Kompetensi  181 

BAB 7. ANALISIS KORELASI DAN REGRESI

eneliti sering dihadapkan pada data yang memiliki banyak peubah

(misalnya data Nilai ujian nasional, terdiri atas beberapa peubah seperti

jenis kelamin, identitas institusi, nilai ujian beberapa mata pelajaran).

Dalam hal data mengandung banyak peubah, seseorang peneliti mungkin

tertarik untuk mengetahui (menguji) apakah suatu peubah berhubungan dengan

peubah lainnya, baik dengan menghitung sebatas pada derajat asosiasi melalui

analisis korelasi, maupun dengan menentukan bentuk fungsi/model hubungannya

melalui analisis regresi. Pada bab ini akan dibahas analisis korelasi dan regresi

sederhana.

KOMPETENSI

Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca dapat menghitung korelasi

produk momen, memahami maknanya, dapat melakukan analisi regresi baik

dengan satu maupun banyak peubah, serta dapat menginterpretasikan hasilnya.

MATERI

Korelasi Produk Momen

Analisis regresi sederhana

P

182 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

Analisis regresi peubah ganda

Pengantar analisi regresi modern

7.1 ANALISIS KORELASI

Dalam analisis korelasi, kita menghitung derajat asosiasi antara satu peubah dengan

peubah lain (misalnya antara berat badan dan tinggi badan, antara berat badan

dengan kolesterol, antara nilai IQ dengan perolehan nilai ujian mata pelajaran

matematika dan sebagainya). Ada dua jenis ukuran korelasi yang banyak dipakai

yaitu:

1. Korelasi produk momen Pearson untuk mengukur derajat asosiasi antara

beberapa peubah dengan skala interval atau rasio.

2. Korelasi Spearman untuk mengukur derajat asosiasi antara beberapa peubah

dengan skala ordinal (rank).

Koefisien korelasi atau derajat asosiasi dua peubah (dinotasikan dengan r)

dihitung dengan rumus pada Pers. 7.1 yang sesungguhnya identik dan merupakan

modifikasi dari rumus pada Pers. 3.12.

Pers. 7.1 1 1 12 2

2 2

1 1 1 1

1

1 1

n n n

i i i ii i i

n n n n

i i i ii i i i

x y x ynr

x x y yn n

= = =

= = = =

−=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

Analisis Korelasi  183 

Besarnya r berkisar antara 1 1r− ≤ ≤ . Ilustrasi grafik sebaran data dengan berbagai

nilai korelasi dapat disajikan dalam bentuk diagram pencar. Bentuk pencaran data

terkait dengan besarnya korelasi dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 7.1.

1. Korelasi negatif menunjukan bahwa kedua peubah (X dan Y) memiliki

kecenderungan yang berlawanan (yaitu kenaikan nilai X, diikuti dengan

penurunan nilai Y, demikian juga sebaliknya penurunan nilai X diikuti dengan

kenaikan nilai Y), seperti pada Gambar 7.1 (a) dan Gambar 7.1 (b). Nilai r = -

1 menunjukkan kedua peubah berkorelasi negatif secara sempurna. Sebaran

data tepat membentuk garis lurus (hal yang dalam kenyatan jarang terjadi).

2. Korelasi nol (r=0) menunjukan bahwa kedua peubah tidak berkorelasi, yaitu

kenaikan atau penurunan nilai peubah X, tidak mempengaruhi nilai peubah Y,

seperti pada Gambar 7.1 (c).

3. Korelasi positif menunjukan bahwa kedua peubah memiliki kecenderungan

yang sama, yaitu kenaikan nilai X, diikuti dengan kenaikan nilai Y, demikian

juga sebaliknya penurunan nilai X diikuti dengan penurunan nilai Y,

sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 7.1 (d), Gambar 7.1 (e) dan

Gambar 7.1 (f). Nilai r = 1 menunjukkan kedua peubah berkorelasi positif

secara sempurna.

184 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

40 45 50 55

-110

-100

-90

-80

(a) r=-0.99

X

Y

40 45 50 55

-120

-100

-90

-80

(b) r=-0.75

XY

40 45 50 55

-2-1

01

23

(c) r=0

X

Y

40 45 50 55

7080

9010

012

0

(d) r=0.60

X

Y

40 45 50 55

7080

9010

011

012

0(e) r=0.70

X

Y

40 45 50 55

8090

100

110

(f) r=0.99

X

Y

Gambar 7.1 Diagram pencar data (X,Y) dengan berbagai nilai korelasi

7.1.1 MENGHITUNG KORELASI SECARA MANUAL

Untuk ukuran sampel yang relatif kecil, perhitungan koefisien korelasi secara

manual menggunakan persamaan (8.1) masih mungkin dilakukan. Adanya Sebelum

komputer atau kalkulator, perhitungan secara manual banyak juga dilakukan

dengan mengunakan teknik yang disebut peta korelasi (lihat misalnya Hadi [8]).

Analisis Korelasi  185 

Contoh 7.1

Berikut adalah contoh pasangan data fiktif dengan jumlah pasangan 10 sehinga

masih mungkin dihitung secara manual.

x y xy x2 y2 8 5.00 40 64 25

10 4.00 40 100 16 5 3.00 15 25 9 6 3.00 18 36 9 7 4.00 28 49 16 8 4.00 32 64 16 9 5.00 45 81 25 5 3.00 15 25 9

10 5.00 50 100 25 4 2.00 8 16 4

72 38 291 560 154 x∑ y∑ xy∑ 2x∑ 2y∑

7.2 3.8 29.1 56 15.4 x∑ /n y∑ /n xy∑ /n

2x∑ /n 2y∑ /n

Hasil perhitugan pada tabel di atas selanjutnya dimasukkan ke dalam rumus pada

persamaan 8.1 sehingga diperoleh:

2 2

291 1/10 72 38 17,4 0,8719,98560 72 /10 154 38 /10

r − × ×= = =

− −

Hasil yang sama diperoleh dengan menghitung mengunakan R.

7.1.2 MENGHITUNG KORELASI DENGAN RCOMMANDER

Ada dua macam korelasi yang dapat dihitung melalui RCommander, yaitu

1. Matriks korelasi yang sekaligus menghitung korelasi beberapa (lebih dari dua)

peubah (lihat Gambar 7.2).

186 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

2. Uji korelasi untuk menghitung dan menguji korelasi antara dua peubah. Dengan

uji ini kita dapat menguji apakah korelasi antara dua peubah signifikan atau

dapat diabaikan (Gambar 7.3).

Gambar 7.2 Menu dialog Matriks Korelasi untuk korelasi Pearson dan Spearman

Berikut adalah hasil keluaran matriks korelasi untuk empat peubah. Dalam matriks

ini yang dihitung hanya besarnya korelasi tanpa ada uji apakah korelasinya

bermakna atau tidak.

NFis NIng NMat Pkn

NFis 1.0000000 0.3040950 0.8152343 0.3533408

NIng 0.3040950 1.0000000 0.2653100 0.7178789

NMat 0.8152343 0.2653100 1.0000000 0.4906039

Pkn 0.3533408 0.7178789 0.4906039 1.0000000

Analisis Korelasi  187 

Gambar 7.3 Menu dan Dialog Uji Korelasi Pearson dan Spearman

Salah satu korelasi dari empat peubah (misalnya antara NFis dengan Nmat) di atas

dapat diuji lebih jauh melalui uji korelasi. Hasil analisisnya adalah sebagai berikut

ini.

1. Pearson's product-moment correlation

2. data: DataSim$NFis and DataSim$NMat

3. t = 12.4323, df = 78, p-value < 2.2e-16

4. alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0

5. 95 percent confidence interval:

0.7254628 0.8777313

6. sample estimates:

cor

0.8152343

Keterangan

1. Judul uji yaitu Uji korelas produk momen dari Pearson

188 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

2. Nama data dan peubah yang korelasinya diuji, yaitu data “DataSim” varianel

“NFis” dan “NMat”.

3. Besarnya nilai t hitung (12,43), derajat kebebasan (78) dan nilai peluang p

(<1%, yang berarti sangat signifikan).

4. Rumusan hipotesis alternatif (yaitu korelasi tidak sama dengan 0)

5. Interval keyakinan 95% dari korelasi populasi yaitu [0,73; 0,88].

6. Korelasi sampel (cor), yaitu 0,82 yang secara manual pada prinsipnya dapat

dihitung dengan menggunakan rumus pada persamaan Pers. 7.1.

Dari hasil uji dapat disimpulkan bahwa nilai korelasi kedua peubah tersebut adalah

0,82. Hasil ini sangat signifikan (p-value < 2.2e-16). Interval keyakinan 95%

korelasi populasi adalah 0,73 0,88.r≤ ≤

Koefisien korelasi hanya mengukur derajat asosiasi asosiasi dua peubah acak, yaitu

menjelaskan tren umum apakah kenaikan atau penurunan nilai pada salah satu

peubah akan diikuti dengan kenaikan atau penurunan pada nilai peubah yang lain.

Analisis korelasi belum bisa dijadikan alat untuk memprediksi nilai suatu peubah

apabila nilai peubah yang lain diketahui. Jika kepentingannya adalah untuk

memprediksi nilai suatu peubah berdasarkan nilai peubah yang lain, maka harus

dilakukan uji regresi.

7.2 ANALISIS REGRESI SEDERHANA

Jika dalam analisis korelasi peneliti hanya tertarik pada derajat asosiasi atau

kecenderungan umum dua buah peubah atau lebih, maka dalam analisis regresi

peneliti ingin memperoleh hubungan fungsional antara dua peubah yang

dinyatakan dalam bentuk ,Y a bX= + yang merupakan penduga dari fungsi yang

ada pada populasi yang biasa dinotasikan dengan 0 1, atau = ,Y X Y Xα β β β= + +

atau untuk peubah bebas lebih dari satu dinyatakan sebagai

0 1 1 2 2= ,...Y X Xβ β β+ + Melalui analisis regresi peneliti ingin menghitung nilai

Analisis Regresi Sederhana  189 

penduga untuk jβ yang sesuai dengan data. Selain melakukan penghitungan nilai

penduga untuk jβ juga sekaligus melakukan uji apakah nilainya signifikan atau

dapat diabaikan (tidak signifikan).

Analisis regresi sederhana hanya terdiri atas satu peubah bebas (peubah

penjelas/eksplanatori) X dan satu peubah terikat (respon) Y dengan hubungan linier.

Kedua peubah ini merupakan peubah kuantitatif, khusus untuk Y harus dengan

skala interval atau rasio. Dengan visualisasi secara geometris (lihat Gambar 7.9)

dapat ditafsirkan bahwa dengan analisis regresi kita ingin menduga garis populasi

yang sesungguhnya tidak pernah diketahui (garis lurus putus-putus) berdasarkan

sampel pasangan data pada sampel. Persoalanvini merupakan persoalan estimasi uji

inferensi daam regresi. Garis regresi penduga ini dapat dipergunakan untuk

meramal (prediksi) rentang rata-rata nilai Y pada saat nilai X diketahui, demikian

juga rentang nilai-nilai Y pada saat nilai tertentu dari X .Persoalan yang terakhirt ini

merupakan persoalan prediksi dalam regresi

190 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

0 5 10 15 20 25

050

100

150

Diagram Pencar & Sabuk Keyakinan

x

y

Gambar 7.4 Ilustrasi Garis regresi populasi, regresi penduga dengan sabuk keyakinannya.

