Bab 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu∗

Tujuan Pembelajaran

Peserta dapat memodelkan sinyal dan sistem CT (continu-ous time) menggunakan transformasi Fourier.

1. Peserta dapat memodelkan sinyal CT menggunakanTransformasi Fourier.

(a) Peserta dapat mende�nisikan transformasiFourier, menghitungnya terhadap sebuah sinyalaperiodik, serta memastikan konvergensinya.

(b) Peserta dapat menghitung transformasi Fourieruntuk sinyal periodik.

(c) Peserta memahami dan membuktikan berbagaisifat transformasi Fourier serta menggunakan nyauntuk menentukan transformasi dari sinyal

(d) Peserta dapat membuktikan tabel pasangan trans-formasi, serta menggunakannya untuk menen-tukan transformasi dari sinyal

2. Peserta dapat memodelkan sistem LCCDE menggu-nakan Transformasi Fourier, serta menerapkannya un-tuk menghitung respons dari sistem LCCDE dalam ka-sus waktu kontinu

1 Pendahuluan

Sinyal waktu kontinu secara umum (periodik maupun tidakperiodik) dapat dapat direpresentasikan menurut kernel in-tegral, salah satunya disebut transformasi Fourier (spek-trum). Banyak sifat istimewa dan intrepretasi deret Fouri-er, terutama terkait dengan fungsi eigen dan kandunganfrekuensi, berlaku juga di transformasi Fourier. Secarakhusus transformasi Fourier memperlihatkan spektrum dis-tribusi energi berdasarkan frekuensi. Transformasi Fouri-er lebih umum dari deret Fourier, dan deret Fourier, yanghanya dide�nisikan untuk sinyal periodik, dapat dianggapkasus khusus dari transformasi Fourier. Analisa transfor-masi Fourier dapat dipermudah dengan sifat-sifat trans-formasi serta mengingat pasangan transformasi dari sinyalprimitif.Sistem juga dapat dimodelkan dengan transformasi Fouri-

er dari respons impuls, yang disebut respons frekuensi. Se-cara khusus, untuk sistem LCCDE (linear di�erential con-stant coe�cients), respons frekuensi berbentuk pecahandari polinomial frekuensi.Perlu disampaikan bahwa transformasi Fourier dapat

dide�nisikan secara independen dari deret Fourier. Na-mun pengetahuan kita sebelumnya mengenai deret Fouri-er membantu kita secara lebih intuitif untuk memahami

∗©2012 Armein Z R Langi, STEI ITB. v 12.05 alpha

Tab. 1: Rencana BelajarSub Sesi Materi Tujuan

4.1 Transformasi Fourier untukSinyal CT Aperiodik

1 Tinjauan dan De�nisi 1.(a)2 Kasus A Periodik 1.(a)3 Ekstensi Deret Fourier Untuk

Sinyal Aperiodik1.(a)

4 Kasus Sinyal Periodik 1.(b)4.2 Sifat Transformasi Fourier dan

Pasangan Transformasi1 Sifat Dasar 1.(c)2 Kasus Dasar 1.(c)3 Sifat Konvolusi 1.(d)4 Sifat Multiplikasi 1

4.3 Sistem LCCDE di DomainTransformasi Fourier

1 Sistem LTI dan LCCDE diDomain TF

2

2 Contoh Orde Satu 23 Contoh Orde Dua 24 Contoh Menghitung Output 2

makna transformasi Fourier: pola distribusi energi menu-rut frekuensi. Bahkan transformasi Fourier diperkenalkansebagai ekstensi deret Fourier dengan menganggap sinyalaperiodik adalah sinyal periodik dengan periode menuju takhingga.Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan

pengetahuan dan kemampuan untuk menghitung represen-tasi Fourier dari sinyal aperiodik dan periodik, serta men-erapkannya untuk menghitung output dari sistem LTI danLCCDE. Rencana belajar diperlihatkan pada Tabel 1.

2 Transformasi Fourier Untuk Sinyal CTAperiodik

2.1 De�nisi dan Tinjauan Umum

2.1.1 De�nisi

Secara umum sebuah sinyal CT x(t) dapat direpresen-tasikan oleh X (τ) menurut hubungan berbentuk integralterhadap sebuah kernel s(t, τ):

x(t) =

ˆ ∞−∞

X (τ) s(t, τ)dτ (1)

Dalam kasus transformasi Fourier, kita memilih τ = ω,dan kernel s(t, τ) = 1

2π ejωt. Maka X (τ) = X (ω) disebut

transfromasi Fourier (spektrum) dari x(t) menurut

1

2 Transformasi Fourier Untuk Sinyal CT Aperiodik 2

x(t) =1

2π

ˆ ∞−∞

X (ω) ejωtdω (2)

