aplikasi lagrangian navier-stokes pada kristal · menyetujui, dr. husin alatas dr. l. t. handoko...

34
APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL Skripsi Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains FAHD G07400033 DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2005

Upload: ngoliem

Post on 02-Mar-2019

220 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKESPADA KRISTAL

Skripsi

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains

FAHD

G07400033

DEPARTEMEN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGORBOGOR

2005

Page 2: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

Menyetujui,

Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko

Pembimbing I Pembimbing II

Mengetahui,

Dr. Ki Agus Dahlan

Ketua Departemen

Tanggal Lulus Ujian Skripsi:

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahi rabbil’alamin. Segala puji hanyalah milik Allah Tuhan seluruh alam. Karena berkat

rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini. Shalawat dan salam

semoga senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat, dan yang

mengikutinya hingga akhir zaman. Penelitian ini mencoba mengaplikasikan penelitian sebelumnya

ke kasus pembentukan kristal. Penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh dosen pembimbing dan

rekan penulis adalah pemanfaatan metode dalam teori medan untuk diterapkan pada dinamika

fluida. Hasil penelitian itu penulis aplikasikan pada pembentukan nano-kristal. Sehingga dengan

hal ini dicoba dibuktikan bahwa metode yang ada pada fisika partikel dapat berlaku secara umum.

Penulisan ini dapat diselesaikan atas bimbingan dan bantuan yang sangat berharga dari berbagai

pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Kedua orang tua dan kedua saudara penulis di rumah

2. Pak Handoko selaku Pembimbing II penulis yang membimbing penulis dengan penuh perhatian

dan kesabaran

3. Pak Husin Alatas selaku Pembimbing I

4. Segenap dosen di Departemen Fisika IPB

5. Teman-teman di kampus, khususnya semua angkatan 37: Saepul, Izu, Sofyan, Fuady, Dhony,

iii

Page 3: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

Ewing, Cepy, Iwan, Gana , Armand, Kun, Bahri, Reza, Dedi, Ikin, Ami, Arif, Qoim, Dona, Ias,

Ifa, Heny, Erni, Apit, Rei, Reni, Endang, Fati, Christine, Lely, Esti, Ina

6. Teman setia penulis dalam tugas akhir: Jani

7. Teman-teman angkatan 33, 34, 35, 36, 38, 39, dan 40 Fisika IPB

8. Rekan sepenelitian penulis: Mas Ketut Eko dan Mas Sulaiman

9. Teman-teman di Fisika UI: Mas Parada, Ardi, Anton, Freddy, Handika, Pak Ayung, Juju, dll.

Dan seluruh pihak yang tidak tertulis namun membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini.

Skripsi ini jauh dari sempurna. Oleh karenanya penulis mengharapkan saran dan kritikan yang

membangun dari semua pihak.

Bogor, Agustus 2005 Fahd

Fahd

iv

Page 4: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

ABSTRAKLagrangian Navier-Stokes dibentuk dengan menggabungkan konsep pada dinamika fluida dan

konsep teori medan gauge. Dari Lagrangian ini, telah dibuktikan pembentukan persamaan Navier-

Stokes. Setelah Lagrangian Navier-Stokes ini terbentuk, dicoba mencari nilai amplitudo kuadrat

berdasarkan diagram Feynman yang menggambarkan interaksi 4 fluida pada satu titik. Perumu-

san amplitudo kuadrat ini dicoba aplikasinya pada beberapa kasus, di antaranya pada tulisan ini

adalah aplikasinya pada fluida dalam pembentukan nano-kristal.

v

Page 5: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

Daftar Isi

Kata Pengantar iii

Abstrak v

Daftar Isi vi

Daftar Gambar vii

Daftar Pustaka 28

vi

Page 6: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

Daftar Gambar

1 Diagram Feynman untuk interaksi 4 point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Grafik tekanan terhadap amplitudo kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Grafik sudut antara aliran fluida 1 dan 2 (sudut θ) terhadap amplitudo kuadrat . . 8

4 Grafik sudut antara aliran fluida 1 dan 3 (sudut α) terhadap amplitudo kuadrat . 8

5 Grafik kecepatan terhadap amplitudo kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Grafik massa jenis terhadap amplitudo kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7 Grafik divergensi kecepatan terhadap amplitudo kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . 9

8 Grafik amplitudo kuadrat terhadap viskositas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

vii

Page 7: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Pada fisika partikel, untuk menerangkan inter-aksi antara partikel-partikel penyusun hadronyang disebut quark digunakan teori QuantumChromodynamics (QCD). Dalam teori ini quarkberinteraksi dengan quark yang lain melaluipartikel mediator interaksi yang disebut gluon.Dikatakan terjadi interaksi ketika terjadi per-tukaran gluon diantara quark. Interaksi seper-ti ini disebut sebagai interaksi kuat. Interaksitidak hanya terjadi di antara quark, tetapi ter-jadi juga di antara gluon. Interaksi di antaragluon adalah interaksi boson-boson.

Untuk menjelaskan interaksi antara elektrondan elektron digunakan teori yang disebut QED(Quantum Electrodynamics). Interaksinya dise-but interaksi elektromagnetik. Partikel yangdipertukarkan adalah foton. Untuk menjelaskaninteraksi ini diperkenalkan apa yang dinamakansimetri gauge U(1) (Abelian). Dengan menggu-nakan simetri gauge U (1) ini didapatkan La-grangian Abelian di mana di dalamnya terdapatsuku fermion dan suku boson. Penjelasan in-teraksi antara quark tidak cukup diwakili olehLagrangian Abelian. Diperlukan simetri gaugeyang lebih besar yang disebut simetri gaugeNon-Abelian, sehingga dihasilkan LagrangianNon-Abelian.

Pada Lagrangian Non-Abelian terdapat sukufermion dan suku boson. Pada tinjauan pus-taka dijelaskan sedikit mengenai pembentukanpersamaan Navier-Stokes dari Lagrangian Non-Abelian. Persamaan Navier-Stokes adalah per-samaan mengenai dinamika fluida. Persamaanini merupakan persamaan non-linear denganmedan kecepatan aliran yang disebut sebagaimedan kecepatan. Solusi dari medan kecepatanini belum ditemukan. Pada dinamika flui-da, yang banyak dipertimbangkan hanya padabagaimana gaya-gaya dimediasikan, bukan padaapa dan bagaimana keadaan awal dan keadaanakhir sebagaimana harus dipertimbangkan padafisika partikel. Pada fisika partikel, mediasi (per-antaraan) gaya dilakukan oleh partikel boson.Sehingga, yang dipertimbangkan penggunaan-nya untuk Lagrangian pada persamaan Navier-Stokes adalah suku boson pada LagrangianNon-Abelian. Dengan prinsip aksi minimum(least action) didapatkan persamaan Euler- La-grange, dan Lagrangian suku boson dimasukkanke dalam persamaan Euler-Lagrange, sehinggadengan medan yang didefinisikan tertentu, sete-lah melalui beberapa tahapan, didapatkanlahpersamaan Navier-Stokes.

Lagrangian Navier-Stokes berhasil di-terapkan untuk mendapatkan persamaanNavier-Stokes. Lagrangian Navier-Stokesmerupakan Lagrangian yang komponennyamerupakan suku boson. Maka dibuatlah

perhitungan amplitudo kuadrat yang miripdengan perhitungan amplitudo kuadrat yangada pada fisika partikel untuk interaksi antarboson. Penerapan perhitungan interaksi antarboson pada kasus pertumbuhan kristal hanyadigunakan interaksi antar 4 aliran fluida. Kare-na pada kasus fluida yang dipertimbangkanadalah pada bagaimana gaya dimediasikan,dalam hal ini mediator gaya pada interaksiantar partikel adalah partikel boson.

