AUTOKORELASI

TUGASUNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAHEkonometrikayang dibina oleh Bapak Hadi Sumarsono

Oleh:Fatkhul MuinNIM 120432426936Herlambang Sandy PNIM 120432426974Nur AfiyahNIM 120432326968Oky Cahyaning R.SNIM 120432426866Rahmawati Widya P.NIM 120432426998

UNIVERSITAS NEGERI MALANGFAKULTAS EKONOMIJURUSAN EKONOMI PEMBANGUNANApril 2015

1

AUTOKORELASI

1. SIFAT DAN KONSEKUENSI DARI AUTOKORELASISecara harfiah autokorelasi berarti adanya korelasi antara anggota observasi satu dengan observasi lain yang berlainan waktu. Dalam kaitannya dengan asumsi metode OLS, autokorelasi antara satu variabel gangguan dengan variabel gangguan yang lain. Sedangkan salah satu asumsi penting metode OLS berkaitan dengan variabel gangguan adalah tidak adanya hubungan antara variabel gangguan satu dengan variabel gangguan yang lain. Tidak adanya serial korelasi antara variabel gangguan ini sebelumnya dinyatakan sebagai berikut:ei , ej) = 0i j (8.1)Mengapa terjadi autokorelasi? Misalkan kita menganalisis data runtut waktu output nasional atau GDP tahunan. Jika suatu ketika gejolak ekonomi (shock) maka gejolak ini akan berpengaruh terhadap GDP pada saat ini dan juga pada periode-periode berikutnya. Begitu pula ketika pemerintah mengeluarkan kebijakan fiskal maupun moneter untuk mengatasi penurunan GDP tersebut. Setiap kebijakan ekonomi pasti akan memerlukan periode waktu untuk mempengaruhi sistem ekonomi sehingga akhirnya mempengaruhi kenaikan GDP. Dalam kondisi seperti ini maka jika kita menganalisis data runtut waktu diduga seringkali mengandung unsur autokorelasi. Sedangkan data cross section diduga jarang ditemui adanya unsur autokorelasi. Adanya korelasi antar variabel gangguan ini dengan demikian dapat kita nyatakan sebagai berikut:ei , ej) 0i j (8.2)Bagaimana bentuk korelasi antara variabel gangguan tersebut? Terjadinya autokorelasi bisa positif maupun negatif. Pada gambar 8.1a menunjukkan autokorelasi positif dan gambar 8.1b menunjukkan autokorelasi negatif. Tetapi, sebagian besar dari data time series seringkali menunjukkan adanya tren yang sama yaitu adanya kesamaan pergerakan naik dan turun.

