Analisis Dinamis35.1 PendahuluanAnalisis Statis vs Dynamic • Karakteristikpergerakan Tanah Gempa • Analisis Dinamis untukMetode Desain Jembatan Seismik35.2 Single-Gelar-Sistem-KebebasanPersamaan Karakteristik • Gerak GratisGetaran • Respon untuk Ground Gempa BumiMotion • Respon Spectra • Contoh sebuah SDOFsistem35.3 Multi-Gelar-Sistem-KebebasanPersamaan Getaran Motion • Gratis dan GetaranMode • Analisis Modal dan Partisipasi Modalfaktor • Contoh sistem MDOF • Multiple-Dukungan Eksitasi • Waktu Sejarah Analisis35,4 Respon Spektrum AnalisisSingle-Mode Analisis Spektral • Seragam-LoadMetode • Multimode Analisis Spektral • Multiple-Dukungan Respon Spectrum Metode35.5 Analisis inelastik DinamisPersamaan Pertimbangan Modeling Motion •Ringkasan 35,6

Rambabu BavirisettyDepartemen Perhubungan californiaMurugesu VinayagamoorthyDepartemen Perhubungan californiaLian DuanDepartemen Perhubungan california

35.1 PendahuluanTujuan utama bab ini adalah untuk memberikan metode dinamis untuk menganalisis struktur jembatan ketika dikenai beban gempa. Dasar konsep dan asumsi yang digunakan dalam tipe dinamisanalisis dibahas dalam bab pertama. Berbagai pendekatan terhadap dinamika jembatan tersebut kemudian dibahas. Beberapa contoh disajikan untuk menggambarkan aplikasi praktisnya.

35.1.1 Analisis Statis vs DinamisTujuan utama dari analisis struktural adalah untuk menilai perilaku struktural di bawah berbagai beban dan untuk menyediakan informasi yang diperlukan untuk desain, seperti gaya, momen, dan deformasi. Analisis struktur dapat diklasifikasikan sebagai statis atau dinamis : sementara statika berkaitan dengan waktu-independen loading, dinamika menganggap setiap

beban sama besar, arah, dan posisi bervariasi dengan waktu.Beban dinamis khas untuk suatu struktur jembatan termasuk gerakan kendaraan dan tindakan seperti gelombang angin, aliran sungai, dan gempa bumi.

GAMBAR 35.1pergerakan tanah tercatat selama gempa bumi baru-baru ini.

35.1.2 Karakteristik Gerakan Tanah GempaGempa bumi adalah pergerakan tanah yang disebabkan oleh berbagai fenomena global termasuk proses tektonik, gunung api, tanah longsor, batu-ledakan, dan ledakan. Proses tektonik yang global secara terus menerus memproduksi pegunungan dan parit laut di permukaan bumi dan menyebabkan gempa bumi. Bagian ini secara singkat membahas gempa sebagai bahan masukan untuk analisis seismik jembatan. Secara Terperinci diskusi dari gerakan tanah disajikan dalam Bab 33.

Gerakan tanah diwakili oleh sejarah waktu atau seismograf dalam hal percepatan,kecepatan, dan perpindahan untuk lokasi tertentu selama gempa bumi. plot sejarah Waktu mengandung informasi yang lengkap tentang gerakan gempa dalam tiga arah orthogonal (dua horizontal dan satu vertikal) di lokasi yang instrumennya bergerak kuat. Percepatan biasanya dicatat dengan kuat-gerakan accelerograph dan kecepatan serta perpindahan yang ditentukan oleh numerik integrasi. Percepatan tercatat di lokasi yang kira-kira jarak yang sama jauhnyadari pusat gempa mungkin berbeda secara signifikan dalam durasi, konten frekuensi, dan amplitudo karena perbedaan kondisi tanah setempat. Gambar 35.1 menunjukkan beberapa riwayat waktu gempa bumi baru-baru ini.