Dengan mendefinisikan medan fluida, makadicoba dibuat diagram Feynman untuk kasus in-teraksi 4 fluida, dan dilakukan perhitungan ter-hadap amplitudo kuadrat. Kasus ini dicoba di-terapkan untuk menjelaskan fenomena yang ter-jadi pada pembentukan nano-kristal. Pemben-tuk nano-kristal dianggap sebagai fluida yangmemiliki sifat-sifat fluida seperti memiliki massajenis, kecepatan dan lain-lain . Fluida pemben-tuk nano-kristal ini juga memiliki potensial yangdipengaruhi oleh tekanan, massa jenis, kekenta-lan (viskositas), dan divergensi kecepatan. Sete-lah itu dibuat grafik yang menghubungkan nilaivariabel-variabel yang ada itu dengan nilai am-plitudo kuadrat.

Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkanobservable pada kristal dari Lagrangian Navier-Stokes dengan menggunakan metode teorimedan kuantum.

TINJAUAN PUSTAKA

1. Persamaan Navier-Stokes dari TeoriMedan Gauge

Persamaan Navier-Stokes (NS) menunjukkansistem non-linear dengan kecepatan aliran~v ≡ ~v(xµ), di mana xµ adalah ruang 4 dimensiyang terdiri dari ruang spatial dan ruang waktu,xµ ≡ (x0, xi) = (t, ~r) = (t, x, y, z) (Handoko,2005). Untuk keseluruhan penulisan digunakanunit natural, yaitu kecepatan cahaya c = 1sehingga ct = t, sehingga ruang spatial danruang waktu, memiliki dimensi yang sama.Juga digunakan ruang relativistik (Minkowski),dengan metrik gµν = (1,−~1) = (1,−1,−1,−1)yang mengarah ke x2 = xµxµ = xµgµνxν =x2

0−x2 = x20−x2

1−x22−x2

3. Karena persamaanNavier-Stokes merupakan persamaan yang di-turunkan dari Hukum II Newton, secara prinsippersamaan itu seharusnya bisa pula diturunkandari prinsip aksi terkecil (principle of leastaction). Beberapa tulisan juga mengaitkanpersamaan Navier-Stokes dengan persamaanMaxwell. Hubungan antara persamaan Navier-Stokes dan persamaan Maxwell bagaimanapunjuga tidak jelas, dan ketidakjelasan hubunganini secara intuitif dapat dimengerti, karena

1

Page 8: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

kedua persamaan menunjukkan sistem yangberbeda. Beberapa penulis juga memformu-lasikan dinamika fluida dalam Lagrangiandengan simetri gauge. Pada penelitian ituLagrangian dibentuk dari persamaan kontinu-itas. Terinspirasi oleh penelitian-penelitian itu,maka dicoba untuk mengkonstruksi persamaanNavier-Stokes (NS)dari prinsip pertama mekani-ka analitik, yaitu dari kerapatan Lagrangian.Juga karena anggapan persamaan NS adalahsuatu sistem dengan ruang 4-dimensi sepertidisebutkan di atas, wajar untuk meminjammetode yang digunakan pada teori medanrelativistik yang memperlakukan ruang danwaktu secara sama. Kemudian dimulai denganmembangun Lagrangian untuk medan bosondan menyimpan sutu constraint sehinggamenjadi gauge invarian. Dengan menganggapmedan boson memiliki suatu bentuk khususyang menunjukkan dinamika fluida, makadicoba untuk menurunkan persamaan gerakyang menghasilkan persamaan Navier-Stokes.

2. Lagrangian Bosonik yang Invarian Ter-hadap Transformasi Gauge

Pada teori medan relativistik, kerapatan La-grangian untuk partikel boson A dapat ditulissebagai berikut,

LA = (∂µA)(∂µA) + m2AA2 , (1)

(Ryder, 1998 dalam Handoko, 2005)di mana mA

adalah konstanta kopling dengan dimensi massadan ∂µ ≡ ∂/∂xµ. Medan boson memiliki dimen-si [A] = 1 dalam unit dimensi massa [m] = 1([xµ] = −1). Partikel boson ialah partikel yangdalam fisika partikel diinterpretasikan sebagaipartikel yang berperan sebagai mediator gayadari fermion-fermion yang berinteraksi,ψ. DariLagrangian fermion:

Lψ = iψγµ(∂µψ)−mψψψ , (2)

di mana ψ dan ψ adalah medan fermion dananti-fermion dengan dimensi [ψ] = [ψ] = 3/2(sehingga [mψ] = 1 sebagaimana halnya diatas), sedangkan γµ adalah matriks gammaDirac. Untuk mengembangkan teori danmenyatukan beberapa interaksi yang khusus,haruslah diperkenalkan beberapa simetri.

2.1. Teori Gauge Abelian

Untuk penyederhanaan, dapat diperkenalkan su-atu simetri yang paling sederhana yang dise-but simetri gauge U(1) (Abelian). Transformasilokal U(1) hanya merupakan transformasi faseU ≡ exp [−iθ(x)] dari fermion-fermion, yaituψ

U−→ ψ′ ≡ U ψ. Apabila ingin didapatkan La-grangian pada pers.(2) invarian terhadap trans-formasi lokal ini, yaitu L → L′ = L, maka

Lagrangian ini mesti ditambahkan dengan sukubaru yang berasal dari menggantikan turunanparsial dengan kovarian ∂µ → Dµ ≡ ∂µ + ieAµ,sehingga,

L = Lψ − e(ψγµψ)Aµ . (3)

Medan tambahan [Aµ] = 1 haruslah meru-pakan boson vektor karena [Aµ] = 1 sepertiditunjukkan pada pers. (1). Medan ini dike-tahui sebagai boson gauge dan harus ditrans-formasikan di bawah U(1) sehingga Aµ

U−→A′µ ≡ Aµ + 1

e (∂µθ) , untuk menjaga keinvar-ianan pers. (3). Di sini e konstanta koplingyang tidak berdimensi yang kemudian diang-gap sebagai muatan listrik. Keberadaan par-tikel membutuhkan keberadaan suku kinetik un-tuk partikel itu di dalam Lagrangian. Pada ka-sus Aµ yang baru diperkenalkan di atas, halitu dipenuhi dengan menambahkan suku kinetikmenggunakan Lagrangian boson standar padapers. (1). Mudah untuk membuktikan bah-wa suku kinetik (suku pertama)pada pers. (1)tidak invarian terhadap transformasi pada pers.(4). Sehingga suku kinetik itu haruslah dimodi-fikasi untuk memenuhi keinvarianan gauge. Halini bisa dilakukan dengan menulis suku kinetikdalam bentuk tensor strength anti-simetrik Fµν ,

LA = −14FµνFµν , (5)

dengan Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ,dan faktor 1/4hanyalah faktor normalisasi. Pada keadaan lain,suku massa (suku kedua) pada pers. (1) dibuangkarena suku kuadrat dari Aµ tidak invarian (dankemudian tidak diperbolehkan) pada transfor-masi di pers.(4). Pada fisika partikel hasil inimengarah ke interpretasi boson gauge Aµ seba-gai foton yang merupakan partikel tak bermassa.Akhirnya, dengan menggunakan simetri gaugeU(1), didapatkan teori elektromagnetik rela-tivistik, yang diketahui sebagai quantum elec-trodynamics (QED),

LQED = iψγµ(∂µψ)−mψψψ − eJµAµ

−14FµνFµν , (6)

dimana Jµ ≡ ψγµψ = (ρ,~J) = (J0,~J) adalaharus fermion 4 vektor yang memenuhi per-samaan kontinuitas, ∂µJµ = 0, menggunakanpersamaan Dirac yang menggambarkan medanfermion.

