bagian dari gambara dunia nyata ini, tentunya

masih akan ada kesalahan karena tidak semua bisa kita gambarkan, namun itu

sudah jauh lebih baik dari pada kita tidak bisa mencari berapa luas gambar yang

kita ingin tahu.

Gambar 2.1. Dunia nyata

6

Materi yang dibahas:

Model Macam-macam Model Konsep Dasar terminology Konsep Sistem Penggunaan Simulasi Istilah Dasar dalam Simulasi Hubungan Sebab Akibat Prosedur memecahkan masalah simulasi Latihan soal

Semua Model

SymbolicPhysical

Iconic Analog Verbal Matematikcal

Di dalam Gambar 2.1 dunia nyata kita gambarkan bentuk-bentuk yang kita

kenal sebanyak mungkin yang melingkupi semua dunia nyata yang ada, sehingga

kalau hanya mau mencari luas dunia nyata yang digambarkan itu, maka cukup kita

menghitung luas gambar yang kita kenal yang berada dalam dunia nyata kita

jumlahkan semua kita kurangi dengan gambar yang ternyata di luar dunia nyata

yang kita gambarkan.

2.2 Macam-macam Model

Begitu kompleksnya dunia nyata ada beberapa model untuk menjelaskannya

yaitu dimulai dengan macam model yang akan dibahas, seperti yang terlihat pada

Gambar 2,2.

Gambar 2.2. Macam Model

Pada prinsipnya model ada dua macam yaitu:

1. Physical: model ini ada dua macam yaitu:

a. Iconic model: kelihatan seperti memperlihatkan kenyataan (pendaratan

dibulan)

b. Analog model: seperti nyata (wind tunnel) untuk test Air Plane.

2. Symboilic model: model ini juga dibagi dua yaitu:

a. Verbal model: dengan kata-kata untuk menyatakan kenyataan

b. Mathematical model: dengan matematika untuk menyatakan kenyataan.

Karakteristik Model matematika:

Model matematika mempunyai bermacam-macam karakteristik dalam hal:

penggunaan (purpose), Mode of Analysis, Treatement of Randomness dan

Generality of Application, bisa dilihat seperti Gambar 2.3.

7

Mathematical model

Purpose Mode Of Analisys

Treatment of Randomnesss

Generalty of Application

Optimation

Description

Analityc Numeric Deterministic

Probabilistic

Ready Built

Custom Built

Gambar 2.3. Model Matematika

Purpose:

Optimation model: adalah model untuk menemukan titik maksimum/

minimum.

Description model: akan menerangkan tingkan laku dari sistem. Model

simulasi adalah contoh baik untuk model descriptif.

Mode of Analysis:

Analytic model: termasu didalamnya penggunaan matematik tradisional

dan statistik untuk melaksanakan analisis.

Numerci model: model numeric sering menggantikan matematik kompleks

dan operasi statistik dengan angka yang sangat besar dari perhitungan

sederhana.

Treatment of Randomness:

Probablistic model: berusaha menguasai alam probabilistic dengan input

probabilistic dan output probalistic.

Deterministic model: memakai harga tunggal untuk variabel-variabel

keluaran harga tunggal.

Generality of Application:

Ready built model: untuk banyak masalah yang jelas tidak bisa dirubah.

Custom built model: untuk satu macam masalah yang unik.

2.3 Konsep Dasar Terminologi

8

Variabel External

Variabel Policy

Variabel Random

Variabel Deterministik

Model Variabel Output

Variable Lagged Output

Ada baiknya untuk mengetahui konsep dasar dan terminologi sebelum

membahas model simulasi yang sebenarnya. Karena beberapa konsep dasar dari

terminolgi ini akan diaplikasikan pada hampir semua model matematika, sedang

simulasi yang akan dibahas adalah simulasi yang didasarai matematika.

Model Matematika: termasuk didalamnya penggunaan simbol-simbol dan

operator=operator yang menyatakan item yang dibahas dan hubungan diantara

item-item yang dibahas. Contoh total ongkos fungsi dari: Fixced Cost,

Variables cost/unit, and output bisa ditulis dengan:

Total cost = f(fixed cost, Var cost/unit, output) dengan simbol:

TC = FC + VC + O

Dengan input FC, VC & O nilai TC bisa diestimasi, semua simbol ini

adalah variabel dengan model accounting.

Variabel Dalam matematika: Variabel dalam model matematika menjadi

sangat bermacam-macam, hal ini disebabkan begitu luasnya penggunaan

matematika seperti pada: ekonometrik, Linear Programming, Aljabar Linear.

Kalkulus, Man Power Planning Model, Keandalan, Inventory, Manajamen

Poroduksi, Material Handling, Graifk dan Jaring Kerja, Search and Detection,

Antrean, Statistik, Analisa Ekonomi, Game Theory, Simulasi dan lain-lain.

Variabel dalam Model Simulasi: NAYLOR dan GATTIS menyarankan

terminologi yang akan sangat berguna, variabel dapat dikatagorikan sebagai:

Variabel ouput, variabel lagged output, variabel external, variabel Policy,

variabel Random dan juga variabel deterministik karena banyak simulasi yang

tidak probabilistik.

Semua variabel diatas terllustrasi pada Gambar 2.4.

Gambar 2.4. Macam variabel yang ada

Variabel output:

9

memberikan hasil yang siap diolah lagi atau infosmasi akhir yang

diperlukan analist/manajer.

Variabel lagged output:

Simulasi-waktu –dinamis variabel lagged output membawa informasi

tentang status dari sistem dari waktu ke waktu

Variabel external:

Yaitu variabel yang mempengaruhi tingkah laku dari sistem misal:

lingkungan, variabel tak terkendali.

Variabel Policy:

Kebijaksanaan misal dalam pembelian mesin, pemasaran, pemilihan

depresiasi, dan lain-lain.

Variabel Random:

Untuk menerangkan tingkah laku sistem perluy menguasai alam

probabilistik dari sisterm.

Variabel Deterministik:

Meskipun kebanyakan sistem probabailistik sering juga ada model

deterministik memberikan informasi yang cukup.

Ada banyak variabel yang digunakan dalam simulasi seperti yang terlihat pada

Tabel 2.1

Tabel 2.1 Variabel yang digunakan dalam simulasiMacam Variabel Nama lain Contoh Produksi Contoh Pemasaran Contoh FinansiilOutput Dependent

EdogenousResponse

Cost of goods soldWork in ProcessInventory

Unit salesMarket share

Net IncomeRetains Earnings

Lagged Output Serially Correlated independent input

Previous Finished Goods Inventory Previous orders Placed

Last Period Promotion Expence& Last Period Market Share

Last Perioed Cash Last Perioed Net Earnings

External Exogenous EnviromentalUncontrollable independen input

StrikesRaw Material Shortage

Product RecallProduction ban

National EconomiInvestment tax credit

Policy DecisionControllable independent input

Equipment selection decisionsOvertime Policy

Pricing decisionPromotion decision

Depreciation Methode Devident Policy

Random ProbabilisticStochastic Independent input

Equipment failrues Spolied rates

Sales returnsSales force turnover

Direct labor expences, selling expences

Deterministic Independent input Machine LifetimeScrappage rates

Resuuply timesBack orders

Raw material expense & Fixed factory overhead

2.4 Konsep Sistem

10

Feed back

Inputs Proses Outputs

Simulasi adalah sebuah model matematika yang menjelaskan tingkah laku

sebuah sistem dalam beberapa waktu dengan mengobservasi tingkah laku dari

sebuah model matematika untuk beberapa waktu seseorang analist bisa

mengambil kesimpulan tentang tingkah laku dari sistem dunia nyata yang

disimulasikan.

Karena simulasi didalamnya dibahas tentang tingkah laku dari sebuah

sistem untuk beberapa waktu, maka perlu mengerti sedikit tentang sistem. Sebuah

sistem bisa dikatakan merupakan sebuah himpunan dari elemen yang saling

berhubungan yang secara keseluruhan berfungsi untuk mencapai sasaran yang

telah ditetapkan.

Gambar 2.5 adalah sebuah contoh sederhana dari sebuah sistem.