Sama dengan semua representasi integral kernel, transfor-masi Fourier dari x(t), yaitu X (ω), dapat dihitung melaluiintegral dari x(t) terhadap konjugasi dari kernel:

X (ω) =

ˆ ∞−∞

x(t)e−jωtdt (3)

Pada umumnya spektrum X (ω) adalah bilangan kom-pleks, sehingga dapat direpresentasikan secara rektangulardan polar sebagai

X (ω) = Re {X (ω)}+ jIm {X (ω)} (4)

X (ω) = |X (ω)| ej∠X(jω) (5)

di mana magnituda spektrum:

|X (ω)| =√Re {X (ω)}2 + Im {X (ω)}2 (6)

dan sudut spektrum atau fasa:

∠X (ω) = arctanIm {X (ω)}Re {X (ω)}

(7)

2.1.2 Konvergensi

Pada kondisi apa transformasi Fourier X (ω) dijamin kon-vergen? Konvergensi terjadi berdasarkan besar error

e (t) = x(t)− 1

2π

ˆ ∞−∞

X (ω) ejωtdω

1. Bila sinyal x(t) memiliki energi terbatas

ˆ ∞−∞|x (t)|2 dt <∞

maka konvergensi transformasi Fourier X (ω) dicapaiberdasarkan pengertian bahwa energi error 0, yakni

ˆ ∞−∞|e (t)|2 dt = 0

2. Bila sinyal x(t) memenuhi kondisi Dirichlet, yakni

(a) absolutety integrable

ˆ ∞−∞|x (t)| dt <∞

(b) hanya ada sejumlah terbatas maksima dan mini-ma pada setiap interval

(c) hanya ada sejumlah terbatas diskontinuitas

maka konvergensi transformasi Fourier X (ω) dicapaiberdasarkan pengertian bahwa e (t) = 0.

Tab. 2: Ringkasan pasangan transformasi Fourier untuksinyal aperiodik.

x(t) X(ω)

δ (t) 1δ (t− t0) e−jωt0

e−atu(t); Re {a} > 0 1a+jω

te−atu(t); Re {a} > 0 1(a+jω)2

tn−1

(n−1)!e−atu(t); Re {a} > 0 1

(a+jω)n

u(t) 1jω + πδ (ω)

2.2 Beberapa Contoh Kasus Aperiodik

Tabel 2 meringkas transformasi Fourier untuk beberapa ka-sus sinyal dasar aperiodik, yang sebagian dapat dijelaskanpada bagian berikut ini. Secara khusus, kita perlu mema-hami spektrum dari sinyal eksponensial.

Kasus: Cari transformasi Fourier (spektrum distribusi en-ergi) dari δ (t).

Jawab:

X (ω) =´∞−∞ δ (t) e−jωtdt = 1

Kasus: Sebuah sinyal x(t) = e−atu(t) dengan a > 0. Caritransformasi Fouriernya (spektrum X (ω)).

t

x(t)

1

1e

1a

Jawab:

X (ω) =

ˆ ∞0

e−ate−jωtdt =

ˆ ∞0

e−(a+jω)tdt

= − 1

a+ jωe−(a+jω)t

∣∣∣∞0

=1

a+ jω

karena

e−(a+jω)t∣∣∣∞0

=1

e(a+jω)∞− 1

e(a+jω)0= 0− 1 = −1

Dalam representasi polar, transformasi ini berbentuk

|X (ω)| = 1√a2 + ω2

∠X (ω) = − arctan(ωa

)Magnituda spektrum (distribusi energi):

2 Transformasi Fourier Untuk Sinyal CT Aperiodik 3

ω

|X(ω)|

−a a

1a√2

1a

0

Sudut spektrum atau fasa:

ω

∠X(ω)

−a

π/4

−π/4

a

π/2

−π/2

Kasus: Sebuah sinyal x(t) = e−a|t| dengan a > 0. Caritransformasi Fouriernya: X (ω).

t

x(t)

1

1e

− 1a

1a

Jawab: Distribusi energi nya ternyata berfasa 0(∠X (ω) = 0) karena:

X (ω) =

ˆ ∞−∞

e−a|t|e−jωtdt

=

ˆ ∞0

e(a−jω)tdt+

ˆ ∞0

e−(a+jω)tdt

=1

a− jω+

1

a+ jω=

2a

a2 + ω2

ω

X(ω)

2a

1a

−a a

2.3 Ekstensi Deret Fourier Untuk SinyalAperiodik

Bagaimana memahami transformasi Fourier sebagai dis-tribusi energi dari sinyal aperiodik dalam pengertian yangserupa dengan deret Fourier?Asumsi kita memiliki sinyal aperiodik x(t) yang bernilai

