analisis regresi dengan minitab

5/13/2018 Analisis Regresi Dengan Minitab - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/analisis-regresi-dengan-minitab 1/24

Analisis Regresi Linier dengan Program Minitab for Windows

Materi Tambahan untuk Modul Praktikum M.k. Ilmu Ukur Hutan, Fakultas Kehutanan IPB

1

I. PENGANTAR

Penggunaan komputer dewasa ini semakin meluas dalam segala bidang pekerjaan. Begitupun untuk keperluan analisis data, dewasa ini tersedia banyak pilihan program-programstatistik (statistical software) yang dapat digunakan untuk mempermudah dan mempercepatanalisis data dengan hasil yang akurat. Program-program statistik yang sekarang beredarantara lain : SAS (Statistical Analysis System), SPSS (Statistical Packages for Social Sciences),

Minitab, Statistica, dsb, yang mana masing-masing program memiliki keunggulan dankekurangan tersendiri dibanding program lainnya.

Dalam tulisan ini, penulis hanya akan memperkenalkan salah satu program statistik sajayakni Minitab for Windows yang merupakan salah satu software statistik yang cukupterkenal dan mudah dalam pengoperasiannya. Dalam perkembangannya, program inidirilis mulai dari sistem operasi DOS hingga saat ini pada versinya yang terakhir ( Minitab for Windows Release 13) telah berbasis sistem operasi Windows. Untuk kemudahanpengoperasiannya, penulis menyarankan sebaiknya digunakan Minitab yang sudahmenggunakan sistem operasi Windows, yakni mulai Minitab Release 10 ke atas.

Secara khusus, tulisan ini dimaksudkan untuk memperkenalkan secara umum kepadamahasiswa tentang prosedur analisis regresi linier sederhana dan berganda dengan bantuanprogram Minitab. Pembahasan lebih ditekankan kepada prosedur operasional software

Minitab melalui suatu contoh kasus serta dilengkapi pula dengan interpretasi dari hasilanalisis data. Untuk itu, pemahaman dasar cara-cara pengoperasian komputer dan dasar-

dasar teori tentang analisis regresi (yang sebelumnya pernah dipelajari dalam M.a. MetodeStatistika atau Analisis Statistika) sangat diperlukan untuk kelancaran analisis data.

II. CONTOH KASUS Untuk mempermudah dalam pemahamannya, dalam tulisan ini akan digunakan contohkasus berikut ini:

Misalkan kita ingin membuat model hubungan antara diameter pohon ( D, cm) denganvolume pohon (V , m3) serta model hubungan antara diameter dan tinggi (T , m) denganvolume pohon. Dalam hal ini, model pertama hanya terdiri dari satu peubah bebas saja,

yakni diameter ( D), sedangkan model kedua terdiri dari dua peubah bebas ( D, T ); danmasing-masing menggunakan satu peubah tak bebas, yakni volume pohon (V ). Adapunmodel-model regresi yang akan dicobakan adalah sebagai berikut:

Panduan Praktis

ANALISIS REGRESI LINIER DENGAN PROGRAM MINITAB FOR WINDOWS

Oleh: Tatang Tiryana

Departemen Manajemen Hutan, Fakultas Kehutanan IPB





2

1). DbbV 10 +=

2). 1.0

b DbV =

3). T b DbbV 210 ++=

4). 21

0

bbT DbV =

Untuk penyusunan model-model regresi tersebut, digunakan data seperti tertera padaTabel 1.

Tabel 1. Data dimensi pohon (diameter, tinggi, dan volume) untuk penyusunan model regresi

No. Pohon Diameter ( D) Tinggi (T ) Volume (V )

1 27 14 0,337

2 25 19 0,278

3 28 22 0,418

4 36 14 0,482

5 33 21 0,603

6 40 29 1,002

7 45 31 1,273

8 49 28 1,399

9 50 23 1,345

10 40 22 0,753

11 53 30 1,889

12 52 29 1,442

13 56 29 1,983

14 50 29 1,275

15 52 29 1,596

Marilah kita coba analisis data tersebut dengan program Minitab. Dalam tulisan ini, penulismenggunakan program Minitab for Windows Release 13.3. Namun demikian, apabila versitersebut tidak Anda miliki, masih dapat digunakan versi sebelumnya asalkan yang sudahmenggunakan sistem operasi Windows (misalnya: Minitab Release 10, 11 atau 12).

III. TAHAPAN ANALISIS DATA

Pada dasarnya, analisis data dengan program Minitab terdiri atas : input data, proses analisisdata, serta interpretasi dari output program. Berikut ini, akan diuraikan masing-masingtahapan tersebut secara terperinci.

3.1. Input Data

Pemasukan (input) data merupakan langkah awal yang harus dilakukan untuk memberikanmasukan kepada komputer tentang analisis yang harus dilakukannya. Dalam Minitab, inputdata dapat dilakukan dengan dua cara, yakni :

• Input data secara langsung, yakni dengan mengetikkan data langsung pada lembarkerja (worksheet) yang telah disediakan oleh Minitab.





3

• Input data secara tidak langsung, yakni pemasukan data tidak dilakukan langsungdengan mengetikkannya pada lembar kerja Minitab melainkan dengan mengimportdata yang dibuat dengan program pengolah angka seperti : MS Excel, Lotus, dll.

3.1.1. Input Data Secara Langsung

Cara ini tidak memerlukan bantuan software lain karena data langsung diketikkan padalembar kerja Minitab. Namun, untuk data yang banyak dan nilainya diperoleh dari hasilperhitungan data lainnya, terkadang cara ini kurang efektif karena pengolahan data padaworksheet Minitab tidak semudah dan seleluasa dibanding program Excel (misalnya).

Untuk input data contoh di atas (lihat Tabel 1), ikutilah langkah-langkah berikut ini :

1). Bukalah program Minitab dengan cara : klik tombol Start yang ada di taskbar ,kemudian pilih dan klik menu Program, Minitab 13 for Windows, Minitab. Sesaatkemudian, akan terlihat jendela kosong yang terdiri dari : Session window dan Worksheetwindow, seperti terlihat pada Gambar 1.

2). Arahkan dan klik kursor pada Worksheet Window untuk memulai pemasukan data.Perhatikanlah bahwa dalam Minitab data dimasukkan menurut baris atau kolom.

3). Berilah nama pada tiap kolom (C1, C2, C3, dst) sesuai nama peubah yang dikehendaki(misalnya : D, T , V , yang masing-masing menyatakan diameter, tinggi, dan volume),dengan cara mengklik sel kosong dibawah C1, C2, C3, dst. Perhatikan bahwa namatiap kolom tidak boleh lebih dari 8 karakter.

