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INTRODUCCION
La palabra estructura tiene varios significados. Por estructura de ingeniera se
entiende algo que est construido. Las principales estructuras con que trabaja el ingeniero
civil son: puentes, edificios, muros, presas, torres. Tales estructuras se componen de uno
o ms elementos resistentes dispuestos de tal manera que tanto la estructura total como
sus componentes sean capaces de mantenerse sin cambios apreciables en su geometra
durante la carga y la descarga.
El diseo de una estructura envuelve muchas consideraciones, entre las cuales hay 2
objetivos principales que deben siempre lograrse:
1. La estructura debe cumplir los requisitos de funcionalidad.
2. La estructura debe soportar las cargas en condiciones seguras.
Ecuaciones de equilibrio de un sistema de fuerzas coplanarias.
La primera y ms importante funcin de una estructura es la de soportar cargas. La
esttica en el anlisis estructural supone que todos los sistemas de fuerzas actan sobre
cuerpos rgidos.
En la realidad siempre se presentan pequeas deformaciones que pueden causar
ligeros cambios en las dimensiones de las estructuras y desplazamientos en las lneas de
accin de las fuerzas. Sin embargo, tales variaciones se desprecian en el anlisis de los
esfuerzos.
Una estructura esta en equilibrio si, bajo la accin e fuerzas externas, permanece en
reposo con respecto a la tierra. Tambin se dice que cada parte de la estructura, tomada
como cuerpo libre aislado del conjunto, debe permanecer en reposo con relacin a la
tierra bajo la accin de las fuerzas internas actuantes sobre las secciones por donde se
aisl del conjunto y de las fuerzas externas que acten sobre ella. Si tal es el caso, el
sistema de fuerzas se encuentra compensado, o en equilibrio, lo cual significa que la
resultante del sistema de fuerzas (fuerza o momento resultante) aplicadas a la estructura,
o parte de ella, debe ser igual a cero.
Por estar limitado a estructuras planas, todos los sistemas de fuerzas son coplanarios.
Un sistema general de fuerzas coplanarias en equilibrio debe satisfacer las siguientes
ecuaciones:
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OBJETIVOS:
Determinar las fuerzas internas en la armadura, es decir, las fuerzas de accin y
reaccin entre los elementos o barras que la forman.
Analizar el mtodo de nodos y secciones para solucionar armaduras.
Desarrollar y explicar paso a paso el proceso de solucin de armaduras con el
mtodo matricial.
FUNDAMENTO TERICO
Armadura
Una estructura de barras unidas por sus extremos de manera que constituyan una unidad
rgida recibe el nombre de armadura. Algunos ejemplos son los puentes, los soportes de
cubiertas o las gras.
Mtodo de nudos
El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura, lo cual implica que la
resultante de las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; al descomponer en
un plano cada fuerza y cada par en sus componentes rectangulares, se encuentra las
condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rgido se pueden
expresar tambin por las tres ecuaciones siguientes:
(Convencin de signo)
Tipos de apoyos
Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por
lo general, se encuentran en los extremos o cerca de ellos.
Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se
llaman reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analticamente estas reacciones
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representan las incgnitas de un problema matemtico.
Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apoyo
que se est empleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).
Estabilidad y grado de determinacin de una estructura.
Cuando se proyecte una estructura, debe tenerse cuidado con el nmero y disposicin de
los apoyos relacionados directamente con la estabilidad esttica y el grado de
determinacin de la estructura. En seguida consideraremos la estructura como un cuerpo
rgido montado sobre cualquier nmero de apoyos. En esta forma no habr condiciones
internas involucradas, y la estabilidad y el grado de determinacin de la estructura sern
juzgadas solamente por la estabilidad y el grado de determinacin.
1. dos elementos de reaccin proporcionados por los apoyos, tales como dos fuerzas
cada una con punto de aplicacin y direccin definidas, no son suficientes para garantizar
la estabilidad de un cuerpo rgido, debido a que los dos lados nicamente pueden ser
coloniales, paralelos o concurrentes. En cada uno de estos casos, la condicin e equilibrio
se infringe no por causa de falta de resistencia de los apoyos, sino por el nmero
insuficiente de elementos de apoyo. Esto se conoce como inestabilidad esttica.