0 untuk rentang |t| > T/2 kemudian kita menggunakannyauntuk mengkonstruksi sinyal periodik xp(t) dengan merep-likasi x(t) menurut

xp(t) =

∞∑k=−∞

x(t− kT ) (8)

Dengan cara konstruksi seperti ini maka khusus dalamrentang |t| ≤ T/2 berlaku

x(t) = xp(t), −T2 ≤ t ≤T2

(9)

Mudah diperlihatkan sinyal xp(t) periodik dengan peri-ode T (dan berarti memiliki frekuensi dasar ω0), sehinggaberlaku deret Fourier

xp(t) =

+∞∑k=−∞

akejkω0t =

+∞∑k=−∞

akejk(2π/T )t

dan distribusi daya (atau energi dalam satu perioda) adalah

ak =1

T

ˆ T2

−T2

xp(t)e−jkω0tdt

Tapi juga akibat Persamaan (9) kita dapat memperolehderet Fourier dari xp(t) langsung dari sinyal aperiodik x(t)menurut

ak =1

T

ˆ T2

−T2

x(t)e−jkω0tdt (10)

Lihat bahwa dengan membuat T → ∞ sekalipun, per-samaan (10) tetap menghasilkan deret Fourier tersebut.Saat T →∞, maka xp(t) semakin menyerupai sinyal aperi-odik x(t), dengan

ak =1

T

ˆ ∞−∞

x(t)e−jkω0tdt

Maka kita simpulkan bahwa persamaan ini adalah terkaitdistribusi energi sinyal x(t), khusus untuk sinyal yang berni-lai 0 untuk rentang |t| > T/2Sekarang kita ingin tahu bagaimana sifat distribusi en-

ergi x(t) untuk berbagai nilai T . Perhatikan kalau ki-ta mende�nisikan besaran (yang sudah kita kenal sebagaitransformasi Fourier)

X (ω) =

ˆ ∞−∞

x(t)e−jωtdt

maka distribusi energi ak bersumber dari X (ω) menurut

ak =1

TX (kω0)

Kita simpulkan bahwa deret Fourier dari sinyal periodikxp (t) yang dikonstruksi menurut persamaan 8 (i) propor-sional dengan sampel berjarak ω0 dari transformasi Fourier

3 Sifat Transformasi Fourier 4

sinyal aperiodik pengkonstruksi x(t), dan (ii) berbandingterbalik dengan periode konstruksi T , atau:

akT = X (ω)|ω=kω0(11)

Dengan kata lainX (ω) adalah envelop dari akT . T mem-besar, jarak sampling ω0 merapat, sehingga ak semakinmenyerupai X (ω).Karena xp(t) bersumber dari x(t), sehingga energi (atau

tepatnya daya) xp(t) bersumber dari energi x(t), maka kitamelihat bahwa distribusi energi dari x(t) diatur oleh X (ω)menurut pengertian yang serupa (meskipun tidak persissama) dengan deret Fourier. Tepatnya, X (ω) adalah densi-tas dari energi x(t) berdasarkan frekuensi. Itulah sebabnyatransformasi Fourier disebut juga spektrum (densitas).

2.4 Transformasi Fourier Sinyal Periodik

Tabel 3 meringkas pasangan transformasi untuk kasus sinyalperiodik. Secara konvensional sinyal periodik ini sebe-narnya tidak memiliki transformasi Fourier karena tidakmemenuhi sifat konvergensi energi (mengapa?). Konver-gensi secara daya baru bisa dicapai dengan bantuan konsepspektrum impuls δ (ω). Kita tahu bahwa sinyal δ (t) memi-liki spektrum X (ω) = 1. Sebaliknya menurut Persamaan(3) sinyal x1(t) = 1 memiliki spektrum 2πδ (ω).Berbekal konsep ini maka transformasi Fourier dari sinyal

x(t) periodik adalah

X (ω) = F

{+∞∑

k=−∞

akejkω0t

}=

+∞∑k=−∞

akF{ejkω0t

}

X (ω) =

+∞∑k=−∞

akF {xk (t)} =+∞∑

k=−∞

akXk (ω)

di mana kita mende�nisikan sebuah sinyal xk (t)

xk (t) = ejkω0t = ejkω0tx1(t)

dengan x1(t) = 1. Dari sifat transformasi Fourier (Tabel4), kita peroleh transformasi FourierXk (ω) yang berbentuksebuah sample tergeser sejauh kω0.

Xk (ω) = 2πδ (ω − kω0)

maka transformasi Fourier dari setiap sinyal periodik adalah

X (ω) =

+∞∑k=−∞

ak2πδ (ω − kω0) (12)

Dengan kata lain, transformasi Fourier dari sinyal peri-odik adalah sederetan pulsa yang berspasi kω0 dengan besar2πak pada setiap pulsa.