2.2. Teori Gauge Non-Abelian

Metode yang telah digunakan sebelumnya bisadigeneralisir dengan memperkenalkan simetriyang lebih besar, yang disebut dengan transfor-masi non-Abelian. Transformasi non-Abelian ini

2

Page 9: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

dapat ditulis U ≡ exp [−iT aθa(x)], di mana T a’adalah matriks yang disebut generator yang ter-masuk dalam grup Lie dan memenuhi relasi ko-mutasi seperti [T a, T b] = ifabcT c, di mana kon-stanta anti-simetrik fabc disebut sebagai fungsistruktur dari grup. Sebagai contoh, grup LieSU(n) memiliki n2 − 1 generator dan subscripta, b, c berjalan sepanjang 1, · · · , n2 − 1. Denganmengikuti prosedur yang sama dengan bagianSec. , dapat dikonstruksikan Lagrangian yanginvarian terhadap transformasi ini. Perbedaan-perbedaan datang hanya dari ketak-komutatifandari generator-generator. Hal ini menjadikan∂µ → Dµ ≡ ∂µ + igT aAa

µ, dan fabc yang tak-nolmemodifikasi pers.Eq. (4) dan tensor strengthFµν to,

Aaµ

U−→ Aaµ′ ≡ Aa

µ +1g(∂µθa) + fabcθbAc

µ ,(7)

F aµν ≡ ∂µAa

ν − ∂νAaµ

−gfabcAbµAc

ν , (8)

Di mana g adalah konstanta kopling khususseperti sebelumnya. Sehingga didapatkanlahLagrangian gauge invariant non-abelian(NA)yang analog dengan pers.(6),

LNA = iψγµ(∂µψ)−mψψψ−gJaµAaµ−

14F a

µνF aµν ,

(9)sementara Jaµ ≡ ψγµT aψ, dan ini punmemenuhi persamaan kontinuitas ∂µJaµ = 0seperti sebelumnya. Pada kasus SU(3) dike-tahui quantum chromodynamics (QCD) untukmenjelaskan interaksi kuat dengan memperke-nalkan 8 gauge boson yang disebut gluon yangdiinduksikan oleh kedelapan generator.(Ryder, 1998 dalam Handoko, 2005)

2.3. Persamaan Navier-Stokes dari TeoriMedan Gauge

Pada dinamika fluida yang diatur oleh per-samaan Navier-Stokes, yang utama diper-timbangkan yaitu bagaimana dimediasikannyagaya, dan bukan pada transisi dari suatukeadaan awal ke keadaan akhir yang lain seba-gaimana harus dipertimbangkan pada fisika par-tikel. Karena pertimbangan ini, yang dipedu-likan adalah suku boson pada Lagrangian to-tal. Dengan menganggap Lagrangian invarianterhadap simetri gauge tertentu seperti telah di-jelaskan pada bagian sebelumnya, maka

LNS = −14F a

µνF aµν − gJaµAaµ . (10)

Arus yang ada pada suku kedua tidak diang-gap sebagai arus fermion sebagaimana pada ver-si aslinya, karena pada sistem ini tidak diperke-nalkan fermion. Sehingga Jaµ dianggap sebagai

arus 4 vektor, dan arus itu diinduksikan olehmekanisme yang berbeda dari interaksi inter-nal pada fluida yang ditunjukkan oleh medanAa

µ. Sebetulnya tidak terlalu masalah untukmenyimpan Jaµ = 0 (Lagrangian medan be-bas), atau pun bentuk-bentuk yang lain sepan-jang memenuhi persamaan kontinuitas ∂µJaµ =0. Berdasarkan prinsip aksi terkecil yang diru-muskan S =

∫d4xLNS, yaitu δS = 0, akan di-

dapatkan persamaan Euler-Lagrange,

∂µ∂LNS

∂(∂µAaν)− ∂LNS

∂Aaν

= 0 . (11)

Yang selanjutnya dilakukan adalah menulis kem-bali persamaan gerak itu ke persamaan Navier-Stokes yang sudah dikenal. Medan tunggalAµ dapat didefinisikan sebagai gabungan daripotensial skalar dan vektor,

Aµ = (A0, Ai) = (φ, ~A) =(

d

2| ~v |2 −V,−d~v

)

(12)di mana d adalah parameter yang berubah-

ubah dengan dimensi [d] = 1 untuk menja-ga dimensi yang benar untuk tiap elemen Aµ.V = V (~r) adalah potensial yang ditimbulkanoleh gaya konservatif. Kondisi bagi gaya konser-vatif ~F adalah

∮d~r·~F = 0 dengan solusi ~F = ~Oφ.

Artinya potensial V tidak dapat mengandungturunan dari ruang spatial.

Pertama dapat dilakukan perhitungan untukµ = ν di mana dapat dihasilkan hubungan triv-ial, yaitu Jaµ = 0. Hubungan tidak trivial di-hasilkan untuk µ 6= ν,

∂0Ai − ∂iA0 = g

∮dx0Ji = −g

∮dxiJ0 . (13)

(Handoko, 2005)Tanda yang berbeda pada sebelah kanan menun-jukkan metrik Minkowski yang digunakan.

3. Sistem Multi Fluida MenggunakanPendekatan Teori Medan Gauge

Pada bagian ini Lagrangian yang telah dike-mukakan sebelumnya dicoba diterapkan padakasus medan fluida. Dalam hal ini sistem multifluida dianggap sebagai hamburan serangkaianmedan fluida. Penerapan pada kasus medanfluida ini bisa dilakukan dengan mendefinisikanamplitudo untuk interaksi semacam itu denganmenggunakan Lagrangian Navier-Stokes yangtelah dibangun sebelumnya. Dengan me-manfaatkan definisi medan skalar dan vektoryang telah digunakan sebelumnya dalampembentukan persamaan Navier-Stokes dariLagrangian Navier-Stokes, maka dicoba untukmendapatkan amplitudo dari interaksi multifluida. Perhitungan dilakukan dengan carayang mirip dengan yang telah digunakan padafisika partikel elementer.

3

Page 10: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

3.1. Diagram Feynman untuk Sistem Flu-idaDidalam dinamika fluida yang dibangunoleh persamaan NS yang dipedulikan adalahbagaimana gaya dimediasikan dan bukan pa-da transisi keadaan awal ke keadaan akhirseperti halnya dipertimbangkan pada fisikapartikel. Sudah diketahui bahwa partikel yangberperan dalam mediasi gaya adalah partikelboson. Dengan alasan ini yang dipedulikanhanyalah suku boson dalam Lagrangian total.Dengan asumsi bahwa Lagrangian total invar-ian terhadap simetri gauge, didapatkan daripersamaan(10),

LNS = −14F a

µνF aµν . (14)

Dengan mengembangkan dan menulis semuasuku secara eksplisit,

LNS = −14F a

µνF aµν

= −14[∂µAa

ν − ∂νAaµ − gfabcAb

µAcν ]

[∂µAaν − ∂νAaµ − gfamnAmµAnν ]

= −14[(∂µAa

ν − ∂νAaµ)(∂µAaν − ∂νAaµ)

+2gfabcAbµAc

ν(∂µAaν − ∂νAaµ)

