ANALISA RESPONS TRANSIENT Respons transient : Kondisi awal Respons steady-state : t SISTEM ORDE PERTAMA Kondisi akhir

C(s) = 1 R(s) Ts +11. INPUT : UNIT-STEP r(t) = 1

R(s) = 1 s

C(s) =

1 .1 Ts + 1 s

C(s) = 1 T s Ts + 1

c(t) = 1 e

t

T

( t 0 ) ..(*)

KURVA RESPONS

-

Kondisi awal adalah 0 dan kondisi akhir adalah 1 Pada t = T, c(t) = 0,632

T = time constant sistem Time constant lebih kecil, respons sistem lebih cepat. Slope pada t = 0 adalah 1/T Slope c(t) berkurang : 1/T pada t = 0 t = T : 0 63,2% t = 2T : 0 86,5% t = 3T : 0 95% t = 4T : 0 98,2% t = 5T : 0 99,3% t= steady state 2. INPUT : UNIT-RAMP 0 pada t =

r(t) = t

R(s) = 1 s2

C(s) =

1 .1 Ts + 1 s 2

2 C(s) = 1 T + T s 2 s Ts + 1 t c(t) = t T + T.e T

( t 0)

Kurva Respons

e(t) = r(t) c(t) e(t) = T(1 e e( ) = Tt T

)steady state error lebih kecil

- Time constant lebih kecil ( T ) 3. INPUT : UNIT-IMPULSE r(t) = S(t) R(s) = 1

C(s) =

1 Ts + 1

C(t) = 1 e t / T T

(t 0)

KURVA RESPONS

Respons turunan/derivatif suatu signal input dapat diperoleh dengan men- defferensiasi-kan respons dari sinyal input semula.

SISTEM ORDE KEDUA R(s)+

E(s)

n2 s ( s + 2 n)

C(s)

C(s) = R(s)

n

2

S2 + 2 n S +

2 n

n = frekuensi sudut natural undamped = faktor redaman Sistem orde dua sangat tergantung pada faktor redaman (). Bila 0 disebut overdamp. Untuk mengetahui respons sistem orde dua, ketiga keadaan tersebut akan dibahas untuk input yang berbentuk unit step, impuls, maupun ramp. < < 1, sistem

dinamakan underdamp. Bila = 1, sistem disebut critically damp, dan bila > 1, sistem

1 Input Unit Step R(s) = 1 S Untuk sistem yang UNDERDAMP C(s) = n 2 1

S2 + 2 n S + 1 C(s) = S

2 n

S

S+2 S2 + 2 n

n 2 n

S+

d= n 1 2 = frekuensi natural teredam (damped natural frequency) 1 C(s) = S 1 = S 1 = S 1 = S 1 = S C(t) = 1 - e nt

S+2 S2 + 2 n S + 2n 2

n 2

- 2

n

+

d

2

1 2

S+2 (S + n)2 + d 2

n 2

-

n

+ +n

d2 1 2 +

S+2 (S + n)2 + (1 - 2) S+2d 2

(1 2) 1 2

n

2

d

2

n 2 d

(S + n)2 + S+n

2 d

n 2

(S + n)2 + cos dt - e

(S + n)2 + 1 2

d

nt

sin dt

C(t) = 1 - e e(t)

nt

( cos dt +

1 2

sin dt )

(t 0)

= r(t) - c(t) = ent

( cos dt +

sin dt )

(t 0)

1 2 Frekuensi osilasi transient adalah d, dan berubah dengan faktor redaman ()

Sinyal error berkelakuan seperti osilasi sinusoidal yang teredam. Pada steady-state error (t = ~), error = 0 Bila = 0 c(t) = 1 cos nt (t 0) respons menjadi undamped dan osilasi terus menerus tidak terbatas Untuk Sistem yang CRITICALLY DAMPED C(s) = 1 - e n 2

(S + n)2 S =nt

( 1 + nt )

(t 0)

Respons transient tidak berosilasi Untuk Sistem yang OVERDAMPED C(s) = ( S + n+ 1 c(t) = 1+ 2 1 ( +2 n 2 n

1 2 ) ( S + n -

n

1 2 ) S

e ( + 1)2

2 1) n t

-

1 e ( + 2 1 ( +2

2 1) n t

1)2

Untuk mendapatkan C(s) di atas : C(s) = R(s) C(s) = R(s) d

2 n

S2 + 2

n

S+ 2 n

2 n

(S + n + d) (S + n - d)n

= =

1 2 j2 (2 - 1) 2 - 1 n 2

d

n

d

= nj =

C(s) R(s) (S + n - c(t) = 1 +n n

2 1) (S + e-S2t

n+

n

2 1)

e S1t

2 2 1 S1 S2 dimana : S1 = ( + 2 1) n S2 = ( - 2 1) n

(t 0)

-

Salah satu dari komponen yang dikandung c(t) akan menghilang lebih cepat dalam respons. Dengan demikian komponen eksponensial tersebut dapat diabaikan.

-

Bila S2 diletakkan lebih dekat terhadap sumbu j daripada S1 (|S2| a0a3 2 s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 Array Routh : s4 s s s3 2

1 2 1 -6 5

3 4 5

5 0

s10

sistem tidak stabil R(s)+

K s ( s 2 +s +1 )(s + 2)

C(s)

Tentukan range K agar sistem diatas stabil ! Penyelesaian : Transfer function closed-loop

C(s) K = 2 +s +1 )(s + 2) + K R(s) s(spersamaan karakteristik : 1+ G(s)H(s) = 0 s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0 Array Routh : s4 s3 s s2 1

1 3 7/3 -9/7K K

3 2 K

K 0

s0

agar sistem stabil : 14/9 > K > 0

ANALISIS ERROR (KESALAHAN) Selain stabil, hal lain yang perlu mendapat perhatian adalah mengenai error yang terjadi apabila suatu sistem kontrol diberi input tertentu.

