bab 02 gerak sepanjang garis lurus

Rosari Saleh dan Sutarto

Gerak merupakan bagian tidak terpisahkan dari kehidupan

kita sehari-hari. Gerak muncul dan terjadi pada hampir

seluruh benda dari benda yang memiliki ukuran sangat kecil

seperti elektron yang bergerak mengelilingi inti atom hingga

benda-benda masiv yang memiliki ukuran sangat besar

seperti planet-planet dan galaksi.

Pengetahuan tentang gerak benda-benda merupakan inti

pengembangan ilmu pengetahuan yang menjadi fokus utama

dari zaman Aristoteles hingga Galileo. Teka-teki ilmiah

yang muncul pada masa awal adalah mengenai gerakan

matahari yang terlihat bergerak dari timur ke barat, juga

gerakan benda-benda langit lainnya. Jauh sebelum Sir Isaac

Newton memformulasikan konsep gerak universalnya yang

sangat terkenal, gerak telah dipelajari dalam kerangka

konsep ilmiah misalnya seperti gerak benda yang jatuh.

Mekanika adalah salah satu cabang fisika yang mempelajari

tentang kinematika dan dinamika gerak. Kita akan

mengawali pembahasan kinematika dengan mempelajari

gerak benda sepanjang garis lurus.

Bab yang akan dipelajari:

1. Posisi dan Gerak

2. Perpindahan dan Jarak

3. Kelajuan dan Kecepatan

4. Kelajuan dan Kecepatan Sesaat

5. Percepatan

6. Gerak Lurus dengan Percepatan Konstan

7. Gerak Jatuh Bebas

8. Gerak Lurus dengan Percepatan tidak

Konstan/Berubah-ubah

Tujuan Pembelajaran:

1. Menjelaskan gerak lurus dalam kecepatan

rata-rata dan sesaat

2. Menginterpretasikan grafik posisi terhadap

waktu, kecepatan terhadap waktu dan

percepatan terhadap waktu untuk gerak lurus

3. Memecahkan masalah gerak lurus dengan

percepatan konstan, termasuuk gerak jatuh

bebas

4. Menganalisa gerak lurus jika percepatan tidak

konstan

Bab 2 Gerak Sepanjang Garis lurus | 21


Seperti yang telah dikemukakan pada pendahuluan bab ini, salah satu cabang dari ilmu fisika yang mempelajari tentang gerak benda dan hal-hal yang menyebabkan benda bergerak adalah mekanika. Mekanika dibagi dalam dua sub topik yaitu kinematika dan dinamika. Kinematika adalah cabang ilmu fisika yang mempelajari tentang gerak suatu benda sedangkan dinamika merupakan ilmu yang mempelajari tentang penyebab gerak benda, disamping juga mempelajari gerak benda itu sendiri. Pada bab ini kita akan mempelajari kinematika dan membatasi pada gerak benda satu dimensi, yaitu gerakan pada lintasan yang lurus.

2 – 1 Posisi dan Gerak

Gerak adalah fenomena yang sudah sangat umum kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan peta Jawa Tengah berikut ini, daerah yang ditandai dengan huruf A adalah kota Boyolali. Sebuah kota kecil yang terletak di antara Yogyakarta, Surakarta dan Salatiga. Daerah yang ditandai dengan huruf B adalah Yogyakarta, sebuah kota budaya dan pendidikan yang sangat terkenal.

Dengan menggunakan garis bujur dan lintang, posisi kota Boyolali terletak di LU dan LS. Berdasarkan kota-kota di sekitarnya, posisi kota Boyolali terletak di sebelah utara Yogyakarta, sebelah timur kota Magelang, sebelah barat kota Surakarta dan sebelah selatan kota Salatiga. Posisi kota Boyolali dapat juga dinyatakan berdasarkan jaraknya terhadap kota di sekitarnya. Kota Boyolali tertetak kira-kira sejauh 64 km dari kota Yogyakarta.Ada berbagai cara untuk menentukan posisi kota Boyolali, demikian juga dengan kota-kota lainnya.

AB

22 | Bab 2 Gerak Sepanjang Garis lurus


Gambar 2.1 Peta Jawa Tengah dan Yogyakarta. Kota yang diberi tanda huruf A adalah kota Boyolali sedangkan kota yang ditandai dengan huruf B adalah kota Yogyakarta.

Seseorang, misalnya Helen, mula-mula berada di Boyolali, kemudian naik mobil menuju Yogyakarta. Dengan kecepatan mobil rata-rata 60 km/jam, Boyolali – Yogyakarta yang berjarak sekitar 64 km ditempuh selama hampir 1¼ jam. Pada saat Helen berada di Boyolali, orang lain yang berada di kota lain menyatakan bahwa posisi Helen adalah di Boyolali. Setelah 1 jam kemudian posisi Helen berubah yaitu yang tadinya di Boyolali, sekarang Helen berada di Yogayakarta. Ketika Helen mengendarai mobilnya, Helen bergerak dari Boyolali menuju Yogyakarta. Ketika Helen sudah tiba di Yogyakarta 1 jam kemduain, posisi Helen kini berubah. Dikatakan bahwa Helen telah melakukan perpindahan posisi.

Dari ilustrasi tersebut, kita telah memperoleh gambaran mengenai gerak secara umum. Gerak berhubungan dengan perubahan posisi. Posisi Helen berpindah dari Boyolali ke Yogyakarta. Perpindahan posisi tersebut menunjukkan adanya aktivitas gerak. Secara sederhana, gerak didefinisikan sebagai perubahan posisi suatu benda selama selang waktu tertentu. Untuk menyatakan perubahan poisi digunakan titik acuan yaitu suatu titik yang digunakan untuk mengukur posisi awal dan akhir suatu benda.

Perhatikan Gambar 2.1 jika acuan yang digunakan adalah kota Yogyakarta maka Helen, yang bergerak dari Boyolali, dikatakan bergerak relatif terhadap orang lain yang berada di kota Yogyakarta. Namun lain halnya jika titik acuan yang digunakan adalah mobil. Helen yang mengendarai mobil tersebut dikatakan tidak bergerak relatif terhadap mobil sedangkan orang yang berada di kota Yogyakarta atau orang yang berada di kota Boyolali dikatakan bergerak relatif terhadap mobil. Bagi Helen, gerak dari benda dan orang-orang yang ia amati di sekitarnya bukanlah gerak yang sesungguhnya. Gerak semacam itu disebut dengan gerak semu yaitu jenis gerak dimana benda yang telrihat seolah-olah bergerak sebenarnya tidak bergerak. Yang bergerak adalah pengamat, yang dalam hal ini adalah Helen.

