Solusi Sistem Persamaan

Nirlanjar/Non Linear

Menggunakan Metode Tertutup

Aries Suharso, S.Si

NIDN : 0422037701

Pendahuluan

Dalam bidang sains dan rekayasa, kita sering

berhadapan dengan persoalan mencari solusi

persamaan yang disebut akar persamaan (roots

of equation) yang berbentuk f(x) = 0

Persamaan sederhana dapat ditemukan akar

persamaannya dengan menggunakan metode

analitik, seperti

Namun, umumnya persamaan yang akan

dipecahkan berbentuk non linear yang

melibatkan sinus, cosinus, eksponensial, dan

lainnya

Persamaan non linear tidak dapat diselesaikan

secara analitik, sehingga diperlukan metode

numerik

32)( xxf

Persoalan Akar Persamaan

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan f(x)

= 0 yaitu nilai x = s, sedemikian sehingga f(s)

sama dengan nol (0)

Terdapat dua jenis metode pencarian akar, yakni

metode tertutup dan terbuka

Metode Tertutup

Dikenal dengan metode pengurung (bracketting

method)

Mencari akar persamaan di dalam selang [a, b]

Selang [a, b] dipastikan berisi minimal satu buah

akar, sehingga metode ini selalu berhasil

menemukan akar

Iterasinya selalu konvergen (menuju) ke akar,

sehingga metode ini disebut juga metode

konvergen

Metode Tertutup

Strategi yang digunakan adalah mengurangi lebar selangsecara sistematis sehingga lebar selang semakin sempitdan karena itu menuju akar sejati

Dalam sebuah selang, mungkin terdapat lebih dari satuakar atau tidak ada sama sekali yang ditunjukkan secaragrafik :

Jika f(a)f(b) < 0, maka terdapat akar sebanyak bilanganganjil

Metode Tertutup ..

Jika f(a)f(b) > 0, maka terdapat akar

sebanyak bilangan genap atau tidak ada

sama sekali

Syarat cukup keberadaan akar persamaan adalah :

jika f(a)f(b) < 0 dan f(x) menerus dalam selang [a, b], maka paling sedikit terdapat satu buah akarpersamaan f(x) = 0 dalam selang [a, b]

Metode Tertutup ..

Terdapat dua masalah yang terjadi karena ketidaktepatan

pemilihan selang [a, b]

Pertama, jika dalam selang [a, b] terdapat lebih dari satu buah

akar. Sekali metode tertutup digunakan pada selang [a, b],

maka hanya satu buah akar yang berhasil ditemukan

Kedua, jika selang [a, b] tidak memenuhi syarat cukup, yakni

f(a)f(b) < 0, maka adakalanya akar tidak dapat ditemukan

(seharusnya ada)

Dua pendekatan solusi yang digunakan antara lain, pertama

membuat grafik fungsi di bidang kartesian (X-Y), lalu melihat di

mana perpotongannya dengan sumbu X

Kedua, mencetak nilai fungsi pada titik-titik absis yang berjarak

tetap. Jika tanda fungsi berubah pada sebuah selang, maka

dipastikan terdapat satu buah akar di dalamnya

Terdapat dua metode klasik yang tergolong ke dalam metode

tertutup, yakni metode bagidua(bisection) dan metode regula-

falsi

Metode Bagidua

Metode yang selalu membagi dua selang [a, b] pada nilai x

tertentu (x = c), sehingga terdapat dua buah upaselang

berukuran sama, yaitu selang [a, c] dan selang [c, b]

Selang yang akan digunakan pada tahapan berikutnya

adalah upaselang yang mengandung akar, tergantung

pada apakah f(a)f(c) < 0 atau f(c)f(b) < 0

Selang baru dibagi lagi menjadi dua dengan cara sama,

hingga ukuran selang sudah sangat kecil atau memenuhi

salah satu kondisi berikut :

1. Lebar selang <

2. f(c) = 0 atau f(c) < epsilon mesin

3. Galat (error) hampiran akar ((cbaru - clama)/cbaru) <

Metode Bagidua ...

