BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

1. Bentuk Pangkat Positif, Negatif Dan Nol 2. Bentuk Akar Dan Pangkat Pecahan 3. Penjumlahan, Pengurangan Dan Perkalian Bentuk Akar 4. Merasionalkan Bentuk Akar 5. Mengubah Bentuk Pangkat Ke Bentuk Logaritma Dan Sebaliknya 6. Menentukan nilai logaritma dengan grafik, tabel dan kalkulator 7. Sifat- Sifat Logaritma Dan Penggunaan Dalam Perhitungan Aljabar.

1

LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi pelajaran : Bentuk pangkat positif, negatif dan nol Kelas/Semester : X / Gasal Waktu : 3 x 45 menit ___________________________________________________________ MATERI : 1. PANGKAT BULAT POSITIF Proses perkalian bilangan berulang dapat ditulis sebagai : 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 35 3 5 disebut bilangan berpangkat disebut bilangan pokok disebut pangkat

Untuk aR, dan n bulat positif maka An = a x a x a x x a Sebanyak n faktor

Latihan 1. 1. Tuliskan perkalian berulang dengan notasi pangkat ! a. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = . b. a x a x a x a = .. c. 3 x 3 x y x y x y = 2. Tuliskan tanpa menggunakan pangkat ! a. (-1)3 b. 4 p3 = . = .

c. 32 + 53 = . d. (2m) 3 = .

2

Sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif 1. Tentukan hasil perkalian bilangan pangkat a. 34 x 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3 = 3+ 4 faktor 5 faktor b. a4 x a 3 = a x x a x a x.. = a x a x x a = a = a + faktor faktor faktor Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas ? am x an = a +

2. Tentukan hasil pembagian bilangan berpangkat : a. 35 = 32 3 x xxx. = 3 .. x 3

35 = 3 = 3 + 32 b. p7 = p5 p7 = p5 pxxx = p p x .. xp p = p-

Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas ? am = a - an 3. Tentukan hasil perpangkatan bilangan berpangkat ! a. (23)2 = 23 x 23 = (2 x x ) x ( 2 x x ) = 2 (23) 2 = 2 = 2 x

3

a2 x a2 x x x (axa) x (axa) x . x.x (axa) b. (a2)5 = = 5 faktor faktor = a x a x a x x x x a = a . faktor

(a2)5 = a = a x Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas? (am)n = a x

4. Tentukan hasil perpangkatan pada perkalian bilangan. a. (4 x 3)3 = (4 x 3) x ( x ) x ( x) = (4 x x ) x (3 x x ) = 4 x 3 b. (a x b)4 = (a x b) x ( x ) x ( x ) x (a x b) = (a x x x ) x (b x x x ) a x b

=

Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas? ( a x b )n = . x

5. Tentukan perpangkatan dari hasil bagi dua bilangan a. (2/3)3 = 2xx 2 (2/3) x (.) x ( ) = = 3 xx 3

b. (a/b) 4

a x x x a = (a/b) x (.) x ( .) x ( .) = = b x xx b

Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas? a n = b a b

4

Dari

hasil nomor 2 (a b) di atas ditemukan sifat-sifat bilangan

berpangkat bulat positif, untuk a,b bilangan real dan m,n bulat positif maka berlaku sifat : 1. am x an= 2. am : an 3. (am)n 4. ( a x b )n 5. ( a/b )n = = . = = .

2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL Perhatikan sifat am : a n = a m n dan definisi bilangan berpangkat : a n = a x a x a x . x a n faktor Perhatikan hasil pembagian bilangan berpangkat 1. dengan menggunakan definisi perpangkatan : a3 axax 1 = = = a5 a x .. x xx ax 2. dengan menggunakan rumus : a3 a5 = (a) - = a 1 1

a3 : a5

1 a

Dari 1 dan 2 didapat Jika m = n maka :

a

n

= a

dan

a = a nn

a. dengan menggunakan rumus a m : a n = a - b. dengan definisi pangkat

= a

am an = = . an

5

Kesimpulan apa yang dapat diambil ? a

= .

