bab 5 : fungsi trigonometri -...

21
Bab 5 : Fungsi Trigonometri 1 Peta Konsep ______________________________________________________ 5.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen Hasil Pembelajaran Melakar graf fungsi trigonometri (a) y = c + a sin bx (b) y = c + a kos bx (c) y = c + a tan bx dengan a, b dan c ialah pemalar dan b > 0 Menentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf. Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan menggunakan graf-graf terlukis ( Sila Rujuk Modul Powerpoint Yang Disediakan Bersama ) Bab 5 FUNGSI TRIGONOMETRI 5.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 5.4 Identiti Asas 5.5 Rumus Penambahan dan Rumus Sudut Berganda 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 5.2 6 Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI

Upload: buique

Post on 09-Mar-2018

614 views

Category:

Documents


33 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

1

Peta Konsep

______________________________________________________

5.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen

Hasil Pembelajaran

Melakar graf fungsi trigonometri

(a) y = c + a sin bx

(b) y = c + a kos bx

(c) y = c + a tan bx

dengan a, b dan c ialah pemalar dan b > 0

Menentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan trigonometri dengan

menggunakan lakaran graf.

Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan menggunakan graf-graf terlukis

( Sila Rujuk Modul Powerpoint Yang Disediakan Bersama )

Bab 5

FUNGSI TRIGONOMETRI

5.3 Graf Fungsi Sinus,

Kosinus dan Tangen 5.4 Identiti Asas 5.5 Rumus Penambahan dan Rumus

Sudut Berganda

5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 5.2 6 Fungsi Trigonometri Bagi

Sebarang Sudut

FUNGSI TRIGONOMETRI

Page 2: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

2

Hasil Pembelajaran 1: Melakar Graf Fungsi Trigonometri

A. Graf Fungsi Sinus

1. Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut.

Contoh 1: 20,sin2 xxy

(a) 20,sin4 xxy

Contoh 2: 20,2sin2 xxy

(b) 20,2sin3 xxy

kala kala

Amplitud

y = c + a sin bx,

a = amplitud

b = bilangan kala dalam 3600 atau

c = bilangan anjakan

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

-2

2π π 0 x

2

y

-2

2π π 0 x

2

y Semak : a= 2 b = 2 c = 0

Page 3: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

3

(c) xxy 0,2sin

(d) 2

30,2sin3 xxy

Contoh 3: 20,sin2 xxy

(e) 20,sin xxy

Contoh 4 : 20,1sin2 xxy

(f) 20,1sin3 xxy

Contoh 5 : xy sin2 20 x

(g) 1sin5 xy , 20 x

x

-2

0

-2

2π π 0 x

2

y

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

-1

2π π 0 x

3

y

Semak :

a= 2

b = 1

c = 1

1

2π π

2

y

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

Page 4: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

4

B. Graf Fungsi Kosinus

2. Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut.

Contoh 1 : 20,cos3 xxy

(a) 20,cos2 xxy

Contoh 2 : 20,cos3 xxy

(b) 20,cos2 xxy

-3

2π π

y

3

x

y

kala kala

y = c + a cos bx,

a = amplitud

b = bilangan kala dalam 3600 atau

c = bilangan anjakan

0

x

3

0 2π π

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

Page 5: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

5

Contoh 3 : 20,1cos3 xxy

(e) 20,1cos2 xxy

Contoh 4 : 20,2

3cos3 xxy

(f) 20,2

3cos5 xxy

Contoh 5 : 20,2

3cos xxy

(g) 20,2

3cos4 xxy

-1

2π π

-2

4

x 0

y

x

-3

y

2π π

3

x 0

x

y

1

π 0

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

Semak :

a= 2

b = 1

c = 0

Page 6: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

6

C. Graf Fungsi Tangen

Contoh 1 : 20,2tan xxy

(a) 20,2tan2 xxy

Contoh 2 : 20,tan xxy

(b) xxy 0,2tan

Contoh 3 : 20,tan xxy

(c) xxy 0,2tan

x

-3

Asimtot

Kala kala

y = c + a tan bx,

a = amplitud

b = bilangan kala dalam 3600 atau

c = bilangan anjakan

0

y

-3

π

3

x

-3

0 π x

y

3

0 π

y

3

Page 7: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

7

Aktiviti Berkumpulan : “JOM LAKAR”

Arahan :

1. Bentukkan kumpulan ( 3 – 4 orang satu kumpulan )

2. Setiap kumpulan mendapat sekeping papan putih ( saiz kecil ) dan pen marker atau kertas A4

( beberapa helai )

3. Guru memaparkan soalan ini tahun demi tahun dan setiap kumpulan dikehendaki

melakarkan graf fungsi trigonometri tersebut dalam masa 3 minit.