Contoh Penggunaan Metode Bagidua

Temukan akar persamaan f(x) = ex - 5x2 di

dalam selang [0,1] dan = 0.00001. e =

2.71828183

Tabel iterasi pencarian akar f(x) = ex -

5x2

Jadi, akar persamaan yang diperoleh adalah0.605263

r a c b f(a) f(c) f(b) selang baru Lebar selang

0 0.000000 0.500000 1.000000 1.000000 0.398721 -2.281718 [c,b] 0.500000

1 0.500000 0.750000 1.000000 0.398721 -0.695500 -2.281718 [a,c] 0.250000

2 0.500000 0.625000 0.750000 0.398721 -0.084879 -0.695500 [a,c] 0.125000

3 0.500000 0.562500 0.625000 0.398721 0.173023 -0.084879 [c,b] 0.062500

4 0.562500 0.593750 0.625000 0.173023 0.048071 -0.084879 [c,b] 0.031250

5 0.593750 0.609375 0.625000 0.048071 -0.017408 -0.084879 [a,c] 0.015625

6 0.593750 0.601563 0.609375 0.048071 0.015581 -0.017408 [c,b] 0.007813

7 0.601563 0.605469 0.609375 0.015581 -0.000851 -0.017408 [a,c] 0.003906

8 0.601563 0.603516 0.605469 0.015581 0.007380 -0.000851 [c,b] 0.001953

9 0.603516 0.604492 0.605469 0.007380 0.003268 -0.000851 [c,b] 0.000977

10 0.604492 0.604980 0.605469 0.003268 0.001210 -0.000851 [c,b] 0.000488

11 0.604980 0.605225 0.605469 0.001210 0.000179 -0.000851 [c,b] 0.000244

12 0.605225 0.605347 0.605469 0.000179 -0.000336 -0.000851 [a,c] 0.000122

13 0.605225 0.605286 0.605347 0.000179 -0.000078 -0.000336 [a,c] 0.000061

14 0.605225 0.605255 0.605286 0.000179 0.000051 -0.000078 [c,b] 0.000031

15 0.605255 0.605270 0.605286 0.000051 -0.000014 -0.000078 [a,c] 0.000015

16 0.605255 0.605263 0.605270 0.000051 0.000018 -0.000014 [c,b] 0.000008

Contoh Program di PascalProgram Bisection;

Uses crt;

label ulang;

var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real;

i : integer; ab : char;

begin

ulang :

clrscr;

writeln('Tentukan nilai akar dari persamaan f(x)=x^3+x^2-3x-3=0 dengan Metode Biseksi');

write( 'Masukan nilai x1 = ' );

readln( x1 );

y1 := x1 * x1 * x1 * + x1 * x1 - 3 * x1 -3;

writeln(' Nilai f(x1)= ',y1:0:4);

repeat

begin

write( 'Masukan nilai x2 = ');

readln(x2);

y2 := x2 * x2 * x2 + x2 * x2 - 3 * x2 - 3;

write(' Nilai f(x2)= ',y2:0:4);

end;

if (y1*y2)<0 then

Writeln(' Syarat Nilai Ok')

else

Writeln(' Nilai X2 Belum Sesuai');

until ( y1 * y2 ) < 0;

I :=2;

Writeln;

writeln('Penyelesaian Persamaan Dengan Metode Biseksi, Nilai x1= ',x1:0:2,' & x2= ',x2:0:2);

writeln('--------------------------------------------------------------------------');

writeln('n x f(x) error ');

writeln('--------------------------------------------------------------------------');

repeat

begin

i :=i + 1 ; x3 := ( x1 + x2) / 2;

y3 := x3 * x3 * x3 + x3 * x3 - 3 * x3 -3;

if (i mod 10)=0 then readln;

if i<10 then

writeln(' ',i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::')

else writeln(i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::');

if ( y1* y3) <0 then

begin

x2 :=x3;

end else begin

x1 := x3;

end;

end;

until abs( y3 )<1E-07;

writeln('-------------------------------------------------------------------------');

writeln('akar persamaanya = ',x3);

writeln('errornya =',abs( y3 ));

writeln('-------------------------------------------------------------------------');

write('Apakah anda ingin mengulanginya (y/t): ');

readln(ab);

if (ab='y') or (ab='Y') then

goto ulang;

end.

Penjelasan Program

Metode bisection disebut juga metode Pembagian Interval atau metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan :

Dimana nilai f(Xa) dan nilai f(Xb) harus memenuhi persyaratan f(Xa)*f(Xb)<0

Contoh dan cara penyelesaian:

Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear dibawah ini dengan metode Biseksi:

f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4

f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3

Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

Penjelasan Program

Langkah 2: mencari nilai x3.

Dan f(x3)= 1.53 + 1.52 - 3(1.5) – 3 = -1.875

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.0 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x1 dan x3 karena nilai f(x1)*f(x3)<0 maka :

Dan f(x4)= 1.753 + 1.752 - 3(1.75) – 3 = 1.71875

Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7. Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x = 1.73205080.

dengan nilai errornya f(x)= 1.2165401131E-08

Metode Regula-falsi

Kelemahan metode bagidua terletak pada

lamanya waktu untuk mencapai konvergen

Metode regula-falsi (disebut juga dengan metode

posisi palsu) memperbaiki kelemahan tersebut

dengan cara memanfaatkan nilai f(a) dan f(b)

Dibentuk garis lurus yang menghubungkan titik

(a, f(a)) dan (b, f(b))

Perpotongan garis lurus tersebut dengan sumbu

X dinyatakan sebagai taksiran akar yang

diperbaiki

Metode Regula-falsi ..