+g2fabcfamnAaµAb

νAmµAnν ] (15)

Dari suku-suku ini bisa didapatkan suku kuadratsebagai propagator medan fluida,

− i

k2

[gµν + (ζ − 1)

kµkν

k2

]δab . (16)

Lebih jauh lagi, suku kubik (pangkat 3) dankuartik (pangkat 4) menunjukkan interaksi 3dan 4 bunch (rangkaian) medan fluida,

−2gfabc [gµν(k1 − k2)ρ + gνρ(k2 − k3)µ

+gµρ(k3 − k1)ν

(18)

dan,

−g2[fabef cde(gµρgνλ − gµλgνρ)

+fadef bce(gµνgρλ − gµρgνλ)

+facef bde(gµλgνρ − gµνgρλ)] (19)

(Saputro, 2005)

3.2. Sistem Multi FluidaDibagian ini, yang dijelaskan ialah dinamika sis-tem multi fluida menggunakan Lagrangian NS.

Gambar 1: Diagram Feynman untuk interaksi 4point

Dengan menggunakan interaksi yang mungkinyang didapatkan di bagian yang lalu, hasilnyabisa diaplikasikan untuk kasus yang lain. Mak-sudnya, digunakan metode yang sudah digu-nakan secara luas di fisika partikel elementer.

Dapat ditulis medan dalam suku vektor po-larisasi sebagai berikut,

Aµ = εµe−ik·x with εµ =(

d

2|~v|2 − V,−~v

),

(20)dimana k adalah momentum 4. Hukumkekekalan momentum masih berlaku, yaitu

Σki = 0 . (21)

Penguraian ini menghasilkan hubungan sal-ing melengkapi untuk vektor polarisasi sebagaiberikut,

λ

ε놵 ελ

ν = (−gµν +kµkν

M2)

((d

2|~v|2 − V )2 − |~v|2) , (22)

(Saputro, 2005)

4. Kristal

4.1. Pengertian Kristal

Kristal merupakan bagian homogen dari materiyang memiliki struktur atom teratur yangberjangkauan panjang. Kristal memiliki bentukluar yang dibatasi oleh permukaan-permukaandatar yang halus dan tersusun secara simetris.Kristal dihasilkan ketika sebuah padatan terben-tuk secara bertahap dari fluida. Pembentukanitu bisa berasal dari pembekuan cairan, deposisidari bahan terlarut, atau pun kondensasi lang-sung dari gas menjadi bentuk padat. Sudut diantara permukaan dua kristal dari bahan yangsama selalu identik. Zat padat yang memilikiketeraturan berjangkauan pendek dalam struk-turnya, seperti gelas, disebut zat padat amorf.Struktur pada amorf menunjukkan kemiripanyang lebih besar pada cairan daripada zat padat.

4

Page 11: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

4.2. Kondisi Untuk Pembentukan KristalCairan yang sama dengan yang membeku se-cara bertahap di dalam bumi yang membentukgranit, kadang-kadang keluar ke permukaanbumi sebagai lava vulkanik dan mendingindengan cepat membentuk obsidian. Apabilapendinginannya sedikit lebih lambat, maka akanterbentuk sebuah batu yang bernama felsit.Felsit merupakan bahan kristalin, tapi kristalyang ada terlalu kecil untuk bisa dilihat denganmata telanjang. Struktur seperti ini disebutkriptokristalin, atau aphanitic.Pendinginanyang lebih lambat lagi akan menghasilkan batudengan struktur porphyritic, di mana sebagiankristal cukup besar untuk dapat dilihat. Batuini , yang memiliki komposisi mirip denganobsidian, felsit, atau granit, disebut rhyolite.Granit, rhyolite, dan felsit tidaklah homogendan karenanya tidak dapat menjadi kristaltunggal, tapi semuanya itu adalah batu kristal-in. Tiap mineral penyusun pada batu-batu inimuncul dalam bentuk kristal yang kecil tapihomogen. Bahan-bahan yang pertama kalimengalami solidifikasi (menjadi padat) selamapendinginan batu cair menunjukkan susunanyang normal dari permukaan kristal. Bahan-bahan yang mengalami solidifikasi kemudian,karena titik bekunya lebih rendah, dipaksauntuk menduduki interstisial yang tersisa,sehingga penampilan eksternalnya terdeformasi.Alasan yang sama yang menyebabkan kristalhomogen terbentuk dari cairan yang tercampurbisa digunakan untuk memurnikan banyakbahan kristalin. Para ahli kimia sering meng-gunakan metode ini, dan bahan-bahan kimiaorganik secara khusus banyak yang dimurnikandengan cara rekristalisasi.Pada beberapa grup mineral, ion-ion dari satuelemen bisa menggantikan ion elemen yang lain,menjadikan struktur kristal tidak berubah tapimembentuk susunan dari larutan padat. Grupseperti ini, di mana ada bermacam-macamtingkat komposisi kimiawi dari satu anggotamurni ke yang lain, disebut sebagai isomor-phous.Pertumbuhan kristal akan tercapai apabilasejumlah kecil kristal yang telah terben-tuk mensarikan/menyaring (abstracts) lebihbanyak penyusun yang sama dari lingkungansekitarnya. Kadang-kadang, jika tidak adasejumlah kecil kristal pertama ini, atau bijikristal ini, tidak akan terjadi kristalisasi, danlarutan akan mengalami supersaturasi (men-jadi sangat jenuh), seperti halnya cairan jikaberada di bawah titik bekunya akan mengalamipendinginan super supercooled. Apabila suatubahan kimia organik dipersiapkan, sulit untukmembuat kristal yang pertama, kecuali bisaditemukan bahan isomorfus. Kecenderunganuntuk mengkristalisasi turun terhadap pen-ingkatan viskositas fluida. Artinya semakintinggi viskositas suatu fluida maka makin sulituntuk mengalami kristalisasi. Apabila suatu

larutan mengalami supersaturasi (berada dalamkeadaan yang sangat jenuh) atau mengalami su-percooled maka larutan itu akan menjadi sangatviscous (kental), dan proses kristalisasi menjadihampir tidak mungkin terjadi. Pendinginanatau penguapan yang dilakukan kemudian, akanmenghasilkan syrup dan kemudian gelas.Beberapa bahan memiliki kecenderungan yangkuat untuk membentuk biji kristal. Apabilasuatu larutan dari bahan seperti itu didinginkanperlahan-lahan, sedikit dari biji kristal itu tum-buh menjadi kristal yang besar. Tetapi apabilabahan itu didinginkan secara cepat, banyak daribiji-biji kristal itu yang membentuk dan tum-buh hanya menjadi kristal-kristal kecil.(EncartaEncyclopedia Deluxe 2004)Ketika suatu larutan berada di bawah kondisisaturasi, tidak dimungkinkan terbentuknyakristal. Kristal mulai mungkin terbentuk ketikalarutan berada pada kondisi supersaturasi.Pada grafik hubungan antara suhu dengankonsentrasi larutan terdapat daerah-daerahkondisi larutan yaitu kondisi sebelum super-saturasi, kondisi supersaturasi, dan kondisi diatas supersaturasi. Daerah supersaturasi bisadisebut juga sebagai daerah metastabil. Padakondisi supersaturasi pun tidak dijamin kristalakan terbentuk. Diperlukan biji kristal sebagaipemancing terbentuknya kristal.Ketika konsentrasi larutan berada di ataskondisi supersaturasi, maka driving force yangmendorong untuk terbentuknya kristal sangat-lah besar. Sehingga kristalisasi bisa terjadisangat cepat dan spontan. Kondisi yang palingtepat agar dapat membentuk kristal sesuaiyang diinginkan adalah kondisi supersaturasi.Di atas kondisi supersaturasi walaupun lebihdimungkinkan untuk terbentuknya kristalnamun sulit untuk mendapatkan kristal yangdiinginkan, dan sering terjadi impuritas (keti-dakmurnian) pada kristal.Untuk membentuk kristal, yang diperlukanialah menghindar dari driving force yang terlalubesar karena itu akan mendorong kristal untukberkembang cepat sekali. Harus ada waktuyang tepat bagi atom, ion atau molekul untukmenemukan tempat pada kisi kristal agar bisamenetap dengan baik. Penambahan drivingforce bisa mendorong impuritas pada kisi.Dengan adanya biji (benih) kristal, didapatkankecepatan kristalisasi semakin besar seiringnaiknya konsentrasi larutan setelah mengalamikeadaan supersaturasi. Pada keadaan supersat-urasi larutan menjadi viscous (kental). Semakinbesar konsentrasi larutan semakin besar pulaviskositas larutan itu. Seiring dengan kenaikankonsentrasi, semakin tinggi pula kecepatankristalisasi. Sehingga dapat disimpulkan se-makin tinggi viskositas maka semakin besarpula kecepatan kristalisasi.