Kasus: Cari transformasi Fourier dari sinyal x1(t) =sin(ω0t) dan x2(t) = cos(ω0t) .

Karena deret Fourier dari kedua sinyal ini adalah 0kecuali a1 = 1/2j dan a−1 = −1/2j untuk sinyal x1(t),serta a1 = 1/2 dan a−1 = −1/2 untuk sinyal x2(t),maka

X1 (ω) = −π

jδ (ω + ω0) +

π

jδ (ω − ω0)

X2 (ω) =π

2δ (ω + ω0) +

π

2δ (ω − ω0)

ω0

X(ω)

ω0

πj

−ω0

−πj

ω0

X(ω)

ω0

π

ω0

π

Kasus: Cari transformasi Fourier dari sinyal

x (t) =

∞∑k=−∞

δ (t− kT )

Jawab: Karena deret Fouriermya adalah

ak =1

T

ˆ T/2

−T/2δ (t) e−jkω0tdt =

1

T

Maka

X (ω) =2π

T

+∞∑k=−∞

δ (ω − kω0)

Kasus: Cari transformasi Fourier dari sinyal deretan kotakberikut ini

t

x(t)

... ...

−2T −T −T2

0 T

2

T 2T−T1 T1

1

Jawab: Dari hasil sebelumnya diketahui deret Fouriersinyal ini adalah

ak =sin kω0T1

πk

Maka diperoleh transformasi Fourier

X (ω) =

+∞∑k=−∞

2sin kω0T1

kδ (ω − kω0)

3 Sifat Transformasi Fourier

3.1 Daftar Sifat-Sifat

Asumsi pasangan transformasi Fourier:

x(t)⇐⇒ X(ω)

Sifat transformasi dapat diringkas pada Tabel 4 yang dije-laskan pada bagian berikut ini.

3 Sifat Transformasi Fourier 5

Tab. 3: Pasangan Transformasi Fourier Untuk Sinyal Periodikx(t) ak X(ω)

1

{1; k = 0

0; k 6= 02πδ (ω)

ejω0t

{1; k = 1

0; k 6= 12πδ (ω − ω0)∑∞

k=−∞ αkejω0t αk 2π

∑+∞k=−∞ αkδ (ω − kω0)

cosω0t

{12 ; k = −1, 10; k lainnya

π2 δ (ω + ω0) +

π2 δ (ω − ω0)

sin(ω0t)

12j ; k = 1

− 12j ; k = −1

0; k lainnya

−πj δ (ω + ω0) +πj δ (ω − ω0)

∑∞n=−∞B (t− nT ) ; sin kω0T1

πk π∑+∞k=−∞

sin kω0T1

k δ (ω − kω0)

B(t) =

{1; t ≤ T1 < T

2

0; lainnya∑∞n=−∞ δ (t− nT ) 1

T2πT

∑∞k=−∞ δ

(ω − 2π

T k)

Tab. 4: Sifat-Sifat Transformasi FourierSifat Sinyal Domain waktu Transformasi Fourier

Linieritas α1x1(t) + α2x2(t) α1X1(ω) + α2X2(ω)Time shifting x(t− t0) ejωt0X(ω)FrequencyShifting

ejω0tx(t) X (ω − ω0)

Konjugasi x∗(t) X∗(−ω)Scaling x(at) 1

|a|X(ωa

)Time Reversal x(−t) X (−ω)Konvolusi

´∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ H (ω)X (ω)

Multiplikasi s(t)p(t) 12π

´∞−∞ S(υ)P (ω − υ)dυ

Diferensiasiwaktu

ddtx(t) jωX (ω)

Integrasi´ t−∞ x (τ) dτ 1

jωX (ω) + πX (0) δ (ω)

Diferensiasifrekuensi

tx(t) j ddωX (ω)

Konjugasi simetriSinyal real

x(t) real

X(−ω) = X∗(ω)Re {X(−ω)} = Re {X(ω)}Im {X(−ω)} = −Im {X(ω)}

|X(−ω)| = |X(ω)|∠X(−ω) = −∠X(ω)

SimetriReal-Genap

x(t) real genap X (ω) real genap

SimetriReal-Ganjil

x(t) real ganjil X (ω) imajinari ganjil

DekomposisiGenap

Even {x(t)} = 12 {x(t) + x(−t)};x(t) real Re {X(ω)}

DekomposisiGanjil

Odd {x(t)} = 12 {x(t)− x(−t)}; x(t) real j Im {X(ω)}

Relasi Parseval E =´∞−∞ |x(t)|

2dt E = 1

2π

´∞−∞ |X(ω)|2 dω

3 Sifat Transformasi Fourier 6

3.2 Kasus-Kasus Dasar

3.2.1 Linearitas dan Time Shifting

Perhatikan sifat-sifat:

α1x1(t) + α2x2(t)⇐⇒ α1X1(ω) + α2X2(ω)

x(t− t0)⇐⇒ ejωt0X(ω)

Kasus: Cari transformasi Fourier dari sinyal x(t) berikut ini:

t0

x(t)

1 2 3 4

1

1.5

Jawab:

Perhatikan bahwa kita bisa mende�nisikan x1(t) danx2(t) sehingga

x(t) = 1.5x1 (t− 2.5) + x2 (t− 2.5)

t

1

x1(t)

−0.5 0.5t

1

x2(t)

−1.5 1.5

t

1

x3(t)

−T1 T1

Sedangkan x1(t) dan x2(t) itu sendiri adalah kasuskhusus dari x3(t) yang diketahui memiliki transformasiFourier

X3 (ω) = 2sinωT1ω

Maka kita simpulkan bahwa

X (ω) =1

ω

(3 sinω

1

2+ 2 sinω

3

2

)e−jω2.5

3.2.2 Diferensiasi dan Integrasi

Perhatikan sifat-sifat:

d

dtx(t)⇐⇒ jωX (ω)

ˆ t

−∞x (τ) dτ ⇐⇒ 1

jωX (ω) + πX (0) δ (ω)

Kasus: x(t) = u(t). Cari X(ω).

Jawab: Karena

u(t) =

ˆ t

−∞δ (τ) dτ

dan bila g(t) = δ (t) berakibat

G (ω) = 1

maka kita peroleh

X (ω) =1

jωG (ω) + πG (0) δ (ω)

X (ω) =1

jω+ πδ (ω)

Kasus: Apa transformasi Fourier dari turunan pertamasinyal impuls?

Jawab: Kita cari respons impuls dari sebuah sistemdiferensiator dengan persamaan input-output:

y(t) =d

dtx(t)

Dengan mentransformasi ruas kiri dan kanan diperoleh

Y (ω) = jωX (ω)

Selanjutnya dari sifat konvolusi pada Tabel (dan penje-lasan di bawah nanti), secara umum untuk sistem LTIberlaku Y (ω) = H (ω)X (ω). Maka dapat disimpulkanbahwa

H (ω) = jω

Maka turunan pertama dari sinyal impuls memilikitransfromasi Fourier jω. Bentuk ini akan menjadi kom-ponen dasar penyusun polinomial H (ω) pada sistemLCCDE nanti.

Kasus: Cari trasnformasi Fourier dari respons impuls darisebuah sistem diferensiator orde k dengan persamaaninput-output:

y(t) =dk

dtkx(t)

Jawab: Dengan mentransformasi ruas kiri dan kananberulang-ulang diperoleh

Y (ω) = (jω)kX (ω)

Maka dapat disimpulkan bahwa

H (ω) = (jω)k

Maka turunan ke k dari sinyal impuls memiliki trans-fromasi Fourier (jω)

k.

3 Sifat Transformasi Fourier 7

3.2.3 Time Scaling

Perhatikan sifat berikut:

x(at)⇐⇒ 1

|a|X(ωa

)Interpretasi: pulsa merapat spektrum melebar.

Kasus: Time reversal: a = −1

x(−t)⇐⇒ X (−ω)

3.2.4 Dualitas Domain Waktu dan Domain Fourier

Kasus: Sinyal kotak di domain waktu menghasilkan sinyalsinc di domain Fourier. Sebaliknya sinyal kotak di domainFourier menghasilkan sinyal sinc di domain waktu.

Kasus: Cari distribusi energi dari sinyal kotak

x(t) =

{1; |t| ≤ T10; |t| > T1

t

x(t)

−T1 T1

1

Jawab: Distribusi energinya juga berfasa 0 dengan polaSinc (sinx/x).

X (ω) =

ˆ T1

−T1

e−jωtdt =1

−jωe−jωt

∣∣T1

−T1

X (ω) =2

−ω1

2j

(e−jωT1 − e+jωT1

)= 2

sin (ωT1)

ω

ω0

X(ω)

2T1

− πT1

−2 πT1

πT1

−2 πT1

Kasus: Cari sinyal x(t) bila X(ω) berbentuk kotak

X(ω) =

{1; |ω| ≤W0; |ω| > W

ω

X(ω)

W W

1

Jawab:

x(t) =1

2π

ˆ W

−Wejωtdω =

sinWt

πt

t0

x(t)

Wπ

πW

2 πW

Kasus: diferensiasi di domain Fourier:

−jtx(t)⇐⇒ d

dωX (ω)

Kasus: pergeseran di domain Fourier

ejω0tx(t)⇐⇒ X (ω − ω0)

Kasus: integrasi di domain Fourier

− 1

jtx(t) + πx(0)δ(t)⇐⇒

ˆ ω

−∞x(τ)dτ

3.2.5 Relasi Parseval

Transformasi Fourier sebagai spektrum densitas energidiperlihatkan melalui relasi Parseval ini.