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a) existen dos fuerzas de reaccin coloniales, estas no pueden resistir una carga externa
que tenga componente normal a su lnea de accin.
b) si son paralelas, no pueden evitar el deslizamiento lateral del cuerpo.
c) y d) si son concurrentes, no pueden resistir el momento respecto el punto de
concurrencia producido por cualquier por cualquier fuerza que no pase por O.
Un cuerpo puede ser estable solamente bajo condiciones muy especiales de carga, talcomo se muestra a continuacin:
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En el caso a) las cargas aplicadas que actan sobre el cuerpo estn entre si en equilibrio,
no requirindose entonces reaccin alguna, en b) la carga aplicada tiene la misma
direccin que las reacciones, y en los casos c) y d) la carga aplicada pasa a travs el
punto de concurrencia O de las reacciones.
Aquellas estructuras, estables bajo condiciones especiales de carga, pero inestables bajo
condiciones generales de carga, se dice que estn en un estado de equilibrio inestables y
se clasifican como estructuras inestables.
Para que un cuerpo este en equilibrio estable son necesarios por lo menos tres elementos
de reaccin. Considrese cada uno de los casos mostrados a continuacin.
El cuerpo rgido est sujeto por los tres elementos de reaccin que pueden calcularse
mediante las tres ecuaciones disponibles de equilibrio.
Si las tres ecuaciones de equilibrio:
Se satisfacen para las cargas y reacciones que actan sobre el cuerpo, respectivamente,
se garantiza que el cuerpo no podr moverse ni horizontal, ni verticalmente, ni rotar. En
este caso se dice que el sistema es estticamente estable y determinado.
Si hay ms de tres elementos de reaccin, como muestra la figura:
El cuerpo necesariamente es ms estable, debido a las sujeciones adicionales. Como el
nmero de incgnitas de reaccin es mayor al nmero de ecuaciones de equilibrio
esttico, el sistema es estticamente indeterminado con respecto a las reacciones de los
apoyos.
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Como se menciono anteriormente, la estabilidad y el grado de determinacin de las
estructuras debe juzgarse tanto por el nmero y disposicin de los apoyos como por el
nmero y disposicin de sus elementos y las uniones de la estructura. Se determinan por
simple inspeccin o por medio de formulas, ahora definiremos la estabilidad y el grado de
determinacin generales armaduras rgidas.
Estabilidad en armaduras.
Una armadura est compuesta por un nmero de barras unidas en sus extremos
mediante pasadores formando una red; formada normalmente por una serie de tringulos
y montada sobre un nmero de apoyos.
Cada barra de la armadura es un elemento sometido a dos fuerzas, e tal manera que
cada una representa una incgnita de fuerza interior.
El nmero total de elementos desconocidos de sistema completo es igual al nmero de
barras (internas) mas el nmero de elementos de reaccin independientes (externos). Si
llamamos bel nmero de barras y rel nmero de componentes de reaccin, el nmero de
incgnitas del sistema completo ser b+r, si la armadura esta en equilibrio, cada porcin
aislada debe estar tambin en equilibrio. Para una armadura que tengaj nudos, el
sistema completo puede separarse enj slidos aislados, en la que cada nudo tiene dos
ecuaciones de equilibrio, para el sistema de fuerzas que actan sobre l.
Se obtiene de lo anterior un sistema de 2j ecuaciones independientes, con (b+r)
incgnitas. Podemos establecer un criterio de estabilidad y grado de de determinacin de
la armadura comparando el total de incgnitas y de ecuaciones:
Si b + r < 2j, el sistema es inestable.
Si b + r = 2j, el sistema es estticamente determinado siempre que sea tambin estable.
Si b + r > 2j, el sistema es estticamente indeterminado.
Para que una armadura sea estable se requiere el cumplimiento de ms condiciones.
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Primero: el valor de r debe ser igual o mayor que el de tres requerido para la estabilidad
esttica de los apoyos.
