INSTRUMENTACiÓN REVISTA MEXICANA DE FíSICA 47 (1) 76-86 FEBRERO 2001

Ángulo de apuntado para los paneles del gran telescopio milimétrico (GTM)

J. Salinas-Luna' yA. Cornejo-Rodríguez2Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica

Apartado postal 216, 72000 Puebla, Pue" Mexicoe-mail: ljsaliIlGs@susu.inlloep.nlr;211comejo@inaoep.I1L,(

E. Luna-AguiJarObservatorio Astronómico Nacional, Instituto de Astmnomfa, Uni\'ersidad Nacional Autónoma de Aféxico

Apartado postal 877, 22830 Ensenada, B.C., Mexicoe-mai!: eala@astrosen.unam.I1Lt

A. Cordero-DávilaBenemériw Universidad Autónoma de Puebla

Apartado postal 1152, 72000 Puebla, Pue" Mexicoe-mail: acordero@fefm.buap.mx

Recibido el 24 de junio de 2000; aceptado el I de septiembre de 2000

Se presentan resultados para las tolerancias en el ángulo de apuntado de los sc¡:torcs que componen la superficie del GTt\l (Uv1T). tanloen R1 como en R3. El an;ílisis de las tolerancias para diferentes rangos dc inclinación angular:'Oc c:'Otudiaron,conociendo sus efectos en laconccntración de cncrgía en el disco de Airy. diagramas de manchas, variacil)n de las superficies c¡Íusticas de rayos y de las normales a lasUJX'rticiepara cuando sc desalinean los sectores del espejo segmentado principal del Gran Telcscopio Milirnétrico, (GTM); todo cste análisisSI..' realiza en el plano foc~ll.

Ikscriprort's: Ciuslicas de rayos y de normales; concenlración de energía: disco de Airy

\Ve show some rcsults ~lt>OUIthe tolerances on Ihe poinling angle al' Ihe seclioJls 01'lhe L~1T (GTM) in R2 and R3, by means of an analysisuf lhe inclinalion range. cllcrgy concenlmlion wilhin lhe Airy disk. spOI diagrams and causlic surface uf rays and normals pnx1uccd wilhmisalignmenl in all segments ofThe Large Millimcter Tdescope, (LMT). AH lhc analysis is done onlhc focal pl,lOe,

Kt'YII'onJs: Causlics sur faces for the normals ami rays and normal s: radial encrgy dislribution: Airy's disk

rAes: 42.79.-<

1. IntroduccÍlín

Un espejo segmentado es un arreglo de varios espejos concierta distrihución, que tiene por objeto igualar el funciona-miento de un espejo monolítico para cierto rango del espectroelectromagnético, de tal manera que el haz de luz rellejado enel espejo no camhie su dirección y fase m,ís allá de cierta to.lerancia.

Las reflexiones en un espejo segmentado involucran prin-cipalmente dos prohlemas de alineación a resolver. El prime-ro. relacionado con Ull <.ksplazamiento paralelo al eje óptico() eje tic simetría del espejo llamado término tle "pisto,," decada lino de los segmentos. Esta desalineación provoca laformación de varios puntos imagen sobre el eje óptico condesplazamientos axiales. que corresponden a los diferentessegmentos. Este prohlcma se vuel ve fuertemente dependien-te de la longitud de onda, dado que para que la desalineaciónsea considerada como ""i.\,toll". es necesario que la magnitudde este despl,\z3miento sea sólo de unas cuantas longitudesde onda. pues de lo contrario se considerará como "de.\"cnfi¡.l/ue". Al efecto de alinear los segmentos para juntar la imagenaxial de cada uno de los segmentos se le conoce en la litera-tura como cofasear, y por ahora queda fuera tlel <.:ontextodeeste artículo.

El segundo prohlema. asunto a tratar en este trahajo. es elde estudiar cómo hacer coincidir las reflexiones de los seg-mentos a un plano perpendicular al eje óptico (plano focal),de lal manera que esta convergencia de los haces quede den-tro de cierta región, que en este caso se seleccionó como elinterior tlel disco de Airy. delinido en nuestro estudio paratres longitudes de onda de \. 2 Y 3 mm. Esta última alinea-ción, en general. trata con los términos de "tip/tiU" o incli-nación de los segmentos y es puramelllcrnente geométrica. apesar de usar como referencia el disco de Airy y. por ende.una longitud de onda. Este Irahajo se centra en el análisis delefecto que sohre la calidad de la imagen tienen los erroresde la alineación de los segmentos del espejo segmentado pri-mario tlel Gran Teles<.:opioMilimétrico (GTl\f) de acuerdo alcriterio de Strchl.

Las herramientas que se utilizan para analizar el efecto dela alineación de cada segmento son: los diagramas de man-<.:hasalrededor del plano focal, la concentración de energíadentro del disco de Airy para 3 longitudes de onda. finalmen-te, la simctría o asimetría de las cáusticas formadas por losrayos y las normales.

Así, un primer análisis se encaminará al estudio en unplano dc la superficie cáustica. A pesar de que existen dife-rentes conceptos de las superficies cáusticas formadas por

ÁNGULO DE APUNTADO PARA LOS PANELES DEL GRAN TELESCOPIO MILlr-..fÉTRICO IGTM) 77

FIGURA 1. Geometría del espejo primario del GTM dividido porsectores. Se muestra la pocisi6n del segmento 155.

los rayos renejados y las normales a los segmentos, noso-tros énfocarcmos nuestra atención al comportamiento de lassuperficies cáusticas de rayos y de las normales a los seg-mentos. discutiendo más adelante las difcrencias entre estascáusticas. El ohjetivo principal de este trahajo es la ohtenciónde tolerancias de inclinación en el apuntado de los segmen-los que conforman el espejo principal del radiotelescopio, ycon esto, conocer los rangos de inclinación en los segmentosque permitan ohtener superficies cáusticas simétricas. esto setraduce en la variación de la densidad de rayos en el discodc Airy. Esto último con la finalidad de mantener una huenacalidad de imagen y, de acuerdo con los diseños de los instru-mentos astronómicos [11, tomaremos como huena calidad deimagen si más del 80% de los rayos caen en el disco de Airy.