Dari pandangan rekayasa struktural, karakteristik yang paling penting dari gempa bumi adalah percepatan tanah maksimum (PGA), durasi, dan frekuensi konten. PGA adalah

percepatan maksimum dan mewakili intensitas gerakan tanah. Meskipun kecepatan tanah mungkin menjadi ukuran yang lebih signifikan dari intensitas dari percepatan, tidak sering diukur secara langsung, tetapi ditentukan menggunakan perhitungan tambahan [1]. Durasi adalah lamanya waktu antara pertama dan terakhir puncak melebihi tingkat gerakan tertentu yang kuat. Semakin lama durasi gerak yang kuat, energi lebih banyak disampaikan untuk struktur. Karena energi regangan elastis diserap oleh struktur yang sangat terbatas, gempa yang kuat memiliki kemungkinan yang lebih besar untuk melaksanakan struktur ke kisaran inelastis. Isi frekuensi dapat diwakili oleh jumlah nol penyeberangan per detik di accelerogram tersebut. Hal ini bisa dimengerti bahwa ketika frekuensi yang teratur mengganggu dengan kekuatan yang sama dan frekuensi getaran alami struktur (resonansi),osilasi struktur bisa sangat diperbesar dan pengaruh redaman menjadi minimal.

Meskipun gerakan gempa tidak pernah teratur seperti gelombang sinusoidal, biasanya ada periode yang mendominasi respon. Karena tidak mungkin untuk mengukur gerakan tanah secara rinci untuk semua situs struktur, pergerakan batuan atau pergerakan tanah diperkirakan terjadi patahan dan kemudian disebarkan ke permukaan bumi menggunakan komputer dengan program yang mengingat kondisi tanah setempat. Dua pedoman [2, 3] baru-baru ini dikembangkan oleh California Departemen Perhubungan yang menyediakan metode untuk mengembangkan gerakan tanah seismik untuk jembatan.

35.1.3 Metode Analisis dinamis untuk Desain Jembatan Tahan GempaTergantung pada wilayah gempa, geometri, dan pentingnya jembatan, analisis berikutmetode yang dapat digunakan untuk desain jembatan seismik:

• The single-mode method (single-mode spectral and uniform load analysis) [4,5] menganggap bahwa beban gempa dapat dianggap sebagai kekuatan horisontal statik ekuivalen yang diterapkan ke frame individu baik dalam arah longitudinal atau melintang. Gaya statik ekivalen didasarkan pada periode alami satu derajad bebas (SDOF) dan kode-tertentu respon spektra. Insinyur harus mengakui bahwa metode single-mode (kadang-kadangdisebut sebagai analisis statik ekivalen) sangat cocok untuk struktur dengan bentang seimbang dengan kekakuan merata.

• Multimode spectral analysis mengasumsikan bahwa kekuatan,momen, dan perpindahan untuk beban gempa dapat diperkirakan dengan menggabungkan respon dari mode individu menggunakan metode seperti metode lengkap kuadrat (CQC) kombinasi dan akar kuadrat dari jumlah metode (SRSS) kuadrat. Metode CQC cukup untuk kebanyakan sistem jembatan [6], dan metode SRSS paling cocok untuk kombinas respon dari cara well-separated.

• The multiple support response spectrum (MSRS) metode memberikan spektra respon danpuncak perpindahan pada tingkat dukungan individu kebebasan dengan akurat perhitunganvariabilitas spasial dari gerakan tanah termasuk dampak inkoherensi, bagian gelombang,dan spasial berbagai situs respon. Metode ini dapat digunakan untuk memperbanyak dukungan pada struktur dalam jangka panjang[7].

• The time history method adalah integrasi langkah demi langkah numerik persamaan gerak. Ini biasanya diperlukan untuk kepentingan atau geometris jembatan yang kompleks. Analisis inelastis memberikan ukuran yang lebih realistis terhadap perilaku struktur bila dibandingkan dengan analisis elastis.

Pemilihan metode analisis struktur jembatan tertentu tidak harus murni berdasarkan analisis struktur, tetapi berdasarkan keputusan desain yang efektif [8]. Diskusi yang lebih detail dari metode di atas disajikan pada bagian berikut.

35.2 Single-Degree-of-Freedom SystemSistem pegas-massa yang selama ini kita kenal merupakan model dinamik sederhana dan ditunjukkan dalam Gambar 35.2a. Ketika ideal(undamped), struktur sangat antusias dengan baik memindahkan dukungan atau dengan menggusur massa dalam satu arah, massa bergetar hampir selamnya dalam keadaan setimbang tanpa ada waktu untuk beristirahat. Namun, kenyataan struktur beristirahat setelah jangka waktu tertentu karena fenomena yang disebutdumping(kelembaban). Untuk menggabungkan efek kelembaban, sebuah damper yang kental tak bermassa selalu disertakan dalam model dinamik, seperti ditunjukkan pada Gambar 35.2b.

