bab 2. hukum-hukum tegangan arus
DESCRIPTION
listrikTRANSCRIPT
-
27
BAB II. Hukum-hukum Tegangan Arus
2.1 Pendahuluan
Pada saat ini kita telah mengenal sumber-sumber tegangan dan arus ideal
serta elemen rangkaian sederhana yang bernama resistor. Jadi kita telah siap untuk
menyelidiki perilaku dari rangkaian-rangkaian listrik dasar. Dua buah hukum
sederhana, yakni hukum arus Kirchhoff dan hukum Tegangan Kirchhoff, menjadi
dasar prosedur-prosedur analisis rangkaian. Akan kita temukan juga nantinya
bahwa suatu rangkaian dapat disederhanakan dengan jalan mengkombinasikan
elemen-elemen yang terhubung seri atau paralel hal ini berlaku untuk sumber
tegangan maupun arus, serta resistor dan konduktansi.
2.2 Penyajian
1 | Node, Lintasan, Loop, dan Cabang
Sekarang kita siap menentukan hubungan antara arus dan tegangan di
dalam jaringan-jaringan sederhana dari dua atau lebih elemen rangkaian. Elemen-
elemen ini akan dihubungkan dengan kawat yang diasumsikan memiliki resistansi
sama dengan nol. Karena jaringan ini muncul sebagai sejumlah elemen sederhana
serta sekumpulan kawat penghubung, maka jaringan ini disebut sebagai jaringan
parameter terkumpul (lumped-parameter network). Permasalahan analisis yang
lebih sulit akan muncul jika kita berhadapan dengan jaringan parameter tersebar
(distributed parameter network), yang mengandung elemen-elemen kecil yang
jumlahnya tak-terhingga. Di dalam bahan ajar ini kita akan mengkonsentrasikan
bahasan kita pada jaringan-jaringan dengan parameter terkumpul.
Sebuah titik di mana dua atau lebih elemen memiliki hubungan bersama
disebut sebagai simpul atau node. Sebagai contoh, Gambar 2.1a memperlihatkan
sebuah rangkaian yang mengandung tiga buah node. Kadangkala suatu jaringan
digambarkan sedemikian rupa untuk menjebak para mahasiswa yang tidak cermat
atau teliti agar meyakini terdapatnya lebih banyak lagi node di dalam suatu
rangkaian dibandingkan dengan yang sesungguhnya ada. Hal seperti ini sering
-
28
terjadi ketika sebuah node, misalnya node 1 pada Gambar 2.1a, diperlihatkan
sebagai dua buah persimpangan terpisah yang dihubungkan oleh sebuah
konduktor (dengan resistansi sama dengan nol), sebagaimana tampak pada
Gambar 2.1b. Yang dilakukan disini sesungguhnya adalah menyebarkan titik
bersama menjadi garis bersama yang resistansinya nol. Maka, kita harus
menganggap semua kawat penghantar sempurna ini sebagai kawat-kawat yang
menempel atau melekat pada sebuah node sebagai bagian dari node. Perhatikan
juga bahwa setiap elemen memiliki sebuah node pada masing-masing ujungnya.
Gambar 2.1
3
1
2
1
2
3
(a) (b)
(a) Sebuah rangkaian yang mengandung tiga buah node dan lima buah cabang.
(b) Node 1 digambar ulang sehingga terlihat sebagai dua buah node, meski sesungguhnya
tetap merupakan satu buah node
Anggaplah bahwa kita mulai dari satu node jaringan dan kemudian
bergerak melalui sebuah elemen sederhana menuju node pada ujung yang lain.
Berikutnya kita melanjutkan pergerakan kita dari node ini melalui sebuah elemen
yang lain menuju node berikutnya, dan seterusnya melanjutkan pergerakan ini
sampai melewati elemen sebanyak yang kita harapkan. Jika tidak ada satupun
node yang dijumpai lebih dari satu kali, maka kumpulan node dan elemen yang
kita lalui didefinisikan sebagai lintasan. Jika node dari mana kta memulai
pergerakan kita sama dengan node di mana kita mengakhiri pergerakan kita maka
per definisi lintasan ini disebut sebagai lintasan tertutup atau loop.
-
29
Sebagai contoh, dalam Gambar 2.1a di atas, jika kita bergerak dari node 2
melewati sumber arus menuju ke node 1, dan kemudian melalui resistor atas
sebelah kanan menuju node 3, kita telah membentuk lintasan; dan karena kita
tidak melanjutkannya hingga ke node 2 kembali maka kita tidak membuat sebuah
loop. Jika kita bergerak dari node 2 ke node 1 dengan melalui sumber arus,
kemudian turun menuju node 2 melalui elemen resistor sebelah kiri dan bergerak
ke atas melalui resistor tengah kembali menuju node 1, kita tidak membentuk
lintasan karena sebuah node (sebenarnya dua buah node) dijumpai sebanyak lebih
dari satu kali. Kita juga tidak membentuk sebuah loop karena sebuah loop
haruslah merupakan sebuah lintasan.
Istilah lain yang penggunaannya sangat sering kita jumpai adalah cabang.
Kita mendefinisikan sebuah cabang sebagai sebuah lintasan tunggal di dalam
sebuah jaringan yang terbentuk dari sebuah elemen sederhana dan node pada
masing-masing ujung elemen tersebut. Jadi, sebuah lintasan merupakan kumpulan
cabang. Rangkaian yang diperlihatkan pada Gambar 2.1a dan 2.1b memiliki lima
buah cabang.
2 | Hukum Arus Kirchhoff
Berikutnya kita akan melihat hukum pertama dari dua buah hukum
rangkaian yang namanya diambil dari seorang profesor di Jerman, Gustav Robert
Kirchhoff, yang lahir pada waktu Ohm melakukan eksperimen ilmiahnya. Hukum
aksiomatis ini disebut sebagai hukum arus Kirchhoff (disingkat KCL yang
merupakan kependekan dari Kirchhoff Current Law atau dalam bahasa
Indonesianya HAK) dan menyatakan bahwa :
Jumlah aljabar dari arus-arus yang memasuki setiap node rangkaian adalah nol.
Hukum ini merepresentasikan pernyataan matematika dari fakta bahwa
muatan tidak dapat terakumulasi pada sebuah node. Sebuah node bukanlah
elemen rangkaian, dan sudah barang tentu node ini tidak dapat menyimpan,
memusnahkan, ataupun membangkitkan muatan. Oleh karenanya, penjumlahan
arus harus nol. Analogi hidrolik dapat digunakan untuk memperjelas pernyataan
ini. Sebagai contoh, tinjaulah tiga buah pipa air yang digabungkan sehingga
-
30
membentuk hubungan seperti huruf Y. Kita definisikan tiga buah arus mengalir
masuk kedalam masing-masing pipa dari ketiga pipa ini. Jika kita tetap bersikeras
bahwa airnya selalu mengalir, jelaslah bahwa kita tidak dapat memiliki tiga buah
aliran positif, atau pipanya akan pecah. Oleh karena itu, nilai dari satu atau dua
buah arus yang didefinisikan haruslah negatif.