Segundo: no debe haber una disposicin inadecuada en los apoyos y barras para evitar a
la vez inestabilidad geomtrica externa e interna.
Bsicamente una armadura estable puede obtenerse partiendo de tres barras unidas por
medio de pasadores en sus extremos, formando un triangulo y ampliarse a partir de este
aadiendo dos nuevas barras por cada nudo nuevo.
Ejemplo: determinar la estabilidad en la siguiente figura.
Se tiene que; b + r = 2j, entonces:
b= 13 (nmero de barras)
r = 3 (nmero de componentes de reaccin)
j = 8 (nmero de nudos)
13 + 3 = 2(8) entonces tendremos una estructura estticamente determinada, pero
geomtricamente inestable, porque no hay una barra que soporte la fuerza vertical
(cortante) en el tramo donde se omiti la diagonal.
A continuacin se presentan algunas armaduras y su clasificacin.
Tabla N 1: armaduras y clasificacin.
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ANLISIS DE ARMADURAS.
Una armadura puede definirse como una estructura compuesta de un nmero de
elementos o barras unidas en sus extremos por medio de pasadores sin friccin para
formar un armazn rgido.
Las fuerzas externas y reacciones se supone que estn en el mismo plano de la
estructura y actan solamente sobre los pasadores. Adems se supone que la lnea axial
de cada barra coincide con la lnea que une los centros de los nudos de sus extremos y
su peso de cada barra es despreciable en comparacin con las fuerzas externas que
actan sobre la armadura. De las condiciones anteriores se sigue que cada barra de una
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armadura es un elemento que est sometida a dos fuerzas y sujeto solamente a fuerzas
axiales directas (traccin o compresin)
El anlisis de una armadura consiste en la determinacin de las fuerzas axiales
internas de todas sus barras.
Por convencin se usa el signo (+) para la traccin y el signo (-) para la
compresin.
De acuerdo con su formacin, las armaduras se clasifican en simples, compuestas y
complejas.
Armadura s imple: puede formarse siempre de tres barras unidas por pasadores en sus
extremos formando un triangulo y luego extendiendo dos nuevas barras por cada nuevo
nudo o unin.
Las figuras a continuacin mostradas son armaduras simples, el triangulo ab c en cada
diagrama es base de la cual se parti para la formacin de la estructura y cumplen con la
relacin de b + r = 2j
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Armaduras compuestas: son dos o ms armaduras simples unidas formando un
conjunto rgido, una armadura simple puede unirse rgidamente a otra en ciertos nudos
por medio de tres vnculos no paralelos ni concurrentes.
Esta tipo de armadura est compuesta por dos armaduras simples ABHG y CDEI unidaspor dos barras BC y HI y una tercera armadura EFG; por tanto en una armadura
compuesta. Ntese tambin que la relacin entre el nmero de barras y el nmero de de
nudos para una armadura simple es:
h + 3 = 2j
Se mantiene para una armadura compuesta, por lo tanto una armadura compuesta puede
soportarse en la misma forma de una viga simple para obtener una estructura estable y
estticamente determinada.
Armadura compleja: las armaduras que no se clasifican en los casos anteriores sedenominan armaduras complejas, una nueva disposicin de las barras resulta una
armadura compuesta como se muestra a continuacin.
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ANLISIS DE ARMADURAS SIMPLES: MTODO DE NODOS Y MTODO DE DE LASSECCIONES.
Los mtodo de nodos y mtodo de de las secciones son herramientas fundamentales en
el anlisis de esfuerzos en armaduras. Para explicarlos nos apoyaremos en un ejemplo
especfico.
