G E R A K R O T A S I ( 1 )

G E R A K R O T A S I

Besaran-besaran Gerak Melingkar

Posisi sudut

Gambar di bawah memperlihatkan sebuah benda yang berputar terhadap sumbu tetap. Benda berputar melewati titik O dan tegak lurus terhadap bidang gambar. Terlihat bahwa setiap titik yang bergerak melingkar memiliki radius sebesar r. Jika kita misalkan titik itu sebagai titik A, maka posisi titik A dapat dinyatakan dalam koordinat polar (r, ) dan koordinat kartesius (x, y).

Berdasarkan gambar, absis dan ordinat dari titik A adalah:x = r cos (y = r sin (Besarnya jari-jari r adalah:r =

Besarnya sudut ( adalah:tan ( =

Dalam selang waktu tertentu, titik A berotasi menempuh busur lingkaran sebesar s. Besarnya busur s jika dinyatakan dalam r dan ( adalah:s = ( rBesaran posisi sudut ( dinyatakan dalam satuan radian dan mempunyai dimensi tidak berdimensiKecepatan sudut rata-rata (()

Perhatikan gambar di samping. Karena benda melakukan gerak melingkar, terjadi perpindahan posisi titik materi dari A ke B. Perpindahan tersebut terjadi dalam selang waktu t. Vektor jari-jari titik A membentuk sudut (1 terhadap sumbu x, sedangkan vektor jari-jari titik B membentuk sudut (2 terhadap sumbu x. Dengan demikian, vektor jari-jari menyapu perpindahan sudut sebesar:(( = (2 - (1Kecepatan sudut didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan sudut (( dan selang waktu (t.

( =

Besarnya kecepatan sudut dinyatakan dalam satuan rad/s dan mempunyai dimensi s-1Kecepatan sudut sesaatBesaran ini didefinisikan sebagai perpindahan sudut dalam selang waktu yang sangat singkat.

Analisis Contoh Soal

1. Suatu titik pada sebuah tepi roda mempunyai posisi sudut yang dinyatakan sebagai = (10 + 12t t2) rad. a. Tentukanlah posisi sudut pada saat t = 2 s.

b. Tentukanlah kecepatan sudut rata-rata dari t = 1 s sampai t = 3 s.Jawab:

a. Posisi sudut benda saat t = 2 s

= 10 + 12t - t2

= 10 + 12 (2) (22) = 33 rad

b. Posisi sudut benda saat t = 1 s

1 = 10 + 12 (1) (12) = 21,75 radPosisi sudut benda saat t = 3 s

2 = 10 + 12 (3) (32) = 41,5 rad

Berarti, besarnya kecepatan sudut benda adalah:

( =rad/s

2. Suatu titik pada sebuah tepi roda mempunyai posisi sudut sebagai = (5 + 2t + t2) rad. Tentukanlah kecepatan sudut sebagai fungsi waktu. Jawab:

Kita misalkan t1 = t s dan t2 = (t + (t) s. Posisi titik saat t1 adalah:

(1= (5 + 2t + t2) rad

Posisi benda saat t2 = t + (t adalah:

(2 = [5 + 2(t + (t) + (t + (t)2] rad = (2t + 2t t + t2 + 5 + 2t + t2)radPerubahan posisi sudut ((, yaitu:

(( = (2 (1 = 2t + 2t t + t2 + 5 + 2t + t2) rad (5 + 2t + t2)rad = (2 t + 2t t + t2) rad

Dari hasil perhitungan di atas, besarnya kecepatan putar tepi roda setiap saat adalah:

( =

EMBED Equation.3 = (2 + 2t + t) rad/sKecepatan sudut benda dalam fungsi waktu menunjukkan kecepatan sesaat benda pada saat t sekon. Dengan demikian, terlebih dulu kita tentukan kecepatan sesaat benda. Kecepatan sesaat adalah kecepatan benda dalam selang waktu sangat kecil ((t ( 0). Sehingga, kecepatan sesaat benda adalah:

( = (2 + 2t) rad/sPercepatan sudut rata-rata (()Besaran ini didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut ((() dibagi selang waktu ((t) terjadinya perubahan kecepatan. Secara matematis dapat dituliskan sebagai:

( = Percepatan sudut sesaat

Percepatan sudut sesaat adalah kecepatan sudut rata-rata dalam selang waktu yang singkat.

Analisis Contoh SoalSebuah piringan hitam yang berputar terhadap porosnya mempunyai persamaan kecepatan sudut = (t2 3) rad/s. Tentukan percepatan sudut rata-ratanya dari t = 2 s sampai t = 5 s.