7.2.1 ESTIMASI DAN UJI INFERENSI PARAMETER REGRESI

Pendugan dengan metode statistika selain menghasilkan dugaan berupa garis

(garis lurus langsung), juga menghasilkan batas simpangan garis secara

keseluruhan yang membentuk sabuk keyakinan. Secara umum, pendugaan

termasuk baik, jika garis populasi masih berada didalam batas sabuk keyakinan

yang terbentuk. Secara geometris, kita mencari garis yang menjadi penduga garis

regresi populasi, adalah garis yang paling mewakili sebaran data yang kita miliki.

Analisis Regresi Sederhana  191 

Garis yang paling mewakili adalah garis lurus sedemikian sehingga simpangan

titik-titik data terhadap garis menjadi minimum. Salah satu cara menentukan

penduga garis ini adalah dengan metode kuadrat terkecil yang pada dasarnya

meminumkan bentuk kuadrat

[ ]220 1( ) ,i iQ e y xβ β= = − +∑ ∑

terhadap parameter jβ untuk j=1,2. Dengan kata lain kita mencari 0 1,β β

sedemikian sehingga Pers. 7.2 memcapai nilai minimum.

Pers. 7.2 ( )2

0 11

n

ee ii

s y xβ β=

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦∑

Penurunan secara matematus menghasilkan

Pers. 7.3 0 1 ,y xβ β= −) )

Pers. 7.4 1 1 11 2

2

1 1

1/,

1/

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

x y n x y

x n xβ = = =

= =

−=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑

)

Pers. 7.5 1 ,xy

xx

ss

β =)

dengan

Pers. 7.6

2

2 11 1

1 1

,

nn n

ii in nii i

xy i i xx ii i

xx ys x y s x

n n== =

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − = −∑∑ ∑

∑ ∑

Jika rumus pada Pers. 7.4 dikaitkan dengan rumus pada Pers. 8.1, maka dengan

pengetahuan matematika yang mencukupi dapat ditunjukkan bahwa

Pers. 7.7 1 ,xxy

y

srs

β =)

dengan ;x xx y yys s s s= =

192 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

Oleh karena sx dan sy adalah nonnegatif, maka tanda tanda koefisien regresi

(positif atau negatif) sama dengan koefisien korelasi. Selanjutnya dari Pers. 8.2 dan

8.3 diperoleh hubungan

1ee yy xys s sβ= − ,

dengan

2

2 1

1

n

ini

yy ii

ys y

n=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= −∑

∑ .

Selanjutnya penduga ragam populasi

Pers. 7.8 2σ = 2

2eess

n=

−.

Hal ini dijadikan dasar perhitungan kesalahan baku untukpenduga koefisien regresi

dengan memperhatikan bahwa:

1. Y adalah peubah acak dengan ragam 2,σ sementara X bukanlah peubah acak,

dan.

2. 2var( ) var( )ay c a y+ = untuk a dan c konstanta, maka kesalahan baku masing-

masing penduga adalah

Pers. 7.9 1 0

2 22 2 2 1,dan

xx xx

s xs s ss n sβ β

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

3. rasio 1 1/ sββ)

dan 0 0/ sββ)

masing-masing menghasilkan distribusi t dengan

derajat kebebasan (n-2).

4. Sedangkan uji keseluruhan /( 2)

xx

ee

sFs n

=−

menghasilkan distribusi F dengan

derajat kebebasan (1,n-2). Secara praktis F diperoleh dari 21tβ

Analisis Regresi Sederhana  193 

Selain melalui uji, kemanfaatan garis regresi yang diperoleh juga dilihat dari

besarnya koefisien determinasi (kuadrat korelasi). Garis regresi akan semakin baik,

jika nilai koefisien determinasinya mendekati 1. Dalam buku ini pembahasan lebih

difokuskan pada interpretasi hasil perhitungan dengan menggunakan komputer.

Prosedur pengujian analisis regresi sederhana adalah seperti berikut ini.

1. Rumusan Tujuan

Untuk menguji apakah ada hubungan atau hubungan linier signifikan antara

dua peubah yang ditunjukkan oleh 0 1Y a bX X Xα β β β= + = + = +) ) )) .

2. Asumsi

a. Data peubah respons Y bedistribusi Normal dengan ragam konstan

b. Sisa (residu), yaitu selisih antara data asli dengan garis regresi

berdistribusi normal dengan nilai-tengah nol dan ragam konstan.

c. Hubungan antara peubah X dan Y bersifat linier.

3. Rumusan Hipotesis untuk masing-masing koefisien

a. Hipotesis nihil

Ho: semua koefisien koefisien regresi sama dengan 0.

b. Ha untuk uji dua arah (two tails test)

Ha: Tidak semua semua koefisien regresi sama dengan 0.

4. Rumusan Hipotesis untuk uji keseluruhan

a. Hipotesis nihil

Garis regresi yang diperoleh tidak signifikan

b. Hipotesis alternatif

194 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

Garis regresi yang diperoleh signifikan

5. Rumus Manual (lihat persamaan-persamaan sebelumnya)

6. Kriteria

a. Uji masing-masing koefisien dilakukan dengan melihat nilai tmasing-

masing koefisien atau berdasarkanb p-value-nya. Berdasarkan nilai

kritis ,2, / 2nt α− untuk hipotesis dua arah, Ho ditolak jika dan hanya jika

2, / 2| | .hitung nt t α−≥ Sedangkan berdasarkan nilai p (p-value), Ho ditolak

dan Ha diterima jika p-value < 5%. Perhatikan bahwa nilai p berubah

sesuai jenis hipotesis alternatif yang dipilih (satu atau dua arah).

Kriteria ini yang banyak diimplemantasikan pada paket-paket statistika.

b. Uji keseluruhan dengan melihat nilaistatistik F dan menolak Ho

Secara grafis, contoh sebaran data asli dan sisa yang ideal memenuhi asumsi dapat

dilihat pada Gambar 7.5. Pada gambar tersebut terlihat bahwa data dan sisa

menyebar dengan lebar dari kiri ke kanan relatif sama (ragam konstan) dan

mengikuti garis lurus.

10 15 20 25 30

3040

5060

Sebaran Data Asli

x

y

30 40 50 60

-10

-50

510

Sisa

pred

sisa

Gambar 7.5 Diagram Pencar Data Asli (sebelah kiri) dan Sisa (sebelah kanan)

Contoh 7.2

Jika data pada Contoh 7.1 diteruskan dengan perhitungan koefisien regresi maka

akan diperoleh

Analisis Regresi Sederhana  195 

( )

2

1 22

1/

1/

291 1/10 72 38 17,4 = = =0,48 41,6560-72 /10

i i i i

i i

x y n x y

x n xβ

−=

−

− × ×

∑ ∑ ∑

∑ ∑)

Sementara itu,

10 1/

= 3,8 0,42 7,2 0,788

i in y xnββ = −

− × =

∑ ∑)

)

Hasil yang sama diperoleh dengan menggunakan RCommander. Dialog analisis

regresi sederhana dengan RCommander dapat dilihat pada Gambar 7.6.

Gambar 7.6 Dialog regresi linier sederhana untuk peubah NFis dan NMat

Contoh 7.3

Berikut adalah uji regresi untuk peubah NFis (Y) dan NMat (X) dari DataSim.

Dialog untuk peubah ini dapat dilihat pada Gambar 7.6. Keluaran dari program

tersebut adalah seperti berikut ini. Keluaran tersebut diberi nomor untuk

memudahkan penjelasan.

1. Call:

196 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

lm(formula = NFis ~ NMat, data = DataSim)

2. Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-29.4726 -2.6436 -0.5996 1.0129 34.2166

3. Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 8.55473 5.12003 1.671 0.0988 .

NMat 0.83811 0.06741 12.432 <2e-16 ***

---

4. Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

5. Residual standard error: 7.175 on 78 degrees of freedom

6. Multiple R-Squared: 0.6646, Adjusted R-squared: 0.6603

7. F-statistic: 154.6 on 1 and 78 DF, p-value: < 2.2e-16

Keterangan keluaran

1. Nama fungsi linier model (lm) R yang dipanggil, dengan data dan peubah

terkait. Pada contoh di atas data diambil dari DataSim dengan bentuk model

NFis=f(NMat), yaitu peubah respons adalah NFis dan peubah penjelas adalah

NMat. Dalam konteks ini peneliti ingin memperoleh hubungan fungsional

antara Nilai Ujian Fisika dengan Nilai Ujian Matematika.

2. Sebaran (statistik ringkas) dari kesalahan (sisa), yaitu penyimpangan antara

dugaan garis regresi dengan data.Sisa ini secara teoritis harus berpusat di 0

simetris dan dengan ragam konstan.

3. Hasil pendugaan koefisien dan uji signifikansinya. Pada contoh di atas

diperoleh:

Analisis Regresi Sederhana  197 

a. intercept (titk potong/konstanta) a=8,55 dengan nilai p = 0,099. Angka

ini menunjukkan bahwa konstanta regresi tidak signifikan. Walaupun

nilainya cukup besar (8,55) tetapi secara statistik dapat diabaikan.

Dengan kata lain model yang lebih tepat adalah model Y=bX. Ini juga

menunjukkan bahwa pada saat tingkat nilai X=0, maka Y juga

cenderung 0. Namun kusus untuk uji konstanta (intercept), nilai 0,09%

dapat dianggap sebagai nilai marjinal (dekat dengan 5%),oleh karena itu

konstanta cenderung dibiarkan pada model.

b. Koefisien regresi untuk peubah NMat, b,besarnya 0,83 dengan nilai p

<2e-16. Ini menunjukkan bahwa koefisien ini sangat signifikan

(walaupun secara matematis nominalnya jauh lebih kecil dibanding

konstanta).

Pada perhitungan ini dapat dilihat bahwa

c. 0

8,551,67. 5,12

EstimatetStd Errorβ

== =

=

d. 10,8312,43

. 0,067Estimatet

Std Errorβ=

= ==

4. Tingkat signifikansi yang diperoleh (0%, 0,1%, 1%, 5%, 10% dan 100%)

5. Kesalahan baku dari sisa dan derajat kebebasannya (besarnya n-2).

6. Koefisien determinasi asli dan koefisien determinasi yang telah disesuaikan.

Koefisien determinasi yang baik adalah yang mendekati 1. Semakin mendekati

1, semakin baik. Koefisien determinasi yang rendah menunjukkan banyak data

yang pemyebar jauh dari garis regresi. Besarnya koefisien determinasi

berbanding terbalik dengan besarnya kesalahan baku sisa. Jika kesalahan baku

besar, koefisien determinasi cenderung kecil (Lihat contoh keluaran

berikutnya).