Para lograr lo anterior, es necesario familiarizarse con lasespecilicaciones técnicas del espejo primario del Gran Teles-copio Milimétrico, a saher: 50 metros de diámetro; segmen-tatlo en 192 partes divididas en 5 sectores circulares de seg-mentos en forma trapezoidal o teja (ver Fig. 1). En cada sec-tor los segmenlOs se disponen de la siguiente forma: el sectormás interno, el A. contiene del segmento 1 al 24: el sectorB. del segmento 25 al 48: el sector C, del segmento 49 al 96;el sector O del segmento 97 al 144, y el sector más externo,el E. tlcl 145 al 192; el diseño contempla una superficie pa-rah61ica, con un radio de curvatura paraxial de 35 metros yun orificio central de 2 metros para que los rayos converganal foco Cassegrain.

La presentación del trabajo se encuentra distrihuida de lasiguiente manera. En la Seco 2 se descrihe la manera en quese wilil.6 el trazo exacto de rayos para la ohtención de lasc:íusticas. En la Seco 3 se discuten las diferencias entre lascáusticas de los rayos y de las normales. En la Seco 4 se de-line el <Íngulo de apuntado y se muestran algunas fórmulasimportantes para la ohtención de éste. En la Seco 5 se analizala concentración de energía delimitada por el disco de Airypara -' longitudes de onda (1, 2 Y 3 mm). Por último, en laSec. 6 se discuten los rangos de inclinación necesarios pa-ra llegar a las tolerancias requeridas, dánuose los resultadoslluméricos y las conclusiones.

2. Trazo exacto de ra)'os )' c:íusticas

El método de trazo exacto de rayos empleado fue el desarro-llado por Spcncer [2J y utilizado por Luna [3] en su tesis doc-toral; para las ecuaciones de las normales en una dimensiónse usan las L'onociciasexpresiones matemáticas desarrolladaspor Cardona el al. [4]. En el caso tridimensional. para faci-litar el cálculo, se evalúan las coordenadas de los centros delos segmentos del espejo, considerando a éstos como el puntodonde incide el rayo proveniente de infinito, pero es en estepunto donde se calculan las normales que sirven para obtenerposteriormente las cáusticas de las normales.

La superficie cáustica producida por las normales se oh-tiene prolongando cada normal hasta su respectivo centro decurvatura local [5, G). éste es el valor del radio de curvaturaque le corresponde al centro de cada segmento; por lo que ca-da sector del espejo. tendrá su propio radio de curvatura y alintersect:u estos radios de curvatura con los diferentes planostle detección. se formará la cáustica de normales; en el casoque tratamos, y con la finalidad de identifkar la variación decada sector o segmento del espejo primario cuando hay incli-naciones. se usaron 2 planos de detección antes y 5 despuésdel círculo de mínima confusión o lugar donde se obtiene elpunto focal óptimo 17J para ohtener la cáustica de normales.

El trazo de los rayos se inicia en la pupila de entrada (eneste caso es el plano enfrente del espejo). ohteniéndose pri-mero las coordenadas de los rayos en los puntos de inciden-cia. las cuales coincidirán con las alturas sohre el espejo pri-mario a partir del eje 6ptico. Dado que la posición de la fuentees conocida, pues suponemos que está en el infinito, entoncesde antemano se conocen los cosenos directores de los rayosincidentes y. por medio de la ley dc la reflexión [8. 9J, se oh-tienen los cosenos directores de los rayos rellejados, puestoque se conocen los datos de las nOTlllales previamente cal-culadas; a continuación se sigue con el traz.o de rayos paraencontrar la intersección de los mismos en diferentes planosde observación en ambos lados del plano focal. de esta ma-nera se puede determinar la forma de la cáustica de rayos. losdiagramas de manchas y la concentraci6n de energía.

3. Diferencia entre cáusticas de rayos y denormales

En esta parte discutiremos la diferencia entre las superflciescáusticas de rayos en el plano focal de la superficie reflec-tora y las que producen las normales prolongadas hasta unadistancia del radio de curvatura local de la superficie, acla-ramio que la super.lcie cáustica de normales es puramentematelll¿ltica y depende solamente de la forma de la superficieóptica hajo prueha.

Cuando los rayos de luz provienen de una fuente en el in-finito e inciden sohre una superticie reflectora parahólica, lac,lustica de rayos degenera en un punto y éste se localiza enel plano focal; por otro lado. las normales a dicha superficicgencran otra cáustica. pero esta última tiene su cúspide en el

:IRCI'. Alc.'I:. Fís. ~7 (1) (lOOI) 76-R6

78 J. SALINAS-LUNA, A. CORNEJO-RODRíGUEZ. E. LUNA-AGUILAR. AND A. CORDERO-DÁVILA

FI(;URA 2. Orientación de las normales para a) - ->. primario seg-mentado alineado y b) t--+, primario segmentado desalineado.

centro de curvatura paraxial y. dependiendo de la aberracióninherente a la superficie reflectora. la cáustica de normalespuede aparecer adelante o atrás del centro de curvatura para-xial. Para esta misma superficie. cuando se coloca la fuenteen el centro de curvatura, tanto la cáustica de rayos como lade normales coincide en el centro de curvatura formando unaespecie de "corneta" [ID). A manera de comparación con elcaso dc una superficie parahólica, para el caso cuando inci-den los rayos provenientes del infinito sobre una superficiereflectora esférica. la cáustica de rayos se forma en el planofocal (corneta) y la cáustica de normales, es un punto, quees el centro de curvatura. Si se coloca ahora la fuente en elcentro de curvatura, para esta misma superficie esférica, tan-to la cáustica de rayos y de normales coincide en el centrode curvatura y es un punto. El objetivo de lo anterior es mos-trar que la cáustica de rayos y de normales son diferentes enforma [11 J y localización [12] Yposeen una determinada lon-gitud 1131. (I)

7)eje aptico)

(Zv.xv)

C.CI.

