bab 7. dinamika rotasi

Fisika SMA kelas XI Semester GenapDinamika Rotasi

38

BAB VII. DINAMIKA ROTASI

Dalam kinematika rotasi kita sudah membahas gerak rotasi suatu partikel atau benda tanpa memperhatikan penyebab terjadinya gerak rotasi tersebut. Dalam dinamika rotasi ini kita akan membahas bagaimana suatu benda dapat berotasi dan apa yang menyebabkannya. 2.1. Momen Gaya

Pada gerak translasi, perubahan gerak (translasi) sebuah benda hanya dapat terjadi jika ada gaya yang bekerja pada benda itu. Yang dimaksud dengan perubahan gerak dalam hal ini adalah perubahan kecepatan. Suatu benda akan diam atau bergerak lurus beraturan bila resultan gaya yang bekerja pada benda itu sama dengan nol.

Pada gerak rotasi, untuk membuat suatu benda berotasi (berputar) tidak cukup hanya dengan diberi gaya. Sebuah benda akan berubah geraknya dari diam menjadi berputar jika kepada benda itu diberikan gaya (pemutar) dengan cara tertentu. Gaya pemutar ini disebut dengan momen gaya dan perubahan geraknya adalah perubahan kecepatan sudut benda (benda mengalami percepatan sudut yaitu pertambahan kecepatan sudut secara beraturan sesuai dengan perubahan waktu).

Jika sebuah gaya F bekerja pada tepi sebuah roda berjari-jari r dengan sumbu rotasi terletak pada poros O, maka momen gaya yang bekerja pada tepi roda terhadap poros O didefenisikan oleh persamaan berikut:

= F. dKarena d = r sin , maka:= F. r. sin dengan:t = momen gaya / Torsi (N. m)F = gaya (N)r = jarak sumbu rotasi dengan titik tempat gaya bekerja (m)d = lengan momen gaya (m) = sudut antara arah gaya dengan r .

Contoh Soal 1:Sebuah gaya F bekerja pada sebuah roda dengan sumbu O dengan posisi gaya masing-masing ditunjukkan seperti gambar berikut. Tentukan momen gaya yang bekerja terhadap sumbu O dan tentukan pula arah rotasinya.

Jawab:a. Diket: F = 100 N,

r = 50 cm = 0,5 m = 900

450

a

600

b. c.

= F. r. sin = 100. 0,5. sin 900= 50 Nm (searah putaran jarum jam)


39

b. Diket: F = 25 Nr = 40 cm = 0,4 m= 600

c. Diket: F = 50 Nr = 30 cm = 0,3 m= 450

Resultan Momen GayaJika pada suatu benda bekerja lebih dari satu momen gaya, maka momen gaya yang mengakibatkan benda berotasi searah putaran jarum jam diberi tanda positif dan yang mengakibatkan benda berotasi berlawanan dengan putaran jarum jam diberi tanda negatif.

Jika resultannya bernilai positif maka benda akan berotasi searah putaran jarum jam dan resultannya bernilai negatif maka benda akan berotasi berlawanan dengan putaran jarum jam.Contoh Soal 2:Pada sebuah roda dengan sumbu rotasi di titik O bekerja dua buah gaya yaitu F1 dan F2seperti gambar. Jika F1 = 80 N dan F2 = 100 N, tentukan resultan momen gaya dan arah rotasinya.Diket: F1 = 80 N

F2 =100 Nr1 = 4 cm = 0,04 mr2= 3 cm = 0,03 m

Dit: dan arah rotasi Jawab:Momen gaya oleh F1 adalah: = + F1. r1. sin 1 = + 80. 0,04. sin = + 3,2. 0,5 = + 1,6 N.mMomen gaya oleh F2 adalah: = - F2. r2. sin 2 = - 100. 0,03. sin = - 3. 0,5 = - 1,5 N.mResultan Momen gayanya adalah: 2 = +1,6 + (-1,5) = + 0,1 N.mKarena momen gaya bernilai + maka arah rotasinya searah putaran jarum jam.

Contoh Soal 3: (Jawab sendiri)Pada gambar berikut ini jika diketahui nilai a = 10 cm dan b = 25 cm , tentukan resultan momen gaya yang bekerja pada roda dan tentukan juga arah rotasinya.

= F. r. sin = 25. 0,4. sin 600= 10. 3= 5 3 Nm (berlawanan dengan putaran jarum jam)

= F. r. sin = 50. 0,3. sin 450= 15. 2= 7,5 3 Nm (berlawanan dengan putaran jarum jam)


40

2.2. Momen InersiaPada gerak linear, ukuran inersia suatu benda (kecenderungan untuk

mempertahankan keadaannya) ditentukan oleh massa benda. Untuk gerak rotasi, ukuran inersia suatu benda selain ditentukan oleh massa benda tetapi juga dipengaruhi oleh pola distribusi massa tehadap sumbu rotasi. Pola distribusi massa terhadap sumbu rotasi disebut dengan momen inersia.

