ANALISIS STABILITAS DAN KENDALI OPTIMAL

PADA MODEL PENANGKAPAN IKAN YANG

BERINTERAKSI SECARA KANIBAL

Oleh:

Iksa Rahayu

1206 100 012

Dosen Pembimbing:

Drs. M. Setijo Winarko, M.Si

Drs. Kamiran, M.Si

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

Pendahuluan

Ikan

memenuhi

kebutuhan

pangan

masyarakat Penangkapan secara

besar-besaran

Kelestarian populasi

ikan terganggu

Ikan bersifat

kanibal

Perlu adanya suatu

kebijakan

Analisis stabilitas Kendali optimal

Tinjauan Pustaka

Model Bioekonomi Perikanan

Pada model bioekonomi dicari kesetimbangan biologi dan

kesetimbangan ekonomi yang masing-masing diselesaikan

sebagai berikut

Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz

Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu

metode untuk menunjukkan kestabilan sistem

dengan memperhatikan koefisien dari persamaan

karakteristik tanpa menghitung akar-akar

karakteristik secara langsung.

Descartes’ Rule of Signs Descartes’ rule of signs ini merupakan cara untuk mengetahui jumlah positive and negative zeroes. Untuk mengaplikasikan aturan ini terlebih dahulu harus memahami variation in sign. Variation in sign terjadi jika tanda dari suatu koefisien berbeda dengan tanda dari koefisien sebelumnya (Stan Brown, 2009). Sebagai contoh, diberikan polynomial

Maka mempunyai empat variation in sign.

Setelah mengetahui variation in sign selanjutnya menggunakan Descartes’ rule of signs sebagai berikut:

Jumlah akar-akar positif dari sama dengan atau kurang dari jumlah variation in sign .

Jumlah akar-akar negative dari sama dengan atau kurang dari jumlah variation in sign .

Prinsip Maksimum Pontryagin

Pontryagin’s Maximum Principle adalah metode mendapatkan bentuk optimal control dengan memaksimalkan fungsi tujuan. Misalkan diberikan:

dengan konstrain: ,

didapatkan persamaan Langrangian

, dengan yang memenuhi persamaan

keadaan

dan kondisi stasioner

1

2

),,(max

t

t

dtutxf ),,(.

uxtgx bua

)()(),,(),,( 21 auwubwuxtguxtfL

0,0 21 ww

x

LLx

'.

,

0

u

L

METODE PENELITIAN

1. Studi literatur

2. Analisis kestabilan lokal

3. Penyelesaian model dengan teori kendali optimal

4. Simulasi model menggunakan Miser

5. Penarikan kesimpulan dan saran

Analisis dan Pembahasan Model Penangkapan Ikan

Diberikan model penangkapan ikan

adalah banyaknya ikan kecil pada waktu

adalah banyaknya ikan besar pada waktu

adalah konstanta positif

adalah koefisien penangakapan ikan kecil.

adalah koefisien penangkapan ikan besar.

adalah biaya usaha bagi ikan kecil

adalah biaya usaha bagi ikan besar.

adalah harga kostan per satuan biomassa dari ikan kecil.

adalah harga konstan per satuan biomassa dari ikan besar.

adalah usaha penangkapan ikan kecil dengan

adalah usaha penangkapan ikan besar dengan

menunjukkan adanya interaksi kanibal

Kestabilan Lokal Titik Setimbang

Dari model penangkapan ikan, dengan menyelesaikan dan

Didapatkan titik setimbang

Selanjutnya menentukan kestabilan lokal dari titik setimbang dengan

mencari mtriks Jacobian terlebih dahulu . Didapatkan

Matriks Jacobian

dengan

dan

stabil

Kesetimbangan Bionomik

Kesetimbangan biologi

Kesetimbangan ekonomi

didapatkan

Kesetimbangan bioekonomik

dengan

Penyelesaian dengan Optimal control

Model penangkapan Ikan dapat ditulis sebagai berikut:c

Memaksimumkan performansi index:

Fungsi Hamiltonian:

Berdasarkan prinsip Pontraygin Maksimum, maka harus memenuhi:

• Kondisi stasioner

• Persamaan Keadaan

• Persamaan Co-State

Dari pembahasan di atas dapat diperoleh kendali optimal sebagai berikut

Simulasi Dengan Kontrol

hari

Simulasi diselesaikan menggunakan Miser3 yang dapat

langsung untuk memecahkan masalah kendali optimal

dengan mendefinisikan masalah kendali optimal tersebut

pada M-file, disesuaikan dengan parameter dan nilai-

nilai yang diketahui.

Gambar a. Stok ikan kecil (state 1)

ikan

hari

Gambar b. Stok ikan besar (state 2)

ikan

Kesimpulan

Pada analisis stabilitas lokal dapat diketahui bahwa model penangkapan populasi ikan yang berinteraksi secara kanibal memiliki titik kesetimbangan yang stabil.

Pada optimal control dapat diketahui bahwa optimal control yang diperoleh pada model penangkapan populasi ikan yang berinteraksi secara kanibal (Kar, T.K. dan Chattopadhyay, 2009) mempunyai bentuk yang tidak tunggal . Kendalinya berupa Bang-bang control dan singular control yang bergantung pada nilai fungsi switching.

Didapatkan pula yang menunjukkan adanya usaha penangkapan ikan yang menghasilkan profit maksimal sebesar 6596.5600. Ini menunjukkan usaha penangkapan yang optimal untuk mencapai fungsi objektif yang maksimal.