-Su~rificie bajo prueba

Rp

x - X"()= arctan Zv _ Z '

z

FIGURA 3. Vista lateral del primario mostrando el ángulo de apun-tado. R(X) es el radio de curvalura. 8 es el ángulo que hace elradio de curvatura con el eje óptico. X es la altura del centro decada segmento, Z es la sagit<l, (Zu, Xu) son las coordenadas delcenlro de curvatura local. El,. es el radio de curvatura paraxial yesigual a 35 metros.

en donde los grados de lihertad de cada segmento se repre-sentan por los ángulos de Euler (a, /3,O. Con estos ángulosfácilmente se pueden incluir las perturbaciones en el tra-zo dc rayos. dado que éstos están definidos por una matrizde rotación, R, de tal manera que basta con multiplicar losparámetros del espejo con dicha matriz. En este análisis sedesprecia el ángulo f., UIlO de los ángulos de la matriz de ro-taci6n, debido a que los segmentos están encajonados de talmanera que las aristas de los segmentos delimitan este movi-miento azimutal.

Una primera aproximación a la solución del problema esohtcner el ángulo de apuntado (normales a los centros delos segmentos) en un plano: para esto se usa la siguientefórmula [10, 14] (ver f'ig. 3):

Z (eje oplico)

Normaks de stgmmtosJlintados

~Ol11\l;bo=

~~n-.=l1lO!i

cbalill(m

en donde X es la altura a la que se encuentra el centro de cadasegmento, Z es la sagita, y (X",2,,) son las coordenadas delcentro de curvatura local, correspondiente al punto céntral dccada segmento. medidas a partir del vértice. V.

En el caso tridimensional, las ecuaciones que rigen laorientación del espejo desde un punto de vista matemático.son los cosenos directores [151 de la normal al centro de cadasegmento. y las ecuaciones que se utilizan fueron ohtenidasde la expresión general que define la ecuación de las norma-les, N:

, \iZ ( , , ,j\ = - I \iZ I = - \ . Ó , f ),

4. Ecuaciones para el án~ul() de apuntado

Llamamos ángulo de apuntado de cualquier sección del espe-jo primario. al ángulo que forma la normal local para el centrodc cada segmento con respecto al eje óptico; se analiza paralos casos dc un plano (R2) y tridimcnsionalmente (R3) (verFig. 2). El ángulo de apuntado del espejo primario está dcfini-do analíticamente por medio de los cosenos directores de las192 normales centrales a cada segmento. la idea es analizarlas cáusticas de rayos y de normales cuando los segmentosestán alineados y desalineados. En general, la hipótesis deeste trabajo es considerar que cuando un segmento está desa-lineado la dirección de la normal camhia, provocando que laforma de las cáusticas se altere. al igual que la concentraciónde energía. en los planos focales y no focales.

Para hacer el análisis de las desalineaciones haremos usodel trazo exacto de rayos usando el algoritmo de Spencer 121,

,.\

-CW\I

JI - [,C,;(X'" + Y'")'

(2)

(3)

Re". Mex. Fú. 47 (1.) (2(X) 1) 76-86

ÁNGULO DE APUNTADO PARA LOS PANELES DEL GRAN TELESCOPIO MILlMÉTRICO (GTM) 79

en donde V es el operador gradiente y Z es la ecuación dela sagita definida por Malacara [13], en nuestro caso la cons-tante de conicidad corresponde a una superficie parabólica,es decir, A' = -1 Y C" es la curvatura paraxial y es igual a1/ lI,>"

5' -G"Y'( =-===='=====,JI - !{q(X" + Y")

/1 - (I{ + I)C'(X" + Y"), V Pf =~-=========~-

JI - Kq(X" + Y")

(4)

(5)

Se Jehe notar que estos cosenos directores (X',Ii',¡/),eslán en funcióo de las coordenadas primadas (Fig. 4j ya quees respecto a este sistema de referencia de donde se obtendránlos parámetros de desalineación de cada segmento.

El primer paso para la obtención de los cosenos directo-res(ángulo de apuntado tridimensional). es hallar las coorde-nadas primadas de los rayos incidentes. para esto se hace larotación de coordenadas de los rayos incidentes (.\0. ló, Zo).generándose cn esta forma las coordenadas (X', Y', Z'). De-finiendo así un sistcma de coordenadas (primado) que se rotapara cada segmento cuando se introducen las desalineacio-nes. (ver Fig. 4). Al suhstituir el valor de ~ = Oen la matrizde rotación. se ohtiene la Ec. (6):

(X')yo, =Z' (

COSO

- sen Q' sen {3sen O' cos j3

o('os 13SPI! /1

- sel!" ) ( Xo )-C()SnScll/3 l~) ,COS (l' ros /3 Zo = O

(6)

FIGURA 4. Sistemas de referencia para los cálculos. (Xo, Yo) es elplano de la pupila de cntrada(cjc paralelo al eje óptico de la superfi-cie sin rolar). (0,0, -1) Y (So, lo, 20) son los cosenos directoresy coordenadas originales del rayo incidcnte, cl sistema coordenado(X', }", Z') es donde se introducen las inclinaciones (n, {3) a lossegmclltos. (Xi, Y;, Z¡) es el punto de incidencia del rayo inciden.fe al centro de cada segmento y es donde se calculan las normales.(1',111',1/') Y (.\,"', y', O) son los cosenos directores y coordenadasdel rayo en el plano de inclinacioncs y S es una sagita local.

(7)(8)

(9)

X' =...\OC050'.

)" = - .\0 sen (}sen 13 + }~cos 13,

Z' =.\0 sen n ('os (3+ Yo sen /3.

I20 es cero. porque es el plano de la pupila de entrada. Re-alizando la operación anterior, las coordenadas de los rayosincidentes en el sistema primado. O'. quedan en función delos ángulos de Euler. por lo que la Ec. (6) en componentes esigual a

Estas coordenadas primadas son importantes porque en ellasse encuentra 1<.1información dehida a las inclinaciones (a, /3).que son los par:ímetros fundamentales para este trabajo, res~pecto ti conocer las tolerancias debidas a variaciones angula-res en la orientaci6n de los segmentos.

ITllroducicndo las Ecs. (7). (8) y (9) respectivamente en(2). (3) y (4) se ohliene,

Yo,

00

Xo(Xo,Yo,Zol(0.0:,1 )

._---- ...~-

rayoincidente ..•.