Kristalisasi (proses pembentukan kristal)terjadi berdasarkan prinsip keterlarutan: zatterlarut lebih mudah melarut pada pelarut yangpanas daripada pelarut yang dingin. Apabila

5

Page 12: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

pelarut dibiarkan untuk mendingin, zat terlaruttidak lagi dapat terlarut pada pelarut, danmulai membentuk kristal dalam bentuk yangmurni dari zat terlarut. Untuk mengkristalisasisuatu bahan padatan yang tidak murni, perluditambahkan pelarut panas ke dalamnya untukmelarutkannya secara keseluruhan. Botolreaksi mengandung larutan panas, di manamolekul-molekul zat terlarut, bergerak secarabebas di antara molekul-molekul pelarut.Ketika larutan mendingin, pelarut tidak la-gi ”menahan” molekul-molekul zat terlarut,tetapi molekul-molekul itu mulai meninggalkanlarutan dan membentuk kristal padat. Selamapendinginan ini, tiap molekul zat terlarut akanmenjadi kristal yang bertumbuh dan melapisipermukaan kristal.

METODE PENELITIANPenelitian ini merupakan lanjutan dari 2 peneli-tian sebelumnya yang dilakukan oleh dosenpembimbing dan 2 rekan penelitian penulis.Penelitian ini mencoba mengaplikasikanhasil penelitian sebelumnya itu dan mencobamenghubungkannya dengan observable yang adapada kristal. Penelitian yang pertama dimak-sudkan untuk mencari Lagrangian yang dapatdimanfaatkan dalam fluida. Hasilnya dina-makan Lagrangian Navier-Stokes. Lagrangianini terbukti dapat menghasilkan persamaanNavier-Stokes. Penelitian yang kedua bertujuanuntuk menggunakan Lagrangian Navier-Stokesuntuk menghitung nilai amplitudo kuadratinteraksi 3 fluida dan 4 fluida. Penelitian yangketiga dimaksudakan untuk mengaplikasikanhasil penelitian sebelumnya pada kasus kristal.Dari perhitungan nilai amplitudo kuadrat padapenelitian kedua dan hubungannya denganvariabel-variabel yang ada pada fluida, dicobadidapatkan grafik dengan software Mathemati-ca untuk menggambarkan kecenderungan nilaiamplitudo kuadrat terhadap variabel-variabelyang ada. Dari hasil grafik itu dicoba untukmenganalisis pengaruh variabel-variabel yangada terhadap besar amplitudo kuadrat.

HASIL DAN PEMBAHASAN

1. Proses Pembentukan Kristal SebagaiPertemuan 4 Fluida dalam Satu TitikPada pembahasan kali ini saya mencoba un-tuk menghubungkan hasil perhitungan denganfenomena yang ada dalam pembentukan kristal.Ketika terjadi proses pembentukan kristal, kitadapat menganggap calon pembentuk kristal se-bagai fluida. Fluida calon pembentuk kristal inimemiliki sifat-sifat umum seperti fluida lainnyayaitu memiliki kecepatan, tekanan, massa jenis,viskositas , dan lain-lain. Proses perhitungan ni-lai amplitudo kuadrat yang sebelumnya dikenalpada fisika partikel, pada penulisan ini dicobapenerapannya pada kasus fluida.

Pada kasus fluida dalam kristal, perhitungan ni-lai amplitudo kuadrat untuk 4 fluida ini dapatdianggap sebagai pertemuan 4 fluida pembentukkristal pada satu titik pada proses pembentukankristal. Empat aliran fluida calon pembentukkristal ini memiliki kecepatan, tekanan, viskosi-tas, dan massa jenis masing-masing . Proses ter-bentuknya kristal dari cairan kristal ini disebutsebagai proses kristalisasi. Pada pembahasanini akan dicoba dilihat apa hubungan di antaraproses kristalisasi ini dengan amplitudo kuadratyang besar amplitudo kuadrat ini dipengaruhioleh kecepatan, tekanan, viskositas, dan massajenis masing-masing.

Keempat aliran fluida ini membentuk sudutsatu sama lain. Tetapi yang berpengaruh ter-hadap besar nilai amplitudo kuadrat hanyalahdua variabel sudut. Bisa kita anggap, padaperhitungan yang ada pada lampiran, variabelsudut yang berpengaruh terhadap besarnya ni-lai amplitudo kuadrat adalah sudut antara flui-da 1 dengan fluida 2 dan sudut antara fluida 1dengan fluida 3.Dengan anggapan besarnya ni-lai kedua sudut ini yang berpengaruh terhadapnilai amplitudo kuadrat maka kita dapat men-gatakan berapapun besar sudut-sudut yang lain, hal ini tidak akan memiliki pengaruh terhadapnilai amplitudo kuadrat.

Besar nilai amplitudo kuadrat dipengaruhioleh seluruh variabel yang ada,termasuk poten-sial. Jika dianggap potensial yang berperandalam pembentukan kristal ada 2 macam yaitupotensial yang dipengaruhi oleh tekanan danmassa jenis, dan potensial yang dipengaruhiviskositas dan divergensi kecepatan,yang per-samaan potensialnya adalah sebagai berikut,

V1(r) =P

ρ: tekanan (23)

V2(r) = (ν + η)(~O · ~v) : viskositas (24)

maka besarnya nilai amplitudo kuadrat itupun dipengaruhi oleh besarnya nilai variabel-variabel itu.

2. Hal-hal yang Terjadi pada Saat Pem-bentukan KristalSuatu larutan memiliki konsentrasi tertentu.Ada suatu titik di mana pada saat itu kon-sentrasi larutan tidak dapat ditambahkan lagi.Titik ini dinamakan titik saturasi. Kristal dapatmulai terbentuk ketika telah dicapai konsentrasimaksimum ini. Contohnya ialah garam dapur.Garam dapur (NaCl) mudah larut dalam air.Tapi bagaimanapun ada titik maksimum kon-sentrasi garam dapur ini di dalam air. Ketikakonsentrasinya melebihi nilai maksimum, mulaiterbentuklah kristal garam.

Ketika suatu larutan berada di bawah kon-disi saturasi, tidak dimungkinkan terbentuknyakristal. Kristal mulai mungkin terbentuk keti-ka larutan berada pada kondisi supersaturasi.