2.2.1. Momen Inersia PartikelMomen inersia I dari suatu partikel bermassa m terhadap sumbu rotasi yang

terletak sejauh r dari partikel didefenisikan sebagai hasil kali antara massa partikel dengan kuadrat jarak dari sumbu rotasi.Secara matematis dituliskan:

I = m. r2

Apabila terdapat sejumlah partikel dengan massa masing-masing m1, m2, m3,mn dan jaraknya dari sumbu rotasi r1, r2, r3, rn , maka momen inersia total adalah:

I = mn.rn2 = m1. r12 + m2 r22 + m3 r32 +..+ mn. rn2I = momen inersia (kg.m2).

Contoh Soal 4:Dua buah partikel masing-masing bermassa m dan terpisah sejauh l seperti gambar berikut. Hitunglah momen inersianya jika:a. kedua partikel diputar dengan sumbu putar di Cb. Kedua partikel diputar dengan sumbu putar di A.Penyelesaian:a. Apabila kedua partikel diputar dengan sumbu putar di C, momen inersianya:

2l.m.8

5.l

16

9m..l

16

1m.I

.l4

3m..l

4

1m.I

.rmI

22

22

2

nn

b. Apabila kedua partikel diputar dengan sumbu putar di A, momen inersianya:

Contoh Soal 5:Perhatikan gambar berikut:

Diket:m1 =10 kg, r1 = 20 cmm2 = 8 kg, r2 = 30 cmm3 = 5 kg, r3 = 50 cmTentukan momen inersia sisten di atas jika diputar dengan sumbu putar :a. di titik A b. di m2

2222

nn

m.llm.m.I

.rmI

0

1m2m3m

1r

2r

3r

A

l4

1l

4

3


41

Penyelesaian:a. Jika diputar di titik A, maka momen inersia sistem adalah:

2kg.m2,371,250,720,4I

0,255.0,098.10.0,04I

25.0,520,38.20,210.I

23

r3.

m22

.r2

m21r

1.m2n.rnmI

b. Jika diputar di m2, momen inersianya adalah:

2kg.m2,72,0052I

0,045.08.10.0,25I

25.0,2208.20,510.I

23r3.m

22.r2m

21r1.m

2n.rnmI

,

2.2.2. Momen Inersia Benda TegarBenda tegar adalah benda yang jika dikenai gaya tidak mengalami perubahan bentuk

dan ukuran. Benda tegar memiliki pola distribusi massa yang kontinu yang terdiri dari sejumlah besar elemen massa dm yang berjarak r dari sumbu rotasi. Momen inersia benda tegar dapat ditentukan dengan metode integral dengan persamaan:

dmrI 2dengan batas integral yang dipilih harus mencakup seluruh elemen massa.Berikut adalah salah satu contoh cara mencari persamaan (rumus ) momen inersia dari suatu benda tegar yaitu: momen inersia batang panjang homogen dengan panjang l dam massa m dengan pusat rotasi pada salah satu ujungnya.

dmrI 2 (batas integral dari 0 sampai l)

dx

l

x

dxAdm

dVdm

VmatauV

m

..

.

.

l.

mA

2

33

0

3

0

2

0

2

0

22

3

1

03

1

3

1

3

1

l

.l..l

.l

....

:,,...

l

ll

l

mI

mx

mI

dxxAdxAxI

makaxrinihaldalamkarenadxArdmrI


42

Jika sumbu putar terletak ditengah-tengah batang (batas integral dari l sampai l)Diperoleh momen inersia untuk batang dengan panjang l dan sumbu rotasi terletak ditengah-tengah batang sebagai berikut:

Dengan menggunakan cara yang sama maka untuk benda lain diperoleh momen inersia sebagai berikut:

23

33

332

1

2

1

3

12

1

12

1

8

1

3

1

8

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

3

1

l..:l.l

l..l..l

l..l...l

.l

l

l

mIataum

I

mI

mx

mI

l

batangujungsatusalahpada

poroshomogen,Batang

2

3

1l..mI

l

batangtengahdi

poroshomogen,Batang

2

12

1l..mI

.

,

silindersumbumelalui

porosberonggatipisSilinder

2RmI .

.

,

silindersumbumelaluiporos

pejalSilinderatauPiringan

2

2

1RmI .

.

,

silindersumbumelalui

porosberonggaSilinder

222121

RRmI .

.

,

diametermelalui

porospejalBola

2

5

2RmI ..

.

,

diametermelalui

porosberonggaBola 2

3

2RmI ..


43

2.3. Hubungan Antara Momen Gaya dengan Percepatan SudutMisalkan pada sebuah partikel yang massanya m di tepi sebuah roda yang jari-

jarinya R dikerjakan sebuah gaya F seperti gambar berikut:Menurut hukum II Newton, gaya tangensial F akan menimbulkan percepatan tangensial (aT) :F=m.aTKarena momen gaya: = F. R dan percepatan tangensial aT = .R, maka diperoleh: = F. R = (m.aT). R = m.. .R. R = m.R2

Karena: I= m.R2 Maka:

Persamaan di atas adalah persamaan hukum II Newton untuk gerak rotasi.