198 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

7. Uji signifikansi garis regresi secara keseluruhan yang menggunakan uji F

menghasilkan F=154,6 = (12,432)2 = 1

2tβ

pada derajat kebebasan (1 dan n-2).

Pada contoh ini hasilnya signifikan (p-value: < 2.2e-16).

Contoh di atas menunjukkan bahwa secara keseluruhan uji regresi menunjukkan

hasil yang signifikan (ada hubungan signifikan antara nilai Fisika dan Matematika),

tetapi hubungan yang diperoleh tidak cukup baik dipergunakan untuk prediksi

karena koefisien determinasinya relatif rendah (0,66). Ini menunjukkan bahwa

banyak nilai yang menyebar jauh dari garis regresi seperti ditunjukkan oleh

diagram pencar pada Gambar 7.7.

50 60 70 80 90

5060

7080

90

NMat

NFi

s

Gambar 7.7 Diagram Pencar Data NMat dan Nfis dengan koefisien determinasi relatif rendah

Analisis Regresi Sederhana  199 

Contoh 7.4

Pada contoh berikut ini diberikan ilustrasi hasil analisis regresi antara peubah Y dan

X, dengan hasil yang signifikan baik pada koefisien maupun konstantanya serta

dengan koefisien determinasi yang lebih tinggi.

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-1.927959 -0.797888 -0.003435 0.696098 3.630627

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 4.93500 1.76506 2.796 0.00742 **

x -2.00117 0.03575 -55.973 < 2e-16 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.083 on 48 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.9849, Adjusted R-squared: 0.9846

F-statistic: 3133 on 1 and 48 DF, p-value: < 2.2e-16

Hasil di atas menunjukkan bahwa uji regresi sangat signifikan, baik untuk

konstanta maupun koefisien regresinya (semua nilai-p nya kurang dari 1%)

demikian juga uji keseluruhan menggunakan uji F. Model yang diperoleh juga

dapat digunakan untuk prediksi dengan baik dengan koefisien determinasi yang

besar (0,98) dan kesalahan baku yang relatif kecil (1,08). Ini menunjukkan bahwa

hubungan kedua peubah hampir sempurna dan sebaran datanya tidak jauh dari garis

regresi, seperti ditunjukkan oleh diagram pencar pada Gambar 7.8.

200 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

40 45 50 55-1

10-1

00-9

0-8

0

x

y1

Gambar 7.8 Diagram Pencar X dan Y

7.2.2 PREDIKSI DALAM REGRESI

Setelah mendapat penduga regresi yang signifikan, yang ditunjukkan oleh adanya

uji signifikansi secara keseluruhan, selanjutnya kita dapat menggunakan hasik

tersebut untuk kepentingan prediksi nilai Y atau rata-rata Y pada saat nilai X

tertentu (misalnya x). Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya, prediksi ini akan

bermanfaat atau lebih akurat apabila koefisien deterministiknya cukup besar

(mendekati 1) yang berarti data menyebar secara homogin dekat dengan garis

regresi. Secara umum ada dua jenis prediksi yang dapat dilakukan, seperti berikut

ini:

1. Prediksi nilai rata-rata Y pada saat nilai X tertentu, misalnya xp.

2. Prediksi nilai Y pada saat nilai X tertentu.

Prediksi di atas pada dasarnya adalah penduga interval dengan nilai penduga titik

0 1y xβ β= + . Kesalahan baku dari keduanya adalah sebagai berikut

Pers. 7.10 ( )2

2 1 peey

xx

x xs s

n s

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

dan ( )2

/ 21ˆ p

xx

x xy y t s

n sα

−= ± +

Analisis Regresi Sederhana  201 

Pers. 7.11 $

( )2

2 11 peey

xx

x xs s

n s

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

dan ( )2

/ 21ˆ 1 p

xx

x xy y t s

n sα

−= ± + +

Kedua prediksi di atas berbeda dalam lebar interval dugaan karena penduga rata-

rata dan penduga nilai tunggal nilai Y memiliki kasalahan baku yang berbeda.

Dengan R seseorang dapat menghitung prediksi tersebut sekaligus

mengilustrasikannya dalam bentuk grafik seperti pada Gambar 7.9. Pada gambar

tersebut prediksi dilakukan pada saat nilai X sama dengan rata-rata X, yaitu

x =12,5. Pada saat itu nilai penduga titiknya adalah 67,66 (10,76 + 4,55x ) dengan

penduga interval 95% untuk rata-rata 12,5|xy = adalah [62,13; 73,18] dan interval

penduga 95% dari 12,5|xy = adalah [28,18; 107,10]

202 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

0 5 10 15 20 25

050

100

150

Diagram Pencar & Sabuk Keyakinan

x

y

Gambar 7.9 Ilustrasi Garis regresi populasi, regresi prediksi nilaiY dan rata-rata Y pada saat nilai tertentu dari X dengan interval keyakinannya.

7.3 MODEL LINIER: REGRESI PEUBAH GANDA

RCommander menyediakan menu untuk analisis regresi dengan model yang lebih

kompleks yaitu model dengan lebih dari satu peubah bebas (penjelas) baik berupa

peubah kuantitatif maupun faktor (seperti jenis kelamin atau pengelompokan lain

dalam populasi). Dialog untuk model linier diberikan pada Gambar 7.10.

Dalam dialog itu ada beberapa hal yang harus diperhatikan yaitu:

Batas interval Y

Batas interval rata-rata Y

Model Linier: Regresi Peubah Ganda  203 

1. Nama model yang terisi secara otomatis sesuai jenis regresi yang dipanggil

(linier model, GLM dan sebagainya)

2. Nama-nama peubah (dengan jenisnya). Kita bisa mengetahui peubah yang

berupa kuantitatif maupun faktor. Peubah-peubah ini bisa dipilih dengan

meng-klik.

3. Rumusan formula model. Model dalam R dinyatakan dalam bentuk

Y=f(X1,X2,...) dengan Y adalah peubah respons dan Xi adalah peubah bebas.

Secara umum untuk peubah kuantitatif penambahan beberapa peubah

kuantitatif dinyatakan dengan tanda “+”, misalnya X1+X2.

Gambar 7.10 Dialog Model Linier

Hasil analisis regresi dengan banyak peubah pada dasarnya sama dengan hasil

analisis sebelumnya hanya koefisien yang diestimasi lebih banyak yaitu konstanta

dan koefisien masing-masing peubah bebas. Berikut adalah contoh keluaran

analisis regresi untuk dua peubah bebas NMat dan NIng terhadap NFis. Misalkan

kita ingin menguji hubungan 0 1 2 NFis NMat NIngβ β β= + + . Dalam Formula

dituliskan

204 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

NFis ~ NMat + NIng

Keluaran yang dihasilkan adalah seperti berikut ini.

Call:

lm(formula = NFis ~ NMat + NIng, data = DataSim)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-29.0987 -2.9626 -0.4881 1.7663 32.4172

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 1.67825 7.07947 0.237 0.813

NMat 0.81235 0.06950 11.689 <2e-16 ***

NIng 0.10519 0.07528 1.397 0.166

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Eksplorasi lebih jauh

1. Aktifkan salah satu data yang ada pada Ratau yang ada pada CD (format excel)

2. Lakukan uji regresi baik dengan 1 atau lebih peubah penjelas.

3. Periksa nilai pengujian masing-masing koefisien

4. Periksa nilai pengujian secara keseluruhan

5. Periksa nilai koefisien determinasinya

6. Jelaskankesimpulan anda terhadaphasil pengujian yang dilakukan.

Diagnostik Model Melalui Grafik  205 

7.4 DIAGNOSTIK MODEL MELALUI GRAFIK

Pemeriksaan terhadap kecocokan analisis regresi dengan kondisi data yang

dianalisis disebut diagnostik model. Salah satu cara mendiagnostik model adalah

dengan melihat sebaran sisa (residu). Residu atau sisa adalah selisih antara nilai

observasi (observed value) dengan nilai dugaan yang diperoleh melalui garis

regresi (predicted value). Residu ini merupakan penduga dari kesalahan atau error.

Secara geometris, sebenarnya pencaran residu ini sama dengan pencaran data

hanya sumbu X nya ditransformasi berimpit dengan garis regresi.

Seperti telah disampaikan sebelumnya bahwa asumsi ideal untuk analisis regresi

linier adalah bahwa sisa menyebar normal dengan rata-rata 0 dan ragam konstan.

Syarat kekonstanan varians ditunjukkan oleh adanya sebaran merata sehingga lebar

sebaran dari kiri ke kanan relatif konstan. Adanya ketidak konstanan ragam

ditandai dengan lebar sebaran yang tidak sama dari kiri ke kanan. Data yang

mempunyai ragam konstan disebut bersifat homoskedastik sebaliknya disebut

bersifat heteroskedastik. Pemeriksaan model dengan RCommander dapat

dilakukan dengan memilih menu model dan opsi grafik pada plot diagnostik dasar

seperti terlihat pada Gambar 7.11

Diagnostik grafik ini menampilkan empat grafik dasar seperti berikut ini.

1. Grafik Nilai prediksi dengan sisa. Grafik ini menggambarkan hubungan antara

garis regresi yang diperoleh dengan sisa. Secara umum sebaran sisa harus

menunjukkan sebaran acak disekitar nilai nol dengan lebar yang relatif sama.

Apabila sebaran menunjukkan pola tertentu (misalnya membentuk kurva, lebar

tidak konstan), ini mengindikasikan bahwa model yang dipilih kurang baik.

206 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

Gambar 7.11 Menu dan Dialog Diagnostik Grafik

2. QQPlot Normal dari sisa yang telah dibakukan. QQ-Plot Normal pada dasarnya

adalah grafik yang mennyajikan sebaran quantil normal teoritis, dengan quantil

data. Apabila datanya berdistribusi normal maka sebarannya akan mendekati

garis lurus. Penyimpangan yang sangat mencolok pada ujung-ujung grafik

menunjukkan datanya menyimpang dari distribusi normal. Untuk data yang

tidakmemenuhi distribusi normal dapatdilakukan transformasi ataupun dengan

memilih alternatifregresi yang lain.

3. Grafik Nilai Prediksidengan akar Sisa baku. Penafsirannya sama dengan grafik

pertama, hanya yang diperiksa sekarang adalah sisa yang telah dibakukan

(standarized residual).

4. Grafik leverage terhadap sisa baku. Dalam grafik ini juga digambarkan batas

jarak Cook (Cook’s distance) untuk memeriksa adanya pencilan (outlier). Jika

ada nilai residu yang berada di luar batas jarak, ini mengindikasikan adanya

pencilan. Perlu diadakan pemeriksaan terhadap pencatatan dataapakah ada

kesalahan pencatatan atau tidak. Jika pencilan tidak banyak (1-2 observasi),

dapat dipertimbangkan mengecualikan observasi tersebut dalam analisis

regresi.

