WAHYU WIDODO.

1

SILABI

• Definisi• Jenis- jenis fungsi• Penggambaran fungsi Linear• Penggambaran fungsi non linear

- Penggal- Simetri- Perpanjangan- Asimtot- Faktorisasi

2

Definisi• Fungsi : suatu bentuk hubungan

matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hub. fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain.

• y = a + bx

Dependent variable

Konstanta Koefisien var. x

Independent variable

3

Pengertian Fungsi yang lain:– Aturan yang menghubungkan masing –

masing elemen dalam himpunan A dengan satu dan hanya satu elemen dalam himpunan B.

– Aturan yang menghubungkan bilangan- bilangan “baru” dengan bilangan “lama”.

– Bilangan “lama” = x.– Bilangan “baru” = y.– Notasi Fungsi = f(x)

Contoh :Aturan harus menghasilkan bilangan dengan menambah 1 pada dua kali bilangan lama. Bilangan manakah yang berhubungan dengan 3 ?

2 x 3 + 1 = 7Lama baru

Notasi Fungsi :

Y = f (x)

Y = 5 + 0.8 x

f (x) = 5 + 0.8 x

5 Konstanta

0,8 Koef. Variabel x

X Variabel bebas

Y Variabel Terikat

Jenis-jenis fungsiFungsi

F.PangkatF. PolinomF. LinierF. KuadratF. KubikF. Bikuadrat

Fungsi rasionalFungsi irrasional

Fungsi non-aljabar (transenden)

Fungsi aljabar

F. EksponensialF. LogaritmikF. TrigonometrikF. Hiperbolik

6

• Fungsi polinom : fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya.

y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn

• Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu).

y = a0 + a1x a1 ≠ 0

7

• Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua.

y = a0 + a1x + a2x2 a2 ≠ 0

• Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata).

y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1xn-1 + anxn

an ≠ 08

• Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol.

y = xn n = bilangan nyata bukan nol.

• Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol.

y = nx n > 0

9

• Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik.

y = nlog x

• Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik : fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik.

persamaan trigonometrik y = sin x

persamaan hiperbolik y = arc cos x

10

• Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya : fungsi eksplisit dan implisit

0 Kubik

0 Kuadrat

0 Linear

0 Umum

Implisit Eksplisit Fungsi

33

2210

33

2210

2210

2210

1010

yxaxaxaaxaxaxaay

yxaxaaxaxaay

yxaa x aay

f(x,y) f(x) y

11

x

y

x

yLinear

y = a0 + a1x

a0

Kemiringan = a1

(a) (b)0 0

Kuadratik

y = a0 + a1x + a2x2

a0

(Kasus a2 < 0)

12

x

y

x

y

(c) (d)

0 0

Kubik

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

a0

Bujur sangkar hiperbolik

y = a / x

(a > 0)

13

x

y

x

y

(e) (f)

0 0

Eksponen

y = bx

(b > 1)

Logaritma

y = logb x

14

Penyimpangan Eksponen

• xn = x x x x…..x x

• Aturan I : xm x xn = xm+n Contoh : x3 x x4 = x7

• Aturan II : xm / xn = xm-n Contoh : x4 / x3 = x

• Aturan III : x-n = 1/xn (x ≠ 0)

n suku

15

Penyimpangan Eksponen

• Aturan IV : x0 = 1 (x ≠ 0)

• Aturan V : x1/n =

• Aturan VI : (xm)n = xmn

• Aturan VII : xm x ym = (xy)m

n x

16

Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas• z = g (x, y)

• z = ax + by• z = a0 + a1x + a2x2 + b1y + b2y2

• Fungsi g membuat peta dari suatu titik dalam ruang dua dimensi, ke satu titik pada garis ruas (titik dalam ruang satu dimensi), seperti :

dari titik (x1,y1) ke titik z1

dari titik (x2, y2) ke titik z217

Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas

z

z1

z2(x2, y2)

(x1, y1)

g

x2x1

y1y2

0 x

y

18

Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas

x2

x1

y1

y2

x

y

z

(x2, y2, z2)

(x2, y2, z2)

19

Penggal• Penggal sebuah kurva adalah titik-titik

potong kurva tersebut pada sumbu-sumbu koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y = 0 (berlaku sebaliknya).

• Contoh :

y = 16 – 8x + x2

penggal pada sumbu x : y = 0 x = 4

penggal pada sumbu y : x = 0 y = 16

20

Simetri

• Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap sebuah garis apabila garis tersebut berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus teradap segmen garis yang menghubungkannya.

• Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap titik ketiga apabila titik ketiga ini terletak persis di tengah segmen garis yang menghubungkan kedua titik tadi.

21

Simetriy yy

x xx

(x,y) (x,y)

(x,y)

(x,-y)

(-x,y)

(-x,-y)

0 00

Titik (x, y) adalah simetrik terhadap titik :

(x, -y) sehubungan dengan sumbu x

(-x, y) sehubungan dengan sumbu y

(-x, -y) sehubungan dengan titik pangkal22

Simetriy yy

x xx

(x,y)

(x,y)(x,y)

(x,-y)

(-x,y)

(-x,-y)

0 0

Kurva dari suatu persamaan f (x, y) = 0 adalah simetrik terhadap :

Sumbu x jika f(x, y) = f(x, -y) = 0

Sumbu y jika f(x, y) = f(-x, y) = 0

Titik pangkal jika f(x, y) = f(-x, -y) = 023

Perpanjangan

• Konsep perpanjangan menjelaskan apakah ujung-ujung sebuah kurva dapat terus menerus diperpanjang sampai tak terhingga (tidak terdapat batas perpanjangan) ataukah hanya dapat diperpanjang sampai nilai x atau y tertentu.

• Coba selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yan dicerminkan oleh persamaan :

x2 – y2 – 25 = 0 dan x2 + y2 – 25 = 024

Asimtot• Asimtot suatu kurva adalah sebuah

garis lurus yang jaraknya semakin dan semakin dekat dengan salah satu ujung kurva tersebut.

• Jarak tersebut tidak akan menjadi nol.

• Tidak akan terjadi perpotongan antara garis lurus dan kurva.

• Penyelidikan asimtot berguna untuk mengetahui pola kelengkungan kurva yang akan digambarkan 25

x x

x x

y y

y y

y = k

x =

k

y = f(x)y = f(x)

y = - a - bxy = - a - bx

26

Faktorisasi

• Faktorisasi fungsi maksudnya ialah menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil.

• f(x, y) = g(x, y). h(x, y)• Persamaan 2x2 – xy – y2 = 0

faktorisasi persamaan di atas menghasilkan : (x – y) (2x + y) = 0

27

Latihan

28

• Gambar grafik persamaan linear dan non linear dengan persamaan:

• y = a – bx• y = bx• y = -bx• y = bx2

• y = -bx2