ˆ ∞−∞|x(t)|2 dt = E =

1

2π

ˆ ∞−∞|X(ω)|2 dω

3.3 Konvolusi

Konvolusi di domain waktu dari x(t) dan h(t) mengak-ibatkan perkalian di domain Fourier dari masing-masingspektrum X (ω) dan H (ω).

ˆ ∞−∞

x(τ)h(t− τ)dτ ⇐⇒ H (ω)X (ω)

Jadi output dari sistem LTI, y(t), adalah konvolusi darisinyal input x(t) dan respons impuls h(t). Maka kita da-pat menghitung output melalui transformasi Fourier. Per-tama kita menghitung X (ω) dan H (ω). Setelah itu kitamenghitung Y (ω). Terakhir kita menghitung output y(t)dari Y (ω).

Kasus: sebuah sistem LTI memiliki h(t) = δ (t− t0). Apaakibat terhadap sinyal x(t)?

Jawab: Dari tabel pasangan kita peroleh H (ω) =e−jωt0 . Maka kita peroleh

Y (ω) = e−jωt0X (ω)

dan dari Tabel sifat kita simpulkan

y (t) = x(t− t0)

3 Sifat Transformasi Fourier 8

Kasus: carilah respons impuls dari sistem yang memilikiH(ω) berbentuk kotak.

ω

1

H(ω)

−ωc ωc

Jawab: Dari kasus sebelumnya, kita peroleh

h (t) =1

πtsinωct

Kasus: Cari output dari sistem LTI dengan cara transfor-masi Fourier apabila input dan respons impuls masing-masing untuk a > 0 dan b > 0 adalah

x(t) = e−btu(t)

h(t) = e−atu(t)

Dari Tabel pasangan, kita peroleh

X (ω) =1

b+ jω

dan

H (ω) =1

a+ jω

Maka dengan segera kita peroleh

Y (ω) = H (ω)X (ω) =1

(a+ jω) (b+ jω)

Seandainya besaran di ruas kanan ada dalam tabel, kitabisa langsung memperoleh y(t). Bila tidak ada, makakita lakukan proses aljabar agar ruas kanan berbentukterm yang ada dalam tabel. Cara yang standar adalahdengan mengasumsikan konstan A dan B, sehingga

Y (ω) =A

(a+ jω)+

B

(b+ jω)

Kalau asumsi kita benar maka dari tabel kita peroleh

y(t) = Ae−atu(t) +Be−btu(t)

Bagaimana cara mencari A dan B yang valid? Per-hatikan bahwa

A

(a+ jω)+

B

(b+ jω)=Ab+ aB + jAω + jBω

(a+ jω) (b+ jω)

Agar asumsi di atas valid maka harus berlaku

(Ab+ aB) + jω (A+B)

(a+ jω) (b+ jω)=

1

(a+ jω) (b+ jω)

Agar ruas kiri sama dengan ruas kanan maka

Ab+ aB = 1; A+B = 0

Sehingga disimpulkan bahwa A dan B yang validadalah

A = 1b−a ; B = 1

a−b

Maka kita peroleh

y(t) =1

b− ae−atu(t) +

1

a− be−btu(t)

Apa arti nya? Untuk sistem ini, sinyal input berben-tuk eksponensial ternyata muncul lagi di output denganskala A. Kemudian respons impuls turut juga munculsebagai output terskala B.

Kasus: Ulangi soal di atas ini dengan input berubah men-jadi (a > 0)

x(t) = e−atu(t)

Jawab: Dengan cara yang sama seperti di atas kitaperoleh

Y (ω) = H (ω)X (ω) =1

(a+ jω)2

dan mengunakan tabel, kita dapatkan

y(t) = te−atu(t)

3.4 Multiplikasi

Perkalian di domain waktu mengakibatkan konvolusi di do-main Fourier.

s(t)p(t)⇐⇒ 1

2π

ˆ ∞−∞

S(υ)P (ω − υ)dυ

Kasus: Gunakan sifat multiplikasi untuk memahami sifatsebuah modulator dengan input s(t), sampler p(t) danoutput r(t) berikut ini.

⊗s(t) r(t)

p(t)

3 Sifat Transformasi Fourier 9

Asumsi bahwa p(t) = cosω0t, dan spektrum s(t) diper-lihatkan pada gambar di bawah.