Superficieopllca

Y'

\:,/, ' ,(X'.\'O¡ (X.Yi,ljYz'¡I'.m'n') /

x'=

J'

-C,,(Xo ('Os<»

1 + q[(Xo coso' + (-Xo sen o 5('n iJ + YocosiJ)'J

-Cp( -Xo sen o sen iJ + j~ cosiJ)

JI + q[C'o cos o)' + (-Xo s('n n sen iJ + Yocos iJ)'] ,

(10)

(1 1)

( 12)

( 13j- sen ü sen 13

cos {J- cosO' sen ji

(:1:0) = ( coso

~: - s~na

Dado que el análisis sólo contempla inclinaciones angulares y no rotaciones de los segmentos, es necesario regresar alsistema de referencia original (Xo, Yo,20). Para esto último multiplicarnos por la matri7. inversa R-1 = Rt [16] a los cosenosdirectores primados que contienen las inclinaciones; matemáticamente esto se puede expresar como

sen n ('Os(1) (X')seu {3 (j'

('os O' cos {j f-I

Rev. Mex. f'ú. 47 (1) (200 1) 7(H!6

xn J. SALINAS-LUNA. A. CORNFJO-ROORíGUEZ. E. LUNA-AGUILAR. AND A CORDERO-DÁ VILA

f 0= - f I s('n el'- S' COSQ sen 13 + {' cos O:cos {3. (\6)

Estas últimas expresiones definen los cosenos directoresde las normales ti los segmentos para el caso tridimensio-naL donde las variahlcs primadas (,,',6', t:') son los cosenosdirectores que contienen la información de inclinaciones yestán expresados por las Ees. (10), (11) Y(12).

x •

Sllpcríficíc haio prl1l.'ha

qcosyrayosreflcj¡¡dos

':"y,

4 -"'-.;.-:~ 1)' Iy-,,--.,.!+q

. Disco d~ Airy(exagerado)

,Y~'"

!x ~

z

Z(cjc optiro)

(\4)

( 15)

De manera explícita lo anterior da lugar a

\0 =\ I ('os n - 8' sen o sen 13 + t' sen O: ('os 13,

Jo =11' cos tJ + f' sen {3,

5, Ecuaciones para la concentración de energía

qcos,tan"'''f=----p-' (17)

donde fJ es el radio del disco de Airy; f es el ángulo que for-ma la normal al centro de la sección parahólica del espejo; ¡.cs la distancia focal sobre el eje óptico y ¡* es la diSlanciadel centro del segmento al foco. De la misma Pig. 5 se puedeohservar que

La COllCclllración de energía se puede estimar conociendo ladensidad de rayos que llegan a una cierta área: en general,esta conccn[raci6n de energía se estimará analizando el dia-grama de manchas para un plano de observación dado. Laobtención de los diagramas de mancha" se haccn medianteel (ralO exaclO de rayos. Como se pueden ob(encr los cose-nos dircctorcs de los rayos reflejados, con base en ellos secalculan las coordenadas de éstos con un plano de deteccióncolocado cerca del foco; donde, como referencia, se define eldiscodei\iry 11, 17J.

Un método geométrico en un plano para conl1rmar elnúmero de rayos que intersectan un plano focal o imagen,y cu,ín(os de ellos están dentro del disco de Airy, es lal y l'o~1110 se observa en la Pig. 5, donde las variaciones angularesD.). de los rayos reflejados dados por el ángulo 'Y las pode-mos expresar como

Dado que las desviaciones del rayo reflejado son el dohlede las desviaciones del .ingulo dc la normal, ~lIormal, tene-mos

(23)

(22)~)' = 26llnrlllal.

'J(f - Z)"'"mmal = 2((J _ Z)' + .\")'

Esta es una manera alterna de calcular los rangos de in-clinación para algún segmento en particular. los valores quegenera la Ec. (23), coinciden con los valores estimados dedensidad de rayos que llegan al disco de Airy medianIl' eltra/.o exacto de rayos, aunque la Ec. (23), eomo se verá, res-tringe a sólo el 100% de los rayos contenidos en el disco dei\iry.

Oh servando que las (1t:sviaciones son desalineaciones en elsegmcnto. en otras palahras, una aproximación geométricasohre el contenido de rayos que llegan al interior del disco dei\iry de radio q se ohtiene slIhstitllyendo 1"Ee. (21) en 1"(22)Yresolviendo para 'ó'normal:

PI(;URA 5. Análisis geométrico de rayos contenidos en el disco deAiry. X es la altura donde incide el rayo y es el centro de cada seg-mento. Z es la sagita. f es la distancia fOGl1. (/ es el radio del discode Airy. ') es el ángulo que hace la normal del segmento alineadocon el eje óptico. esta normal apunta al centro del disco de Airy.~)" es la variación angular de los rayos reflejados para el segmentodesalineado. r es la distancia del centro del segmento a la distan~da focal y es el centro del disco de Airy.

( I X)f-Zf'

('OSI =

Si se cOllsidera que las desviaciones de los rayos ret1eja-d{l~SOIlpequeilas, cs decir tan ~"I ;:;: .61, se obliene LJuc

donde en estas dos últimas ecuaciones. Z es la sagita y X esla altura a la que se encuentra el centro del segmento.

SlIhstitllyendo las Ees. (18) Y (19) en la Ee. (17) se tieneque

r' = (f - Z)' + };2

En la ohtención de las tolerancias para los diferentes ran-gos de inclinación. se cuenta el númcro dc rayos que caenen cl disco de Airy cuando se introducen las desalineacio-nes (11,0,0) en los segmentos. Una forma de simular estasdesalineaciones es generarlas al azar, es decir, se simularon192 pares de números cntre -10 y 10 segundos de arco, ca-da pareja (0,8) corresponde a las desalincaciones en cadasegmento. Estas inclinaciones las pucden llegar a presentarlos segmentos del GTM, aclarando quc cn algunos pares denúmeros el signo fue colocado manualmente, lo que provocaque el patrón de diagramas de manchas se encuentre cargado

6, Resultados del ángulo de apnntado, concen-tración de energía y rangos de inclinación

(21 )

(1 Y)

(20)q(f - Z)(f - Z)' +};,.