Lingkungan

Lingkungan

Gambar 2.5 Sebuah sistem sederhana

Konsep sistem yang baik pasti mengandung umpan balik. Umpan balik

ini akan memantau tingklah laku sistem yang sebenarnya, yang dibuat dan

dibandingkan dengan tingkah laku standard. Bila terjadi deviasi dari standard

informasi ini akan dikrim pada titik tertentu dalam sistem, sehingga sistem akan

beraksi bekerja kearah normal.

Hampir semua sistem tidak akan bisa dibuat secara lengkap. Sistem

berfungsi didalam sebuah lingkungan yang mempengaruhi tingkah laku sistem.

Sebagai contoh permintaan publik terhadap suatu produk memperbaiki organisasi

dari sistem produksi, sebaiknya kualitas dari produk secara pasti mempengaruhi

tingkah laku pelanggan.

Sehingga bisa disimpulkan untuk membuat sebuah sistem terpadu secara

konsepsi sangat sulit. Ada beberapa sebab adanya kesulitan antara lain:

11

1. Hampir semua sistem terdiri dari susbsistem. Sebagai contoh sistem

produksi terdiri dari subsistem bahan baku, subsistem penangnan

material, subsistem pengendalian material, dan susbsistem

pemeliharaan material, kadang-kadang sulit menentukan seberapa

jauh level dari subsistem

2. Hampir semua sistem merupakan susbsistem dari sistem yang lebih

besar. Sebagai contoh sistem produksi hanya merupakan subsistem

dari sistem total organisasi.

3. Sistem cenderung berinterakasi atau operlap dengan sistem yang lain.

Sebagai contoh dalam sebuah organisasi sistem pemasaran

berinterkasi dengan sistem produksi. Sistem Accounting dan sistem

personil operlap dengan sistem produksi, sehingga sering sulit bagi

seorang analist mengisolasi sebuah sistem untuk dianalisa.

4. Perlu ada hubungan dengan lingkungan. Meskipun sebuah sistem

terpadu telah terdefinisi, perlu ada huibungan dengan lingkungan,

sebab hampir semua sistem dipengaruhi oleh lingkungannya. Sebagai

contoh kondisi dari ekonomi nasional, ketersediaan dari tenaga kerja,

dan aksi yang sedang dilaksanakan oleh saingan harus masuk dalam

perhitungan sistem yang dibuat. Sesungguhnya beberapa dari faktor-

faktor yang sangat penting yang mempengaruhi dari lingkungan luar.

2.5 Penggunaan Simulasi

Simulasi sebagai metoda analisa pemecahan masalah digunakan secara luas;

hal ini diketahui sejak tahun 1978 dimana anggota dari TIMS & ORSA (The

Institute of management Science & Operation Research Of America),

melaksanakan penelitian yang kemudian menemukan bahwa simulasi sudah

menempati posisi ranking 3 dari 10 metoda yang diamati , padahal sebelumnya

simulasi hanya dianggap mainan. Kesepuluh metoda tersebut adalah sbb :

Ranking metoda

1. Analisa ekonomi (payback, BEP, PV, FV, dsb)

2. Analisa statistik (probabilistik, decision theory dll)

3. Simulation.

4. Linear programming.

5. Model Inventori.

12

6. Pert CPM.

7. Programming yang lain seperti (integer, goal, dynamic programming dll)

8. Search and detection tehniques.

9. Model Antrian.

10. Game theory.

Penelitian juga menemukan keluasaan manfaat simulasi sbb :

Keluasaan PersentaseTidak sama sekali 15Kadang-kadang 35Sering 50 100

Dari peneliti juga mencoba hasil dari penggunaan simulasi yang ternyata

diketemukan hasil sbb :

Hasil PersentaseJelek 2Sedang 20Baik 73Tak tentu 5 100

Dalam mata kuliah ini akan diperkenalkan banyak aplikasi dari simulasi

namun harus disadari bahwa model simulasi membutuhkan suatu langkah proses

yang terdefinisi dengan baik seperti berikut :

1. Masalah dan/ atau identifikasi informasi:

Pada langkah ini identifikasi masalah yang ada secara jelas, bila perlu

sampai pada penyebab dari adanya masalah.

2. Kumpulkan Data:

Pada tahap ini kumpulkan semua data-data yang relevan dengan masalah

yang sedang dihadapi.

3. Pembentukan models:

Pada tahap ini dari cari variabel-variabel yang mendukung permasalahan

tentunya pada tahap ini butuh logika yang sangat serius pertama dalam

menentukan variabel penunjang adanya masalah dan membuat hubungan

antar variabel dalam sebuah model matematika, dan diharapkan model

matematikanya tidak hanya satu sebanyak mungkin dengan variabel yang ada.

4. Pemecahan semua model matematika:

13

Dari semua model yang dibuat pada tahap 3, semua dipecahkan dan

analisa sensitivitas atau analisa kepekaan terhadap semua model yang dibuat.

5. Pilih dan Validasi model yang terbaik:

Pada tahap ini laksanakan pemilihan model matematika yang terbaik dan

laksanakan validasi model pada lapangan yang sesungguhnya.

6. Implementasi dan evaluasi model:

Pada tahap ini implementasikan model terpilih untuk mengatasi masalah

untuk beberapa waktu di lapangan dan selanjutnya laksanakan evaluasi, bila

ternyata hasilnya bagus atau cocok di lapangan, maka teruskan ke tahap

berikutnya, bila ternyata hasilnya jelek maka kembali pada pemecahan model

dipilih model lain yang sekiranya cocok untuk pemecahan masalah lapangan..

7. Pengoperasian model:

Pada tahap ini model yang sudah dievaluasi dan ternyata cocok atau sesuai

dengan lapangan, maka model ini dioperasikan sampai batas waktu muncul

masalah lagi, yang bisa terjadi akibat adanya beberapa perubahan mendasar di

luar kemampuan manajer untuk mengatasi dan kalau ini terjadi maka mulai

lagi dari tahap pertama.

MANAGER BISA bekerja secara kerja efektif & efisien

Bila ia mampu : Memanfaatkan dana, sarana dan prasarana tersedia untuk

mencapai tujuan yang telah ditetapkan oleh organisasi sebelumnya.

Sulit ? ya.

Karena tidak tersedianya informasi yang sempurna yang menjadi dasar

untuk manager mengambil keputusan.

Bisa saja informasi didapat dengan trial & error namun biayanya cukup

besar, atau bisa saja menanggung resiko yang cukup besar.

Dengan menggunakan SIMULASI sering bisa didapat informasi yang

cukup memadai melalui simulasi tetapi bisa juga terjadi bahwa simulasi akan

menjadi tidak efisien lagi. Untuk hal yang sangat kompleks yang kadang lebih

efisien diselesaikan dengan STATISTIK.

Di USA T. SIMULASI sebagai tehnik sebagai pemecahan masalah

menempati urutan (1. T. Analisis Ekonomis; 2. T. Statistik; 3. T. Simulasi; 4.T. L.

Prog) Simulasi ?

Simulasi adalah suatu kegiatan dimana seseorang bisa mengambil suatu

kesimpulan tentang tingkah laku dari sebuah sistem tertentu dengan mempelajari

14

tingkah laku dari model terkait yang hubungan sebab & akibatnya serupa dengan

sistem yang orisinil. (Paling sedikit mendekati tingkah laku keadaan aslinya).

Model dalam simulasi ini hanya terkait dengan model abstrak (model

matematik ) tidak termasuk model fisik.

2.6 Istilah Dasar Dalam Simulasi

Sistem: sekumpulan komponen yang saling berinteraksi yang terisolasi Atau

himpunan dari subsistem-subsistem yang bermanfaat untuk mencapai suatu tujuan

yang telah ditetapkan.

Sistem (deterministik&stochastic) ada dua :

Sistem statis: lebih mudah dalam simulasi kejadian acak tidak tergantung

pada waktu.