Contoh Soal 6:Sebuah silinder pejal mempunyai jari-jari 10 cm, massa 1 kg dan ditepi silinder dililitkan tali. Jika silinder mula-mula dalam keadaan diam kemudian tali ditarik dengan gaya 10 N, tentukan:a. Momen gaya pada silinderb. Percepatan sudut silinderc. Kecepatan sudut silinder setelah 10 sekon.

Diket: m = 1 kg, R = 10 cm = 0,1 m0 = 0 rad/s (diam)F = 10 N

Dit: a. b. c. pada t = 10 sekonJawab:a. = F. R = 10. 0,1 = 1 N.mb. Kita hitung dulu momen inersia silinder pejal

Maka:

c. Setelah 10 sekon: = 0 + . t = 0 + 200. 10 = 2000 rad/s

Fm

R

.IDengan: = momen gaya (N.m)F = gaya (N) = percepatan sudut (rad/s)

F

m

R

2322 kg.m105.0,010,5..1.0,12

1.m.R

2

1I

2

3-200

105.

1

Israd /


44

Contoh Soal 7:Pada tepi sebuah roda pejal homogen dililitkan sebuah tali dan kemudian ujung tali ditarik dengan gaya F sebesar 6 N. Jika massa roda 5 kg dan jari-jarinya 20 cm, tentukan percepatan sudut roda tsb.

Diket: F = 6 N Dit: = ..?m = 5 kgR = 20 cm = 0,2 m

Jawab:Sebelum dihitung percepatan sudutnya, kita hitung terlebih dulu momen inersia (I) dan momen gaya () yang bekerja pada roda.

Momen inersia : 222 kg.m0,1.5.0,22

1.m.R

2

1I

Momen gaya: = F. R = 6. 0,2 = 1,2 Nm

Maka percepatan sudut yang dialami roda adalah: Nm120,1

1,2

I

2.4. Usaha dan Energi dalam Gerak Rotasi2.4.1. Energi Kinetik dalam Gerak Rotasi

Energi kinetik yang dimiliki oleh benda berotasi disebut dengan energi kinetik rotasi. Persamaannya dapat diturunkan dari persamaan energi kinetik translasi sbb:

2v.m.2

1 , karena berlaku hubungan : v = . R , maka:

2222

2

1

2

1

2

1 ...).(.... RmRmvmEk

Mengingat bahwa momen inersia secara umum adalah: I = m.R2, maka diperoleh energi kinetik rotasi: dengan:

Gerak MenggelindingBenda yang menggelinding melakukan dua gerak sekaligus yaitu gerak translasi dan gerak rotasi. Oleh karena itu, benda yang menggelinding mempunyai energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi, yaitu: Ek =Ektranslasi + Ekrotasi

22

2

1

2

1 .... IvmEk

F

Ek = energi kinetik rotasi (J)= momen inersia (kg.m2) = kecepatan sudut (rad/s) , v =kecepatan linear (m/s)2.I.

2

1

v


45

2.4.2. Usaha dalam Gerak RotasiUsaha yang ditimbulkan oleh momen gaya dalam gerak rotasi dapat diturunkan dari

persamaan usaha pada gerak translasi sebagai berikut:W = F.sKarena berlaku hubungan : s = . R dan = F.R , maka diperoleh:W = F. (. R) = (F. R). W = dengan:

Apabila usaha yang dikerjakan pada benda yang berotasi mengakibatkan kecepatan sudut benda berubah dari 1 menjadi 2, maka berlaku hubungan usaha dengan energi kinetik sebagai berikut:Usaha = perubahan energi kinetik

21

22

12

.2

1.

2

1

IIW

EkEkEkW

2.4.3. Hukum Kekekalan Energi Mekanik pada Gerak RotasiSebuah benda menggelinding pada ketinggian h1 dengan kecepatan sudut 1

kemudian benda itu menaiki sebuah bidang miring sehingga pada saat mencapai ketinggian h2 kecepatan sudutnya menjadi 2 (perhatikan gambar).

Apabila momen gaya luar yang bekerja pada benda sama dengan nol, maka dalam hal ini berlaku hukum kekekalan energi mekanik untuk gerak rotasi sbb:EM1 =EM2Ep1 + EKtran 1 + Ekrotasi 1 = Ep2 + EKtran 2 + Ekrotasi 2 atau:

22

222

21

211 2

1

2

1

2

1

2

1 ............ IvmhgmIvmhgm

Untuk lebih jelasnya pelajari contoh soal sebagai berikut:

Contoh Soal 8:Sebuah silinder pejal yang massanya 12 kg dan jari-jari 40 cm menggelinding pada bidang datar dengan kecepatan linear tetap 5 m/s. Hitunglah energi kinetik silinder tersebut.Diket: m = 12 kg Ditanya: Ek =?

