Pertidaksamaan Satu Variabel

12 March 2013Logika MatematikaBab 5112 March 2013Peta KonsepLangsungTak LangsungInduksi MatematikaKonjungsiDisjungsiImplikasiBimplikasiSilogismeModus TolensModus PonenTunggalMajemukKalimat DeklaratifPenarikan KesimpulanPembuktian mempelajariLogika MatematikaTerdiri atasmenurutmenurutdengan cara2PrasyaratTentukan bernilai benar atau salahkah kalimat berikut ini.1.Mangga adalah jenis buah-buahan.2.Rasa gula adalah manis.3.Bilangan prima terkecil adalah 2.4.Semua orang di dunia suka makan daging.

12 March 2013312 March 2013A. Kalimat Deklaratif Majemuk Kalimat DeklaratifKalimat deklaratif diartikan sebagai kalimat yang mempunyai nilai kebenaran. Nilai kebenaran yang dimaksud adalah benar saja atau salah saja, bukan sekaligus benar atau sekaligus salah. Kalimat deklaratif disebut juga pernyataan atau proposisi.Misal:-Bilangan genap habis dibagi 2. (benar)-Nilai x yang memenuhi persamaan 2x 1 = 5 adalah 1. (salah)412 March 2013NegasiNegasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang bernilai benar (B), jika pernyataan semula bernilai salah (S) dan sebaliknya.Negasi disimbolkan dengan (~).Kalimat p jika dinegasikan, menjadi ~p.Misal:Surabaya terletak di Kalimantan. (salah)Negasinya: Surabaya tidak terletak di Kalimantan. (benar)atau,Tidak benar bahwa Surabaya terletak di Kalimantan. (benar)512 March 2013Untuk memudahkan, akan digunakan simbol-simbol huruf, seperti p, q, r, atau sejenisnya untuk suatu kalimat deklaratif.Misalkan p adalah kalimat deklaratif. Nilai kebenaran dari negasi p yang mungkin adalah seperti gambar di samping.

612 March 2013 Kalimat TerbukaKalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan baru diketahui nilainya (benar atau salah) jika variabel itu diganti suatu konstanta (anggota semestanya). Contoh:Jika p(x) : x + 4 = 7, untuk x bilangan real, tentukan nilai variabel x yang mengakibatkan kalimat tersebut mempunyai nilai kebenaran Benar.Jawab:Kalimat p(x) merupakan kalimat terbuka. Misalkan nilai x diganti 2, akan bernilai salah. Kalimat ini akan bernilai benar jika nilai x diganti 3.712 March 2013 Pernyataan MajemukKalimat deklaratif majemuk (KDM) adalah kalimat yang dibentuk oleh dua atau lebih kalimat deklaratif.Digunakan kata hubung untuk membentuk KDM, seperti:dan disebut konjungsi;atau disebut disjungsi; Jika ... maka ... disebut implikasi;jika dan hanya jika disebut biimplikasi.

Suatu KDM yang selalu bernilai benar dinamakan tautologi, sedangkan yang nilainya selalu salah dinamakan kontradiksi.812 March 2013KonjungsiKata hubung dalam konjungsi adalah dan, ditulis .Tabel kebenaran:

Contoh:p : Mangga adalah nama buah (benar)q : Mangga adalah buah berbentuk balok (salah)p q : Mangga adalah nama buah dan berbentuk balok (salah).

912 March 2013DisjungsiDua kalimat deklaratif yang dihubungkan dengan kata hubung disebut disjungsi.Tabel kebenaran:

Contoh:p : 4 + 9 = 13. (benar)q : 6 adalah bilangan prima. (salah)p q : 4 + 9 = 13 atau 6 adalah bilangan prima. (benar)

1012 March 2013Implikasi

Implikasi merupakan kalimat majemuk dengan tanda hubung .Tabel kebenaran:

Contoh:p : Pak Rudi adalah manusia. (benar)q : Pak Rudi kelak akan mati. (benar)p q : Jika Pak Rudi adalah manusia, maka kelak akan mati. (benar)

1112 March 2013Biimplikasi

Biimplikasi merupaka implikasi dua arah, dinotasikan . Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut.