6

Page 13: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

Pada grafik hubungan antara suhu dengan kon-sentrasi larutan terdapat daerah-daerah kon-disi larutan yaitu kondisi sebelum supersaturasi,kondisi supersaturasi, dan kondisi di atas super-saturasi. Daerah supersaturasi bisa disebut jugasebagai daerah metastabil. Pada kondisi super-saturasi pun tidak dijamin kristal akan terben-tuk. Diperlukan biji kristal sebagai pemancingterbentuknya kristal.Ketika konsentrasi larutan berada di atas kon-disi supersaturasi, maka driving force yangmendorong untuk terbentuknya kristal sangat-lah besar. Sehingga kristalisasi bisa terjadisangat cepat dan spontan. Kondisi yang palingtepat agar dapat membentuk kristal sesuaiyang diinginkan adalah kondisi supersaturasi.Di atas kondisi supersaturasi walaupun lebihdimungkinkan untuk terbentuknya kristal na-mun sulit untuk mendapatkan kristal yang di-inginkan, dan sering terjadi impuritas (ketidak-murnian) pada kristal.

Untuk membentuk kristal, yang diperlukanialah menghindar dari driving force yang terlalubesar karena itu akan mendorong kristal untukberkembang cepat sekali. Harus ada waktuyang tepat bagi atom, ion atau molekul untukmenemukan tempat pada kisi kristal agar bisamenetap dengan baik. Penambahan drivingforce bisa mendorong impuritas pada kisi.

3. Perhitungan Amplitudo Kuadrat PadaFisika PartikelPerhitungan nilai amplitudo kuadrat biasa di-lakukan pada bidang fisika partikel. Nilai am-plitudo kuadrat atau nilai amplitudo invariankuadrat berhubungan dengan nilai amplitudotransisi. Nilai amplitudo transisi berarti ke-mungkinan suatu partikel bertransisi dari stateawal ke state akhir. Aplikasi dari pencariannilai amplitudo kuadrat ini digunakan untukmenghitung cross section(penampang lintang)terjadinya tumbukan antar partikel dan juga di-gunakan untuk menghitung laju peluruhan (de-cay rate). Besar cross section(penampang lin-tang)berbanding lurus dengan besar nilai ampli-tudo kuadrat dan begitu pula besar dari (decayrate) (laju peluruhan) berbanding lurus dengannilai amplitudo kuadrat.( Halzen, 1984)Pada kristal, fenomena pencarian amplitudokuadrat untuk 4 fluida 4 dianalogikan denganpenghitungan nilai amplitudo kuadrat untukgluon. Diketahui gluon merupakan partikelmediasi interaksi kuat pada hadron. Inter-aksi kuat yang terjadi antar quark penyusunhadron dimediasikan oleh pertukaran gluon diantara dua quark, seperti halnya interaksi elek-tromagnetik di antara dua muatan listrik dime-diasikan oleh pertukaran foton di antara keduamuatan itu. Quark memiliki ”muatan” khastersendiri yang dinamakan color charge (mu-atan warna). Pertukaran gluon di antara ke-dua quark akan mengubah color charge yang

dimiliki quark itu. Sebagaimana quark, glu-on pun memiliki color charge, sehingga dengandemikian dimungkinkan terjadinya interaksi diantara gluon. Interaksi antar fluida dalam kasusini dianlogikan dengan interaksi antar gluon.Sebagaimana yang lazim diketahui, partikel me-diasi interaksi fundamental adalah partikel bo-son. Gluon dan foton adalah partikel bo-son. Dalam penulisan ini, Lagrangian Navier-Stokes yang diaplikasikan untuk fluida dalamkristal adalah Lagrangian bosonik, Lagrangiandi mana suku-suku yang berpengaruh terhadapLagrangian itu adalah suku-suku boson. Per-timbangannya yang dipedulikan pada interaksiantar fluida adalah pada bagaimana gaya-gayadimediasikan, bukan pada bagaimana keadaanawal dan akhir dari fluida itu. Sehingga interak-si antar fluida dianggap mirip dengan interaksiantar partikel boson. Dan perhitungan diagrampohon yang dilakukan untuk menghitung nilaiamplitudo kuadrat pada fluida mirip denganperhitungan diagram pohon yang dilakukan pa-da interaksi antar gluon. Perhitungan ni-lai amplitudo kuadrat 4 fluida mirip denganperhitungan diagram pohon 4 untuk interak-si antar gluon pada Quantum Chromodynamics(QCD).(Aitchison, 2001)

4. Pembahasan Grafik Hasil PerhitunganAmplitudo Kuadrat

Pada grafik dicoba ditelaah kecenderunganbentuk grafik yang didapat terhadap nilaivariabel-variabel yang mempengaruhi nilai am-plitudo kuadrat. Dari hasil penelaahan ini,akandicoba diinterpretasikan fenomena yang terjadidi dalamnya. Grafik ini didapatkan denganmenggunakan pers.(??)sebagai perhitunganamplitudo kuadrat 4 medan fluida. Kemudiandicoba mendapatkan grafik hubungan antaravariabel-variabel yang ada terhadap amplitudokuadrat dengan menggunakan software Math-ematica. Dengan memasukkan nilai-nilai vari-abel: sudut θ= π/3 rad, sudut α=5/6π rad, ke-cepatan v1 = v2 = v3 = v4 = 0, 007m/s,massajenisρ1 =ρ2 =ρ3 =ρ4 = 8000kg/m3,tekananp=101000N/m2,viskositasν=0.02 poise, dandivergensi kecepatan= 5/s, dicoba untuk men-dapatkan grafiknya.

4.1. Amplitudo Kuadrat TerhadapTekananUntuk hasil yang didapatkan pada grafik,terlihat dengan semakin besarnya nilai daritekanan, berpengaruh terhadap kenaikan nilaiamplitudo kuadrat secara eksponensial. Inimenunjukkan bahwa amplitudo kuadrat meru-pakan suatu besaran yang nilainya berbandinglurus dengan nilai tekanan. Untuk prosespembentukan kristal, seperti contohnya berlian,

7

Page 14: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

2000 4000 6000 8000 10000P

2´ 107

4´ 107

6´ 107

amplitudo kuadrat

Gambar 2: Grafik tekanan terhadap amplitudokuadrat

-6 -4 -2 2 4 6sudut theta

6.8735 ´ 109

6.87375 ´ 109

6.87425 ´ 109

6.8745 ´ 109

6.87475 ´ 109

6.875´ 109

amplitudo kuadrat

Gambar 3: Grafik sudut antara aliran fluida 1dan 2 (sudut θ) terhadap amplitudo kuadrat

diperlukan tekanan yang sangat besar agarberlian dapat terbentuk. Pada kasus ini, nilaiamplitudo kuadrat dicoba dihubungan denganfenomena yang ada pada pembentukan kristalyaitu kecepatan kristalisasi atau kecepatan ter-bentuknya kristal. Semakin besar nilai tekanan,diharapkan kecepatan kristalisasi akan semakinbesar. Jadi hasil ini, yaitu kelinearan tekananterhadap kecepatan pembentukan kristal sesuaidengan apa yang diharapkan.

4.2. Amplitudo Kuadrat Terhadap Sudut

Pada grafik terlihat hubungan antara sudut θdan sudut α terhadap nilai amplitudo kuadrat.Sudut θ dapat dianggap sebagai sudut antaraaliran fluida 1 dan 2 sedangkan sudut α dapatdianggap sebagai sudut antara fluida 1 dan 3.Pada grafik itu terlihat nilai amplitudo kuadratberubah-ubah secara sinusoidal terhadap ke-naikan nilai sudut θ maupun α. Namun selangperubahan nilai ini sangatlah kecil, sehingga se-cara garis besar dapat dikatakan nilai amplitu-do kuadrat tidak terlalu dipengaruhi oleh nilaisudut.