Apa yang dilihat Helen pernah juga kita alami. Pohon-pohon yang terlihat bergerak ketika kita naik mobil sebenarnya tidak bergerak, yang bergerak adalah kita. Demikian halnya yang terlihat oleh pengendara mobil ketika melewati orang yang sedang berdiri. Pengendara mobil seolah-olah melihat orang berdiri di pinggir jalan bergerak ke belakang, beserta pohon-pohon di sekitarnya, lihat Gambar 2.2. Gerak bersifat relatif artinya suatu benda dikatakan bergerak bergantung dari titik acuan yang diambil.

Helen

Orang berada di pinggir jalan

Ke Yogyakarta

Gambar 2.2 Seseorang berdiri di pinggir jalan melihat Helen dan mobilnya bergerak. Helen yang berada di dalam mobil melihat seolah-olah orang tersebut bergerak ke belakang.



Mungkin Anda berpikir bahwa ketika sedang membaca buku ini sambil duduk, Anda menganggap bahwa Anda sedang diam. Relatif terhadap benda-benda di sekitar Anda mungkin saja Anda memang tidak mengalami perubahan posisi namun jika kita memperluas sistem hingga skala planet maka akan kita dapati bahwa Anda, dan juga orang-orang yang ada di bumi seluruhnya, setiap saat selalu bergerak bersama-sama bumi mengelilingi matahari dengan kecepatan yang sangat tinggi. Demikian juga jika kita perluas lagi skala pengamatan kita hingga sistem tata surya. Kita bersama-sama planet-planet lainnya, dan juga matahari, bergerak bersama-sama mengelilingi pusat galaksi bimasakti, demikian seterusnya.

2 – 2 Perpindahan dan Jarak

Telah dibahas pada sub bab sebelumnya bahwa setiap benda dikatakan bergerak jika selama selang waktu tertentu, posisi benda tersebut berubah relatif terhadap suatu titik acuan. Perubahan posisi benda merupakan besaran yang dapat kita ukur. Perubahan posisi benda tersebut dinyatakan dalam bentuk perpindahan dan jarak. Perpindahan dan jarak merupakan dua besaran yang berbeda. Setiap benda yang bergerak selalu melalui suatu lintasan tertentu, bergerak dari titik awal dan berakhir pada titik akhir. Perpindahan benda diukur berdasarkan posisi pada titik awal dan titik akhir, tidak memperhatikan pada bentuk lintasan yang dilalui benda. Oleh karena perpindahan menyatakan besarnya perubahan posisi benda pada arah tertentu maka perpindahan merupakan jenis besaran vektor.

Lain halnya dengan jarak, jarak yang ditempuh benda merupakan panjang total dari seluruh lintasan yang dilalui selama benda tersebut bergerak, yang diukur dari posisi awal hingga posisi akhir. Jika untuk menyatakan perpindahan kita harus menyebutkan besar dan arahnya, maka untuk menyatakan jarak tempuh total suatu benda kita cukup menyebutkan besarnya saja karena memang jarak merupakan suatu besaran skalar.Perbedaan antara perpindahan dan jarak dapat dilihat pada Gambar 2.3.

Pada Gambar 2.3 terlihat bahwa mobil berangkat dari titik A menuju titik B kemudian titik C dan berhenti di titik D. Diketahui jarak AB = 10 km, BC = 6 km, dan CD = 10 km. Titik A dimana mobil mulai bergerak disebut titik awal, sedangkan titik D dimana mobil berhenti disebut titik akhir. Perpindahan mobil diukur dari titik akhir dan titik awal posisi mobil sehingga untuk mengukur besarnya perpindahan maka kita harus mengukur jarak dari titik D ke titik A. Jarak tempuh mobil adalah panjang lintasan total yang dilalui dari titik A hingga titik D sehingga jarak tempuh total merupakan penjumlahan dari jarak AB, BC, dan CD.

A B

Gambar 2.3 Perbedaan antara perpindahan dan jarak.

C D

Gambar 2.4 Para pembalap saling berkejaran untuk mendahului agar menjadi yang paling depan. Pada lintasan yang lurus, para pembalap akan lebih mudah untuk mengatur kecepatan gerak motornya.



Secara umum, untuk memahami gerak suatu benda maka kita harus menganalisa dalam besaran-besaran yang dapat diukur secara langsung dari gerak tersebut. Ketika benda bergerak maka setidaknya ada dua besaran yang dapat diukur secara langsung yaitu jarak dan waktu. Kita dapat menggunakan meteran atau penggaris untuk mengukur jarak sedangkan untuk mengukur waktu kita dapat menggunakan jam atau stopwatch. Perhatikan Gambar 2.4 yang menunjukkan sebuah arena balap sepeda motor.

Dalam balapan sepeda motor, jalur balapan dibuat berliku-liku dengan tikungan yang kadang-kadang sangat tajam. Namun demikian, terdapat juga jalur balapan yang lurus, seperti tampak pada Gambar 2.4. Misalnya kita anggap motor-motor tersebut baru mulai akan bergerak. Anggaplah kita memiliki sebuah alat ukur yang dapat kita pasang sepanjang lintasan lurus tersebut. Alat tersebut dapat digunakan untuk mencatat waktu tempuh setiap kali motor bergerak sejauh 5 meter. Berdasarkan data tersebut kita dapat mengetahui posisi setiap motor pada waktu tertentu. Dengan kata lain, posisi dan waktu saling memiliki kebergantungan satu sama lain. Gerak dari para pembalap tersebut, yaitu perubahan posisinya, dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi yang menggambarkan perubahan posisi terhadap waktu. Karena gerak tersebut adalah gerak satu dimensi maka perubahan posisi sama dengan jarak tempuh. Jika data-data tersebut diplot dalam sebuah grafik maka akan kita peroleh grafik fungsi jarak terhadap waktu seperti terlihat pada Gambar 2.5 berikut ini:

Gambar 2.5 Grafik jarak (x) terhadap waktu (t) dari seorang pembalap yang menempuh jarak 300 m selama selang waktu 3,5 s.

Dari grafik pada Gambar 2.5 dapat kita perkirakan bagaimana gerak pembalap beserta motornya. Pada saat t = 0, terlihat bahwa jarak yang ditempuh oleh pembalap adalah nol, itu artinya motor mula-mula berada dalam keadaan diam. Hingga t = 1 sekon, kurva pada grafik



jarak–waktu menunjukkan pola garis yang tidak linier dan cenderung kuadratik sedangkan pada saat t > 1 sekon, kurva grafik jarak–waktu menunjukkan kecenderungan garis yang linier.