Jawab: Spektrum dari p(t) adalah

P (ω) = πδ (ω − ω0) + πδ (ω + ω0)

Maka spektrum dari r(t) adalah konvolusi

R (ω) =1

2π

ˆ ∞−∞

S(υ)P (ω − υ)dυ

=1

2S (ω − ω0) +

1

2S (ω + ω0)

Perhatikan bahwa Spektrum r(t) memiliki bentuk yangsama dengan spektrum s(t), tapi posisi frekeunsi ten-gah telah bergeser pada frekuensi dari p(t).

ω

S(ω)

A

−ω1 ω1−ω0 ω0

ω

P (ω)

A

−ω1 ω1−ω0 ω0

ω

R(ω)

A

A2

−ω1 ω1−ω0 ω0

Kasus: kembali kita mengunakan sistem yang serupa den-gan p(t) yang sama, tapi inputnya adalah sinyal r(t)pada soal sebelumnya, menghasilkan output g(t). Sket-sa spektrum g(t).

⊗r(t) g(t)

p(t)

Jawab: Dari Gambar ini kita peroleh persamaan

g(t) = r(t)p(t)

sehingga kita dapatkan sepktrum konvolusi

G (ω) =1

2π

ˆ ∞−∞

R(υ)P (ω − υ)dυ

=1

2R (ω − ω0) +

1

2R (ω + ω0)

tapi karena r(t) ini berasal dari hasil modulasi, makaberlaku

R (ω − ω0) =1

2S (ω − 2ω0) +

1

2S (ω)

R (ω + ω0) =1

2S (ω) +

1

2S (ω + 2ω0)

Sehingga kita peroleh

G (ω) =1

4S (ω − 2ω0) +

1

2S (ω) +

1

4S (ω + 2ω0)

Perhatikan bahwa ada komponen spektrum g(t) memi-liki bentuk yang sama dengan spektrum s(t), denganposisi frekuensi tengah tepat meskipun telah terskalasetengahnya. Ini berarti terjadi demodulasi sinyal darir(t) menjadi s(t) kembali.

ω

R(ω)

A

A2

−ω1ω1−ω0 ω0−2ω0 2ω0

ω

P (ω)

A

−ω1ω1−ω0 ω0−2ω0 2ω0

ω

G(ω)

A

A2

−ω1ω1−ω0 ω0−2ω0 2ω0

A4

A4

4 Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier 10

4 Sistem LCCDE di Domain TransformasiFourier

4.1 Respons Frekuensi

Secara umum sistem LTI memenuhi persamaan I/O

y(t) =

ˆ ∞−∞

x(τ)h(t− τ)dτ

sehingga di domain Fourier kita peroleh

Y (ω) = H (ω)X (ω)

di mana skalar Y (ω) = F {y(t)}, H (ω) = F {h(t)},X (ω) = F {x(t)}, sehingga respons frekuensi

H (ω) =Y (ω)

X (ω)

Hasil ini memperlihatkan bahwa sistem LTI mengubahspektrum dari sinyal secara perkalian aljabar dengan re-spons frekuensi. Untuk menghitung output, cukup kitamenghitung spektrum sinyal input dengan resposn impuls,mengalikannya untuk menghasilkan spektrum output, ke-mudian memperoleh sinyal output dari informasi spektrumoutput.Sistem LTI LCCDE memenuhi persamaan I/O

N∑k=0

akdk

dtky (t) =

M∑k=0

bkdk

dtkx (t) (13)

Karena sifat linier, maka kita beroleh

N∑k=0

akF

{dk

dtky (t)

}=

M∑k=0

bkF

{dk

dtkx (t)

}N∑k=0

ak (jω)kY (ω) =

M∑k=0

bk (jω)kX (ω)

Y (ω)

N∑k=0

ak (jω)k= X (ω)

M∑k=0

bk (jω)k

(14)

Maka sebagai sistem LTI, disimpukan bahwa transformasiFourier dari sistem LCCDE adalah pecahan (rasional) daridua polinomial dalam jω.

H (ω) =Y (ω)

X (ω)=

∑Mk=0 bk (jω)

k∑Nk=0 ak (jω)

k(15)

4.2 Contoh Orde Satu

Kasus: cari respons impuls dari sistem berikut ini (a > 0)

d

dty (t) + ay (t) = x (t)

Jawab: Disimpulkan bahwa ini LCCDE dengan N = 1,M = 0. Maka dari persamaan (15) diperoleh template

H (ω) =b0 (jω)

0

a1 (jω)1+ a0 (jω)

0 =b0

a1jω + a0

selanjutnya diamati b0 = 1, a0 = a, dan a1 = 1. Makadiperoleh hasil

H (ω) =1

jω + a

Kemudian dari Tabel diperoleh

h(t) = e−atu(t)