-6 -4 -2 2 4 6sudut - alpha

6.8745 ´ 109

6.87475 ´ 109

6.87525 ´ 109

6.8755 ´ 109

6.87575 ´ 109

6.876´ 109

amplitudo kuadrat

Gambar 4: Grafik sudut antara aliran fluida 1dan 3 (sudut α) terhadap amplitudo kuadrat

4.3. Amplitudo Kuadrat Terhadap Ke-cepatan

Untuk nilai kecepatan, untuk selang yangcukup besar, semakin tinggi nilai kecepatanmaka nilai amplitudo kuadrat yang didapatpun semakin besar. Tapi untuk selang nilaiyang kecil pada daerah selang v antara 0 dan1 didapatkan kecenderungan nilai amplitudokuadrat yang turun terhadap kenaikan nilai v.Secara realitas, kecepatan yang akan diambilsebagai bahan pertimbangan adalah kecepatanyang cukup kecil yaitu pada selang antara0 dan 1. Jika amplitudo kuadrat mewakilibesaran laju kristalisasi maka dapat dianggaplaju kristalisasi akan semakin turun terhadapkenaikan nilai kecepatan. Rangkaian fluidapembentuk nano-kristal bergerak dengan ke-cepatan tertentu. Jika terjadi pertemuan saturangkaian fluida pembentuk nano-kristal denganrangkaian fluida yang lain maka semakin cepataliran rangkaian fluida akan semakin bebasrangkaian fluida itu dan semakin sulit bagirangkaian fluida itu untuk bergabung denganrangkaian fluida yang lain untuk membentukkristal. Semakin sulit penggabungan antarrangkaian fluida maka laju kristalisasi akansemakin kecil. Atau dengan kata lain semakintinggi kecepatan molekul fluida semakin kecilkecepatan kristalisasi. Jika kecepatan kristal-isasi dianggap sebagai besaran yang nilainyasebanding dengan besar amplitudo kuadrat,maka hasil pada grafik sesuai dengan literatur.Pada grafik, terlihat dengan semakin tingginyanilai kecepatan untuk kecepatan yang kecil,maka nilai amplitudo kuadrat akan semakinkecil.

4.4. Amplitudo Kuadrat Terhadap MassaJenisUntuk perbandingan nilai amplitudo kuadratterhadap nilai massa jenis didapatkan kecen-derungan turunnya nilai amplitudo kuadrat ituterhadap kenaikan massa jenis kristal. Jikadianggap laju kristalisasi merupakan besaranyang terwakili oleh amplitudo kuadrat, maka

8

Page 15: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

0.002 0.004 0.006 0.008 0.01v

6.87455 ´ 109

6.87465 ´ 1096.8747 ´ 109

6.87475 ´ 1096.8748 ´ 109

6.87485 ´ 1096.8749 ´ 109

amplitudo kuadrat

Gambar 5: Grafik kecepatan terhadap amplitu-do kuadrat

6000 7000 8000 9000 10000Ρ

5´ 109

1´ 1010

1.5´ 1010

2´ 1010

2.5´ 1010

amplitudo kuadrat

Gambar 6: Grafik massa jenis terhadap ampli-tudo kuadrat

semakin besar nilai massa jenis akan semakinkecil nilai laju kristalisasinya. Rangkaianfluida calon pembentuk nano-kristal terdiridari partikel-partikel yang memiliki kerapatantertentu. Penggabungan antara rangkainfluida calon pembentuk nano-kristal ini jugamerupakan penggabungan partikel-partikelpenyusunnya. Semakin besar kerapatan daripartikel itu maka semakin sulit bagi partikel ituuntuk bergabung dengan partikel lain untuk se-lanjutnya mengalami proses kristalisasi. Dalamdunia makroskopik penggabungan antara bendayang kecil nilai kerapatannya lebih mudahdibandingakan penggabungan dua benda yangbesar kerapatannya. Sehingga, semakin besarmassa jenis suatu kristal semakin kecil lajukristalisasi yang didapat.

4.5. Amplitudo Kuadrat Terhadap Diver-gensi Kecepatan

Terhadap divergensi kecepatan,pada grafik di-dapatkan kecenderungan kenaikan nilai ampli-tudo kuadrat terhadap kenaikan divergensi ke-cepatan. Divergensi kecepatan pada fluidaini dapat diartikan kecenderungan fluida un-tuk menyebar. Pada kasus fluida incompress-ible nilai dari divergensi kecepatannya nol, ataudengan kata lain tidak ada kecenderungan flu-ida itu untuk menyebar karena telah termam-

0.2 0.4 0.6 0.8 1Div kecepatan õ.v

6.775´ 1096.78´ 109

6.785´ 109

amplitudo kuadrat

Gambar 7: Grafik divergensi kecepatan ter-hadap amplitudo kuadrat

patkan secara maksimum. Grafik menunjukkansemakin besar derajat penyebaran suatu fluidayang ditunjukkan oleh divergensi kecepatan ma-ka akan semakin besar nilai amplitudo kuadrat-nya.

Dengan besarnya nilai divergensi kecepatandalam satu aliran fluida maka kecenderun-gan partikel fluida itu untuk menyebar akansemakin besar. Jika dianggap satu aliranfluida sebagai satu satuan volume yang kecil,maka semakin besar divergensi kecepatanmaka semakin besar pula derajat penyebaranfluida. Jika nilai divergensi kecepatan fluida ininol, maka satuan volume yang kecil ini tidakmengalami penyebaran komponen-komponenpenyusunnya. Jika nilai divergensi kecepatan-nya besar, maka kecenderungan komponenpenyusun volume fluida itu untuk menyebarakan semakin besar. Satu satuan volumeyang terpecah menjadi bagian yang lebih kecilakan memperluas luas permukaan keseluruhan.Pertambahan luas permukaan keseluruhanakan lebih memudahkan terjadinya interaksi.Dengan bertambahnya kemungkinan untukberinteraksi, proses kristalisasi akan semakinmungkin terjadi atau dengan kata lain lajukristalisasi akan meningkat. Sesuai denganperkiraan, penambahan divergensi kecepatanakan menambah laju kristalisasi.

4.6. Amplitudo Kuadrat TerhadapVikositasHubungan antara viskositas dan amplitudokuadrat pada grafik terlihat bahwa nilai am-plitudo kuadrat sebanding dengan nilai viskosi-tas. Jika amplitudo kuadrat dianggap mewakilibesaran kecepatan kristalisasi, maka kecepatankristalisasi nilainya sebanding dengan viskositas.Hal ini sesuai dengan apa yang ada dalam lite-ratur. Dalam literatur, diketahui bahwa nilaikecepatan kristalisasi akan naik seiring dengannaiknya nilai viskositas. Hubungan ini sebe-tulnya tidak langsung seperti itu. Ketika laru-tan telah berada dalam kondisi supersaturasi, ji-ka ditambahkan benih kristal ke dalam larutan,maka mulai terjadi proses kristalisasi. Proses

9

Page 16: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1viskositas Ν

6.5´ 109

7.5´ 109

8´ 109

8.5´ 109

amplitudo kuadrat

Gambar 8: Grafik amplitudo kuadrat terhadapviskositas

kristalisasi ini berlangsung agak lambat. Keti-ka jumlah zat terlarut ditambah lagi, maka ke-cepatan kristalisasi akan semakin besar. Se-hingga, kecepatan kristalisasi nilainya seband-ing dengan jumlah zat terlarut setelah kondisisupersaturasi. Penambahan jumlah zat terlarutke dalam larutan akan menambah viskositas(kekentalan) larutan itu. Dengan bertambah-nya viskositas, maka kecepatan kristalisasi akansemakin besar.