Gambar 2.2
Sebuah contoh node untuk mengilustrasikan penerapan hukum arus Kirchhoff
Perhatikanlah node pada Gambar 2.2. Jumlah aljabar dari empat buah arus
yang memasuki node harus sama dengan nol. Jadi,
iA + iB + (-iC) + (-iD) = 0
Jelas terlihat bahwa hukum ini juga dapat diterapkan dengan sama baiknya
terhadap jumlah aljabar arus yang meninggalkan node yaitu
(-iA) + (-iB) + iC + iD = 0
Kita juga dapat menyamakan penjumlahan arus-arus yang memiliki tanda panah
referensi yang diarahkan masuk ke suatu node dengan penjumlahan arus-arus
yang memiliki tanda panah referensi keluar dari node yang bersangkutan:
iA + iB = iC + iD
yang menyatakan bahwa arus yang masuk harus sama dengan yang keluar dari
suatu node. Bentuk kompak hukum arus Kirchhoff (HAK) adalah sebagai berikut,
N
1nn 0i [1]
yang merupakan bentuk ringkas dari
0i...iii N321 [2]
iA iB
iC iD
-
31
Saat menggunakan persamaan [1] atau [2] harus dipahami bahwa N tanda
panah arus semuanya diarahkan menuju ke suatu node atau semuanya diarahkan
menjauhi node yang bersangkutan.
Untuk rangkaian Gambar 2.3a, hitunglah arus yang melewati resistor R3 jika
diketahui bahwa sumber tegangan memasok arus sebesar 3 A.
Gambar 2.3
(a)
Rangkaian sederhana di mana arus yang melewati resistor R3 ingin dicari besarnya.
(b)
Arus yang melewati resistor R1 diberi label sehingga persamaan KCL dapat dituliskan.
10 V + -
iR1
R2 R3
2 A i
5 A
R1
CONTOH 2.1
10 V + -
R1
R2 R3
2 A i
5 A
-
32
(c)
Arus yang masuk pada node atas R3 digambar ulang untuk memeprjelas permasalahan.
Identifikasikan maksud dan tujuan yang hendak dicapai dari pernyataan
soal yang diberikan. Arus yang melewati resistor R3 telah diberi label i
sebagaimana terlihat pada diagram rangkaian.
Kumpulkan seluruh informasi yang diketahui.
Arus ini mengalir dari node atas R3, yang dihubungkan pada tiga buah
cabang rangkaian yang lain. Arus yang mengalir masuk ke dalam node
dari masing-masing cabang akan ditambahkan untuk membentuk arus i. Tentukan teknik mana yang merupakan teknik terbaik yang cocok untuk
problem ini.
Kita mulai dengan melabeli arus yang mengalir melewati R1 (Gambar
2.3b) sehingga kita dapat menuliskan persamaan KCL pada node atas
resistor R2 dan R3.
Bentuklah himpunan persamaan yang tepat.
Dengan menjumlahkan arus-arus yang mengalir masuk ke dalam node
akan diperoleh persamaan:
iR1 2 i + 5 = 0
Arus yang mengalir masuk ke node ini diperlihatkan dengan lebih jelas
pada Gambar 2.3c.
iR1
R2 R3
2 A i
5 A
R1
5 A (iR1 2 A )
-
33
Tentukan apakah diperlukan informasi tambahan.
Kita lihat bahwa kita memiliki sebuah persamaan dengan dua buah
besaran yang tidak diketahui. Hal ini berarti bahwa kita perlu memperoleh
satu buah persamaan lagi. Pada titik ini, terdapat fakta bahwa sumber
tegangan 10 V memasok arus sebesar 3 A. KCL menunjukkan bahwa arus
ini juga merupakan arus iR1.
Cobalah sebuah solusi.
Dengan substitusi akan kita temukan bahwa i = 3 2 + 5 = 6 A.
Pemeriksaan kebenaran solusi.
Sangat disarankan untuk selalu memeriksa ulang pekerjaan yang telah kita
lakukan. Kita dapat mengevaluasi apakah paling tidak magnitudo dari
solusi yang diperoleh sudah masuk akal. Dalam kasus ini, kita mempunyai
dua buah sumber satu di antaranya memasok arus sebesar 5 A,
sedangkan sumber lainnya memasok arus sebesar arus sebesar 3 A. Tidak
ada lagi sumber-sumber yang lain, baik sumber bebas maupun tak-bebas.
Jadi kita menduga bahwa kita tidak akan memperoleh arus pada rangkaian
melebihi 8 A.
3 | Hukum Tegangan Kirchhoff
Sekarang kita alihkan bahasan kita ke hukum tegangan Kirchhoff
(disingkat KVL, Kirchhoff Voltage Law atau bahasa Indonesianya HTK).
Hukum ini menyatakan bahwa
Penjumlahan aljabar dari tegangan disekeliling suatu lintasan tertutup sama
dengan nol.
Arus berkaitan dengan muatan yang mengalir melalui sebuah elemen
rangkaian, sedangkan tegangan merupakan ukuran dari selisih energi potensial
pada terminal-terminal elemen. Dalam teori rangkaian, terdapat sebuah nilai unik
tunggal untuk tegangan. Jadi, energi yang diperlukan untuk memindahkan satu
muatan dari titik A ke titik B dalam sebuah rangkaian harus memiliki sebuah nilai
-
34
yang bebas atau tidak bergantung pada lintasan yang diambil untuk bergerak dari
titik A ke B.
Gambar 2.4
Beda potensial antara titik A dan B tidak bergantung pada lintasan yang dipilih.
Dalam Gambar 2.4, jika kita membawa sebuah muatan 1 C dari A ke B
melalui elemen 1, tanda-tanda polaritas referensi untuk v1 menunjukkan bahwa
kita melakukan kerja v1 joule. Sekarang jika kita justru memilih untuk bergerak
dari A ke B melalui node C maka kita mengeluarkan v2 v3 joule energi. Akan
tetapi kerja yang dilakukan tidak bergantung pada lintasan rangkaian, dan nilai-
nilai ini haruslah sama. Setiap rute yang diambil harus memungkinkan
diperolehnya nilai tegangan yang sama. Jadi,
321 vvv [3]
Selanjutnya, jika kita melakukan pelacakan pada sebuah lintasan tertutup, jumlah
aljabar dari tegangan-tegangan pada masing-masing elemen lintasan ini harus
sama dengan nol. Jadi kita dapat menuliskan,
0v...vvv N321
Atau dalam bentuk yang lebih kompak dituliskan sebagai,
N
1nn 0v [4]
Kita dapat menerapkan KVL pada sebuah rangkaian dengan berbagai cara yang
berbeda. Salah satu metode yang dapat membimbing kita pada penulisan
1
+ v1 -
2
3
+ v2 - - v3 +
C
B
A
-
35
persamaan rangkaian dengan kemungkinan kesalahan yang lebih kecil
dibandingkan dengan metode-metode lainnya adalah dengan bergerak
mengelilingi suatu lintasan tertutup dengan arah yang searah dengan perputaran
jarum jam dan menuliskan tegangan dari setiap elemen yang terminal (+)-nya
dijumpai lebih dahulu, serta menuliskan harga negatif dari setiap tegangan yang
dijumpai pertama kali pada tanda (-)-nya. Dengan menerapkan metode ini pada
loop tunggal di Gambar 2.4 akan diperoleh,
0vvv 321
yang sesuai dengan hasil sebelumnya, yaitu persamaan [3] diatas.