Jawab:Kecepatan sudut benda saat t1 = 2 s adalah:

1 = ( 3) rad/s = ((2)2 3) rad/s = 1 rad/s. Kecepatan sudut benda saat t2 = .. s adalah:

2 = ( 3) rad/s = ((5)2 3) rad/s = 22 rad/s. Percepatan sudut yang terjadi, yaitu:

( =

Penerapan Konsep

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut1. Sebuah compact disc berputar dengan persamaan = 2t2 + t, dengan dalam radian dan t dalam sekon. Misalkan pada CD terdapat titik A yang mula-mula berada pada sumbu x.

a. Hitunglah sudut pada saat t = 0, t = 1 s, dan t = 2 s. Gambarkan posisi titik itu pada gambar di atas.

0; 0,95 ( rad; 3,2( rad

b. Hitunglah kecepatan sudut rata-rata dari t = 1 s sampai t = 3 s.

8 rad/s c. Tentukanlah pula kecepatan sudut pada saat t = 1 s dan t = 3 s.

5 rad/s; 13 rad/s

2.Kecepatan sudut suatu compact disc yang sedang berputar terhadap poros sumbu z dinyatakan sebagai (t) = (0,1t2 0,8t) rad/s.a. Hitunglah percepatan sudut rata-rata pada saat t = 1 s sampai t = 3 s.-0,4 rad/s2b. Hitunglah percepatan sudut pada saat t = 1 s dan t = 3 s.-0,6 rad/s2; -0,2 rad/s23. Posisi sudut sebuah titik pada tepi roda memenuhi persamaan = (0,0625t2 + 0,25t + 0,1875) rad. a. Hitunglah kecepatan sudut rata-rata antara t = 1 s sampai t = 6 s.

0,7 rad/sb. Hitunglah kecepatan sudut sesaat pada saat t = 4 s dan t = 10 s.

0,75 rad/s; 1,5 rad/s

c. Gambarkan grafik posisi terhadap waktu yang kecepatan sudut terhadap waktu.

4. Kecepatan sudut sebuah piringan hitam yang berputar terhadap sumbu z dapat dinyatakan sebagai: = (2,9 + 0,93t2) rad/s a. Isilah tabel di bawah ini, kemudian buatlah grafik -t berdasarkan data-data tersebut pada diagram di bawah tabel..t (s)0123456

(rad/s)-2,9

-20,825,51220,330,6

b. Hitunglah besarnya percepatan pada t = 3 s dan t = 5 s.

5,58 rad/s2; 9,3 rad/s25. Misalkan posisi sudut sebuah titik materi yang sedang bergerak melingkar dapat dinyatakan sebagai (t) = (0,6t4 2,5t3) rad.

a.Tentukan percepatan sudut sebagai fungsi waktu.

( = 2,4t3 7,5t2

( = 7,2t2 15t b. Tentukan percepatan sudut awal.

0 rad/s2 c. Hitunglah percepatan sudut pada saat t = 2 s.

-1,2 rad/s2Gerak Melingkar BeraturanDalam gerak melingkar beraturan, kecepatan rata-rata benda selalu sama dengan kecepatan sesaat benda. Dari persamaan ( = , diperoleh:

(( = ( tKarena (( = ( (0 dan (t = t t0 , sudut akhir dari putaran benda adalah:

( = (0 + ( (t t0)Jika kita ambil nilai t0 = 0, maka berlaku:

( = (0 + ( t

Analisis Contoh SoalSebuah piringan hitam berputar secara teratur dengan kecepatan angular 120 rpm (rotasi per menit). Suatu titik pada tepi piringan berada pada posisi awal 12 rad. Tentukan posisi titik itu setelah piringan hitam berputar selama 5 s. Nyatakan jawaban Anda dalam satuan radian.Jawab:

Diketahui:

Posisi titik pada t0 = 0 s, yaitu (0 = 12 radKecepatan sudut, ( = 120 rpm = 12,6 rad/sDitanyakan: posisi titik pada piringan setelah berputar 5 s.

Penyelesaian:

Posisi sudut akhir dari suatu gerak melingkar beraturan diberikan oleh:

( = (0 + (t = 12 rad + (12,6 rad/s)(5 s)

= 75 rad

Gerak Melingkar Berubah Beraturan

Jika percepatan yang dimiliki sebuah benda yang berotasi bernilai tetap, benda dikatakan melakukan gerak melingkar berubah beraturan. Dalam gerak ini, percepatan sudut rata-rata benda sama dengan percepatan sesaat benda.Dari persamaan ( = , diperoleh(( = ( tKarena (( = ( (0 dan (t = t t0, kecepatan sudut akhir dari putaran benda dinyatakan sebagai:

( = (0 +((t t0)Jika kita ambil nilai t0 = 0, maka kita dapatkan:

( = (0 +(t

(1)Bagaimana dengan posisi sudut dari benda yang mengalami gerak melingkar berubah beraturan? Pada gerak melingkar beraturan telah didapatkan

( = (0 + t

(2)Nilai adalah rata-rata dari kecepatan sudut awal dan akhir dari gerak rotasi benda. Dapat kita tuliskan:

(3)Substitusikan persamaan (1) pada persamaan (3), akan didapatkan

= (0 +

(4)

Substitusikan persamaan (4) yang telah kita peroleh ke persamaan (2), akan kita dapatkan persamaan yang menyatakan posisi sudut benda dalam gerak melingkar berubah beraturan.