'" _ q(f - Z)"f - (f - Z)' + X"

tall~~, =

y también

Re\'. Me.\". F,\_ 47 (1) (2001) 76--S6

ÁNGULO DE APUNTADO PARA LOS PANELES DEL GRAN TELESCOPIO MILl1\.1ÉTRICO (GTM) 81

o (grados)5° 42' 38.11"

19° 39' 13.T'

26° 33" 5~.1"32° 4~" 6.,T

11° 18' 35.72"

4.375

7.232

Z(X) (m)

0.1750.699

2.232

35.52637.121~1.906

"18.91~58.80~

R(X) (m)

TABLA 1. Se muestra el ángulo de apumado en un plano ohtenido por medio de la fórmula (1) y para los diferentes sectores. Se observa quetodos los parámetros aumentan conforme crece la ahura X del espejo primario.

Sector Xc (m) Z. (m) X. (m) Z< (m) X< (m)A 3.5 35.525 -0.035 {l.:J25 0.035Il , 3,.100 -0.279 2.099 0.2,9

e 12.5 .11.69 -1.594 6.G96 1.594

D li.5 48.125 -4.375 13.125 4.375E 22.5 56.696 -9.298 2I.G9G 9.298

ideal

Rango deinclinación(segare)

-1.6 a 1.6-lO a 10

O,(grados)

32° 44' 5.6T32" 43' 59.1"32° ~~' 6.8~"

122" l' .li.58"122" l' ~0.52"122" l' 48.02"

96" 3' 21.18"9Go 3' 23.25"

96" 3' 20.80"

TABI.A 111. Ángulo de apuntado tridimensional para el segmen-to 155 para tres rangos de inclinación.

Hx By(grados) (grados)x Ó Rango de

(rad) (rad) (rad) inclinación(segare)

-0.105~98~ -0.5303615 0.8~11816 -1.6 a 1.6

-0.1055084 -0.5303325 0.841198, -lOa 10

-O.105~966 - ().5303670 0.8.1¡.¡,8~ ideal

TABLA 11. Variación de los cosenos directores del segmento 155para trcs rangos dc inclinación.

hacia un sentido, y para ohtener rangos de inclinación dife.rentes, se escalaron los pares de números de -10 a 10segun-dos de arco, a otros pares de valores, ohteniéndose olros ran-gos, éslosson, (-2.5 a 2.5), (-2 a 2), (-1.6 a 1.6), (-1.25 a1.25). (-1 a 1) yde (-0.5aO.5) todos en segundos de arco.

A continuación se muestran algunos datos ohtenidos parael anjlisis de las tolerancias en el ángulo de apuntado de lospaneles () secciones que constituyen el espejo primario delGTM.

La Tahla 1muestra la variación del {¡ngulo ideal dc apun-tado en un plano. con la altura del centro dcl segmento(ohsérvcse cómo el ;íngulo crece proporcionalmcntc a la al-lura a la que se cllcucntren cada segmento). Las alturas, X(fig. 3) son las distancias a las que se encuentran los cenlrosde los segmentos del espejo.. Recordemos que [Z(X), XI son las coordenadas de los

puntos sohre el espejo. (Z", Xt,) son las coordenadas del cen-tro de curvatura local. sohre la superficie cáustica de norma-les medidas desde el vértice del primario. Las coordenadas(Zc, Xc) son medidas desde el centro de curvatura; f) es el<.ingulode apuntado y R(X) es el radio de curvatura I<JC411,

IOJo en un plano. Los diferelltcs centros de curvatura de lossegmentos son calculaJos mediante las fórmulas derivadaspor Cardona el al. I~J y Cornejo y Malacara [6J.

Como un ejemplo númerico del comportamiento del{¡ngulo de apuntado tridimensional. en la Tahla 11se mues-tran pequeñas variaciones de los cosenos directores para unsegmento que se encuentra en el sector E y corresponde alsegmento número 155 (ver Fig. 1) en dos rangos de inclina-ción y para el caso ideal. La idea de esta tahla es mostrarque los cosenos directores varian al someter un segmento adiferentes rangos de ¡"nclinación.

TABLA IV. Porcentajes de rayos en el disco de Airy para variosrangos de inclinación de todos los scgmentos de la superficie seg-mcntada.

Rango de 1 2 3inclinación (mm) (mm) (mm)(segare)

-lOa 111 7% 26% 50%

-2.5 a 2.;1 66% 96% 99%-2.0 a 2.0 77% 99% 100%

-1.6 a 1.6 XO% 99% 100%-1.25 a 1.25 96% 100% 100%

-LO a 1.0 98% 100% 100%

-0.5 a 0.5 100°ft¡ 100% 100%

La Tahla 111muestra los valores angulares ex. By y Bz•

para el panel 155, correspondientes a sus cosenos directores(\, J, ,) de la Tahla 11;manifestándose las diferencias tan pe-queñas J las que se dchc acoplar el sistema de ensamhle de laantena.

En particular es importante comentar que el valor delángulo O. del último renglon de la Tabla l. es casi igual alvalor de O;: de la Tahla 111.pues de hecho corresponde al mis-mo segmento. Esta diferencia entre los valores obtenidos seoehe hásicamcnte a que se usó diferente formulación.

La Tahla IV se realiza con la idea de seleccionar previa-mente los rangos de inclinación en los cuales se pretende ob-servar las variaciones de ángulos y cáusticas. considerandotres longitudes de onda milimétrica<;. Esta tabla muestra por-centajes de energía contenida en el disco de Airy para dife.rentes rangos de inclinación de toda la superficie. éstos fue-ron escalados del rango generado aleatoriamente entre -10 y10 segundos de arco, para obtener otros rangos de inclinaciónque se muestran.

Nt'v. M('x. Fú. 47 (1) (2001) 76-R6

82 j SALINAS-LUNA, A. CORNEJO-RODRÍGUEZ, E. LUNA-AGUILAR, AND A. CORDERO-DÁ VILA

TABLA V. Se muestran las tolerancias de inclinación geométricaque le corresponden <l las inclinaciones por conleo de rayos en eldisco de Airy para los sectores centrales A y 8 Ypara los sectoresexternos C. D y E..