Gambar 8.1 (a) Autokorelasi Positif dan (b) Autokorelasi NegatifPertanyaannya, apa konsekuensinya jika ada masalah autokorelasi di dalam model regresi terhadap estimator OLS? Akankah kita masih mempunyai estimator yang bersifat BLUE atau tidak? Untuk mengetahui hal ini makan kita asumsikan model mengandung unsur autokorelasi tetapi masih mempertahankan asumsi-asumsi metode OLS. Misalkan kita mempunyai model sederhana sebagai berikut: (8.3)Asumsi berkaitan dengan variabel gangguan dalam metode OLS adalah sebagai berikut:(et) = 0var(et) = 2 cov(et, es) = 0 dimana t sYaitu nilai harapan dari variabel gangguan adalah nol, varian dari variabel gangguan adalah tetap dan tidak ada korelasi antara variabel gangguan satu periode waktu dengan variabel gangguan periode waktu lain. Namun sekarang kita akan mencoba membahas apa yang terjadi terhadap estimator jika variabel gangguan saling berhubungan.Ada beberapa model yang dapat digunakan untuk menjelaskan masalah hubungan antara variabel gangguan yang satu dengan variabel gangguan yang lain dalam persamaan (8.3) tersebut. Yang paling umum digunakan adalah model autoregresif tingkat pertama (autoregressive) disingkat AR (1)1. Di dalam model ini variabel gangguan hanya tergantung dari variabel gangguan sebelumnya . Model AR (1) tersebut dapat ditulis sebagai berikut: -1 < < 1 (8.4) (rho) adalah parameter yang menjelaskan hubungan antara variabel gangguan . Variabel gangguan ini kita asumsikan mempunyai rata-rata nol atau E() = 0; mempunyai varian yang konstan atau var(vt) = 2; dan tidak mengandung unsur autokorelasi atau cov(, = 0. Dengan kata lain variabel gangguan mengikuti asumsi model OLS yang kita kembangkan pada Bab 2.Dengan adanya autokorelasi di dalam model tersebut, maka estimator dalam metode OLS adalah sebagai berikut: (8.5)Persamaan (8.5) tersebut menyatakan bahwa estimator masih bersifat linear dan tidak bias. Sedangkan varian estimator yang tidak mengandung masalah autokorelasi adalah sebagai berikut: (8.6)Namun, bila terdapat autokorelasi pada tingkat autoregresif pertama (AR1) maka varian estimator adalah sebagai berikut: (8.7)Pada persamaan (8.6) varian yang mengandung AR (1) besarnya sama dengan varian yang tidak mengandung autokorelasi plus angka tertentu. Hal ini menunjukkan bahwa varian OLS tersebut under estimate. Dengan demikian jika ada autokorelasi dalam regresi maka estimator yang kita dapatkan akan mempuyai karakteristik sebagai berikut:1. Estimator metode OLS masih tidak bias (unbiased)2. Estimator metode OLS masih linear 3. Namun estimator metode OLS tidak mempunyai varian yang minimum lagi (no longer best).Jadi dengan adanya autokorelasi, estimator OLS tidak menghasilkan estimator yang BLUE hanya LUE. Apa konsekuensinya jika estimator tidak mempunyai varian yang minimum? Konsekuensinya sebagai berikut:1. Jika varian tidak minimum maka menyebabkan perhitungan standard error metode OLS tidak lagi bisa dipercaya kebenarannya.2. Selanjutnya interval estimasi maupun uji hipotesis yang didasarkan pada distribusi t maupun F tidak lagi bisa dipercaya untuk evaluasi hasil regresi.2. DETEKSI MASALAH AUTOKORELASISetelah kita membahas masalah autokorelasi dan konsekuensinya terhadap estimator dalam OLS jika model mengandung unsur autokorelasi. Maka tibalah saatnya kita membahas masalah metode deteksi ada tidaknya masalah autokorelasi di dalam suatu model regresi.2.1. Masalah Durbin-Watson (DW)Banyak metode yang bisa digunakan untuk mendeteksi masalah autokorelasi. Salah satu uji poluler digunakan di dalam ekonometrika adalah metode yang dikemukakan oleh Durbin-Watson (d)2. Prosedur ini yang dikembangkan oleh Durbin-Watson dapat kita jelaskan dengan model sederhana seperti persamaan (8.3) sebagai berikut:Yt=0+ 1X1+et (8.3)Hubungan antara| variabel gangguan et hanya tergantung dari variabel gangguan sebelumnya et-1 disebut Model AR (1) seperti persamaan (8.4) sebelumnya:Et=et-1+t-1 0.Untuk menguji hipotesis nol kita harus menghitung dan kemudian menguji secara statistika apakah signifikan atau tidak. Akan tetapi penurunan distribusi probabalitas dari sangat sulit dilakukan. Sebagai altematif, Durbin dan Watson mengembangkan distibusi probabilitas yang berbeda. Uji statistik Durbin-Watson tersebut didasarkan dari residual metode OLS. Adapun formula uji statistik Durbin-Watson adalah sebagai berikut: (8.8)Dimana adalah residual metode kuadrat terkecil. Bagaimana d berhubungan erat dengan dan bagaimana mendapatkan uji statistik untuk masalah autokorelasi, kita manipulasi persamaan (8.8) diatas menjadi: (8.9)

Karena dan berbeda hanya satu observasi, maka nilainya hampir sama. Persamaan (8.9) tersebut dapat ditulis sebagai berikut:d1+1-2p=2-2p (8.10)Dimana (8.11)Persamaan (8.11) ini merupakan koefisien autokorelasi order pertama sebagai proksi dari . Persamaan (8.10) dapat ditulis kembali menjadi: d 2 (1- ) (8.12)Karena -1 1 maka berimplikasi bahwa:0 d 4 (8.13)Dari persamaan (8.12) tersebut jika = 0 makanilai d = 2 yang berarti tidak adanya masalah autokorelasi (pada order pertama). Oleh karena itu sebagai aturan kasar (rule of thumb) jika nilai d 2, maka kita bisa mengatakan bahwa tidak ada autokorelasi baik positif maupun negatif. Jika = +1, nilai d 0, mengindikasikan adanya autokorelasi positif. Oleh karena itu nilai d yang semakin mendekati nol menunjukkan semakin besar terjadinya autokorelasi positif. Jika = -1, nilai d = 4, yang berarti ada autokorelasi negatif. Dengan demikian nilai d yang semakin besar mendekati 4 maka semakin besar terjadinya masalah autokorelasi negatif.Tabel 8.1. Uji Statistik Durbin-Watson d Nilai Statistik dHasil