Latihan 3. 1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif. a. 2-6 b. 3-5 c. 4/(2)-3 d. a-2. b-3 e. 1/3. a3 . b4 f. 7. p-5. q2 g. a2 . b-3 a-1. b5 h. (2.y-2.z)-4 i. a2 -----2.b-3-2

2. Hitunglah : a. 3 2 b. 1/(52) c. (1/2)-3 d. 3/(22) e. 25 x 5-3 f. 32 x 42 g. (5-1)/2 h. 8 x 42 i. 5-4 x 2-1 j. (0,2) 4

6

LEMBAR KERJA SISWA 2 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi Pelajaran : Bentuk akar dan pangkat pecahan Kelas/Semester : X / Gasal Waktu : 3 x 45 menit

MATERI : 1. PENGERTIAN BENTUK AKAR a. Diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC , panjang sisi AB = 1, BC=1 (lihat gambar) A Dengan menggunakan rumus phitagoras dapat dihitung panjang sisi miring (AC) (AC)2 = (AB) 2 + (BC) 2 = 12 + 12 B panjang sisi AC C dinyatakan = dalam 2 bentuk akar 2 =

1,414213562 ...... (dengan kalkulator) b. Hitung nilai dari suatu pecahan 1/3. 1/3 = 0,333333.. ( dgn kalkulator) Dari kasus kedua di atas dapat dilihat bahwa bentuk pecahan 1/3 dan bentuk akar 2 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berulang. 1/3 = 0,33333. (angka 3 dibelakang koma selalu berulang) 2 = 1,414213562 (tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang). Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal berulang disebut bilangan rasional, bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal berulang disebut bilangan irrasional.

7

Berilah contoh contoh bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan rasional Bilangan irrasional 4 = 2 4 disebut bilangan rasional dan bukan bentuk akar dan 3 bilangan irrasional dan disebut bentuk akar. Jadi bentuk akar merupakan akar dari suatu bilangan riil positif yang hasilnya bukan merupakan bilangan rasional. Latihan 1. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Bilangan 8 9 16 18 25 27 45 50 269 (16/25) Bentuk akar Ya atau Tidak Alasan : .. : .

Perhatikan . 3 = 1,732050808 (tak berulang dan tak terbatas)

2. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR Untuk setiap a,b bilangan bulat positif maka berlaku : a. dinyatakan dalam b. (axb) = a x b bentuk kuadrat a = b a b a 0 , b>0 dengan a atau b harus dapat

Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi aljabar maka bentuk akar dituliskan dalam bentuk akar yang paling sederhana.8

Contoh : Sederhanakan bentuk akar berikut ! 1. 12 = (3x4) = 4 x 3 = 2x3 = 23 2. 8a2 = ( 4 x 2 x a2 x a ) = 4a2 x 2a = 2a2a Latihan 2. Sederhanakan bentuk akar berikut ! 1. 24 5. 20p2 9. 2. 45 6. 125 10. 1/27 3. 12 7. 0,48 11. 50 a2b2 4. 9a3 8. a6.b2.c3 12.

( a.b ) 4

a 2 .b 2

(81r )2

9r

3. MENYATAKAN BILANGAN PANGKAT PECAHAN DALAM BENTUK AKAR DAN SEBALIKNYA Definisi dan sifat-sifat bentuk pangkat pecahan. a. 2 (2) 2 2 21 jadi : 2 = 21/2 = 2a = (2a) 2 = = 22a 22a kedua ruas dipangkatkan gunakan sifat (am)n = a mxn (2 = 21) 1 = 2a a =

Beberapa konsep 1. a 2. 3 3. 7a = a1/2 = a1/3 = a1/ 7n n

4. dan seterusnya dan didapat darin

a

= a1/n = (am)1/n

a = a1/n

maka

am

9

= (a)mx1/ n = (a)m / nn

am = a m/n a 0 , m , n bilangan bulat positif

dengan

Ingat! Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan pangkat bulat positif berlaku juga pada bilangan pangkat pecahan. 1. am x a n 2. am : a n 3. (am) n 4. (a x b) n 5. (a/b) n 6. a-n Contoh : Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya. 1. 3y2 2. 5a.b 3. 3a.4b 4. 122/3 = (y2) 1/ 3 = (y2.1/ 3 ) = y2/ 3 = (a.b) = ax b = ax b = (12 2) = 3 12 = am+n = am-n = amn = an . b n = an / bn = 1 / an