Sistem dinamis: agak sulit: kejadian acak merupakan kejadian yang

tergantung pada fungsi waktu(misalnya: CPM, PERT, masalah finansiil)

Status/State:

Status sebuah sistem bisa dibayangkan merupakan totalitas semua

karakteristiks terkait yang relevan. Jadi status dari sebuah sistem bisa

ditentukan dengan memberi harga-harga khusus dari setiap atribut.

(Mathematika: S1,S2,..,Sm-1)

State Variable/Variable Status:

Bila setiap atribut yang menentukan status dari sebuah sistem bisa

dikuantitatifkasi, maka sebuah variabel unik bisa digunakan untuk

menyatakan status setiap atribut, variabel ini disebut variabel status.

Untuk medapat variabel status perlu hitungan-hitungan yang untuk ini

perlu harga-harga decision variabel & parameter sistem.

Decision Variable/ Variabel Keputusan:

Variabel yang harga-harga bisa ditentukan olehg analist, harga-harga yang

dipilih mempengaruhi sistem, sehingga variabel status tergantung pada

VARIABEL KEPUTUSAN, variabel status sebagai variabel tergantung

dan variabel keputusan sebagai variabel bebas.

(Mathematika: x1, x2, .., xn X)

Parameter Sistem:

Serupa dengan variabel keputusan. Dalam pengertian bahwa harga-

harganya bisa dispesifikasi secara APRIORI.

15

(Mathematika: c1,c2,..,cn C)

Hubungan variabel status, variabel keputusan dan parameter sistem adalah:

S = f(C,X): dimana f menunjukkan sebuah persamaan khusus atau himpunan

persamaan yang menerangkan tingkah laku sistem yang nyata.

2.7 Hubungan Sebab Akibat

Untuk sebuah sitem tertentu hubungan sebab akibat ini secara simbolic ditulis

dengan:

(S,X,C) = 0

Model:

Model dari sebuah sistem bisa ditulis sebagai berikut:

1(S,X,C) = 0

2(S,X,C) = 0

.

.

m(S,X,C) = 0

Kriteria Penampilan Sistem:

Secara matematis kriteria penampilan sistem tergantung pada variabel

status, variabel keputusan, & parameter sistem secara simbolik ditulis:

Y = f(S,X,C)

Kebijaksanaan Operasi:

Pemilihan variabel keputusan mempengaruhi status sistem sebuah

himpunan harga-harga dari variabel keputusan kebijaksanaan operasi bila

himpunan harga-harga ini diubah maka akan didapat kebijaksanaan operasi yang

lain.

Contoh:

Kriteria penampilan sistem:

Perlu dicari mean =

Dengan varian =

16

=1 /n∑i=1

n

YiY

Y

var=1/n∑i=1

n

(Yi−Y )2

Frekuensi Relatif:

fj = nj/n

Frekuensi kumulatif:

Y1 = f1

Y2 = f1 + f2

2.8 Prosedur memecahkan masalah simulasi

Di depan telah diterangkan bahwa untuk mepelajari dunia nyata kita perlu

membangun sebuah model yang kita mengerti, dengan langkah sebagai berikut:

1. Observasi dunia nyata yang akan dipelajari, amati proses apa yang ada

dalam dunia nyata yang sedang diamati

2. Laksanakan elaborasi setiap proses yang diamati variabel-variabel apa

saja yang terkait dalam proses ini.

3. Coba amati hubungan dari masing-masing variabel yang diamati dalam

membangun sebuah proses.

4. Buat beberapa model alternative pemecahan masalah dari proses yang

dipelajari.

5. Pecahkan semua model alternative yang telah dibuat.

6. Pilih beberapa model hasil pemecahan yang fisibel

7. Laksanakan analisis sensitifitas terhadap semua pemacahan yang telah

dikerjakan.

8. Pilih model dengan hasil analisis sensitifitas yang terbaik sesuai criteria

yang diperlukan.

9. Kalau pemecahan masalah akan menggunakan model simulasi,

laksanakan sebagai berikut:

a. Kumpulkan data dari semua variabel yang mempengaruhi proses

yang sedang diamati.

b. Laksanakan pendugaan distribusi dari data yang didapatkan

(misalnya distribusi Poisson, Eksponensial, Normal dsb)

c. Setelah teruji data berdistribusi tertentu bangkitkan bilangan acak

sesuai dengan hasil uji statistik yang didapat

17

n=∑j=1

m

nj

d. Namun dalam buku yang dibuat ini hampir semua simulasi yang

dipecahkan tidak menggunakan hasil uji coba data yang didapat,

yang penting dalam memecahkan model simulasi buat penyusun

buku ini adalah para penguna buku mengerti langkah-langkah

pemecahan masalahnya, sedangkan mengenai bilangan acak yang

seharusnya dalam dunia nyata tentunya bisa dibuat semacam sub-

rutin yang sewaktu-waktu bisa digunakan seperti yang akan

dibahas dalam bab VI buku ini.

e. Bangun simulasi dengan model matematika yang sudah dibuat.

f. Laksanakan simulasi sejumlah replikasi tertentu (untuk jumlah

replikasi yang diperlukan dalam simulasi yang sebenarnya akan

sangat tergantung dengan factor error yang masih diterima oleh

peneliti dan juga besar keyakinan yang mau dipakai: sebagai

contoh bila ingin error yang dikehandaki 0(nol) akan diperlukan

replikasi sebesar tak terhingga, begitu juga bila dikehendaki

keyakinan 100% maka akan memerlukan replikasi sejumlah tak

terhingga, sehingga yang umum dipakai adalah error 5 s/d 10 %

dengan derajat keyakinan terletak antara 90 s/d 95%)

g. Setelah selesai menjalankan simulasi buat laporan statistic dari

hasil simulasi seperti nilai rata-rata dan staandar deviasi dan

sebagainya.

2.9 Latihan Soal

1. Buatlah sebuah contoh sistem pendidikan secara lengkap, cari bila

perlu semua variabel yang anda anggap mendukung sistem

pendidikan itu dan coba buat hubungan matematikanya.

2. Buatlah sebuah contoh sistem ekonomi pada keluarga, cari semua

variabel pendukungnya dan untuk selanjutnya buat model

matematikanya.

3. Buatlah sebuah model sistem pengendalian inventori secara umum

pada sebuah perusahan, cari semua variabel pendukungnya dan buat

model matematikanya.

18

BABIII

RANDOM VARIATE DISTRIBUSI UNIFORM

3.1 Distribusi

Sebelum melanjutkan ada baiknya dibahas terlebih dahulu tentang

distribusi data; ada bermacam-macam distribusi yang berhubungan dengan data.

Untuk mengetahui lebih banyak tentang data kalau diketahui data yang ada untuk

pola data yang ada bisa dilihat dari pola datanya ada empat yang terlihat pada

Gambar 3.1.

Dengan keterangan sebagai berikut:

1. Pola data Horisontal sering juga disebut pola data stasioner dimana

data relative berada tidak jauh dari letak titik rata-rata besar data yang

ada.

Distribusi Bilangan Acak Sifat Pembangkit Bilangan Acak Beberapa cara Membangkitkan Bilangan Acak

Materi yang dibahas:

19

2. Pola data musiman data yang berubah-ubah sesuai dengan musim yang

ada misalnya musim hari raya data transaksi yang berhubungan dengan

hari raya akan sangat meningkat tinggi sekali.

3. Pola data siklus adalah data yang secara periodic berubah-ubah dalam

waktu yang relative sama.

4. Pola data kecendrungan adalah data yang berubah-ubah cendrung naik

atau cendrung turun sesuai data yang ada.

Sedang untuk menduga apakah data yang didapat berdistribusi

macam apa, yang perlu dilaksanakan terlebih dahulu adalah dengan

melakasanakan pemetaan data yang ada dikaitkan dengan waktu atau sering

disebut dengan scatter diagram dengan melihat hasil pemataan ini bisa

diduga data yang ada berdistribusi apa.

3.2 Bilangan Acak

Bilangan acak / random banyak dibutuhkan dalam simulasi sehingga untuk

itu perlu tahu bagaimana caranya membangkitkan bilangan acak tersebut dan juga

perlu tahu bagaimana caranya menguji keacakannya. Untuk diketahui pembangkit

bilangan acak yang mana saja tidak ada yang betul-betul acak hal ini sering

disebut sebagai bilangan PSEUDO RANDOM NUMBER. Sehingga untuk

menyatakan sebuah bilangan itu acak maka perlu dilaksanakan pengujian

keacakan. Bilangan acak yang dibahas yang terdistribusi uniform dan terletak

antara interval (0,1).

