KOMBINATORIAL

Definisi

• Kombinatorial adalah cabang matematika yang berguna untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.

• Contoh : Sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat?- Abcdef - aaaade - a123f - erhtgahn- Yutresik - … - ????

Prinsip Dasar Menghitung

Prinsip Penjumlahan (rule of sum) • Jika suatu himpunan A terbagi kedalam himpunan

bagian A1, A2, …, An, maka jumlah unsur pada himpunan A akan sama dengan jumlah semua unsur yang ada pada setiap himpunan bagian A1, A2, …, An.

• Secara tidak langsung, pada prinsip penjumlahan, setiap himpunan bagian A1, A2, …, An

tidak saling tumpang tindih (saling lepas).

Prinsip Penjumlahan

• Untuk himpunan yang saling tumpang tindih tidak berlaku lagi prinsip penjumlahan, dan ini harus diselesaikan dengan prinsip inklusi-eksklusi yang akan dibahas kemudian.

• Misalkan,Percobaan 1 : p hasil Percobaan 2 : q hasil maka, Percobaan 1 atau percobaan 2:

p + q hasil

Contoh

• Seorang Dosen Politekni Telkom mengajar mahasiswa PIS-09-10, PIS-09-11 dan PCA-09-01.

• Jika jumlah mahasiswa PIS-10 35 orang, jumlah mahasiswa PIS-11 adalah 33 orang, dan jumlah mahasiswa PCA-01 adalah 30 orang

• Maka jumlah cara memilih satu mahasiswa dari ketiga kelas tersebut adalah 35 + 33 + 30 = 98 orang.

Contoh

• Seorang mahasiswa Politeknik Telkom ingin membeli sebuah motor.

• Ia dihadapkan untuk memilih pada satu jenis dari tiga merk motor, Honda 3 pilihan, Suzuki 2 pilihan, dan Yamaha 2 pilihan.

• Dengan demikian, mahasiswa tersebut mempunyai mempunyai pilihan sebanyak

• 3 + 2 + 2 = 7 pilihan.

Contoh

• Jika Ketua kelas hanya 1 orang (pria atau wanita).

• Jumlah pria di kelas PIS-09-01 adalah 25 orang dan jumlah wanita adalah 15 orang.

• Berapa banyak cara memilih ketua kelas?Penyelesaian:

25 + 15 = 40 cara.

Prinsip Perkalian

Prinsip Perkalian (rule of product)• Misalkan sebuah prosedur dapat dipecah dalam dua

penugasan. • Penugasan pertama dapat dilakukan dalam n1 cara,

dan tugas kedua dapat dilakukan dalam n2 cara

setelah tugas pertama dilakukan.• Dengan demikian, dalam mengerjakan prosedur

tersebut ada (n1 x n2) cara. • Secara tidak langsung, pada prinsip perkalian, bisa

terjadi saling tumpang tindih (tidak saling lepas).

Kaidah Perkalian

Misalkan,Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil maka,Percobaan 1 dan percobaan 2:

p q hasil

Contoh

• Dosen dengan kode HNP, mengajar mahasiswa kelas PCA-09-01, PCA-09-02, dan PCA-09-03.

• Misalkan, jumlah mahasiswa PCA-09-01 adalah 25 orang, jumlah mahasiswa PCA-09-02 adalah 27 orang, dan jumlah mahasiswa PCA-09-03 orang.

• Jika HNP ingin memilih 3 mahasiswa dimana setiap kelas dipilih masing-masing 1 orang. Banyaknya susunan yang dapat dipilih oleh HNP?

• Penyelesaian:25 x 27 x 20 = 13.500 cara dalam memilih susunan tiga murid tersebut.

Contoh

• Jumlah mahasiswa laki-laki kelas PCE-09-02 adalah 32 orang sedangkan jumlah wanitanya hanya 6 orang.

• Dua orang perwakilan kelas tersebut mendatangai HRO untuk protes nilai kuis matdis. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita.

• Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tersebut?

• Penyelesaian:32 6 = 192 cara.

Perluasan Kaidah Dasar Menghitung

• Misalkan ada n percobaan, masing-masing denga pi hasil

1. Kaidah perkalian (rule of product)

p1 p2 … pn hasil 2. Kaidah penjumlahan (rule of sum)

p1 + p2 + … + pn hasil

Contoh

• Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika:a. panjang string 5 bitb. panjang string 8 bit (= 1 byte)

Penyelesaian:c. 2 2 2 2 2 = 25 = 32 buahd. 28 = 256 buah

Contoh

• Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang semua angkanya berbeda

• Penyelesaian: a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9)b. posisi ribuan : 8 kemungkinan angka c. posisi ratusan : 8 kemungkinan angka d. posisi puluhan : 7 kemungkinan angka

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah.