5. 2. a2/ 3. b1/ 3 = 2. .x Latihan 3. I. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat ! 1. 5 5. 76. 67 2. 316 6. 2 -3 3. 5p4 7. 21/a 4. (3xy)5 8. 3x .4x3

II. Ubah bentuk pangkat menjadi bentuk akar ! 1. 71/ 2 2. 122/ 3 3. a-3/ 2 7. 1/710

4. x1/2 . y1/ 2 8. 1/a-3

5. 2.a2 /3.b1/ 3 6. (m2.n2)5/ 3

III. Dengan menggunakan sifat-sifat pada pangkat pecahan sederhanakan operasi-operasi aljabar berikut ! 1. 21/3 x 21/5 2. a2/ 3 : a7/ 3 3. (32/ 3)3/ 4 4. (27)-2/3 5. (2 x 3)3/4 6. (0,25)0,5 + (0,04) 0,5 7. 2x16-1/ 2 + 27 4/ 3 3x16 0 8. (27) -2/ 3 + 5 2/ 3x 51/ 3 9. Jika p = 8 , q = 4 dan r = 9 hitung 3p-1/ 3 q2 r -3/ 2 10. Jika p = 8 dan q = 9 hitung 2p-1/ 2 + q 4/ 3 3p 0

11

LEMBAR KERJA SISWA 3 Mata Pelajaran Uraian Materi Pelajaran : Matematika : Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Bentuk Akar Kelas/Semester : X / Gasal Waktu : 2 x 45 menit ___________________________________________________________ MATERI : 1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR Sifat ! a.b + a.c = ( b + c ) a a.b ac = ( b c ) a 3a + 2b = tidak dapat dijumlahkan karena peubah a dan b tidak sejenis begitu pula dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar. Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangi jika sejenis. Kedua sifat ini berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan bentuk akar. ac + bc = ( a + b ) c ac - bc = ( a b ) c Contoh : 1. 37 + 27 = ( 3 + 2 ) 7 = 5 7 2. 43 - 3 = ( 4 - ) 3 = 3 3. 18 - 8 = (x 2 ) - (x 2) = 2 - 2 = ( - )2 = 4. 75 -25 + 5 = ( - + ) 5 = 5. 2 + 3 - 52 + 23 = (2 - 2) + (3 + 3) = .2 + 3 ( tidak dapat dijumlahkan kenapa? ) Latihan 1. Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut ! a. 53 + 3

12

b. c. d. e.

35 + 55 - 25 63 + 7 - 28 125 - 45 + 20 (9/2) 3 + (1/2) 27

2. PERKALIAN BENTUK AKAR Pada sifat bentuk akar berlaku (a x b) = a x b , dengan a , b 0 Contoh : 1. 2. 3. 2 x 3 = (2x3) = 6 32 x 53 = (3 x 5) (2x3) = 156 8 x 10 = (8x10) = 80 = (16x5) = 16 x 5 = 45

Rumus- rumus aljabar seperti : 1. 2. 3. 4. 5. Contoh : 1.3 (2 + 23)=(3x2) + 3x23 = (3x2) + 2x3x3 = 6 +2.3= 6 6 2. (2 + 1) 2 = (2) 2 + 2x .x1 +12 = + 2 + + + ( rms. 2 ) 3. (3 2) (3 + 2) = (3) 2 22 = . . = (rms 4) a ( b + c ) = a.b + a.c ( a + b ) 2 = a2 + 2 .. + b2 ( a b ) 2 = - 2 . + . (a + b) ( a b) = a2 - b2 (a + b) (c + d) = a.c + + .+ b.d

4. (5+4) (3+2) = 5 x3 +3 + 5 + 4x2 = +... + + 8 (rms.5) Latihan 2. Sederhanakan ! 1. 8 (2 + 3) 2. (3 - 5 )2 3. (32 + 1 ) 2 4. (23 + 2 ) (23 -2)13

5. (2 +3) (2 5) 6. ( 312 2) 2 7. (23 - 46)(22 + 36) 8. 5 (2- 32) 2

14

LEMBAR KERJA SISWA 4 Mata pelajaran : Matematika Uraian Materi Pelajaran : Merasionalkan bentuk akar Kelas/Semester : X / Gasal Waktu : 2 x 45 menit __________________________________________________________ MATERI : A. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK a

b 2 = 1,4142.. jika dihitung dengan menggunakan kalkulator. Bagaimana jika membagi sebuah bilangan dengan 2 ? Contoh :