4). Mulailah memasukkan data sesuai peubah yang dikehendaki. Misalnya, pertama-tamamasukkan data diameter pohon (lihat data di atas) pada kolom C1 (atau telah dinamai

D). Data dimasukkan dari sel paling atas sampai sel terakhir sejumlah data pada

peubah diameter tersebut (sebanyak 15 data). Untuk berpindah sel, gunakanlah tombolENTER atau gerakan kursor ke bawah. Perhatikan bahwa, pergerakan kursor bisaAnda atur ke arah vertikal (atas ke bawah) atau horizontal (kiri ke kanan) dengan cara

klik ganda pada tanda panah (↓) di pojok kiri atas Worksheet window.

5). Dengan cara yang sama seperti pada langkah ke-4 di atas, masukkan pula data padapeubah lainnya (yakni : T , dan V ) hingga semua data lengkap.

6). Perhatikanlah model regresi yang akan dibuat, apakah ada peubah yang nilainya perluditransformasi (misal : transformasi ke logaritma, bentuk kuadrat, dsb). Untuk modelcontoh di atas, kita perlu melakukan transformasi nilai D ke bentuk kuadratnya ( D 2)

untuk model 2

10 . DbbV += , dan transformasi ke bentuk logaritma (log D dan log T )

untuk model 1.0

b DbV = dan 21

0

bbT DbV = . Untuk melakukan transformasi nilai,

Minitab menyediakan berbagai macam fungsi perhitungan yang tercakup dalamsubmenu Calculator (buka menu Calc…, Calculator…).

7). Cobalah bandingkan hasil pekerjaan Anda dengan Gambar 1. Apabila hasilnya sama,berarti Anda telah benar memasukkan data tersebut.





4

Gambar 1. Input data pada lembar kerja (worksheet) Minitab

7). Simpanlah data tersebut dalam komputer Anda, dengan cara klik menu File, Save

Current Worksheet As…, pilih lokasi penyimpanannya dan berilah nama file-nya.Misalnya data Anda disimpan pada folder dan nama file berikut: C:\MyDocuments\Data-regresi.mtw. Perhatikan bahwa pada program Minitab disediakandua submenu untuk penyimpanan data, yaitu 1) Save Project atau Save Project As… dan 2) Save Current Worksheet atau Save Current Worksheet As... Perbedaankeduanya adalah bahwa pada Save Current Worksheet atau Save Current Worksheet

As... , yang akan disimpan hanyalah data pada lembar kerja (worksheet) saja. Sedangkanpada Save Project atau Save Project As…, yang akan disimpan adalah keseluruhanbaik data pada worksheet maupun output pada Session window. Untuk membedakan filekeduanya, lihatlah extension file-nya, jika extension-nya mtw (*.mtw) berarti file data saja( Minitab Worksheet) sedangkan jika extension-nya mpj (*.mpj) berarti file data dan output ( Minitab Project)

3.1.2. Input Data Secara Tidak Langsung

Selain cara pemasukan data seperti di atas, dapat pula dilakukan secara tidak langsung

dengan mengetikan data terlebih dahulu pada program pengolah angka (spreadsheet) seperti: MS Excel dan Lotus. Berikut ini disajikan contohnya melalui program Excel.

1). Bukalah program MS Excel dan ketikkan data secara lengkap pada suatu lembar keja(worksheet).

2). Perhatikan bahwa judul kolom hendaknya dibuat sesingkat mungkin (misal cukupdiberi nama : D untuk data diameter, T untuk tinggi, dan V untuk volume). Namakolom yang lebih dari 8 karakter, tidak akan dapat terbaca semuanya oleh program

Minitab.

3). Perhatikan pula bahwa judul kolom cukup dibuat pada baris pertama dilanjutkanpengetikkan datanya pada baris-baris berikutnya, karena Minitab hanya dapatmembaca satu baris nama peubah saja.





5

4). Simpanlah data tersebut dalam format MS Excel versi 5.0 atau versi sebelumnya, karenauntuk Minitab versi 11.0 ke bawah belum bisa membaca format MS Excel versi terbaru(misal MS Excel 2000 atau 2002).

5). Lihatlah contoh pada Gambar 2 di bawah ini.

Gambar 2. Input data melalui program MS Excel

6). Tutuplah file data tersebut dan bukalah program Minitab.

7). Klik menu File, Open Worksheet, pilihlah pada File of type format data Excel (*.xls),

dan carilah nama file data yang anda simpan tadi. Kemudian tekan tombol Open, dansesaat kemudian data akan ditampilkan dalam jendela Worksheet Minitab sepertiterlihat pada Gambar 1 di atas.

8). Apabila Anda ingin cara yang lebih mudah dan praktis dari cara di atas, maka dapatdilakukan langkah-langkah berikut ini :

8.1). Pada lembar kerja MS Excel seperti pada Gambar 2., sorotlah (blok) data yangAnda telah anda ketik berikut nama-nama kolomnya

8.2). Klik icon Copy atau pilih dari menu Edit, Copy.

8.3). Beralihlah ke jendela Worksheet Minitab yang telah dibuka sebelumnya.

8.4). Arahkan kursor dan klik tepat pada sel dibawah kolom C1 (dan di atas baris ke-1).

8.5). Klik pada icon Paste atau pilih dari menu Edit, Paste Cells

8.6). Tunggu sesaat, maka data akan ditampilkan seperti pada Gambar 1.

3.2. Proses Analisis Data

Setelah proses pemasukan data Anda kerjakan, sekarang Anda tinggal mengolah datatersebut dengan menggunakan alat-alat statisik yang cocok yang disediakan Minitab. Dalam

hal ini, untuk keperluan penyusunan suatu model regresi cukup Anda pahami submenuRegression yang ada dalam menu Stat. Perlu Anda ketahui bahwa untuk alat-alat uji dalamanalisis statistik pada program Minitab disediakan pada menu utama Stat, sedangkan menu-menu lainnya berfungsi sebagai pendukung analisis statistik (lihat Gambar 3).





6

Gambar 3. Menu Regresi dalam Program Minitab

Untuk contoh kasus di atas, kita akan membuat lima model regresi linier dan model regresi

transformasi ke bentuk linier. Untuk lebih jelasnya, penyusunan masing-masing modeltersebut akan diuraikan sebagai berikut:

3.2.1. Penyusunan model DbbV 10 +=

Model tersebut merupakan model regresi linier sederhana karena hanya melibatkan satupeubah bebas. Adapun prosedur penyusunan model regresi tersebut dengan program

Minitab adalah sebagai berikut :

1). Bukalah file data yang sebelumnya Anda simpan, yakni pada direktori : C:\My

Documents\Data-regresi.mtw.2). Setelah data tampil seperti terlihat pada Gambar 1., klik menu Stat, Regression,

Regression …, dan isilah kotak dialog sebagai berikut :

2.1). Isilah kotak Response dengan nama peubah atau nama kolom yang akandijadikan sebagai peubah tak bebas (peubah respon). Untuk contoh kasus kita,isilah dengan peubah volume, yakni V dengan cara mengklik dan tekan tombolSelect (atau cukup klik ganda pada peubah V tersebut pada daftar peubah yangtampil pada kotak disebelahnya) atau ketikkan langsung pada kotak Response.Selain mengetikkan V , Anda bisa juga menuliskan nomor kolomnya saja, yakniC3.