Rango de Longitud Porcentaje Rango deSector Inclinación de onda de Energía Inclinación por

(segare) (mm) (%) aprox. gcam.va' + (3' (,,6(3)(segare)

1 lOO -2.4 a 2.4

-1.6 a 1.6 2 100 -4.8 a 4.8

3 100 -7.3 a 7.3

A 1 88-lOa 10 2 89

3 92

1 100 -2.3 a 2.3-1.6 a 1.6 2 100 -4.5 a 4.5

3 100 -6.7 a 6.7

B 1 88-10alO 2 88

3 97

1 lOO -1.72 a 1.72

-1.6 a 1.6 2 100 -3.4 a 3.4

3 100 -5.18 a 5.18

e 1 77

-lOa 10 2 81

3 84

1 97 -1.2 a 1.2

-1.6 a 1.6 2 lOO -2.4 a 2.4

3 100 -3.6 a 3.6

D 1 76

-10 a 10 2 773 81

1 90 -0.7 a 0.7

-1.6 a 1.6 2 100 -1.5 a 1.5

3 100 -2.2 a 2.2

E 1 75-10 a 10 2 77

3 80

La parte superior de la Tabla V muestra los rangos de in-clinación que se obtienen por aproximación geométrica, y secomparan con los rangos obtenidos por medio de contar rayosen el disco de Airy para los sectores A y B en las longitudesde onda 1. 2 Y 3 mm. Notemos que estos rangos no tienensimilitud aparente, pcro si se considera la magnitud quc hayentre los extremos de las dos inclinaciones (0', /3), es decir.obteniendo la magnitud entre -1.6 y 1.6 segundos de arco.(1.02 + 1.(2) 1/2, que se ohtienen por el método por conteo.éste es igual a los rangos de inclinación geométricos. Se oh-serva que en el rango de inclinación de -10 a 10segundos dearco en los sectores A o B, más del 80% de energía se con-

TABLA VI. Tolerancias máximas de inclinación en los segmentosdel Gran Telescopio Milimélrico para la longitud de onda de l mm.

Sector Tolerancia PorcentajeInclinación de Energía(segare) (%)

A -10al0 88B -10a10 88e -7ni 80D -5 a 5 80E -4a4 80

centra en las tres longitudes de onda, lo que implicaría queestos rangos de inclinación son aceptables para el funciona-miento del espejo segmentado en estos sectores. Además seobserva que para los sectores A y B los rangos de inclinacióngeométricos tienen comportamientos similares.

La parte inferior de la Tabla V. muestra los resultados co-rrespondientes a rangos de inclinación geométricos obtenidospara los sectores restantes. Al igual que en la parte superiorde la Tahla V, se ohserva que por el método de aproximacióngeométrica de inclinaciones, que estas van disminuyendo enmagnitud para los sectores m<Ísexternos del espejo primario.Adem;:ís para los tres sectores en el rango de -10 a 10 se-gundos de arco los porcentajes de energía se encuentran pordebajo del 80(;',), estos valores no satisfacen el criterio de con.tener al menos el 80% o criterio de Strehl.

En la Tabla VI est<Ín los intervalos de inclinación fina-les o tolerancias m<Íximasde inclinaciones ángulares para losdiferentes sectores en que est;:í dividido el espejo primariodel GTM. Se ohserva que existen concentración de energíaóptima para todos los sectores en el rango milimétrico delongitud de onda de 1 mm. Se ohserva que los sectores másexternos, C, D y E. sectores más alejados del eje óptico. senecesitarán controlar rangos dc inclinación más restringidosque los sectores internos A y B.

(l... Resultados acerca de níusticas )' diag:rarnas demanchas

En esta sección se discute el comportamiento de las cáusticasde rayos y de las normales, así como los diagramas de man-chas cuando se introduce alguna desalineación en los seg-mentos del espejo primario.

La Fig. 6a muestra, en proyección, los puntos de inter.sección de un haz circular de rayos, con diferentes planos alo largo del eje óptico; es decir, para diferentes "desenfoques"formando así una sucesión de diagramas de manchas, vistosen perspectiva isométrica. de ahí la inclinación de todos losdiagramas de manchas. La parte donde convergen los rayos esel plano focal y es el lugar donde se produce la cáustica de ra-yos. cuando los segmentos del espejo primario se encuentranlibres de perturbaciones. Se puede ohservar en la coordena-da (0,0) de esta figura, que en el plano focal, la cáustica derayos es exactamente un punto. Cahe aclarar que en la figura

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ÁNGULO DE APUNTADO PARA LOS PANELES DEL GRAN TELESCOPIO MILlMÉTRICO (GTM) 83

,...

flarogo"_I-,eAlel_

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(a) (h) (e)

FIGURA 6. Diagramas de manchas mostrando: a) la cáustica de rayos cerca del origen de coordenadas. un punto. cuando los segmentos delprimario están alineados; b) la asimetría de la cáustica de rayos. un punto pasó a una mancha cuando la inclinación de los segmentos estacomprendida entre -1.6 y 1.6 segundos de arco; e) la degeneración en el plano focal de la cáustica de rayos. de un punto a una mancha másgrande. cuando la inclinación se encuentra de -10 a 10 segundos de arco.

se utilizaron más planos después del plano focal, para demos-trar más adelante la'\ diferencias en la cáustica cuando no esun punto.

La Fig. 6b, al igual que la figura anterior, muestra lacáustica en el origen cuando se introducen desalineacionesen (n, (3) comprendidas enlre -1.6 y 1.6 segundos de arcopara todos los segmentos del primario. En el plano focallco-ordenada (0,0) en la Fig. 6b] se observa que la caustica derayos ya no es un punto y éste degenera en una mancha. Paralos planos cercanos al foco todavía es posihle ohservar ciertasimetría.

La Fig. 6c muestra los resultados cuando se introducendesalineaciones a los paneles, comprendidas entre -10 y 10segundos de arco para todo el primario. En el plano focal lacáustica de rayos de un punto, ha degenerado aún más que enel caso de la Fig. 6b, por lo que la calidad de imagen ya no esaceptahle, dado que la concentración de energía en el discode Airy es menor del XO%,como veremos más adelante, y engeneral los diagramas de manchas en otros planos muestranasimetría tamhién.