2 2

=

2 (perhitungan seperti ini sulit jika tidak menggunakan 1,4142 kalkulator)

Untuk memudahkan perhitungan ada cara yang mudah yaitu dengan merasionalkan penyebut, contohnya : 2 2 = 2 2 . 2 2 = 2 2 = 2 2 a b , dengan b> 0 (ingat sifat a x a = a) a b b

Merasionalkan bentuk a b a b x = b b

=

ab = b

Contoh : Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut ! 1). 1 3 2 8 1 x 3 3 3 = 3 3 2 .15

=

2).

2 = x = 8

3.

10 10 10 x . = x = = 22 22 2 . .

Latihan 1. a. 8 2 b. 3 53 c. 52 25 d. 33 12 e. 4 53

c B. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK a b

c DAN a b

Perlu diingat kembali bahwa ( a + b ) ( a b ) = a2 b2 ( a b ) ( a + b) = a2 b2 ( a b ) disebut kawan dari ( a + b ) ( a + b ) disebut kawan dari ( a b ) Hasil kali dari pasangan sekawan selalu menghasilkan bilangan rasional. Perhatikan perkalian dari : ( a + b ) ( a b ) (a + b) (a b ) = a2 - (b) 2 = (a) 2 - (b) 2 = a2 b = ab

Terlihat di atas ( a + b ) sekawan dengan ( a - b ) (a + b ) sekawan dengan (a - b ) Contoh : tentukan sekawan dari 1. 1 + 5 2. 3 8 3. 4 + 7 4. 2 - 6 5. 23 + 1 sekawannya sekawannya sekawannya sekawannya sekawannya 1 - 5 .. .. .. .. berikan alasannya!

16

6. 1 - 53

sekawannya

. . .

7. 36 + 2 sekawannya 8. 25 - 3 sekawannya

Merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa jumlah atau selisih dari dua bilangan adalah dengan mengalikan baik pembilang dan penyebut dengan pasangan bentuk sekawan. Contoh : 1. 10 10 4 + 6 10 ( 4 + 6 ) 10 ( 4 + 6 ) 10 ( 4 + 6 ) = x = = = 4+ 6 4 + 6 4 + 6 (4)2 (6) 2 16 6 10 2. 2 + 5 2 + 5 2 + 5 ( 2 + 5 ) 2 22+ 2x2x5 + (5) 2 = x = = = 2 - 5 2 - 5 2 +5 (2) 2 (5) 2 45 4 + 45 + 5 = -1 3. 9 + 45 = -9 - 45 -1

5 5 . + . 5 ( + .) ( . + .) .. = x = = = 6 + 7 6 + 7 6 - 7 ( ) 2 ( )2 - .. .

4.

3 3 3 2 3 ( - .) 3 ( - ) = x = = = = ... 3 + 2 3 + 2 - ( )2 ( ) 2 - ..

Latihan 2. Rasionalkan bentuk akar di bawah ini. 1. 3 2 + 5 2. 2 3 1 3. 7 5 + 32

17

4.

5 6 - 7

5.

5 5 - 6

6

5 2 5 + 2

p q 7. Hitunglah p + q ; p q ; p x q ; ; jika : q p a. 4 p = dan 3 + 2 1 p = dan 2 + 3 2 p = dan 2+2 9 q = 2 1 q = 2 - 3 -2 q = 2 + 2

b.

c.

18

LEMBAR KERJA SISWA 5 Mata pelajaran Uraian Materi Pelajaran : Matematika : Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya Kelas / semester : X / Gasal Waktu : 2 x 45 menit ___________________________________________________________ MATERI : 1. MENGUBAH BENTUK PANGKAT KE BENTUK LOGARITMA DAN SEBALIKNYA. Pada pembahasan yang lalu, anda diminta untuk menentukan nilai-nilai bilangan berpangkat, misalnya : 22 32 3-1 51/2 = 4 = 9 = 1/3 = 5