2.2). Tempatkan kursor pada kotak Predictors dan isilah dengan nama peubah takbebasnya, yakni D atau ketikkan nomor kolomnya (C1).

2.3). Klik tombol OK untuk menginstruksikan kepada komputer agar memproses dataregresi tersebut. Perhatikan bahwa masih ada empat sebmenu lagi, yakni :Graphs…, Results…, Options…, dan Storage… yang mendukung untuk analisisregresi lanjutan. Namun untuk sementara (bagi pemula), biarkan saja tidak perludiklik karena prosedur di atas (langkah 2.1 dan 2.2) sudah memadai.Sebenarnya, keempat submenu tersebut berguna untuk analisis regresi lebihlanjut terutama yang menyangkut analisis sisaan.

2.4). Jika Anda melakukan tahapan 2.1. – 2.3. di atas dengan benar, akan tampak

seperti Gambar 4.





7

Gambar 4. Pengisian kotak dialog untuk model DbbV 10 +=

2.5). Setelah menekan tombol OK, sesaat kemudian akan ditampilkan output programdalam Session Window yang menyajikan hasil analisis regresi (persamaan regresi,uji-T bagi koefisien regresi, simpangan baku sisaan, koefisien determinasi, dandaftar analisis ragam) seperti terlihat pada Gambar 5. Interpretasi output program ini akan dijelaskan lebih lanjut pada bagian berikutnya.

Gambar 5. Output program Minitab untuk model DbbV 10 +=

3). Simpanlah output program tersebut agar bisa dipanggil lagi lain waktu atau bisa Andalampirkan output tersebut dalam lampiran laporan Anda. Untuk itu, klik menu File,dan pilihlah salah satu menu penyimpanan berikut ini :

• Save Project, jika Anda ingin menyimpan seluruh yang tampil di layar, baik padaSession window maupun Worksheet window. File yag disimpan akan diberi extension

mpj (*.mpj) dan hanya bisa dibuka kembali dengan program Minitab.

• Save Project As…, mirip dengan pilihan Save Project tetapi bila ingin disimpandengan nama file yang berbeda.

• Save Session Window As…, khusus jika Anda hanya ingin menyimpan output program pada Session window saja. Format file yang disimpan bisa Anda pilih,





8

apakah Text File (*.TXT), Rich Text Format (*.RTF), atau List File (*.LIS). Ketigaformat file tersebut bisa Anda buka dengan program pengolah kata, seperti MSWord, namun untuk kemudahannya disarankan menggunakan format RTF (*.RTF)yang lebih kompatibel dengan program MS Word.

Untuk data latihan kita, simpanlah dalam format RTF (*.RTF) misalnya disimpan pada

folder : C:\My Documents\Hasil-analisis.RTF.

Catatan :

Apabila Anda ingin cara yang lebih praktis untuk menggabungkan hasil analisis yangtampil di Session window ke dalam lampiran yang Anda buat di program pengolah kataseperti MS Word untuk diedit lebih lanjut, maka lakukanlah cara-cara berikut :

• Blok hasil analisis yang ingin dicopy. Untuk memblok semua yang tampil di Sessionwindows, klik menu Edit, Select All.

• Klik icon Copy atau pilih dari menu Edit, Copy.

• Bukalah dokumen baru pada program MS Word, dan klik icon Paste atau pilih darimenu Edit, Paste.

• Tunggu sesaat, maka akan ditampilkan copy dari Session windows Minitab tadi yangsiap Anda edit lebih lanjut (kalau perlu).

3.2.2. Penyusunan model 1.0

b DbV =

Model ini bukan merupakan model regresi linier sederhana melainkan model non-linierkarena peubah bebasnya berpangkat lebih dari satu. Namun, apabila kita transformasi kebentuk logaritma, maka akan diperoleh suatu model linier sebagai berikut :

Model non-linier :1

.0

b

DbV = Transformasi logaritma : DbbV logloglog 10 +=

Apabila : Y V =log , 0log b a= , 1b b= , dan X D =log , maka akan diperoleh :

0 1log log logV b b D

Y a bX

= +

⇔ = +

Dimana, bentuk terakhir ini, Y a bX = + , merupakan regresi linier sederhana yang dapatdiselesaikan seperti pada Sub-bab 2.1.

Adapun prosedur penyusunan model regresi tersebut dengan program Minitab mirip seperti

uraian pada Sub-bab 2.1. namun data diameter ( D) dan volume (V ) perlu ditransformasiterlebih dahulu ke dalam bentuk logaritma. Secara singkat, tahapannya dapat diuraikansebagai berikut :

1). Bukalah file data yang sebelumnya Anda simpan, yakni : C:\My Documents\Data-

regresi.mtw.

2). Setelah data tampil seperti terlihat pada Gambar 1., lakukan transformasi peubah D danV sebagai berikut :

• Berilah nama kolom pada C4 dengan log-D, dan kolom C5 dengan log-V.

• Klik menu Calc, Calculator…, maka akan ditampilkan kotak dialog Calculator seperti terlihat pada Gambar 6.

• Isilah kotak Store result in variable: log-D , atau C4, dengan cara mengklikganda pada daftar peubah kotak sampingnya atau langsung diketikan padakotak tersebut.





9

• Isilah kotak Expression: LOGT(D), yakni untuk mentransformasikan data padapeubah D kedalam nilai logaritmanya. Untuk memilih fungsi transformasi,Anda bisa memilihnya dari kotak pilihan Functions pada pilihan log 10. Dalamhal ini, LOGT merupakan fungsi transformasi untuk logaritma basis 10.

• Klik OK dan lihat hasilnya.

• Ulangi lagi tahapan ke-2 sampai ke-4 tersebut untuk untuk transformasi peubah

V ke bentuk logaritmanya (log-V).• Bandingkan hasil pekerjaan Anda dengan Gambar 6, apabila sama berarti Anda

dapat melakukannya dengan benar. Dari Gambar 6, terlihat bahwa peubah D dan V telah ditransformasi nilainya ke bentuk logaritmanya.

• Apabila Anda tidak ingin menggunakan prosedur transformasi seperti di atas,Anda dapat melakukannya dengan menggunakan MS Excel.