Dalam analisis dinamik, jumlah perpindahan yang diperlukan untuk menentukan posisi pengungsi dari semua massa relatif terhadap posisi semula mereka disebut jumlah derajat kebebasan (DOF). Ketika sebuah sistem struktur dapat ideal dengan massa tunggal terkonsentrasi di satu lokasi dan bergerak hanya dalam satu arah, sistem yang dinamis ini disebut sistem SDOF. Beberapa struktur,

GAMBAR 35.2Model ideal dinamis. (a) Undamped sistem SDOF, (b) damped sistem SDOF.

GAMBAR 35.3Contoh struktur SDOF. (a) Tangki air yang didukung oleh kolom tunggal; (b) satu frame

bangunan; (c) dua rentang jembatan yang didukung oleh kolom tunggal.

seperti tangki air yang didukung oleh kolom tunggal, satu struktur rangka dan sebuah jembatan dua bentang yang didukung oleh kolom tunggal, bisa ideal sebagai model SDOF (Gambar 35.3).

Dalam sistem SDOF ditunjukkan dalam Gambar 35.3c, massa bangunan jembatan adalah massa sistem dinamik. Kekakuan dari sistem dinamis adalah kekakuan kolom terhadap sisi

gerak dan sistem viscous damper adalah penyerapan energi internal dari struktur jembatan.

35.2.1 Persamaan GerakRespons struktur tergantung pada massa, kekakuan,kelembaban, dan diterapkan beban atau perpindahan. Struktur bisa cocok dengan menerapkan kekuatan eksternal p(t) pada massa atau dengan pergerakan tanah (t) yang mendukung struktur. Dalam bab ini, karena beban gempa yang disebabkan oleh tarikan, kita akan fokus terutama pada persamaan gerak sistem SDOF yang dikenakan pada tanah eksitasi.

GAMBAR 35.4Gempa yang disebabkan oleh pergerakan dari sistem SDOF.

Perpindahan dari gerakan tanah Ug, perpindahan total dari massa tunggal Ut, danperpindahan relatif antara massa dan tanah U (Gambar 35.4) yang terkait dengan

Ut = U + Ug

Dengan menerapkan hukum Newton dan prinsip kesetimbangan dinamis D'Alembert's, dapat ditunjukkan bahwa

ƒi + ƒd + ƒs = 0

Dimana ƒ1 adalah gaya inersia massa tunggal dan berhubungan dengan percepatan massa dengan ƒ1 = müt ; ƒd, adalah gaya redaman pada massa dan terkait dengan kecepatan di viscous damper oleh ƒd = cu; ƒs adalah gaya elastis yang diberikan pada massa dan yang terkait dengan perpindahan relatif antara massa dan tanah oleh ƒs = ku, dimana kadalah konstanta pegas; c adalah redaman rasio; dan m adalah massa dari sistem dinamis.

Mensubstitusikan persamaan ini untuk, ƒ1 + ƒd + ƒs , dan ke Persamaan. (35.2) memberikan

mü1 + cu + ku = 0Persamaan gerak untuk sistem SDOF mengalami gerakan tanah maka dapat diperoleh

dengan menggantikan Persamaan. (35.1) ke dalam Persamaan. (35.3), dan diberikan oleh

mü1 + cu + ku = -müg

35.2.2 Karakteristik Getaran BebasUntuk menentukan karakteristik dari getaran seperti waktu untuk menyelesaikan satu siklusosilasi (Tn) dan jumlah siklus osilasi per detik (Wn), pertama-tama kita melihat getaran bebasdari suatu sistem dinamik. Getaran bebas biasanya diawali dengan mengganggu struktur dari kesetimbangan bagian alat dengan kekuatan eksternal atau perpindahan. Setelah sistem terganggu, sistem bergetar tanpa input eksternal. Dengan demikian, persamaan gerak untuk getaran bebas dapat diperoleh dengan menetapkan üg pada Persamaan. (35,4) dan diberikan.