Contoh:p : 3 2 = 6 (benar)q : 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6} (salah)p q : 3 2 = 6 jika dan hanya jika 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6}. (salah)

1212 March 2013B. Negasi Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi1. Negasi Konjungsi dan DisjungsiJika konjungsi p q, negasinya adalah ~p ~q.Jika disjungsi p q, negasinya adalah ~p ~q.Pembuktiannya:

Dari tabel di atas terlihat bahwa nilai kebenaran ~(p q) sama dengan ~p ~q dan ~(p q) sama dengan ~p ~q.

1312 March 2013Contoh:p : 3 adalah bilangan asli.q : 3 adalah bilangan ganjil.p q : 3 adalah bilangan asli dan bilangan ganjil. (benar)Negasi dari p q adalah:~p ~q : 3 bukan bilangan asli atau bukan bilangan ganjil. (salah)1412 March 20132. Negasi Implikasi dan BiimplikasiDiketahui implikasi p q.Negasinya adalah p ~q.

~(p q) p ~q.Diketahui biimplikasi p q.Negasinya adalah (~p q) (p ~q).

~(p q) (~p q) (p ~q)

Adapun pembuktiannya juga dapat dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran. Coba kalian tunjukkan dengan tabel kebenaran!

1512 March 2013Contoh:p : 6 habis dibagi 2.q : 6 bilangan genap.p q : Jika 6 habis dibagi 2, maka 6 bilangan genap. (benar)p ~q : 6 habis dibagi 2 dan bukan bilangan genap. (salah)

1612 March 2013C. KuantifikasiKuantifikasi digunakan untuk menentukan kuantitas yang dipenuhi oleh variabel dari suatu kalimat terbuka. Suatu pernyataan (kalimat) yang menggunakan ungkapan semua atau terdapat disebut sebagai kalimat berkuantor.Terdapat dua buah kuantor yang dapat digunakan, yaitua. kuantor universal, simbolnya ;b. kuantor eksistensial, simbolnya .

1712 March 2013Contoh:SP : Himpunan semua bilangan bulatp(x) : x > 5q(x) : x + 0 = xJika kedua kalimat tersebut dihubungkan dengan kuantor eksistensial, kalimat deklaratif yang terbentuk adalah sebagai berikut.( x) p(x): Terdapat bilangan bulat yang lebih besar dari 5. (benar)( x) q(x): Terdapat bilangan bulat yang memenuhi x + 0 = x. (salah)

1812 March 2013Terdapat kuantor lain yang disimbolkan denganKuantor tersebut memiliki makna bahwa hanya terdapat satu anggota dari semesta pembicaraan yang memenuhi suatu kalimat terbuka.

Contoh:SP : himpunan bilangan real positifp(x) : x = 2

Kalimat p(x) : x = 2 dapat ditulis dalam simbol berikut.( x) p(x), dibaca:Terdapat dengan tunggal (tepat satu) nilai x real positif yang memenuhi x = 2. (benar)Nilai x yang dimaksud adalah 2.

1912 March 2013Negasi Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

Negasi dari kata semua atau setiap adalah tidak semua, artinya ada beberapa yang tidak termasuk. Misalkan p(x) adalah kalimat terbuka.maka

2012 March 2013Contoh:SP : himpunan seluruh manusiap(x) : x adalah pemberaniTentukan kalimat kuantifikasi dan negasinya.Jawab:Kalimat kuantifikasinya adalah sebagai berikut.( x) p(x) : Seluruh manusia adalah pemberani. (salah)Negasinya adalah( x) ~p(x): Terdapat manusia yang tidak pemberani. (benar)( x) p(x): Terdapat manusia yang pemberani. (benar)Negasinya adalah( x) ~p(x): Semua manusia adalah tidak pemberani. (salah)

2112 March 2013D. Penarikan KesimpulanPenarikan kesimpulan yang akan dibahas kali ini ada 3 macam, yaitu modus ponen, modus tolens, dan silogisme.2212 March 20131. Modus PonenPembuktian dengan modus ponen didasarkan pada prinsip berikut.p q(premis 1)p (premis 2) q (konklusi)