Contoh

• Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang boleh ada angka yang berulang.

Penyelesaian: a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9);b. posisi ribuan : 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)c. posisi ratusan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)d. posisi puluhan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500

Prinsip Inklusi-Ekslusi

• Ketika dua proses dikerjakan dalam waktu yang sama, kita tidak bisa menggunakan prinsip penjumlahan untuk menghitung jumlah cara untuk memilih salah satu dari dua proses tersebut.

• Untuk menghitung proses tersebut, kita harus mengenal prinsip inklusi-eksklusi.

Contoh

Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’? Penyelesaian:MisalkanA = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’, B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’A B = himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan ‘11’A B = himpunan byte yang berawal dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’

Solusi

• |A| = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 26 = 64• |B| = (2)(2)(2)(2)(2)(2) (1)(1) = 26 = 64, • |A B| = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(1) = 24 = 16. maka A B = A + B – A B = 26 + 26 – 16 = 64 + 64 – 16 = 112.

Latihan Soal

1. Sebuah restoran menyediakan 10 jenis makanan dan 8 jenis minuman. Jika setiap orang boleh memesan 1 makanan dan 1 minuman, berapa banyak makanan dan minuman yang dapat dipesan!

2. Jabatan presiden mahasiswa dapat diduduki oleh mahasiswa politeknik angkatan 2007 atau 2008. Jika jumlah mahasiswa politeknik telkom angkatan 2007 dan 2008 masing masing 400 dan 1100 mahasiswa, berapa cara memilih presiden mahasiswa!

Latihan Soal

3. Sekelompok mahasiswa yang menyukai Batagor Riri terdiri dari 12 pria dan 7 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang pria dan satu orang wanita yang menyukai Batagor tersebut?

4. Sekelompok mahasiswa yang menyukai Batagor Riri terdiri dari 12 pria dan 7 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang yang menyukai Batagor tersebut?

Latihan Soal

5. Pelat nomor memuat 2 huruf (boleh sama)diikuti 3 angka dengan digit pertama tidak sama dengan 0(boleh ada angka yang sama). Ada berapa pelat nomor berbeda?

6. Pelat nomor memuat 2 huruf berbeda diikuti 3 angka berbeda. Ada berapa pelat nomor berbeda?

Latihan Soal

7. Pelat nomor memuat 2 huruf berbeda diikuti 3 angka berbeda dengan digit pertama tidak sama dengan 0. Ada berapa pelat nomor berbeda?

8.Tentukan n cara agar sebuah organisasi yang terdiri dari 26 anggota dapat memilih ketua,sekretaris dan bendahara dgn catatan tidak ada jabatan rangkap)

Latihan Soal

9. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar seseorang dapat bepergian dengan bus dari A ke C melewati B?

10. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari A ke C melewati B

Latihan Soal

11. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari A ke C melewati B dan tidak ingin melewati satu jalur lebih dari sekali?

13. Jika terdapat 15 pertanyaan yang masing-masing jawabannya Benar (B) atau Salah (S), berapakah kemungkinan jawaban yang dapat dibuat?

Latihan Soal

13. Perpustakan Politeknik Telkom memiliki 6 buah buku Sistem Informasi, 10 buku Algoritma dan Pemrograman, serta 15 buku Sistem Komputer. Berapa jumlah cara memilih:

a. 3 buah buku, masing-masing dari jenis yang berbeda

b. Sebuah buku

Latihan Soal

14. Berapa banyak jumlah kata 4-huruf yang dapat dibentuk dari huruf- huruf : h, e, r, dan u, jika tidak boleh ada huruf yang berulang di dalam kata.

15. Berapa banyak jumlah kata 4-huruf yang dapat dibentuk dari huruf- huruf : h, e, r, dan u, jika boleh ada huruf yang berulang di dalam kata

Latihan Soal

16. Berapa banyak jumlah kata pada soal no 14 yang diawali huruf r dan tidak diawali huruf r

17. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang kurang dari 400 banyaknya adalah …

18. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dibentuk bilangan yang terdiri atas 4 angka yang berlainan. Tentukan banyaknya bilangan yang lebih dari 2000

Latihan Soal

19. Tentukan banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7, dan tidak ada angka yang sama!

20. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah ….