Sekarang bagaimana menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui ? 2 = 16 5 = 25 10 = 100 16 = 4 Masalah di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan notasi logaritma 2 = 16 ditulis 5 = 25 ditulis 16= 4 ditulis2

log 16 = . 2 log 16 = 4 karena 24 = 16 log 25 = 5 log 25 = 2 karena 52 = 25 16 log 4 = 16log 4 = karena 161/2 = 45

dari permasalahan tersebut terlihat ada hubungan antara perpangkatan dengan logaritma, yaitu logaritma adalah invers dari perpangkatan.a

log c = b jika dan hanya jika a b = c

a = bilangan pokok dengan syarat a > 0 dan a 1 c = numerus ( bilangan yang dicari logaritmanya ) syarat c > 0 b = hasil logaritma , syarat bias positif atau negatif atau nol19

Contoh : tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat dan sebaliknya. 1. 2. 3. 4. 5. 35 42 5-2 72 51/2 = 234 = 16 = 1/25 = 49 = 5 = = = = = 3 log 234 4 log 16 5 log 1/25 7 log 5 log 4 4 3 3 -1 = = = = = 5 2 -2 .

6. 3 log 81 7. b. 2 log 16 8. c. 3 log 27 9. log 1000 10. 5 log 1/5 Latihan 1

3 4 = 81 2 = 16 3 = . 3 = -1 = .....

Tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat dan sebaliknya 1. 30 2. 2 n 3. a2/ 5 4. 9-1/ 2 5. 6. 7.5 2 a

=1 =8 =4 = 1/3

log 1/125 = -3 log 6 = x log = -2

8.3 log 3 = 2. MENGHITUNG NILAI LOGARITMA a. 3log 27 = x ubah ke bentuk pangkat 3 x = 27 maka x = 3 jadi 3 log 27 = 3 b. log 5 = y ubah ke bentuk pangkat 5 y = 5 maka y = 1 5 jadi log 5 = 15

20

Latihan 2 Tentukan nilai : 1. 2. 4.4 2

log 2 log log 64

= . = . = = = = = = = = . = .

3. log 10.000 = 4

5 . 5 log 125 = 6. log 1/8 7. 8.3 3

log 81 log 1/9

9. log 100 10. 4 log 11. 3 log 3 12. 7 log 49 13. 14. 15.81 6

log 9 = . log 4

log 36 = .

21

LEMBAR KERJA SISWA 6 Mata Pelajaran Uraian Materi Pelajaran : Matematika : Menentukan nilai logaritma dengan grafik, tabel dan kalkulator Kelas/Semester : X / Gasal Waktu : 2 x 45 menit ___________________________________________________________ MATERI : I. MENENTUKAN NILAI LOGARITMA Anda telah mempelajari dan memahami LKS 5, telah dibahas beberapa contoh dan latihan menentukan bilanganbilangan logaritma yang bias langsung ditentukan nilainya, karena bilangan tersebut merupakan hasil dari perpangkatan dari bilangan pokoknya. Seperti :2 3

log 4 = 2 sebab 4 = 22 log81 = 4 sebab 81 = 34

Bagaimana jika kita menghitung nilai 2log 7 = x ? Terlihat bahwa bilangan 7 tidak bias diperoleh secara langsung dari 2x. Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai x tersebut, yaitu : a. dengan menggunakan grafik y = a x , a > 1 atau 0 < a < 1 b. dengan menggunakan tabel c. dengan menggunakan kalkulator 1. Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan grafik y = a x , dengan a > 1 atau 0 < a < 1 Contoh : tentukan nilai Langkah-langkah : 1. Menentukan grafik yang akan digunakan2 2

log 6 dengan menggunakan grafik !

log 6 = x

2x = 6

sehingga grafik yang digunakan y = 2 x

2. Membuat tabel yang menyatakan hubungan x dan y = 2 x

22

Tabel hubungan x dan y X 0 x Y= 2 1 ( x , 2x ) ( 0,1 ) 3. melukis grafik y = 2 x

1 2 ( 1,2 )

2 4 ( 2,4 )

3 8 ( 3,8 )

4 16 ( 4,16)

4. lihat bilangan 6 pada sumbu y, tarik garis sejajar sumbu x hingga memotong grafik. 5. pada titik perpotongan tarik garis sejajar sumbu y sehingga memotong sumbu x 6. titik perpotongan dengan garis sejajar sumbu y pada sumbu x adalah hasil dari2

log 6 yaitu 2, ( pembulatan satu desimal)

jadi 2log 6 = 2, Gambar grafik :