GAMBAR 35.5Khas respon sistem SDOF. (a) Undamped, (b) damped.

mü + cu + ku = 0

Membagi Persamaan (35,5) dengan massanya m akan menghasilkan

Ü + (c/m) u + (k/m)u = 0

Ü + 2 ξ Wn + Wn2 U =0

Dimana Wn=√ km¿

¿ frekuensi melingkar getaran alami atau frekuensi undamped;ξ=C

Ccr

rasio redaman,Ccr=2 Mωn=2√km=2 kωn

redaman kritis koefisien.

Gambar 35.5a menunjukkan respon dari sebuah tipe ideal khas, sistem SDOF undamped. Waktu yang diperlukan untuk sistem SDOF untuk menyelesaikan satu siklus

getaran yang disebut periode getaran alami(Tn) dari sistem dan diberikan oleh

GAMBAR 35,6Respon sistem SDOF pada rasio berbagai redaman.

Tn=2 πωn

=2 π √m /k

Selain itu, frekuensi getaran siklik alami diberikan oleh

fn=ωn2 π

= 12 π √ k

m

Gambar 35.5b menunjukkan respon khas teredam struktur SDOF. Frekuensi melingkargetaran atau frekuensi getaran teredam struktur SDOF,ωd , diberikan oleh Periode teredam getaran () dari sistem diberikan oleh ωd=ωn1√1−ξ 2

Td= 2 π√1−ξ 2 √ m

k

Ketika ξ=1 atau C=Cr struktur kembali ke posisi kesetimbangan tanpa berosilasi dandisebut sebagai struktur kritis damped. Ketika ξ>1 atau ξ<1, struktur adalahoverdamped dan struktur beristirahat tanpa bergetar, tetapi pada tingkat yang lebih lambat. Ketika ξ<1 atau C>Cr, struktur adalah underdamped dan berosilasi hampir dalam keadaan setimbang dengan amplitudo semakin menurun. Gambar 35.6 menunjukkan respon struktur SDOF dengan rasio redaman yang berbeda.

Untuk struktur seperti bangunan, jembatan, bendungan, dan struktur lepas pantai, rasio redaman kurang dari 0,15 dan dengan demikian dapat dikategorikan sebagai underdampedstruktur. Sifat dasar Dinamika diperkirakan damped atau undamped yangdigunakan adalah kurang lebih sama. Misalnya, ketika ξ=1, ωd=0.995 ωn, dan T d=1.01Tn

Redaman menghilang karena energi keluar dari struktur dalam pembukaan dan penutupan microcracks di beton, penekanan pada unsur non struktural, dan gesekan pada sambungan anggota baja. Dengan demikian, nilai koefisien redaman untuk semua mekanisme energi akan hilang dari struktur dan hanya bisa diperkirakan dengan metode eksperimental. Dua struktur tampaknya identik mungkin memiliki sedikit sifat material yang berbeda dan dapat menghilangkan energi pada tingkat yang berbeda. Karena redaman tidak memainkan peran penting kuantitatif kecuali untuk respon resonan dalam respon struktural, maka pada umumnya menggunakan rasio redaman rata-rata berdasarkan jenis bahan bangunan. Relatif rasio redaman untuk jenis umum dari struktur, seperti logam dilas dari 2% sampai 4%, baut logam struktur dari 4% sampai 7%, struktur beton prategang 2% sampai 5%, struktur beton yang kuat dari 4% sampai 7% dan struktur kayu dari 5% sampai 10%, direkomendasikan oleh Chmielewski dkk. [9].

GAMBAR 35,7Induksi gaya gempa vs waktu pada sistem SDOF.

35.2.3 Respon untuk Pergerakan Gempa Bumi Sebuah eksitasi khas dari gerakan bumi ditunjukkan pada Gambar 35.7. Persamaan gerak dasar sistem SDOF dinyatakan dalam Persamaan. (35,4). Karena gaya eksitasi tidak dapat dijelaskan dengan ekspresi matematika sederhana, tetapi solusinya dalam bentuk Persamaan tertutup. (35,4) tidak tersedia. Dengan demikian, eksitasi seluruh tanah perlu diperlakukan sebagai superposisi impuls durasi pendek untuk mengevaluasi respon struktur ke tanah eksitasi. Sebuah impuls didefinisikan sebagai waktu kali gaya. Sebagai contoh, impuls gaya pada waktu τ selama selang waktu dτsama – müg(τ ¿dτ dan diwakili oleh daerah yang diarsir pada Gambar 35.7. Tanggapan total struktur untuk gerakan gempa kemudian dapat diperoleh dengan mengintegrasikan semua tanggapan dari kenaikan impuls. Pendekatan ini kadang-kadang disebut sebagai "analisis riwayat waktu." Berbagai teknik solusi tersedia dalam literatur teknis tentang dinamika struktural [1,10].