E(s) = R(s) G(s).H(s) C(s) = E(s).G(s) Dari kedua persamaan diatas diperoleh : E(s) = R(s) E(s).G(s).H(s) Atau [1+G(s).H(s)] E(s) = R(s) Kesalahan statis atau steady-state error :

E (s) =

R (s) 1 +G (s).H (s)

KLASIFIKASI SISTEM KONTROL

Transfer function open-loop G(s) H(s) secara umum dituliskan sbb :G )H ) (s (s = K +Z )(s +Z )......(s (s 1 2 (s +p )(s +p ).......(s S 1 2 +Z ) n +p ) n

atauGs Hs () () KT s +) T ( 1( s +) 1......( T a b = ( S T s +) T 1( s +) 1.......( 1 2 m s +) 1 T s +) 1 p

Sistem disebut tipe 0 (nol), bila = 0 ; disebut tipe 1, bila = 1; disebut tipe 2, bila = 2, dst. 1 KOEFISIEN KESALAHAN STATIS

E (s) =

R (s) 1 +G (s) (s)H

Kesalahan steady-state:e = lim e(t) ss t

sR(s) = lim s 0 1 + G(s)H(s)Untuk input benbentuk unit step : R(s) = 1/s

s 1 e = lim ss s 0 1 + G(s)H(s) s= 1 1 + lim G(s)H(s) s 0

Bila didefinisikan :(s)H Kp = s lim 0 G (s)

Maka 1 e = ss 1 + Kp Kp : Koefisien kesalahan posisi statis. a u/ sistem tipe 0(s)H Kp = s lim 0 G (s) K (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim (T s + )(T s + ).......( T s + ) s S 0 1 1 1 1 2 p =K

e

ss

= e( ) =

1 1+ K

b Untuk sistem tipe > 0K p K (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim (T s + )(T s + ).......( T s + ) s S 0 1 1 1 1 2 p

K = lim s 0 s =e ss = e( = ) 1 1 +K = p 1 1 = =0 1 +

2 Koefisien Kesalahan Kecepatan Statis

E (s) =

R (s) 1 +G (s) (s)H

Kesalahan steady-statee ss = lim e(t) t

= lim s.E(s) s 0 s.R(s) = lim 1 +G (s)H (s) s 0

u/ Input berbentuk unit-ramp : R(s) =

1 s2

s 1 ess = lim . 2 s 0 1 + G(s)H(s) s1 = lim s 0 s + s.G(s)H(s) 1 = lim s 0 s.G(s)H(s) 1 = lim s.G(s)H(s) s 0Bila di definisikan :K v = lim s.G(s)H(s) s 0

maka : ess = K

1 v

Kv = koefisien kesalahan kecepatan statis a u/ sistem tipe 0(s)H Kp = s lim 0 s.G (s) sK (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim 0 (T s + )(T s + ).......( T s + ) s S 0 1 1 1 1 2 p =0

e

ss

= e() =

1 = 0

b u/ sistem tipe 1sK (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m s(T s + )(T s + ).......( T s + ) 1 1 1 1 2 p

K

= lim v s 0

=K e

ss

= e( ) =

1 K

2 u/ Input Berbentuk Unit-Parabolik : r(t) = t 2

R(s) =

1 s3

e

ss

= lim s.E(s) s 0

sR(s) = lim s 0 1 + G(s)H(s) s 1 = lim . s 0 1 + G(s)H(s) s3 s = lim 2 + s 2G(s)H(s) s 0 s = s 2 + s 2G(s)H(s) lim s s 0= lim s 2 .G (s) (s)H s 0

Bila didentifikasikan :K a

makae ss = 1 K a

Ka : Koefisien kesalahan percepatan statis a u/ sistem tipe 0K a = lim s 2 .G (s)H (s) s 0

s 2K (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim 0 (T s + )(T s + ).......( T s + ) s s 0 1 1 1 1 2 p =0

e

ss

= e() =

1 = 0

b u/ sistem tipe 1K a = lim s 2 .G (s)H (s) s 0

= lim s 0 =0

s 2K (T

s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m 1(T s + )(T s + ).......( T s + ) s 1 1 1 1 2 p

e

ss

= e() =

1 = 0

c u/ sistem tipe 2K a = lim s 2 .G (s)H (s) s 0

s 2K (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim 2 (T s + )(T s + ).......( T s + ) s s 0 1 1 1 1 2 p =K

ess = e( ) = K

1 a

=

1 K

d c u/ sistem tipe > 2K a = lim s 2 .G (s)H (s) s 0

s 2K (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim 3 (T s + )(T s + ).......( T s + ) s s 0 1 1 1 1 2 p =

e

ss

= e() =

1 =0

Latihan Soal : (1) R(s)+

1,06 s(s +1)(s + 2)

C(s)

Hitunglah kesalahan steady-state, bila input berbentuk : a) step b) ramp c) parabolik (2)

bila input r(t) = a.t (a > 0), maka tunjukkan bahwa e() dapat dibuat sama dengan 0 (nol) dengan mengubah harga KI !