Dalam rangkaian Gambar 2.5, carilah vx dan ix.
Gambar 2.5
Sebuah rangkaian sederhana dengan dua buah sumber tegangan dan sebuah resistor.
Dari soal yang diberikan, telah diketahui nilai tegangan dari dua diantara
tiga elemen yang terdapat dalam rangkaian. Jadi, KVL dapat dengan segera
diterapkan untuk memperoleh vx.
Dimulai dengan node bawah dari sumber 5 V, kita terapkan KVL searah
jarum jam mengelilingi loop untuk memperoleh :
-5 - 7 + vx = 0
Jadi, vx = 12 V.
KCL yang diaplikasikan pada rangkaian ini hanya akan menunjukkan
kepada kita bahwa arus yang sama, (ix), akan mengalir melewati ketiga elemen.
CONTOH 2.2
+ - 5 V 100
+ vx -
- +
7 V
ix
-
36
Dengan mengetahui besarnya tegangan pada resistor 100 dan menggunakan
hukum Ohm, ix dapat dihitung sebagai,
120A100
12
100xv
xi mA
Dalam rangkaian Gambar 2.6 terdapat delapan buah elemen rangkaian; tegangan-
tegangan berikut pasangan tanda plus-minus terminalnya ditunjukkan untuk
masing-masing elemen rangkaian ini. Carilah vR2 (yaitu tegangan pada resistor R2)
dan tegangan vx.
Gambar 2.6
Sebuah rangkaian dengan delapan elemen di mana kita ingin mencari vR2 dan vx.
Titik-titik b dan c, sebagaimana halnya kawat-kawat penghubung diantaranya, merupakan bagian
dari node yang sama.
Pendekatan terbaik untuk mencari vR2 dalam situasi ini adalah dengan
melihat sebuah loop dimana kita dapat mengaplikasikan KVL. Terdapat beberapa
pilihan untuk ini. Namun, setelah kita lihat kembali rangkaian Gambar 2.6 diatas
secara lebih cermat dan teliti, terlihatlah bahwa loop yang paling kiri memberikan
alternatif jalan langsung karena dua tegangan dalam loop ini telah dispesifikasikan
dengan jelas. Jadi, kita dapat mencari vR2 dengan menuliskan persamaan KVL
pada loop ini, dimulai dari titik c.
0v364 2R
yang menghasilkan vR2 = 32 V.
CONTOH 2.3
36 V
- +
vs1
a +
+ 12 V -
+ 14 V -
c
- v2 + - +
+ vR1 -
R1 -
+ vR2 -
R2 - 4V +
b
-
37
Untuk mencari vx, kita dapat memandang vx ini sebagai penjumlahan
(aljabar) dari tegangan-tegangan pada tiga elemen disbelah kanan rangkaian.
Akan tetapi karena kita tidak memiliki nilai-nilai dari ketiga tegangan elemen ini,
cara atau pendekatan penyelesaian soal seperti ini tidak akan dapat memperoleh
jawaban yang diharapkan. Sebaliknya kita dapat menerapkan KVL yang dimulai
dari titik c untuk kemudian bergerak ke atas dan melewati titik a, melintasi vx
untuk menuju b, dan akhirnya dengan melalui kawat penghantar kembali ke titik
asal. Persamaan yang diperoleh adalah:
+ 4 6 + 12 + 14 + vx = 0
dan
vx = 6 V
Pendekatan pemecahan yang lain : dengan mengetahui vR2 maka kita dapat
mengambil jalan singkat melalui elemen rangkaian R2 untuk memperoleh
persamaan,
-32 + 12 + 14 + vx = 0
yang menghasilkan vx = 6 V; jawaban yang sama dengan yang diperoleh
sebelumnya.
Tentukanlah vx dalam rangkaian Gambar 2.7a.
Gambar 2.7
(a) (b)
(a) Seuah rangkaian di mana nilai vx ingin dicari dengan menggunakan KVL. (b) Rangkaian
dengan tegangan dan arus yang telah diberi label.
CONTOH 2.4
60 V 60 V
8
4
10 2 + vs -
ix + -
5 A 5 A 8
+ v8 -
4
10 2
i4
+ v4 -
+ v10 -
+ -
ix
+ vx -
i10 i2
-
38
Kita dapat memulai pemecahan problem ini dengan melabeli tegangan dan
arus pada elemen-elemen rangkaian (Gambar 2.7b). Perhatikan bahwa vx muncul
pada resistor 2 , dari hukum Ohm akan dapat diperoleh vx. Dengan menuliskan
persamaan KCL yang tepat, terlihat bahwa
i2 = i4 + ix
Sayangnya kita tidak memiliki nilai dari setiap besaran-besaran di atas sehingga
solusi yang kita kerjakan terhenti (untuk sementara).
Karena besarnya arus yang mengalir dari sumber 60 V telah diberikan
(5 A) maka kita akan memulai upaya pemecahan problem dari sisi rangkaian ini.
Kita bisa secara langsung memperoleh vx dari KVL, ketimbang mencari atau
mengetahui i2 terlebih dahulu. Salah satu persamaan KVL yang mungkin dibuat
adalah,
-60 + v8 +v10 = 0
Dengan menggunakan hukum Ohm serta fakta bahwa arus 5 A mengalir melewati
resistor 8 akan kita peroleh v8 = 40 V dan v10 = 60 40 = 20 V. Dengan hasil ini
kita dapat menentukan
A210
V20i10 .
Dengan mengaplikasikan KVL pada loop tengah,
-v10 + v4 + vx = 0 [5]
Berikutnya kita akan mengeliminasi v4 dengan menggunakan KCL dan hukum
Ohm:
24vi
4vii5 410
4104
Jadi, v4 = 12 V. Dengan mensubstitusikan nilai ke dalam persamaan [5] bersama-
sama dengan fakta bahwa v10 = 20 V, dapat diperoleh bahwa vx = 8 V.
Kunci untuk dapat menganalisis sebuah rangkaian dengan benar, pertama-
tama adalah melabeli seluruh tegangan dan arus di dalam diagram. Selanjutnya
tuliskanlah persamaan KCL dan KVL secara cermat untuk memperoleh hubungan
-
39
arus dan tegangan yang benar. Hukum Ohm dapat diterapkan jika terdapat lebih
banyak parameter yang tak diketahui dibandingkan dengan persamaan yang ada.
4 | Rangkaian Loop Tunggal
Setelah mempelajari dan memahami hukum Ohm dan Kirchhoff, kita
dapat mengaplikasikannya untuk menganalisis sebuah rangkaian resistif
sederhana.
Gambar 2.8
(a) Sebuah rangkaian loop tunggal dengan empat buah elemen. (b) Model rangkaian lengkap
dengan nilai tegangan sumber dan resistansinya. (c). Rangkaian yang dilengkapi dengan
tanda-tanda referensi arus dan tegangan.
Gambar 2.8a menunjukkan sebuah rangkaian sederhana yang terdiri dari
dua buah baterai dan dua buah resistor. Setiap terminal, kawat penghubung, dan
solderan diasumsikan mempunyai resistansi nol. Dalam rangkaian Gambar 2.8b,
kedua baterai dimodelkan sebagai sumber tegangan ideal; setiap resistansi internal
yang mungkin dimiliki diasumsikan sangat kecil sehingga dapat diabaikan.