Gambar 6. Transformasi logaritma peubah D dan V untuk model1.0

b DbV =

3). Perhatikan kolom log-D dan log-V, karena data inilah yang akan dibuat modelregresinya (bukan data D dan V lagi).

4). Klik menu Stat, Regression, Regression …, dan isilah kotak dialog sebagai berikut(lihat Gambar 7 ) :4.1). Isilah kotak Response : log-V atau ketikkan C5.4.2). Isilah kotak Predictors : log-D atau ketikkan C4.

4.3). Klik tombol OK.





10

Gambar 7. Pengisian kotak dialog untuk model1

.0

b

DbV =

4.4). Setelah menekan tombol OK, sesaat kemudian akan ditampilkan output programdalam Session Window seperti terlihat pada Gambar 8.

Gambar 8. Output program Minitab untuk model 1.0

b

DbV =

5). Simpanlah output program tersebut agar bisa dipanggil lagi di lain waktu atau Andadapat melampirkannya dalam laporan.

3.2.3. Penyusunan model0 1 2V b b D b T = + +

Model ketiga ini merupakan model regresi linier berganda yang terdiri atas dua peubahbebas (yakni D dan T ) dan satu peubah tak bebas (V ). Apabila Anda telah dapat memahami

penyusunan model pertama dan kedua sebelumnya, maka Anda tidak akan kesulitan untukmenyusun model ketiga ini. Dengan prosedur analisis regresi yang hampir sama sepertimodel-model sebelumnya, Anda dapat menyusun model tersebut dengan prosedur sebagaiberikut:





11

1). Bukalah file data yang sebelumnya Anda simpan, yakni : C:\My Documents\Data-

regresi.mtw.

2). Setelah data tampil seperti terlihat pada Gambar 1., klik menu Stat, Regression,Regression …, dan isilah kotak dialog sebagai berikut :

2.1). Isilah kotak Response dengan peubah volume, yakni V dengan cara mengklik

dan tekan tombol Select (atau cukup klik dua kali pada peubah V tersebut), atauketikkan secara langsung V atau C3 pada kotak tersebut.

2.2). Tempatkan kursor pada kotak Predictors dan isilah dengan nama peubah takbebasnya, yakni D atau ketikkan nomor kolomnya (C1) dan kemudian T (atauketikkan C2). Ingat, dalam hal ini kita memiliki dua peubah bebas, yakni D danT .

2.3). Lihatlah Gambar 9. untuk memastikan bahwa Anda melakukan langkah 2.1.dan2.2. di atas dengan benar.

Gambar 9. Pengisian kotak dialog untuk model 0 1 2V b b D b T = + +

2.4). Klik tombol OK dan tunggu beberapa saat sampai komputer menampilkanoutputnya seperti terlihat pada Gambar 10.





12

Gambar 10. Output program Minitab untuk model 0 1 2V b b D b T = + +


3.2.4. Penyusunan model 1 2

0. .b b

V b D T =

Seperti halnya pada model kedua di atas, model ini pun merupakan model regresi non-

linier. Namun, dengan cara transformasi seperti pada model kedua, model tersebut dapatditransformasikan kedalam model linier sebagai berikut :

Model non-linier : 1 2

0. .b bV b D T =

Model transformasi : 0 1 2log log log logV b b D b T = + +

Apabila : Y V =log , 0logb a= , 1b b= , 2b c= , 1log D X = , dan 2logT X = , maka akan

diperoleh :

0 1 2

1 2

log log log logV b b D b T

Y a bX cX

= + +

⇔ = + +

Bentuk terakhir ini, 1 2Y a bX cX = + + , merupakan regresi linier sederhana yang dapat

diselesaikan seperti pada Sub-bab 2.3. dengan terlebih dahulu melakukan transformasisetiap peubahnya.

Secara rinci, prosedur penyusunan model regresi tersebut dengan program Minitab dapatdijelaskan sebagai berikut:

1). Bukalah file data yang sebelumnya Anda simpan, yakni : C:\My Documents\Data-regresi.mtw.

2). Setelah data tampil seperti terlihat pada Gambar 1., lakukan transformasi peubah D , T

dan V sebagai berikut :• Berilah nama kolom pada C4 dengan log-D, kolom C5 dengan log-T, dan kolomC6 dengan log-V.





13

• Klik menu Calc, Calculator…, maka akan ditampilkan kotak dialog Calculator seperti terlihat pada Gambar 11.

• Isilah kotak Store result in variable: log-D, atau C4, dengan cara mengklikganda pada daftar peubah kotak sampingnya atau langsung Anda ketikkanpada kotak tersebut.

• Isilah kotak Expression: LOGT(D), untuk melakukan transformasi peubah D

kedalam nilai logaritmanya. Fungsi tersebut bisa Anda pilih dari kotakFunctions pada pilihan Log 10. Dalam hal ini, LOGT merupakan fungsitransformasi untuk logaritma basis 10.

• Klik OK dan lihat hasilnya.

• Lakukan hal yang sama (seperti tahapan ke-2 sampai ke-4 tersebut) untuktransformasi peubah T ke bentuk log-T dan peubah V ke bentuk log-V.

• Apabila Anda melakukan tahapan di atas dengan benar, maka hasilnya akanterlihat seperti pada Gambar 11.

Gambar 11. Transformasi logaritma peubah D , T , dan V

untuk model 1 2

0. .b b

V b D T =

3). Sekarang Anda telah memiliki data transformasi pada kolom log-D (C4), log-T (C5),dan log-V (C6). Data inilah yang untuk selanjutnya akan Anda gunakan untukpenyusunan modelnya, jadi bukanlah data pada kolom D , T dan V lagi.

4). Klik menu Stat, Regression, Regression …, seperti saat mengerjakan model-modelsebelumnya, dan isilah kotak dialog sebagai berikut (lihat Gambar 12) :4.1). Isilah kotak Response : log-V atau ketikkan C6.4.2). Isilah kotak Predictors : log-D atau ketikkan C4, kemudian klik juga log-T atau

C5, seperti terlihat pada Gambar 12.4.3). Klik tombol OK.





14

Gambar 12. Pengisian kotak dialog untuk model1 2

0. .b b

V b D T =

4.4). Tunggulah beberapa saat, maka akan ditampilkan output program dalam SessionWindow seperti terlihat pada Gambar 13.

Gambar 13. Output program Minitab untuk model 1 2

0. .b bV b D T =


IV. INTERPRETASI HASIL ANALISIS DATA

Output software Minitab tidak akan berarti banyak tanpa adanya interpretasi lebih lanjut

terhadap output tersebut. Disilah peranan kita sebagai brainware untuk menginterpretasikanhasil analisis data dari komputer sehingga memberikan solusi yang diinginkan dengantepat. Tentunya, dasar-dasar teori tentang statistika sangat diperlukan. Oleh karena itu,





15

alangkah baiknya apabila Anda ingat atau baca kembali teori-teori statistika, khususnyayang berkenaan dengan analisis regresi.