3. 3 Sifat Pembangkit Bilangan Acak

Sifat-sifat yang dibutuhkan oleh pembangkit bilangan acak adalah:

a. Yang terpenting keacakan sehingga untuk ini perlu pengujian keacakan

b. Periode harus cukup besar

c. Bisa direproduksi kembali

d. Efisien dalam hitungan untuk mendapatkannya

Dalam dunia nyata untuk memenuhi keempat syarat diatas sangat sulit.

3.4 Beberapa Cara Membangkitkan Bilangan Acak

Beberapa cara untuk membangkitkan bilangan acak yaitu:

20

3.4.1 Midle Digit of Square:

Dengan rumus:

ni+1 = {midle digit of ni2}

Contoh coba bangkitkan bilangan acak sebanyak 4 bila diketahui n1 =

25073

Jawab: n1 = 25073

n12 = 628655329

n2 = 86553

n22 = 7491421809

n3 = 14218

n32 = 202151524

n4 = 21515

n42 = 462895225

n5 = 28952

3.4.2 Midle Digit of Square cara lain:

Dengan rumus:

ni+1 = {midle digit of ni*ni-1}

Contoh cari bilangan acak sebanyak dua buah bila diketahui: n1 = 60455

dan n2 = 71287

Jawab:

n1 = 60455

n2 = 71287

n2*n1 = 4309655585

n3 = 96555

n3*n2 = 6883116285

n4 = 31162

3.4.3 Metode Dengan dasar bilangan kongruen:

Kebanyakan pembangkit bilangan acak modern menggunakan dasar

bilangan kongruen.m adalah modulus dikatakan a & b adalah kongruen modulo m

bila (a-b) merupakan perkalian m yaitu bila:

(a-b) = k*m dimana k adalah integer.

21

Pada umumnya hubungan ditulis dengan:

a b(mod m) dimana berarti kongruen

Contoh soal:

Bila harga m = 8 maka pasangan bilangan berikut adalah kongruen modulo 8:

(8,0) karena (8-0) = 1*8 8 0(mod 8)

(11,3) karena (11-8) = 1*8 11 3(mod 8)

(6,-2) karena (6-(-2)) = 1*8 6 -2(mod 8)

(35,3) karena (35-3) = 4*8 3 3(mod 8)

(4,-12) karena (4-(-12))= 2*8 4 -12(mod 8)

(100,140) karena (100-140) = -5*8 100 140(mod 8)

Bila diketahui a b(mod m) dan b c(mod m) maka dari kedua

pernyataan ini bisa disimpulkan bahwa: a c(mod m)

3.4.4 Metode Residur/Sisa:

Untuk integer a, integer r terkecil nonnegatif yang kongruen dengan a(mod

m) disebut sisa modulo m dimana ditulis sebagai berikut:

r a(mod m) , untuk 0 r < m

Setiap harga a mempunyai nilai sisa sendiri-sendiri yang jelas batas

harganya adalah 0 s/d (m-1)

Contoh:

m = 8 tentukan sisa bila a = 13

sisa yang dicari r = 5 karena 5 < 8 dan 5 13(mod 8)

Karena m = 8 maka bisa dicari 8 sisa adalah yang berbeda yaitu:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 & 7.

Contoh lain:

Bangkitkan bilangan acak sebanyak satu siklus dari soal berikut::

a. Rumus Zi = (3Zi-1 + 15)(mod 13) dengan Z0 = 1

b. Rumus Zi = (2Zi-1 + 8)(mod 11) dengan Z0 = 1

Jawab:

a. Soal 1 dengan rumus Rumus Zi = (3Zi-1 + 13)(mod 15) dengan Z0 = 1

1. Z1 = (3*1+15) (mod 13) = 5

2. Z2 = (3*5 +15) (mod 13) = 4

3. Z3 = (3*4 +15) (mod 13) = 1

4. Z4 = (3*1 +15) (mod 13) = 5

22

b. Soal 2 dengan Rumus Zi = (2Zi-1 + 8)(mod 11) dengan Z0 = 1

1. Z1 = (2*1 + 8) (Mod 11) = 10

2. Z2 = (2*10 + 8) (Mod 11) = 6

3. Z3 = (2*6 + 8) (Mod 11) = 9

4. Z4 = (2*9 + 8) (Mod 11) = 4

5. Z5 = (2*4 + 8) (Mod 11) = 5

6. Z6 = (2*5 + 8) (Mod 11) = 7

7. Z7 = (2*7 + 8) (Mod 11) = 0

8. z8 = (2*0 + 8) (mod 11) = 8

9. Z9 = (2*8 + 8) (mod 11)= 2

10. Z10 = (2*2 +8) ( mod 11) = 1

11. Z11 = (2*1 + 8) (mod 11) = 10

3.4.5 Metode Power Residu:

Integer pi terkecil yang kongruen dengan a(mod m), dimana a integer yang

ditentukan dan i adalah pangkat integer positif dengan rumus:

Pi = ai(mod m)

Banyaknya Power residue yang berbeda tergantung pada nilai m dan nilai a.

Contoh tentukan Power Residuenya bila m = 32 & a = 13.

Jawab:

P1 = 13 13 < 32 & 13 131(mod 32)

P2 = 9 9 < 32 & 9 132(mod 32)

P3 = 21 21 < 32 & 21 133(mod 32)

P4 = 17 17 < 32 & 17 134(mod 32)

P5 = 29 29 < 32 & 29 135(mod 32)

P6 = 25 25 < 32 & 25 = 136(mod 32)

P7 = 5 5 < 32 & 5 137(mod 32)

P4 = 1 1 < 32 & 1 138(mod 32)

Bila diteruskan hasil dari p9 s/d p16 akan sama dengan hasil p1 s/d p8

demikian juga seterusnya SETIAP KELIPATAN 8.

3.4.6 Metode Power Residu//Metode Multiplicative Congruen:

Metode ini menggunakan hubungan kongruensial rekursif:

23

ni = a*ni-1(mod m) dimana: nI & ni-1 adalah integer acak dan a

(pengali) & m (modulus) dispesifikasi.

Berikut adalah persamaan untuk mencari bilangan acaknya:

n1 a1no(mod m)

n2 a2no(mod m)

. bilangan acak yang didapat

. terkait dengan Power residue a

ni aino(mod m)

Untuk mendapatkan ni yang acak maka nilai-nilai m, no & a dipilih

sedmikian rupa dengan suatu aturan, salah satu set aturannya adalah sebagai

berikut:

1. m dipilih sebesar mungkin sesuai dengan kemampuan komputer bila

menggunakan komputer. Dengan w bits setiap word:

m 2w-1

2. a dipilih sedemikian rupa sehingga korelasiantara bilangan acak yang

berurutan sekecil mungkin untuk ini ada dua syarat:

a 2w-1

a ± 3(mod 8)

3. no sering disebut seed(bibit) adalah bilangan integer positif ganjil; dengan m

dan a yang sama, dengan no yang berbeda tetap didapat jumlah bilangan acak

yang sama; namun dengan himpunan bilangan acak yang berbeda. Bila diikuti

ke tiga titik diatas akan didapat bilangan acak dengan periode m/4. ni yang

didapat berharga mulai dari 1 sampai dengan (m-1). Sedang untuk

mendapatkan bilangan acak yang terdistribusi secara uniform u1, u2,…, un

dimana 0 < ui < 1, maka bagi saja masing-masing ni dengan m dengan rumus:

ui = ni/m

3.4.7 Metode Mixed Congruential:

Dicari dengan menggunakan rumus: ni a ni-1 + b(mod m) dimana ni dan

ni-1 adalah bilangan acak pendahulu yang diketahui, a,b dan m adalah konstanta

integer.

n1 = a1no + b(mod m)

n2 = a2no + (b(a2-1)/(a-1))(mod m)

.