Ejemplo 1: De la armadura calcular las fuerzas internas por el mtodo de nodos
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Anlisis por mtodo de nudos
Aplicamos momento total en E
Por equilibrio de fuerzas:
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Ahora analizamos las fuerzas internas nodo por nodo
NODO (E): hacemos cortes imaginarios
Se cumple por equilibro de fuerzas:
Tambin:
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NODOS (F): hacemos cortes imaginarios
Se cumple por equilibrio de fuerzas
Tambin:
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NODO (C): hacemos cortes imaginarios
Se cumple por equilibrio de fuerzas
Tambin:
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NODO (D):hacemos cortes imaginarios
Se cumple por equilibrio de fuerzas
Tambin:
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NODO (A):hacemos cortes imaginarios
Se cumple por equilibrio de fuerzas
Tambin:
Vemos que se Cumple como
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NODO (B):hacemos cortes imaginarios
Se cumple por equilibrio de fuerzas
Tambin:
Ejemplo 2: Usando el mtodo de los nudos, determinar la fuerza en cada barra de la
armadura representada. Establecer para cada una si est sometida a traccin (T) o a
compresin (C).
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Solucin
1. Determinacin de las reacciones en los apoyos.
Diagrama de cuerpo libre de la armadura completa.
Ecuaciones de equilibrio.
N750B
0850045008B
0M
y
y
A
; 0A
0F
x
x
;
N750A
01500750A
0F
y
y
y
2. Anlisis de cada nudo.
Nudo A
Ecuaciones de equilibrio.
0FY 0FA AFY ; 0F750 AF CN750FAF
0FX ; 0FAE Barra con fuerza ceroNudo B
Ecuaciones de equilibrio.
0FX ; 0FBC Barra con fuerza cero
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0FY ; 0FB BEY ; 0F750 BE CN750FBE
Nudo C
Ecuaciones de equilibrio.
0FY ; 0cosF500750 CE 06.0F250
CE ; N7.416
6.0
250FCE
TN7.416FCE 0FX ; 0senFF CEDC ; 08.07.416FDC
N3.333FDC CN3.333FDC
Nudo D
Ecuaciones de equilibrio.
0FX ; 0FF DCDF ; DCDF FF CN3.333FDF
0FY ; 0500FDE ; CN500FDE Nudo F
0Fy
TN7.416F
06.0F250
0cosF500750
FE
FE
FE
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Nudo E (Comprobacin)
0FF EBEA 0FY
0500cosFcosF ECEF 05006.07.4166.07.416
00
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RECOMENDACIONES
Tener cuidado con las operaciones por el mtodo de nudos y sobre todo con los
sentidos de las fuerzas.
Por el mtodo de nodo tener en cuenta el punto de inicio para el anlisis de cada
nodo.
Verificar si la armadura es determinada o indeterminada antes de hacer el
anlisis.
Nos basaremos en la hiptesis de que todos los miembros de una armadura son
miembros de dos fuerzas, es decir, que cada uno se encuentra en equilibrio bajo la
accin de dos nicas fuerzas, aplicadas en sus extremos, que sern iguales,
opuestas y coloniales.
CONCLUSIONES
Una armadura proporciona una solucin prctica y econmica para muchas
aplicaciones de sta en la ingeniera.
Una armadura simple es estable cuando son conformadas por tres elementos y
tres nodos como es el caso de una armadura simple triangular.
Los valores positivos de nuestra respuesta nos indican tensin.
El mtodo de nudos es ms laborioso y extenso en comparacin con el otro
mtodo.
La numeracin realizada a cada nodo es la correcta por que en la verificacin de
los resultados cumple.
Si tmanos otra numeracin el resultado puede divergir de la respuesta deseada.
La consideracin de la numeracin mencionada en las recomendaciones es muy
importante para armaduras ms complejas para no divergir de la respuesta
deseada.
Este anlisis de las fuerzas internas es muy importante para poder disear y saber
qu tipo y que dimensiones debe tener el material que debemos usar.
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BIBLIOGRAFA
Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecnica vectorial para ingenieros. Esttica. Bogot,
Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana, S.A.
Nilson, A. H. 1999. Diseo de estructuras de concreto. 12 edicin
Hibbeler, R. C. 1997. Anlisis estructural. 3 edicin.
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http://www.mec.puc-rio.br/prof/dreux/estatica.html
http://www.ociv.utfsm.cl/docencia/academicos/Estatica_Estructuras/files/
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