Secara umum, output Minitab untuk analisis regresi menyajikan tampilan hasil analisis yanghampir sama walaupun model regresinya berbeda. Oleh karena itu, dalam tulisan ini tidakakan dibahas secara terperinci untuk setiap model dalam contoh kasus sebelumnya,

melainkan hal-hal umum yang berlaku untuk semua hasil analisis regresi dari Minitab.

4.1. Interpretasi untuk Model Regresi Linier Sederhana

Sebagai contoh pertama, marilah kita lihat output Minitab untuk model regresi linier

sederhana : DbbV 10 += berikut ini (lihat pula Gambar 5):

Gambar 14. Contoh output program Minitab untuk regresi linier sederhana

Seperti terlihat pada Gambar 14 di atas, secara umum output program Minitab terdiri atasempat bagian utama, yakni : 1) persamaan garis regresi, 2) statistik bagi koefisien regresi, 3)statistik bagi model regresi, dan 4) tabel analisis ragam (ANOVA) bagi model regresi.Secara rinci, keempat bagian output Minitab tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut :

Persamaan garis regresi

Persamaan garis regresi linier sederhana untuk data contoh kita (lihat Tabel 1)dinyatakan pada bagian :

Tampilan tersebut menyatakan bahwa persamaan regresi untuk data contoh di atas

adalah : = 1,13 + 0,0518V D− , yang dalam hal ini b0 = -1,13 dan b1 = 0,0518. Dengan

demikian, berdasarkan model tersebut kita akan dapat menentukan nilai dugaan bagi





16

volume pohon untuk diameter pohon tertentu. Misalkan, untuk D = 20 cm akandiperoleh nilai dugaan untuk V = 0,424.

Secara manual, koefisien b0 dan b1 tersebut dapat kita hitung dengan rumus sebagaiberikut :

1 1 1

1 1 2

2

1 1

.JHK

JK

n n n

i i i i xy i i i

n n x

i i

i i

x y x y nb

x x n

β ∧ = = =

= =

⎛ ⎞−

⎜ ⎟⎝ ⎠= = =⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∑ ∑

; dan 0 0 1.b Y b X β ∧= = −

Perhatikan, dalam regresi tidak diperbolehkan adanya ekstrapolasi, yakni menduganilai yang tidak berada dalam kisaran data yang digunakan untuk penyusunan modelregresinya. Pada Tabel 1., data diameter yang digunakan untuk menduga volumepohon berkisar antara 25 sampai 56. Oleh karena itu, model regresi di atas pun harusdigunakan untuk menduga volume pohon dengan kisaran diameter antara 25 sampai56 (tidak boleh diluar kisaran nilai tersebut). Apabila digunakan untuk menduga

volume pada diameter 20 cm (misalnya), maka kita telah melakukan ekstrapolasi yangapabila dipaksakan akan mengakibatkan kesalahan dugaan yang fatal. Sebagai bukti,misalkan jika D = 20 cm (padahal seharusnya minimal 25 cm dan maksimal 56 cm),maka nilai dugaan bagi V = -0,094 m3. Terlihat bahwa nilai dugaan V = -0,094 m3 tersebut merupakan nilai yang tidak logis bagi dugaan volume (isi) pohon.

Oleh karena itu, apabila model regresi yang kita susun ingin digunakan secara leluasauntuk dapat menduga kisaran nilai yang lebar, maka data yang digunakan untukpenyusunan modelnya pun harus memiliki kisaran nilai yang lebar denganmemperhatikan keterwakilan data secara kontinyu (tidak mengumpul pada suatu titiktertentu).

Statistik bagi koefisien regresi

Output Minitab menyajikan pula nilai-nilai statistik bagi koefisien regresi (b0, b1, dsb)seperti terlihat pada tampilan berikut ini :

Beberapa hal yang dapat dijelaskan tentang tampilan tersebut adalah sebagai berikut :

Predictor, kolom ini mencantumkan koefisien regresi (penduga parameter) apasaja yang ada dalam model. Dalam hal ini hanya ada dua saja, yakni Constant dan D. Constant merupakan penduga parameter bagi β0 (yakni b0), sedangkan Dmerupakan penduga parameter bagi β1 (yakni b1). Tentunya apabila peubahbebasnya lebih dari satu (seperti pada regresi linier berganda), akan terdapatpenduga parameter model lainnya.

Coef (singkatan dari coefficient), kolom ini mencantumkan koefisien nilai dari b0

(constant) dan b1 (dalam hal ini D). Dari nilai ini dapat diketahui bahwa koefisienb0 = -1,1262 dan b1 = 0,051837 . Apabila diperhatikan, nilai-nilai tersebut sama(walaupun ada sedikit perbedaan dalam pembulatannya) seperti yang tercantum

dalam persamaan regresinya ( = 1,13 + 0,0518V D− ).





17

SE Coef (singkatan dari Standard Error of Coefficient), kolom ini mencantumkansimpangan baku bagi setiap koefisien model (dalam hal ini b0 dan b1). Secaramanual, dalam regresi linier sederhana nilai-nilai simpangan baku tersebut dapatdihitung dengan rumus :

( )0

2

1 .JK

b

x

xs KTSn

⎛ ⎞

⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

dan1

2

KTS JK JK

b

X X

ss = =

dimana :

2

2

i=1 1

JK =n n

X i i

i

x x n=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

T, kolom ini menyajikan statistik t-hitung bagi masing-masing koefisien regresi,baik b0 maupun b1. Statistik t-hitung tersebut dapat digunakan untuk mengujikeberartian masing-masing koefisien regresi secara parsial dengan hipotesisberikut :

H0 : β0 = 0 vs H1 : β0 ≠ 0 ; atauH0 : β1 = 0 vs H1 : β1 ≠ 0

P, kolom ini mencamtukan nilai peluang bagi penerimaan H0 dalam pengujian b0 dan b1 (seperti tertera pada kolom T di atas). Seperti terlihat pada tampilan diatas, nilai P bagi Constant adalah 0.000, yang berarti bahwa peluang kita untukmenerima H0 : β0 = 0 adalah 0.000; atau dengan kata lain, pada taraf nyata 5%,terdapat cukup bukti untuk menolak H0. Interpretasi yang sama dapatdigunakan untuk nilai P bagi peubah D. Dengan demikian, kita dapatmenyatakan bahwa pada taraf nyata 5%, masing-masing koefisien regresiberbeda dengan nol.