Diagnostik Model Melalui Grafik  207 

30 40 50 60

-6-4

-20

24

Fitted values

Res

idua

ls

Residuals vs Fitted

43

22

50

-2 -1 0 1 2

-3-2

-10

12

Theoretical Quantiles

Stan

dard

ized

resi

dual

s Normal Q-Q

43

22

50

30 40 50 60

0.0

0.5

1.0

1.5

Fitted values

Stan

dard

ized

resi

dual

s Scale-Location43

2250

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

-3-1

01

2

Leverage

Stan

dard

ized

resi

dual

s

Cook's distance0.5

Residuals vs Leverage

43

2059

Gambar 7.12 Grafik Diagnostik untuk Model Regresi yang relatif memenuhi syarat kenormalan dan bebas dari pencilan.

 

 

 

208 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

35 40 45 50 55

-60

-20

2060

Fitted values

Res

idua

lsResiduals vs Fitted

313

20

-2 -1 0 1 2

-40

24

Theoretical Quantiles

Stan

dard

ized

resi

dual

s Normal Q-Q313

20

35 40 45 50 55

0.0

1.0

2.0

Fitted values

Stan

dard

ized

resi

dual

s Scale-Location313 20

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

-40

24

Leverage

Stan

dard

ized

resi

dual

s

Cook's distance10.5

0.51

Residuals vs Leverage

20

133

lm(y ~ x)

Gambar 7.13 Grafik Diagnostik untuk Model Regresi yang kurang memenuhi syarat kenormalan dan mengandung pencilan

Ada beberapa kondisi data yang menyimpang dari asumsi yang menjadi

persyaratan analisis regresi seperti berikut ini.

1. Hubungan antara respon dengan peubah penjelas tidak linier. Kondisi ini dapat

ditangani dengan melakukan transformasi pada peubah respon maupun pada

peubah penjelas,lalu menganalisis data yang telah ditransformasi sehingga

model yang dipergunakan tidak lagi sederhana seperti 0 1Y Xβ β= + , tetapi

Diagnostik Model Melalui Grafik  209 

model yang telah ditransformasi seperti 0 1log( )Y Xβ β= + atau

0 1 log( )Y Xβ β= + dan sejenisnya.

2. Respon tidak menyebar normal, termasuk adanya pencilan maupun hasil

pengamatan ekstrim. Terhadap kondisi ini cara sederhana untuk menanganinya

adalah dengan mencoba analisis tanpa mengikut sertakan pencilan (terutama

kalau pencilannya hanya 1-2 pengamatan). Tentang persyaratan normal, secar

emperik telah dibuktikan oleh para praktisi melalui simulasi bahwa dampak

akibat penyimpangan terhadap distribusi normal tidak seserius seperti yang

dikhawatirkan (Stafsof [22]).

3. Respon menyebar dengan ragam tidak konstan. Jika respon tidak homogen

tetapi masih memenuhi distribusi normal, kondisi ini dapat ditangani dengan

memberikan pembobotan (dengan invers ragam) pada perhitungan estimasi

parameter. Metode ini disebut wighted least square yang secara umum telah

diimplementasikan pada paket-paket program statistika.

4. Untuk peubah penjelas lebih dari satu, terjadi korelasi signifikan di antara

beberapa peubah penjelas. Kondisi ini sering disebut multi kolinieritas. Hal ini

akan berakibat pada kurang akuratnya hasil estimasi parameter, karena dalam

perhitungannya akan melibatkan matriks yang mendekati singuler sehingga

inversnya sulit dihitung. Cara sederhana menangani kondisi ini adalah dengan

memilih hanya salahsatu dari peubah-peubah penjelas yang memiliki korelasi

tinggi. Misalnya jika ternyata peubah X1, X3, dan X4 berkorelasi signifikan,

maka cukup salah satu saja yang dimasukkan ke dalam model regresi.

Contoh 7.5

Dalam contoh berikut diilustrasikan analisis regresi dengan 1-2 nilai pencilan.

Analisis regresi dilakukan dua kali dengan mengikutsertakan seluruh data dan

mengecualikan data pencilan. Dapat kita lihat adanya perubahan signifikan dari

hasil kedua analisis tersebut.

210 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

Berikut adalah contoh Analisis regresi dengan data yang mengandung satu

pencilan. Data dianalisis dua kali msing-masing dengan menyertakan dan

mengabaikan pengamatan pencilan tersebut.

1. Analisis data lengkap yang mengandung pencilan

Call:

lm(formula = y1 ~ x1, data = DataSimReg)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-17.842 -5.810 -1.492 2.713 86.675

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 31.3226 14.0512 2.229 0.0318 *

x1 2.6286 0.2769 9.492 1.43e-11 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 15.6 on 38 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.7033, Adjusted R-squared: 0.6955

F-statistic: 90.09 on 1 and 38 DF, p-value: 1.426e-11

Diagnostik Model Melalui Grafik  211 

2. Hasil analisis dengan mengecualikan pengamatan yang menjadi pencilan. Pada

analisis ini data pencilan dikeluarkan dari analisis (dianggap munculnya

pencilan sebagai akibat kesalahan pencatatan data).

Call:

lm(formula = y1 ~ x1, data = DataSimReg)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-9.1295 -3.9094 0.5353 3.4954 10.4447

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 6.36779 4.74300 1.343 0.188

x1 3.08027 0.09286 33.171 <2e-16 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 5.037 on 37 degrees of freedom

(1 observation deleted due to missingness)

Multiple R-Squared: 0.9675, Adjusted R-squared: 0.9666

F-statistic: 1100 on 1 and 37 DF, p-value: < 2.2e-16

Ringkasan keduanya adalah sebagaimana disajikan dalam berikut (Diagram pencar

diberikan pada Gambar 7.14)

No Komponen Data Lengkap Mengecualikan

212 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

Pencilan*)

1 df 38 37

2 Koefisien

Konstanta 31,32 6,36

Koefisien X1 2,62 3,08

3 Koef Determinasi 0,70 0,97

Catatan :

*) Dalam analisis ini, Satu observasi diabaikan dan dianggap hilang (yaitu data

yang merupakan pencilan), sehingga derajat kebebasan berkurang satu.

30 40 50 60 70

100

120

140

160

180

200

220

x1

y1

30 40 50 60 70

100

120

140

160

180

200

220

x1

y1

Gambar 7.14 Diagram Pencar untuk Data Lengkap (kiri)dan untuk Data tanpa Pengamatan yang Dianggap Pencilan

Jika model memiliki residu yang menunjukkan adanya penyimpangan dari syarat

yang harus dipenuhi, maka sebaiknya dilakukan perbaikan model sehingga

Analisis Regresi Alternatif  213 

persyaratan tersebut menjadi relatif terpenuhi. Salah satu yang biasanya dilakukan

adalah dengan mentransformasikan data dengan suatu fungsi yang sesuai.

Selanjutnya data hasil transformasi ini dianalisis dengan regresi klasik yang

menggunakan asumsi distribusi normal dengan hubangan linier.

7.5 ANALISIS REGRESI ALTERNATIF

Dalam kenyataannya,tidak semua data yang dihadapi memenuhi asumsi regresi

linier dengan baik. Selain melakukan hal-hal praktis seperti dianjurkan sebelumnya

(misalnya membuang pengamatan, tidak menyertakan beubah), kita dapat juga

melakukan hal lain yang lebih matematis, misalnya mentransformasikan data, atau

memilih alternatif regresi yang tergolong dalam regresi modern.

7.5.1 TRANSFORMSI DATA

Jika sebaran residu menunjukkan ketidaklinieran, transformasi yang bisa dilakukan

untuk mengatasi ketidak linieran diantaranya adalah seperti berikut ini.

214 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

1. Jika sebaran membentuk kurva naik dan terbuka ke atas maka transformasi

dapat dilakukan pada Y dan tranformasi yang bisa dicoba adalah Y1 = log(Y )

atau Y1 =√Y atau Y1 =1/Y seperti terlihat pada Gambar 7.15.

5 6 7 8 9 10

2040

6080

100

120

140

x

y

5 6 7 8 9 10

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

x

log(

y)

Gambar 7.15 Residu Data Asli dan Residu setelah Ditransformasi Logaritma padaY

Analisis Regresi Alternatif  215 

2. Jika sebaran membentuk kurva naik dan terbuka kebawah maka transformasi

dilakukan pada X dan transformasi yang bisa dicoba adalah X1 = log(X) atau X1

= √X atau X1 =1/X seperti terlihat pada Gambar 7.16

200 600

4550

5560

65

x

y

4.5 5.5 6.5

4550

5560

65

log(x)

y

Gambar 7.16 Residu Data Asli dan Residu setelah Ditransformasi Logaritma pada X

216 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

3. Jika residu menyebar membentuk kurva menurun dan terbuka keatas maka

transformasi dapat dilakukan pada kedua X atau Y dengan salah satu

transformasi sebelumnya seperti pada Gambar 7.17.

0 400 800

3040

5060

70

x

y

3 4 5 6 7

3040

5060

70

log(x)

y

Gambar 7.17 Residu Data Asli dan Residu setelah Ditransformasi Logaritma

pada X

 Selain masalah keliniearan, masalah yang sering muncul dalam analisis regresi

adalah ketidak seragaman sebaran atau ragam data. Untuk menyeragamkan atau

menghomoginkan varians, dapat dicoba beberapa transformasi diantaranya Y1 =

log(Y), atau Y1 =√Y atau Y1 =1/Y . Gambar 7.18 mengilustrasikan data asli yang

Analisis Regresi Alternatif  217 

ragamnya tidakhomogin dan setelah melalui transformasi ragamnya menjadi

homogin.

Plot Data Asli

X

Y

10 20 30 40 50

5010

015

0

Plot Residu

Y-Prediksi

Res

idu

40 60 80 100

-40

020

4060

80

Plot Data Transformasi

X

log(

Y)

10 20 30 40 50

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Plot Residu

Y-Prediksi

Res

idu

3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8

-1.0

-0.5

0.0

0.5

Gambar 7.18Transformasi untuk Menghomoginkan Ragams

Pada dasarnya transformasi data dilakukan agar data yang tidak memenuhi

peryaratan asumsi (kelinieran dan homoginitas varians)menjadi memenuhiasumsi

dan dapat dianalisis dengan metode regresi klasik, Namun, ada kalanya

transformasi untuk menangasi satu permasalahan (misalnya kelinieran), justru

mendatangkan persoalan baru (misalnya ketidak seragaman varians), seperti

diilustrasikan pada Gambar 7.19.

218 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

Plot Data Asli

X

Y

20 30 40 50

500

1000

1500

2000

2500

Plot Residu

Y-Prediksi

Res

idu

0 500 1000 1500 2000

-100

010

020

0

Plot Data Transformasi

log(X)

log(

Y)

2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

Plot Residu

Y-Prediksi

Res

idu

5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5

-0.0

10.

00.

010.

