aplikasi turunan

45
K-1/Der/1 Beberapa Aplikasi Turunan 1. Koefisien arah Garis Singgung, (Garis Normal, Garis Singgung, Sub-Normal, Sub-Tangen). 2. Limit dengan bentuk taktentu (Dalil L’Hospital) 3. Laju Perubahan 4. Maksima & Minima

Upload: subhanallah-spd

Post on 04-Jul-2015

857 views

Category:

Documents


23 download

TRANSCRIPT

Page 1: aplikasi turunan

K-1/Der/1

Beberapa Aplikasi Turunan

1. Koefisien arah Garis Singgung,

(Garis Normal, Garis Singgung, Sub-Normal, Sub-Tangen).

2. Limit dengan bentuk taktentu

(Dalil L’Hospital)

3. Laju Perubahan

4. Maksima & Minima

1.Koefisien arah Garis Singgung

Page 2: aplikasi turunan

K-1/Der/2

Jika turunan pertama dari f(x) pada titik

(x0,y0) adalah f’(x0) yang hingga, maka grafik y=f(x) mempunyai garis singgung di (x0,y0) dgn koefisien arah m=tg=f’(x0).

Pers. garis singgung : y-y0 = m(x-x0)

Jika m=0, garis singgung sejajar sb x

Dengan pers. y = y0

Bila f(x) kontinyu pada x=x0, tetapi

f’(x)=, maka f(x) mempunyai garis singgung yang sejajar sb y x = x0

Page 3: aplikasi turunan

K-1/Der/3

Contoh : Tentukan persamaan garis singgung dari pada titik (2,4).

=4m=4 Pers. Grs singgung :

Atau

Garis Normal

Y Grs. Singgung f(x) (x0,y0)

Page 4: aplikasi turunan

K-1/Der/4

Grs. Normal X

Jika koefisien arah grs singgung = mmaka koefisien arah grs normal = ?

Sub-Normal, Sub-Tangen

Y Grs. Singgung f(x)

Page 5: aplikasi turunan

K-1/Der/5

P (x0,y0) Grs. Normal X Q R S

SUBTANGEN = QRSUBNORMAL = RSPanjang Grs Singgung = PQPanjang Grs Normal = PS

m=tg=

Panjang Subtangen = QR = | |Panjang Subnormal = RS = |my0|

Contoh :Dari kurva xy+2x-y=5, tentukan :

pers. grs singgung dan panjangnya

Page 6: aplikasi turunan

K-1/Der/6

pers. grs Normal dan panjangnyapanjang subnormalpanjang subtangen

2. Limit dengan bentuk taktentu

(Dalil L’Hospital)

Yang dimaksud dengan limit dengan bentuk tak tentu adalah

limit dengan bentuk-bentuk : 0/0, /, 0. , -, 00, 0

dan 1

Page 7: aplikasi turunan

K-1/Der/7

Untuk menghitung limit dengan bentuk-bentuk tersebut digunakan aturan L’Hospital.

Aturan L’Hospital :Jika a adalah suatu bilangan, f(x) dan g(x) differensiabel, g(x)0, utk setiap x pada interval 0<|x-a|<, ,

, maka bila

berlaku :

Contoh :Hitung

Page 8: aplikasi turunan

K-1/Der/8

Catatan :jika dan

diganti dengan : dan

akan diperoleh bentuk

3. LAJU PERUBAHAN

Dalam FISIKAJika s=f(t) adalah posisi partikel P yang bergerak sepajang garis lurus, maka :

Page 9: aplikasi turunan

K-1/Der/9

menyatakan kec.

rata-rata pada periode waktu

v= menyatakan kec.

sesaat

Jika v>0, maka P bergerak searah dengan naiknya s

Jika v<0, maka P bergerak searah dengan turunnya s

Jika v=0, maka P dalam keadaan berhenti

Percepatan dari P pada waktu t adalah :

Page 10: aplikasi turunan

K-1/Der/10

a= =

Jika a>0 v naikJika a<0 v turun

Kelajuan (Speed) bertambah jika v dan a bertanda sama.Kelajuan (Speed) berkurang jika v dan a berbeda tanda.