R = 40 cm = 0,4 mv = 5 m/s

jawab:Untuk silinder pejal berlaku : I =1/2 m.R

2 ,sehingga:

W = usaha (J)= momen gaya (N.m) = sudut tempuh (radian)

Persamaan ini dikenal sebagai teorema usaha-energi pada gerak rotasi.

11v

22v

2h

01 h


46

JEk

vmvmvmEk

R

vRmvmIvmEk

2255.12.4

3

..4

3..

4

1.

2

1

...2

1.

2

1.

2

1.

2

1.

2

1

2

222

22222

Contoh Soal 9:Sebuah roda pejal beraturan menggelinding pada lantai datar dengan kecepatan 20 m/s kemudian menaiki sebuah bidang miring seperti pada gambar. Jika g = 10 m/s2, tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai roda tsb.Diket: v1 = 20 m/s , h1 = 0 m Dit: h2 =..?

V2 = 0 m/s, g = 10 m/s2

Jawab:Untuk menjawab persoalan ini kita gunakan hukum kekekalan energi mekanik:EM1 =EM2Ep1 + EKtran 1 + Ekrotasi 1 = Ep2 + EKtran 2 + Ekrotasi 2

meterg

vhhgmvm

hgmvmvm

IvmhgmIvmhgm

3040

1200

10.4

20.3

.4

.3....

4

3

....4

1..

2

10

..2

1..

2

1....

2

1..

2

1..

221

222

1

22

12

1

22

222

21

211

Contoh Soal 10:Dua buah benda A dan B massanya 6 kgdan 3 kg. Kedua benda itu dihubungkan dengan tali yang massanya diabaikan melalui sebuah katrol yang bermassa 2 kg dan jari-jarinya 10 cm seperti pada gambar. Benda B terletak di atas bidang datar kasar dengan koefesien gesekan 0,2. Hitunglah percepatan sisten tersebut.

Diket: mA = 6 kg, mB = 3 kg, mk = 2 kg Dit: a =..?k = 0,2 , R= 10 cm = 0,1 m

Jawab:Pada saat mempelajari Hukum Newton, biasanya katrol dianggap licin dan tidak ikut bergerak sehingga tegangan tali di atas dan bawah sama besar. Tetapi kalau katrol ikut

1sm /201 v

01 h

2h


47

berputar, berarti momen inersia katrol harus diperhitungkan sehingga tegangan tali di atas tidak sama dengan tegangan tali di bawah. Apabila diuraikan dengan menggunakan hukum II Newton untuk gerak rotasi dan translasi maka diperoleh persamaan percepatannya:

2/4,510

54

362.21

10)3.2,06(

.2

1).(

smmmm

gmma

BAk

BkA

LATIHAN 2:1. Batang AB massanya 5 kg dan panjangnya 60 cm

diputar dengan gaya F = 35 N dengan salah satu ujungnya sebagai sumbu rotasinya. Hitunglah:a. Momen gaya yang bekerja pada batang.b. Momen inersia batang ABc. Percepatan sudut yang dialami.

2. Pada sebuah silinder bekerja dua buah gaya seperti ditunjukkan oleh gambar disamping. Jika F1 = 5 N, jari-jari luar 35 cm dan jari-jari dalam 15 cm. Jika momen gaya total yang bekerja pada silinder adalah 2,5 Nm, tentukan besar F2.

3. Gambar disamping menunjukkan gaya 40 N dikerjakan secara tangensial pada tepi roda yang berjari-jari 20 cm. Jika momen inersia roda 30 kgm2, tentukan (a) percepatan sudut, (b) kecepatan sudut roda 4 detik setelah roda berputar dari keadaan diam, (c) jumlah putaran roda dalam 4 sekon, (d) buktikan bahwa usaha yang dilakukan pada roda sama dengan perubahan energi kinetik rotasi roda selama 4 detik.

4. Sebuah roda gerinda yang homoggen bermassa 0,9 kg dan jari-jarinya 8 cm. Roda mula-mula berputar dengan kecepatan 1400 rpm (rotasi per menit). Karena gesekan, dalam waktu 35 sekon ternyata berhenti. Hitung momen gaya yang dialami roda dari gaya gesek itu.

5. Sebuah roda gila dengan momen inersia 3,8 kgm2 oleh sebuah torsi bebas dipercepat hingga dalam 6 putaran saja kecepatan sudutnya berubah dari 2 putaran/s menjadi 5 putaran/s. Hitung besar torsi itu.

6. Gambar di samping menunjukkan beban dengan massa 400 gram menggantung pada ujung tali yang dililitkan pada tepi roda dengan jari-jari 15 cm. Setelah lepas dari keadaan diam, 6,5 detik kemudian beban turun sejauh 2 meter. Berapakah momen inersia roda?

7. Sebuah gelindingan (silinder tipis berongga) yang berjari-jari 20 cm dari keadaan diam dilepas dan menggelinding menuruni sebuah bidang miring. Berapah kecepatan sudut gelindingan itu pada saat berada 5 meter di bawah titik awal.

8. Sebuah roda pejal homogen menggelinding melalui puncak bukit dengan kecepatan 0,8 m/s. Berapakah kecepatan roda itu bila berada 18 cm di bawah puncak?