Pada gambar, gradien

garis AB = gradien

garis BC, maka :

Contoh Penerapan Metode Regula-

falsi

Temukan akar persamaan f(x) = ex - 5x2 di

dalam selang [0,1] dan = 0.00001. e =

2.7182818

Tabel iterasi pencarian akar f(x) = ex - 5x2

r a c b f(a) f(c) f(b) selang baru Lebar selang

0 0.000000 0.304718 1.000000 1.000000 0.891976 -2.281718 [c,b] 0.695282

1 0.304718 0.500129 1.000000 0.891976 0.398287 -2.281718 [c,b] 0.499871

2 0.500129 0.574417 1.000000 0.398287 0.126319 -2.281718 [c,b] 0.425583

3 0.574417 0.596742 1.000000 0.126319 0.035686 -2.281718 [c,b] 0.403258

4 0.596742 0.602952 1.000000 0.035686 0.009750 -2.281718 [c,b] 0.397048

5 0.602952 0.604641 1.000000 0.009750 0.002639 -2.281718 [c,b] 0.395359

6 0.604641 0.605098 1.000000 0.002639 0.000713 -2.281718 [c,b] 0.394902

7 0.605098 0.605222 1.000000 0.000713 0.000192 -2.281718 [c,b] 0.394778

8 0.605222 0.605255 1.000000 0.000192 0.000052 -2.281718 [c,b] 0.394745

9 0.605255 0.605264 1.000000 0.000052 0.000014 -2.281718 [c,b] 0.394736

10 0.605264 0.605266 1.000000 0.000014 0.000004 -2.281718 [c,b] 0.394734

11 0.605266 0.605267 1.000000 0.000004 0.000001 -2.281718 [c,b] 0.394733

12 0.605267 0.605267 1.000000 0.000001 0.000000 -2.281718 [c,b] 0.394733

13 0.605267 0.605267 1.000000 0.000000 0.000000 -2.281718 [c,b] 0.394733

14 0.605267 0.605267 1.000000 0.000000 0.000000 -2.281718 [c,b] 0.394733

15 0.605267 0.605267 1.000000 0.000000 0.000000 -2.281718 [c,b] 0.394733

16 0.605267 0.605267 1.000000 0.000000 0.000000 -2.281718 [c,b] 0.394733

17 0.605267 0.605267 1.000000 0.000000 0.000000 -2.281718 [c,b] 0.394733

18 0.605267 0.605267 1.000000 0.000000 0.000000 -2.281718 [c,b] 0.394733

19 0.605267 0.605267 1.000000 0.000000 0.000000 -2.281718 [c,b] 0.394733

20 0.605267 0.605267 1.000000 0.000000 0.000000 -2.281718 [c,b] 0.394733

21 0.605267 0.605267 1.000000 0.000000 -0.000000 -2.281718 [a,c] 0.000000

Stagnant Point pada Metode-

Regula Falsi

Jika kurva fungsi berbentuk cekung (konkaf) di

dalam selang [a, b], maka garis potong selalu

berada di atas atau di bawah kurva

Perhatikan gambar berikut :

Stagnant Point pada Metode-Regula

Falsi

Pada kondisi paling ekstrim, |b-ar| tidak pernah

lebih kecil dari . Hal ini disebabkan, salah satu titik

ujung selang, yakni b selalu bernilai tetap untuk

setiap lelaran (iterasi) r = 0,1, 2, 3, …

Titik ujung selang yang tidak pernah berubah

disebut dengan titik mandek (stagnant point), di

mana :

|br - ar| = |b - ar| untuk r = 0, 1, 2, 3, …

Untuk mengatasi titik mandek, kondisi berhenti

pada metode regula-falsi harus ditambahkan

dengan memeriksa apakah nilai f(c) sudah sangat

kecil sehingga mendekati nol

Perbaikan Metode Regula-

Falsi Untuk mengatasi kemungkinan titik mandek, maka

dilakukan perbaikan terhadap metode regula-falsi

(modified false position method)