( = (0 + (0 t + (t2

Analisis Contoh SoalSebuah roda gerinda mula-mula dalam keadaan diam, kemudian berotasi hingga mencapai kecepatan sudut 12 rad/s dalam waktu menit.a. Hitunglah percepatan sudut roda gerinda itu.b. Hitunglah besar sudut yang ditempuhnya dari t = 0 s hingga t = 4 s.Jawab:

Diketahui:

Kecepatan sudut awal, (0 = 0 rad/s

Kecepatan sudut akhir, ( = 12 rad/s

Waktu, t = menit = 12 s

Penyelesaian:

a. Percepatan sudut gerinda adalah:

( = = 1 rad/s2b. Posisi sudut gerinda adalah:

( = (0 + (0t + (t2 = (0 rad) + (0 rad/s)(4 s) + (1 rad/s2)(42 s2) = 8 radHubungan antara Besaran Linier dan Besaran Anguler

Hubungan kecepatan linear dengan kecepatan sudut

Telah Anda ketahui bahwa hubungan jarak s, jari-jari R, dan sudut tempuh adalah:

s = .R

(5)Kita bagi ruas kiri dan ruas kanan persamaan (5) dengan waktu t, kita dapatkan

(6)

Persamaan s/t adalah besaran kecepatan, sedangkan persamaan (/t adalah besaran kecepatan sudut Berarti, persamaan (6) dapat ditulis sebagai:

v = ( rHubungan percepatan linier dengan percepatan sudutHubungan antara kecepatan linier dan kecepatan sudut adalah:

v = ( r

(7)Bagi kedua ruas pada persamaan di atas dengan waktu t.

(8)Persamaan v/t adalah besaran percepatan linier yang disimbolkan sebagai aPersamaan (/t adalah besaran percepatan anguler yang dilambangkan sebagai (Kita tuliskan kembali persamaan (8) menjadi:a = ( rHubungan antara percepatan tangensial dan percepatan sentripetalPercepatan tangensial adalah:

Percepatan linier yang arahnya tegak lurus percepatan sentripetalPercepatan sentripetal adalah

Percepatan yang berarah ke pusat pada gerak melingkarSebuah benda bergerak melingkar dengan kecepatan sudut ( dengan jari-jari sebesar R. Besarnya percepatan sentripetal dari gerak benda ini adalah:

as = (2R

(9)

Hubungan antara kecepatan v dan kecepatan sudut ( adalah v = (R. Berarti persamaan (9) dapat ditulis pula sebagai:

as =

Jika digambarkan, diagram percepatan akan nampak terlihat pada gambar di bawah.

aT a

as Percepatan tangensial dan percepatan sentripetal merupakan besaran vektor. Oleh karena itu, besar percepatan total dari gerak melingkar sebuah benda dirumuskan sebagai:

a =

Analisis Contoh Soal

Sebuah mesin penggulung benang yang memiliki jari-jari 50 cm berputar dengan kecepatan sudut 600 rpm. a. Nyatakan kecepatan sudut mesin dalam satuan rad/s. b. Hitunglah kecepatan linier suatu titik yang berada di tepi roda penggulung.c. Hitunglah jumlah putaran yang ditempuh jika panjang benang yang tergulung adalah 4 m.

Jawab:

Diketahui:

Jari-jari mesin, r = 50 cm = 0,5 m

Kecepatan sudut, ( = 600 rpma. Jika suatu benda berputar dengan kecepatan 1 rpm, maka dalam waktu 1 menit benda melakukan 1 rotasi, berarti:

1 rpm = 1 = 1

Berarti, kecepatan mesin itu dalam satuan rad/s adalah:

600 rpm = 600 ( rad/s = 62,8 rad/s

b.v = .R = (62,8 rad/s) (0,5 m) = 31,4 m/sc.Panjang benang yang telah tergulung adalah 4 m, berarti

s = 4 mDari persamaan s = ( r, didapatkan

( = = = 8 rad

Penerapan Konsep

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut1. Sebuah kincir angin berputar dengan kecepatan sudut yang memenuhi persamaan (t) = (2 0,25t2) rad/s. a. Nyatakan persamaan posisi sudutnya.

((t) = 2t - t3b. Hitung posisi sudut tersebut pada saat t = 5 s.

-0,4 radc. Hitung percepatan linier pada saat t = 2 s.

-8 m/s2d. Berapa kecepatan sudut positif maksimum?

