Bab 5

UKURAN

VARIABILITAS

UKURAN VARIABILITAS

Pengantar

Pada bab 3 terdahulu telah diperkenalkan tendensi sentral yang dapat

dianggap sebagai representasi dari distribusi suatu gejala. Tetapi sebenarnya untuk

memperoleh pemahaman mengenai suatu distribusi belumlah memadai kalau kita

hanya mengetahui tendensi sentralnya saja. Untuk lebih memahami suatu

distribusi di samping informasi mengenai tendensi sentralnya diperlukan juga

informasi mengenai variabilitasnya.

Ada beberapa macam ukuran variabilitas, antara lain rentangan (R), rerata

simpangan (MD), simpangan baku (SD) dan varian, serta koefisien variasi.

Dalam bab 5 ini di samping membahas ukuran variabilitas, akan dibahas

pula beberapa nilai baku yang sering kali digunakan di kalangan pendidik maupun

psikolog.

Setelah mempelajari modul ini, pembaca diharapkan dapat memperoleh

pemahaman tentang :

1. pengertian variabilitas.

2. beberapa ukuran variabilitas gejala .

3. cara-cara menentukan besaran ukuran variabilitas.

4. penggunaan masing-masing ukuran variabiltas.

58

UKURAN VARIABILITAS

Variabilitas adalah derajat penyebaran nilai-nilai variabel dari tendensi

sentralnya dalam suatu distribusi. Jadi variabilitas ini menunjukkan seberapa

banyak nilai-nilai variabel itu berbeda dari tendensi sentralnya, atau seberapa jauh

nilai-nilai varibel itu menyimpang dari tendensi sentralnya (terutama rerata).

Tendensi sentral dan ukuran variabilitas digunakan secara bersama dalam

rangka penggambaran sekumpulan data. Sebab tendensi sentral secara terpisah

tidak dapat menggambarkan keadaan keseluruhan data dengan baik. Tendensi

sentral hanya memberikan informasi tentang suatu nilai yang menjadi pusat dari

nilai-nilai lainnya, tetapi tidak memberikan informasi seberapa jauh atau seberapa

besar nilai-nilai dalam kelompok itu bervariasi. Misalkan ada dua himpunan data,

yaitu himpunan A = {3 3 4 5 6 7 7} dan himpunan B = {1 2 4 5 6 8 9}.

Kedua himpunan tersebut mempunyai nilai rerata yang sama yaitu 5. Tetapi

himpunan B lebih variatif daripada himpunan A. Atau dengan kata lain himpunan A

lebih homogen (seragam) daripada himpunan B.

Dari contoh di atas jelas bahwa untuk memberikan gambaran ringkas yang

memadai mengenai suatu distribusi data atau himpunan data, di samping dengan

tendensi sentral juga diperlukan suatu ukuran variabilitas. Ukuran variabilitas

dibedakan menjadi ukuran variabilitas absolut dan ukuran variabilitas relatif. Yang

termasuk ukuran variabilitas absolut antara lain: rentangan, rerata simpangan,

simpangan baku dan varians.

A. Rentangan.

Rentangan (range of measurement), adalah jarak dari data terendah

sampai data tertinggi. Karena itu untuk menentukan rentangan (R) cukup

dengan cara menghitung selisih antara data tertinggi dengan data terendah,

sehingga rumusnya dapat dituliskan seperti rumus 5.1:

.......................(Rumus 5.1.)

R = RentanganXt = Nilai tertinggi.Xr = Nilai terendah.

59

Jika kita lihat kembali contoh di atas tentang himpunan A dan B, maka

akan kita peroleh, bahwa :

Distribusi A:

Xt = 7, dan Xr = 3, sehingga

R = 7 – 3 = 4.

Distribusi B:

Xt = 9, dan Xr = 1, sehingga

R = 9 – 1 = 8.

Sebagai ukuran variabilitas, semakin besar R (rentangan)

menunjukkan distribusi datanya semakin heterogen. Namun demikian sebagai

ukuran variabilitas R (rentangan) ini mempunyai dua kelemahan yaitu:

a. Tidak memenuhi batasan variabilitas.

b. Sangat tergantung pada dua nilai ekstrim di kedua ujung.

Disamping kedua kelemahan tersebut R juga tidak dapat

menunjukkan bentuk distribusinya, namun demikian R dapat digunakan untuk

menafsir variasi secara mudah dan cepat walaupun kurang teliti. Untuk

mengatasi kelemahan kedua itu, maka digunakan R10 – 90 dan atau RSAK.

Dengan R10 – 90 berarti distribusi itu dipotong 10% pada masing-

masing ujungnya, sehingga R10 – 90 = jarak dari P10 – P90.

Oleh karena itu R10–90 = P90 – P10.