Dalam desain struktur tahan gempa, desainer tertarik pada maksimum atau nilai-nilai ekstrim dari respon struktur seperti yang dijelaskan dalam bagian berikut. Setelah karakteristik dinamik (Tn Dan ωn) Struktur tersebut ditetapkan, perpindahan maksimum,

momen, dan geser padasistem SDOF dengan mudah dapat diestimasi dengan menggunakan prinsip dasar mekanika.

35.2.4 Spektrum Respon Spektrum respon adalah hubungan dari nilai-nilai puncak sejumlah respon (percepatan, kecepatan, atau perpindahan) dengan karakteristik dinamik struktural (periode alami atau frekuensi). Itu inti konsep dalam rekayasa gempa dengan memberikan ukuran jauh lebih nyaman dan berarti mengukur efek gempa dari setiap kuantitas lainnya. Ini merupakan respon puncak dari semua kemungkinan sistem SDOF untuk gerakan tanah tertentu.

Respon Spektrum Elastis Selanjutynai, spektrum respon dari suatu sistem struktur elastis, dapat diperoleh dengan langkah-langkah berikut [10]: 1. Tentukan percepatan tanah riwayat waktu (biasanya pada interval 0,02 detik). 2. Pilih periode alami Tn dan rasio redaman ξ sistem SDOF elastis. 3. Hitunglah respon deformasi u(t) menggunakan metode numerik. 4. Tentukan u, nilai puncak u(t) .

5. Hitung koordinat spektral dengan D=u, V=2π D /Tn, danA=( 2 πTn )2.

6. Ulangi langkah 2 dan 5 untuk hasil Tn dan nilai ξ untuk semua kasus yang mungkin. 7. Gambar hasil grafis untuk menghasilkan tiga spektrum terpisah seperti ditunjukkan pada Gambar 35.8 atau plot tripartit gabungan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 35.9.

GAMBAR 35.8Contoh respon spectra (5% kritis redaman) untuk Loma Prieta 1989 gerak.

Perlu dicatat bahwa meskipun tiga spektrum (perpindahan, kecepatan, dan percepatan) untuk gerakan tanah tertentu berisi informasi yang sama, masing-masing menyediakan kuantitas fisik yang berarti. Perpindahan spektrum menyajikan perpindahan puncak. Kecepatan Spektrum berhubungan langsung dengan energi regangan puncak yang disimpan dalam sistem. Akselerasi Spektrum berhubungan langsung ke puncaknilai gaya statik ekuivalen dan geser dasar.

Sebuah spektrum respon (Gambar 35,9) dapat dibagi menjadi tiga rentang periode [10]:• Percepatan-daerah sensitif (daerah waktu yang sangat singkat): Sebuah struktur dengan waktu yang sangat singkat sangat kaku dan diharapkan untuk berubah bentuk sangat sedikit. Massanya bergerak kaku dengan tanah dan percepatan puncaknya kira-kira sama dengan percepatan tanah.• Kecepatan-daerah sensitif (antara periode-wilayah): Sebuah struktur dengan perantaraperiode sangat merespon dengan kecepatan gerak tanah dari parameter tanah lainnya.• Pemindahan daerah sensitif (daerah waktu yang sangat panjang): Sebuah struktur dengan jangka waktu yang cukup lama sangat fleksibel dan diharapkan tetap stasioner ketika tanah bergerak. Deformasi puncak lebih dekat untuk perpindahan tanah. Respon struktur yang paling langsung berhubungan dengan perpindahan tanah.