Adapun kedua buah resistor diasumsikan dapat digantikan oleh resisor ideal
(linear).
ABC
R1
R2 vs1 + -
+ -
vs2
vs1 vs2
+ - R1
R2 + vR2 -
+ vR1 -
+ -
i
i
i i
(a)
(a) (b)
-
40
Di sini kita ingin mencari arus yang melewati masing-masing elemen,
tegangan pada setiap elemen, serta daya yang diserap oleh masing-masing elemen
rangkaian. Langkah pertama dalam analisis kita adalah mengasumsikan atau
menetapkan arah referensi dari arus-arus rangkaian yang tak diketahui. Secara
sembarang, kita pilih arus i yang mengalir keluar dari terminal atas sumber
tegangan sebelah kiri dan bergerak di dalam rangkaian dalam arah yang searah
dengan perputaran jarum jam. Pilihan ini diindikasikan oleh sebuah anak panah
berlabel i sebagaimana tampak dalam Gambar 2.8c. Aplikasi hukum arus
Kirchhoff menjamin bahwa arus yang sama juga mengalir melewati setiap elemen
rangkaian yang lain. Kita menekankan fakta ini dengan cara menempatkan
beberapa simbol arus yang sama pada beberapa bagian rangkaian yang lain.
Semua elemen di dalam sebuah rangkaian yang membawa arus yang sama
dikatakan sebagai elemen-elemen yang terhubung seri. Perhatikan bahwa elemen-
elemen juga dapat membawa arus yang sama besar tidak terhubung seri. Sebagai
contoh, bola lampu 100 W di rumah tetangga kita menarik arus yang sama
besarnya dengan bola lampu 100 W dirumah kita, tetapi kedua lampu tersebut
bukan merupakan arus yang sama dan tidak berada dalam hubungan seri.
Langkah kedua dalam analisis rangkaian kita adalah memilih referensi
tegangan untuk setiap resistor dari kedua buah resistor rangkaian. Konvensi tanda
pasif mensyaratkan bahwa variabel arus dan tegangan resistor harus didefinisikan
sedemikian rupa sehingga arus memasuki terminal yang memiliki referensi
tegangan positif. Karena kita telah memilih arah arus di dalam rangkaian maka vR1
dan vR2 didefinisikan seperti dalam Gambar 2.8c diatas.
Langkah ketiganya adalah aplikasi hukum Tegangan Kirchhoff pada
lintasan tertutup atau loop semata. Misalnya kita memutuskan untuk bergerak di
dalam rangkaian dalam arah pergerakan yang searah dengan perputaran jarum
jam, dimulai dari bagian pojok kiri bawah dan menuliskan secara langsung setiap
tegangan yang dijumpai pertama pada referensi positifnya atau menuliskan harga
negatif untuk setiap tegangan yang ditemui pertama pada terminal negatifnya.
Kita akan memperoleh persamaan rangkaian sebagai berikut,
-vs1 + vR1 + vs2 + vR2 = 0 [6]
-
41
Kemudian kita aplikasikan hukum Ohm untuk elemen-elemen resistif yaitu,
vR1 = R1i dan vR2 = R2i.
Dengan mensubtitusikan persamaan di atas ini kedalam persamaan [6] akan
dihasilkan persamaan,
-vs1 +R1i + vs2 +R2i = 0
Karena i merupakan satu-satunya variabel yang tidak diketahui, akan kita
temukan bahwa,
2R1R2sv1svi
Tegangan atau daya yang berasosiasi terhadap setiap elemen rangkaian dengan
demikian dapat diperoleh dengan mengaplikasikan v = Ri, p=vi, atau p=i 2R.
HItunglah daya yang diserap oleh masing-masing elemen pada rangkaian yang
ditunjukkan oleh Gambar 2.9a.
Gambar 2.9
(a) Sebuah rangkaian loop tinggal yang mengandung sebuah sumber tak-bebas. (b)
Rangkaian yang dilabeli dengan arus i dan tegangan v30.
Pertama-tama kita harus menetapkan arah referensi untuk arus i dan
polaritas referensi untuk tegangan v30 seperti yang ditunjukkan dalam Gambar
2.9b. Kita tidak perlu menentukan tegangan pada resistor 15 karena tegangan
pengendali vA untuk sumber tak-bebas sudah tersedia.
Rangkaian ini berisi sebuah sumber tegangan tak-bebas, yang nilainya
tetap tak akan diketahui sampai nilai vA ditentukan. Namun demikian, nilai
aljabarnya (2vA) dapat digunakan sebagaimana halnya jika nilai numeriknya
CONTOH 2.5
120 V
30 + -
+ vA -
15
2 vA
120 V
30 + - 2 vA +
vA -
15
+ v30 - i
(a) (b)
-
42
tersedia. Jadi, dengan mengaplikasikan KVL pada loop rangkaian akan diperoleh
persamaan:
- 120 +v30 +2vA vA = 0 [7]
Dengan menggunakan hukum Ohm terhadap resistor-resistor yang nilainya
diketahui akan diperoleh:
v30 = 30 i dan vA = -15 i
Perhatikan bahwa tanda negatif digunakan karena i mengalir masuk pada terminal
negatif vA. Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan [7] dapat
kita peroleh:
-120 + 30 i 30 i + 15 i = 0
sehingga akan kita temukan bahwa
i = 8 A
Perhitungan daya yang diserap oleh masing-masing elemen adalah :
p120V = (120)(-8) = - 960 W
p30 = (8)2(30) = 1920 W
pdep = (2vA)(8) = 2[(-15)(8)](8)
= - 1920 W
p15 = (8)2(15) = 960 W
Perhatikan bahwa jika kita menjumlahkan semua daya yang diserap (dihitung
menggunakan kesepakatan tanda pasif), akan kita peroleh nilai yang sama dengan
nol sebagaimana kita perkirakan berdasarkan prinsip konservasi (kekekalan)
energi.
5 | Rangkaian Pasangan Node Tunggal
Pasangan dari rangkaian loop tunggal yang telah dibahas dalam sub-bab
sebelumnya adalah rangkaian pasangan node tunggal, di mana setiap elemen
rangkaian dihubungkan di antara pasangan node yang sama. Contoh dari
rangkaian ini diperlihatkan pada Gambar 2.10a di bawah. Kedua sumber arus
serta nilai resistansi dari resistor-resistor rangkaian diketahui. Pertama-tama,
asumsikanlah suatu tegangan pada masing-masing elemen rangkaian dengan
-
43
menetapkan polaritas referensinya secara sembarang. Dengan menerapkan KVL
maka tegangan pada suatu cabang rangkaian sama dengan tegangan pada cabang-
cabang yang lainnya. Elemen-elemen pada suatu rangkaian yang memiliki
tegangan yang sama dikatakan sebagai elemen-elemen yang terhubung paralel.
Carilah tegangan, arus, dan daya dari masing-masing elemen rangkaian Gambar
2.10a.
Gambar 2.10
(a) (b)
(a) Rangkaian pasangan node tunggal (b) Rangkaian yang dilengkapi dengan sebuah label
tegangan dan dua buah label arus.