Teknik yang digunakan adalah setelah menentukan

selang baru pada setiap akhir lelaran, maka akan

ditentukan mana yang menjadi titik mandek. Lalu,

nilai fungsi pada titik mandek tersebut dibagi dua

dan selanjutnya nilai ini digunakan untuk lelaran

berikutnya

Tabel berikut menunjukkan lelaran pada

persamaan f(x) = ex - 5x2 di dalam selang [0,1],

= 0.00001, dan e = 2.7182818 dengan perbaikan

metode regula-falsi

Tabel Lelaran pada Perbaikan Metode

Regula-Falsi

r a c b f(a) f(c) f(b)

0 0.000000 0.304718 1.000000 1.000000 0.891976 -2.281718

1 0.304718 0.609797 1.000000 0.891976 -0.019205 -1.140859

2 0.304718 0.603367 0.609797 0.891976 0.008005 -0.019205

3 0.603367 0.605259 0.609797 0.008005 0.000035 -0.019205

4 0.605259 0.605275 0.609797 0.000035 -0.000035 -0.009602

5 0.605259 0.605267 0.605275 0.000035 0.000000 -0.000035

Hampiran akar x = 0.605267

Contoh Program Pascalprogram regula_falsi;

uses wincrt;

label ulang;

Var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real;

i : integer;

Ab :char;

data1 : real;

begin

ulang:

clrscr;

writeln('Tentukan nilai akar dari persamaan f(x)=x^3+x^2-3x-3=0 dengan Regula Falsi');

write('Masukan nilai x1 = ');readln(x1);

y1 := x1 * x1 * x1 + x1 * x1 - 3 * x1 - 3;

writeln(' Nilai f(x1)= ',y1:0:4);

repeat

begin

write( 'Masukan nilai x2 = ' ); readln(x2);

y2 := x2 * x2 * x2 + x2 * x2 - 3 * x2 - 3;

write(' Nilai f(x2)= ',y2:0:4);

end;

if (y1*y2)<0 then

Writeln(' Syarat Nilai Ok')

else

Writeln(' Nilai X2 Belum Sesuai');

until ( y1 * y2 ) <0;

writeln;

writeln('Penyelesaian persamaan karekteristik dengan metoda regula falsi');

writeln('----------------------------------------------------------------------');

writeln(' n x f(x) error ');

writeln('----------------------------------------------------------------------');

Contoh Program Pascalrepeat

begin

i:= i + 1; x3 := ( x2-( y2 / ( y2 - y1))*(x2-x1));

y3 := x3 * x3 * x3 + x3 * x3 - 3 * x3 - 3;

if i<10 then

writeln(' ',i,' : ',x3,' : ',y3,' : ',abs(y3),' : ')

else

writeln(i,' : ',x3,' : ',y3,' : ',abs(y3),' : ');

if ( y1 * y3 ) <0 then

begin

x2 := x3 ; y2 := y3 ;

end

else

begin

x1 := x3 ; y1 := y3;

end;

end;

until abs( y3 ) < 1E-08;

writeln('----------------------------------------------------------------------');

writeln('Akar persamaannya= ',x3);

writeln('Errornya=' ,abs( y3 ));

writeln('----------------------------------------------------------------------');

writeln('Apakah anda ingin mengulangi (y/t): ');

readln(ab);

if (ab='y') or (ab='Y') then

goto ulang;

end.

Penjelasan Program

Metode Regula Falsi disebut juga metode Interpolasi Linear yaitu metode yang digunakan untuk mencari akar- akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan :

Contoh dan cara penyelesaian

Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear di bawah ini dengan metode Regula Falsi:

f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4

f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3

Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

Penjelasan Program

Metode Regula Falsi disebut juga metode Interpolasi Linear yaitu metode yang digunakan untuk mencari akar- akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan 2.1:

Contoh dan cara penyelesaian

Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear di bawah ini dengan metode Regula Falsi:

f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4

f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3

Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

Langkah 2: mencari nilai x3 dengan persamaan 2.1:

Dan f(x3)= 1.571423 + 1.57142 2 - 3(1.57142) – 3 = -1.3644314869

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.1 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x2 dan x3 karena nilai f(x2)*f(x3)<0 maka :

Dan f(x4= 1.705413 + 1.705412 - 3(1.70541) – 3 = -0.247745

Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7. Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x = 1.7320508074.

dengan nilai errornya f(x)= 2.0008883439E-09

Penjelasan Program

Langkah 2: mencari nilai x3 dengan persamaan :

Dan f(x3)= 1.571423 + 1.57142 2 - 3(1.57142) – 3 = -

1.3644314869

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.1 pada hasil

langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan

nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilai

yang digunakan yaitu x2 dan x3 karena nilai f(x2)*f(x3)<0 maka :

Dan f(x4= 1.705413 + 1.705412 - 3(1.70541) – 3 = -0.247745

Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu

seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7.

Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x =

1.7320508074.

dengan nilai errornya f(x)= 2.0008883439E-09