arfima-figarch.pdf

20

BAB III

ARFIMA-FIGARCH

3.1 Time Series Memori Jangka Panjang

Proses ARMA sering dinyatakan sebagai proses memori jangka pendek (short memory) karena fungsi autokorelasi antara dan turun cepat secara eksponensial untuk k . Dalam kasus-kasus tertentu, dapat saja

terjadi fungsi autokorelasi turun lambat atau turun secara hiperbolik untuk lag

semakin besar yang menunjukkan bahwa pengamatan yang jauh terpisah masih

saling berhubungan. Kondisi ini dikatakan bahwa proses mempunyai memori

jangka panjang atau terdapat ketergantungan jangka panjang. Suatu proses

stasioner dengan fungsi autokorelasi () dikatakan proses memori jangka panjang jika lim =1 tidak konvergen. (Hosking, 1981).

Cara yang biasa digunakan untuk membentuk model dari suatu data time

series memori jangka panjang adalah dengan menggunakan operator differensi

(1 ) untuk d bilangan real, misalkan, 0,5 < < 0,5 , jadi suatu model time series memori jangka panjang umumnya berbentuk

(1 ) = (3.1) Dimana adalah proses white noise dengan varians 2.

21

3.2 Model ARFIMA

Pemodelan ARFIMA dilakukan pada data time series non stasioner

dimana fungsi autokorelasi turun lambat yang mendekati linear atau turun secara

hiperbolik. Penanganan data non stasioner ini dengan menggunakan model

ARFIMA tidak perlu dilakukan tahap diferencing atau penyelisihan seperti pada

data non stasioner dengan d bulat. Karena dengan transformasi (1-B)d pada model

ARFIMA dengan nilai d bernilai riil dapat menangani data non stasioner. Dengan

transformasi itu dapat menangkap memori jangka panjang atau ketergantungan

jangka panjang sehingga dapat menghilangkan ketidakstasioneran dan dapat

menghilangkan trend data.

Misalkan Zt adalah data dengan sifat memori jangka panjang maka

pemodelan terbaik adalah proses Fractional Integrated ARMA yang juga

dinamakan proses ARFIMA yang pada awalnya dikembangkan oleh Granger,

(1980).

Model ARFIMA (p,d,q) diberikan oleh:

()(1 ) = () (3.2) dimana

() = 1 "# "$$ "&& (3.3) () = 1 + (# + ($$ + + (&& (3.4)

=1) merupakan kumpulan observasi dari proses yang diamati, dan =1) merupakan deret kesalahan stasioner.

22

3.2.1. Fractional Differencing

Untuk suatu nilai riil d, operator diferensi fractional (1 ) didefinisikan sebagai berikut:

= (1 ) = 1 + (+,)(),!,=1 , (3.5) Bila persamaan tersebut dijabarkan maka diperoleh,

Untuk i=1, diperoleh .(/0#).(/)#! = (/)!(//#)!#! = Untuk i=2, diperoleh .(/0$).(/)$! = (/0#)!(//#)!$! = /(#/)$ Untuk i=3, diperoleh .(/01).(/)1! = (/0$)!(//#)!1! = /(#/)($/)2 dan seterusnya. Sedemikian sehingga diperoleh,

1 1

2 3

( )1 ( ) !1 11 (1 ) (1 )(2 )2 6

(1 )ddid i

d i

dB d d d d d

B

B

B B

=

=

+= +

=

K

(3.6)

Ditunjukan oleh Granger dan Joyeux (1980) serta Hosking (1981) bahwa

jika, 0,5 < < 0,5 , Zt adalah stasioner dan invertible dengan 34 ( ) = .(#/$)5.(#/)67 (3.7) dan fak

() = .(#/).(80).().(80#/) , = 1,2, (3.8)

23

Misalkan k=1, maka diperoleh,

(1 ) (1 )(1) ( ) (1 1 )(1 1)!(1 1)!

( 1)!(2 1)!( )!( )!

( 1)!(1 )!( )!( )( 1)!