Contoh :Posisi partikel ditunjukkan oleh pers.s=f(t)=t3-6t2+9t (t dlm detik dan s dlm meter).a. Cari kecepatan pada waktu t

Page 11: aplikasi turunan

K-1/Der/11

b. Cari kecepatan setelah 2 detikc. Kapan partikel berhentid. kapan partikel bergerak maju ?

Jawab :a.Fungsi kecepatan adalah

turunan dari fungsi posisi. s=f(t)=t3-6t2+9t

v(t)= =3t2-12t+9

b.Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2

v(t)= =3t2-12t+9

v(2)= 3(2)2-12(2)+9=-3m/dt

Page 12: aplikasi turunan

K-1/Der/12

c. Partikel berhenti jika v(t)=0 v(t)= 3t2-12t+9=0 3t2-12t+9=3(t2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0 t1=1 dan t2=3 Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3

d.Partikel bergerak maju (dlm arah

positif) jika v(t)>0 3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0 Partikel bergerak maju jika t<1 atau t>3 (dari mana ?)

Partikel bergerak mundur jika

Page 13: aplikasi turunan

K-1/Der/13

1<t<3

Dalam Ekonomi

Misal C(x) adalah biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan untuk menghasilkan x satuan barang tertentu.Fungsi C disebut sebagai fungsi biaya.Jika banyakya barang yg dihasilkan bertambah dari x1 menjadi x2, biaya tambahan =

=C(x2)-C(x1).

Laju perubahan rata-rata biaya adalah :

Page 14: aplikasi turunan

K-1/Der/14

Limit besaran ini ketika 0 disebut laju perubahan sesaat biaya, terhadap banyaknya barang yang dihasilkan.

Oleh para ekonom disebut dengan biaya marjinal.

Biaya Marjinal =

Contoh :Misal perusahaan menaksir biaya memproduksi x unit barang (dlm USD) adalah : C(x)=10.000+5x+0,01x2 Maka fungsi biaya marjinalnya adalah

Page 15: aplikasi turunan

K-1/Der/15

C’(x)=5+0,02x

Biaya marjinal untuk tingkat produksi 500 unit adalah : C’(500)=5+0,02(500)=USD 15/unit

4. MAKSIMA dan MINIMA

Fungsi Naik dan Fungsi

Turun.

Definisi :f(x) dikatakan naik pada

titik x=x0

jika untuk h>0 yang cukup kecil,

Page 16: aplikasi turunan

K-1/Der/16

berlaku : f(x0-h)<f(x0)<f(x0+h)

f(x) dikatakan turun pada titik x=x0 jika untuk h>0 yang cukup kecil, berlaku : f(x0-h)>f(x0)>f(x0+h)

Karena turunan pertama f(x) pada titik x=x0 menyatakan koefisien arah dari grs singgung dititik x=x0, maka :f(x) naik pada titik x=x0 bila

f’(x0)>0 f(x) turun pada titik x=x0 bila

f’(x0)<0

Page 17: aplikasi turunan

K-1/Der/17

Jika f’(x0)=0, maka dikatakan f(x) mempunyai titik kritis di x=x0

f(x) dikatakan naik pada suatu intervalbila f’(x) > 0 x pada interval tersebut.

f(x) dikatakan turun pada suatu intervalbila f’(x) < 0 x pada interval tersebut.

x1 x5

Page 18: aplikasi turunan

K-1/Der/18

x2 x3 x4

Definisi :f(x) dikatakan mempunyai maksimum relatif f(x0) di x=x0

jika ada q>0 f(x)<f(x0) x dengan 0<|x-x0|<q

f(x) dikatakan mempunyai minimum relatif f(x0) di x=x0 jika ada q>0 f(x)>f(x0) x dengan 0<|x-x0|<q

Titik (x0,f(x0)) yang merupakan titik maksimum/minimum relatif disebut juga sebagai titik ekstrim dari f(x).

Page 19: aplikasi turunan

K-1/Der/19

Jika f(x) didefnisikan pada suatu interval dan terdapat x=x0 pada interval tersebut f(x0)f(x) x, maka f(x) dikatakan mempunyai maksimum mutlak f(x0) di titik x=x0.