Grafik pada Gambar 2.5 merupakan grafik fungsi jarak terhadap waktu. Jika jarak kita notasikan dengan x dan waktu dengan t maka grafik tersebut dapat kita tuliskan sebagai grafik fungsi jarak terhadap waktu atau grafik x (t) saja. Pada Gambar 2.4, terlihat bahwa para pembalap menempuh lintasan yang lurus. Dengan mengambil segmen dari sistem gerak pada bagian ini maka kita bisa mengasumsikan bahwa para pembalap tersebut melakukan gerak satu dimensi. Pada gerak satu dimensi, besarnya perpindahan yang dilakukan oleh benda yang bergerak adalah sama dengan jarak yang ditempuhnya.

Kembali pada Gambar 2.4, jika pada t1 posisi pembalap adalah x1 dan pada saat t2 posisi pembalap adalah x2 maka perpindahan pembalap tersebut dapat dituliskan sebagai selisih posisi akhir dan posisi awal atau dalam notasi matematik dapat dituliskan sebagai berikut:

12 xxx −≡∆ (2–1)

Sedangkan selisih waktu yang digunakan untuk menempuh jarak

sejauh x∆ adalah ∆t yaitu selisih waktu antara t2 dan t1 atau dalam notasi yang lebih ringkas kita tuliskan sebagai berikut:

12 ttt −=∆ (2–2) Mari kita perhatikan sejenak persamaan (2–1) dan (2–2). Seperti yang telah dijelaskan pada Bab 1, besaran vektor dapat memiliki dua nilai yaitu positif atau negatif bergantung pada titik acuan yang diambil yang digunakan untuk melakukan pengukuran. Hal itu berarti selisih

antara 1x dan 2x dapat bernilai positif atau negatif. Jika arah lintasan balapan diasumsikan positif untuk jalur start ke finish maka perpindahan pada arah tersebut akan bernilai positif. Dikatakan bahwa pembalap yang menempuh arah tersebut bergerak pada arah x (+). Sebaliknya, jika pembalap menempuh arah yang berlawanan dengan arah tersebut maka pembalap itu dikatakan bergerak pada arah x (–) dan perpindahan yang ia lakukan juga bernilai negatif. Lain halnya dengan waktu, selisih waktu ∆t selalu bernilai positif.

2 – 3 Kelajuan dan kecepatan

Kelajuan dan kecepatan sebenarnya menggambarkan keadaan yang sama yaitu besaran yang menyatakan seberapa cepat suatu benda bergerak. Kita tentu sudah akrab dengan dua istilah tersebut dan sudah barang tentu kita juga sering menggunakannya dalam percakapan



sehari-hari. Ketika kita naik kendaraan, kita bisa merasakan seberapa cepat kendaraan tersebut bergerak. Juga ketika kendaraan tersebut tiba-tiba melambat, kita bisa merasakan perubahan gerak kendaraan tersebut dengan menandai makin lambat gerakannya. Dalam kehidupan sehari-hari, praktis kita menggunakan istilah “cepat “ dan “lambat” untuk menandai gerak suatu benda.

Dalam penggunaannya, istilah kelajuan dan kecepatan sering kali dianggap sebagai dua istilah yang memiliki makna yang sama. Biasanya kita lebih akrab dengan istilah kecepatan dibanding kelajuan untuk menyatakan seberapa cepat benda bergerak. Dalam bidang ilmu fisika, penggunaan kedua istilah tersebut memiliki aturan tersendiri karena memang kelajuan dan kecepatan merujuk pada dua besaran yang berbeda. Kelajuan merupakan besaran skalar yang hanya memiliki besar saja, tidak mempunyai arah. Secara kualitatif, kelajuan didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh benda tiap satu satuan waktu. Karena kelajuan merupakan besaran skalar maka kelajuan selalu bernilai positif.

Gerak suatu benda tidaklah selalu teratur. Kadang benda bergerak dengan sangat cepat, kadang lambat. Perhatikanlah gerak sebuah mobil di jalan yang lurus. Pada saat kondisi jalan sepi mobil bergerak dengan kecepatan tinggi. Mobil akan diperlambat ketika melewati jalur yang terdapat banyak kendaraan lain di sekitarnya. Ketika mobil sampai pada sebuah perempatan dimana lampu lalu lintas menunjukkan warna merah maka mobil tersebut direm untuk kemudian berhenti. Walaupun bergerak dalam lintasan yang lurus, mobil tersebut bergerak dengan kecepatan yang berbeda-beda. Untuk menggambarkan gerak mobil tersebut tentu saja kita harus mengetahui kapan mobil bergerak dengan kecepatan tinggi, berapa jarak yang ditempuh pada saat bergerak dengan kecepatan tinggi tersebut. Kita juga harus mengetahui kapan dan sebarapa jauh jarak yang ditempuh mobil bergerak lambat dan seterusnya. Ringkasnya, jika kita ingin menggambarkan gerak mobil tersebut secara mendetail maka kita harus mengetahui informasi-informasi yang terkait dengan jarak tempuh dan waktu yang digunakan mobil untuk bergerak pada setiap kondisi kecepatan tertentu.

Hal ini tentu saja menjadi rumit walaupun secara prinsip kita akan memperoleh gambaran gerak yang sangat detail. Misalnya mobil menemuh lintasan lurus AF dimana pada lintasan AB mobil bergerak selama tAB, pada lintasan BC mobil bergerak selama tBC, pada lintasan CD mobil bergerak selama tCD, pada lintasan DE mobil bergerak selama tDE sedangkan pada lintasan EF mobil bergerak selama tEF dimana tAB ≠ tBC ≠ tCD ≠ tDE ≠ tEF.

Sebagai simplifikasi, untuk menggambarkan gerak mobil dengan kelajuan yang tidak selalu konstan tersebut maka didefinisikan kelajuan rata-rata yaitu total jarak yang ditempuh oleh benda selama



selang waktu tertentu. Secara kualitatif, kelajuan rata-rata dapat dipahami sebagai suatu nilai kecepatan konstan yang digunakan untuk menempuh suatu lintasan dalam waktu yang sama. Perhatikan ilustrasi mobil yang bergerak pada lintasan AF tadi. Mobil tersebut begerak dengan kecepatan yang berbeda-beda selama bergerak pada lintasan AF. Untuk menempuh lintasan AF mobil dapat juga begerak dengan kecepatan konstan dimana kecepatan tersebut harus menghasilkan waktu tempuh yang sama dengan pola gerak sebelumnya. Nilai kecepatan inilah yang disebut dengan kecepatan atau kelajuan rata-rata. Secara matematis, kelajuan rata-rata dirumuskan dengan:

dibutuhkanyangwaktuditempuhyangjaraktotal

=−ratarataKelajuan (2–3)

Merujuk pada ilustrasi di atas, jika kelajuan kita nyatakan dengan notasi v, panjang lintasan (total jarak) kita notasikan dengan Σr dan total waktu tempuh kita simbolkan dengan Σt maka dalam ungkapan matematik, kelajuan rata-rata mobil tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