Kita dapat mulai memecahkan masalah ini dengan pertama-tama
mendefinisikan tegangan v dan secara sembarang menentukan polaritasnya
sebagaimana tampak dalam Gambar 2.10b. Dua buah arus yang mengalir pada
komponen resistor, arahnya dipilih sedemikian hingga memenuhi kesepakatan
tanda pasif. Arus-arus ini juga ditunjukkan dalam Gambar 2.10b.
Dengan menentukan i1 atau i2, kita dapat memperoleh nilai v. Jadi, langkah
kita berikutnya adalah mengaplikasikan KCL pada salah satu dari dua buah node
rangkaian. Bagaimanapun juga, biasanya akan lebih mudah dan jelas jika kita
mengaplikasikan KCL ini pada node di mana terdapat referensi tegangan positif.
Jadi, kita akan menyamakan jumlah aljabar dari arus-arus yang meninggalkan
node bagian atas dengan nol sehingga diperoleh persamaan:
- 120 + i1 + 30 + i2 = 0
120 A 1/30
R1 1/15
R2
120 A 1/30
R1 R2 1/15
i1 i2
CONTOH 2.6
-
44
Dengan menuliskan kedua arus dalam bentuk tegangan v dengan menggunakan
hukum Ohm, akan kita peroleh:
i1 = 30 v dan i2 = 15 v
Dengan mensubstitusikan kedua nilai di atas pada persamaan KCL sebelumnya
akan dihasilkan:
-120 + 30 v + 30 + 15 v = 0
sehingga,
v = 2 V
Selanjutnya, dengan menggunakan kembali hukum Ohm akan kita peroleh:
i1 = 60 A dan i2 = 30 A
Daya yang diserap oleh masing-masing elemen dengan demikian dapat dihitung
sebagai berikut:
untuk kedua buah resistor,
pR1 = 30(2)2 = 120 W dan pR2 = 15(2)2 = 60 W
untuk kedua buah sumber
p120A = 120(-2) = - 240 W dan p30A = 30(2) = 60 W
Oleh karena sumber 120 A menyerap daya negatif sebesar 240 W, sesungguhnya
elemen ini menyuplai atau memasok daya ke elemen lain dalam rangkaian. Serupa
dengan ini, sumber 30 A sesungguhnya menyerap daya, dan bukan menyuplai
daya.
Apakah hasil seperti ini telah diperkirakan sebelumnya? Tentu saja hasil
ini tidak diperkirakan sebelumnya karena biasanya kita menganggap sebuah
"sumber" sebagai sumber daya rangkaian yang menyuplai daya, ketimbang
menyerap daya. Namun, seperti kita lihat dalam contoh ini, kasusnya tidaklah
selalu seperti ini.
-
45
Tentukanlah nilai untuk v serta daya yang disuplai oleh sumber arus bebas pada
Gambar 2.11 berikut ini.
Gambar 2.11
Tegangan v dan arus i6 pada sebuah rangkaian pasangan node tunggal yang mengandung sebuah
sumber tak-bebas.
Dengan KCL, jumlah arus yang meninggalkan node bagian atas rangkaian
harus sama dengan nol, sehingga persamaan yang akan diperoleh adalah:
i6 2ix 0,0024 ix = 0
Perhatikan bahwa nilai sumber tak-bebas (2ix) diperlakukan sama sebagaimana
halnya perlakuan terhadap arus yang lain, meskipun nilai eksaknya tidak diketahui
sampai rangkaian tuntas dianalisis.
Selanjutnya, kita mengaplikasikan hukum Ohm untuk masing-masing resistor
sehingga diperoleh
6000
v6i dan 2000
vix
Oleh karenanya,
02000
v024,02000
v26000
v
sehingga v = (600)(0,024) = 14,4 V.
Semua informasi rangkaian yang lain yang ingin kita cari, sekarang
dengan mudah dapat diperoleh (biasanya cukup dalam satu langkah saja). Sebagai
CONTOH 2.7
6 k 2 k 2ix 24 mA v
+
-
ix
i6
-
46
contoh, daya yang disuplai oleh sumber bebas adalah p24=14,4(0,024) = 0,3456 W
(345,6 mW).
Untuk rangkaian Gambar 2.12a dibawah ini, carilah i1, i2, i3 dan i4.
Gambar 2.12
(a)
(b)
25
i1 i2
i3 i4
10 10 25 A
0,2 v1
+ v1 - C
A B
D
CONTOH 2.8
25
i1 i2
i3 i4
10 10 25 A 0,2 v1
+ v1 -
-
47
(c)
(a) Rangkaian pasangan node tunggal. (b) Rangkian yang dilengkapi dengan label-label titik
simpul untuk memudahkan proses penggambaran ulang. (c) Rangkain yang digambar ulang.
Sebagaimana digambarkan, rangkaian sedikit lebih rumit untuk dianalisis
sehingga kita putuskan untuk pertama-tama menggambar ulang rangkaian ini
setelah sebelumnya dibubuhi label-label titik simpul A, B, C, dan D sebagaimana
yang tampak dalam Gambar 3.12b dan akhirnya diperoleh Gambar 3.12c. Kita
juga mendefinisikan arus i10 yang mengalir melalui resistor 10 .
Tak satupun dari arus-arus rangkaian yang ditanyakan dapat secara
langsung diperoleh dari diagram rangkaian yang sudah ada, sehingga kita harus
mencarinya dengan mengaplikasikan hukum Ohm. Masing-masing resistor dari
ketiga resistor yang ada dalam rangkaian memiliki tegangan yang sama, (v1).
Penjumlahan arus yang mengalir masuk kedalam node rangkaian yang paling
kanan adalah:
025vv2,0
10v5,2
100v 1
111
Persamaan di atas ini memiliki solusi berupa v1 = 250/5 =50 V
Dari bagian bawah diagram rangkaian, dapat kita lihat hubungan arus dan
tegangan sebagai berikut:
A5,010050
100vi 14
+ v1 -
25 0,2 v1
i1 i2
i3
i4
2,5 A 10
i10 100
A B
C D
-
48
Dengan cara serupa dapat kita tentukan bahwa i1 = - 2 A. Dua buah arus lain yang
tersisa, i2 dan i3, dapat dicari dengan menggunakan KCL untuk menjumlahkan
arus-arus yang diketahui pada node-node sebelah kanan dan kiri. Jadi,
A35102iv2,0ii 10112
dan
A85,05,25i5,2ii 4103
6 | Sumber-Sumber Bebas dalam Hubungan Seri dan Paralel
Berdasarkan pemaparan sejauh ini dapat kita lihat bahwa penulisan
persamaan-persamaan dalam jumlah yang cukup banyak yang telah kita lakukan
untuk rangkaian-rangkaian seri dan paralel dapat dihindari dengan melakukan
kombinasi sumber. Akan tetapi perlu diperhatikan bahwa hubungan untuk semua
arus, tegangan, dan daya pada sisa rangkaian tetap atau tidak berubah.
Gambar 2.13
(a) (b) (a) Sumber sumber tegangan yang terhubung seri dapat digantikan oleh sebuah sumber tegangan
ekivalen. (b) Sumber-sumber arus paralel dapat digantikan dengan sebuah sumber arus ekivalen.