02

Gambar 7.19 Transformasi kelinieran menyebabkan ketidakhomoginan ragam

7.5.2 PENGANTAR REGRESI ALTERNATIF

Ada beberapa kondisi yang menyimpang atau lebih kompleks dari asumsi yang

diperlukan untuk dapat melakukan analisis dengan regresi sederhana diantaranya:

1. Data mengandung peubah faktor/kualitatif dan kita ingin mengetahui apakah

faktor tersebut mempengaruhi hubungan antara peubah kuantitatif lainnya.

Misalnya apakah hubungan antara jumlah penghasilan dan jumlah pengeluaran

konsumtif dipengaruhi oleh jenis kelamin atau pendidikan. Untuk melakukan

analisis regresi seperti ini, secara teoritis kita dapat memperkenalkan peubah

boneka (dummy variabel) yang dapat dilihat pada Neter etal. [20], Wonnacott

& Wonnacott [35]. Aplikasi dengan R dapat dilihat pada Chamber & Hastie

[2], Vanables & Ripley [32]

2. Terjadi pencilan yang cukupsignifikan mempengaruhi hasil analisis. Untuk data

dengan pencilan yang pencilannya tidak mungkin dibuang begitu saja,ada

Analisis Regresi Alternatif  219 

analisis regresi yang disebut regresi tegar (robust regression) yangdapat

mengurangi pengaruh adanyapencilan (lihat Venables & Ripley [32]

3. Respon berupa skala interval atau ordinal misalnya jumlah anak, jumlah istri

atau jumlah kendaraan roda empat yang dimiliki, lulus-gagal, jenis merek

barang yang banyak dipilih dan sejenisnya. Analisis regresi jenis ini termasuk

dalam model linier tergeneralisir atau lebih dikenal dengan GLM (Generalized

Linear Models). Analisis lain yang termasuk dalamkelompokinidiantaranya

adalah Regresi logistik atau analisis Probit/Logit (untuk respon dengan

distribusi Binomial atau bersekala nominal) dan log-linier untuk respon dengan

distribusi Poison atau bersekala ordinal). Referensi untuk model linier ini

diantaranya adalah McCullagh & Nelder [15], Chamber & Hastie [2], Vaeables

& Ripley [32].

4. Respon berupa peubah ganda, misalnya dalam eksperimen yang diamati

dampak lebih dari satu perlakuan (misalnya satu unit percobaan mendapat tiga

atau lebih perlakuan) atau pengaruh satu perlakuan dilihat dalam lebih dari dua

kurun waktu. (misalnya hubungan tekanan darah dan kolesterol yang diamati

pada pagi, siang, dan sore hari. Percobaan seperti ini sering disebut pengukuran

berulang (repeated meassure) atau studi jangka panjang (longoitudinal study).

Salah satu analisis regresi atau model linier yang banyak dipakai untuk ini

adalah GEE (generalized estimating equations) yang dipelopori oleh Liang &

Zeger [13], [36] dan Diggle et al.[3]

5. Terjadi korelasi yang signifikan (multi kolinieritas) diantara peubah penjelas.

Multi kolinieritas ini akan berakibat sulitnyamenghitung invers matriks yang

diuperlukan dalam menghitung estimasi parameter. Selain menghilangkan dari

model peubah yang berkorelasi, kondisi ini dapat juga ditangani melalui

beberapa jenis analisi regresi diantaranya adalah regresi gulud (Ridge

regression) Neter et al.[20], atau menggabungkan regresi dengan analisis

komponen utama

220 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI   

7.6 RINGKASAN DAN BACAAN LEBIH LANJUT

7.6.1 RINGKASAN

1. Korelasi dan regresi merupakan dua analisis yang saling terkait. Analisis

korelasi hanya mempelajari derajat asosiasi antara beberapa peubah sedangkan

analisis regresi mempelajari fungsi atau model hubungan antara beberapa

peubah yang diperlukan untuk memprediksi nilai suatu peubah bila nilai

peubah lain diketahui.

2. Kondisi hubungan dua peubah, secara kasar dapat dilihat melalui diagram

pencar. Pada diagram pencar data harus menyebar secara acak dengan

kecenderungan membentuk garis lurus.

3. Koefisien determinasi adalah kuadrat dari koefisien korelasi. Model dengan

koefisien determinasi tinggi (mendekati 1) menunjukkan data menyebar dekat

dengan garis regresi, karenanya model yang diperoleh bermanfaat dalam

melakukan prediksi.

7.6.2 BACAAN LEBIH JAUH

Analisis regresi atau modellinier telah berkembang dari analisis yang sederhana

sampai berbagai bentuk khusus untuk menangani kondisi data yang kompleks.

Pembahasan tentang regresi linier sederhana dapat dijumpai dalam banyak buku-

buku teks statistika (Hadi[8], Sujana[23], Mendenhall[16],[17]). Sedangkan untuk

regresi khusus (seperti regresi gulud, lihat Neter et al. [20]) dan regresi modern

(misalnya GLM, HGLM, regresi tegar), pembaca dapat membaca Statsoft [22],

Chamber & Hastie [2], Garson [5], McCullagh & Nelder [15], Vanables & Ripley

[32].

Ringkasan dan Bacaan Lebih Lanjut  221 

DAFTAR PUSTAKA

[1] Baird JH.2003. How Statistics Can Lie. Green Section Recoed. [Agustus

2008]

[2] Chamber JM & Hastie TJ.1993. StatisticalModels in S.Chapman & Hall

[3] Diggle PJ, Liang K-Y & Zeger SL, 1994. Analysis of Longitudinal Data.

Oxford Science Publications.

[4] Faraway JJ. 2002. Practical Regression and Anova Using R. http://www.stat.

Isa.umic.edu/~faraway/book/

[5] Garson DG. StatNotes: Topics in Multivariate Analysis.

http://StatNote/www2.chass.ncsu.edu\garson/pa765/statnote.htm [Maret

2008]

[6] Gravetter FJ & Wallnau LB. 2004. Statistics for the Behavioral Sciences.

Thomson. International Student Eddition (6th Edition).

[7] Guilford JP & Fruchter. 1978. Fundamental Statistics in Psychology and

Education. International Student Edition(6th Edition). McGraw-Hill.

[8] Hadi S. 1982. Statistika. Andi Offset, Yogyakarta.

222 DAFTAR PUSTAKA   

[9] Hair JF, Black WC, Babin BC, Anderson RE & Tatham RL. 2006.

Multivariate Analysis. Pearson, Prentice Hall.

[10] Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical

Statistics. 6-th edt. London: Pearson Education International

[11] Kuhnert P & Venables WN. 2005. An Introduction to R: Software for

Statistical Modelling & Computing. http://cran.r-project.org/

doc/contrib/Kuhnert+Venables-R_Course_Notes.zip

[12] Lewis P. MODULE: Basic Statistics. http://philosophy.hku.hk/think/stat/ 5

Agustus 2008]

[13] Liang K-Y. & Zeger.SL. 1986. Longitudinal data analysis using generalized

linear models. Biometrka.73:13-22.

[14] Maindonald JH. 2001. Using R for Data Analysis and Graphics An

Introduction. http://www.r.project.org.

[15] McCullagh P & Nelder JA. 1989. Generalized Linear Models. Chapman &

Hall

[16] Mendenhall W. 1979. Introduction to Probability and Statistics 5th edt.

Massachussets:Duxbury.

[17] Mendenhall W. 1993. Beginning Statistics A to Z. Duxbury

[18] Murrell, P. 2006. R Graphics. Chapman & Hall/CRC

[19] Nelder J.A. & Wedderburn, Generalized Linear Models. J.R.Statist.Soc.57:

359-407.

[20] Neter J. Wasserman, Kutner. (1985) Applied Statistical Model. Homewood,

Illinois :Irwin.

[21] NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods,

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/, [Januari 2008]

Ringkasan dan Bacaan Lebih Lanjut  223 

[22] StatSoft. 2006. Electronic Statistics Textbook. http://www.statsoftinc.com/

textbook/ stathome.html

[23] Sudjana. 1996. Metode Statistika. Tarsito, Bandung.

[24] Tirta.2005. Potensi dan Prospek Pemanfaatan OSS-R dalam Analisis Data dan

Pengajaran Statistika. Pancaran Pendidikan. XVIII (61): 195-208

[25] Tirta, IM.2005. Panduan Program Statistika R. Penerbit Universitas Jember

[26] Tirta IM, Lestari B & Dewi YS. 2006. Estimasi Efek Tetap dan Acak pada

Model Multiplikatif dengan Likelihood Bersama. Jurnal ILMU DASAR.

7:59-66.

[27] Tirta IM. 2007. Analisis Data dengan Respons tidak Saling Bebas dengan

paket hglm dan gee pada OSS-R. Makalah disampaikan pada Seminar

Nasional Statistika VIII di ITS Surabaya. 3 Nopember 2007.

[28] Tirta IM. 2007. Pengembangan Piranti Lunak Statistika Berbasis OSS-R

(Development of Statistical Software). disajikan dalam seminar Nasional Statistika

ke - 8 (SNS VIII) di FMIPA ITS surabaya pada tanggal 3 Nopember 2007

[29] Tirta IM.2007. R.GUI: Mendesain Paket Analisis dan Media Pembelajaran

Statistika. Penerbit Universitas Jember

[30] Tirta IM. 2008. Paket RcmdrPlugin.StatDemo. http://r.unej.ac.id

[31] Tirta IM. 2008. Paket StatDemo. http://r.unej.ac.id

[32] Venables WN & Ripley BD. 1994. Modern Applied Statistics with S-plus.

Springer.

[33] Vezalini J. 2002. Using R for Introductory Statistics.

http://www.r.project.org.

[34] Wackerly, DD., Mendenhall W., Scheafer RL., 1996. Mathematical Statistics

with Application. Massachussets:Duxbury.

224 DAFTAR PUSTAKA   

[35] Wannacott TH & Wannacott RJ. 1990. Introductory Statisticsfor Business

and Economics. Williey International Edition.

[36] Zeger SL.& Liang KY. 1986. Longitudinal Data Analysis for Discrete and

Continuous Outcomes. Biometrics. 42: 121-130

[37] Zoonekyn V. 2005. Statistics with R. http://zoonek2.free.fr/

UNIX/48_R/all.html

Mengunduh dan Menginstal R  225 

LAMPIRAN

MENGUNDUH DAN MENGINSTAL R

R adalah program open source yang dapat diunduh dari internet. Berikut diuraikan

cara mengunduh dan menginstal R terutama pada sistem opeasi Windows.

MENGUNDUH (MEN-DOWNLOAD) R

Ada beberapa cara yang dapat ditempuh untuk memperoleh program R beserta

peket-peket pendukung (library)nya diantaranya adalah sebagai berikut.

1. Mengunjungi situs http://www.cran.r-project.org, lalu memilih situs bayangan

(mirror) yang paling dekat dengan lokasi kita. Salah satu diantaranya adalah

situs yang ada di Australia yaitu http://cran.au.r-project.org. Pengguna dapat

mengunduh (download) program secara cuma-cuma.