24

ni = aino + (b(ai-1)/(a-1))(mod m)

Untuk semua ni maka 0 ni < m

Untuk mencari bilangan acak berdistribusi uniform 0 ui < 1 maka

seperti yang sudah diterangkan didepan maka bagi saja ui = ni/m.

Untuk mendalami buat contoh.

Bila diterapkan di komputer maka perlu diperhatikan:

1. Pilih modulus m = 2w-1 dimana w merupakan jumlah bit per words

2. Faktor pengali a memenuhi kondisi:

a 2w/2

a 1(mod 4)

3. Sedang konstanta b dan harga awal no(seed) bisa sembarang bilangan bulat

ganjil yang harganya lebih kecil dari pada m.

Contoh: m = 2048; a = 65, b = 1 dan no = 129

n1 65* 129+1(mod 2048) = 194

u1 = 194/2048 = 0.094727

n2 65* 194+1(mod 2048) = 323

u2 = 327/2048 = 0.157715

n3 65* 323+1(mod 2048) = 516

u3 = 516/2048 = 0.251953

dan seterusnya

n2049 = 194

n2050 = 323

3.4.8 Pebangkit Bilangan Acak dengan Fortran:

Metoda Power residue mudah diimplementasikan pada komputer. Berikut

subprogram FORTRAN untuk membangkitkan bilangan acak berdistribusi

uniform dengan 0 ui < 1 yang didasarkan pada Power residue. Beriku dengan

komputer 32 bit/word

FUNCTION Rand(Kx)If (Kx .GT. 0) Ix = KxIy = 65539*IxIf (Iy .LT.)) Iy = Iy + 2147483647 + 1RAND = float (IY)/2147483647Ix = IyReturnEnd

25

a = 65539

m-1 = 2147483647

Untuk komputer yang tidak sama 32 bit/word maka gunakan

a = 2w/2 + 3

m = 2w-1 –1

Tabel 2.1 adalah konstanta untuk Random Generator dikaitkan dengan

Bit/word dari komputer yang digunakan untuk membangkitkan.

Tabel 2.1 Konstanta untuk Random Generator

Word size(w) Multiplier(a) Modulus dikurangi 1 (m-1)

8 bits 19 127

12 bits 67 2047

16 bits 259 32767

32 bits 65539 2147483647

36 bits 262147 34359738367

64 bits 4294967299 923372036854775807

W (2w/2+3) (2w-1)

3.4.9 Pembangkit Bilangan Acak dengan Basic:

Hampir sama dengan FORTRAN namun lebih mudah. Dalam Basic

pembangkit bilangan acak merupakan Library FUCTION.

Contoh:

10 RANDOMIZE

50 FOR I = 1 TO 20

60 LET X = INT(50*RND)

70 PRINT X

80 NEXT I

Program di atas akan menghasilkan 20 bilangan acak terdistribusi lebih

besar 0 lebih kecil 50 dengan FUNCTION RND, fungsi ini akan membangkitkan

psedorandom number yang berdistibusi uniform (0,1) tidak menggunakan

argumen tidak ada masalah.

Bila fungsi RND menghasilkan tabel bilangan acak sebagai berikut:

0.2961 0.5047 0.3209 0.6319 0.3855 0.1923 0.3859 0.5306 0.9522 0.1447

0.4674 0.4632 0.7842 0.7081 0.1214 0.8676 0.0587 0.9772 0.3828 0.5906

26

0.3695 0.0387 0.4266 0.9903 0.7509 0.8706 0.9167 0.9710 0.2318 0.7558

0.9420 0.4329 0.4139 0.3473 0.8192 0.9234 0.1423 0.6758 0.2807 0.5874

Maka bila program di atas dijalankan akan menghasilkan bilangan acak diskrit

diatas 0 dibawah 50 sebagai berikut:

X1 = int(50*0.2961) = 14 X2 = int(50*05047) = 25

X3 = int(50*0.3209) = 16 X4 = int(50*06319) = 31

X5 = int(50*0.3855) = 19 X6 = int(50*01923) = 9

X7 = int(50*0.3859) = 19 X8 = int(50*05306) = 26

X9 = int(50*0.9522) = 47 X10 = int(50*01447) = 7

3.4.10 Pembangkit Bilangan Acak yang Lain:

1) Bilangan acak kontinyu

Misal X bilangan acak kontinyu yang berdistribusi uniform pada interval (a,b)

dimana a< b . Dan U adalah bilangan acak distribusi uniform pada interval

(0,1) dari perbandingan sederhana didapat:

((X-a)/(b-a)) = ((U-0)/(1-0)) dari persamaan ini didapat hubungan:

X = a + (b-a)U

Terlihat sangat sederhana membangkitkan X dari U tertentu

dengan a & b yang diketahui.

Berikut contoh FORTRAN dan BASIC untuk membangkitkan

bilangan acak berdistribusi uniform dengan interval (1,7)

X = 1. + 6.*RAND(0)

X = 1 + 6*RND

2) Bilangan acak diskrit

Bila a & b bilangan integer dimana a < b maka akan didapat:

X = a+1, a+2,…,b-1,b

Bila U berdistribusi uniform pada interval (0,1) maka akan didapat hubungan

sebagai berikut:

X = a + int{(b-a+1)U}

Bila 0 U < 1 maka 0 (b-a+1)U (b-a+1) oleh karena itu int{(b-a+1)u}

akan berharga bulat 0, 1,2,…,(b-a) sehingga X akan mempunyai harga

likelyhood: a, a+1,…,b

27

Berikut adalah tabel bilangan acak Uniform U(0,1)0.2961 0.5047 0.3209 0.6319 0.3855 0.1923 0.3859 0.5306 0.9522 0.1447

0.4674 0.4632 0.7842 0.7081 0.1214 0.8676 0.0587 0.9772 0.3828 0.5906

0.3695 0.0387 0.4266 0.9903 0.7509 0.8706 0.9167 0.9710 0.2318 0.7558

0.9420 0.4329 0.4139 0.3473 0.8192 0.9234 0.1423 0.6758 0.2807 0.5874

Contoh Soal

Dengan menggunakan table bilangan acak yang tersedia coba bangkitkan 9

bilangan acak diskrit yang terletak antara 7 s/d 50 dengan menggunakan rumus di

atas pertama gunakan baris 1 setelah itu baru gunakan baris 2 dari table bilangan

acak U(0,1) yang ada.

Jawab:

Rumus X = a + int{(b-a+1)U}

Dari soal yang ada a = 7 dan b = 50

X1 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.2961) = 13X2 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.5047) = 22X3 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.3209) = 14X4 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.6319) = 27X5 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.3855) = 16X6 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.1923) = 8X7 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.3859) = 16X8 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.5306) = 23X9 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.9522) = 41X10 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.1447) = 6X11 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.4674) = 20X12 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.4632) = 20X13 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.4329) = 19X14 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.4139) = 18X15 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.7842) = 34X16 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.7081) = 31X17 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.1214) = 5X18 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.8676) = 38X19 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.0587) = 2X20 = 7 + int((b-a+1)U) = int((7 + (50-7+1)*0.9772) = 42

28

3.4. Latihan Soal

1. Coba bangkitkan 25 buah bilangan acak dengan menggunakan metoda Midle

Digit Of Square dengan bibit No = 27652

2. Coba bangkitan 25 bilangan acak dengan Midle digit of suare yang lain

dengan bibit N1 = 23791 dan N2 = 87345

3. Coba bangkitkan 25 bilangan acak dengan menggunakan metoda kongruen

dengan a = 7, b = 17 dan m = 57.

4. Bangkitkan bilangan acak sebanyak satu siklus dari soal berikut::

a. Rumus Zi = (4Zi-1 + 17)(mod 29) dengan Z0 = 1

b. Rumus Zi = (3Zi-1 + 15)(mod 31) dengan Z0 = 1

c. Rumus Zi = (2Zi-1 + 13)(mod 37) dengan Z0 = 1

5. Coba bangkitkan 25 bilangan acak dengan menggunakan metoda sisa bila a

= 23 dan m = 129.