F

030A B

1F2F

2l

1l

F

R

R

grm 400


48

9. Sebuah roda bermassa M harus ditarik ke atas pinggiran jalan setinggi h. Jari-jari roda R. Jika tinggi trotoar adalah dari tinggi pinggir jalan, buktikan bahwa gaya minimum yang diperlukan adalah:

3..min gMF F

R

Rh 21/(Soal Olimpiade Fisika Unram 2001)

BAB VII. DINAMIKA ROTASI

Dalam kinematika rotasi kita sudah membahas gerak rotasi suatu partikel atau benda tanpa memperhatikan penyebab terjadinya gerak rotasi tersebut. Dalam dinamika rotasi ini kita akan membahas bagaimana suatu benda dapat berotasi dan apa yang menyebabkannya.

2.1. Momen Gaya

Pada gerak translasi, perubahan gerak (translasi) sebuah benda hanya dapat terjadi jika ada gaya yang bekerja pada benda itu. Yang dimaksud dengan perubahan gerak dalam hal ini adalah perubahan kecepatan. Suatu benda akan diam atau bergerak lurus beraturan bila resultan gaya yang bekerja pada benda itu sama dengan nol.

Pada gerak rotasi, untuk membuat suatu benda berotasi (berputar) tidak cukup hanya dengan diberi gaya. Sebuah benda akan berubah geraknya dari diam menjadi berputar jika kepada benda itu diberikan gaya (pemutar) dengan cara tertentu. Gaya pemutar ini disebut dengan momen gaya dan perubahan geraknya adalah perubahan kecepatan sudut benda (benda mengalami percepatan sudut yaitu pertambahan kecepatan sudut secara beraturan sesuai dengan perubahan waktu).

Jika sebuah gaya F bekerja pada tepi sebuah roda berjari-jari r dengan sumbu rotasi terletak pada poros O, maka momen gaya yang bekerja pada tepi roda terhadap poros O didefenisikan oleh persamaan berikut:

= F. d

Karena d = r sin , maka:

= F. r. sin

dengan:

t = momen gaya / Torsi (N. m)

F = gaya (N)

r = jarak sumbu rotasi dengan titik tempat gaya bekerja (m)

d = lengan momen gaya (m)

= sudut antara arah gaya dengan r .

Contoh Soal 1:

Sebuah gaya F bekerja pada sebuah roda dengan sumbu O dengan posisi gaya masing-masing ditunjukkan seperti gambar berikut. Tentukan momen gaya yang bekerja terhadap sumbu O dan tentukan pula arah rotasinya.

Jawab:

a. Diket: F = 100 N,

r = 50 cm = 0,5 m

= 900

b. Diket:F = 25 N

r = 40 cm = 0,4 m

= 600

c. Diket:F = 50 N

r = 30 cm = 0,3 m

= 450

Resultan Momen Gaya

Jika pada suatu benda bekerja lebih dari satu momen gaya, maka momen gaya yang mengakibatkan benda berotasi searah putaran jarum jam diberi tanda positif dan yang mengakibatkan benda berotasi berlawanan dengan putaran jarum jam diberi tanda negatif.

Jika resultannya bernilai positif maka benda akan berotasi searah putaran jarum jam dan resultannya bernilai negatif maka benda akan berotasi berlawanan dengan putaran jarum jam.

Contoh Soal 2:

Pada sebuah roda dengan sumbu rotasi di titik O bekerja dua buah gaya yaitu F1 dan F2 seperti gambar. Jika F1 = 80 N dan F2 = 100 N, tentukan resultan momen gaya dan arah rotasinya.

Diket: F1 = 80 N

F2 =100 N

r1 = 4 cm = 0,04 m

r2= 3 cm = 0,03 m

Dit: dan arah rotasi

Jawab:

Momen gaya oleh F1 adalah:

= + F1. r1. sin 1

= + 80. 0,04. sin

= + 3,2. 0,5 = + 1,6 N.m

Momen gaya oleh F2 adalah:

= - F2. r2. sin 2

= - 100. 0,03. sin

= - 3. 0,5 = - 1,5 N.m

Resultan Momen gayanya adalah: 2 = +1,6 + (-1,5) = + 0,1 N.m

Karena momen gaya bernilai + maka arah rotasinya searah putaran jarum jam.

Contoh Soal 3: (Jawab sendiri)

Pada gambar berikut ini jika diketahui nilai a = 10 cm dan b = 25 cm , tentukan resultan momen gaya yang bekerja pada roda dan tentukan juga arah rotasinya.

2.2. Momen Inersia

Pada gerak linear, ukuran inersia suatu benda (kecenderungan untuk mempertahankan keadaannya) ditentukan oleh massa benda. Untuk gerak rotasi, ukuran inersia suatu benda selain ditentukan oleh massa benda tetapi juga dipengaruhi oleh pola distribusi massa tehadap sumbu rotasi. Pola distribusi massa terhadap sumbu rotasi disebut dengan momen inersia.