2. Menghubungi Laboratorium Statistika Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Jember. Kepada pengguna dikenakan biaya mengunduh (download) dan

pengemasan yang tidak mahal;

3. Menghubungi UPT Penerbitann Universitas Jember dan membeli salah satu

panduan atau manual tentang R yang berisi paket Program R, diantaranya

adalah Tirta [25] [29];

226 LAMPIRAN   

4. Mengunjungi situs http://r.unej.ac.id yang menyediakan salah satu versi R yang

relatif masih baru.

Komponen program yang diperlukan untuk dapat menjalankan R dan R-

Commander dengan baik adalah:

1. program R untuk windows yang biasanya diberi nama R-Versi-win32.exe;

2. semua paket pendukung/pustaka/library versi windows yang dibutuhkan

seperti: aaMI_versi.zip,…, zoo_versi.zip;

3. bagi yang ingin menggunakan R melalui skrip pemrograman diperlukan juga

Tinn-R yaitu Tinn-R_versi_setup.exe.

4. Dalam notasi di atas, “versi” menunjukkan angka yang terkait dengan versi

program bersangkutan, misalnya 2.5.0; 7.0.1 dan sebagainya.

MENGINSTAL R

Setelah memperoleh file “R-versi-win32.exe”, maka instalasi dilakukan sebagai

berikut ini.

1. Klik “R-versi-win32.exe”, lalu akan muncul jendela dialog pemilihan bahasa.

Saat ini belum ada dialog berbahasa Indonesia, untuk itu pilih English dan klik

OK

Gambar 0.1 Tampilan Pemilihan Bahasa Instalasi

Mengunduh dan Menginstal R  227 

2. Selanjutnya akan muncul dialog pembukaan, seperti berikut ini, kita tinggal

klik Next, lalu akan muncul dialog tentang informasi Copy Right. Sempatkan

membaca ketentuan yang berlaku, selanjutnya klik next.

Gambar 0.2 Tampilan Mulai Instalasi

Gambar 0.3 Tampilan Konfirmasi Lisensi GPL (General Public License)

228 LAMPIRAN   

3. Untuk pemilihan direktori sebaiknya ikuti sesuai yang ada pada dialog,

misalnya C:\Program Files\R\... Kecuali, untuk yang menggunakan Windows

Vista, sebaiknya R diinstal tidak di hardisk C, tetapi di D atau E.

Gambar 0.4 Konfirmasi Direktori

4. Untuk dokumentasi, jika ruang hardisk anda cukup longgar sebaiknya pilih

semua dokumentasi terkait. Jika tidak, pilih yang penting diantaranya adalah:

HTML files help, Online (pdf) manual, Support files for tcltk, Message

Translation, PDF Reference manuals.

Mengunduh dan Menginstal R  229 

Gambar 0.5 Tampilan Konfirmasi Komponen R

5. Kustomisasi atau pengaturan Opsi Startup, pilih yes. Dengan pilihan tersebut

selanjutnya akan muncul beberapa dialog berikut. Untuk mengatur agar

tampilan grafik dan jendela R terpisah, pilih SDI. Untuk dokumentasi

bantuan/help bisa pilih CHM atau HTML. Untuk Startup ikuti pilihan yang

telah disiapkan (default) R.

230 LAMPIRAN   

Gambar 0.6 Tampilan Pemilihan Pengaturan Startup Aplikasi

Gambar 0.7 Tampilan Pemilihan Jenis Tampilan

Mengunduh dan Menginstal R  231 

Gambar 0.8 Tampilan Pemilihan Bahasa Instalasi

Gambar 0.9 Tampilan Pemilihan Folder Startmenu

6. Untuk tugas tambahan (Additional Tasks), minimal bisa dipilih (di klik check),

Create desktop icon dan Create a Quick launch

232 LAMPIRAN   

Gambar 0.10 Tampilan Pemilihan Task Tambahan

7. Selanjutnya proses instalasi akan dimulai

Gambar 0.11 Tampilan Proses Instalasi

8. Jika selesai akan muncul dialog terakhir berikut. Klik finish untuk

menyelesaikan instalasi R

Mengaktifkan R dan Menginstal Paket Tambahan  233 

Gambar 0.12 Tampilan Akhir Proses Instalasi

MENGAKTIFKAN R DAN MENGINSTAL PAKET

TAMBAHAN

Untuk memanggil atau mengaktifkan R kita bisa klik icon R yang ada di desktop.

Untuk memunculkan menu atau dialog dalam Bahasa Indonesia lakukan

perubahan pada properties icon ini. Pada baris target ditulis

"C:\Program Files\R\R-2.5.0\bin\Rgui.exe" LANGUAGE=id

Perlu diketahui bahwa, sampai saat ini menu dan dialog dalam Bahasa Indonesia

hanya tersedia pada paket RCommander, belum sampai pada menu RGUI

(Rconsole). Untuk memulai R, kita dapat mengklik short cut yang ada pada

desktop, atau melalui Start Menu. Setelah R dipanggil, kita akan memperoleh

tampilan yang disebut Console R dengan RGUInya seperti pada Gambar 0.14 atau

Gambar 0.15 tergantung bahasa yang dipilih (Untuk menu RGUI belum ada

pilihan Bahasa Indonesia).

234 LAMPIRAN   

Gambar 0.13 Mengatur Pilihan Bahasa Menu dan Dialog R

Mengaktifkan R dan Menginstal Paket Tambahan  235 

Gambar 0.14 Tampilan Rconsole dalam Bahasa Inggris

Gambar 0.15 Tampilan Rconsole Dalam Bahasa Indonesia

Berikut adalah langkah-langkah untuk menginstal paket tambahan.

236 LAMPIRAN   

1. Aktifkan menu Packages sepert terlihat pada Gambar 0.17 Memilih Paket

Tambahan

Paket-> Menginstal paket dari Zip lokal.

2. Selanjutnya pilih direktori tempat anda menaruh paket-paket tambahan

(library) dari R, seperti pada Error! Reference source not found.. Ada

beberapa paket penting yang harus diinstal untuk dapat mengikuti penjelasan

dalam buku ini yaitu:

a. Rcmdr beserta paket-paket terkait (car, dsb), merupakan paket RGUI

untuk analisis data yang dikembangkan oleh Fox dan dengan kontribusi

menu bahasa Indonesia oleh Tirta.

b. StatDemo_versi.zip merupakan paket khusus bernahasa Indonesia

untuk ilustrasi pembelajaran statistika yang dikembangkan oleh Tirta

[31]

c. RcmdrPlugin.StatDemo sama dengan statDemo di atas, tetapi

menunya bergabung dengan menu RCommander (Tirta [30])

d. RcmdrPlugin.hglm berisi paket hglm dan Menu GEE yang bergabung

dengan menu RCommander. Paket hglm ditulis oleh Tirta et al. [26],

sedangkan gee merupakan paket yang telah ada pada R, tetapi integrasi

menu dalam bahasa Indonesia di RCommander dibuat oleh Tirta[28].

Mengaktifkan R dan Menginstal Paket Tambahan  237 

Gambar 0.16 Menu Menginstal Paket Tambahan

Gambar 0.17 Memilih Paket Tambahan

238 LAMPIRAN   

STRUKTUR MENU RCOMMANDER

Panel-----|-- Data set aktif |-- Edit data set |-- Lihat data set |-- Model aktif |-- Submit (Eksekusi) Menu Data ------|--Data set Baru |--Impor data --------|--Dari Teks |--Dari SPSS |--Dari Minitab |--Data pada R -------|--Daftar data |--Data dari paket aktif Statistika-|--Ringkasan ---------|--Data set aktif |--Numerik |--Matriks korelasi |--Tabel kontingensi -|--Satu arah |--Multi arah |--Analisis dua arah |--Proporsi ----------|--Sampel Tunggal |--Sampel ganda |--Varians ----------|--Uji F beda varians |--Uji Bartlett |--Uji Levene |--Nonparametrik ------|--Uji Wilcoxon sampel tunggal |--Uji Wilcoxon sampel ganda |--Uji Kruskal Walis |--Regresi -----------|--Regresi Sederhana |--Model Linier |--Model Linier Tergeneralisir (GLM) |--Uji Beda ----------|--Uji t sampel tunggal |--Uji t sampel ganda |--Uji t sampel berpasangan |--Uji anava satu faktor |--Uji anava multi faktor |--Analisis ---------|--Reliabilitas skala dimensional |--Analisis Komponen Utama (RKU/PCA) |--Analisis faktor |--Analisis klaster Grafik-----|--Grafik indeks

Struktur Menu RCommander  239 

|--Histogram |--Boxplot |--QQplot |--Diagram kuantil-kuantil |--Diagram pencar |--Matriks diagram Pencar |--Grafik garis |--Diagram rata-rata |--Grafik batang |--Grafik lingkaran |--Grafik 3D Distribusi-|--Distribusi Kontinu--|--Distribusi Normal |--Distribusi t |--Distribusi Chi-kuadrat |--Distribusi Seragam |-- ... |--Distribusi Gumbel -|--Distribusi Diskrit--|--Distribusi Binomial |--Distribusi Poisson |-- ... |--Distribusi Hipergeometrik Alat ------|--Aktifkan paket |--Aktifkan Plug-in |--Pilihan Bantuan ---|--Bantuan Commander |--Pengantar RCommander |--Bantuan data (jika ada) |--Tentang Rcmdr

240 LAMPIRAN   

GLOSARIUM

Inferensi pengambilan kesimpulan terhadap sesuatu

berdasarkan sebagian informasi yang ada. Inferensi

dapat berupa pendugaan (estimasi) maupun

pengambilan kesimpulan (uji hipotesis)

Subjek (dalam penelitian) sekumpulan orang atau unit terkecil dalam penelitian

yang memiliki karakteristik yang menjadi perhatian.

Pustaka(Library) direktori yang memuat kumpulan paket-paket

program yang tersedia untuk R. Library dapat

ditambah maupun dikurangi sesuai kebutuhan

Skrip naskah yang berisi berbagai perintah yang harus

dilaksanakan oleh komputer melalui suatu bahasa

atau program tertentu.

CLI (Command Line

Interface)

program yang menjembatani komunikasi antara

komputer dengan pengguna dengan menggunakan

perintah-perintah yang ditulis dalam baris perintah,

tidak menggunakan grafis ataupun maouse. CLI

merupakan interface utama dari R.

GUI (Graphical User

Interface)

program menjembatani komunikasi antara komputer

dengan pengguna dengan menggunakan tampilan

grafis seperti menu atau ikon, yang biasanya siap

diklik dengan mouse. Program GUI untuk R biasa

disebut RGUI

Paket ( package) pada R kumpulan fungsi-fungsi dalam bahasa R yang

dikemas menjadi satu kesatuan sebagai aplikasi

metode analisis atau teori tetertentu

Plugn/Plug-in adalah program yang dapat digabungkan menjadi

GLOSARIUM  241 

bagian dari proram lain yang lebih besar. Dalam

buku ini Paket-peket Plug-in R Commander,

menunya dapat digabungkan menjadi bagian dari

menu R Commander

Distribusi kontinu sebaran yang memiliki fungsi kepadatan dengan

daerah asal (domain) berupa himpunan interval

(misalnya seluruh bilangan real, bilangan real

nonnegatif, a x b≤ ≤ )

Distribusi diskrit sebaran yang memiliki fungsi kepadatan dengan

daerah asal (domain) berupa himpunan titik-titik

yang tercacah (misalnya sebagian himpunan bilangan

cacah, sebagian himpunan bilangan asli)

Antarmuka bagian program/alat yang menjembatani komunikasi

antara pengguna dengan komputer, antara alat ukur

dengan komputer, dan sejenisnya}

Alpha (α) Taraf signifikansi = peluang kesalahan tipe I,

peluang secara keliru menolak hipotesis null yang

benar.