6. Coba bangkitkan 25 bilangan acak dengan menggunakan metoda power

residu dan diketahui a = 17 dan m = 2047.

7. Coba bangkitkan 25 bilangan acak dengan menggunakan metoda mixed

congruential dengan a = 67, b = 3, m = 2048 dan No = 313

29

BAB IV UJI ACAK DENGAN STATISTIK

Keacakan dari urutan bilangan PSEUDO RANDOM NUMBER sering

perlu diuji. Untuk itu ada beberapa cara untuk mengujinya antara lain dengan:

4.1. Uji dengan Statistik Kai Skuer

Statistik kai squer digunakan untuk menentukan bagaimana sejumlah

observasi bisa dinyatakan dengan distribusi tertentu, dimana setiap observasi

terletak dalam salah satu dari sejumlah k katagori.

Observed number of events sering diberi simbol Oi

Expected Number of events diberi simbol Ei diketahui untuk masing-masing katagori. Dengan rumus:

Sedang untuk pengujiannya gunakan tabel X2 dengan DOF = v = k-1

Tolak bila X2s > X2

t ingat menggunakan kedua atas dan bawah dari tabel statistik

Bahas satu contoh soal.

4.2. Uji Frekuensi

Uji frekuensi merupakan uji statistik termudah untuk bilangan acak, meskipun

sesungguhnya merupakan pengukuran uniformitas bukan keacakan.

Untuk melaksanakan pengujian sejumlah data angka pada uji frekuensi, maka

pertama-tama data yang ada diurut terlebih dahulu, baru kemudian dilaksanakan

pengelompokkan sejumlah k kelompok dengan sub interval yang sama untuk

30

Uji Acak dengan Statistik Uji Frekwensi Uji Celah (Gap test) Increasing and Decreasing Run Test Kolmogorov dan N.V. Smirnov Test Latihan soal

Materi yang dibahas:

X2=∑i=1

k

(Oi−Ei )2 /Ei

semua kelompok. Kemudian jumlah bilangan yang berada pada masing-masing

subinterval ditentukan dan selanjutnya dicari sama seperti pada uji statistik pada

titik 1 diatas. Untuk mencari nilai Statistik dan pengujiannya sama dengan yang

diatas. Untuk memahami boleh satu latihan soal. Misal nilai ujian mata kuliah

tertentu klas.

Prosedur dasar untuk uji frekuensi (dimana pada umumnya untuk data yang

samplenya besar) adalah dengan jalan:

1. Tentukan jumlah kelompok data yang mau diuji dengan rumus aturan

Sturgess:

K = 1 + 3.3 log n; dimana n adalah jumlah sample data yang ada, ini

bukan merupakan hal yang pasti dianjurkan jumlah kelompok yang dipilih

jumlah ganjil yang paling mendekati hasil rumus di atas.

2. Cari selisih data dengan nilai terbesar dikurangi nilai data terkecil, ini

merupakan selisih untuk seluruh data yang terbesar sebut saja D.

3. Jarak interval antara kelompok pasti sama ditentukan dengan membagi

nilai selisih D dengan jumlah kelompok k

d = D/k dimana nilai d ini merupakan jarak antar kelompok.

Contoh Soal:

Berikut adalah data nilai 100 mahasiswa yang mengikuti ujian mata kuliah

TEKSIM.

NO data NO data NO data NO data1 99 26 32 51 25 76 542 26 27 54 52 36 77 523 36 28 52 53 52 78 634 65 29 58 54 42 79 655 96 30 74 55 69 80 96 87 31 75 56 85 81 67 85 32 69 57 25 82 988 45 33 58 58 85 83 989 25 34 52 59 74 84 8510 12 35 63 60 75 85 7811 85 36 69 61 72 86 812 1 37 98 62 70 87 5613 98 38 85 63 71 88 5814 78 39 25 64 73 89 715 85 40 45 65 71 90 6816 85 41 52 66 78 91 917 65 42 96 67 78 92 9818 87 43 96 68 78 93 9819 85 44 85 69 78 94 75

31

20 84 45 78 70 85 95 6921 52 46 85 71 86 96 6522 63 47 74 72 87 97 3223 65 48 75 73 82 98 8524 54 49 76 74 63 99 7725 52 50 85 75 65 100 69

Coba buat gambar distribusi frekuensi dari data ini dengan

menggunakan grafik batang.

Jawab:

Untuk menjawab ini prosedurnya adalah:

1. Hitung k

k = 1 + 3.3 log n

= 1 + 3.3 log 100 hasilnya yang terbaik nilai k nya adalah 7

3. Nilai selisih dari terbesar(99) dengan terkecil(1) D = 99-1= 98

4. Jarak antar kelompok d = 98/7 = 14

5. Setelah itu data dikelompokkan dengan nilai masing-masing kelompok

mempunyai beda sebesar 14. Data yang ada diurut naik untuk mendapatkan

jumlah dari masing-masing kelas, berikut data yang telah diurut naik dan pada

tabel bagian kanan terlihat kelas dan jumlah anggota kelas

Dari data kelas dan jumlah anggota kelas bisa dibuat grafik batangnya

seperti terlihat pada gambar berikut:

no dat no data no data No data

1 1 26 52 51 71 76 85

2 6 27 54 52 71 77 85

3 7 28 54 53 72 78 85

4 8 29 54 54 73 79 85

5 9 30 56 55 74 80 85

6 9 31 58 56 74 81 85

7 12 32 58 57 74 82 85

8 25 33 58 58 75 83 85 Kls Jum

9 25 34 63 59 75 84 85 1 7

10 25 35 63 60 75 85 85 2 5

11 25 36 63 61 75 86 85 3 5

32

12 26 37 63 62 76 87 86 4 16

13 32 38 65 63 77 88 87 5 24

14 32 39 65 64 78 89 87 6 33

15 36 40 65 65 78 90 87 7 10

16 36 41 65 66 78 91 96 100

17 42 42 65 67 78 92 96

18 45 43 65 68 78 93 96

19 45 44 68 69 78 94 98

20 52 45 69 70 78 95 98

21 52 46 69 71 82 96 98

22 52 47 69 72 84 97 98

23 52 48 69 73 85 98 98

24 52 49 69 74 85 99 98

25 52 50 70 75 85 100 99

1 2 3 4 5 6 70

50

Gambar grafik batang

Jumlah

Kelas

Kelas

Jum

lah

4.3. Uji Celah(gap Test)

Uji celah digunakan untuk menguji susunan dari urutan dari digit

pseudorandom. Dalam uji celah ini dihitung jumlah digit yang sama antara

kejadian angka tertentu yang terletak pada digit ke i dan ke i+1

n = jumlah kejadian digit yang sama

d = punya nilai 0,1,…,9

N = jumlah total celah

En = (0.9)n(0.1)N

Celah yang terbesar n banyaknya data digit-2, sedang dijadikan catatan

nilai dari Ei harus dibuat sedikitnya Ei > 5 untuk setiap katagori, bila kurang

33

cukup dengan menambah dengan observasi yang dibawahnya. Sedang untuk

mencari nilai statistik dan pengujiannya sama dengan cara pertama.