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~o!>Oe07080 40 eo 800).- DuallnuOlon ranlo(-l.ll A 18) (CAUSTlCA)[m} d).~ Oualinuolon oUlorad. (CAUSTlCA)1m)

En las Figs. 7a. 70. 7c y 7d se muestran las cáusticas denormales a los segmentos. se analizan los casos cuando el pri-mario está alineado y cuando se introducen desalineacionescomprendidas entre -10 a 10, -1.6 a 1.6segundos de arcoy para un valor mayor a -10 a 10segundos de arco. En es-te último caso esta c<Íustica pierde por completo su simetríapara los diferentes planos de detección.

Las Figs. Xa. 8h, Rc y Rd muestran el comportamiento decáusticas de normales introduciendo desalineación sólo a unsector y manteniendo alineados los demás. Los sectores don-de se introduce las desalineaciones son el A, C. D y E en elrango de inclinación de -10 a 10segundos de arco. Nóteseque la cáustica de normales no se altera y conserva su sime-tría a pesar de que el rango de inclinación no es óptimo.

FIGURA 7. Cáusticas de normales ohtenidas considerando todoslos sectores a) alineados, h) desalineación de (-10 a 10) segare. c)desalineación (-1.G a l.G) segare y d) desalineación en grados dearco.

La Fig. 9 eshoza a la cáustica de normales cuando se in-troduce sólo desalineación en el sector e, mostrando varia-ción en su simetría justo en la parte de la cáustica que le co-rresponde al sector mencionado; pero manteniendo su sime-tría en los sectores que permanecen alineados. Notemos quelos datos que introduce la desalineación se han modificado agrados de arco. La idea de mostrar las gráficas de las cáusticasde normales es ohservar si camhian cuando la superficie bajoprueha est<Ídesalineada, pero para ohservar cambios se tieneque exagerar en la escala de las desalineaciones.

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FIGURA S. Cíusticns de normales con desalineación en diferentessectores; a) sector A. desalineado de (-10 a 10) segare, b) sectore, desalineado de (-10 a 10) segare, e) sector D, desalineado de(-10 a 10) segare, d) sector E. desalineado de (-10 a 10) segare.

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FIGURA 9. Cáustica de normales obtenida desalineando s6lo el sec-tor e pero en grados de arco.

Una vez clasiflcados los segmentos del espejo primariopor sectores, tal y como se hizo en la parte introductoria deeste trahajo, se ohservan algunos diagramas de manchas in-troduciendo desalineaciones en un sólo sector para longitudesde onda de 1, 2 Y3 mm.

Las Figs. lOa, ¡Ob y lOe muestran diferentes diagramasde manchas, cuando están alineados los segmentos, y para los

~ M M ~ M.1- ••••••••••••• 0(-1 •• 101 (c.u:mc.) 1"'1

~ M M ~ Mb). __ lo, e •• n,o{-I.' 'DI (CAusncA) (•• ]

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~ M M ~ Mol.- _<ar ••••••o(_IO.,O}(Ci.U!IT1C.'.)(ml

~ ~ ~ ~ ~<)- ••••••• 0 ••",0(-10' 'O) (C.W:mC')¡••¡

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•

E ooS

-1

E ooS

-1

0.5

E ooS-0.5

-1

-1 o Ia).-EspeJo alineado. ese,,)" en [mm]

-1 O 1b).-Rango de inc1i.(-1,6 a 1.6) ••egarc. [mm]

-1 -0.5 o 0,5 1c).-Ranfi:o de Inclinacion(-IO a lO) lefi:"rc, [mm]

(a) (b) (e)

FIGURA 10. Concentración de energía para cuando el primario está a) alineado, h) inclinación de (-1.6 a 1.6) segarc de todos los segmentos,c) (-10 a 10) segarc para IOdos los segmentos. La escala de las gráficas está en función del tamailo del disco de Airy. Para ,\ 1:;:l mm, el radiodel disco de Airy = 0.427 mm, para '\2 = 2 mm el radio del disco de airy = 0.854 mm y para '\3 = 3 mm el radio del disco de Airy es1.281 mlll.

dos rangos de desalineación de todos los segmentos que com-prende el primario. La forma en que se introduce la longitudde onda, de ohservación para los rayos en el plano focal, esmediante los círculos con diferentes radios, es decir, con lasdimensiones del disco de Airy. Con la ayuda de la Tabla IVse pueden ohservar los porcentajes de energía que se captanen las diferentes longitudes de onda. Cabe aclarar que la es-cala de las gráfkas de diagramas de manchas se encuentraen función del disco de Airy, cuyos valores son 0.427 mm,0.854 mm y 1.281 mm, para 1,2 Y3 mm respectivamcnte.

La Fig. 11 muestra diagramas de manchas para los secto-res e y E con el ohjeto de observar la captación dc rayos cnel disco de Airy. Para la longitud dc onda de t mm (círculomás pequcño) el sector e tiene un comportamiento parecidoal del seclor E, (ver Tabla V) en el rango de inclinación de-1.6 a 1.6 segundos dc arco, y con estos diagramas de man-chas a) y c) se comprueba el comportamiento de la Tabla V.Pero, para el rango de inclinación de -10 a 10 segundos dearco en 1mm, ambos porcentajes se encuentran por debajo

Ret,. Mex_ Fú_ 47 (1) (2(XJl) 76-86

ÁNGULO DE APUNTADO PARA LOS PANELES DEL GRAN TELESCOPIO MILlMÉTRICO (GTM) 85

0000

• o

'o

~ 1 o 1b) ~ R.n/lo( 10" 10) "llore,.~et"r ~,[mmJ

"-2 ~l O 1 2

d).~ Ron/l,,{-IO o 10) .es.re, lect"c D,[mm)

- ,

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0.Mt8e"

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-04 -02 o 0.2 04e).~ Ron/l"(-1.5 o 16) u/l"re,l.ot"r D,{mm)

-O 2 O 02o).~ Ron/l,,(-I 5 o 15) ullore .•• cl<>r A.(mm)

-0.1

o •

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I: .:..w:~00

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~O_~ O O~ ~4 -2 O 2 4ej,- R"n/l,,(~l e o I 6} "/loce,SECTOR E.{mm), , d).~ Ron/l,,{~IO o 10) "/loce.SECTOR E,[mm}

-02 O 02 -2 ~I O 1 2.).~ R.ns<>(-16. 1.6) •• sare,SECTOR C.[mmJ b).- Rans,,(-IO o 10) •• soce,SECTOR C.(mmJ

" ~. o. •- o' o -• o • o,..¡:~", .. .•

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o~ -,~01; o •

FIGURA 11. Comparación de concentraciones de energía para lossectores e y E introduciendo los dos rangos de inclinación a cadasector para las longitudes de onda de 1.2 y 3 mm.