Langkah- langkah menghitung R10 – 90:

1. Hitung P90.

2. Hitung P10.

3. P90 – P10.

60

P90P10

R10 - 90

Tabel 5.1. : Nilai Tes 80 SiswaInterval f fk

56 – 62 2 80

49 – 55 9 78

42 – 48 16 69

35 – 41 25 53

28 – 34 17 28

21 – 27 8 11

14 – 20 3 3

Σ 80

= 50,833

= 24,875

R10 – 90 = 50,833 – 24,875 = 25,958.

RSAK = Rentangan Semi Antar kuartil

RSAK = ½ (RAK).

RAK = K3 – K1

Dengan RAK berarti distribusi dipotong di kedua ujungnya masing-masing 25%

Langkah-langkah menghitung RSAK:

1. Hitung K3.

2. Hitung K1.

3. Hitung RAK = K3 – K1.

4. Tentukan RSAK = ½ x RAK.

Dari tabel dapat diperoleh RSAK = ....

1.

61

K1 K2K3

RAK

2.

3. RAK = 44,563 – 31,206 = 13,357.

4. RSAK = ½ x 13,357 = 6,679.

Perlatihan 5.1.

Tentukan R10 – 90 dan RSAK dari tabel 5.2. dibawah ini

Tabel 5.2. : Data Fiktif Untuk Latihan.Interval f fk

45 – 47 2

42 – 44 5

39 – 41 10

36 – 38 15

33 – 35 10

30 – 32 5

27 – 29 3

Σ 50

B. Rerata Simpangan (Mean Deviation).

Simpangan atau deviasi adalah selisih sekor dengan reratanya.

Deviasi biasanya diberi simbol huruf kecil (x kecil). Jadi x = X – M.

Rerata simpangan atau mean deviation (MD) adalah rerata dari

penyimpangan nilai-nilai variable dari rerata kelompoknya. Dibandingkan

dengan rentangan, rerata simpangan ini lebih mantap sebagai ukuran

variabilitas, karena rerata simpangan ini ditentukan berdasarkan seluruh nilai

yang ada dalam kelompoknya, bukan hanya berdasar pada nilai-nilai ekstrim

saja. Adapun rumus untuk menghitung rerata simpangan ini adalah :

………… (Rumus 5.2)

62

MD = Rerata simpanganIxI = selisih X dari M ( dalam harga mutlak)N = cacah kasus

Contoh: Ada lima orang masing-masing memperoleh sekor 1 2 3 4 5,

rerata dari sekor ke lima orang tersebut adalah :

Jika dihitung dan disajikan dalam bentuk table maka seperti dibawah ini.

Tabel 5.3. : Contoh Tabel Kerja Untuk Menghitung MD.

SubyekNilai(X)

│x│

A 1 2

B 2 1

C 3 0

D 4 1

E 5 2

Σ 15 6

Jika data cukup besar dan tersaji dalam tabel distribusi frekuensi,

maka rumus 5.2. dirubah menjadi rumus 5.3.

..................... Rumus 5.3.)

Misalkan sekor tes kecemasan dari 40 siswa tersaji dalam tabel 6.4. berikut ini.

Tabel 5.4. : Sekor Tes kecemasan 40 siswa.Nilai f

9 2

8 7

63

7 12

6 10

5 6

4 3

Σ 40

Untuk menentukan rerata simpangan dari data tersebut, perlu dibuat

tabel kerja seperti tabel 5.5., dan selanjutnya menempuh langkah-langkah

seperti tersebut di bawah ini.

Tabel 5.5. : Tabel Kerja Untuk Menentukan MD X f fX x fx

9 2 18 2,5 5

8 7 56 1,5 10,5

7 12 84 0,5 6

6 10 60 0,5 5

5 6 30 1,5 9

4 3 12 2,5 7,5

Σ 40 260 - 43

Langkah–langkah menghitung MD:

1. Hitung .

2. Mengisi kolom x dengan cara X – M (dengan mengabaikan tanda negatif ).

Misal : x baris pertama = 9 – 6,5 = 2,5,

x baris kedua = 8 – 6,5 = 1,5, dst.

3. Mengisi kolom fx

4. Menjumlahkan isi kolom fx = 43

5. Membagi jumlah isi kolom fx dengan n.

Perlatihan 5.2

Hitunglah MD dari tabel 5.6.

Tabel 5.6. : Data Fiktif Untuk Latihan.Interval f X fX x fx

64

45 – 47 2

42 – 44 5

39 – 41 10

36 – 38 15

33 – 35 10

30 – 32 5

27 – 29 3

Σ 50

C. Simpangan Baku (Standar Deviasi).

Kelemahan MD adalah mengabaikan tanda-tanda negatif sehingga

tidak dapat diteruskan kepada perhitungan-perhitungan statistika lanjut. Untuk

mengatasi ini digunakan simpangan baku (SD). SD adalah akar dari jumlah

kuadrat deviasi dibagi banyaknya individu.