2.2.1. Momen Inersia Partikel

Momen inersia I dari suatu partikel bermassa m terhadap sumbu rotasi yang terletak sejauh r dari partikel didefenisikan sebagai hasil kali antara massa partikel dengan kuadrat jarak dari sumbu rotasi.Secara matematis dituliskan:

I = m. r2

Apabila terdapat sejumlah partikel dengan massa masing-masing m1, m2, m3,mn dan jaraknya dari sumbu rotasi r1, r2, r3, rn , maka momen inersia total adalah:

I = mn.rn2 = m1. r12 + m2 r22 + m3 r32 +..+ mn. rn2

I = momen inersia (kg.m2).

Contoh Soal 4:

Dua buah partikel masing-masing bermassa m dan terpisah sejauh l seperti gambar berikut. Hitunglah momen inersianya jika:

a. kedua partikel diputar dengan sumbu putar di C

b. Kedua partikel diputar dengan sumbu putar di A.

Penyelesaian:

a. Apabila kedua partikel diputar dengan sumbu putar di C, momen inersianya:

b. Apabila kedua partikel diputar dengan sumbu putar di A, momen inersianya:

Contoh Soal 5:

Perhatikan gambar berikut:

Diket:

m1 =10 kg, r1 = 20 cm

m2 = 8 kg, r2 = 30 cm

m3 = 5 kg, r3 = 50 cm

Tentukan momen inersia sisten di atas jika diputar dengan sumbu putar :

a. di titik A b. di m2

Penyelesaian:

a. Jika diputar di titik A, maka momen inersia sistem adalah:

b. Jika diputar di m2, momen inersianya adalah:

2.2.2. Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar adalah benda yang jika dikenai gaya tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Benda tegar memiliki pola distribusi massa yang kontinu yang terdiri dari sejumlah besar elemen massa dm yang berjarak r dari sumbu rotasi. Momen inersia benda tegar dapat ditentukan dengan metode integral dengan persamaan:

dengan batas integral yang dipilih harus mencakup seluruh elemen massa.

Berikut adalah salah satu contoh cara mencari persamaan (rumus ) momen inersia dari suatu benda tegar yaitu: momen inersia batang panjang homogen dengan panjang l dam massa m dengan pusat rotasi pada salah satu ujungnya.

(batas integral dari 0 sampai l)

Jika sumbu putar terletak ditengah-tengah batang (batas integral dari l sampai l)

Diperoleh momen inersia untuk batang dengan panjang l dan sumbu rotasi terletak ditengah-tengah batang sebagai berikut:

Dengan menggunakan cara yang sama maka untuk benda lain diperoleh momen inersia sebagai berikut:

2.3. Hubungan Antara Momen Gaya dengan Percepatan Sudut

Misalkan pada sebuah partikel yang massanya m di tepi sebuah roda yang jari-jarinya R dikerjakan sebuah gaya F seperti gambar berikut:

Menurut hukum II Newton, gaya tangensial F akan menimbulkan percepatan tangensial (aT) :

F=m.aT

Karena momen gaya:

= F. R dan percepatan tangensial

aT = .R, maka diperoleh:

= F. R = (m.aT). R = m.. .R. R = m.R2

Karena: I= m.R2

Maka:

Persamaan di atas adalah persamaan hukum II Newton untuk gerak rotasi.

Contoh Soal 6:

Sebuah silinder pejal mempunyai jari-jari 10 cm, massa 1 kg dan ditepi silinder dililitkan tali. Jika silinder mula-mula dalam keadaan diam kemudian tali ditarik dengan gaya 10 N, tentukan:

a. Momen gaya pada silinder

b. Percepatan sudut silinder

c. Kecepatan sudut silinder setelah 10 sekon.

Diket: m = 1 kg, R = 10 cm = 0,1 m

0 = 0 rad/s (diam)

F = 10 N

Dit:a. b. c. pada t = 10 sekon

Jawab:

a. = F. R = 10. 0,1 = 1 N.m

b. Kita hitung dulu momen inersia silinder pejal

Maka:

c. Setelah 10 sekon: = 0 + . t = 0 + 200. 10 = 2000 rad/s

Contoh Soal 7:

Pada tepi sebuah roda pejal homogen dililitkan sebuah tali dan kemudian ujung tali ditarik dengan gaya F sebesar 6 N. Jika massa roda 5 kg dan jari-jarinya 20 cm, tentukan percepatan sudut roda tsb.

Diket:F = 6 N Dit: = ..?

m = 5 kg

R = 20 cm = 0,2 m

Jawab:

Sebelum dihitung percepatan sudutnya, kita hitung terlebih dulu momen inersia (I) dan momen gaya () yang bekerja pada roda.

