bab 1 pengantar analisa numerik

8/10/2019 Bab 1 Pengantar Analisa Numerik

1/6

1

1.1. Teori Dasar

Masalah-masalah yang ditemukan dalam bidang teknik merupakan

permasalahan nyata (real) dalam kehidupan sehari-hari. Tahapan-tahapandalam menyelesaikan permasalahan engineeringtersebut adalah :

1. Modelisasi Permasalahan.

Agar masalah nyata (real) yang ada dapat diselesaikan, perlu dibuat suatu

model matematis yang merepresentasikan kondisi nyata tersebut. Biasanya

untuk permasalahan yang kompleks, digunakan asumsi-asumsi tertentuuntuk mengeliminir variabel-variabel yang kurang signifikan sehingga

permasalahan menjadi sederhana. Namun kelemahannya jika asumsi

penyederhanaan pada model matematis terlalu banyak, akan menyebabkansolusi yang dihasilkan tidak merepresentasikan permasalahan

sesungguhnya di dunia nyata. Misal pada permasalahan balok jembatan

sederhana yang terletak diatas dua tumpuan seperti terlihat pada gbr.1

berikut :

Kondisi Nyata

Modelisasi

q = berat sendiri balok (beban merata)

P = berat orang (beban terpusat)

L

BA

L

qP

A B

Gbr. 1.1. Modelisasi Masalah Nyata


2/6

2

Pengantar Analisa Numerik

2. Pembuatan formulasi (rumusan) dari model tersebut.Dengan menerapkan hukum-hukum fisika atau kimia dapat dihasilkan

persamaan-persamaan matematis dari model yang telah dibuat. Pada

contoh diatas, dengan menggunakan teori Analisa Struktur, dapatditurunkan formula lendutan disetiap titik sepanjang balok, yaitu :

EI

M

dx

yd=

2

2

3. Penyelesaian persamaan matematis.

Secara umum, terdapat 2 Metoda yang dapat digunakan dalam

menyelesaikan persamaan matematis :

a. Metoda Analitis (Metoda Eksak)

b.

Metoda Numerik (Metoda Pendekatan)Persamaan lendutan balok diatas selanjutnya dapat diselesaikan dengan

berbagai Metoda, seperti :

Metoda Double Integrasi Metoda Analitis (eksak)

Metoda Finite Difference Metoda Numerik

Kelebihan dan kekurangan utama Metoda Numerik dibandingkan dengan

Metoda Eksak :

Tabel 1. Perbandingan Metoda Numerik dengan Metoda Eksak

Metoda Numerik(pendekatan)

Metoda Analitis(eksak)

Kelebihan

Mampu menyelesaikan kasus-

kasus yang relatif rumit

dimana sangat sulit atau

bahkan tidak ada ditemukan

rumusan eksak-nya.

Solusinya dianggap

100% benar atau

terbebas dari

kesalahan.

Kelemahan

Selalu terdapat kesalahan

(error) dalam solusinya.

Hanya mampu

menyelesaikan kasus-

kasus yang relatifsederhana.

Meskipun Metoda Numerik mempunyai solusi yang tidak dapat terbebas

dari kesalahan (error) jika dibandingkan dengan penyelesaian eksak yang

dianggap benar, namun perkembangannya semakin pesat seiring dengan

berkembangnya teknologi komputer. Hal ini disebabkan karena suatu

Metoda yang memberikan hasil yang diperlukan dengan mudah tetapi

memiliki kesalahan perhitungan relatif kecil (< 10%) lebih disukai

daripada Metoda yang lebih eksak tetapi memerlukan perhitungan yang

panjang dan sangat rumit.


3/6

3


Tujuan utama improvisasi (perbaikan-perbaikan) Metoda numerik yangterus dilakukan sampai saat ini adalah untuk meminimalisasi kesalahan

solusinya dan menyederhanakan formulasinya..

4.

Verifikasi Hasil Perhitungan Numerik

Untuk mengetahui tingkat validitasnya, hasil-hasil perhitungan secara

numerik harus diverifikasi dengan hasil-hasil perhitungan secara eksak.

Untuk kasus-kasus yang sangat kompleks dimana solusi eksak (closed-

form solution) sangat sulit atau bahkan mustahil untuk diperoleh, makametode numerik yang digunakan terlebih dahulu diverifikasi dengan

kasus-kasus sederhana dimana telah tersedia solusi eksaknya.

5.

Analisa Hasil Perhitungan.Jika hasil perhitungan dengan metoda numerik telah dapat diterima

validitasnya, maka tahap selanjutnya adalah menganalisa hasil-hasil

tersebut.

6. Membuat Resume dan Kesimpulan

Resume merupakan ringkasan dari hasil-hasil perhitungan. Sedangkan

kesimpulan diambil berdasarkan analisa-analisa yang telah dilakukan.

Biasanya kesimpulan bersifat umum untuk permasalahan yang dibahas.

7. Membuat Saran-Saran

Dalam setiap proses penyelesaian suatu permasalahan akan selalu terdapatkekurangan-kekurangan yang terjadi. Untuk perbaikan kedepannya,

diperlukan saran-saran yang dapat lebih menyempurnakan penyelesaian

permasalahan tersebut.

1.2. Metoda Numerik

Metoda Numerik adalah suatu teknik penyelesaian masalah-masalah

matematis yang telah diformulasikan dengan menggunakan operasi

aritmatika.

Hal-hal yang menyebabkan Metoda numerik dipelajari dalam bidang

engineeringadalah :

Metoda numerik merupakan alat bantu penyelesaian masalah yang sangat

powerful. Metoda ini sanggup menyelesaikan permasalahan suatu sistem

persamaan simultan yang berskala besar, permasalahan nonlinieritas, dan

permasalahan geometri benda yang complicated. Permasalahan-permasalahan diatas sangat sering dijumpai dalam praktek engineering.