Jika f(x0)<f(x) minimum mutlak

maksimum mutlak

x1 x5

x2 x3 x4

minimum mutlak

f(x3) minimum relatif

Page 20: aplikasi turunan

K-1/Der/20

f(x4) maksimum relatif

Cara menghitung Ekstrim

Test Turunan kedua :

1. Cari titik kritis x=x0 dari f’(x)=0

2. Pada x=x0, jika : f”(x0)>0 maksimum

relatiff”(x0)<0 minimum

relatif

Test Turunan Pertama :

1.Cari titik kritis x=x0 dari f’(x)=0

2.Tentukan interval x0-q<x< x0+q dan periksa tanda

Page 21: aplikasi turunan

K-1/Der/21

f’(x) pada interval tersebut.

3.Jika tanda f’(x0) berubah dari + ke –pada x=x0, maka x=x0 titik maksimum relatif.Sebaliknya minimum

relatif.

Pertanyaan : Apa yg dimaksud dgn titik kritis (bilangan kritis) ?

Cari titik kritis dari f(x)=x3/5(4-x)

Page 22: aplikasi turunan

K-1/Der/22

f’(x)= =

f’(x)=0 =0 jika 12-

8x=0atau jika x=3/2

f’(x) juga tidak ada jika x=0

Jadi bilangan kritisnya adalah :x=3/2 dan x=0

Contoh aplikasi :1. Jumlah 2 bilangan positif =

20Tentukan bilangan-bilangan

tsb, jika a.perkaliannya maksimum

Page 23: aplikasi turunan

K-1/Der/23

b.jumlah kuadratnya minimum

Jawab :a.Misal bilangan pertama

adalah xBilangan kedua = 20-xPerkaliannya : x(20-x)

[x(20-x)]’=[20x-x2]’=20-2x [x(20-x)]”=[20x-x2]”=(20-2x)’=-2 f”(x)<0 Maksimum20-2x=0 x=bilangan pertama=10Bilangan kedua=20-x=20-10=10

Page 24: aplikasi turunan

K-1/Der/24

b. Jumlah kuadratnya minimum x2+(20-x)2 = minimum [x2+(20-x)2]” >0

[x2+(400-40x+x2)]” [2x-40+2x]’ = (4x-

40)’=4>0 [x2+(20-x)2]’= [x2+(400-

40x+x2)]’ [2x2-40x+400]’ = 4x-40 = 0

4x=40 x=10 (bilangan pertama)

Bilangan kedua =20-x=20-10=10

2.Seorang petani mempunyai pagar sepanjang 2400 meter dan bermaksud memagari

Page 25: aplikasi turunan

K-1/Der/25

lahannya yang berada ditepi sungai yang lurus. Jika lahan didaerah pinggir

sungai tidak dipagari, berapa dimensi terbesar dari lahannya yang dapat dipagari.

x y A=xy 2x+y=2400 y=2400-2x A=x(2400-2x)=2400x-2x2

A’=2400-4x=0 x=600y=1200

A”=-4 <0 Maksimum

dimensi terbesar dari lahan yang

Page 26: aplikasi turunan

K-1/Der/26

dapat dipagari :Panjang (y)= 1200 meterLebar (x)= 600 meter

enin, 09 Maret 2009aplikasi diferensial1. MAKSIMUM DAN MINIMUM

Definisi :andaikan S,daerah asal f,memuat titik c. kita katakan bahwa:(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S;(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x di s;(iii). f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;

teorema a :(teorema eksistensi maks-min). jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

teorema b :(teorema titik kritis). andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:(i) titik ujung dari I(ii) titik stasioner dari f(f'(c) = 0);(iii) titik singular dari f(f'(c) tidak ada);

mencari nilai ekstrim,prosedur sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.

langkah 1. carilah titik-titik kritis dari f pada I.langkah 2. hitunglah f pada setiap titik kritis. yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

contoh soal !penjelasan:

1. MAKSIMUM DAN MINIMUM

Definisi :andaikan S,daerah asal f,memuat titik c. kita katakan bahwa:(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S;(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x di s;(iii). f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;

Page 27: aplikasi turunan

K-1/Der/27teorema a :(teorema eksistensi maks-min). jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

teorema b :(teorema titik kritis). andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:(i) titik ujung dari I(ii) titik stasioner dari f(f'(c) = 0);(iii) titik singular dari f(f'(c) tidak ada);

mencari nilai ekstrim,prosedur sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.

langkah 1. carilah titik-titik kritis dari f pada I.langkah 2. hitunglah f pada setiap titik kritis. yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh soal !