Pembuktian dengan tabel kebenaran:

2312 March 20132. Modus TolensPembuktian dengan modus tolens didasarkan pada prinsip berikut.p q(premis 1)~q (premis 2) ~p (konklusi)Pembuktian dengan tabel kebenaran:

2412 March 20133. SilogismePembuktian dengan modus ponen didasarkan pada prinsip berikut.p q (premis 1)q r (premis 2) p r (konklusi)Pembuktian dengan tabel kebenaran:

2512 March 2013Contoh:p q : Jika Indah rajin belajar maka ia naik kelasp : Indah rajin belajar q : Indah naik kelas

p q : Jika segi empat ABCD adalah persegi maka panjang semua sisi segi empat ABCD sama.~q : Tidak semua panjang sisi segi empat ABCD sama. ~p : ABCD bukan persegi

p q: Jika 6 bilangan genap maka 6 habis dibagi 2q r: Jika 6 habis dibagi 2 maka 6 memiliki faktor 2 p r : Jika 6 bilangan genap maka 6 memiliki faktor 2

2612 March 2013E. Penarikan Kesimpulan PernyataanBerkuantor1. Spesifikasi Universal

Perhatikan contoh di bawah ini:

Setiap makhluk hidup pasti bernapasHarimau merupakan makhluk hidup Harimau pasti bernapas

2712 March 2013Dari pernyataan di atas, kita misalkan:x = notasi dari semua benda, M = notasi yang menyatakan makhluk hidup, N = notasi yang menyatakan bernapas.

Pernyataan premis tersebut dapat dinotasikan:( x) (Mx Nx)Selanjutnya, misal h adalah notasi yang menyatakan harimau, premis kedua dapat ditulis Mh sehingga penalaran di atas dapat ditulis( x) (Mx Nx)Mh Nh

2812 March 2013Premis ( x) (Mx Nx), berarti:untuk setiap benda x pasti akan berlaku Mx Nxsehingga juga akan berlaku:

Jika burung makhluk hidup maka burung pasti bernapas. Jika manusia makhluk hidup maka manusia pasti bernapas.Dan sebagainya.

Dengan demikian, jika harimau makhluk hidup maka harimau pasti bernapas ditulisMh Nh

Berdasarkan penalaran tersebut maka konklusi (kesimpulan) dari penalaran di atas adalah sah.

2912 March 20132. Generalisasi Eksistensial

Perhatikan contoh berikut ini.Penguin adalah termasuk jenis burungPenguin tidak dapat terbang Ada jenis burung yang tidak dapat terbang

3012 March 2013Dari contoh di atas kita misalkan:B = menandakan jenis burung. T = menerangkan tidak dapat terbang, p = notasi untuk penguin maka penalaran di atas dapat dituliskan sebagaiBpTp ( x)Bx TxKesimpulan penalaran di atas adalah benar.Karena suatu pernyataan eksistensial akan benar apabila terdapat minimal satu x yang memenuhi pernyataan tersebut. Dalam hal ini, x adalah p (penguin).

3112 March 20133. Generalisasi Universal

Perhatikan contoh berikut ini.Semua makhluk hidup akan matiSemua manusia adalah makhluk hidup Semua manusia akan mati

4. Spesifikasi Eksistensial

Perhatikan contoh berikut ini.Semua bilangan asli merupakan bilangan bulatNol merupakan bilangan bulat-- Nol merupakan bilangan asli

3212 March 2013F.Pembuktian dalam MatematikaTerdapat 3 cara pembuktian dalam matematika, yaitu sebagai berikut:1. Pembuktian langsung.2. Pembuktian tidak langsung atau bukti terbalik.Pembuktian ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitua. kontradiksi;b. kontraposisi.3. Pembuktian dengan induksi matematika.3312 March 20131. Pembuktian LangsungDigunakan untuk membuktikan pernyataan berupa implikasi p q. Prinsipnya menggunakan cara penarikan kesimpulan dengan modus ponens, yaitup q (benar)p (benar) q (benar)Dalam pembuktian ini, diketahui pernyataan p (benar) yang diambil sebagai ketentuan. Kemudian, dengan ketentuan p q, pernyataan p dijabarkan sehingga dapat disimpulkan pernyataan q (benar).