AIC (Akaike's Information

Criterion)

salah satu kriteria yang dijadikan patokan memilih

modelyang baik dengan menghitung perimbangan

besarnya maksimum likelihooddan banyaknya

peubah yang dipergunakan dalam model, lebih

tepatnya AIC= -2 log-likelihood yang

dimaksimumkan + 2 banyaknya parameter dalam

model.

Analisis data eksploratori

(EDA)

Sekumpulan teknik untuk menampilkan data secara

visual dan bermakna.

Analisis variansi (ANAVA) Suatu teknik statistika untuk menguji beda nilai-

tengah kelompok lebih dari dua.

242 LAMPIRAN   

ANAVA Satu arah Analisis variansi dengan pengelompokan hanya pada

satu peubah bebas.

b (Beta) Peluang kesalahan tipe II, yaitu peluang secara keliru

menerima hipotesis nol yang salah.

Bimodal Distribusi yang memiliki dua puncak atau peluang

maksimum.

Boxplot Presentasi grafik dari posisi median dan sebaran data.

Densitas Kurva yang menunjukkan niai peluang suatu

pengamatan pada interval nilai suatu peubah acak.

Derajat kebebasan (db) Angka yang mennjukkan banyaknya informasi yang

saling bebas setelah mengestimasi beberapa

parameter.

Deviasi baku Akar kuadrat dari variansi

Dispersi ukuran yang menyatakan sejauh mana data menyebar

terhadap nilai-tengah

Distribusi bersyarat Distribusi suatu peubah acak (Y) untuk nilai X yang

tetap.

Distribusi Binomial Distribusi yang menggambarkan peluang munculnya

sejumlah kejadian pada percobaan Bernouli

(misalnya peluang munculnya x Angka dari

pelemparan uang logam sebanyak n kali).

Distribusi normal baku Distribusi normal dengan nilai-tengah 0 dan deviasi

baku 1, dinotasikan dengan N(0,1).

Distribusi sampling Distribusi statistik dari pengambilan sampel yang

berulang-ulang yang berasal dari populasi tertentu.

Distribusi sampling beda

nilai-tengah

Distribution beda nilai-tengah dua kelompok sampel

dari pengambilan sampel berulang-ulang

Distribusi sampling nilai

tengah

Distribusi nilai-tengah dari pengambilan sampel

yang berulang-ulang yang berasal dari populasi

tertentu.

GLOSARIUM  243 

Estimasi titik Nilai tertentu yang merupakan penduga suatu

parameter.

Faktor Istilah lain untuk peubah independen (umumnya

berupa peubah kualitatif) pada analisis variansi.

Hipotesis alternatif (HA) Disebut juga hipotesis kerja yaitu hipotesis yang

dirumuskan sesuai dengan hasil kajjian teori yang

melandasi penelitian.

Hipotesis nul (H0 ) Disebut juga hipotesis nihil, yaitu hipotesis yang

diuji pada prosedur statistika, yang menyatakan

kenetralan (tidak ada beda signifikan, tidak ada

hubungan signifikan dan sebagainya).

Histogram Grafik yang menggunakan segiempat sebagai

representasi frekuensi atau peluang dari observasi

pada setiap interval.

Homogenitas variansi Situasi dimana beberapa populasi atau subpopulasi

memiliki variansi yang sama.

Hubungan kurvilinier Situasi yang dapat diwakili oleh hubungan yang

tidak linier.

Intersep/ konstanta Koefisien dalam regresi yang menyatakan nilai Y,

pada saat nilai X sama dengan 0.

Interval keyakinan Disebut juga estimasi interval,yaitu suatu interval

yang memiliki peluang tertentu memuat parameter

yang diestimasi.

Jarak Cook Suatu ukuran yang menunjukkan pengaruh suatu

nilai pengamatan pada regresi berganda.

Kesalahan baku Deviasi baku dari distribusi sampling.

Kesalahan baku selisih nilai

tengah

Deviasibaku dari distribusi sampling beda nilai-

tengah.

Kesalahan prediksi Selisih antara nilai observasi dengan nilai prediksi.

Kesalahan sampling Variabilitas suatu nilai statistik sampelsatu ke sampel

244 LAMPIRAN   

lainnya.

Kesalahan Tipe II Kesalahan secara keliru tidak menolak H0 yang salah.

Kesalahan Tipe I Kesalahan secara keliru menolak H0 yang benar.

Koefisien korelasi Suatu ukuran yang menunjukkan derajat hubungan

atau asosiasi antara beberapa peubah.

Kolinearitas Kondisi yang dimana peubah penjelas saling

berkorelasi satu sama lain.

Kombinasi Banyaknya cara sejumlah objek dapat dipilih tanpa

memperhatikan urutannya.

Kovariansi (sxy or covxy) Ukuran statistik yang menunjukkan derajat dua

peubah berubah bersama-sama.

Leverage Ukuran yang menunjukkan penyimpangan nilai

observasi terhadap nilai prediktor.

Matriks kovariansi (S) Suatu matriks yang menunjukkan nilai variansi dan

kovariansi antar beberapa peubah.

Model

Istilah lain untuk regresi peubah ganda, terdiri atas

model linier, model linier terampat/tegreneralisir,

model nonlinier, model linier campuran dan lain-lain

Model linier tergeneralisir

Disebut juga model linier terampat, yaitu analisis

Model/regresi untuk data dengan respon yang tidak

berdistribusi normal.

Model log-linear Model untuk menangani data kategori berganda.

Multikolinearitas Kondisi yang menunjukan adanya korelasi yang

tinggi di antara peubah-peubah prediktor.

Nilai kritis Suatu nilai statistik yang menjadi batas penerimaan

atau penolakan Ho .

Nilai-tengah bersyarat Nilai-tengah suatu peubah pada nilai tertentu dari

peubah yang lain.

Nilai-tengah geometrik Nilai tengah yang diambil dari n objek dengan

GLOSARIUM  245 

menghitung akar pangkat n dari hasil kali (produk) n

objek tadi.

Outlier/pencilan Nilai observasi yang terletak jauh dari distribusi

kelompoknya.

p level Peluang kesalahan tipe I, yaitu peluang yang

menunjukkan bahwa hasil yang dicapai merupakan

hal yang kebetulan jika ternyata Ho benar.

Parameter Nilai yang menunjukkan pengukuran data populasi.

Peluang bersyarat Peluang suatu kejadian pada saat diketahui terjadinya

suatu kejadian lain.

Percobaan Bernoulli Percobaan dengan hasil salah satu dari dua kejadian

yang saling lepas misalnya lulus-gagal.

Populasi kumpulan seluruh data yang menjadi perhatian dalam

penelitian. Jadi populasi adalah seluruh subjek

penelitian beserta karakteristiknya yang menjadi

kepentingan

Regresi linier Analisis regresi dengan hubungan linier.

Regresi logistik Analisis regresi untuk data dengan respon bersifat

dikotomus (misalnya lulus/gagal).

Regresi multivariat Analisis degression lebih dari dua peubah bebas.

Residu/sisa Selisih antara nilaiobservasi Y dengan nilai

prediksinya (Y ).

Saling lepas (Mutually

exclusive)

Dua kejadian yang tidak bisa terjadi bersama-sama.

Sampling Prosedur unduk memperoleh sampel yang mewakili

populasi dengan baik (baik struktur maupun sifat-

sifatnya)

Skala Nominal Angka yang hanya dipakai untuk membedakan

objek.

246 LAMPIRAN   

Skala ordinal Angka hanya dipakai untuk menunjukkan urutan

objek.

Skala rasio Skala yang memiliki nilai 0 mutlak dan rasio/

perbandingan memiliki makna.

Kesalahanbaku penduga Rata-rata deviasi kuadrat terhadap garis regresi

Statistik Angka-angka yang menunjukkan pengukuran pada

data.

Statistik Deskriptif Statistika yang mendeskripsikan sampel tanpa

menarik kesimpulan tentang populasi

Statistika inferensial Bagian statistika berkaitan dengan pengambilan

keputusan tentang parameter populasi asal asal

sampel.

Teorema limit pusat Teorema yang sifat alami dari sebaran sampel dari

nilai tengah. Apapun distribusinya jika sampling

dilakukan banyak kali, distribusi nilai tengah akan

mendekati distribusi normal

Tingkat Signifikansi Nilai yang menunjukkan batas maksimum peluang

kita secara keliru menolak H0 yang kenyataannya

benar.

Uji bebas distribusi Disebut juga uji nonparametrik, yaitu statistika yang

tidak bergantung pada asumsi distribusi atau asumsi

distribusi.

Uji Hipothesis Suatu proses pengambilan keputusan berkaitan

dengan nilai parameter populasi yang sebelumnya

telah dinyatakan.

Uji nonparametrik Uji statistik yang tidak bergantung pada estimasi

parameter atau asumsi distribusi.

Uji parametrik Uji statistika yang bergantung pada estimasi

parameter populasi atau asumsi distribsi populasi

Ukuran pemusatan Nilai yang menunjukkan pusat suatu distribusi.

GLOSARIUM  247 

Unimodal Distribusi yang memiliki satu puncak atau

maksimum.

Peubah (dari data) karakteristik yang bervariasi antara satu subjek ke

subjek lain yang menjadi perhatian dari sampel atau

populasi

Peubah dikotomus Peubah yang hanya memiliki salah satu dai dua nilai

yang bebeda.

Peubah independen Peubah yang dikontrol dalam percobaan.

Peubah tetap Suatu peubah bebas (eksplanatori) yang nilainya

ditentukan peneliti.

Variansi population Variansi dari populasi yang dalam kenyataannya

diestimasi bukan dihitung.