( 1)!(1 )( )!.(1 )

d dd d

d dd d

d dd d

d d dd d d

dd

+= +

+ =

=

=

=

Beberapa karakteristik deret fractionally integrated untuk berbagai nilai d

yaitu:

a. Jika d = 0, maka proses menunjukkan fungsi autokorelasi turun cepat secara

eksponensial dengan proses ARMA.

b. Jika d (0, 0.5), maka proses ARFIMA Zt merupakan proses stasioner dengan

fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial Zt semua positif yang

menunjukkan turun lambat atau turun secara hiperbolik menuju nol dengan lag

meningkat.

c. Jika d (-0.5, 0), maka proses ARFIMA Zt merupakan proses stasioner

dengan fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial Zt semuanya

negatif yang kelambatan monoton dan hiperbolik menuju nol dengan lag

meningkat.

d. Jika d (0.5, 1), maka proses ARFIMA Zt merupakan proses tidak stasioner.

(Atkink dan Cheng, 2002)

24

3.2.2. Identifikasi Model ARFIMA

Pengidentifikasian model ARFIMA pada tahap awal dengan menggunakan

plot data time series. Model-model time series dapat diidentifikasi melalui pola

dalam data, yaitu:

a. Plot data time series untuk melihat pola data

b. Plot fungsi autokorelasi dan plot fungsi autokorelasi parsial

c. Transformasi Box-Cox untuk data tidak stasioner dalam varians.

(Wei, 1990)

Pada data yang terindikasi adanya ketidakstasioneran dalam mean pada

ARIMA dilakukan dengan differensi sebanyak d kali dengan d bernilai bulat.

Sedangkan pada pemodelan ARFIMA dapat menangkap indikasi ketergantungan

jangka panjang dengan nilai d tertentu yang bernilai real.

3.2.3. Taksiran Parameter Model ARFIMA

Fungsi autokovarians dari model ARMA stasioner dengan mean ,

: = ;5( /# :>/# :A D = (3.10) Bentuk (3.10) disebut matriks Toeplitz, yang dinotasikan dengan

(:A, :#, , :>/8) dengan ~G>(

25

Dengan kenormalan pada (3.11) diperoleh fungsi kepadatan peluangnya

yaitu,

1 12

2

1 1( , ) exp( ( ) ' ( ))22

Tf Z Z Z pi

= (3.12)

dan dengan prosedur untuk menghitung autokovarian pada (3.10), maka log-

likelihood dengan H = < dapat ditulis sebgai berikut: log KL, ", (, M2N = )2 log(2O) 12 log|| 12 H1H (3.13) jika = RS$ pada persamaan (3.10), maka diperoleh log KL, ", (, M2N = )2 log(2O) 12 logTRM2T 12 H 1RM2 H = >$ log(2O) >$ log S$ #$ log|R| #$UV7 HWR/#H (3.14) diferensiasi log-likelihood pada persamaan (3.11) diperoleh

X(YZ[ \(,],^,UV7))XUV7 = >$UV7 + #$(UV7)7 HWR/#H (3.15) dengan menyamakan nol pada persamaan (3.15) diperoleh

_(log K(, ", (, M2))_M2 = 0 )2S$ +

12(S$)$ HWR/#H = 0 )2S$ =

12(S$)$ HWR/#H ) = 1S$ HWR/#H M2 = )1HR1H (3.16)

26

3.2.4. Kriteria Pemilihan Model ARFIMA Terbaik

Untuk memilih model terbaik digunakan beberapa kriteria pemilihan

model, yaitu:

a. Akaikes Information Criterion

Untuk menilai suatu kualitas dari pemilihan model, Akaike pada tahun

1973 memperkenalkan kriteria informasi yang mempertimbangkan banyaknya

parameter. Kriteria tersebut dinamakan AIC (Akaikes Information Criterion).

Untuk menghitung nilai AIC digunakan:

`ab = c ln ef$ + 2g (3.17) dimana,

M : banyaknya parameter dalam model

n : banyaknya observasi

h2: estimasi dari Mean Squre Error Dengan kriteria memilih nilai AIC yang paling kecil.

b. Schwartzs Bayesian Criterion

Pada tahun 1978, Schwartz mengusulkan pemilihan model dengan

Bayesian Criterion yang dinamakan SBC (Schwartzs Bayesian Criterion) yang

dirumuskan sebagai berikut:

ib = c ln ef$ + g ln c (3.18) dimana,

M : banyaknya parameter dalam model


h2: estimasi dari Mean Squre Error

27

Dengan kriteria memilih nilai SBC yang paling kecil.

c. Mean Square Error (MSE)

( )pSSEMSE

n n=

(3.19)

dimana,

2

1

n

ii

SSE e=

=


np: banyaknya parameter yang diestimasi

Pada tugas akhir ini, kriteria yang digunakan untuk pemilihan model

terbaik adalah metode AIC.