4. Wakil setiap kumpulan akan mempamerkan jawapan masing-masing.

5. Guru memberi markah kepada hasilan pelajar.

5. Setelah selesai semua soalan ( mengikut kesuaian masa ) . Guru memberi hadiah kepada

kumpulan yang menang.

6. Guru membuat kesimpulan dan membincangkan analisis soalan secara keseluruhan.

Page 8: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

8

Analisis Soalan SPM Kertas 2 Bahagian A : ( 2003 – 2015)

Tahun Jenis Graf Fungsi

Trigonometri

Julat Lakaran Graf

2003 xkosy

2

32

20 x

2004 xkosy 22 00 1800 x

2005 xkosy 22 20 x

2006 xkosy 22 20 x

2007 xkosy 23 20 x

2008 xy 2tan x0

2009 xkosy 2

2

3

2

30 x

2010 kosxy 31 20 x

2011 xy

2

3sin3

20 x

2012 12 kosxy 20 x

2013 Tiada soalan lakaran graf

2014 xy 2tan1 x00

2015 xkosy 2 00 3600 x

Page 9: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

9

Hasil Pembelajaran 2 :

Menentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan

trigonometri dengan menggunakan lakaran graf.

Untuk menentukan bilangan penyelesaian bagi sesuatu

persamaan trigonometri :

(i) asingkan ungkapan trigonometri daripada

ungkapan bukan trigonometri dahulu.

(ii) kemudian, lakarkan kedua-dua gaf fungsi itu pada

rajah yang sama.

(iii) bilangan penyelesian bagi persamaan trigonometri

itu diwakili oleh bilangan titik persilangan bagi

dua graf fungsi itu.

______________________________________________________________ Contoh 1 :

Lakarkan graf xxkosy 0 bagi ,12 . Daripada graf itu,

(a) Nyatakan koordinat titik maksimum dan minimum bagi graf y = kos2x + 1,

(b) Tentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan trigonometri

( i ) ,12 xkos

( ii ) xxkos 824

Info :

Page 10: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

10

Penyelesaian :

Langkah 1:

xxkosy 0 bagi ,12

(ii)

Daripada graf, terdapat satu titik persilangan bagi graf y = kos 2x +1 dengan graf

4

32 xy

Maka persamaan trigonometri xxkos 824 mempunyai satu penyelesaian.

-1

2π π

y

1

x 0

2π π

y

2

x 0

Langkah 2 :

y

2

x 0

4

32

14

1212

4

82

824

xy

xxkos

xxkos

xxkox

Lakarkan graf 4

32 xy

pada rajah yang sama.

(a) Daripada graf, koordinat titik maksimum

ialah ( 0, 2 ) dan ( 2π, 2).

Koordinat titik minimum ialah ( π, 0)

(b)

( i ) Kos 2x = -1

Kos 2x + 1 = 0

y =kos2x+ 1 dan y = 0,

Daripada graf, terdapat satu titik persilangan bagi graf y = kos 2x + 1 dengan

paksi-x, Maka persamaan trigonometri kos 2x = -1 mempunyai satu penyelesaian.

Page 11: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

11

Contoh 2 :

(i) Lakarkan graf bagi y = 2 sin 2x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

(ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang

sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2

2sin

xx

bagi 0 ≤ x ≤ 2π. Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian :

( i )

12

12

2sin2

2

12sin

22sin

xy

xx

xx

xx

Bilangan penyelesaian = 3

x 0 π 2π

y -1 1 3

2π π 0 x

2

y

Tip

Langkah penyelesaian

(i) Lakarkan graf

(ii) Cari Persamaan garis lurus

(iii) Lukiskan garis lurus

(iv) Nyatakan bilangan titik

penyelesaian

Plotkan garis lurus ini

Pilih 2 atau 3 nilai x yang sesuai dan cari

nilai y yang sepadan.