Contoh:

Berikut adalah 48 urutan bilangan, coba laksanakan uji celah pada urutan

bilangan tersebut apakah terurut secara acak atau tidak. Dengan menggunakan uji

celah

9,2,3,0,6,0,4,9,7,7,1,0,8,0,7,4,0,6,8,5,2,6,3,2,9,5,3,9,0,3,5,6,2,5,2,6,3,5,8,7,5,6,1,9,

5,4,7,8

Jawab: Untuk menjawab soal pada uji celah ada beberapa tahapan yang harus

dikerjakantahapan tersebut adalah sebagai berikut:

a. Tahap pertama mencari celah masing-masing digit: dari soal diatas

akan didapat hasil seperti dibawah:

d Panjangnya celah (n)0 1,5,1,2,111 312 18,2,8,13 13,3,2,64 8,295 5,4,2,3,2,36 12,3,9,3,57 0,4,24,68 5,19,89 6,16,2,15

Dari tabel celah digit yang didapat, maka bisa dilihat total gap

adalah N = 38 mulai batas 0 sampai dengan 31(untuk diingat bahwa

gap terbesar adalah jumlah data dikurangi 2 atau n = 48-2 = 46).

b. Tahap kedua mencari nilai Expected dan observasi untuk mencari

nilai Expected gunakan rumus: En = (0.9)n(0.1)N dan hasilnya

dimasukkan dalam tabel berikut:

n Oi Ei N Oi Ei0 1 3.80 24 1 0.301 3 3.42 25 0 0.272 6 3.08 26 0 0.253 5 2.77 27 0 0.224 2 2.49 28 0 0.205 4 2.24 29 1 0.186 3 2.02 30 0 0.16

34

7 0 1.82 31 1 0.148 3 1.64 32 0 0.139 1 1.47 33 0 0.1210 0 1.32 34 0 0.1111 1 1.19 35 0 0.1012 1 1.07 36 0 0.0913 0 0.97 37 0 0.0814 0 0.87 38 0 0.0715 1 0.78 39 0 0.0616 1 0.70 40 0 0.0617 0 0.63 41 0 0.0518 1 0.57 42 0 0.0519 2 0.51 43 0 0.0420 0 0.46 44 0 0.0421 0 0.42 45 0 0.0322 0 0.37 46 0 0.0323 0 0.34

c. Tahap ketiga adalah mencari banyaknya kelompok dengan berpatokan

kepada bahwa jumlah setiap katagori Ei > 5. Hasilnya bisa dilihat

pada tabel berikut:

i n Oi Ei1 0-1 4 7.222 2-3 11 5.853 4-6 9 6.754 7-10 4 6.255 11-16 4 5.586 17-46 6 6.08

d. Tahap keempat adalah mencari nilai kai skuer untuk nilainya ditaruh

dalam sebuah tabel seperti berikut:

i Oi Ei (Oi-Ei)2/Ei1 4 7.22 (4 - 7.22)2/7.22=1.442 11 5.85 (11 – 5.85)2/5.85= 4.533 9 6.75 (9 – 6.75)2/6.75= 0.754 4 6.25 (4 – 6.25)2/6.25= 0.815 4 5.58 (4 – 5.58)2/5.58= 0.456 6 6.08 (6 – 6.08)2/6.08= 0.01

Nilai X2 7.99

e. Tahap kelima adalah tahap pengujian. Hasil X2 adalah 7.99 sedang

dari tabel statistik didapat dengan Dof v=5 dan p 5% didapat nilai

35

11.07 nilai tabel lebih besar dari nilai hitungan berarti Hipotesa urutan

angka yang ada adalah acak.

Sedang dengan p = 95% dari tabel didapat 1.1455 dimana nilai ini

lebih kecil dari nilai hasil hitungan berarti memperkuat hasil pengujian

hipotesa bahwa urutan angka adalah acak.

4.4. Increasing and Decreasing Run Test

Sebuah RUN adalah kejadian serupa yang berlanjut, didahului dan diikuti oleh

kejadian yang berbeda. Dalam uji ini angka-angka naik secara berlanjut atau turun

secara berlanjut merupakan sebuah RUN.

Prosedurnya adalah menhitung total angka RUN naik dan total RUN turun,

juga banyaknya runs sepanjang n, dimana n = 1,2,…,dan seterusnya. Angka yang

diobservasi pada runs bisa dibandingkan dengan nilai expektasinya pada runs,

dimana nilai ekspektasi bisa dicari dengan pernyataan sebagai berikut:

1. Jumlah total runs:

Etot =(2N – 1)/3

Dimana N adalah jumlah data pseudorundom number

2. Runs of length n:

En = 2[(n2 + 3n +1)N – (n3 + 3n2 –n –4)]/(n + 3)

Untuk n = 1,2,3,…,N-2

Dan En-1 = 2/N!

Hasil pengujian bisa dilaksanakan dengan pengujian statistik X2.

Contoh soal: Ditentukan bilangan pseudorundomrumber sebanyak 50 coba

laksanakan pengujiannya dengan Increasing dan Dcreasing Runs Test.

Jawab:

Dari data angka yang ada tidak ditulis lagi namun langsung ditaruh dijejer

lima kekanan dengan memberi langsung tanda “+” untuk naik dan “-“ untuk turun

seperti yang terlihat dibawah:

0.928 0.060 0.497 0.710 0.807 - + + + +0.406 0.852 0.632 0.953 0.903- + - + -0.562 0.526 0.358 0.756 0.195- - - + -0.478 0.262 0.318 0.720 0.837+ - + + +

36

0.017 0.513 0.199 0.083 0.335- + - - +0.233 0.035 0.116 0.848 0.432- - + + -0.133 0.451 0.081 0.467 0.249- + - + -0.299 0.575 0.660 0.695 0.380+ + + + -0.979 0.849 0.999 0.892 0.580+ - + - -0.544 0.378 0.872 0.427 0.548- - + - +

Sekarang Increasing dan Dcreasing runs bisa diidentifikasi dengan melihat

urutan dari tanda + dan -. Dari data diatas didapatkan 32 runs yang terdiri dari 16

dengan tanda positif dan 16 dengan tanda negatif. Jumlah runs yang diharapkan

adalah didasarkan atas jumlah data N = 50 didapatkan dari persamaan:

Etot = (2N-1)/3 = (2*50-1)/3 = 33

Hasil dari length of runs n gunakan rumus yang ditulis pada halaman

sebelumnya ditulis pada tabel berikut:

n On En1 23 20.922 4 8.933 2 2.514 3 0.535 0 0.11

Dari hasil tabel diatas ini dibuat kelompok baru sehingga setiap anggota

kelompok mempunyai nilai > 5 dan didapatkan sebagai berikut:

i n Oi Ei1 1 23 20.922 2-49 9 12.08

Dari tabel diatas statistik kai skuernya dihitung dan didapat haslinya

adalah = 0.99.

Dari tabel statistik dengan v = 1 dan p = 5 % didapat X2 3.841, karena nilai

tabel lebih besar dari nilai statistik hitung, maka disimpulkan bahwa psudorandom

number yang ada terurut secara acak. Kesimpulan ini akan lebih terdukung dari

tabel statistik untuk p=95% dan v = 1 didapat nilai statistik = 0.00393.

Untuk diketahui Runs test ini juga bisa digunakan bila diketahui nilai rata-

rata-nya dan yang dilihat adalah nilai yang terletak diatas ataupun dibawah dari

nilai rata-rata.

37

4.5. Kolmogorov dan N.V. Smirnov Test (Lawrenc Lapin, 422)

Pada bagian sebelumnya sudah dibahas tentang pengujian data dengan

menggunakan Chi Square juga run test, yang umumnya sangat berguna dan sangat

signifikan untuk pengujian dengan sample yang besar. Untuk diingat aturan untuk

menggunakan distribusi Chi Square adalah setiap interval mempunyai frekuensi

harapan sedikitnya 5. Kalau tidak n harus cukup besar, hanya klas-klas yang

sering terjadi akan bisa mempertahankan informasinya, sedang untuk klas-klas

harus digabungkan sebelum mencari nilai chi square, dimana dengan cara ini

informasi akan hilang. Untuk data sample yang sangat kecil alternatif test bisa

menggunakan Kolmogorov-Smirnov(K-S) test.

Berikut adalah contoh prosedur pengujian distribusi dengan menggunakan

K-S test.

Contoh 1:

Pada Tabel 3 berikut terdapat daftar rata-2 penundaan Take Off di Bandara El

Paso untuk 11 bulan, yang telah dicari rata-ratanya dan standard deviasi. Untuk

memecahkan masalah K-S test dari data pada tabel 1 maka diperkirakan saja

bahwa data penundaan pada tabel 1 yang didapat berdistribusi Normal dengan

rata-rata = 3 jam dan standard deviasi = 1 jam. Berikut adalah formulasi null

hipotesis terhadap perkiraan diatas.