Momen inersia :

Momen gaya: = F. R = 6. 0,2 = 1,2 Nm

Maka percepatan sudut yang dialami roda adalah:

2.4. Usaha dan Energi dalam Gerak Rotasi

2.4.1. Energi Kinetik dalam Gerak Rotasi

Energi kinetik yang dimiliki oleh benda berotasi disebut dengan energi kinetik rotasi. Persamaannya dapat diturunkan dari persamaan energi kinetik translasi sbb:

, karena berlaku hubungan : v = . R , maka:

Mengingat bahwa momen inersia secara umum adalah: I = m.R2, maka diperoleh energi kinetik rotasi:

dengan:

Gerak Menggelinding

Benda yang menggelinding melakukan dua gerak sekaligus yaitu gerak translasi dan gerak rotasi. Oleh karena itu, benda yang menggelinding mempunyai energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi, yaitu:

Ek =Ektranslasi + Ekrotasi

2.4.2. Usaha dalam Gerak Rotasi

Usaha yang ditimbulkan oleh momen gaya dalam gerak rotasi dapat diturunkan dari persamaan usaha pada gerak translasi sebagai berikut:

W = F.s

Karena berlaku hubungan : s = . R dan = F.R , maka diperoleh:

W = F. (. R) = (F. R).

W = dengan:

Apabila usaha yang dikerjakan pada benda yang berotasi mengakibatkan kecepatan sudut benda berubah dari 1 menjadi 2, maka berlaku hubungan usaha dengan energi kinetik sebagai berikut:

Usaha = perubahan energi kinetik

2.4.3. Hukum Kekekalan Energi Mekanik pada Gerak Rotasi

Sebuah benda menggelinding pada ketinggian h1 dengan kecepatan sudut 1 kemudian benda itu menaiki sebuah bidang miring sehingga pada saat mencapai ketinggian h2 kecepatan sudutnya menjadi 2 (perhatikan gambar).

Apabila momen gaya luar yang bekerja pada benda sama dengan nol, maka dalam hal ini berlaku hukum kekekalan energi mekanik untuk gerak rotasi sbb:

EM1 =EM2

Ep1 + EKtran 1 + Ekrotasi 1 = Ep2 + EKtran 2 + Ekrotasi 2 atau:

Untuk lebih jelasnya pelajari contoh soal sebagai berikut:

Contoh Soal 8:

Sebuah silinder pejal yang massanya 12 kg dan jari-jari 40 cm menggelinding pada bidang datar dengan kecepatan linear tetap 5 m/s. Hitunglah energi kinetik silinder tersebut.

Diket: m = 12 kgDitanya: Ek =?

R = 40 cm = 0,4 m

v = 5 m/s

jawab:

Untuk silinder pejal berlaku : I =1/2 m.R2 ,sehingga:

Contoh Soal 9:

Sebuah roda pejal beraturan menggelinding pada lantai datar dengan kecepatan 20 m/s kemudian menaiki sebuah bidang miring seperti pada gambar. Jika g = 10 m/s2, tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai roda tsb.

Diket:v1 = 20 m/s , h1 = 0 m Dit: h2 =..?

V2 = 0 m/s, g = 10 m/s2

Jawab:

Untuk menjawab persoalan ini kita gunakan hukum kekekalan energi mekanik:

EM1 =EM2

Ep1 + EKtran 1 + Ekrotasi 1 = Ep2 + EKtran 2 + Ekrotasi 2

Contoh Soal 10:

Dua buah benda A dan B massanya 6 kgdan 3 kg. Kedua benda itu dihubungkan dengan tali yang massanya diabaikan melalui sebuah katrol yang bermassa 2 kg dan jari-jarinya 10 cm seperti pada gambar. Benda B terletak di atas bidang datar kasar dengan koefesien gesekan 0,2. Hitunglah percepatan sisten tersebut.

Diket: mA = 6 kg, mB = 3 kg, mk = 2 kgDit: a =..?

k = 0,2 , R= 10 cm = 0,1 m

Jawab:

Pada saat mempelajari Hukum Newton, biasanya katrol dianggap licin dan tidak ikut bergerak sehingga tegangan tali di atas dan bawah sama besar. Tetapi kalau katrol ikut berputar, berarti momen inersia katrol harus diperhitungkan sehingga tegangan tali di atas tidak sama dengan tegangan tali di bawah. Apabila diuraikan dengan menggunakan hukum II Newton untuk gerak rotasi dan translasi maka diperoleh persamaan percepatannya:

LATIHAN 2:

1. Batang AB massanya 5 kg dan panjangnya 60 cm diputar dengan gaya F = 35 N dengan salah satu ujungnya sebagai sumbu rotasinya. Hitunglah:

a. Momen gaya yang bekerja pada batang.

b. Momen inersia batang AB

c. Percepatan sudut yang dialami.

2. Pada sebuah silinder bekerja dua buah gaya seperti ditunjukkan oleh gambar disamping. Jika F1 = 5 N, jari-jari luar 35 cm dan jari-jari dalam 15 cm. Jika momen gaya total yang bekerja pada silinder adalah 2,5 Nm, tentukan besar F2.