0 < d d, maka kita bisa menggunakan metode first difference. Dari transformasi first difference ini sekarang kita tidak lagi mempunyai intersep atau konsta dalam model. Konstanta dalam model dapat dicari dengan memasukkan variabel tren (T) dalam model aslinya. Misalkan model awalnya dengan tren sebagai berikut: (8.28)Dimana T adalah tren, nilainya mulai satu pada awal periode dan terus menaik sampai akhir periode. Variabel resdual dalam persamaan (8.28) tersebut mengikuti autogresif tingkat pertama. Transformasi persamaan (8.28) dengan metode first difference akan mengahasilkan persamaan sebagai berikut : (8.29)Dimana Pada proses diferensi tingkat pertama persamaan (8.28) menghasil persamaan (8.29) yang mempunyai konstanta sedangkan diferensi pertama pada persamaan (8.3) tanpa menghasilkan konstanta.Contoh 8.5 Uji First Difference Permintaan ImporKita kembali ke contoh permintan impor periode 1980-2002. Tetapi sekarang, variabel PDB (X) hanya merupakan satu-satunya variabel independen dalam permintaan impor (Y). Model permintaan impor terssebut dapat ditulis sebagai berikut : (8.30)Dimana Y = permintaan impor; X = GDP riil tahun dasar 1993 Hasil regresi permintaa impor bisa diliat dalam persamaan (8.31). Nilai d = 0,7543 sedangkan nilai dL= 1,257 dan dU = 1,437 pada n = 23 dan k = 1 dengan = 5%. Berdasarkan nilai d hitung tersebut menunjukan bahwa model mengandung masalah autokorelasi. (8.31)T (-2,0699) (10,7337)R2= 0,8458 d = 0,7543Koefisien determinasi R2 lebih besar dari nilai statistik Durbin Watson (d) sehingga kita bisa mengatasi masalah autokorelasi dengan metode first difference. Hasil regresi melalui first difference untuk menghilangkan masalah autokorelasi dapat dilihat dalam persamaan (8.32). Dalam metode first difference ini kita memasukkan unsur tren untuk memperoleh kontansta. Hasilnya menunjukkan bahwa dengan metode ini nilai statistik Durbin Watson (d) sebesar 2,0840 sedangkan nilai dL = 1,239 dan dU = 1,429 pada n = 22 dan k = 1dengan = 5%, mengidentifikasikan tidak adanya masalah autokorelasi lagi. (8.32)T (-1.5956) (5.0803)R2 = 0.5546 d = 2.08403.2.2. Estimasi Didasarkan Pada Berenblutt- WebMetode transformasi dengan first difference bisa digunakan hanya jika nilai tinggi atau jika d rendah. Dengan kata lain metode ini hanya akan valid jika nilai = +1 yaitu jika terjadi autokorelasi positif yang sempurna. Pertanyaannya bagaimana kita bisa mengetahui asumsi bahwa = +1. Uji statistik dari Bernblutt-Webb ini dikenal dengan uji statistik .6 Rumus statistiknya dapat ditulis sebagai berikut : (8.33)Dimana adalah residual dari regresi model asli dan merupakan residual dari regresi model first difference. Dalam menguji signifikan statistik diasumsikan model asli mempunyai konstanta. Kemudian kita menggunakan tabel Durbin-watson dengan hipotesis nol = 1, tidak lagi dengan hipotesis nol = 0. Keputusan bahwa = 1 ditentukan dengan membandingkan nilai hitung dengan nilai kritis statistik d. Jika dibawah nilai batas minimal dL maka tidak gagal menolak hipotesis nol sehingga kita bisa mengatakan = 1 atau ada korelasi positif antara residual.Contoh 8.6. Uji Berenblutt-WebbKita kembali ke model sedrhana permintaan impor pada contoh 8.5. Dari Regresi persamaan kita mendapatkan SSR 3,74 x 108 sedangkan hasil regresi diferensi tigkat pertama tanpa konstanta meghasilkan SSR sebesar 2,47 x 108. Dengan demikian nilai statistik g dapat dihitung sebagai berikut:

Nilai kritis statistik durbin-Watson dengan jumlah observasi n = 22 dan k= 1 dengan = 1%, masing-masing adalah dL= 0,997 dan dU= 1,174, sedangkan untuk = 5%, sebesar dL = 1,239 dan dU = 1,429. Nilai statistik lebih kecil dari nilai kritis dL = pada = 5% sehingga kita gagal menolak hipotesis nol. Kesimpulannya penyembuh masalah autokorelasi dengan metode first different adalah tepat karena nilai berdasarkan uji yang dikembangkan oleh Berenblutt-Webb ini.8.3.2.3. estimasi Didasarkan Pada Statistik d Durbin WatsonKita hanya bisa mengaplikasikan metode transformasi first different jika nilai tinggi yakni mendekati satu. Metode ini tidak bisa digunakan ketika rendah. Untuk kasus nilai rendah maka kita bisa menggunakan statistik d dari durbin Watson seperti di dalam persamaan (8.12). Kita bisa mengestimasi dengan cara sebagai berikut:

Atau dapat dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut: (8.35)Sebagaimana pembahasan sebelumnya, kita bisa mencari nilai dari estimasi statistik pada persamaan (8.35) di atas. Asumsi first different menyatakan bahwa = 1 hanya terjadi jika d = 0 di dalam persamaan (8.35). Begitu pula jika d = 2 maka = 0 dan bila d = 4 maka statistik d untuk mendapatkan nilai . Di dalam sampel besar kita dapat mengestimasi dari persamaan (8.35) dan menggunakan yang kita dapatkan untuk model generalized difference equation dalam persamaan (8.36) sebelumnya. Contoh 8.7. Estimasi dari statistik d Durbin WatsonDari contoh 8.5 tentang permintaan impor kita dapatkan nilai d = 0,7543. Nilai = (1-0,7543/2) = 0.6628. Setelah kita dapatkan nilai maka selanjutnya kita bisa mengestimasi generalized different equation pada persamaan (8.24) dengan metode OLS. Hasil estimasinya dapat dilihat dalam persamaan (8.36) berikut ini: t (-1,5323) (5,3645)R2= 05899 d=1,4918Hasil estimasi generalized different equation sekarang menghasilkan d = 1,4918, sedangkan nilai tabel statistik Durbin Watson pada = 5% dengan n = 22 k = 1 besarnya dL= 1,239 dan dU = 1,429. Kesimpulannya model tidak lagi mengandung masalah autokorelasi.3.2.4. Estimasi Dengan Metode Dua Langkah DurbinUntuk menjelaskan metode ini maka kita kembali ke model generalized difference equation untuk persamaan (8.24).Kita tulis persamaan tersebut sebagai berikut : - p = (1 (- ) + (- ) Atau dapat kita tulis kembali menjadi : = (1 (- ) + p + (8.37) Dimana = -Setelah mendapatkan persamaan (8.37), Durbin menyarankan untuk menggunakan prosedur dua langkah untuk mengestimasi yaitu :1. Lakukan regresi dalam persamaan (8.3.7) dan kemudian perlakukan nilai koefisen yaitu sebagai nilai estimasi dari .Walaupun ini bias, tetapi merupakan estimasi yang konsisten.2. Setelah mencapai pada langkah pertama,kemudian lakukan transformasi variabel = - p dan = - dan kemudian lakukan transformasi regresi metode OLS pada transformasi variabel persamaan (8.24)

Contoh 8.8 Metode Dua Langkah Durbin Permintaan ImporRegresi permintan impor pada contoh 8.1 ,sebelumnya terletak didaerah keragu-raguan .Kita akan mencoba menghilangkan unsur autokorelasi dengan metpde dua langkah dari durbin.Kita mengestimasi persamaan (8.38) untuk mencari 3 estimasi sebagai berikut : = (1 ) + (- ) + (- p + (8.38)Nilai koefisien pada variabel merupakan nilai estimasi .Hasil estimasi merupakan bahwa = 0,5257.Hasil estimasi Generalized difference aquation dapat dilihat dalam persamaan (8.39).Nilai statistik hitung d = 1,6468 sedangkan nilai kritis d pada =5% dengan =22 dan k= 1 besarnya = 1,147 dan = 1,541 .Karena nilai d terletak antara dan 4- maka dapat disimpulkan bahwa sudah tidak ada autoorelasi didalam model tersebut = - 4364,756 62,89617 + 0,1515 (8.39)t= (-1,8290)(-1,9304)(5,3216)= 0,8437 dan d = 1,6468Dimana := ( - (0,5357 ) ], (0,5357) ] , - (0,5357)