38

Jawab soal 1:

Ho: penundaan take off berdistri busi normal dengan μ = 3 jam dan σ = 1 jam

H1: penundaan berdistribusi yang lain

X=∑n

X=31. 4 /11=2.85 jam

s=√X2−nX2

n−1 =√107 .02−11 (2.85 )2

n−1 =1 . 33 jam

Untuk mendapatkan nilai test statistik, pertama dicari distribusi frequensi

relatifnya dari sample yang ada, dengan cara pertama urut naik data yang ada

yang nantinya merupakan X (ditaruh pada kolom 1) dari perhitungan yang akan

dikerjakan. Karena merupakan frquensi relatif maka setiap kejadian akan

berpeluang sama yaitu 1/11, dengan catatan frequensi kumulatif relatif selalu ≤

Fa(x). Pada Tabel 4 bisa dilihat untuk X yang pertama Fa(x) akan sama dengan

1/11 = 0.0909 untuk X yang kedua 2/11 = 0.1818 dan untuk yang ke sebelas

mestinya 11/11 = 1.0000, namun dengan aturan frequensi nyata ≤ Fa(x) ditaruh

pada Kolom 2), sehingga hasilnya untuk Fa(x) ke 11 adalah = 0.9999. untuk

perhitnungan secara lengkap periksa Tabel 4. Untuk mencari standard normal Z

dicari dengan rumus Z = (X-μ)/σ dan hasilnya ditaruh pada kolom (3)

No Durasi (jam) X X^21 2.1 4.412 1.9 3.613 3.2 10.244 2.8 7.845 1 1.006 5.1 26.017 0.9 0.818 4.2 17.649 3.9 15.2110 3.6 12.9611 2.7 7.29

31.4 107.02

Tabel 3 Daftar Durasi penundaan Take offpesawat di bandara El Paso

39

Untuk mencari Fe(x) yang hasilnya ditaruh pada kolom (4), menggunakan

tabel C statistik yang tersedia, untuk nilai negatif dari Z luasan lower tail

berhubungan dengan frequensi kumulatif bisa didapatkan dengan mengurangkan

luasan pada tabel C dengan 0.5. Sebagai contoh untuk x = 1.9, z = -1.1 luasan

dibawah kurva pada tabel C adalah 0.3643, sehingga Fe(x) didapat sebagai

berikut:

Fe(x) = 0.5-0.3643 = 0.1357

untuk x = 0..9, z = -2.1 luasan dibawah kurva pada tabel C adalah 0.4821,

sehingga

Fe(x) = 0.5-0.4821 = 0.0179

Dengan jalan yang sama semua Fe(x) dihitung dan hasilnya ditaruh pada

Tabel 2 pada kolom (4). Pada kolom terakhir dari Tabel 2 yang merupakan hasil

didapat dengan mengurangkan nilai pada kolom (2) dengan nilai pada kolom (4)

dan hasilnya ditaruh pada kolom (5). Tahap terakhir dari uji dengan K-S test

adalah memilih nilai pada kolom (5) dengan rumus D = max|Fa(x)-Fe(x)| dari

hasil yang didapat ternyata hasilnya yang terbesar adalah: 0.1795. Hasil ini

kemudian dibandingkan dengan hasil yang ada tabel statistik I dengan α = 0.5 dan

n = 11 dan dalam hal ini didapatkan D.05 = 0.35242 dan hasil ini dibandingkan

dengan hasil perhitunmgan statistik yang didapat yang besarnya 0.1795. Dasi hasil

perhitungan Ho diterima penundaan take off berdistribusi normal dengan μ = 3

jam dan σ = 1 jam.

Contoh soal 2:

40

Waktu Data Tunda

(1) data

terurut

(2) Actual

observ Fa(x)

(3) z = (x-)/

(4) Expec frekumulatif Fe(x)

(5) Deviation = Fa(x)-Fe(x)

1 2.1 0.9 0.0909 -2.1 0.0179 0.07302 1.9 1.0 0.1818 -2.0 0.0228 0.15903 3.2 1.9 0.2727 -1.1 0.1357 0.13704 2.8 2.1 0.3636 -0.9 0.1841 0.17955 1 2.7 0.4545 -0.3 0.4207 0.03386 5.1 2.8 0.5455 -0.2 0.5793 -0.03387 0.9 3.2 0.6364 0.2 0.7257 -0.08938 4.2 3.6 0.7273 0.6 0.8159 -0.08869 3.9 3.9 0.8182 0.9 0.8849 -0.0667

10 3.6 4.2 0.9091 1.2 0.7580 0.151111 2.7 5.1 0.9999 2.1 0.9821 0.0178

Diketahui = 3 dan = 1

D max = 0.1795; = 0.05 n = 15 didapat 0.3542Karena hasil hitung lebih kecil dari hasil tabel terima HoJadi waktu penundaan berdistribusi normal

Didapatkan data produk rata-rata cacat dalam sebulan untuk 15 bulan

pengamatan dengan data sebagai berikut:

Bulan ke

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

15 14 10 16 17 10 16 17 20 18 11 12 13 22 7

Diketahui data berdistribusi normal dengan μ = 14 jam dan σ = 3

Coba diuji data pengamatan selama 15 bulan yang didapat di atas apakah

berdistribusi normal atau tidak dengan α = 0.5.

Jawab soal 2

Berikut adalah formulasi null hipotesis terhadap perkiraan di atas.

Ho: jumlah cacat berdistri busi normal dengan μ = 14 jam dan σ = 3 jam

H1: jumlah cacat berdistribusi yang lain selain normal

Dengan cara yang sama pada cara menjawab pada contoh soal 1, maka

pertama data yang cacat diurut naik, dimana data ini menjadi X dan selanjutnya

dengan prosedur yang sama dicari Fa(x), Fe(x)nya yang selanjutnya dicari nilai

statistik Kolmogorovnya, untuk jawab lengkapnya bisa dilihat pada tabel hasil

perhitungan berikut: ada baiknya sebagai bahan latihan untuk melatih secara rinci

untuk mendapatkan semua nilai-nilai seperti pada contoh soal 1.

4.6 Latihan Soal

1. Coba laksanakan uji frekuensi dengan resiko 5 % terhadap bilangan nilai ujian

dari sebuah mata kuliah: 35, 24, 78, 98, 12, 45, 56, 67, 75, 23, 45, 56, 78, 56,

77, 15, 56, 67, 89, 99, 67, 45, 45, 67, 78, 87, 88, 67, 87, 78, 56, 76, 77, 8, 78,

57, 56, 65, 76, 55, 54, 78, 67, 45, 34, 78, 89, 67, 56, 67, 45, 34, 67, 87, 88, 55,

45, 67, 56, 67, 56, 78.

2. Coba laksanakan uji celah dengan resiko 5 % terhadap angka berikut: 2, 1, 2, 9,

7, 6, 5, 4, 5, 6, 7, 3, 2, 3, 4, 8, 9, 0, 8, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 6, 5, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7,

8, 9, 5, 4, 3, 4, 6, 7, 4, 9, 1, 3, 6, 8, 9, 0, 1, 4, 2, 4, 5, 0, 1, 5, 8, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 4,

9,2,5, 1,8

3. Coba laksanakan run test terhadap bilangan berikut: 23, 45, 56, 78, 56, 77, 15,

56, 67, 89, 99, 67, 45, 45, 67, 78, 87, 88, 67, 87, 78, 56, 76, 77, 8, 78, 57, 56,

41

65, 76, 55, 54, 78, 67, 45, 34, 78, 89, 67, 56, 67, 45, 34, 67, 87, 88, 55, 45, 67,

56, 67, 56, 78, 86,1, 67, 32, 13 ,67 ,78 ,90, 87, 45, 34, 56, 34, 56, 76, 34, 32,

56, 76, 21, 56, 56, 76, 67, 66, 13, 56, 34, 46, 78, 35, 38, 34, 35, 67.

4. Coba gunakan K-S test untuk membuktikan bahwa nilai ujian mata kuliah

TEKSIM yang diikuti oleh 17 mhs pada sebuah klas berdistribusi normal

dengan μ 71 dan σ = 9 dengan α = 5%. Untuk data nilai yang didapat sebagai

berikut: 95, 78, 75, 68, 68, 75, 82, 78, 75, 68, 66, 56, 75, 50, ,65, 70, 72

42