23

Latihan 1 1. Lukis pada kertas millimeter grafik y = 2 x untuk menentukan nilai a. 2 log 3 b. 2 log 5 c. 2 log 7 d. 2 log

2. Lukis pada kertas millimeter grafik y = 3 x untuk menentukan nilai a. 3 log 5 b. 3 log 7 c. 3 log 9 d. 3 log 12

2a. Menentukan nilai logaritma bilangan antara 1 dan 10 dengan menggunakan tabel Tabel logaritma menyajikan logaritma dengan bilangan pokok 10 dan e (logaritma natural yang disingkat dengan ln ) Pada tabel kita hanya dapat menentukan nilai logaritma dengan bilangan pokok 10, sedang untuk bilangan pokok lain dapat ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma. Logaritma dengan pokok 10 , misalnya 10 log x , dapat ditulis log x. Pada tabel logaritma disajikan nilai-nilai logaritma untuk bilangan 1 sampai 10, dapat dilihat langsung nilai yang dimaksud. Misalnya: log 1,03 log 2,04 log 6,25 Keterangan tabel : 1. kolom N memuat bilangan logaritma antara 1 sampai 10 2. Kolom 0 sampai 9 memuat mantis yaitu bagian desimal yang menyatakan hasil logaritma suatu bilangan dengan pokok 10 = 0,0128 (lihat tabel ) = 0,3096 = 0,7959

Contoh

1.

log 1,03 = 0,0128 karakteristik mantis

karakteristiknya adalah 0, yaitu bilangan yang dilogaritmakan terletak antara 1-10

24

mantisnya adalah dengan pokok 10 2.

0128, yaitu bagian desimal hasil logaritma

log 25,3 = 1,4031

karakteristiknya adalah 1, yaitu bilangan yang dilogaritmakan terletak antara 1-100 mantisnya adalah 4031 2b. Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan kalkulator. Kalkulator yang kita butuhkan dalam menghitung nilai logaritma adalah kalkulator yang mempunyai fasilitas log. Langkah-langkahnya tergantung pada type kalkulatornya. Coba anda sebutkan langkah-langkah dalam menentukan nilai logaritma dengan kalkulator sesuai type kalkulator yang anda punya. 1. ... 2. ... 3. ... 4. ...

Latihan 2 1. Tentukan nilai logaritma berikut dengan menggunakan tabel. a. log 7,75 b. log 5,58 f. log 20,5 g. log 75,2 c. log 8,66 h. log 62,9 d. log 3,49 i. Log 123 e. log 9,17 j. log 350

2.Tentukan nilai logaritma berikut dengan kalkulator. a. log 1,79 b. log 4,57 e. log 80,1 f. log 325 c. log 8,65 g. log 675 d. log 12,6 h. log 930

25

II. MENENTUKAN ANTILOGARITMA SUATU BILANGAN Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Antara 0 dan 10 Dengan Tabel. Antilogaritma merupakan kebalikan dari logaritma yaitu menentukan bilangan bila diketahui nilai logaritmanya. Contoh tentukan nilai x dari logaritma berikut : 1. log x = 0,2718 log x = 0,2718 maka x = antilog 0,2718 caranya dengan tabel logaritma ( lihat dan simak tabel log ) cari bilangan 2718 dalam tabel log , yaitu terletak pada kolom angka 1.8 maka bilangan tersebut adalah 1,87. Jadi antilog 0,2718 = 1,87 2. log x = 0,3538 log x = 0,3538 maka x = antilog 0,3538 caranya dapat digunakan tabel antilog (lihat dan simak tabel antilog) cari bilangan 0,35 ( pada tabel 35 ) pada kolom x tabel antilog. Telusuri baris ke kanan sampai kolom 3, didapat angka 2254, kemudian pada baris telusuri lagi ke kanan sampai kolom 8 (pada kolom tambahan) kita dapatkan angka 4, selanjutnya angka pada kolom 3 dan angka pada kolom 8 (kolom tambahan) dijumlahkan sehingga 2254 + 4 = 2258. Karena karakteristik logaritma di atas adalah 0, maka bilangannya terletak antara 1 sampai 10 . Jadi antilog 0,3538 = 2,258 3. log x = 1, 2711 maka x = antilog .. cari bilangan pada tabel (tabel antilog) . 27 telusuri baris ke kanan sampai kolom . Didapat angka kolom . Didapat angka .26