..........................(Rumus 5.4.)

Tabel 5.7. : Tabel kerja untuk menghitung SD.X f fX x fx Fx2

9 2 18 2,5 5 12,50

8 7 56 1,5 10,5 15,75

7 12 84 0,5 6 3,00

6 10 60 -0,5 -5 2,50

5 6 30 -1,5 -9 13,50

4 3 12 -2,5 -7,5 18,75

Σ 40 260 43 66

Cara menghitung SD hampir sama dengan menghitung MD. Perhatikan tabel

5.7. di atas yang sama dengan tabel 5.5. ditambah kolom fx2.

Jadi,

65

Perlatihan 5.3. :

Tentukan SD dari tabel 5.6.

Di samping rumus 5.4. ada rumus lain yang lebih mudah untuk

menghitung simpangan baku (SD), yaitu rumus 5.5.

....................(Rumus 5.5.)

Rumus 5.5. ini disebut rumus angka kasar, sedang rumus 5.4. disebut

rumus deviasi.

Contoh penggunaan rumus 5.5. dengan bahan tabel 5.5.

Tabel 5.8. : Tabel Kerja Untuk Menghitung SD x f fx Fx2

9 2 18 162

8 7 56 448

7 12 84 588

6 10 60 360

5 6 30 150

4 3 12 48

Σ 40 260 1756

= = 1,285.

Ternyata dengan rumus 5.5. ataupun rumus 5.4., hasil hitungnya sama, yaitu =

1,285.

Catatan :

1. Kekeliruan yang sering terjadi adalah mahasiswa menganggap :fx2 = (fx)2, padahal fx2 ≠ (fx)2

fx2 = (f)(x)2, atau (fx)(x).

66

2. Apabila kita menghitung simpangan baku dan sampel berukuran n<100 dan akan digunakan untuk menduga besar simpangan baku populasi, maka ahli-ahli statistika seperti Fisher dan Wilks, menganjurkan supaya menggunakan rumus 6.6

.........................(Rumus 5.6.)

atau

......................(Rumus 5.7.)

Simbol S = SD = Simpangan baku, di sini digunakan semata-mata untuk

memudahkan pemahaman terhadap perbedaan rumus dan penggunaannya.

Rumus 6.4. dan 6.5. digunakan jika kelompok data itu dianggap populasi atau

jumlah datanya cukup besar, dan rumus 6.6 dan 6.7 digunakan jika kelompok

data itu dianggap sampel dan akan digunakan untuk keperluan estimasi.

Hasil hitung dengan rumus 6.6. dan 6.7. selalu lebih besar daripada rumus

6.4. dan 6.5. Sebagai contoh dari tabel 6.7., digunakan rumus 6.6. diperoleh:

= = 1,301

Jika digunakan rumus 6.7, dari tabel 6.8. diperoleh:

= =1,301

D. Varian (SD2)

Varian adalah kuadrat dari simpangan baku (SD2). Jadi kalau dari

tabel 5.7. diperoleh SD = 1,285, maka variannya = SD2 = 1,2852 = 1,65.

Jika harga SD belum dihitung, maka varian dihitung dengan rumus:

67

.........................(Rumus 5.8)

Atau

....................(Rumus 5.9)

Seperti halnya ukuran variabilitas yang lain, simpangan baku dan

varian semakin besar menunjukkan bahwa distribusinya makin heterogen.

Perlatihan 5.4

1. Hitunglah simpangan baku dan varian dari tabel 5.9. di bawah ini.

Tabel 5.9 : Untuk Latihan

Interval f

33 – 39 2

26 – 32 8

19 – 25 19

12 – 18 20

5 – 11 11

Σ 60

Jika data dalam tabel 5.9. tersebut merupakan

data dari sampel dan akan digunkan untuk

melakukan estimasi terhadap populasinya,

tentukanlah simpangan baku dan variannya.

2. Hasil ujian stastistika 40 mahasiswa tersaji seperti tabel 5.10.

Tabel 5.10. : Nilai Ujian Statistika 40 MahasiswaNilai f

Tentukanlah simpangan baku (SD)

dan varian (SD2) dari data tersebut !

40 – 46 3

33 – 39 5

26 – 32 11

19 – 25 14

12 – 18 5

68

5 – 11 2

Σ 40

E. Nilai baku ( Z-score)

Nilai baku adalah angka yang menunjukkan seberapa jauh suatu nilai

(X) menyimpang dari reratanya dalam satuan SD. Atau nilai baku (Z –score),

adalah indeks durasi suatu nilai. Rumus untuk menghitung nilai baku, adalah :

............................(Rumus 5.10.)