Seorang petani mempunyai 80 meter kawat berduri untuk membuat tiga kandang persegi dan di satu sisi terdapat tembok sepanjang 100 meter. Maksimumlan kawat berduri tersebut sehingga luas maksimum.

Jawab:

Sketsakan gambar tesebut, hingga didapat:

4x+y = 80

y = 80 - 4x

luas total A = x.y

maka, A = 80x – 4x²

0<>

Maka yang dimaksimumkan adalah x [0,20].

dA/dx = 80 – 8x

x = 80/8 = 10 meter

dan y = 80 – 4(10) = 40 meter

2. KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN.

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka,tertutup,atau tidak satupun). Kita katakan bahwa:

(i). f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x¹ dan x² dalam I,

X¹<x²></x²>

(ii). F adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

X¹<x²>f(x²)</x²>

(iii).f adalah monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.

Page 28: aplikasi turunan

K-1/Der/28

1. Turunan pertama dan kemonotonan.

Teorema A: (teorema kemonotonan).

Jika f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam I:

(i). jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

(ii). Jika f’(x) <>

2. Turunan kedua dan kecekungan.

Teorema B: (teorema kecekungan).

Jika f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).

(i). jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung keatas pada (a,b)

(ii). Jika f”(x) <>

3. titik balik.

Definisi :

Andaikan f kontinu pada c. lita anggap (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f, jika f cekung keatas pada satu sisi dan cekung kebawah pada sisi lainnya dari c.

Contoh soal!

tentukan dimana grafik dari fungsi yang diberikan naik,turun,cekung keatas dan cekung kebawah?

f(x) = x³-3x-1

Jawab!

f(x) = x³-3x-1

f’(x) = 3x²-3 atau 3 (x-1)(x+1)

f”(x) = 6x

maka jika kita buat garis bilangan menjadi :

+ 0 - 0 +

_______-1______1_______

Maka, didapatkan :

f naik pada (-∞,-1] dan [1, ∞).

f turun pada [-1,1]

- 0 +

_________0________

Didapat pula:

f cekung keatas pada (0,∞)

f cekung ke bawah pada (-∞,0)

Page 29: aplikasi turunan

K-1/Der/29

3. MAKSIMUM dan MINIMUM LOKAL

Definisi :

Andaikan S, daerah asak f, memuat titk c. kita katakana bahwa:

(i). f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c, sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) bagian dari S;

(ii). f(c) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) bagian dari S;

(iii). f(c) nilai ekstrim lokalf jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.

Teorema A:( uji turunan pertama untuk ekstrim local)

Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

(i). jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) <>

(ii). jika f’(x) <> 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adlah nilai minimum local f.

(iii). jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nikai ekstrim local f.

Teorema B : (uji turunan kedua untuk ekstrim local).

Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik pad selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0.

(i). jika f” (c) (x-1) (x+1) 0, f(c) adlah nilai maksimum local f.

(ii). jika f” (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum local f.

Contoh soal!

Cari nilai ekstrim local dari f(x) = x4 – 2x² + 3 (-∞,∞)

Jawab:

f(x) = x4 – 2x² + 3

f’(x) = 4x³ – 4x

= 4x (x-1) (x+1) x=1 dan x=-1

Jika kita uji dengan titik uji, maka,.

(x-1) (x+1) > 0 di (-∞,1) dan (1, ∞)

(x-1) (x+1) <>

Dan f(-1) = 1 dan f(3) = 3 adalah nilai min dan max lokal.

4. MASALAH MAKS-MIN LAINNYA.

Banyak masalah-masalah praktis dalam hidup ini yang dapat diselesaikan dengan diferensial.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian masalah-masalah tsb:

1. buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yang sesuai dengan besaran-besaran kunci.

2. tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus di maksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variable-variabel tsb.