FIGURA 12. Comparación de concentraciones de energía para lossectores A y O introduciendo los dos rangos de inclinación a cadasector para las longitudes de onda de 1, 2 Y3 mm.

70 Conclusiones

FIGURA 13. Concentración de energía para el sector B con desali-neaciones en -1.6 a 1.6 y -lOa 10 segundos de arco,

de cáusticas y diagramas de manchas se utilizaron tres rayosincidentes a los segmentos, y por lo tanto tres rayos refleja-dos. esto con el objetivo de obtener mayor información en losplanos de detccción.

-1 O 1b).- Ron/lo(-IO. 10) •• ¡ue.uelor B,(mmJ

-,-02 _0.1 O 01 02 03

.).- ROllll<>{-1.6. 1.6) .ellare .•• cto< B.[mmJ

La magnitud uel ángulo de apuntado de las normales de cadauno de los segmentos. para el caso de un plano, tiene valo-res iguales hasta la tercera cifra decimal, a los valores de lasnormales en el caso tridimensional, y medidos por los cosc-nos directores. Esto puede explicarse, ya que en el cálculodel ángulo en un plano, la altura de cada segmento se cono-ce y para el caso tridimensional la altura se evalúa medianteel cálculo de las coordenadas (X, Y, Z) del espejo primario.donde Z es la sagita.

del SO%de concentración de rayos. ohservándose en los dia-gramas de manchas poca captación de rayos, b) y d). por loque el rango de inclinación de -10 a 10 segundos de arcopara estos dos sectores no cumple con las condiciones reque.ridas.

La Fig. 12 muestra la concentración de energía de los sec-tores A y D, Notemos que para el rango de inclinación de-1.6 a 1.6 ambos sectores cumplen con contener más delRO%de energía. aunque en el sector A sólo existe un puntoconcentrado de energía, es en este punto donde se encuen-tra mayor cantidad de rayos (ver la Tabla V). En el rangode inclinación de -10 a 10 segundos de arco en el sector A,cumple con concentrar más del 80% de rayos en el disco deAiry aunque lo hace en un sólo punto, mientras el sector Dpara éste mismo rango se encuentra por debajo del 80% alcaptar pocos rayos. Se observa en la figura del inciso d), quela mayoria de rayos caen fuera de las tres longitudes de on-da de ohservación, y dehido a esto, fue necesario ajustar losrangos de inclinación para los sectores más externos. hastaque el rango de inclinación en estos sectores fuera óptimo,ver Tabla V!.

La Fig. 13 para los dos rangos de inclinación hajo estudioconcentran porcentajes de energía óptimos para el sector B,(ver Tabla V) lo cual da entender que en las tres longitudesde onda se obtienen porcentajes óptimos,

Cahe mencionar que para la obtención de las normalesa cada segmento y con la finalidad de determinar el puntodonde se obtiene la normal se usaron las coordenadas de dosrayos incidentes en cada borde de cada segmcnto, es por estarazón que en las Pigs. 7 y g se muestran anillos dohles quecorresponden a cada borde de los sectores, y para el cálculo

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86 J. SALINAS-LUNA. A CORNEJO-RODRíGUEZ. E. LUNA-AGUILAR. AND A. CORDERO-DA VILA

Con respecto a las variaciones de las cáusticas de rayos.podemos decir que se observa una degeneración de punto amancha conforme aumenta la desalineación de los segmentospor sectores o todos ellos juntos. ESle tipo de resultado. porlo tanto, puede ser usado para obtener una alineación accp-tahle de los segmentos como primera aproximación y expe-rimentalmente podría usarse el dispositivo que propone Plat-zeck [18. 19].

En el caso de las cáusticas de las normales, cuando seintroduce ulla desalineación a los sectores, la cáustica tam-bién se ve afectada; pero si se exagera la desalineación de lossegmentos a grados de arco, entonces se puede observar enla cáustica que el sector que se desalinea le corresponde unaparte en la cáustica que muestra variación en su simetría. Da-do que la simetría de la cáustica sólo se interrumpe cuando lasinclinaciones son grandes, enlOnces este tipo de informaciónsólo podría usarse para alinear los sectores como el métodogrueso de alineación y después usar la cáustica de rayos pa-ra hacer la alineación final. Las orientaci6nes y variacionesde las normales pueden conocerse midiendo las coordenadas2t, y X" (Fig. 3); lo cual constituye un proceso difícil perorealizahle 16J.

En los diagramas de manchas se muestra el bombardeode los rayos que arrihan al diseo de Airy. el ohjetivo es oh-servar la variación de la concentración de energía cuando se

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Se peede ohservar de la Tahla V que los segmenJos másexternos toleran rangos de inclinación menores. Como éstostienen área mayor que los segmentos centrales, se espera quecuando los sectores externos estén desalineados, se afecteconsiderablemente la concentración de energía, dado que sig-nifica mayor área desalineada.

Experimentalmente la concentración de energía se puedeestimar si se obtiene una imagen de alguna fuente en el planode observación. Esta bien puede ser una estrella; en tal caso,se esperaría un tamaño determinado de tal fuente, ya que pre-viamente se conocen los parámetros ópticos de la antena, yasí se compararía el tamaño teórico con el tamaño real de laimagen, entonces se evalúa su ancho total a media altura y deahí se concluye la calidad del sistema.

A~radecimientns

Los autores de este trabajo desean expresar su agradecimien-to. al Dc Luis Salas del IA-UNAM. en Ensenada Baja Cali-fornia, México, al árbitro de la Revista Mexicana de Ftsicapor las sugerencias para mejorar este trabajo y finalmenteuno de los autores fue apoyado con una beca-credito del CO-NACyT

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