EFDECDBCAB tttttEFDECDBCAB

trv

++++++++

==∑∑

Secara umum, jika suatu benda bergerak menempuh lintasan yang berbeda-beda dalam selang waktu yang berbeda pula maka kelajuan rata-rata benda tersebut dapat dinyatakan sebagai:

∑

∑=

i

i

t

rv (2–4)

Yang mana indeks i = 1, 2, 3 … yang menyatakan lintasan ke–1, selama t1, lintasan ke–2 selama t2 dan seterusnya. Kelajuan diukur dalam satuan meter per sekon (m/s). Satuan lain yang juga sering digunakan adalah kilometer per jam (km/jam) dan mile per jam (mil/jam). Kelajuan kapal yang berlayar di laut atau kapal selam kadang dinyatakan dalam satuan knot dimana 1 knot setara dengan 1,852 km/jam. Pesawat jet supersonic yang bergerak melebihi kecepatan suara memiliki satuan kelajuan lain yaitu Mach. 1 Mach setara dengan 331,56 m/s pada suhu 00C.

Kecepatan berbeda dengan kelajuan. Kecepatan menyatakan seberapa cepat posisi benda berubah. Seperti halnya kelajuan, kecepatan juga diukur dengan mengacu pada interval waktu tertentu. Jika selama selang waktu ∆t posisi suatu benda berubah sebesar ∆x maka, untuk kasus gerak satu dimensi, kecepatan rata-rata benda tersebut adalah:



tx

ttxx

waktuselangnperpindahav

∆∆

=

−−

=

=

12

12

Dalam gerak satu dimensi, persamaan (2–5) yang menyatakan kecepatan rata-rata suatu benda dapat bernilai positif atau negatif. Mengapa demikian? Karena kecepatan bergantung pada perpindahan sedangkan perpindahan itu sendiri merupakan besaran vektor yang berarti dapat memiliki nilai positif atau negatif. Jika v bernilai

positif maka dikatakan bahwa benda bergerak pada arah x (+) sedangkan jika v bernilai negatif maka dikatakan bahwa benda

bergerak pada arah x (–). Seperti halnya kelajuan, kecepatan diukur dalam satuan meter per sekon (m/s). Pada bab ini dan bab-bab selanjutnya, untuk menuliskan besarnya kecepatan benda digunakan simbol v sedangkan untuk menyatakan kecepatan benda digunakan notasi v , seperti aturan baku yang telah dijelaskan pada Bab 1.

Perbedaan utama antara kecepatan dan kelajuan adalah kecepatan dipengaruhi oleh posisi akhir benda sedangkan kelajuan tidak dipengaruhi oleh kedudukan akhir melainkan total jarak yang ditempuh benda selama bergerak. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa nilai dari kecepatan selalu lebih kecil atau sama dengan kelajuan. Nilai kecepatan suatu benda akan sama dengan nilai kelajuannya jika perpindahan sama dengan total jarak yang ditempuh. Hal ini dapat terjadi jika benda bergerak pada lintasan yang lurus.

2 – 4 Kelajuan dan kecepatan sesaat

Untuk menggambarkan gerak benda secara mendetail maka kita harus memiliki data-data yang detail pula. Gambaran mendetail ini tercermin pada bagaimana mekanisme gerak yang dialami oleh benda tersebut. Mekanisme gerak ini menyangkut besaran-besaran baik yang dapat diukur secara langsung maupun yang tidak dapat diukur secara langsung. Besaran yang dapat diukur secara langsung misalnya perpindahan dan waktu sedangkan variabel lainnya yang tidak dapat diukur secara langsung misalnya kelajuan dan kecepatan. Besaran-besaran tersebut secara tidak langsung menggambarkan bagaimana mekanisme gerak yang dialami benda yang terepresentasi dalam sebuah persamaan gerak. Dengan mengetahui persamaan gerak suatu benda maka kita akan lebih mudah untuk menganalisa pergerakan benda setiap saat.

(2–5)



Kelajuan dan kecepatan rata-rata menyatakan seberapa cepat benda berpindah dari satu posisi ke posisi lainnya. Walaupun dua besaran ini penting namun belum cukup untuk digunakan sebagai untuk menjelaskan gerak benda secara mendetail. Yang dimaksud mendetail adalah kita bisa mengetahui posisi, kecepatan, kelajuan, jarak dan besaran terkait lainnya pada sembarang waktu. Untuk dapat melakukan hal tersebut maka kita harus memformulasikan suatu persamaan yang menggambarkan gerak benda setiap saat dimana persamaan tersebut menghubungkan besaran-besaran seperti posisi, waktu, kecepatan dan besaran lainnya.

Kita mulai dengan mendefinisikan kelajuan dan kecepatan sesaat. Kelajuan sesaat merupakan kelajuan benda pada saat t tertentu. Demikian juga dengan kecepatan sesaat, kecepatan sesaat merupakan kecepatan benda pada saat t tertentu.

Tampaknya agak mustahil mendefinisikan kelajuan dan kecepatan pada saat t tertentu. Berdasarkan konsep dasar yang telah dipelajari di muka tentu saja tidak mungkin mengetahui kelajuan dan kecepatan benda pada satu waktu tertentu. Terdapat sebuah paradoks konseptual yang akan kita diskusikan sejenak sebelum kita beranjak pada pembahasan berikutnya.

Paradoks!

Perhatikan sebuah benda yang bergerak dengan kecepatan v menempuh lintasan sepanjang L. Pada waktu tertentu, misalnya tA = 1 s, benda berada pada posisi tertentu pula, katakanlah xA = 10 m. Bagaimana kita mendefinisikan atau mengetahui kecpeatan benda tersebut pada saat tA di posisi xA? Apakah dengan sekedar membagi xA dengan tA? Secara matematis, kita tentu saja akan memperoleh suatu nilai kecepatan tertentu yaitu vA = xA/tA = 10 m/s namun secara konseptual nilai tersebut tidak memberikan makna apapun. Mengapa demikian?

Sederhana saja, pada satu waktu tertentu, benda berada pada posisi tertentu pula. Dengan demikian pada saat itu benda tidak bergerak (benda diam) yang implikasinya adalah benda tidak mungkin memiliki kelajuan atau kecepatan.

Paradoks ini memberikan gambaran pada kita bahwa untuk mengetahui kecepatan suatu benda maka kita harus melakukan pengamatan pada (minimal) dua waktu yang berbeda. Dengan mengacu pada konsep dasar ini, selanjutnya kita dapat mengaplikasikan konsep matematika untuk menentukan kecepatan benda pada suatu saat tertentu. Kecepatan benda pada keadaan seperti inilah yang disebut sebagai kecepatan sesaat. Demikian juga dengan kelajuan.