Page 30: aplikasi turunan

K-1/Der/30

3. gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghikangkan semua, kecuali satu dari variable-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari suatu variable, misal x.

4. tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.

5. tentukan titik-titik kritis ( titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dq/dx.

6. gunakan teorema untuk menentukan titik kritis mana yang memberikan maksimum.

Contoh soal!

Kawat 1800 meter akan dibuat mengitari stadion berbentuk persegi.. maksimumkanlah luasnya.

Jawab:

2x+2y=1800

y= 900-x

A= 900x-x² 0<900>

dA/dx = 900-2x

x= 900/2 = 450 meter

y= 900 – 450 = 450 meter

5. PENERAPAN EKONOMI.

C = f(x) = biya total

AC = f’(c) = biya marjinal

P(x) = total laba

P(x) = R(x) – C (x)

R(x) = pendapatan total.

Contoh soal!

Sebuah pabrik memperkirakan bahwa akan dapat menjual 100 satuan tiap minggu jika menetapkan harga Rp. 250000 dan penjualan akan meningkat sebanyak 20 satuan tiap penurunan harga Rp. 10000. expresikan harga p(x)?

Jawab:

X= 100 + (250000 – p(x))/ 100 . 20

P(x) = 250000 – (100 (x-100))/(20)

=250000 – 100x + 5000

=255000 – 100x

6. LIMIT DIKETAKHINGGAAN, LIMIT TAK TERHINGGA

Definisi :

Page 31: aplikasi turunan

K-1/Der/31(limit bila x –> ∞). Andaikan f terdefinisi pada (c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim x->∞ f(x) = L jika untuk masing-masing €>0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

X > M => [ f(x) – L] < €

(limit bila x -> -∞). Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk satu bilangan c. kita katakan bahwa lim x->-∞ f(x) = L jika untuk masing-masing €>0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

X< m =""> [ f(x) – L] < €

(limit-limit tak-terhingga). kita katakan bahwa lim x->c+ f(x) = ∞ jika untuk masing-masing bilangan positif M, berpadanan suatu ð =>0 sedemikian sehingga

0<> f(x) > M.

Contoh soal!

Tentukan nilai limit

Lim x-) ∞ (3-2x)/(x+5)

Jawab:

Lim x-) ∞ (3-2x)/(x+5)

= 3-0/0+5

= 3/5

7. PENGGAMBARAN GRAFIK CANGGIH

Fungsi rasional.

Merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Kkhususnya, kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.

Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu.

1. periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakahada daerah di bidang yang dikecualikan.

2. uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal ( fungsi genap atau ganjil)

3. cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

4. gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengtahui tempat-tempat grafik naik dan turun.

5. uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local.

6. gunakan turunan ke duauntuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik.

7. cari asimtot-asimtot.

Page 32: aplikasi turunan

K-1/Der/32

Contoh soal!

Buatlah analisis fungsi berikut !

F(x) = x³-3x²

Jawab;

F(x) = x³-3x²

F’(x) = 3x²-6x

= 3x (x-2) x=2

Uji di titik uji, sehingga kita dapat:

F’(x) lebih dari = o di (3, ∞)

F’(x) kurang dari = o di (-∞,1)

Maka, f(1) = -2 adalah nilai minimum lokal

Dan f(x) = 0 adalah nilai maksimum lokal

8. TEOREMA NILAI RATA-RATA

Teorema A:

(teorema nilai rata-rata untuk turunan).

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana:

f(b)-f(a) =f’(c)

b-a

atau,

f(b)-f(a) =f’(c)(b-a)

Teorema B:

Jika F’(x)=G’(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x)= G(x) + C

Untuk semua x dalam (a,b).

Contoh soal!

F(x) = x³-2x²-x-2 [1,3]. Carilah semua yang memenuhi teorema nilai rata-rata..

Jawab :

F(x) = x³-2x²-x-2

F’(x) = 3x²-4x-1

Dengan rumus: f(b)-f(a) =f’(c)

b-a

didapatlah = F(3) – f(1)/3-2

= 8-0/3-1 = 4.