7,

kemudian telusuri ke kiri pada baris sampai kolom N , diperoleh

.. ,

kemudian telusuri lagi pada baris(kolom tambahan) ke kanan sampai

Kemudian jumlahkan didapat .. + . = Karena karakteristik logaritma di atas adalah 1, maka bilangannya terletak antara 10 sampai 100. Jadi antilog 1,2711 = ..

Latihan 3 1. Gunakan tabel log untuk menentukan nilai x a. log x = 0,6990 b.log x = 0,7520 c. log x = 0,8225 d. log x = 0,9350 e.log x = 1,2923 f. log x = 2,4099

2. Gunakan tabel antilog untuk menentukan nilai x a. log x = 0,4065 d. log x = 0,3579 b. log x = 0,4771 e. log x = 0,190 c. log x = 0,5670 f. log x = 0,7615

3. Dengan menggunakan kalkulator hitung antilog bilangan berikut a 0,190 c .0,3579 b. 0,2711 d. 0,76

27

LEMBAR KERJA SISWA 7 Mata Pelajaran Uraian Materi Pelajaran : Matematika : Sifat-sifat logaritma dan penggunaan dalam perhitungan aljabar Kelas / Semester : X / Gasal Waktu : 3 x 45 menit ___________________________________________________________ MATERI : Sifat-sifat logaritma yang akan dipelajari banyak digunakan untuk menentukan logaritma bilangan yang lebih dari 10 atau bilangan-bilangan antara 0 sampai 10 serta penerapannya dalam hitungan aljabar. Beberapa sifat-sifat logaritma 1. Sifat :a

log b = b

Contoh : Sederhanakan logaritma berikut a) b)3 6

log 2 = 2 log 7 = ...

c) d)

z 2

log y = ... log 3 = ...

2. Sifat :

jika a, b, c bilangan real positif dan a 1 a log b x c = a logb + a logc

Contoh : Sederhanakan dengan menggunakan sifat 2 a) 2log 4 + 2log 16 = 2log 4.16 b) 7log 7 + 7log 49 = c) log 5 + log 2 d) 3log 4 + 3log 2 =7

= 2log 64 = log

= 6 = = . = .

log (x) = 7log . log( x ) = 3log

= log (x)3

3. Sifat : Jika a,b dan c bilangan real positif, a 1 makaa

b log = alog b - alog c c

28

Contoh : Sederhanakan dengan menggunakan sifat 3 a. 2log 16 - 2log 4 =2

16 log 4

= 2log 4

= 2

b. 3log 9 - 3log 1/3

9 = 3log 625 = 5log . . = log .

= 3log .

= ..

c. 5log 625 - 5log 5

= ..

= ..

d. log 100 - log 10 Latihan 1.

= log .

= ..

Sederhanakan dengan menggunakan sifat 1, 2 dan 3 1. 6 log 9 2. 2 log 5 + 3 log 7 3. 7 log 9 x 8 log 2 4. 5 log 7 6 log 3 5. log 2 + log 6 6. 7.2

log 8 + 2log 32 log 32 + 8log 16 + 8log 128

8

8. log 25 - log 32 9.3

log 7 + 3log 5/6 + 3log (36/25)

10. log 16 + log 25 - log 4 11. 5log 20 + 5log 15 - 5log 12 12. 2log 144 + 2log 125 - 2log 15 - 2log 150

29

4. Sifat : jika b > 0 , n bilangan rasional makaa

log bn = n . alog b

Contoh : Sederhanakan dengan menggunakan sifat 4 a. 2log 53 b. log 100 c. d.3

= 3. 2log 5 = log 10 = log 10 = x 1 = = 3log 3 = . 3log 3 = x 1 = 1 = log = 1/2 log (1/2). = .x 1/2log = x = ... 24 5 = log 5 = x 5log = ..1/2

log 27 log 24

1/2

e. 5log 1/5

5. Sifat : Mengubah bilangan pokok logaritmaa

log b log b = c log a

c

jika a > 0 , a 1 , c > 0 , c 1

Pada kasus khusus jika c = ba

1 log b = b log a

Contoh : sederhanakan dengan menggunakan sifat 5 a.2

Log 5 0,699 log 5 = = = 2,322 log 2 0,301 3log 2 = 0,477 3(0,301) = 1,893 0,477 log 5 .log2

log 23 b. 3log 23 = = log 3

log 125 log 5 c. jika 2log 5 = x maka 4log 125 = = = log 4 log 230

(gunakan sifat 5)