Sebenarnya, untuk pengujian hipotesis b0 dan b1 tersebut dapat pula digunakannilai pembanding dari tabel t-student, dimana apabila nilai T (pada tampilan diatas) lebih besar dari nilai tabel, maka H0 ditolak. Namun dalam hal ini, Minitab telah memberikan kemudahan dengan mencantumkan nilai P tersebut.Berdasarkan nilai P tersebut, kita dapat memutuskan untuk menerima ataumenolak H0 dengan ketentuan sebagai berikut :

Jika P ≤ 0.01, yang berarti tolak H0, maka pada taraf nyata (α) 5% kita dapatmengatakan bahwa peranan b0 atau b1 sangat nyata.

Jika 0.01 ≤ P ≤ 0.05, yang berarti tolak H0, maka pada taraf nyata (α) 5% kitadapat mengatakan bahwa peranan b0 atau b1 nyata.

Jika P ≥ 0.05, yang berarti terima H0, maka pada taraf nyata (α) 5% kita dapatmengatakan bahwa peranan b0 atau b1 tidak nyata (artinya : nilai b0 atau b1 tersebut tidak nyata berbeda dengan nol).

Statistik bagi model regresi

Selain nilai-nilai statistik bagi penduga parameter, Minitab pun menyajikan nilai-nilaistatistik dari model regresi yang terbentuk seperti terlihat pada tampilan berikut ini :





18

Dalam analisis regresi, nilai-nilai tersebut dapat digunakan sebagai kriteria dalampemilihan model regresi terbaik. Secara rinci, ketiga nilai tersebut dapat dijelaskanlebih lanjut sebagai berikut :

S (standard deviation), menunjukkan simpangan baku dari sisaan model yangmerupakan akar kuadrat dari Mean Square Error (kuadrat tengah sisa). Modelregresi yang baik adalah model regresi yang memiliki simpangan baku sisaan (S)

yang kecil.

R-Sq (R-square, R2), menunjukkan nilai koefisien determinasi yakni suatu nilaiyang menerangkan besarnya keragaman dalam peubah tak bebas (Y ) yang dapatdijelaskan oleh peubah bebasnya ( X ), yang umumnya dinyatakan dalam persen(%). Secara manual, R2 tersebut dapat pula dihitung dengan rumus :

2

1

Y

JHKJKR= .100% = . .100%

JKT JK

XY R b

Dari tampilan di atas terlihat bahwa peubah D (diameter pohon) dapatmenerangkan keragaman volume pohon (V ) sebesar 92,8% sedangkan sisanya

disebabkan oleh faktor lain yang tidak tercakup dalam model. Model yang baikadalah model yang memiliki nilai R2 yang tinggi mendekati 100%.

R-Sq (adj) (R-square adjusted), yakni merupakan nilai R2 yang telah dikoreksidengan derajat bebasnya. Nilai ini dapat pula dihitung dengan rumus:

( ) ( )( ) ( )

2

( )

JKS -= 1 100%

JKT -1adj

n p R x

n

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠,

dimana : p = banyaknya koefisien regresi (dalam RLS, p=2)

Tabel analisis ragam (ANOVA)

Tampilan lain dari output Minitab adalah tabel analisis ragam (analysis of variance,ANOVA) seperti ditunjukkan pada bagian berikut ini :

Seperti umumnya tampilan dari suatu tabel ANOVA, pada output Minitab punmenyajikan nilai-nilai statistik yang umum dijumpai pada suatu tabel ANOVA yaitu :

Source, yakni mencantumkan sumber keragaman dalam model regresi. Untukregresi linier sederhana, sumber keragaman tersebut berasal dari regresi(regression), sisaan (residual error ), dan total.

DF, yakni mencantumkan derajat bebas (degree of freedom) untuk masing-masing sumber keragaman.

SS, yakni mencantumkan nilai-nilai jumlah kuadrat (sum square) untuk masing-masing sumber keragaman, yaitu : SSR (sum square regression) untuk JKR, SSE

(sum square error ) untuk JKS, dan SST (sum square total) untuk JKT.





19

MS, yakni mencantumkan nilai-nilai kuadrat tengah (mean square) dari regresi(biasa disebut sebagai MSR, mean square regression) dan kuadrat tengah darisisaan (disebut sebagai MSE, mean square error ).

F, yakni mencantumkan nilai F-hitung dari Uji Fisher untuk mengujikeberartian model regresi (overall fit test). Nilai F tersebut dapat dihitungdengan rumus :

MSR KTR= =

MSE KTShitungF

Nilai F tersebut, sangat berguna untuk pengujian keberartian model regresisecara menyeluruh (yakni sesungguhnya menguji apakah koefisien model,kecuali b0, sama dengan nol atau tidak) dengan hipotesis uji sebagai berikut :

H0 : βi = 0 vs H1 : ada βi ≠ 0, untuk i = 1, 2, ….k

Atau dalam regresi linier berganda berlaku :

H0 : β1 = 0 vs H1 : β1 ≠ 0, karena peubah bebasnya hanya satu.

P, yakni menunjukkan nilai peluang bagi penerimaan H0 dalam uji F di atas.Apabila nilai P tersebut lebih besar dari taraf nyata yang kita tetapkan dalampengujian, misal α = 5%, maka H0 diterima dan kita katakan bahwa modelregresi tersebut tidak nyata, artinya semua koefisien regresi sama dengan nol.Seperti halnya dalam pengujian masing-masing koefisien regresi dengan uji T,dalam hal ini dapat digunakan ketentuan sebagai berikut :

Jika P ≤ 0.01, yang berarti tolak H0, maka pada taraf nyata (α) 5% kitadapat mengatakan bahwa peubah bebas (dalam RLS hanya X 1) bersifat

sangat nyata. Jika 0.01 ≤ P ≤ 0.05, yang berarti tolak H0, maka pada taraf nyata (α) 5%

kita dapat mengatakan bahwa peubah bebas (dalam RLS hanya X 1)bersifat nyata

Jika P ≥ 0.05, yang berarti terima H0, maka pada taraf nyata (α) 5% kitadapat mengatakan bahwa peubah bebas (dalam RLS hanya X 1) bersifattidak nyata (artinya : nilai b1 tersebut tidak nyata berbeda dengan nol).

Cara lain yang dapat dilakukan dalam pengujian hipotesis di atas adalahdengan membandingkan nilai F tersebut dengan nilai F tabel, yakni apabilanilai F lebih besar dari nilai F tabel, maka H0 ditolak yang berarti bahwa satuatau lebih peubah bebas dalam model berpengaruh nyata pada taraf nyata (α)tertentu.

4.2. Interpretasi untuk Model Regresi Linier Berganda

Pada dasarnya, interpretasi output Minitab untuk model regresi linier berganda hampirsama dengan regresi linier sederhana, kecuali bahwa pada regresi linier bergandaterdapat lebih dari satu peubah bebas yang perlu kita perhatikan keberadaannya dalammodel. Oleh karena itu, apabila Anda telah memahami output Minitab untuk regresilinier sederhana di atas, Anda pun akan lebih mudah untuk memahami regresi linierberganda.