Maka 3c²-4c-1=4

3c²-4c-5=0

Page 33: aplikasi turunan

K-1/Der/33Dengan rumus a,b,c didapat lah:

C1= (4- akar 76)/6

Dan

C2= (4+ akar 76)/6

B. APLIKASI INTEGRAL

1. LUAS DAERAH BIDANG RATA

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG: lempengan, cakram dan cincin.

3. VOLUME BENDA PUTAR

4. PANJANG KURVA PADA BIDANG (kurva rata).

5. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR.

6. KERJA

7. GAYA CAIRAN (fluida)

8. MOMEN, PUSAT MASSA

penjelasan:

1. LUAS DAERAH BIDANG RATA

Daerah diatas sumbu x.

Luas A(R) = ∫ f(x) dx dengan batas (a,b)

Daerah dibawah sumbu y.

Luas A(R) = - ∫ f(x) dx dengan batas (a,b)

Langkah-langkah yang membantu penyelesaian mencari luas:

1. gambarlah daerah yang bersangkutan

2. potonglah menjadi jalur-jalur tertentu

3. hampiri luas suatu jalur tertentu

4. jumlahkan luas aproksimasinya

5. ambillah limitnya

daerah antara dua kurva.

1. potong

2. aproksimasi

3. integralkan

contoh soal!

Tentukan luas daerah z yang dibatasi oleh y=x³-3x²-x+3, dan antara x=-1 dan x=2,

Jawab:

Page 34: aplikasi turunan

K-1/Der/34Jika kita sketsakan dengan gambar fungsi diatas, didapatlah:

A(z)= ∫ (x³-3x²-x+3) dx dengan batas (-1,1) - ∫ (x³-3x²-x+3) dx dengan batas (1,2)

= [x4/4 - x³-x²/2 +3] batas (-1,1) - [x4/4 - x³-x²/2 +3] batas (1,2)

= 4 – (-7/4)

= 23/4.

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG: lempengan, cakram dan cincin.

Metode cakram.

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu bagian bidangyang terbagi oleh sebuah garis lurus tetap, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah tersebut akan membentuk sebuah benda putar. Garis yang tetap tersebut disebut sumbu putar.

∆V=∏(f(x))² ∆x

Metode cincin.

Ada kalanya apabila sebuahbenda putar kita potong-potong tegak lurus pada benda putarnya, kita memperoleh sebuahcakram yang ditengah-tengah ada lubangnya. Daerah demikian disebut cincin.

∆V=∏(f(x)-1²) ∆x

Contoh soal!

Carilah volume benda putar dari y= 3+2x-x² dengan batas x=0 dan x=3, dengan memutar mengelilingi sumbu x?

jawab:

jika kita sketsakan,. Jawaban untuk pertanyaan a lebih mudah menggunakan metode cakram.,. yaitu :

∆V=∏( 3+2x-x² )² ∆x

V = ∏ ∫ ( 3+2x-x² )² dx ............................dengan batas (0,3)

= ∏ ∫ ( 9 + 2x²+x4) dx ......................dengan batas (0,3)

= ∏ [ 4x + 4x³ ] ......................dengan batas (0,3)

= ∏ [ 24 + 108]

= 132 ∏.

3. VOLUME BENDA PUTAR: kulit tabung.

Metode kulit tabung.

Page 35: aplikasi turunan

K-1/Der/35

Ada kalanya kita akan memotong-motongjalur yang vertical dan kemudian kita putar terhadap atau mengelilingi sumbu y. inilah yang dinamakan kulit tabung.

∆V=2∏x(f(x)) ∆x

Contoh soal!

Dengan soal yang sama dengan yang diatas, hanya saja fungsi diputar terhadap sumbu y?

Jawab!

∆V= 2∏x ( 3+2x-x² ) ∆x

V = 2∏ ∫ ( 3x+2x²-x³) dx ............................dengan batas (0,3)

= 2∏ ∫ ( 3 + 4x – 3x²) dx ......................dengan batas (0,3)

= 2∏ [ 3 + 12 -27 ]

= 2∏.-12

= -24∏.

4.PANJANG KURVA PADA BIDANG (kurva rata).