∆x

L

∆t

Gambar 2.6 Mobil bergerak pada lintasan L menempuh jarak ∆x yang sangat pendek selama selang waktu ∆t yang sangat singkat.



Perhatikan Gambar 2.6, sebuah mobil bergerak pada lintasan L. Pada suatu ketika mobil menempuh lintasan sejauh ∆x selama selang waktu ∆t. Perhatikan dengan seksama bahwa jika ∆t sangat singkat maka jarak yang ditempuh mobil, yaitu ∆x, menjadi sangat pendek. ∆x menyatakan perpindahan mobil yang dapat dituliskan sebagai ∆x = x (t + ∆t) – x (t). Kecepatan rata-rata mobil pada selang waktu tersebut dinyatakan sebagai:

txv ratarata ∆

∆=−

Semakin kecil ∆t maka semakin kecil pula ∆x. Namun demikian, perbandingan antara ∆x dan ∆t adalah selalu sama. Jika kita ambil ∆t yang sangat kecil hingga mendekati nol maka kita dapat mengasumsikan bahwa waktu ∆t tersebut merujuk ke satu waktu tertentu. Nilai batas ∆t mendekati nol disebut sebagai limit ∆t mendekati nol dan dituliskan sebagai:

lim ∆t 0

Mengacu pada pendekatan tersebut maka kecepatan rata-rata mobil dapat dinyatakan sebagai:

( ) ( )tx

ttxttxv

tt ∆∆

=∆

−∆+=

→→limlim

0∆0∆ (2–6)

Perlu diketahui bahwa perubahan ∆x sangat bergantung pada perubahan ∆t. Jika gerak mobil pada Gambar 2.6 kita gambarkan dalam sebuah grafik maka secara umum grafik jarak sebagai fungsi waktu. Terlihat seperti Gambar 2.7.

Perhatikan garis AC dan AB, semakin kecil nilai ∆x dan ∆t maka rasio ∆x/∆t mendekati gradien dari garis yang dibentuk oleh x dan t. Jika rasio ∆x/∆t sangat kecil maka rasio tersebut akan sama dengan gradien garis lengkung AB pada titik tertentu. Kemiringan garis ∆x/∆t inilah yang didefinisikan sebagai kecepatan sesaat. Persamaan (2–6) dapat kita nyatakan kembali dalam bentuk persamaan:

dtdx

txv

t=

∆∆

=→

lim0∆

(2–7)

Notasi dtdx berarti turunan dari fungsi jarak (x) terhadap waktu (t).

dtdx

menunjukkan gradien persamaan garis x sebagai fungsi t dimana dalam konteks gerak dapat diinterpretasikan sebagai rasio perubahan jarak terhadap waktu. Rasio tersebut menunjukkan kecepatan gerak suatu benda.

Gambar 2.7 Grafik jarak sebagai fungsi waktu pada sebuah mobil yang bergerak dengan kecepatan sembarang.

x (t)

x0

t



2 – 5 Percepatan

Jika kecepatan sesaat sebuah benda berubah seiring dengan berubahnya waktu maka dikatakan bahwa benda mengalami percepatan dan sistem geraknya disebut sebagai gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Percepatan menyatakan perubahan kecepatan benda selama selang waktu tertentu sehingga:

tva∆∆

= (2–8)

Persamaan (2–8) menyatakan percepatan untuk selang waktu tertentu ∆t = t2 – t1 untuk perubahan kecepatan ∆v = v2 – v1. Percepatan rata-rata dinyatakan dengan persamaan berikut:

tva ratarata ∆

∆=− (2–9)

Seperti halnya kecepatan, benda juga dapat mengalami percepatan sesaat. Dengan analogi yang sama, percepatan benda dapat dituliskan sebagai:

dtdv

tva

t=

∆∆

=→

lim0∆

(2–10)

Karena dtdx

dtdv

= maka persamaan (2–10) dapat dituliskan kembali

dalam bentuk:

2

2

0∆lim

dtxd

dtdtdxd

a

dtdv

tva

t

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=∆∆

=→

(2–11)

Jadi percepatan gerak suatu benda dapat ditentukan dengan persamaan

2

2

dtxda = dan

dtdva = .

2 – 6 Gerak lurus dengan percepatan konstan

Benda yang bergerak dengan percepatan konstan memiliki kecepatan yang berubah–ubah setiap saat. Percepatan merupakan besaran vektor sehingga percepatan dapat memiliki dua tanda yaitu positif atau negatif. Percepatan positif menyebabkan gerak benda semakin lama semakin cepat dan biasa disebut percepatan saja sedangkan



percepatan negatif menyebabkan gerak benda semakin lama semakin lambat dan biasa disebut sebagai perlambatan.

Bagaimana menentukan persamaan gerak untuk benda yang bergerak dengan percepatan konstan? Percepatan konstan berarti kecepatan benda v berubah secara linier terhadap waktu t. Jika kecepatan mula–mula benda v0 dan percepatan benda adalah a maka kecepatan benda pada saat t tertentu dapat dituliskan sebagai berikut:

v = v0 + at (2–12)

Jika posisi benda pada saat t0 = 0 adalah x0 dan posisi benda pada saat t tertentu adalah di x maka perpindahan benda pada saat t (∆x = x – x0) adalah:

∆x = vrata – rata t (2–13)

vrata–rata kecepatan rata-rata dari benda yaitu ½ (v0 + v) dengan v menyatakan kecepatan akhir benda sehingga persamaan (2–13) dapat dituliskan kembali menjadi:

∆x = ½ (v0 + v) t (2–14)

karena v = v0 + at maka:

∆x = ½ (v0 + (v0 + at)) t

∆x = v0t + ½at2

x – x0 = v0t + ½at2

x = x0 + v0t + ½at2 (2–15)

Persamaan (2–15) adalah persamaan gerak benda dengan percepatan konstan. Terlihat bahwa pada persamaan (2–15) jarak yang ditempuh benda, yaitu x, bergantung pada variabel x0, v0, t dan a. Kecuali t, nilai dari setiap variabel tersebut diketahui. Oleh karena itu, persamaan (2–15) menyatakan jarak sebagai fungsi waktu. Kita dapat menyatakan jarak sebagai fungsi variabel lain misalnya kecepatan. Kecepatan benda selalu berubah setiap saat karena benda mengalami percepatan. Dengan mengganti variabel t pada persamaan (2–15) dengan t pada

persamaan (2–12), t = avv 0−

, maka diperoleh:

∆x = v0 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −avv 0 + ½a

20 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −avv



( ) ( )

)162(2

)162(2

21

21

221

20

2

20

2

200

2200

20

2200

bxavv

aavv

x

a

vvvvvvvx

a

vvvvvvvx

−∆+=

−−

=∆

+−+−=∆

+−+−=∆

Persamaan (2–16a) dan (2–16b) adalah bentuk lain dari persamaan (2–15) yang menyatakan kebergantungan jarak terhadap variabel kecepatan. Pada gerak dengan percepatan konstan, kecepatan berubah secara linier setiap selang waktu tertentu. Dari persamaan (2–12). Kita dapat membuat sebuah grafik hubungan antara kecepatan dan waktu:

v = v0 + at

Kita dapat melihat persamaan (2–12) sebagai sebuah persamaan garis lurus yang memiliki gradien sebesar a. Variabel-variabel yang berubah dalam persamaan ”garis” tersebut adalah v dan t sedangkan v0 adalah konstanta, lihat Gambar 2.8.