3412 March 2013Contoh:Buktikan pernyataan berikut:Jika m dan n bilangan ganjil, maka m + n bilangan genap.Bukti:Misalkan, p: m dan n bilangan ganjil q: m + n bilangan genapKarena m dan n bilangan ganjil maka dapat dituliskan m = 2a + 1 dan n = 2b + 1, dengan a dan b bilangan bulat sehinggam + n = (2a + 1) + (2b + 1)= 2(a + b) + 2= 2(a + b + 1), dengan a + b + 1 bilangan bulat. Dari keterangan tersebut, berarti m + n habis dibagi dua (genap). Pernyataan di atas terbukti.3512 March 20132. Pembuktian dengan KontradiksiDidasarkan pada prinsip bahwa ingkaran dari bukan p adalah p atau dapat dituliskan dengan ~(~p) p.Misalkan diketahui penyataan p. Langkah pembuktian dengan kontradiksi adalah sebagai berikut:Dibuat pengandaian ~p, kemudian dijabarkan.Apabila hasil dari penjabaran tersebut diperoleh fakta-fakta yang bertentangan maka pengandaian harus diingkar sehingga pernyataan p adalah benar.3612 March 2013Contoh:Diketahui x2 bilangan ganjil.Buktikan bahwa x bilangan ganjil.Bukti:Andaikan bilangan x adalah bilangan tidak ganjil. Jadi, x bilangan genap.Dengan demikian, x = 2k, untuk k bilangan bulat. Selanjutnya, x2 = (2k)2 = 4k2, yang berarti bahwa x2 genap. Hal ini bertentangan dengan fakta (yang sudah diketahui) bahwa x2 bilangan ganjil. Jadi, pengandaian x adalah bilangan genap harus diingkar dan yang benar adalah x bilangan ganjil.3712 March 20133. Pembuktian dengan KontraposisiPembuktian ini didasarkan pada prinsip:p q ~q ~pMisalkan diketahui pernyataan p q. Langkah pembuktian dengan kontraposisi:Membuat negasi dari q, yaitu ~q, kemudian ~q dijabarkan. Pernyataan tersebut benar apabila setelah penjabaran diperoleh ~p. Bukti ini sesuai dengan tautologi(( p q) ~q) ~p

3812 March 2013Contoh:Untuk a dan b bilangan bulat positif, buktikan jika a b = a maka b = 1.Bukti:p: a b = aq: b = 1Andaikan b 1. Berarti, b > 1. Untuk semua a > 1 dan b > 1 maka a b > a. Hal ini berarti bahwa a b a. Jadi, pernyataan di atas benar.3912 March 20134. Pembuktian dengan Induksi MatematikaCara pembuktian ini adalah untuk membuktikan benar atau tidaknya suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli. Langkah-langkah induksi matematika adalah sebagai berikut:Misalnya suatu pernyataan disimbolkan p(n) maka pembuktian untuk p(n):a. Dibuktikan benar untuk n = 1.b. Anggap benar untuk n = k.Hal ini menjadi dasar untuk penjabaran n = k + 1.c. Dibuktikan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1.

4012 March 2013Contoh:Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa 4n 1 habis dibagi 3.Bukti:a. Untuk n = 1 maka 41 1 = 3 habis dibagi 3. (benar)b. Anggap benar untuk n = k, yaitu 4k 1 habis dibagi 3 ............. (*)c. Untuk n = k + 1, harus dapat ditunjukkan bahwa 4k + 1 1 habis dibagi 3.4k + 1 1 = 4 4k 1 = 4((4k 1) + 1) 1 = 4(4k 1) + 4 1 = 4(4k 1) + 3Dari (*) maka 4(4k 1) habis dibagi 3 karena 4k 1 habis dibagi 3, sedangkan 3 sudah jelas habis dibagi 3.Dengan demikian, 4(4k 1) + 3 habis dibagi 3. (Jadi, pernyataan di atas terbukti).41