3.2.5. Peramalan Model ARFIMA

Seperti pada pembahsan sebelumnya, misalkan 1 2( , ,..., ) 'TZ Z Z Z= adalah

nilai-nilai pengamatan setelah estimasi. Diasumsikan Zt adalah stasioner dan

d > -1, maka prediksi linear terbaik dari ZT+h adalah

1 [ ( 1 )... ( )]{ [ (0),..., ( 1)]} 'T hZ r T h r h r r T Z q Z+ = + = (3.20)

yang terdiri dari kebalikan fungsi autokovarian dikalikan dengan data aslinya

yang diboboti oleh korelasinya. Mean Square Error peramalan adalah

2( ) [ (0) ' )]T h aMSE Z r r q+ = . (3.21)

28

3.3. Model ARCH

Model Autoregressive Conditional Heteroskedastic (ARCH) pertama kali

diperkenalkan oleh Engle (1982) merupakan teknik pemodelan yang dilakukan

apabila terdapat heteroskedastisitas dalam varian residual, yaitu dengan

memodelkan mean dan varian secara simultan sebagai suatu deret waktu. Model

ARCH adalah suatu kasus residual model ARIMA Box-Jenkins yang sudah

memenuhi asumsi dasar white noise, tetapi dalam kuadrat residualnya

menunjukkan adanya perubahan varian.

Dalam suatu variabel random proses residual yang memiliki bentuk

t t ta h= , dimana t adalah proses white noise dengan mean nol dan variansi 1,

maka mean = 0, karena ;( ) = 0 dan varian bersyarat sama dengan , yaitu ;( $) = . Bentuk umum model ARCH(p) adalah :

2

1

p

t i t ii

h a

=

= + . (3.22)

Dalam persamaan (3.22), 2 1ta sampai 2t pa mempunyai efek langsung

terhadap 2ta sehingga varian bersyarat identik seperti proses AR orde p. Dengan

menggunakan operator lag atau backshift B pada waktu t, model ARCH(p) dapat

ditulis sebagai :

= k0 + k()2 (3.23) dimana,

k() = "ll&lm# .

29

3.4. Model GARCH

Pengembangan model ARCH dinamakan Generalized Autoregressive

Conditional Heteroskedasticity (GARCH) yang diperkenalkan oleh Bollerslev

(1986). Model GARCH (p,q) dapat diekspresikan sebagai berikut:

2

1 1,

p q

t i t i t jji j

h a h

= =

= + + (3.24)

dimana 0, 0, 0i j = dan max( , )

1( )

p q

i ii

=

+ < 1. Dengan menggunakan

operator lag atau backshift B, model GARCH (p,q) dapat ditulis sebagai:

= n + k()2 + o(), (3.25) dimana k() = "ll&lm# dan o() = ollplm# . Proses stasioner terpenuhi ketika (1) (1) 1 + < . Proses ini dapat ditulis sebagai bentuk ARMA, sehingga bentuk (3.25) dapat ditulis sebagai:

2 2[1 ( ) ( )] [1 ( )]( )t t tB B a B a h = + . (3.26)

3.5. Model IGARCH

Jika polinomial [1 ( ) ( )]B B memliki akar-akar di luar lingkaran satuan ,

maka Engle dan Bolleslev (1986) mendefinisikan model IGARCH (p,q) sebagai2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

1

(1 ) ( ) [1 ( )]( )(1 ) ( ) [ ( ) ( ) ](1 ) ( ) [ (1 ( )) (1 ( ))]

(1 ( )) (1 ( )) (1 ) ( )[(1 ( )) (1 ) ( )]

(1 ( ))(1 ( )) {[1

t t t

t t t t t

t t t

t t t

tt

t

B B a B a hB B a a h B a B hB B a a B h B

h B a B B B aa B B Bh

Bh B

= +

= + +

= +

= +

+ =

= + 1 2( )(1 ) ( )](1 ( )) } tB B B B a

(3.27)

30

dimana 1( ) [1 ( ) ( )](1 )B B B B = dan ini adalah orde {m-1}.