Sebagai contoh, beberapa sumber tegangan yang berada dalam hubungan
seri dapat diganti dengan sebuah sumber tegangan ekivalen yang mempunyai
tegangan yang sama dengan jumlah aljabar dari masing-masing sumber tegangan
(lihat Gambar 2.13a). Sumber arus paralel juga dapat digabungkan menjadi
+ -
- +
+ -
+ -
v1 + v2 v3 Atau
v1
v2
v3
= i3 i2 i1 i1 i2 + i3
-
49
sebuah sumber arus ekivalen dengan jalan menjumlahkan secara aljabar masing-
masingsumber arus (lihat Gambar 2.13b). Umumnya, upaya untuk melibatkan
sumber tegangan atau arus tak-bebas dalam penggabungan sumber tidak akan
memberikan manfaat atau keuntungan yang besar atau cukup berarti.
Untuk mengakhiri bahasan tentang kombinasi sumber-sumber paralel dan
seri, marilah kita tinjau kombinasi paralel dari dua buah sumber tegangan serta
kombinasi seri dari dua buah sumber arus. Sebagai contoh, berapakah nilai
ekivalen dari sumber 5 V yang terhubung paralel dengan sumber 10 V?
Berdasarkan definisi dari sebuah sumber tegangan, tegangan pada terminal-
terminalnya tidak dapat berubah. Selanjutnya dari hukum tegangan Kirchhoff, 5V
akan sama dengan 10 V, yang merupakan hal yang tidak mungkin. Jadi, sumber-
sumber tegangan ideal yang terhubung paralel hanya diijinkan jika masing-masing
sumber tegangan ini memiliki tegangan terminal yang sama setiap saatnya. Dalam
cara yang serupa, dua buah sumber arus tidak dapat dihubungkan secara seri
kecuali jika masing-masing sumber arus ini memiliki arus yang sama, termasuk
tandanya, setiap saatnya.
Tentukanlah yang mana rangkaian yang valid dari rangkaian-rangkaian dalam
Gambar 2.14 berikut ini.
Gambar 2.14
(a) (b) (c) (d)
(a) sampai dengan (d) Contoh-contoh rangkaian dengan sumber lebih dari satu, beberapa
diantaranya melawan hukum Kirchhoff.
CONTOH 2.9
5 V
10 V 1 A
2 V 1 A
14 V
5 A 3 A R
R
R + -
+ -
+ -
+ -
-
50
Rangkaian Gambar 2.14a terdiri dari dua buah sumber tegangan dalam
hubungan paralel. Nilai dari masing-masing sumber ini berbeda sehingga
rangkaian ini melawan KVL. Sebagai contoh, jika sebuah resistor ditempatkan
secara paralel dengan sumber 5 V, maka resistor ini juga terhubung paralel
dengan sumber 10 V. Tegangan aktual pada terminal-terminalnya dengan
demikian akan memiliki dua nilai yang berbeda, sehingga jelas bahwa rangkaian
ini tidak dapat dibentuk sebagaimana yang ditunjukkan dalam Gambar 2.14a.
Namun, dalam dunia yang riil semua sumber akan memiliki suatu nilai resistansi
internal atau resistansi dalam tertentu. Keberadaan resistansi ini memungkinkan
munculnya perbedaan tegangan di antara kedua sumber riil. Inilah yang menjadi
dasar pemikiran untuk menyatakan bahwa rangkaian Gambar 2.14b adalah
rangkaian yang valid (sahih).
Selanjutnya, rangkaian Gambar 2.14c menentang KCL. Dalam kasus ini,
tidak jelas arus yang mana sesungguhnya mengalir melalui resistor R.
Kebalikannya, rangkaian Gambar 2.14d tidak melawan KCL. Akan tetapi jika
resistor R dihilangkan, kita akan memperoleh rangkaian yang tidak dapat diterima
karena arus sebesar 5 A akan berada dalam hubungan seri dengan arus -3 A.
Kondisi ini bertentangan dengan KCL.
7 | Resistor Hubungan Seri dan Paralel
Dalam praktiknya kita bisa saja menggantikan suatu kombinasi resistor
yang relatif rumit dengan sebuah resistor ekivalen. Langkah ini berguna terutama
ketika kita tidak secara khusus tertarik terhadap nilai arus, tegangan, maupun daya
dari masing-masing resistor dalam rangkaian. Semua hubungan arus, tegangan,
dan daya dalam sisa rangkaian akan tetap (tidak berubah).
Tinjaulah kombinasi seri dari N buah resistor yang diperlihatkan oleh
Gambar 2.15a. Kita ingin menyederhanakan rangkaian dengan menggantikan N
buah resistor ini dengan sebuah resistor ekivalen, Rek, sedemikian sehingga sisa
rangkaian, yang dalam kasus ini hanya sumber tegangan, tidak menyadari telah
-
51
dilakukannya suatu perubahan. Arus, tegangan, dan daya sumber harus sama
untuk kondisi sebelum dan sesudah pergantian.
Gambar 2.15
(a) (b)
(a) Kombinasi seri N buah resistor. (b) Rangkaian ekivalennya.
Pertama-tama, aplikasikanlah KVL untuk memperoleh persamaan:
N21s vvvv
dan kemudian dengan hukum Ohm diperoleh:
i)RRR(iRiRiRv N21N21s
Sekarang bandingkanlah hasil yang diperoleh ini dengan persamaan sederhana
yang diperoleh dengan mengaplikasikan rangkaian ekivalen Gambar 2.15b yang
memiliki persamaan rangkaian:
iRv eks
Dari perbandingan di atas akan diperoleh bahwa resistansi ekivalen untuk N buah
resistor yang terhubung seri adalah,
N21ek RRRR
Dengan demikian kita dapat mengganti suatu jaringan dua-terminal yang terdiri
atas N buah resistor yang terhubung seri dengan sebuah elemen dua-terminal
tunggal Rek yang mempunyai hubungan v-i yang sama.
Perlu ditekankan kembali di sini bahwa kita mungkin saja memiliki
ketertarikan untuk mengetahui arus, tegangan, ataupun daya dari elemen-elemen
pada rangkaian semula. Sebagai contoh, tegangan dari sumber tegangan tak-bebas
mungkin saja bergantung pada tegangan dari komponen R3. Jika R3 telah
R1 RN R2
+ v1 -
Rek
+ v2 - + vN -
vs vs
i
+ -
+ -
i
-
52
digabungkan dengan beberapa resistor seri yang lain untuk membentuk sebuah
resistansi ekivalen maka resistor R3 ini akan hilang sehingga tegangan pada
terminal-terminalnya tidak dapat ditentukan. Dalam kasus seperti ini, langkah
yang lebih baik untuk dilakukan ialah tidak melibatkan R3 sejak awal sebagai
bagian dari kombinasi.
Gunakanlah kombinasi resistansi dan sumber untuk menentukan arus i pada
rangkaian Gambar 2.16a dan daya yang di suplai oleh sumber 80 V.
Gambar 2.16
(a) Rangkaian seri dengan beberapa buah sumber dan resistor. (b) Elemen-elemen rangkaian
disusun ulang untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas. (c) Rangkaian ekivalen yang lebih
sederhana.