20

Sebagai contoh, perhatikanlah Gambar 15 berikut ini yang menyajikan output dari

model : 1 2

0. .b bV b D T = yang apabila ditransformasikan ke dalam bentuk linier akan

menjadi:

0 1 2

1 2

log log log logV b b D b T

Y a bX cX

= + +

⇔ = + +

Gambar 15. Contoh output program Minitab untuk regresi linier berganda

Secara umum, seperti terlihat pada Gambar 15, output program Minitab untuk regresi linierberganda tidak jauh berbeda dengan regresi linier sederhana, yakni terdiri atas: 1)persamaan garis regresi, 2) statistik bagi koefisien regresi, 3) statistik bagi model regresi, 4)tabel analisis ragam (ANOVA), dan 5) jumlah kuadrat sekuensial (sequential sum of squares).Oleh karena itu, pembahasan selanjutnya akan lebih ditekankan pada hal-hal yang belumdibahas pada pembahasan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah uraian dibawah ini.

Persamaan garis regresi

Seperti halnya pada regresi linier sederhana, pada bagian ini disajikan persamaan darimodel regresi linier berganda untuk data contoh kita (lihat Tabel 1), yaitu :

log = 3,92 + 1,92log + 0,568logV D T −

Namun, karena kita melakukan transformasi ke bentuk logaritmanya, maka untukmendapatkan model akhir perlu dilakukan lagi transformasi ke bentuk semula sebagaiberikut:

1 2

0 1 2 0

log = 3,92 + 1,92log + 0,568log

log = log + log + log . .b b

V D T

V b b D b T V b D T

−⇔ ⇒ =





21

Jadi : 0log 3,92b = − atau b0 = 0,00012, b1 = 1,92, dan b2 = 0,568. Sehingga diperoleh

model akhir : 1,92 0,5680,00012. .V D T = . Model inilah yang dapat Anda gunakan untuk

menduga volume pohon pada diameter dan tinggi pohon tertentu.

Statistik bagi koefisien regresi

Untuk regresi linier berganda, Minitab menyajikan nilai-nilai statistik bagi koefisienregresi baik nilai koefisiennya, simpangan baku untuk masing-masing koefisien, nilait-hitung beserta nilai peluang (p) untuk pengujian keberartian koefisien regresi.Dengan cara interpretasi seperti pada regresi linier sederhana, kita dapat menganalisisoutput Minitab untuk regresi linier berganda, seperti terlihat pada Gambar 15, sebagaiberikut :

Constant, yakni dalam hal ini adalah log b0 = -3,9232 dengan simpangan baku0,1472 dan nilai T= -26,65, pada taraf nyata 5% koefisien regresi ini tidak samadengan nol sehingga berpengaruh nyata terhadap peubah responnya.

Log-D, yakni merupakan b1 (dalam model umum regresi linier berganda)memiliki nilai koefisien sebesar 1,9196 dengan simpangan baku 0,1360. Dari nilaipeluang bagi statistik T=14,11, terlihat bahwa pada taraf nyata 5% koefisien initidak sama dengan nol sehingga peranan peubah X 1 (dalam hal ini D) didugaberpengaruh nyata terhadap peubah responnya.

Log-T, yakni merupakan b2 (dalam model umum regresi linier berganda)memiliki nilai koefisien sebesar 0,5683 dengan simpangan baku 0,1386. Dari nilaipeluang bagi statistik T=4,10, terlihat bahwa pada taraf nyata 5% koefisien inipun tidak sama dengan nol sehingga peranan peubah X 2 (dalam hal ini T ) didugaberpengaruh nyata terhadap peubah responnya.

Tentunya, apabila kita membuat model regresi linier berganda dengan peubah bebaslebih dari dua, maka Minitab akan menyajikan pula statistik bagi koefisien regresilainnya.

Statistik bagi model regresi

Seperti halnya pada regresi linier sederhana, Minitab menyajikan beberapa nilaistatistik, yaitu : simpangan baku model (s), koefisien determinasi (R-Sq), dan koefisiendeterminasi terkoreksi (R-Sq (adj)), yang berguna sebagai kriteria dalam pemilihanmodel regresi terbaik.

Dari output Minitab untuk model 1,92 0,5680,00012. .V D T = di atas (seperti terlihat pada

Gambar 15), dapat dikemukakan hal-hal berikut ini :

Simpangan baku sisaan (s) dari model ini cukup kecil, yakni s = 0,03941. ApabilaAnda menganalisis model lain, maka nilai simpangan baku (s) ini dapat Andabandingkan satu sama lain sebagai salah satu kriteria dalam menentukan modelregresi mana yang lebih baik, yakni model yang memiliki nilai simpangan bakusisaan yang paling kecil.

Koefisien determinasi (R-Sq atau R2) untuk model ini cukup tinggi, yakni R2 =98,3%. Hal ini berarti bahwa, peubah D (diameter) dan T (tinggi) pohon dapatmenerangkan sebesar 98,3% keragaman dari volume pohonnya. Cobalah Andabandingkan dengan nilai R2 dari regresi linier sederhana pada pembahasansebelumnya (Gambar 14), yakni hanya sebesar 92,8%. Untuk sementara, mungkin





22

Anda dapat menyimpulkan bahwa adanya penambahan peubah T (tinggi) dantransformasi model ke bentuk logaritma ternyata dapat meningkatkan koefisiendeterminasi model.

Koefisien determinasi terkoreksi (R-Sq (adj)) untuk model ini pun cukup tinggi,yakni R2

(adj)=98,0%. Seperti halnya pada koefisien determinasi belum terkoreksi(R2), nilai ini dapat dijadikan kriteria dalam pemilihan model terbaik.

Tabel analisis ragam (ANOVA)

Tampilan tabel analisis ragam (ANOVA) untuk regresi linier berganda hampir samadengan regresi linier sederhana seperti pada pembahasan sebelumnya. Oleh karenaitu, penjelasan lebih terperinci tentang bagian-bagian tabel analisis ragam ini dirasacukup memadai. Hal terpenting yang ingin dibahas dibagian ini adalah interpretasidari tabel analisis ragam untuk model regresi linier berganda di atas. Hal-hal yangdapat dikemukan tentang tabel analisis ragam seperti tersaji pada Gambar 15 di atasadalah sebagai berikut :

Tabel ANOVA ini dapat digunakan untuk menguji hipotesis sebagai berikut :H0 : βi = 0 , i = 1, 2, 3, …., k ; (artinya: semua peubah bebas tidak berpengaruh

nyata terhadap respon)

H1 : ada βi ≠ 0 , i = 1, 2, 3, …., k ; (artinya: sekurang-kurangnya ada satu peubahbebas yang berpengaruh nyata terhadaprespon)

Nilai F (F-hitung) untuk model tersebut sebesar 349,14. Apabila Andabandingkan nilai ini dengan nilai F tabel, atau cukup dengan melihat nilai P =0,000, maka kita harus menolak H0 dan menyimpulkan bahwa pada taraf nyata5% secara bersama-sama peranan peubah X 1 (dalam hal ini D) dan peubah X 2 (dalam hal ini T ) dalam model regresi tersebut bersifat sangat nyata. Analisisselanjutnya dapat Anda lakukan untuk melihat peubah bebas yang mana yangberpengaruh lebih significant dibanding peubah bebas lainnya ataukah antarkedua peubah tersebut saling berkorelasi sehingga kita cukup mencantumkansalah satunya saja dalam model.