Z = Nilai baku X = Suatu sekorM = RerataSD = Simpangan baku

Dilihat dari definisi dan rumusnya, maka Z-score dapat dianggap

sebagai indeks ukuran jarak, seperti halnya R ataupun SD. Perbedaannya

dengan R dan SD bahwa Z-score tidak lagi menggunakan angka kasar dan

satuan pengukurannya, melainkan dalam satuan SD.

Contoh ; Si A mendapatkan sekor matematika 50. Rerata

kelompoknya adalah 40 dan SD = 5. Maka nilai baku dari si A tersebut adalah :

Ini berarti nilai matematika si A ada 2 SD di atas rerata. Dikatakan di

atas karena tanda positif di depan bilangan itu.

Contoh lain :

Dari hasil tes diketahui bahwa M = 35, dan SD = 5, Amir dan Bonar

masing-masing memperoleh nilai 30 dan 40, sedang nilai baku Cecep dan

Dian masing-masing -2 dan +1,5.

69

1. Berapakah nilai baku dari Amir dan Bonar?

2. Berapakah sekor mentah si Cecep dan Dian?

Untuk mempermudah menjawab pertanyaan tersebut, maka soal

cerita di atas, perlu diringkas dalam notasi matematika sebagai berikut:

Diketahui Ditanyakan

M = 35 1. a. ZA = .....?

SD = 5 b. ZB =......?

XA = 30 2. a. XC =.......?

XB = 40 b. XD =......?

ZC = -2

ZD = 1,5

Jawab :

1. a. 1. b.

= -1 = 1

Jadi nilai Z Amir = -1 dan Z Bonar = 1.

2. Untuk menjawab pertanyaan ke dua, maka di ubah menjadi

X = M + Z(SD) sehingga :

XC = 35 + (-2)(5)

= 35 – 10

= 25

XD = 35 + (1,5)(5)

= 35 +7,5.

= 42,5

Jadi sekor mentah si Cecep = 25 dan sekor mentah si Dian = 42,5.

Di samping sebagai ukuran jarak, nilai baku juga dapat digunakan

sebagai ukuran untuk membandingkan dua gejala atau lebih yang mempunyai

ukuran yang berbeda.

Contoh ;

70

Si A mempunya nilai matematika 50, dan si B mempunyai nilai sejarah 70.

Secara sekilas mungkin orang akan mengatakan bahwa si B lebih pandai dari

si A (karena nilai B = 70, sedang si A = 50). Tetapi apakah penyimpulan itu

benar?

Untuk menjawab inin maka perlu di cari informasi tambahan tentang M dan SD

dari nilai ke dua mata pelajaran tersebut. Misalnya: nilai M dan SD dari mata

pelajaran matematika adalah 40 dan 50, sedangkan untuk mata pelajaran

sejarah adalah 75 dan 10. Maka kita dapat membandingkan keduanya sebagai

berikut:

Dengan nilai-nilai baku yang ditemukan tersebut, maka dapat disimpulkan

bahwa kepandaian si A adalah 2 SD di atas M, dan kepandaian si B = 0,5 SD

di bawah M.

Oleh karena itu para peneliti tidak membandingkan nilai atau sekor menurut

harga tampaknya saja, melainkan harus mencari informasi yang lebih

komprehensif pada setiap distribusi yang ditelitinya.

F. Koefisien Variasi

Beberapa ukuran variabilitas yang telah dibahas di depan kesemuanya

merupakan ukuran variasi absolut. Ukuran variasi absolut tersebut hanya dapat

untuk melihat penyimpangan nilai yang terdapat pada suatu himpunan data,

dan tidak dapat digunakan untuk membandingkan beberapa himpunan data.

Koefisien variasi yang biasanya di beri simbol KV merupakan ukuran

variasi yang bersifat relatif. Koefisien variasi ini dapat digunakan untuk

memperbandingkan beberapa himpunan data yang berbeda. Koefisien variasi

dapat ditemukan dengan rumus:

....................(Rumus 5.11.)

V = Koefisien variasi SD = Simpangan bakuM = Rerata

71

Misalkan kita menghadapi dua buah himpunan data yang berbeda

dalam jumlah data dan nilai datanya, masing-masing kita sebut himpunan A

dan B.

Jika : MA = 60 SDA = 10

MB = 80 SDB = 20

Untuk menentukan himpunan manakah yang lebih baik, maka kita

gunakan koefisien variasi, dan diperoleh :

Dengan demikian himpunan A mempunyai variasi yang lebih kecil dari

pada himpunan B.

Contoh lain, misalkan hasil pengukuran terhadap IQ mahasiswa PTS

dan PTN di Jakarta menunjukkan rerata IQ mahasiswa PTN = 105 dan SD =

10, maka besarnya koefisien variasi IQ masing-masign kelompok mahasiswa

tersebut adalah:

Ini berarti bahwa mahasiswa PTN mempunyai variasi IQ yang lebih

kecil dari pada mahasiswa PTS.

72