Permutasi

• Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.

• Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola merah, biru, putih ke dalam kotak 1,2,3 ?

m b p

BOLA

KOTAK

2 31

Solusi

• Jumlah kemungkinan urutan berbeda dari penempatan bola ke dalam kotak adalah (3)(2)(1) = 3! = 6.

KOTAK 1 KOTAK 2 KOTAK 3 URUTAN

m b p mbp

p b mpb

b m p bmp

p m bpm

p m b pmb

b m pbm

Permutasi

• Permutasi merupakan susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan.

• Dengan kata lain, permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi prinsip perkalian.

• Misalkan diberikan suatu himpunan A dengan jumlah anggota adalah n

• Susunan terurut yang terdiri dari r buah anggota dinamakan permutasi-r dari A, ditulis P(n, r)

Permutasi r dari n objek

• Permutasi r objek dari n buah objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n

• Pada setiap kemungkinan penyusunan r buah objek tidak ada urutan objek yang sama, yaitu

))1()...(2)(1(),( rnnnnrnP

)!(

!

rn

n

Contoh

• Misalkan S = {p, q, r}. Berapa cara yang mungkin dalam penyusunan 2 huruf pada S sehingga tidak ada urutan yang sama ?

• Penyelesaian:

Contoh

• Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?

• Penyelesaian:P(5, 5) = 5! = 120 buah kata

• Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa?

• Penyelesaian: P(25, 25) = 25! = 15.511.210.043.330.985.984.000.000

Contoh

• Diketahui enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak.

• Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola.• Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat

dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut?

m b p h k j

BOLA

KOTAK

1 2 3

Solusi

Cara 1:a. kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6

pilihan); b. kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5

pilihan);c. kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4

pilihan).• Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)

(5)(4) = 120 Cara 2:

P(6,3)=6!/(6-3)!=6!/3!=120

Contoh

Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika:

(a) tidak boleh ada pengulangan angka, dan(b) boleh ada pengulangan angka.

Penyelesaian:(a) Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 60(b) Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. Dengan kiadah perkalian: (5)(5)(5) = 53 = 125.

Contoh

• Diketahui Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula.

• Tentukan banyak kode yang dapat dibuat!• Penyelesaian: P(26, 4) P(10,3) = 258.336.000

Permutasi Dengan Pengulangan

• Banyaknya permutasi dari n objek dari n1 yang sama, n2 yang sama,……, nr yang sama adalah

!!...!

!

21 rnnn

n

Contoh

Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata “DISKRIT”Penyelesaian: n = 7n1 = 2 (huruf I yang sama, jumlahnya = 2)

Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata“DISKRIT” = n!/n1! = 7!/2! = 2520 Kata

Contoh

Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata “MATEMATIKA”Penyelesaian: n = 10n1 = 2 (huruf M)

n2 = 3 (huruf A)

n3 = 2 (huruf T)

Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata “MATEMATIKA” = 10!/2!3!2! = 151.200 kata

Latihan Soal

1. Berapa banyak bilangan berdigit 3 yang bisa dibentuk dari 6 angka 2,3,4,5,7,9 dan pengulangan tidak diperbolehkan?

2. Tiga ujian dilakukan dalam suatu periode enam hari (senin-sabtu). Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada 2 ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama?

Latihan Soal

3. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang disusun perbaris. Tiap baris terdiri dari 6 kursi. Jika dua orang akan duduk, berapa banyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada suatu baris?

4. Tentukan banyaknya sandi yang dapat dibentuk dari 5 huruf yang berbeda dan diikuti pula dengan 2 angka yang berbeda pula!

Latihan Soal

5. Sebuah mobil mempunyai 4 tempat duduk. Berapa banyak cara 3 orang didudukkan jika diandaikan satu orang harus duduk di kursi sopir?

Kombinasi

• Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi.

• Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.

Kombinasi

• Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama dan ada 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.

• Jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak

32

)2)(3(

!2!1!3

!2

)2,3(

P

iLustrasi

sama

sama

sama

Hanya 3 cara

a b

ab

a

a

a

a

b

b

b

b

Kombinasi

• Bila sekarang jumlah bola yang sama adalah 3 dan jumlah kotak 10

• Maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah

karena ada 3! cara memasukkan bola yang warnanya sama.

!3

)8)(9)(10(

!3!7

!10

!3

)3,10(

P

Kombinasi

• Secara umum, jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah kotak adalah

r

nrnC

rnr

n

r

rnnnn,

)!(!