Desain elastis SpektrumSejak desain jembatan tahan gempa dimaksudkan untuk menahan gempa bumi pada masa depan, penggunaan spektrum respon yang diperoleh dari gerakan gempa tertentu masa lalu kurang tepat. Selain itu, bergeriginya nilai spektrum selama rentang kecil akan membutuhkan ketelitian yang tidak masuk akal dalam penentuan periode struktur [11].Hal ini juga tidak mungkin untuk memprediksi respons spektrum bergerigi di semua rincian untuk gerakan tanah yang mungkin terjadi di masa depan. Untuk mengatasi kekurangan ini, spektrum desain elastis, dihaluskan spektrum respon ideal, biasanya dikembangkan untuk mewakili sampul dari gerakan tanah yang dicatat di tempat selama gempa bumi masa lalu. Pengembangan desain spektrum elastis didasarkan pada statistik analisis spektrum respon untuk ansambel dari gerakan tanah. Gambar 35,10 menunjukkan set elastis desain spektrum di Caltrans Spesifikasi Desain Jembatan [12]. Gambar 35,11 menunjukkan percepatan proyek spesifikrespon spektra untuk jembatan sungai kecil di Sonoma California.

GAMBAR 35,9Tripartit plot-respons spektra (1994 Northridge Gempa, Arleta-Rordhoff Ave Fire Station.).

Insinyur harus mengakui perbedaan konseptual antara spektrum respons dan desainspektrum [10]. Sebuah spektrum respon hanya respon puncak dari semua sistem SDOF mungkin karena gerakan tanah tertentu, sedangkan spektrum desain adalah tingkat tertentu gaya gempa desain atau deformasi dan merupakan sampul dari dua desain yang berbeda spektrum elastis. Desain elastis spektrum memberikan dasar untuk menentukan gaya desain dan deformasi untuk sistem SDOF elastis.Inelastis Respon SpektrumSebuah struktur jembatan dapat mengalami perilaku inelastik selama gempa bumi besar. Tipe elastis dan respon elastik plastik dari SDOF ideal untuk gerakan gempa yang kuat ditunjukkan dalam Gambar 35,12. Masukan energi seismik yang diterima oleh struktur jembatan didisipasikan oleh kedua viscous damping dan menghasilkan deformasi (inelastis lokal mengkonversi menjadi panas dan lainnya tidak kembali dalam bentuk energi). Baik redaman viskos dan yang mudah melentur mengurangi respon struktur inelastis dibandingkan dengan struktur elastis. Redaman viskos merupakan hilangnya gesekan internal struktur ketika cacat dan kira-kira sebuah konstanta karena tergantung terutama pada bahan struktural. Pelentur, di sisi lain, bervariasi tergantung pada bahan struktural, konfigurasi struktural, dan pemuatan pola dan sejarah. Damping memiliki efek diabaikan pada respon struktur untuk

GAMBAR 35,10Tipe Caltrans respons spektra desain elastis.

GAMBAR 35,11Percepatan respons spektra untuk Sonoma Creek Bridge.

Jangka panjang dan sistem jangka pendek dan yang paling efektif dalam mereduksi respons strukturuntuk sistem menengah-periode. Dalam desain jembatan tahan gempa, tujuan utama adalah untuk memastikan bahwa struktur mampu berdeformasi secara ulet ketika mengalami suatu beban gempa yang lebih besar. Hal ini diinginkan untuk mempertimbangkan inelastis respon dari sebuah sistem jembatan untuk sebuah gempa bumi besar. Meskipun dinamis analisis nonlinier inelastis tidak sulit dalam konsep, itu memerlukan pemodelan struktur cermat dan usaha komputasi yang intensif.

GAMBAR 35,12Respon dari SDOF untuk pergerakan tanah gempa. (a) sistem elastis, (b) sistem inelastis.

Untuk mempertimbangkan perilaku seismik struktur inelastik tanpa melakukan analisis inelastik nonlinier yang benar, metode daktilitas-faktor dapat digunakan untuk memperoleh spektrum respon inelastis dari spektra respon elastis. Daktilitas struktur biasanya disebut dengan perpindahan Faktor daktilitas didefinisikan oleh (Gambar 35.13):

μ= ΔuΔ y

Dimana Δu adalah kapasitas perpindahan terakhir dan perpindahan hasil. Pendekatan paling sederhana untuk mengembangkan desain spektrum inelastis adalah untuk skala desain elastisspektrum turun beberapa fungsi dari daktilitas yang tersedia dari suatu sistem struktur:

ARSinelastic= ARSelasticƒ(μ)

ƒ ( μ )=¿1 for Tn≤ 0.03 sec

2 μ−1 for 0.03 sec<Tn≤ 0.5 sec μ for Tn ≥ 0.5 sec

GAMBAR 35,13Hubungan Beban gempa-perpindahan.