Masih pada gerak dengan percepatan konstan, hubungan jarak dengan waktu adalah seperti yang terlihat pada persamaan (2–15) dimana jarak tidak berubah secara linier melainkan kuadratik. Karakteristik kuadratik ini memberikan gambaran kepada kita bahwa perubahan jarak yang ditempuh oleh benda semakin lama semakin besar artinya total jarak yang ditempuh selama t sekon pertama dengan t sekon berikutnya tidaklah sama. Perubahan jarak tempuh pada t sekon kedua lebih besar. Representasi grafik dari gerak dipercepat yang menggambarkan kebergantungan antara jarak dan waktu dapat dilihat pada Gambar 2.9.

Garis penuh menunjukkan persamaan gerak posisi terhadap waktu sedangkan garis titik-titik menunjukkan gradien garis pada saat t. Gradien persamaan x = x0 + v0t + ½at2 tidak lain adalah fungsi kecepatan terhadap waktu v = v0 + at. Jika kita mengetahui persamaan gerak suatu benda maka kita bisa menggambarkan grafik gerak benda tersebut. Demikian juga sebaliknya, jika grafik suatu gerak dapat diketahui maka persamaan gerak benda tersebut dapat ditentukan. Kadang lebih mudah untuk mendeskripsikan gerak benda melalui grafik namun dalam beberapa hal deskripsi secara analitik lebih disukai. Kedua metode tersebut saling melengkapi penjelasan satu sama lain.

x = x0 + v0t + ½at2

dx/dt = v0 + at

Gambar 2.9 Grafik x – t pada gerak dengan percepatan

x (t)

x0

t

v = v0 + at v (t)

Gambar 2.8 Grafik v – t pada gerak dengan percepatan

v0

t



2 – 7 Gerak jatuh bebas (GJB)

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai gerak jatuh misalnya buah kelapa yang jatuh dari pohonnya, buku yang jatuh dari meja, termasuk juga air hujan yang jatuh di permukaan bumi. Setiap benda selalu ”jatuh ke bawah”. Tidak ada benda yang jatuh ”ke atas”. Setiap benda yang ada di permukaan bumi dipengaruhi oleh percepatan gravitasi yang arahnya menuju ke pusat bumi. Percepatan gravitasi inilah yang menyebabkan benda yang jatuh selalu berarah ke bawah. Percepatan gravitasi bumi disimbolkan dengan huruf g dan memiliki nilai rata-rata 9,8 m/s2.

Dengan mengabaikan gesekan udara, setiap benda yang dilepaskan dari ketinggian tertentu dari permukaan bumi akan bergerak ke bawah dengan percepatan konstan yaitu sebesar g = 9,8 m/s2. Gerakan benda semacam ini disebut dengan gerak jatuh bebas dan merupakan salah satu contoh dari gerak satu dimensi. Galileo, ilmuwan yang amat tersohor dalam bidang fisika, adalah orang pertama yang melakukan investigasi terhadap gerak jatuh ini. Beberapa abad sebelumnya, pengkajian terhadap gerak jatuh benda-benda juga telah dilakukan. Seorang ilmuwan sekaligus filsuf yang juga sangat terkenal hingga sekarang, Aristoteles, mengemukakan sebuah hipotesis bahwa gerak jatuh benda-benda dipengaruhi oleh massa benda itu sendiri; sedangkan kecepatan benda dipengaruhi langsung oleh jarak yang ditempuhnya. Semakin jauh jarak yang ditempuh benda maka semakin besar kecepatannya.

Namun oleh Galileo, asumsi Aristoteles ini ternyata tidak seluruhnya sesuai dengan kenyataan. Bahwa gerak benda jatuh dipengaruhi oleh massa benda ternyata adalah asumsi yang terbukti keliru. Dalam eksperimennya, Galileo menemukan bahwa jarak yang ditempuh oleh benda yang dijatuhkan dari keadaan diam sebanding dengan kuadrat waktu yang digunakan untuk menempuh jarak tersebut. Demikian juga dengan kecepatan benda, Galileo menemukan bahwa kecepatan benda yang jatuh sebanding dengan akar kuadrat dari jarak dimana benda tersebut dijatuhkan. Seperti yang telah kita pelajari pada sub bab sebelumnya tentang gerak lurus dengan percepatan konstan, temuan Galileo ini secara implisit menunjukkan bahwa gerak jatuh yang ia amati merupakan gerak jatuh dengan percepatan konstan.

Secara kualitatif, asumsi Aristoteles yang menyatakan bahwa kecepatan benda dipengaruhi oleh jarak adalah benar namun pernyataan tersebut tidak lengkap karena Aristoteles tidak menyebutkan bagaimana bentuk kesaling-bergantungan yang terjadi antara keduanya.

Untuk mempelajari gerak jatuh bebas maka sebelumnya kita akan mendefinisikan variabel-variabel yang terlibat di dalamnya. Gerak jatuh merupakan gerak yang terjadi pada arah vertikal atau dalam



sistem koordinat dua dimensi, arah vertikal diidentikkan dengan arah sumbu y. Jika arah ke bawah, yaitu arah percepatan gravitasi g, diasumsikan sebagai arah positif maka percepatan g bernilai positif. Dengan demikian, arah koordinat ke bawah pada sumbu y juga bernilai positif. Kita juga bisa memilih untuk membuat asumsi arah ke bawah negatif, seperti konvensi standar tanda positif dan negatif pada umumnya. Karena pembahasan pada sub bab ini masih terkait dengan bab berikutnya, terutama gerak dua dimensi, maka agar lebih mudah kita akan menggunakan konvensi arah ke bawah memiliki tanda negatif. Oleh karena itu, percepatan gravitasi g bertanda negatif atau g = –9,8 m/s2.