Jumlah Kuadrat Sekuensial (Sequential Sum of Squares)

Khusus untuk regresi linier berganda, Minitab menyajikan output lain yaitu jumlahkuadrat sekuensial (sequential sum of squares, Seq SS) seperti terlihat pada tampilan

berikut ini :

Jumlah kuadrat sekuensial (sequential sum of squares, Seq SS) tersebut menunjukkantambahan jumlah kuadrat apabila suatu peubah dimasukkan ke dalam model setelahpeubah lain ada dalam model tersebut, misal : peubah X 2 setelah X 1 ada dalam model.Dengan demikian, dari jumlah kuadrat sekuensial tersebut kita dapat pengaruhpenambahan peubah baru dalam model regresi, apakah peubah baru tersebut

berpengaruh nyata atau tidak. Namun demikian, jumlah kuadrat sekuensial initidaklah sama dengan uji T karena uji-T hanya menguji apakah masing-masingkoefisien regresi sama dengan nol atau tidak.





23

Dari tampilan jumlah kuadrat sekuensial di atas, kita dapat melakukan interpretasisebagai berikut :

Baris pertama : log-D, DF = 1, Seq SS = 1,05823, menyatakan tambahan jumlahkuadrat dari peubah X 1 (dalam hal ini D) setelah b0 ada dalam model, adalahsebesar 1,05823 atau biasa dituliskan dalam notasi yang lebih ringkas sebagai : JK (b1|b0)=1,05823. Dengan kata lain, nilai ini menunjukkan pengurangan

(reduksi) dalam jumlah kuadrat sisaan (JKS) akibat “pengepasan ( fitting)”koefisien b1 (yakni akibat digunakannya X 1 sebagai peubah bebas) denganasumsi bahwa b0 telah ada dalam model. Dengan demikian, sesungguhnyanilai jumlah kuadrat sekuensial pada baris ini adalah sama dengan nilai jumlahkuadrat regresi linier sederhana (JKR) yang hanya melibatkan peubah X 1 saja

(Cobalah bandingkan nilai ini dengan JKR pada model 1.0

b DbV = , lihat Gambar 8 ,

sama bukan ?).

Baris kedua : log-T, DF = 1, Seq SS = 0,02612, menyatakan tambahan jumlahkuadrat dari peubah X 2 (dalam hal ini T ) setelah b0 dan b1 ada dalam model,adalah sebesar 0,02612 atau dapat dituliskan dalam bentuk notasi sebagai : JK

(b2|b0, b1)=0,02612.

Apabila model regresi linier berganda yang kita buat menggunakan lebih daridua peubah bebas (katakan : X 3, X 4, …., X k), maka pada bari-baris berikutnyaakan ditampilkan pula nilai-nilai dari jumlah kuadrat sekuensial untukmasing-masing penambahan peubah baru secara berturut-turut, misalkan : JK(b3|b0, b1, b2), dsb.

Perlu diingat bahwa, dalam hal ini Minitab menganalisis penambahan jumlahkuadrat dari peubah bebas baru tersebut sesuai urutan kehadiran peubahbebas dalam model yang kita spesifikasikan. Untuk kasus seperti di atas,

model yang digunakan adalah 0 1 1 2 2Y b b X b X = + + . Sehingga, apabila Anda

ingin menganalisis pengaruh penambahan peubah X 1 setelah peubah X 2 adadalam model, maka Anda harus mengulangi lagi prosedur analisis regresi(lihat pembahasan sebelumnya) dengan memasukkan peubah X 2 terlebihdahulu dan diikuti dengan peubah X 1 sehingga spesifikasi modelnya menjadi :

0 2 2 1 1Y b b X b X = + + .

Berdasarkan jumlah kuadrat sekuensial tersebut, kita dapat menganalisis bagaimanapengaruh penambahan peubah baru ke dalam model. Misalkan untuk contoh di atas,kita ingin tahu bagaimanakah pengaruh penambahan peubah X 2 (log-T ) setelahpeubah X 1 (log-D) ada dalam model (

0 1 2 0 1 1 2 2log log log log= + + ⇔ = + +V b b D b T Y b b X b X ).

Untuk itu, lakukan uji F bagi penambahan peubah baru (X 2 atau log-T ) tersebut,

dinotasikan sebagai2 0 1( | , )hit b b bF , sebagai berikut:

( )

( )

1 2 0 1 0 2 0 1

2 0 1

1 2 0

2 0 1 2 0 1

1 2 0

( , | ( | ( | , )

( | , )

( , | )

( | , ) ( | , )

( , | )

JK JK

KTS

JK

KTS

Seq SS(log- )(untuk notasi dari output Minitab)

(0,02612)/(

b b b b b b b b

hit b b b

b b b

b b b b b b

b b b

dbF

db

T DF

MSE

−=

=

=

=

0,05(1,12) 0,01(1,12)

1)

0,00155

16,85 ** ; karena nilai tabel : 4,75 , 9,33F F = = =





24

Terlihat bahwa pengaruh penambahan peubah X 2 (yakni log-T ) tersebut, pada tarafnyata 5%, bersifat sangat nyata. Dengan prosedur seperti di atas, Anda dapatmelakukannya untuk menganalisis setiap ada penambahan peubah bebas lain kedalam model.

Catatan Penutup

Sesungguhnya masih banyak hal yang dapat dibahas tentang analisis regresi ini, baik menyangkut analisis sisaan maupun prosedur pemilihan regresi terbaik. Namun tulisan ini hanya dimaksudkan sebagai pengantar untuk pemahaman berikutnya, dan Insya Allah hal-hal yang menyangkut analisis lebih lanjut tentang analisis regresi

tersebut dapat pemulis sajikan pada tulisan berikutnya.

Akhir kata, dengan menyadari bahwa hanyalah ciptaan-Nya yang maha sempurna, penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat bagi yang memerlukannya.

Tatang Tiryana ([email protected])