4.3 Contoh Orde Dua

Kasus: cari respons impuls dari sistem LCCDE

d2

dt2y (t) + 4

d

dty (t) + 3y (t) =

d

dtx (t) + 2x (t)

Jawab: Disimpulkan bahwa ini sistem LCCDE denganN = 2 dan M = 1. Maka dari persamaan (15) diper-oleh template

H (ω) =b1 (jω)

1+ b0 (jω)

0

a2 (jω)2+ a1 (jω)

1+ a0 (jω)

0

H (ω) =b1jω + b0

a2 (jω)2+ a1jω + a0

kemudian kita amati bahwa b0 = 2, b1 = 1, a0 = 3,a1 = 4, dan a2 = 1. Maka diperoleh hasil

H (ω) =jω + 2

(jω)2+ 4jω + 3

Karena bentuk ini tidak ada dalam tabel, maka kitalakukan proses aljabar (faktorisasi)

jω + 2

(jω)2+ 4jω + 3

=jω + 2

(jω + 1) (jω + 3)

Asumsi ada A dan B, sehingga

H (ω) =A

(jω + 1)+

B

(jω + 3)

yang valid bila A = 12 dan B = 1

2 . Maka kita dapatkanrespons impuls

h(t) =1

2e−tu(t) +

1

2e−3tu(t)

4.4 Contoh Menghitung Output Dengan TF

Kasus: cari input apabila sistem orde dua dia atas di masukiinput x(t) = e−tu(t).

Jawab: Karena kita tahu untuk input ini

X (ω) =1

(jω + 1)

sedangkan kita sudah menghitung bahwa

H (ω) =jω + 2

(jω + 1) (jω + 3)

5 Soal Tambahan 11

maka kita peroleh

Y (ω) =

[jω + 2

(jω + 1) (jω + 3)

] [1

(jω + 1)

]dan kita mendapatkan ekspresi

Y (ω) =jω + 2

(jω + 1)2(jω + 3)

Karena bentuk ini tidak dikenal dalam tabel, maka kitaasumsi ada A, B, dan C sehingga

H (ω) =A

(jω + 1)+

B

(jω + 1)2 +

C

(jω + 3)

Dengan cara yang dikenal dengan nama partial frac-tion, (lihat Lampiran buku teks [OpWi97]) kita dap-atkan A = 1

4 , B = 12 , dan C = − 1

4 . Maka output darisistem adalah

y(t) =1

4e−tu(t) +

1

2te−tu(t)− 1

4e−3tu(t)

Perhatikan, pada sistem LCCDE juga input yangini tembus ke output, tetapi mengalami penambahansinyal kontribusi dari respons impuls.

5 Soal Tambahan

1. Soal: Perhatikan kaskade sistem LTI di bawah ini

x (t) Sistem Az (t)

Sistem B y (t)

Overall System

Sistem A adalah LCCDE dengan persamaan input-output

dz (t)

dt+ 6z (t) =

dx (t)

dt+ 5x (t)

sedangkan respons impulse dari sistem B adalah

hb (t) = e−10tu (t)

(a) Cari response frekuensi dari sistem keseluruhan

H (ω) = Y (ω)X(ω) =

(b) Cari respons impuls dari sistem keseluruhan

h (t) =

(c) Cari persamaan diferensial dari keseluruhan sis-tem (yang menghubungkan x (t) dengan y(t)).

_____________________________________________

2. Sebuah sinyal x(t) memiliki persamaan

x (t) =

{a, |t| < T

0, |t| > T

Cari dan sketsalah X(ω). Apa yang terjadi pada X(ω)bila T membesar atau mengecil? Apa yang terjadi padaX(ω) bila T membesar atau mengecil?

3. Sebuah sinyal x(t) memiliki transformasi Fourier

X (jω) =

{α, |ω| < W

0, |ω| > W

Cari dan sketsalah x(t) . Apa yang terjadi pada x(t)bila αmembesar atau mengecil? Apa yang terjadi padax(t) bila W membesar atau mengecil?

4. Sebuah sistem LTI yang causal dan stabil memiliki re-spons frekuensi

H (jω) =jω + 4

6− ω2 + 5jω

(a) Cari persamaan LCCDE sistem ini

(b) Tentukan respons impulse h(t) dari sistem ini

(c) Tentukan output sistem y(t) ini bila dimasuki in-put x(t) = e−4tu (t)− te−4tu (t)

Pustaka

[OCW] MIT Opencourseware, http://ocw.mit.edu/courses/ electrical-engineering-and-computer-science/ 6-003-signals-and-systems-spring-2010/

[OpWi97] A. V. Oppenheim and A. S. Willsky (with SHamid Nawab), Signals & Systems (Second Edi-tion), Prentice-Hall International, 1997. ISBN0-13-651175-9