Percepatan, seperti yang telah kita pelajari pada sub bab sebelumnya, merupakan laju perubahan kecepatan tiap satu satuan waktu. Untuk gerak yang dipengaruhi oleh percepatan konstan maka pertambahan kecepatan juga bersifat konstan. dengan mengadopsi persamaan gerak satu dimensi yang mengalami percepatan konstan maka kita peroleh persamaan berikut ini:

v = v0 + at

dengan mengganti percepatan a dengan –g kita peroleh persamaan baru berikut ini:

v = v0 – gt (2–17)

kecepatan rata-rata yang dimiliki benda jatuh bebas kita definisikan sebagai berikut:

vrata-rata = ½ (v0 + v) (2–18)

dengan mensubstitusikan persamaan (2–17) ke persamaan (2–18) diperoleh:

vrata-rata = ½ (2v0 – gt)

vrata-rata = v0 – ½gt (2–19)

Jarak yang ditempuh oleh benda merupakan perkalian antara kecepatan rata-rata dengan waktu tempuhnya. Karena benda yang bergerak jatuh memiliki perpindahan pada arah vertikal maka perpindahan atau jarak yang ditempuh kita notasikan dengan huruf ∆y atau secara matematik dituliskan dalam bentuk:

∆y = vrata-rata t (2–20)

Substitusikan persamaan (2–19) ke persamaan (2–20) kita peroleh:

∆y = v0t – ½gt2

y – y0 = v0t – ½gt2



y = y0 + v0t – ½gt2 (2–21)

Persamaan (2–21) merupakan persamaan gerak umum untuk gerak jatuh. Jika benda dijatuhkan dari keadaan diam (tanpa kecepatan awal) maka v0 pada persamaan (2–21) bernilai nol. Gerak semacam ini disebut dengan gerak jatuh bebas. Dengan mengambil titik awal, y0, bernilai nol maka persamaan gerak jatuh bebas benda adalah:

y = – ½gt2 (2–22)

Perlu diingat bahwa tanda (–) baik pada g maupun y hanya menunjukkan arah saja. Jadi, kadang, dalam penerapannya y dituliskan nilai mutlaknya saja (bernilai positif).

Dengan mengkombinasikan persamaan (2–17) dan (2–21) kita dapat membuat persamaan baru untuk gerak jatuh yaitu:

v2 = v02 – 2g (y – y0) (2–23)

Catatan:

Selama kita menganalisis gerak jatuh pada sub bab ini, kita mengasumsikan bahwa percepatan gravitasi adalah konstan. pada kenyataannya asumsi tersebut hanya berlaku di tempat-tempat yang dekat dengan permukaan bumi. Percepatan gravitasi bervariasi untuk ketinggian tempat yang berbeda-beda artinya nilainya tidak konstan. Percepatan gravitasi bumi yang paling besar adalah yang dekat dengan permukaan bumi. Semakin jauh dari permukaan bumi, maka semakin kecil percepatan gravitasinya. Jadi, persamaan yang telah kita turunkan tadi hanya berlaku untuk wilayah-wilayah yang dekat dengan permukaan bumi.

Bagaimana jika benda tidak dijatuhkan, melainkan dilempar ke atas?

Benda yang dilempar ke atas hanya memiliki arah gerak yang berkebalikan dengan gerak benda yang dijatuhkan ke bawah. Percepatan gravitasi bumi selalu bekerja pada arah vertikal ke bawah. Jika pada gerak ke bawah percepatan gravitasi mempercepatan gerak benda maka ketika benda bergerak ke atas, percepatan gravitasi akan memperlambat gerak benda. Perhatikan Gambar 2.10.

Ketika bola dilempar ke atas dengan kecepatan v tertentu maka pada suatu saat bola tersebut akan mencapai titik tertinggi, lalu berhenti sesaat dan kemudian jatuh ke bawah. Persamaan gerak bola pada arah vertikal ke bawah tidak berbeda dengan persamaan gerak bola pada arah vertikal ke atas. Kecepatan bola setiap saat dituliskan sebagai: vt = v0 – gt

Titik tertinggi Gerak vertikal turun

Gerak vertikal naik

Gambar 2.10 Gerak sebuah bola yang dilempar ke atas. Bola bergerak ke atas dan setelah mencapai titik tertinggi, bola bergerak ke bawah.



Pada saat bola mencapai titik tertinggi kecepatan bola adalah nol atau vt = 0 sehingga: 0 = v0 – gt t = v0/g t pada saat v = 0 adalah t maksimum, selanjutnya t dituliskan sebagai tmaks. Jarak yang ditempuh oleh bola sebagai fungsi waktu dapat ditentukan dengan persamaan berikut: y = y0 + v0t – ½gt2

Lantas, apa yang membedakan antara gerak vertikal ke atas dan ke bawah selain arah geraknya? Pada gerak vertikal ke bawah kita dapatkan bahwa baik perpindahan maupun kecepatan benda kedua-duanya memiliki tanda negatif. Sedangkan pada gerak arah vertikal ke atas, baik perpindahan maupun kecepatannya memiliki tanda positif. Pada gerak ke bawah percepatan gravitasi mempercepat gerak bola sedangkan pada saat benda bergerak ke atas, percepatan gravitasi berperan memperlambat gerak bola.

2 – 8 Gerak dengan percepatan yang tidak konstan/berubah–ubah

Dalam kenyataannya, benda yang bergerak dapat mengalami berbagai variasi percepatan yang berubah-ubah dalam selang waktu tertentu. Gerak semacam ini disebut gerak dengan percepatan yang tidak konstan dan bukan hanya kecepatan yang bergantung waktu tetapi juga percepatannya.

Kita telah belajar bagaimana menentukan fungsi kecepatan dan percepatan jika fungsi jarak diketahui. Sekarang kita akan belajar bagaimana menentukan fungsi jarak jika fungsi kecepatan diketahui atau mencari fungsi kecepatan jika fungsi percepatan diketahui.



Gambar 2.11 Grafik kurva umum fungsi kecepatan terhadap waktu dari suatu benda yang bergerak.