Definisi :

Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva itu ditentukan oleh persamaan-persamaan x= f(t), y= g(t), a ≤ t ≤ b, dengan ketentuan bahwa turunan-turunan f’ dan g’ adalah kontinu pada [a,b] sedangkan f’ (t) dan g’ (t)tidak bersama-sama nol di selang (a,b).

Contoh soal!

Tentukan keliling lingkaran x² + y²= a²

Jawab:

Misal;

x= a cos t

y= a sin t

L= ∫ akar a²sin² t + a² cos² t .dt ................. 0 s/d 2∏

= ∫ a dt ................. 0 s/d 2∏

= [at] ................. 0 s/d 2∏

= 2∏a.

5. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR.

A= 2∏(r1+r2/2)l = 2∏ (jari-jari)x(rusuk)

Page 36: aplikasi turunan

K-1/Der/36

Pemutaran melalui sumbu x.

A= lim ∑ 2∏y1 ∆si = ∫ 2∏y ds.

Pemutaran melalui sumbu y.

A=∫ 2∏X ds

Contoh soal!

Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva y = akar x dengan interval 0 s/d 4

Diputar mengelilingi sumbu x?

Jawab:

F’(x)= 1/(2akarx)

A = 2∏∫ akar x . akar (4x +1/4x) dx ................ 0 s/d 4

= [∏. ¼.2/3 (4x+1) pangkat 3/2 ................. 0 s/d 4

= ∏/6 ( 17 pangkat 3/2 – 1 pangkat 3/2)

= 36,18.

6. KERJA

W=F.d

W= kerja

F= gaya konstan

d= jarak

atau

W=∫ F(x) dx

Aplikasi pada pegas

Menurut hokum hooke yang berlakudalam fisika, gaya (F) yang diperlukan untuki menarik (menekan) pegas sejauh x satuan dari keadaan alami.

F(x) = k.x

() Aplikasi pada pemompaan cairan

1. letakkanlah gambar penampang dalam suatu titik kordinat.

Page 37: aplikasi turunan

K-1/Der/37

2. buat sketsa yang berdimensi tiga.

3. buat pula sketsa pen\ampang berdimensi dua.

4. buat analogi dari pertanyaan tersebut.

Contoh soal!

Sebuah gaya sebesar 8 pon diperlukan untuk menarik sebuah pegas ½. Kaki melampaui panjang normal. Tentukan konstanta pegas tersebut?

Jawab:

F(x)= k.x

F(1/2) = 8

k. ½. = 8

k= 16

dan f(x) = 16 x.

7. GAYA CAIRAN (fluida)

F=∂h.A

F=gaya

∂= kepadatan

A=luas

h=tinggi

contoh soal!

Sebuah tong diletakkan terbalik dan diisi minyak dengan kepadatan ∂= 50 ton tiap kaki kubik. Bila tiap ujung ton berdiameter 8 kaki. Hitng gaya totalnya.?

Jawab:

F= ∂∫ (16-y²) pangkat ½ ( -2y dy) .........dengan batas -4 s/d 0

= ∂ [ 2/3 (16-y²) pangkat 3/2] .........dengan batas -4 s/d 0

=(50)(2/3)(16) pangkat 3/2.

= 2133 pon.

8. MOMEN, PUSAT MASSA

M=x.m

M = momen

X = jarak

m= massa

distribusi massa pada suatu garis.

X bar = M/m = ∫ x∂(x) dx / ∫ ∂(x) dx

Page 38: aplikasi turunan

K-1/Der/38

Catatan;

1. ingatlah rumus tersebut serupa dengan rumus untuk massa di sejumlah titik.

2. asumsikan bahwa penjumlahan momen-momen bagian kecil kawat untuk memperoleh momen seluruh kawat.

Teorema pappus.

Apabila sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar melalui sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, maka volumebenda putar yang dibentuk oleh R = luas daaerah R diklikan dengan keliling yang ditempuh oleh sentroid R tersebut.

Contoh soal!

Tentukan sentroid daerah yang dibatasi oleh kurva y= sin x, 0 s/d ∏ dan sumbu x?

Jawab:

ŷ= ∫ ½ sin x. sin x dx. Dengan batas 0 s/d ∏

∫ sin x dx

= ½ ∫sin² x dx

∫ sin x dx

= (½ . ∏/2) / 2

= 0,39.