3.2.5. Estimasi Dengan Metode Cocharane OrcuttUji ini merupakan uji alternatif untuk memperoleh nilai yang tidak diketahui.Metode Cocharane Orchutt sebagaimana metode yang lain menggunakan nilai estimasi residual untuk memperoleh informasi tentang .Untuk memperjelas metode ini kita misalkan mempunyai model regresi sederhana sebagai berikut : = + + (8.40) Asumsikan bahwa residual mengikuti pola autoregresif (AR1) sebagai berikut : = + (8.41)Dimana residual memenuhi asumsi residual metode residual metode OLS yakni E ( =0 ; var = ; dan cov (, = 0Metode yang kita bicarakan sebelumnya untuk mengestimasi hanya merupakan estimasi tunggal terhadap .Oleh karena itu ,cocharane orchutt merekomendasikan untuk mengestimasi dengan regeresi yang bersifat iletasi sampai mendapatkan nilai yang menjamin tidak terdapat masalah autokorelasi dalam model.Adapun metode iterasi dari Cocharane Orchutt dapat dijelaskan sebagai berikut :1. Estimasi persamaan (8.40) dan kita dapatkan nilai residualnya 2. Dengan residualnya yang kita dapatkan maka lakukan regresi persamaan berikut ini : = (8.42)3. Dengan yang kita dapatkan pada langkah kedua dari persamaan (8.42) kemudian kita regresi persamaan berikut ini : - = (1 ) + (- ) + ) (8.43)Atau dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana menjadi persamaan = + + Dimana : =1- (8.44)4. Karena kita tidak mengetahui apakah nilai yang diperoleh dari persamaan (8.42) adalah nilai estimasi yang terbaik,maka masukkan nilai =1- dan yang diperoleh dalam persamaan (8.44) kedalam persamaan awal (8.40) dan kemudian dapatkan residualnya sebagai berikut:= - + (8.45)5. Kemudian estimasi regresi sebagai berikut:=+ (8.46) yang kita peroleh dari persamaan (8.46) ini merupakan langkah kedua mengestimasi Nilai Karena kita tidak juga mengetahui apakah langkah kedua ini mampu mengestimasi nilai yang terbaik maka kita dapat melanjutkan pada langkah ketiga dan seterusnya.Pertanyaannya,sampai seberapa langkah kita harus berhenti melakukan proses iterative untuk mendapatkan nilai .Menurut Cocharane-Orchutt,estimasi nilai akan kita hentikan jika nilainnya sudah terlalu kecil.

Contoh 8.9 Metode Cocharane Orchutt Permintaan ImporBerdasarkan uji Durbhin-Watson maupun LM,regresi permintan impor mengandung masalah autokorelasi.Estimasi model AR (1) pada persamaan (8.42) menghasilkan nilai sebesar 0,304191. Hasil estimasi Generalized difference aquation dapat dilihat dalam persamaan (8.39).Nilai statistik hitung d = 1,6468 sedangkan nilai kritis d pada =5% dengan =22 dan k= 1 besarnya = 1,147 dan = 1,541 .Karena nilai d terletak antara dan 4- maka dapat disimpulkan bahwa sudah tidak ada autoorelasi didalam model tersebut = - 6631,974 76,1351 + 0,1606 (8.47)t (-2,6381) (-2,8292) (6,8339) = 0,8437 dan d = 1,6468Dimana := ( - (0,3942 ) ], (0,3042) ] , - (0,3042)

3.2.6. Metode Newey ,Whitney dan KennethPenyembuhan masalah autokorelasipada sub bab sebelumnya terfokus pada manipulasi persamaan sehingga bias terbebas dari masalah autokorelasi.Sebagaimana kasus heteroskedasitas,para ahli ekonometrika juga telah mencoba mengembang metode standar error yang konsisten bila terdapat masalah heteroskedatisitas yang dikenal dengan Heteroscedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator (HCCME).Namun HCCME didasarkan pada asumsi bahwa variable gangguan tidak saling berhubungan aau tidak ada serial korelasinya.Metode selanjutnya yang dikembangkan oleh Newey,Whitney dan Kenneth memasukkan masalah unsure baik heteroskedasititas maupun masalah autokorelasi.Standar error yang konsisten bila ada unsur baik heteroskedastisitas maupun auotokorelasi ini dikenal dengan heteroskedasticity and Autocorrelacition Consisten Covariance Matrix (HAC).Formula penurunan HAC ini tidak sesederhana seperti HCCME sebelumnya.Namun sekarang sudah banyak program computer seperti EVIEWS menyediakan perhitungan HAC.