Page 12: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

12

Latihan Format SPM Kertas 2

1 (a) Lakarkan graf bagi y = |5 sin 2

3x| bagi 0 ≤ x ≤ 2π. [ 4 markah ]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

5 − |5 sin 2

3x| =

x

2π bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [ 3 markah ]

2 (a) Lakarkan graf bagi y = - 2 kos 3x bagi 0 ≤ x ≤ π. [3 markah]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan xkosx 3234

bagi 0 ≤ x ≤ π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [4 markah]

Page 13: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

13

3 (a) Lakarkan graf bagi y = sin 2x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan bagi xx 2sin4 bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [7 markah]

4 (a) Lakar graf bagi y = 2 kos x + 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π. [4 markah]

(b) Jika garis y = k dilukis pada paksi yang sama, cari julat nilai k atau nilai k jika

k – 1 = 2 kos x

(i) tiada penyelesaian,

(ii) mempunyai satu penyelesaian. [2 markah]

Page 14: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

14

5 (a) Lakar graf xy 2tan2 untuk x0 [3 markah]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 62tan22 x untuk x0 .

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

[3 markah]

6.(a) Lakarkan graf bagi y = 5 kos 3x bagi 0 ≤ x ≤ π. [ 4 markah]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan −10x

π + 7 − 5 kos 3x = 0 bagi 0 ≤ x ≤ π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

[3 markah ]

Page 15: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

15

7.(a) Lakarkan graf bagi y = −3 sin x bagi 0 ≤ x ≤ 2π. [ 3 markah ]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu graf yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan −π

x − 3 sin x = 0 bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [ 3 markah ]

8 (a) Lakarkan graf bagi y = tan 2x bagi 0 ≤ x ≤ π.

.

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 02tan43

xx

bagi 0 ≤ x ≤ π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [6 markah ]

Page 16: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

16

9. (a) Lakarkan graf bagi xy 2sin3 bagi 0 ≤ x ≤ 2π [4 markah]

(b) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakarkan satu garis lurus yang bersesuaian untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan - 2 + x2sin3 = 2

x for 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian tersebut. [3 markah]

10 (a) Lakarkan graf bagi y = −1 − 3 kos x bagi 0 ≤ x ≤ 2π. [ 4 markah ]

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan −6π kos x = −2π + 2x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [ 3 markah]

Selamat mencuba..!!!

Page 17: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

17

Permarkahan :

Apa yang pelajar perlu tahu dan ingat…

Lakaran yang salah

(i) (ii)

Garis lengkung tidak boleh melebihi

atau tidak menyentuh garis amplitud

Pada garis lurus, pelajar

mesti fokus kepada nilai

pintasan –y dan bentuk

kecerunan

Kalaan mestilah tepat dengan julat yang diberi dalam soalan

Graf tajam graf mendatar

Page 18: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

18

Jawaban :

1(a)

5

b ) 52

xy

Bil Penyelesaian = 6

2(a)

(b) −4x

π + 3 + 2 cos 3x = 0

y = −4x

π + 3

Bila x = 0, y = 3

Bila x = π, y = −1

Bilangan Penyelesaian = 3

3 (a)

22

3

20

(b)

4 sin 2x = 1 − x

π

sin 2x = 1

4 −

x

y = 1

4 −

x

Bilangan Penyelesaian = 5

Page 19: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

19

4.

5.

Lukis 3y di atas paksi yang sama

Bil. Penyelesaian = 4

6. (a)

(b) 5 kos 3x = −10x

π + 7,

Bil. penyelesaian=2

3

π π/2 0

(i) k > 3, k < −1

(ii) k = −1

Page 20: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

20

7. (a)

(b) y = π

x ,

Bil. penyelesaian = 2

8. (a)

(b) y = −3x

π + 4,

Bil.penyelesaian= 2

9. (a)

(b) y = 2 + x

2π ,

Bil. penyelesaian = 8

Page 21: Bab 5 : Fungsi Trigonometri - skorminda.comskorminda.com/wp-content/uploads/2016/01/Fungsi-Trigonometri.pdfBab 5 : Fungsi Trigonometri 3 (c) y sin 2x , 0 d x d S (d) S 2 3 y 3sin 2x

Bab 5 : Fungsi Trigonometri

21

10. (a)

(b) 𝑦 =𝑥

𝜋− 2,

Bil. penyelesaian = 2

Selamat Maju Jaya!!