!

!

))1()...(2)(1(

Kombinasi

• C(n, r) sering dibaca "n diambil r", artinya r objek diambil dari n buah objek.

• Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.

50

Interpretasi Kombinasi

1. C(n, r) adalah banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen.

ContohMisalkan A = {1, 2, 3}Jumlah Himpunan bagian dengan 2 elemen: {1, 2} = {2, 1}

{1, 3} = {3, 1} 3 buah atau{2, 3} = {3, 2}

3!2!1

!3

!2)!23(

!3

2

3

Interpretasi Kombinasi

2. C(n, r) adalah cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting.

Contoh: Berapa banyak cara membentuk panitia (komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5 orang dari sebuah fraksi di DPR yang beranggotakan 25 orang?

Interpretasi Kombinasi

Penyelesaian:• Panitia atau komite adalah kelompok yang tidak

terurut, artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama.

• Misalkan lima orang yang dipilih adalah A, B, C, D, dan E

• Maka urutan penempatan masing-masingnya di dalam panitia tidak penting (ABCDE sama saja dengan BACED, ADCEB, dan seterusnya).

• Banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah C(25,5) = 53130 cara.

Contoh

• Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Komputer Angkatan 2009, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga:1. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;2. Mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;3. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya,

tetapi B tidak;4. Mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi

A tidak;5. Mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;6. Setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A

atau B termasuk di dalamnya.

Solusi

1. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A selalu termasuk di dalamnya adalah:C(9, 4) = 126

2. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A tidak termasuk di dalamnya adalah: C(9, 5) = 126

3. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A termasuk di dalamnya, tetapi B tidak adalah:C(8, 4) = 70

Solusi

4. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga B termasuk di dalamnya, tetapi A tidak adalah:C(8, 4) = 70

5. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A dan B selalu termasuk di dalamnya adalah: C(8, 3) = 56

Solusi

6. Jumlah cara membentuk perwakilan sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari A atau B termasuk di dalamnya adalah:Jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di dalamnya, B tidak

+jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk di dalamnya, A tidak

+jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B termasuk di dalamnya

= 70 + 70 + 56 = 196

Solusi No.6 dengan Prinsip Inklusi-ekslusi

Misalkan:X = jumlah cara membentuk perwakilan yang

menyertakan AY = jumlah cara membentuk perwakilan yang

menyertakan BX Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang

menyertakan A dan B, makaX = C(9, 4) = 126; Y = C(9, 4) = 126; X Y = C(8, 3) = 56;X Y = X + Y - X Y = 126 + 126 – 56 = 196

Latihan Soal

1. Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah ....

2. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas 11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.

Latihan Soal

3. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletaksegaris adalah ....

4. Tentukan banyaknya cara memilih 5 orang dari 15 orang siswa untuk menjadi pelaksana upacara bendera Senin pagi!

5. Menentukan lima orang pemain cadangan dari 16 orang anggota kesebelasan sepakbola.

Latihan Soal

6. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7 orang mahasiswa jurusan Informatika. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika:

(a) tidak ada batasan jurusan(b) semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika(c) semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika(d) semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama(e) 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili.

61

62

Latihan Soal

7. Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita, jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita?

Koefisien Binomial

Contoh

Jabarkan (3x - 2)3!Penyelesaian:Misalkan a = 3x dan b = -2, (a + b)3 = C(3, 0) a3 + C(3, 1) a2b1 + C(3, 2) a1b2 + C(3, 3) b3

= 1 (3x)3 + 3 (3x)2 (-2) + 3 (3x) (-2)2 + 1 (-2)3

= 27 x3 – 54x2 + 36x – 8

Contoh

Tentukan suku keempat dari penjabaran perpangkatan (x - y)5.

Penyelesaian:(x - y)5 = (x + (-y))5.Suku keempat adalah: C(5, 3) x5-3 (-y)3 = -10x2y3.

Latihan Soal

1. (2x-3)3=…2. (3x-2y)4 = …3. Tentukan suku ke empat dari penjabaran

perpangkatan (x +y)5 4. Tentukan suku ke lima dari penjabaran

perpangkatan (2x +3y)6

Latihan Soal

5. Dengan menggunakan teorema binomial, tentukan :

a. koefisien x5y8 dalam (x + y)13

b. koefisien x7 dalam (1 + x)11

c. koefisien x9 dalam (1 – x)19