Pada grafik v–t luas daerah di bawah kurva menunjukkan total lintasan yang ditempuh benda. Perhatikan grafik pada Gambar 2.11, untuk menentukan luas daerah di bawah kurva dapat kita bagi menjadi persegi panjang kecil yang identik. Jika diperhatikan dengan seksama maka semakin kecil (sempit) ukuran persegi panjang yang dibuat maka penjumlahan luas dari semua persegi panjang tersebut akan mendekati luas di bawah kurva. Secara matematis dapat kita tuliskan sebagai berikut:

∑ ∆=∆i

ii tvx (2–24)

Dalam kurva di atas, ukuran persegi panjang adalah v dan t yang masing-masing menyatakan kecepatan dan waktu tempuh. Agar ukuran persegi panjang menjadi sangat kecil maka lebar persegi panjang ∆t harus dibuat sekecil mungkin, ∆t 0. Pada sub bab sebelumnya kita telah mempelajari konsep limit. Untuk kasus dimana kita menerapkan syarat batas suatu variabel mendekati nol maka kita dapat menggunakan limit. Untuk limit ∆t 0, sehingga persamaan di atas menjadi:

∑ ∆=∆→∆ i

ii tvx0t

lim (2–25)

Yang mana indeks i menyatakan persegi panjang ke 1, 2, 3 dan seterunya hingga n. Limit penjumlahan dengan selisih nilai salah satu variabel sangat kecil dapat diselesaikan dengan integral. Integral pada dasarnya adalah penjumlahan. Integral dituliskan dengan notasi

( )dxxfb

a∫ dimana a dan b adalah batas-batas integral, f (x) adalah fungsi

xnv ∆tn

v

xnv

t0 ta



yang bergantung pada variabel x dan dx disebut integran yang menunjukkan variabel pada fungsi x yang diintegralkan. Pada kurva di atas, batas integral adalah t0 = 0 dan ta = t sedangkan fungsi yang diintegralkan adalah v (t) dan integrannya adalah dt. Hasil integral dari persamaan (2–25) dapat ditentukan sebagai berikut:

∫=∆ att vdtx0

∫+= att vdtxx00 (2–26)

Dalam kasus gerak linier tanpa percepatan maka hasil integrasi dari persamaan (2–26) adalah:

x = x0 + v (ta – t0)

Jika kita ambil t0 = 0 dan ta = t maka persamaan umum untuk gerak linier tanpa percepatan adalah:

x = x0 + vt (2–27)

Dengan logika yang sama, untuk menentukan fungsi kecepatan dari fungsi percepatan kita mengintegralkan fungsi percepatan a terhadap t seperti pada persamaan berikut ini:

∫=∆ att adtv0

∫+= att adtvv00 (2–28)

Hasil integrasi dari persamaan (2–28) adalah sebagai berikut:

v = v0 + a (ta – t0) (2–29)

dengan mengambil nilai t0 = 0 dan menuliskan ta = t saja maka kita peroleh persamaan berikut:

v = v0 + at (2–30)

Jika persamaan (2–28) kita integrasi sekali lagi maka kita akan memperoleh persamaan gerak dengan percepatan konstan.



( )

( ) ( )

200

200

20

200

0

2121

21

00

attvxx

attvxx

ttattvx

dtatvvdtx

aa

t

t

t

t

aa

++=

+=−

−+−=∆

∫ +=∫=∆

Dua persamaan terakhir diperoleh dengan menerapkan asumsi seperti pada persamaan (2–29).

Lampiran Referensi Gambar Bab 2 Gerak Sepanjang Garis Lurus

Gambar Cover Bab 2 Gerak Sepanjang Garis Lurus Sumber: http://www.inmagine.com

Gambar Sumber

Gambar 2.1 Peta Jawa Tengah dan Yogyakarta. Kota yang diberi tanda huruf A adalah kota Boyolali sedangkan kota yang ditandai dengan huruf B adalah kota Yogyakarta.

http://www.pusakamitrajasa.wordpress.com

Gambar 2.2 Seseorang berdiri di pinggir jalan melihat Helen dan mobilnya bergerak. Helen yang berada di dalam mobil melihat seolah‐olah orang tersebut bergerak ke belakang.

Dokumentasi Penulis

Gambar 2.3 Perbedaan antara perpindahan dan jarak.

http://www.tonterias.com

Gambar 2.4 Para pembalap saling berkejaran untuk mendahului agar menjadi yang paling depan. Pada lintasan yang lurus, para pembalap akan lebih mudah untuk mengatur kecepatan gerak motornya

Dokumentasi Penulis

Gambar 2.5 Grafik jarak (x) terhadap waktu (t) dari seorang pembalap yang menempuh jarak 300 m selama selang waktu 3,5 s.

Dokumentasi Penulis

Gambar 2.6 Mobil bergerak pada lintasan L menempuh jarak Δx yang sangat pendek selama selang waktu Δt yang sangat singkat.

Dokumentasi Penulis

Gambar 2.7 Grafik jarak sebagai fungsi waktu pada sebuah mobil yang bergerak dengan kecepatan sembarang.

Dokumentasi Penulis

Gambar 2.8 Grafik v – t pada gerak dengan percepatan Dokumentasi Penulis

Gambar 2.9 Grafik x – t pada gerak dengan percepatan Dokumentasi Penulis

Gambar 2.10 Gerak sebuah bola yang dilempar ke atas. Bola bergerak ke atas dan setelah mencapai titik tertinggi, bola bergerak ke bawah.

Dokumentasi Penulis

Gambar 2.11 Grafik kurva umum fungsi kecepatan terhadap waktu dari suatu benda yang bergerak.

Dokumentasi Penuli

Daftar Pustaka

Serway, R.A and Faughn, J.S., 1999. College Physics, 7th Edition, USA: Harcourt Brace

College Publisher.

Dick, Greg, et.al. 2001. Physics 11, 1st Edition. Canada: McGraw-Hill Ryerson.

Dick, Greg, et.al. 2001. Physics 12, 1st Edition. Canada: McGraw-Hill Ryerson.

Fishbane, P.M., et.al. 2005. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 3rd

Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Huggins, E.R. 2000. Physics 2000. Moose Mountain Digital Press. Etna, New Hampshire

03750.

Tipler, P.A. and Mosca, G. Physics For Scientist and Engineers: Extended Version, 5th

Edition. W.H. Freeman & Company.

Young, Freedman. 2008. Sears and Zemanky’s University Physics with Modern Physics,

12th Edition. Pearson Education Inc.

Crowell, B. 2005. Vibrations and Waves. Free Download at:

http://www.lightandmatter.com.

Crowell, B. 2005. Newtonian Physics. Free Download at:


Crowell, B. 2005. Conservations Law. Free Download at:


Halliday, R., Walker. 2006. Fundamental of Physics, 7th Edition. John-Willey and Sons,

Inc.

Pain, H.J. 2005. The Physics of Vibrations and Waves, 6th Edition. John Wiley & Sons

Ltd, The Atrium, Southern Gate, Chichester, West Sussex PO19 8SQ,

England.

Mason, G.W., Griffen, D.T., Merril, J.J., and Thorne, J.M. 1997. Physical Science

Concept, 2nd Edition. Published by Grant W. Mason. Brigham Young

University Press.

Cassidy, D., Holton, G., and Rutherford, J. 2002. Understanding Physics, Springer-Verlag

New York, Inc.

Serway, R.A. and Jewet, J. 2003. Physics for Scientist and Engineers, 6th Edition. United

State of America: Brooks/Cole Publisher Co.

bab 02 gerak sepanjang garis lurus

Documents