3. Gambar disamping menunjukkan gaya 40 N dikerjakan secara tangensial pada tepi roda yang berjari-jari 20 cm. Jika momen inersia roda 30 kgm2, tentukan (a) percepatan sudut, (b) kecepatan sudut roda 4 detik setelah roda berputar dari keadaan diam, (c) jumlah putaran roda dalam 4 sekon, (d) buktikan bahwa usaha yang dilakukan pada roda sama dengan perubahan energi kinetik rotasi roda selama 4 detik.

4. Sebuah roda gerinda yang homoggen bermassa 0,9 kg dan jari-jarinya 8 cm. Roda mula-mula berputar dengan kecepatan 1400 rpm (rotasi per menit). Karena gesekan, dalam waktu 35 sekon ternyata berhenti. Hitung momen gaya yang dialami roda dari gaya gesek itu.

5. Sebuah roda gila dengan momen inersia 3,8 kgm2 oleh sebuah torsi bebas dipercepat hingga dalam 6 putaran saja kecepatan sudutnya berubah dari 2 putaran/s menjadi 5 putaran/s. Hitung besar torsi itu.

6. Gambar di samping menunjukkan beban dengan massa 400 gram menggantung pada ujung tali yang dililitkan pada tepi roda dengan jari-jari 15 cm. Setelah lepas dari keadaan diam, 6,5 detik kemudian beban turun sejauh 2 meter. Berapakah momen inersia roda?

7. Sebuah gelindingan (silinder tipis berongga) yang berjari-jari 20 cm dari keadaan diam dilepas dan menggelinding menuruni sebuah bidang miring. Berapah kecepatan sudut gelindingan itu pada saat berada 5 meter di bawah titik awal.

8. Sebuah roda pejal homogen menggelinding melalui puncak bukit dengan kecepatan 0,8 m/s. Berapakah kecepatan roda itu bila berada 18 cm di bawah puncak?

9. Sebuah roda bermassa M harus ditarik ke atas pinggiran jalan setinggi h. Jari-jari roda R. Jika tinggi trotoar adalah dari tinggi pinggir jalan, buktikan bahwa gaya minimum yang diperlukan adalah:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

= F. r. sin

= 50. 0,3. sin 450

= 15. (2

= 7,5 (3 Nm (berlawanan dengan putaran jarum jam)

= F. r. sin

= 25. 0,4. sin 600

= 10. (3

= 5 (3 Nm (berlawanan dengan putaran jarum jam)

= F. r. sin

= 100. 0,5. sin 900

= 50 Nm (searah putaran jarum jam)

c.

450

b.

600

a

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Dengan:

= momen gaya (N.m)

F = gaya (N)

= percepatan sudut (rad/s)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

W = usaha (J)

= momen gaya (N.m)

= sudut tempuh (radian)

Ek = energi kinetik rotasi (J)

= momen inersia (kg.m2)

= kecepatan sudut (rad/s) , v =kecepatan linear (m/s)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Persamaan ini dikenal sebagai teorema usaha-energi pada gerak rotasi.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(Soal Olimpiade Fisika Unram 2001)

PAGE

48

Fisika SMA kelas XI Semester Genap

Dinamika Rotasi

_1232285073.unknown

_1232733451.unknown

_1232738810.unknown

_1232739314.unknown

_1232740631.unknown

_1232741078.unknown

_1232741166.unknown

_1232766023.unknown

_1232741097.unknown

_1232740935.unknown

_1232739891.unknown

_1232739918.unknown

_1232739364.unknown

_1232739253.unknown

_1232739270.unknown

_1232738966.unknown

_1232738975.unknown

_1232738821.unknown

_1232734457.unknown

_1232736915.unknown

_1232737986.unknown

_1232735078.unknown

_1232736729.unknown

_1232734180.unknown

_1232734272.unknown

_1232734300.unknown

_1232734142.unknown

_1232734169.unknown

_1232734133.unknown

_1232729969.unknown

_1232732964.unknown

_1232733433.unknown

_1232732711.unknown

_1232285577.unknown

_1232287412.unknown

_1232728472.unknown

_1232729630.unknown

_1232724997.unknown

_1232287424.unknown

_1232286548.unknown

_1232286650.unknown

_1232285937.unknown

_1232285255.unknown

_1232285563.unknown

_1232285538.unknown

_1232285118.unknown

_1232285217.unknown

_1232283315.unknown

_1232284135.unknown

_1232284366.unknown

_1232284680.unknown

_1232284986.unknown

_1232285053.unknown

_1232284733.unknown

_1232284508.unknown

_1232284155.unknown

_1232284003.unknown

_1232284079.unknown

_1232283789.unknown

_1232282129.unknown

_1232282649.unknown

_1232283136.unknown

_1232282416.unknown

_1232282631.unknown

_1232282394.unknown

_1232282378.unknown

_1232279888.unknown

_1232280903.unknown

_1232282036.unknown

_1232279889.unknown

_1232279749.unknown

_1232279887.unknown

_1232279715.unknown

_1232279727.unknown

_1232279454.unknown

_1232279673.unknown

_1232279290.unknown

bab 7. dinamika rotasi

Documents