Dengan kata lain, laju kristalisasi meru-pakan suatu besaran yang nilainya berbandinglurus dengan ekses konsentrasi larutan. Ekseskonsentrasi larutan didapatkan setelah larutanmengalami kejenuhan. Penambahan zat ter-larut hanya akan menambah ekses konsentrasi.Semakin banyak ekses konsentrasi larutan makanilai kekentalan larutan pun akan semakinbesar. Sehingga dapat dikatakan denganbertambahnya viskositas bertambah pula lajukristalisasi.

5. Besaran yang berhubungan dengan ni-lai Amplitudo Kuadrat

Besaran yang diwakili oleh nilai amplitudokuadrat pada pertemuan 4 fluida di kristaladalah laju kristalisasi. Laju kristalisasi diang-gap sebagai besaran yang nilainya berbandinglurus dengan nialai amplitudo kuadrat. Padafisika partikel besar nilai amplitudo kuadratmenunujukkan peluang teradinya interaksi. Be-sarnya nilai suatu besaran pada fisika partikelmisalnya cross section (penampang lintang)dan decay rate (laju peluruhan) sebandingdengan besarnya amplitudo kuadrat. (Halzen,1984). Besaran pada kristal yang dianalogikandengan besaran-besaran tersebut adalah lajukristalisasi. Semakin besar nilai amplitudokuadrat menunjukkan semakin besarnya nilailaju kristalisasi.

KESIMPULAN DAN SARANKesimpulanSeperti halnya telah dilakukan pada fisika

partikel, perhitungan nilai amplitudo kuadratdicoba penerapannya pada kasus pertumbuhankristal. Pada fisika partikel nilai amplitu-do kuadrat diterapkan untuk menghitungobservable yang ada, misalnya cross section(penampang lintang) dan decay rate (laju pelu-ruhan). Melihat kecenderungan perubahan nilaiamplitudo kuadrat terhadap variabel-variabelfluida hasil perhitungan dengan menggunakansistem interaksi 4 fluida yang mirip denganperhitungan interaksi antar partikel boson,diambil kesimpulan bahwa pada proses per-tumbuhan kristal, observable yang nilainyadipengaruhi oleh amplitudo kuadrat adalah lajukristalisasi.

SaranPerumusan yang lebih detail mengenai lajukristalisasi dan hubungannya dengan amplitudokuadrat dapat diteliti lebih lanjut. Sepertihalnya besaran-besaran pada fisika partikel,contohnya cross section (penampang lintang)dan decay rate (laju peluruhan) didapat darimengalikan amplitudo kuadrat dengan besaranlain, begitu pula dengan laju kristalisasi. Dapatdibuat perumusan yang lebih lanjut mengenaihubungan laju kristalisasi dengan amplitudokuadrat. Hal ini akan semakin membuktikanperhitungan yang sebelumnya dilakukan padafisika partikel elementer dapat diterapkan padabidang fisika yang lain. Sesuai dengan apayang dikatakan Dirac: ”We believe the unity ofphysics”.

10

Page 17: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

Polarisasi Vektor

Karena Aµ merupakan medan bosonik bermassa maka memenuhi persamaan:

(gνµ(¤2 + M2)− ∂ν∂µ)Aµ = 0 (25)

Dapat kita peroleh invers dari ruang momentum operator dengan menyelesaikan

(gνµ(−k2 + M2) + kνkµ)−1 = δλµ(Agνλ + Bkλkν) (26)

untuk nilai A dan B. Propagator, adalah besaran dalam kurung sebelah kanan dari (A.2) kita kalidengan i, di dapat

i(gνµ + kνkµ/M2)k2 −M2

(27)

Dapat kita lihat untuk keadaan partikel bermassa k2 = M2. Kita divergensi, ∂ν , dari (A.1), duasuku akan saling menghilangkan dan kita peroleh

M2∂µAµ = 0 Sehingga ∂µAµ = 0 (28)

Untuk Partikel bermassa ∂µAµ = 0 suatu keadaan yang harus dipenuhi, bukan sebagai gaugecondition. Sebagai konsekuensimya, Persamaan (A.1) tereduksi menjadi

(¤2 + M2)Aµ = 0 (29)

untuk keadaan partikel bebas dalam fluida didapat solusi

Aµ = εµe−ik·x dengan εµ =(

d

2|~v|2 − V,−~v

)(30)

Kondisi (A.4) mensyaratkankµεµ = 0 (31)

Sehingga akan mereduksi derajat kebebasan dari empat vektor polarisasi menjadi tiga. Untuksebuah partikel bermassa M, energi E, dan momentum k bergerak sepanjang sumbu z, dengankeadaan helisitas λ dapat diperoleh vektor polarisasi sebagai berikut

ελ=±1 = ∓ (0, 1,±i, 0)√2

(d

2|~v|2 − V,−~v

);

ελ=0 =(|k| , 0, 0, E)

M

(d

2|~v|2 − V,−~v

); (32)

Dengan menjumlahkan semua keadaan polarisasi dari vektor partikel bermassa akan diperolehhubungan kelengkapan sebagai berikut:

λ

ε놵 ελ

ν =(−gµν +

kµkν

M2

) ((d

2|~v|2 − V

)2

− |~v|2)

(33)

11

Page 18: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

Perhitungan Amplitudo Kuadrat 4Fluida

Perhitungan amplitudo kuadrat untuk sistem 4 fluida

12

Page 19: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

13

Page 20: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

14

Page 21: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

15

Page 22: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

16

Page 23: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

17

Page 24: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

18

Page 25: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

19

Page 26: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

20

Page 27: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

21

Page 28: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

22

Page 29: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

23

Page 30: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

24

Page 31: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

õ

25

Page 32: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

26

Page 33: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

27

Page 34: APLIKASI LAGRANGIAN NAVIER-STOKES PADA KRISTAL · Menyetujui, Dr. Husin Alatas Dr. L. T. Handoko Pembimbing I Pembimbing II Mengetahui, Dr. Ki Agus Dahlan Ketua Departemen Tanggal

DAFTAR PUSTAKA

[1] K.E.Saputro, Thesis:Large Applications Of Fluids Dynamics Based On Gauge Field TheoryApproach,UI, Jakarta (2005)

[2] A.Sulaiman, Thesis:Construction Of Navier-Stokes Equation Using Gauge Field Theory Ap-proach,UI, Jakarta (2005)

[3] A.Sulaiman and L.T.Handoko, Gauge Field Theory approach to construct the Navier-Stokesequation, Acta Physica Pol. A in press (2005)

[4] L. Ryder, Quantum Field Theory, second ed, Cambridge University Press, Cambridge (1998).

[5] B.N. Roy, Crystal Growth from Melts: Applications to Growth of Groups 1 and 2 Crystals,John Wiley Sons, Chichester (1992).

[6] I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey, Gauge Theories in Particle Physics, second ed, Institute ofPhysics Publishing, Bristol (2001).

[7] Francis Halzen and Alan D.Martin, Quarks and Leptons: An Introductory Course in ModernParticle Physics, John Wiley Sons, New York (1984).

28