MATEMATIKA EKONOMI

DISUSUN OLEH :ANNISA KHOERUNNISYA

DERET

Deret : Rangkaian bilangan yang tersusunsecara teratur dan memenuhikaidah-kaidah tertentu. Suku : Bilangan-bilangan yangmerupakan unsur dan pembentukderet. Macam-macam deret :

- Deret Hitung- Deret Ukur

3

Suku ke-n dariDeret Hitung

7,12,17,22,27,32

S1, S2, S3, S4, S5, S6

S1 = 7= a

S2 = 12 = a + b = a + (2 - 1)b

S3 = 17 = a + 2b = a + (3 - 1)b

S4 = 22 = a + 3b = a + (4 - 1)b

S5 = 27 = a + 4b = a + (5 - 1)b

S6 = 32 = a + 5b = a + (6 - 1)b

Sn = a + (n - 1)ba = suku pertama /𝑆1

b = pembeda

n = indeks suku

4

Deret hitung :

Deret yang perubahan suku-sukunyaberdasarkan penjumlahan terhadap sebuahbilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku darideret hitung dinamakan pembeda, yang taklain adalah selisih antara nilai dua sukuyang berurutan.

Contoh :

7,12,17,22,27,32 (pembeda 5)

93,83,73,63,53,43 (pembeda -10)

DERET HITUNG

Jumlah n SukuJumlah sebuah deret hitung sampaidengan suku tertentu tidak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya.

5654

6

1

3216

54

5

1

3215

4

4

1

3214

1

21 ...........

SSSSSSSJ

SSSSSSJ

SSSSSJ

SSSSJ

i

i

i

i

i

i

n

i

nin

Berdasarkan rumus suku ke-n Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan sebagai berikut :

J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b)

= 4a + 6b

J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b)

= 5a + 10b

J6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)

= 6a + 15b

7

bnn

naJ

babaJ

babaJ

babaJ

n )1(2

)16(2

66156

)15(2

55105

)14(2

4464

6

5

4

Sn

Masing-masing Ji dapat ditulis

bnan

Jn )1(22

atau

)(2

)1(2

nSan

bnaan

Deret UkurDeret ukur :

Deret yang perubahan suku-sukunyaberdasarkan perkalian terhadap sebuahbilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-sukusebuah deret ukur dinamakanpengganda.

Contoh :

1)5,10,20,40,80,160 (pengganda 2)

2)512,256,128,64,32,16 (pengganda 0,5)

Suku ke-n dariDeret Ukur

suku indeks

pengganda

pertamasuku

160

80

40

20

10

5

1

165

6

154

5

143

4

132

3

12

2

1

n

p

a

apS

apapapppppS

apapappppS

apapapppS

apapappS

apapS

aS

n-

n

Jumlah n Suku

(2)persamaan dan (1)persamaan antaraselisih 10

(2) .......

:maka , penggandabilangan dengan dikalikan jika

(1) .......

: maka rumusn berdasarka

...........

1432

1232

1

1

4321

nn

n

nn

n

n-

n

n

i

nin

apapapapapappJ

p

apapapapapaJ

apS

SSSSSSJ

1

)1(atau

1

)1(

)1()1(

p

paJ

p

paJ

papJ

apapJJ

n

n

n

n

n

n

n

nn

(2) persamaan dan (1) persamaan antaraselisih

1p 1p

MODEL PERKEMBANGAN USAHAJika perkembangan variabel-variabel

tertentu dalam kegiatan usaha,misalnya :produksi, biaya, pendapatan, penggunaantenaga kerja dll.

Memiliki pola seperti deret hitung,maka prinsip-prinsip deret hitung dapatditerapkan dalam menganalisis perkembanganvaiabel tersebut.

12

Model Bunga MajemukModal pokok P dibungakan secara majemuk, sukubunga perahun i, maka jumlah akumulatif modal Fsetelah n tahun adalah:

n

n iPF

iPiiPiPF

iPiiPiPF

iPiPPF

)1( .)(......... )(......... :n tahun setelah

)1()1()1( : tahun 3setelah

)1()1()1( : tahun 2setelah

)1(. : tahun 1setelah

322

3

2

2

1

n

n iPF )1(

• Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :

1n-

n apS Bunga dibayar 1x setahun

Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m kali, maka:

mn

nm

iPF )1(

Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut“faktor bunga majemuk” (compoundinginterest factor), yaitu suatu bilanganyang lebih besar dari 1, yang dapatdipakai untuk menghitung jumlah dimasamendatang dari suatu jumlah sekarang.

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

Dengan manipulasi matematis, bisadiketahui nilai sekarang (present value) :

)/1(

1atau

)1(

1F

miPF

iP

mnn

Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn

dinamakan “faktor diskonto” (discountfactor), yaitu suatu bilangan lebihkecil dari 1 yang dapat dipakai untukmenghitung nilai sekarang dari suatujumlah dimasa datang.

Model PertumbuhanPenduduk

Pt = P1 Rt-1

DimanaR = 1 + rP1 = jumlah pada tahun pertama (basis)Pt = jumlah pada tahun ke-tr = persentase pertumbuhan per-tahunt = indeks waktu (tahun)