3.6. Model FIGARCH

Jika ditambahkan d berupa bilangan real pada operator diferensi pertama,

maka Bailei, Bollerslev dan Mikkelsen (1996) memperkenalkan Fractionally

Integrated Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity

(FIGARCH), dengan model, sebagai berikut: 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

1

(1 ) ( ) [1 ( )]( )(1 ) ( ) [ ( ) ( ) ](1 ) ( ) [ (1 ( )) (1 ( ))]

(1 ( )) (1 ( )) ( )(1 )[(1 ( )) ( )(1 ) ]

(1 ( ))(1 ( ))

dt t t

dt t t t t

dt t t

dt t t

dt

t

t

B B a B a hB B a a h B a B hB B a a B h Bh B a B B B a

a B B BhB

h B

= +

= + +

= +

= +

+ =

= 1 2{[1 ( )(1 ) ( )](1 ( )) }d tB B B B a +

(3.28)

dimana, 0

31

b. Statistik uji 2

2( )

1

( 2) ( )K

ik K p q

iQ T T

T K

=

= +

(3.29)

c. Kriteria Pengujian

Tolak H0 jika 2;( )k K p qQ > .

3.6.2. Taksiran Parameter Model FIGARCH

Pendekatan yang paling umum untuk menaksir model ARCH dengan

mengasumsikan adanya kenormalan dalam prosesnya. Dengan asumsi tersebut,

Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk parameter proses FIGARCH yang

didasarkan pada sample 1 2{ , , , }Ta a aK diperoleh dengan memaksimumkan fungsi

berikut:

21 2

1

1 1log ( ; , ,..., ) log(2 ) (log )2 2

T

T t t tt

Q a a a h a h pi=

= + (3.30)

dimana 1 1( , , ,..., , ,..., )p qd = .

Model ARCH (1) ekivalen dengan model GARCH (p,q) dengan p = 1,

dan q = 0 yang memiliki persamaan 20 1 1t th a = + . Estimasi parameter 0

dan 2 dapat diperoleh dari derivative fungsi loglikelihood 0

log L

dan 1

log L

masing-masing yaitu,

2120 1 1 2

1 10 0 1 1

1 2 22 2 1

1 0 1 1 2 21 1 11 0 1 1

log 1 1 02 2

log 1 1 02 2 [ ]

T Tt

tt t t

T T Tt t

t tt t t t

aLa

a

a aLa a

a

= =

= =

= + = +

= + = +

(3.31)

32

Sedangkan model IGARCH (1,1) ekivalen dengan model FIGARCH

(p,d,q) dengan p = 1, d = 0 dan q = 1 yang memiliki persamaan 2

0 1 1 1 1t t th a h = + + . Estimasi parameter 0 , 1 , dan 1 dapat diperoleh dari

turunan fungsi log-likelihood 0

log L

,

1

log L

dan 1

log L

masing-masing, yaitu

211

2 21 10 0 1 1 0 1 1

1 2 22 2 1 1

1 1 0 1 1 221 1 11 0 1 1

11 1

(1 )1log 1 1 02 2

(1 )log 1 1(1 ) 02 2

log 1 1 12 (1 ) 2

T Tt

t tt t

T T Tt t

t tt t t

t

T

t

aLa a

a aLa a

a

aL

= =

= = =

=

= = + +

= + = +

= +

2

21 0 1 1

0T

t

t ta = =

+

(3.32)

(Laurent dan Peter, 2002).

3.6.3. Peramalan Model FIGARCH

Untuk kasus GARCH (p,q), peramalan optimal h-tahap dari varian

bersyarat, yaitu |t h th + diberikan oleh 2 | |1 1

p q

t i t h i t j t h i tt t

h a h + + = =

= + + (3.33).

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh peramalan h langkah ke depan

varian bersyarat dari FIGARCH. (Laurent dan Peter, 2002)

arfima-figarch.pdf

Documents