Untuk periode yang sangat singkat (≤ 0,03 detik) di wilayah percepatan-sensitif, permintaan perpindahan elastis ∆ ed kurang dari kapasitas perpindahan ∆ u (lihat Gambar 35.13). Faktor reduksi ƒ ( μ )=1 menyiratkan bahwa struktur harus dirancang dan tetap elastis untuk menghindari deformasi inelastis yang berlebihan. Untuk periode antara (0,03 sec<Tn≤0.5sec) di wilayah kecepatan yang sensitif, permintaan perpindahan elastis mungkin lebih besar atau lebih kecil dari kapasitas perpindahan dan faktor reduksi didasarkan pada konsep persamaan energi. Untuk periode yang sangat panjang(Tn>0,5 detik) dalam perpindahan wilayah yang sensitif, faktor reduksi didasarkan pada konsep yang sama perpindahan.

35.2.5 Contoh sistem SDOFStruktur jembatan SDOF ditunjukkan pada Gambar 35,14. Untuk menyederhanakan masalah, jembatan diasumsikan hanya bergerak dalam arah memanjang. Total perlawanan terhadap gerak longitudinal datang dalam bentuk gesekan pada bantalan dan ini bisa dianggap peredam. Berikut asumsi untuk sifat struktur: rasio redaman ξ = 0,05, luas bangunan A= 3,57 m2, momen kolom Ic = 0,1036 m4, Eckolom = 20.700 MPa, berat jenis material ρ = 2400 kg/m3, panjang kolom Lc = 9.14 m, dan panjang bangunan bagian atas Ls = 36,6 m. Respon percepatan kurva struktur diberikan dalam Gambar 35,11. Tentukan (1) periode alami struktur, (2) periode teredam struktur, (3) simpangan maksimum dari superstruktur, dan (4)momen maksimum dalam kolom.

Solusi

Kekakuan:k = 12 EcIc

Lc3=12¿¿

Massa: m =A Ls ρ=(3.57 ) (36.6 ) (2400 )=313,588.8 kg

Frekuensi melingkar: ωn=√ km

=√ 33,690,301313,588.8

=10.36 rad /s

GAMBAR 35,14 SDOF misalnya jembatan. (a) Dua-span jembatan skema diagram, (b) kolom membungkuk tunggal; (c)

model setara ideal untuk respon longitudinal.

frekuensi siklik :ƒn=ωn

2 π=10.36

2 π=1.65 cycle/s

periode struktur: T n=

1

f n=¿ 1=1

1.65=0.606 s¿

Frekuensi melingkar teredam diberikan oleh

ωd=W n√1−ξ2=10.33 rad / s

Periode teredam struktur diberikan oleh

T d=2 πωd

= 2π10.33

=¿0.608 s

Dari kurva ARS, untuk jangka waktu 0.606 s, percepatan maksimum struktur akan0,9 g = 1,13 x 9,82 = 11.10 m / s. Kemudian,

Gaya yang bekerja pada massa =m ×11.10=313588.8 ×11.10=¿

Perpindahan maksimum¿ FL3

12 Ei

=3.48 ×9.143

12× 20700× 0.1036= 0.103

Momen maksimum kolom ¿F l c

2=

3.48× 9.142

=15.90 MN−m

35.3 Multidegree-of-Freedom SistemPendekatan SDOF mungkin tidak berlaku untuk struktur yang kompleks seperti struktur rangka bertingkat dan jembatan dengan beberapa sambungan. Untuk memprediksi respon dari sebuah struktur yang kompleks, struktur adalah diskretisasi dengan beberapa anggota massa disamakan. Karena jumlah massa meningkat terpusat, jumlah perpindahan yang diperlukan untuk menentukan posisi pengungsi dari semua massa yang meningkat. Respon dari sebuah sistem MDOF akan dibahas dalam bagian ini.