. = 2log = .

x

6. Sifat : jika a>0, a 1, b>0, b 1, c>0a

log b . blog c = alog c

Contoh : a. b. c.3

log7 . 7log 81 = 3log 81 = 3log 3 =

x

log 5 . 5log y . ylog x = xlog . = xlog x

= .

7

log 1/5 . 5log 49 = 7log 5 . 5log 49 = . 7log 5 . 5log 49 ( sifat ) =

log ..

= .. Latihan 2 sederhanakan dengan menggunakan sifat logaritma 4, 5, dan 6 log 81 1. log 9 log 8 2. 2 log 2 3. 343 log 49 4. 3log 18 1/2 2

log 331

5. 6. 7. 8.

a

log x . xlog b log (1/x) . xlog a log 7 . 5log 49

a

1/5

x

log y2 x log y

7. Sifat : am log bm = a log b Contoh : jika 2log 3 = x , tentukan nilai logaritma di bawah dalam x.23

1. 2. 3.

8

log 27 log 9

= =

log 33

= 2log 3 = x

4

2```

log 3 = . = .. log 3 = .. = .

log 1/3 =

8. Sifat :an

log b m = m/n . a log b

Contoh : nyatakan dalam 1. 8log 9 2. 3.16 2 23

log 3 = a = 2/3 . 2log 3 = (.)2

= = =

log 3 2 log 33 log 33

= 2/3 a

log 27 log 3

24

log 3 = . a = . a

2...

= (.) 2log 3

32

Penerapan logaritma dalam perhitungan-perhitungan 1. Penerapan logaritma untuk perkalian dan pembagian bilangan Digunakan sifat logaritma a. log (a x b ) = log a + log b b. log ( a/b ) = log a - log b Contoh : 1. hitung 38,3 x 82,97 = . misal a log a = 38,3 x 82,97 = log ( 38,3 x 82,97 ) = log 38,3 + log 82,97 = ( .. .....) + (... .) log a a a = . = antilog .. = (cari dalam tabel antilogaritma) (cari dalam tabel logaritma)

2. hitung 2,714 : 19,83 = . misal a = 2,714 : 19,83 = log 2,714 - log 19,83 = (......) - ( .....) log a a a Latihan 3 A Selesaikan bentuk perkalian dan pembagian bilangan dengan menggunakan logaritma. 1. 6,74 x 2,95 2. 0,236 x 0,042 3. 8,65 x 94,37 4. 4,68 : 3,21 5. 412,6 : 40,85 6. 0,216 : 1,47 = = antilog . = .. (cari dalam table antilogaritma) ( cari dalam table logaritma) Log a = log (2,714 : 19,83)

33

2. Penerapan logaritma untuk perpangkatan dan penarikan akar. Gunakan sifat : a. log ab = b . log a b. log nab = log a b/n = b/n . log a Contoh : Hitung nilai 3. ( 23,49 ) 3 Misal Log a = .. = log ( 23,49 ) 3 = 3 . log 23,49 = 3 . ( ..) ( cari dalam table log ) = . a = antilog = 4. 465,7 Misal = . a = 465,7 = log (465,7 )1/2 = log 465,7 = ( ) log a a a Latihan 3B Selesaikan bentuk perpangkatan dan penarikan akar dengan logaritma. 1. ( 3,18 )3 2. ( 5,864 )5 3. ( 0,875 )10 4. 17,35 5. 53 6. 0,8021 = . = antilog = . ( cari dalam table antilog ) (cari dalam table log ) (cari dalam table antilog) a = ( 23,49 ) 3

log a = log 465,7

34

Selesaikan dengan menggunakan logaritma. 4230 3,142 x 28

1)

0,015 x 30,19 2) 20

35