Langkah yang pertama-tama kita lakukan ialah saling menukarkan posisi
elemen-elemen dalam Gambar 2.16b (lakukan langkah ini secara hati-hati dengan
memperhatikan tanda terminal sumber). Langkah selanjutnya ialah
mengkombinasikan ketiga buah sumber menjadi sebuah sumber ekivalen 90 V,
serta keempat buah resistor menjadi sebuah resistor ekivalen 30 sebagaimana
yang tampak pada Gambar 2.16c. Jadi kita akan memperoleh persamaan
0i820i5i730i1080
CONTOH 2.10
30 V 30 V
i 10 7 5
80 V + - + -
8
(a)
+ -
20 V
i
10 7
5 20 V
+ -
80 V
8
90 V + - 30
(b)
(c)
-
53
yang dapat disederhanakan menjadi:
0i3090
Solusi yang diperoleh adalah
A3i
Untuk menghitung daya yang dipasok oleh sumber 80 V ke rangkaian, kita perlu
kembali lagi ke Gambar 2.16a dengan bekal solusi bahwa arus yang mengalir
adalah sebesar 3 A. Jadi daya yang ditanyakan adalah 80 V x 3 A = 240 W.
Menarik untuk dicatat bahwa tidak ada satupun elemen rangkaian semula
yang tersisa pada rangkaian ekivalennya.
Gambar 2.17
(a) (b)
(a) Rangkaian dengan N buah resistor paralel. (b) Rangkaian Ekivalenya.
Proses penyederhanaan yang serupa juga dapat diaplikasikan untuk
rangkaian-rangkaian paralel. Sebuah rangkaian yang mengandung N buah resistor
dalam hubungan paralel, seperti yang tampak dalam Gambar 2.17a, akan
menghasilkan persamaan KCL sebagai berikut:
N21s iiii
atau,
ekN21s R
vRv
Rv
Rvi
Jadi,
N21ek R1
R1
R1
R1
Req RN R2
iN i2 i1
-
+
v is R1
v
-
+
-
54
yang dapat ditulis sebagai: 1
N1
21
11
ek RRRR
atau dalam bentuk konduktansi,
N21ek GGGG
Rangkaian yang disederhanakan (ekivalen) ditunjukkan oleh Gambar 2.17b.
Kombinasi paralel biasa diindikasikan dengan notasi pendek berikut ini:
321ek R||R||RR
Situasi khusus di mana hanya terdapat dua buah resistor yang terubung paralel
akan kerapkali kita temui. Untuk kasus ini, persamaan untuk resistansi
ekivalennya dirumuskan sebagai:
21
21ek
R1
R1
1R||RR
atau dalam bentuk yang lebih sederhana lagi,
[8]
Bentuk persamaan yang terakhir ini penting dan berguna untuk selalu diingat,
meskipun kerap terjadi kesalahan di mana persamaan [8] ini digeneralisasi untuk
lebih dari dua buah resistor, contohnya:
321
321ek RRR
RRRR
Dengan melihat satuan dari persamaan ini, dengan cepat dapat kita pastikan
bahwa persamaan di atas tidak mungkin benar.
21
21ek RR
RRR
-
55
Hitunglah daya dan tegangan dari sumber tak-bebas yang terdapat pada rangkaian
Gambar 2.18a berikut ini.
Gambar 2.18
(a) Rangkaian dengan banyak node. (b) Dua buah sumber bebas digabungkan menjadi sebuah
sumber 2 A yang ekivalen, dan resistor 15 yang terhubung seri dengan dua buah resistor 6
paralel digantikan oleh sebuah resistor 18 (c) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana.
Kita membiarkan sumber tak-bebas seperti rangkaian semula dan
mengkombinasikan kedua buah sumber arus yang tersisa menjadi sebuah sumber
CONTOH 2.11
6 A
15
3
(b)
0,9 i3 3
3 18
(c)
9 6 6
2 A
2 A 9
6
4 A vs
+
-
i3
(a)
i3
0,9 i3
+
vs
-
0,9 i3
+
vs
-
i3
-
56
arus ekivalen 2 A. Kita lihat bahwa kedua buah resistor 6 berada dalam
hubungan paralel, yang dapat direduksi menjadi sebuah resistor dengan resistansi
3 . Oleh karena kedua resistor paralel 6 terhubung seri dengan resistor 15
maka resistor penggantinya (3 ) juga akan terhubung secara seri dengan resistor
15 dimaksud. Jadi, kita dapat mengganti resistor 15 serta kedua resistor paralel
6 dengan sebuah resistor 18 untuk menghasilkan rangkaian Gambar 2.18b di
atas.
Sampai di sini, kita mungkin akan tergoda untuk menggabungkan resistor-
resistor 3,9, dan 18 menjadi resistor ekivalennya. Akan tetapi langkah ini akan
berakibat hilangnya i3, yang merupakan arus pengendali untuk sumber tak-bebas.
Jadi, kita memilih untuk menyederhanakan rangkaian lebih lanjut dengan hanya
mengkombinasikan resistor 9 dan 18 , sebagaimana dapat dilihat pada Gambar
2.18c.
Dengan mengaplikasikan ini pada node bagian atas dari rangkaian Gambar
2.18c, dapat kita peroleh persamaan:
06vi2i9,0 33
Untuk menentukan tegangan, v, pada sumber tak-bebas rangkaian, pertama-tama
kita harus mencari nilai dari arus pengendali, i3. Dengan mengaplikasikan hukum
Ohm dapat kita peroleh:
3i3v
dari mana dapat kita hitung nilai i3 sebagai:
A3
10i3
Jadi, tegangan, v, pada sumber tak-bebas (yang sama dengan tegangan pada
resistor 3 ) adalah:
V10i3v 3
Sumber tak-bebas ini dengan demikian akan menyuplai daya sebesar v x 0,9i3 =
10(0,9)(10/3) = 30 W ke rangkaian.
-
57
Sekarang, jika kita ditanya tentang besarnya daya yang disipasikan oleh
resistor 15 , kita harus kembali ke rangkaian semula. Resistor ini terhubung seri
dengan resistor ekivalen 3 dan tegangan sebesar 10 V muncul di antara nilai
resistansi totalnya yaitu 18 . Oleh karena itu, arus sebesar 5/9 A akan mengalir
melalui resistor 15 dan daya yang diserap oleh elemen ini adalah (5/9)2(15) =
4,63 W.
Tiga buah komentar terakhir tentang kombinasi seri dan paralel berikut ini
kiranya dapat membantu kita dalam menganalisis rangkaian listrik ini. Komentar
yang pertama diilustrasikan dengan mengacu pada Gambar 2.19a dan mengajukan
pertanyaan Apakah vs dan R terhubung seri ataukah paralel? Jawabannya
adalah Keduanya benar. Kedua elemen ini membawa arus yang sama dan oleh
karenanya disebut berada dalam hubungan seri. Akan tetapi kedua elemen ini juga
memiliki tagangan yang sama dan oleh karenanya berada dalam hubungan paralel.
Gambar 2.19
R1
RA
RB
RE
R4
R3 R2
RC
R8
vs R7
R6
R5 R
vs
vs RD
iA
+ -
+ -
is
iB
+ -
(a) (b)
(c)
-
58
(a) Kedua elemen rangkaian berada dalam hubungan seri dan paralel.. (b) R2 dan R3 terhubung paralel sementara R1 dan R8 terhubung seri. (c) Tidak terdapat elemen rangkaian yang berada
dalam hubungan seri ataupun paralel dengan elemen rangkaian yang lain.