4/6

4


Banyak tersedia paket program komputer untuk menyelesaikan

permasalahan kerekayasaan (engineering problem) yang menggunakan

Metoda numerik. Untuk dapat menguasai paket program tersebut dengan

baik, dibutuhkan pengetahuan mengenai Metoda yang mendasarinya.

Terdapat banyak permasalahan kerekayasaan yang masih belum tersedia

paket program komputer untuk menyelesaikannya. Untuk itu diperlukan

kemampuan untuk membuat paket program sendiri dengan didasari

pengetahuan tentang Metoda numerik dan bahasa pemograman komputer.

Metoda numerik merupakan alat bantu yang efisien untuk mempelajaripenggunaan komputer. Hal ini disebabkan karena sebagian besar Metoda

numerik didisain untuk diimplementasikan pada komputer.

Metoda numerik dapat meningkatkan kemampuan matematik seseorang.

Hal ini disebabkan karena Metoda numerik menyebabkan suatu

penyelesaian yang seharusnya menggunakan operasi matematik tingkat

tinggi menjadi operasi aritmatika tingkat dasar.

1.3. Kesalahan (Error)

Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya berupa

nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian secara analitis, sehingga

solusi numerik akan selalu mengandung kesalahan.

Solusi numerik dapat diterima jika kesalahan (error) yang terjadi lebih

kecil dari toleransi yang ditetapkan.

Secara umum nilai kesalahan suatu perhitungan ditentukan dengan :

.. (1-1)

Dalam metode numerik, sering dilakukan perhitungan secara iteratif

untuk menentukan solusi dari permasalahan. Pada perhitungan tersebut, nilai

perkiraan pada suatu tahap iterasi dibuat berdasarkan perkiraan pada tahap

iterasi sebelumnya.

nilai benar- nilai salah

nilai benar100 % =


5/6

5


Penentuan kesalahan dalam suatu proses iterasi adalah dengan cara :Perbedaan antara nilai perkiraan pada tahap tersebut dengan nilai

perkiraan pada tahap sebelumnya (kesalahan relatif pendekatan).

Kesalahan Relatif Pendekatan (Apprixomate Relatif Error) diformulasikan

sebagai :

.. (1-2)

Pada kasus-kasus tertentu, terkadang nilai eksak dari persamaan matematis

yang akan diselesaikan, dapat ditemukan. Jika solusi eksak diketahui, maka

kesalahan ditentukan dengan cara menghitung selisih antara solusi eksak

dengan solusi numerik (kesalahan relatif eksak).

Kesalahan Relatif Eksak (True Relatif Error) diformulasikan dalam bentuk :

.. (1-3)

Penyelesaian secara numerik tidak dapat terlepas dari penggunaan programkomputer. Hal ini disebabkan karena faktor ketelitian, waktu, biaya, dan

sebagainya. Jenis-jenis kesalahan yang mungkin timbul saat menjalankan

program komputer antara lain :

1. Syntax Error

Kesalahan syntax timbul karena kesalahan dalam aturan-aturan bahasa

pemograman, seperti kesalahan penulisan ejaan READ menjadi REED,

kesalahan penomoran format ddan penomoran baris, dan sebagainya.

2.

Run-time ErrorKesalahan ini terjadi pada saat mengekesekusi program. Misalkan karena

kekurangan data masukan.

3.Logic Error

Kesalahan ini disebabkan karena aliran program tidak logis. Kesalahan ini

cukup berbahaya karena tidak ada pemberitahuan dari komputer.

Pemeriksaannya dapat dilakukan secara intuisi terhadap output program

apakah logis atau tidak. Pemeriksaan yang lebih baik adalah dengan

membandingkannya dengan hasil lain yang telah ada untuk kasus yangsama.

nilaiiterasi (i+1) - nilai iterasi (i)

nilai iterasi (i+1)100 %A=

nilai eksak- nilai numeriknilai eksak

100 %T=


6/6

6


Penyebab-penyebab kesalahan dapat terjadi akibat :1. Pembulatan (Round-off error)

Untuk parameter-parameter yang mempunyai nilai-nilai sangat panjang,

seperti

= 3,1415926atau e= 2,718281828 atau

7 = 2,6457513.,dan sebagainya, seringkali nilai-nilai tersebut dibulatkan ke suatu digit

tertentu tergantung pada tingkat ketelitian yang diinginkan. Kesalahan

yang timbul akibat pembulatan ini disebut dengan round-off error.

2. Pemotongan suatu deret tak hingga (truncation error).

Dalam penyelesaian permasalahan keteknikan, seringkali melibatkan

deret-deret tak hingga, seperti deret taylor berikut :

)(!

)(

)(

!2

)()()()()(

0)(0

0)2(

20

0)1(

00

xfn

xx

xfxx

xfxxxfxf

nn

+

+

++=

L

L

(1-4)

atau dalam bentuk sederhana :

=

+=

~

10

)(00 )(

!

)()()(

k

kk

xfk

xxxfxf .. (1-3)

Untuk keperluan analisis, deret tersebut harus dipotong pada suku tertentu

tergantung pada tingkat ketelitian yang diinginkan.

3. Keterbatasan memori komputerDalam pembuatan suatu program komputer untuk penyelesaian suatu

masalah riil, programmer harus menentukan tingkat ketelitian yang

mampu dihasilkan oleh program tersebut. Terdapat 2 jenis tingkat

ketelitian, yaitu single precision dan double precision. Karena

keterbatasan memori komputer, seringkali nilai-nilai suatu konstanta atauvariabel disimpan dalam digit tertentu.

bab 1 pengantar analisa numerik

Documents