248 LAMPIRAN   

DAFTAR PERSAMAAN

Pers. 3.1  ( )( )( )

P A BP A| B =P B∩ ......................................................................... 48 

Pers. 3.2  ( ) ( ) ( ), untuk P A B P A P B A B∪ = + ∩ = ∅ ...................................... 48 

Pers. 3.3  ( ) 0, untuk P A B A B∩ = ∩ =∅ ........................................................ 48 

Pers. 3.4  ( ) ( )A|| B P A = P A| B⇔ ................................................................... 49 

Pers. 3.5  ( ) ( ) ( )A|| B P A B = P A P B⇔ ∩ × ................................................... 49 

Pers. 3.6  ( ) ( ) ( ) ( ), untuk P A B P A P B P A B A B∪ = + − ∩ ∩ ≠∅ ................... 50 

Pers. 3.7  ( ) (1 ) , 0,1,2,...,x n xnp x x n

xπ π −⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

............................................... 55 

Pers. 3.8 1

1 n

ii

x xn =

= ∑ .......................................................................................... 57 

Pers. 3.9 ( )

222

2 1 1

1

1

1 1

n n

i ini i

xi

x xx x nsn n

= =

=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟− ⎝ ⎠= =− −

∑ ∑∑ ................................................ 60 

Pers. 3.10 1 1 1

2 22 2

1 1 1 1

n n n

i i i ii i i

n n n n

i i i ii i i i

n x y x yr

n x x n y y

= = =

= = = =

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑................................... 61 

Pers. 4.1 21 1( ) exp ;

22xf x xμσσ π

⎡ ⎤−⎛ ⎞= − −∞ < < ∞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

.............................. 72 

Daftar Persamaan  249 

Pers. 4.2 

2121( ) ;

2z

f z e zπ

−= − ∞ < < ∞ .................................... 72 

Pers. 4.3 XZ μσ−

= sebaliknya X Zμ σ= + ................................................... 74 

Pers. 4.4 1

n

i ii

Y a X=

= ∑ berdistribusi 2 2

1 1

, n n

i ii i

N a aμ σ= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ................................ 82 

Pers. 4.52

1

1 ~ ( , )i

n

ni

X X Nn

σμ=

= ∑ atau ~ (0,1)n

XZ Nσ

μ−= ............................... 82 

Pers. 7.1   1

1 n

ii

x xn

μ=

= = ∑ ................................................................................ 135 

Pers. 7.2   ( )2

1

1

n

ii

x x

nσ =

−=

−

∑ ........................................................................ 135 

Pers. 7.3 / 2 / 2n nx z x z

α ασ σμ− × < < + × . ................................................ 136 

Pers. 7.4  1, / 2 1, / 2s s

n nn nx t x tα αμ− −− × < < + × ................................................ 136 

Pers. 8.1   1 1 12 2

2 2

1 1 1 1

1

1 1

n n n

i i i ii i i

n n n n

i i i ii i i i

x y x ynr

x x y yn n

= = =

= = = =

−=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑............................... 182 

Pers. 8.2  ( )2

0 11

n

ee ii

s y xβ β=

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦∑ ................................................................ 191 

Pers. 8.3  0 1 ,y xβ β= −) )

.................................................................................... 191 

250 LAMPIRAN   

Pers. 8.4  1 1 11 2

2

1 1

1/,

1/

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

x y n x y

x n xβ = = =

= =

−=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑

).......................................................... 191 

Pers. 8.5  1 ,xy

xx

ss

β =)

........................................................................................... 191 

Pers. 8.6 

2

2 11 1

1 1

,

nn n

ii in nii i

xy i i xx ii i

xx ys x y s x

n n== =

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − = −∑∑ ∑

∑ ∑ .............................. 191 

Pers. 8.7  1 ,xxy

y

srs

β =)

dengan ;x xx y yys s s s= = .......................................... 191 

Pers. 8.8  2σ = 2

2eess

n=

−. ............................................................................... 192 

Pers. 8.9 1 0

2 22 2 2 1,dan

xx xx

s xs s ss n sβ β

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠...................................................... 192 

Pers. 8.10  ( )2

2 1 peey

xx

x xs s

n s

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

dan ( )2

/ 21ˆ p

xx

x xy y t s

n sα

−= ± + .............. 200 

Pers. 8.11  $

( )2

2 11 peey

xx

x xs s

n s

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

dan ( )2

/ 21ˆ 1 p

xx

x xy y t s

n sα

−= ± + + .... 201 

Daftar Contoh  251 

DAFTAR CONTOH

Contoh 1.1. ............................................................................................................. 12 

Contoh 1.2 .............................................................................................................. 13 

Contoh 1.3 .............................................................................................................. 13 

Contoh 3.1 .............................................................................................................. 48 

Contoh 3.2 .............................................................................................................. 52 

Contoh 3.3 .............................................................................................................. 53 

Contoh 3.4. ............................................................................................................. 56 

Contoh 3.5. ............................................................................................................. 56 

Contoh 3.4 .............................................................................................................. 58 

Contoh 3.5 .............................................................................................................. 59 

Contoh 3.6 .............................................................................................................. 61 

Contoh 4.1 .............................................................................................................. 75 

Contoh 4.2 .............................................................................................................. 78 

Contoh 4.3 .............................................................................................................. 80 

Contoh 7.1 ............................................................................................................ 136 

Contoh 7.2 ............................................................................................................ 137 

Contoh 8.1 ............................................................................................................ 185 

Contoh 8.2 ............................................................................................................ 194 

Contoh 8.3 ............................................................................................................ 195 

Contoh 8.4 ............................................................................................................ 199 

252 LAMPIRAN   

Contoh 8.5 ............................................................................................................ 209 

INDEKS  253 

254 LAMPIRAN   

INDEKS

Alternatif ........................ 13, 200, 235

Anava ......... xx, 82, 83, 165, 194, 197

Animasi .................................... xv, 44

Berpasangan ............. 12, xx, 185, 196

Binomial.............................................

6, 25, 53, 79, 240, 241, 242, 243,

244, 246, 260, 263

Box-plot ......................................... 21

chi-kwadrat..................... 53, 107, 144

CIS ................................................... 9

Derajat .................................... 57, 208

Deskriptif ................... 5, 90, 127, 267

Determinasi .................................. 234

Deviasi ...............................................

........ xv, 57, 63, 168, 195, 263, 264

Diagnostik ..........................................

.................. xxi, 227, 228, 229, 230

Distribusi ............................................

xiv, xv, xvi, 25, 29, 32, 33, 34, 35,

52, 53, 56, 59, 60, 61, 62, 67, 68,

69, 70, 75, 76, 86, 106, 143, 240,

242, 260, 262, 263, 267

EDA ......................... 5, 108, 145, 262

Eksponensial ................ 25, 53, 60, 79

F 21, 53, 79, 81, 82, 113, 150, 195,

198, 217, 218, 221, 222, 224, 232,

233, 259

Frekuensi............................................

xv, xvii, xviii, 42, 43, 45, 106, 143

GUI.......... iv, 20, 21, 38, 39, 257, 261

HGLM............................................ 84

hipotesis .............................................

80, 165, 168, 169, 171, 173, 176,

177, 178, 179, 181, 183, 184, 186,

187, 189, 190, 195, 218

Hipotesis.............................................

9, 12, 14, 80, 168, 169, 172, 180,

186, 194, 199, 200, 218, 264

Histogram...........................................

xvi, xvii, xviii, xix, xx, 21, 78, 109,

110, 123, 146, 147, 160, 260, 264

Inferensial......................................... 6

Intervalxv, 36, 93, 130, 173, 184,

189, 214, 264

Keyakinan ...................... 7, xv, 36, 37

INDEKS  Page 255 

Korelasi ..............................................

xvii, xviii, xxi, 21, 57, 83, 107,

144, 207, 208, 209, 211, 212, 213,

214, 254

Kuantil................................................

xvii, xviii, xix, 54, 55, 113, 114,

122, 150, 151, 159

kumulatif ............ 59, 60, 73, 243, 248

Library.......................................... 261

Mean... 21, 32, 33, 36, 54, 56, 63, 195

Median ...............................................

xv, 54, 55, 56, 61, 62, 104, 105,

112, 141, 142, 149, 220, 223, 226,

232, 233, 247, 248, 249, 251

Modus........................... xv, 54, 56, 62

Nominal.......................... 92, 129, 266

Normal ...............................................

xv, xvi, 6, 21, 25, 32, 33, 34, 35,

42, 52, 53, 55, 56, 60, 67, 68, 69,

71, 73, 75, 76, 78, 79, 83, 87, 88,

113, 114, 150, 151, 172, 180, 186,

194, 217, 218, 228, 240, 241, 242,

248, 251, 260

Ordinal ................................... 92, 129

Parameter ........... 11, 32, 37, 165, 266

Pemusatan ................ 8, xv, 54, 62, 63

pencar .................................................

25, 109, 120, 146, 157, 209, 210,

222, 224, 260

Pencar.................................................

10, 11, xvii, xviii, xix, xx, xxi, 21,

120, 121, 122, 123, 157, 158, 159,

160, 219, 223, 224, 234, 260

Pencilan......................... xxi, 233, 234

Penyebaran ................................. 8, 57

plugin ............................................. 10

Plug-in..................... xiv, 31, 260, 261

Populasi.................................. 14, 266

Proporsi ..............................................

xxi, 21, 83, 165, 199, 200, 201,

202, 259

p-value................................................

106, 143, 173, 174, 177, 178, 181,

184, 185, 187, 188, 189, 190, 195,

201, 203, 213, 214, 218, 221, 222,

224, 232, 233

Ragam ............................. xvi, 69, 191

Range ....................................... 54, 57

Rasio................................. 44, 93, 130

Rcmdr......................... 20, 22, 30, 260

RCommander .................................... i

v, v, xiv, xvi, xviii, 10, 19, 20, 21,

22, 24, 25, 30, 31, 37, 38, 72, 74,

80, 87, 90, 94, 95, 97, 98, 101, 104,

108, 109, 113, 127, 131, 132, 134,

135, 138, 141, 145, 146, 150, 165,

171, 179, 186, 193, 211, 219, 225,

227, 259, 260

Regresi7, 12, 13, xv, xxi, 21, 36, 37,

84, 120, 157, 214, 225, 229, 230,

233, 234, 235, 244, 250, 254, 259,

266

Rentang ........................................ 242

Rerata28, 71, 80, 117, 118, 119, 154,

155, 156, 165, 170, 171, 179, 185,

195

Sampel8, 9, 12, xx, xxi, 14, 42, 49,

54, 76, 171, 175, 176, 182, 199,

201, 202, 259

SciViews ........................................ 20

signifikansi34, 35, 108, 145, 168,

222, 243, 246, 262

simetris ...............................................

34, 35, 52, 53, 55, 56, 60, 62, 67,

69, 86, 109, 112, 146, 149, 221,

240

StatDemo............................................

iv, v, 7, xiv, 10, 19, 21, 22, 23, 30,

31, 32, 41, 45, 62, 75, 87, 174, 179,

181, 185, 190, 257

Statistik...............................................

vi, 10, 11, xvi, xviii, 4, 15, 104,

141, 266, 267

Statistika.............................................

i, iii, iv, vi, 9, xiv, 4, 5, 6, 7, 9, 10,

15, 23, 25, 28, 30, 39, 42, 79, 80,

90, 127, 255, 256, 257, 259, 267

T .......... 33, 34, 81, 82, 168, 181, 182

Tinn-R ............................................ 20

Unimodal...................................... 267

Variansi ..............................................

57, 118, 155, 191, 193, 197, 259,

268

Wilcoxon................................ 21, 259

Z xv, 35, 68, 75, 78, 81, 82, 168, 256