Komentar yang kedua adalah bahwa rangkaian listrik dapat digambar
sedemikian hingga kombinasi seri atau paralel dari elemen-elemen pembentuknya
sulit untuk ditentukan. Dalam Gambar 2.19b misalnya, satu-satunya hubungan
resistor paralel adalah antara R2 dan R3, sementara satu-satunya hubungan resistor
seri adalah antara R1 dan R8.
Komentar yang terakhir, sebuah elemen rangkaian sederhana tidak selalu
berada dalam hubungan seri atau paralel denga elemen-elemen sederhana lainnya
di dalam rangkaian. Sebagai contoh, R4 dan R5 dalam Gambar 2.19b tidak
terhubung secara seri ataupun paralel dengan elemen rangkaian ini dengan
menggunakan teknik-teknik yang dibahas dalam bab ini.
8 | Pembagian Tegangan dan Arus
Dengan mengkombinasikan resistansi dan sumber, telah kita temukan
metode yang dapat memangkas langkah-langkah yang harus diambil dalam
menganalisis suatu rangkaian ialah metode yang dikenal sebagai pembagian
tegangan dan arus. Pembagian tegangan digunakan untuk menyatakan tegangan
pada satu dari beberapa resistor seri dalam bentuk tegangan kombinasinya.
Gambar 2.20
Ilustrasi dari prinsip pembagian tegangan
Dalam Gambar 2.20, tegangan pada resistor R2 dapat diperoleh melalui
KVL dan hukum Ohm berikut ini:
)RR(iiRiRvvv 212121
i R1
R2
+ v1 - + v2 -
v1
+
-
-
59
sehingga
21 RRvi
Jadi,
221
22 RRRviRv
atau
vRR
Rv
21
22
Dengan cara yang serupa dapat diperoleh bahwa tegangan pada resistor R1 adalah,
vRR
Rv
21
11
Jika rangkaian pada Gambar 2.20 di atas digeneralisasi dengan menghilangkan R2
dan menggantikannya dengan kombinasi seri R2, R3, ..., RN maka kita akan
memperoleh bentuk umum prinsip pembagian tegangan dari rangkaian N buah
resistor seri sebagai berikut:
[9]
yang memungkinkan kita menghitung tegangan vk yang muncul pada sembarang
resistor Rk dari N buah resistor seri.
Tentukan vx untuk rangkaian Gambar 2.21a berikut ini.
CONTOH 2.12
vRRR
RvN21
kk
-
60
Gambar 2.21
(a) (b)
Sebuah contoh numerik yang mengilustrasikan kombinasi resistansi dan pembagian tegangan.
(a) Rangkaian awal. (b) Rangkaian yang telah disederhanakan.
Langkah pertama yang kita lakukan adalah mengkombinasikan resistor 6
dan resistor 3 , dan menggantinya dengan resistor (6)(3)/(6+3) = 2 .
Oleh karena vx muncul pada kombinasi paralel maka penyederhanaan
rangkaian yang kita lakukan tidak menghilangkan besaran ini. Namun
penyederhanaan rangkaian lebih lanjut, di mana kita menggantikan kombinasi seri
resistor 4 dengan resistor 2 yang diperoleh dari kombinasi paralel sebelumnya,
akan menghilangkan besaran ini.
Jadi, kita akan menjalankan proses analisisnya dengan mengaplikasikan
prinsip pembagian tegangan terhadap rangkaian Gambar 2.21b:
tsin424
2)tsin12(vx volt
Dual dari prinsip pembagian tegangan adalah prinsip pembagian arus. Perhatikan
Gambar 2.22 di bawah. Pada gambar ini arus total yang dipasok untuk beberapa
resistor yang terhubung secara paralel.
Gambar 2.22
12 sin t V 12 sin t V 6 3
4
2 + ~ -
+ vx -
i3
+ ~ - + vx -
R1 R2 v
+
-
i2 i1
i
4
-
61
Ilustrasi dari prinsip pembagian arus.
Arus yang mengalir melalui resistor R2 dirumuskan sebagai,
21
21
22
21
22 RR
RRRi
R)R||R(i
Rvi
atau
21
12 RR
Rii
Dengan cara serupa diperoleh rumusan untuk arus yang mengalir melalui resistor
R1 sebagai:
21
21 RR
Rii
Untuk kombinasi paralel N buah resistor, arus yang mengalir melalui resistor Rk adalah:
N21
kk
R1
R1
R1
R1
ii
[10]
yang jika dituliskan dalam bentuk konduktansi akan menjadi
N21
kk GGG
Gii
yang sangat menyerupai bentuk persamaan untuk pembagian tegangan
(persamaan [9]) sebelumnya.
Tuliskanlah pernyatan untuk arus yang melalui resistor 3 pada rangkaian
Gambar 2.23 berikut ini.
Gambar 2.23
CONTOH 2.13
-
62
Sebuah rangkaian yang digunkan sebagai contoh prinsip pembagian arus. Garis bergelombang
pada sumber tegangan mengindikasikan sinyal yang berubah secara sinusoidal terhadap waktu.
Arus total yang mengalir masuk ke kombinasi resistor 3 dan 6 adalah:
tsin224
tsin126||34tsin12)t(i
A
sehingga arus yang ditanyakan dapat diperoleh melalui prinsip pembagian arus
sebagai berikut:
tsin34
366)tsin2()t(i3
A
Sangat disayangkan bahwa prinsip pembagian arus kerapkali diaplikasikan
pada kasus-kasus di mana prinsip ini tidak dapat diaplikasikan. Sebagai satu
contoh, marilah kita lihat kembali rangkaian Gambar 2.19c, suatu rangkaian yang
berdasarkan kesepakatan kita sebelumnya tidak memiliki elemen rangkaian yang
terhubung seri atau paralel. Tidak adanya resistor-resistor paralel berarti tidak
adanya jalan untuk mengaplikasikan prinsip pembagian arus. Meskipun demikian
banyak mahasiswa yang hanya secara sekilas melihat susunan resistor-resistor
rangkaian RA dan RB lalu berusaha mengaplikasikan prinsip pembagian arus dan
menuliskan persamaan yang salah yaitu:
BA
BSA RR
Rii
Perlu diingat, resistor-resistor paralel harus bercabang pada pasangan node yang
sama.
12 sin t V
4
vx
i3
6 3 + ~ -
-
+
-
63
2.3 Penutup
SOAL SOAL LATIHAN
1.Dalam rangkaian Gambar di bawah ini tentukan:
(a) Berapakah banyaknya node?
(b) Berapakah banyaknya cabang?
(c) Jika kita bergerak dari A ke B ke E ke D ke C ke B, akankah kita membentuk
sebuah lintasan? Ataukah juga membentuk sebuah loop?
2. Carilah ix dan iy pada rangkaian di bawah ini:
3. Dalam rangkaian di bawah ini tentukanlah arus i.
4. Carilah Rekivalen rangkaian resistif berikut ini:
A B C
D E
+ -
iy ix
1
1
5 A
1 A
i
-
1 V + -
3,5 V
10
10
+
- +
2 V
-
64
30 20 8
10 10 15 2
40
Rekivalen