3.2.3. Teorema.

(a).Misalkan X = (xn) dan Y = (yn) barisan bilangan real yang berturut-turut konvergen

ke x dan y, serta cR. Maka barisan X + Y, X - Y, X . Y dan cX berturutturut

konvergen ke x + y, x - y, xy dan cx.

(b).. Bila X = (xn) konvergen ke x dan Z = (zn) barisan tak nol yang konvergen ke z,

dan z 0, maka barisan X/Z konvergen ke x/z.

Bukti :

(a). Untuk membuktikan lim (xn + yn) = x + y kita akan menaksir jarak antara(xn + yn) -

(x + y)menggunakan rumus segitiga ketidaksamaan di 2.2.3

(xn + yn) - (x + y)= (xn - x) + (yn - y)

xn - x + yn - y

Menurut Teorema 3.2.2 terdapat bilangan real M1 > 0 sehingga xn M1 untuk semua

nN dan tetapkan M = sup M1, y. Selanjutnya kita mempunyai

Karena > 0 sebarang, hal ini membuktikan bahwa barisan XY = (xnyn) konvergen ke

xy.