2 rad/s2. Sebuah roda sepeda dengan jari-jari 33 cm berotasi dengan percepatan sudut yang mempunyai persamaan (t) = (1,4 0,20t) rad/s2. Roda berada dalam keadaan diam saat t = 0.

a. Tentukan kecepatan sudut dan posisi sudut sebagai fungsi waktu.

( = 1,4t 0,1t2

( = 0,7t2 - t3b. Hitunglah kecepatan sudut dan posisi sudut pada saat t = 2 s.

3,2 rad/s; 2,5 rad/s23. Sebuah katrol yang memiliki jari-jari 5 cm mengalami perubahan kecepatan sudut dari 0,5 rpm menjadi rpm dalam waktu 2 s.

a. Tentukan percepatan sudut yang dialami katrol.

-9 10-3 rad/s2b. Berapa putaran ditempuh katrol itu dalam waktu 2 s tersebut?

2,8 10-3 putaran (sangat kecil)c. Jika katrol dipakai untuk menggulung tali, berapakah panjang tali yasng tergulung dalam selang waktu 2 s itu?

9 10-4 m4. Sebuah mobil menggunakan ban berjari-jari 30 cm. Mobil tersebut mula-mula diam, kemudian dipercepat beraturan hingga mencapai kecepatan 15 m/s dalam waktu 8 s.

a. Berapakah percepatan linier ban itu dalam selang waktu itu?

1,875 m/s2b. Berapa percepatan sudut tegak (tangensial ) ban itu dalam selang waktu itu?

750 m/s2 c. Berapa perputaran ban dalam selang waktu itu?

3,2 putaran5. Sebuah alat pemotong berputar pada kecepatan 600 rpm dan diperlambat beraturan hingga 200 rpm. Perlambatan ini terjadi dalam 30 putaran. Hitunglah percepatan sudut alat.

-9,3 rad/s26. Sebuah benda mula-mula diam. Kemudian benda ini dipercepat dalam suatu lintasan melingkar berjari-jari 1 m menurut persamaan percepatan a = (4t 4) m/s.

a. Tentukan posisi sudut sebagai fungsi waktu.

((t) = t3 2t2b. Tentukan kecepatan sudut sebagai fungsi waktu.

((t) = 2t2 4tc. Tentukan percepatan tangensial dan percepatan sentripetalnya sebagai fungsi waktu.

aT = 4t 4; v(t) = 2t2 4t ; aS = 4t4 16t3 + 16t27. Suatu titik bergerak melingkar menurut persamaan s(t) = (t3 3t2) m. Jika percepatan total saat t = 1 s adalah 6 m/s2, hitunglah jari-jari lintasan.

R = 0,5 m8. Suatu titik bergerak melingkar menurut persamaan (t) = (5t4 15t) rad. Hitunglah percepatan total setelah 1 s, jika jari-jari lingkaran 20 cm.

a = 13 m/s29. Sebuah gerinda yang memiliki jari-jari 0,5 m berputar dengan kecepatan 45 rpm. Hitunglah kelajuan linier partikel yang terletak pada:

a. tepi gerinda.

2,35 m/sb. 20 cm dari poros gerinda.

0,94 m/s10. Seorang atlit pelempar cakram melemparkan cakram dengan gerakan memutar badannya. Mulai dari keadaaan diam, pelempar mempercepat cakram hingga mencapai 20 rad/s dalam waktu 0,4 s sebelum melepasnya. Selama mengalami percepatan, cakram bergerak pada busur lingkaran dengan jari-jari 1,0 m.

a. Tentukanlah besar percepatan total tepat sebelum cakram lepas dari tangan pelempar.

403,1 m/s2b. Tentukan sudut yang dibentuk percepatan total terhadap arah radial (pusat).

7,1(y

Standar Kompetesi

Mendeskripsikan gejala alam dalam cakupan mekanika klasik sistem diskret (partikel)

Kompetensi Dasar :

Mendeskripsikan karakteristik gerak melalui analisis vektor

x

B

A

(1

(1

(2

A

EMBED Equation.3

(

r

A

_1277470111.unknown

_1277473093.unknown

_1277473715.unknown

_1277473825.unknown

_1277474239.unknown

_1277474642.unknown

_1277473925.unknown

_1277473812.unknown

_1277473511.unknown

_1277473661.unknown

_1277473555.unknown

_1277473272.unknown

_1277470980.unknown

_1277472942.unknown

_1277473076.unknown

_1277471175.unknown

_1277470520.unknown

_1277470868.unknown

_1277470300.unknown

_1261826660.unknown

_1261828118.unknown

_1261834979.unknown

_1277470081.unknown

_1262410438.unknown

_1261828790.unknown

_1261827861.unknown

_1261827888.unknown

_1261827811.unknown

_1261814027.unknown

_1261824573.unknown

_1261812077.unknown

_1261814005.unknown