35.3.1 Persamaan GerakPersamaan gerak sistem MDOF adalah serupa dengan sistem SDOF, tapi k kekakuan, massa m, dan c adalah matriks redaman. Persamaan gerak untuk sistem MDOF bawah tanah gerak dapat ditulis sebagai

Mu˙˙Cu˙Ku−MBu˙˙g

Kekakuan matriks K dapat diperoleh dari analisis perpindahan berbasis standar statismodel dan mungkin memiliki jangka off-diagonal. Massa karena pengaruh matriks M diabaikan massa kopling terbaik dapat dinyatakan dalam bentuk massa dikelompokkan sungai yang yang sesuai perpindahan derajat kebebasan, sehingga massa diagonal atau uncoupled matriks. Peredaman nilai matriks C untuk semua mekanisme energi menghilang dalam struktur dan mungkin memiliki istilah offdiagonal. Vektor adalah transformasi perpindahan vektor yang memiliki nilai-nilai 0 dan 1 untuk menentukan derajat kebebasan dimana beban gempa diterapkan.

35.3.2 Bebas Getaran dan Mode GetaranUntuk memahami respon sistem MDOF lebih baik, kita melihat undamped, getaran bebas dari sebuah N derajat kebebasan (N-DOF) sistem pertama.

Getaran bebas undampedDengan menetapkan [C] dan üg ke nol dalam Persamaan. (35,14), persamaan gerak undamped,getaran bebas dari sistem N-DOF bisa ditampilkan sebagai:

Mu˙˙Ku0

Dimana M dan K adalah matriks persegi n × n

Persamaan (35,15) kemudian dapat diatur kembali untuk

[K]-ωn2 [M] {ϕn }

Dimana ϕn adalah bentuk defleksi matriks. Solusi untuk persamaan ini dapat diperoleh dengan menetapkan

K-ωn2M 0

Akar atau nilai eigen dari Persamaan. (35.17) akan menjadi N frekuensi alami dari sistem dinamik. Setelah frekuensi natural (ωn) diperkirakan, Persamaan. (35,16) dapat dipecahkan untuk yang sesuai N independen, matriks bentuk defleksi (atau vektor eigen),ϕn. Dengan kata lain, sebuah sistem bergetar

dengan NDOFs akan memiliki frekuensi N alami (biasanya disusun secara berurutan dari terkecil ke terbesar), N alami sesuai periode Tn, dan N bentuk mode alami{ϕn}. Vektor eigen kadang kadang disebut sebagai cara alami getaran atau bentuk modus alam getaran. Hal ini penting untuk mengakui bahwa bentuk vektor eigen atau mode hanya mewakili bentuk defleksi sesuai dengan frekuensi alami, bukan besarnya lendutan aktual.vektor eigen N dapat berkumpul dalam satu n × n matriks persegi [ϕ], matriks modal, di mana setiap kolom merupakan koefisien yang terkait dengan mode alam. Salah satu yang penting dalam aspek ini bentuk modus adalah bahwa mereka adalah orthogonal satu sama lain. Lain matematis,

if wn≠ ωr {ϕnT } [K]{ϕr} = 0 dan {ϕn

T} [M] {T r } = 0

[ k ¿] =[ Φ ]T [K ] [Φ]

[ M ¿] =[ Φ ]T [M ] [Φ]

Dimana [ K ]dan [ M ] memiliki unsur-unsur off diagonal, sedangkan[ K ¿ ] dan [ M ¿ ] matriks diagonal.

Getaran Bebas DampedKetika redaman dari sistem MDOF disertakan, respon getaran bebas dari sistem teredam akan diberikan oleh

[M]{u˙˙} + [C]{u˙} + [K]{u} = 0Perpindahan yang pertama dinyatakan dalam bentuk mode alami, dan kemudian

dikalikan dengan perubahan mode alami matriks untuk mendapatkan pernyataan berikut:[M*]{Y˙˙} + [C*]{Y˙} + [K*]{Y} = 0

Dimana, [M*]dan[K*] matriks diagonal diberikan oleh pers. (35,19) dan (35,20) dan[C*] =[ Φ ]T [C] [ϕ]

Sementara [ M ¿ ] dan [ K ¿ ] matriks diagonal, [C ¿ ] mungkin disebut dengan istilah off diagonal. Ketika[C ¿ ] istilah off diagonal, matriks redaman disebut sebagai non klasik atau tidak proporsional matriks redaman. Ketika diagonal, ini disebut sebagai klasik atau proporsional matriks redaman.

Redaman klasik merupakan idealisasi yang sesuai ketika mekanisme redaman serupa didistribusikan seluruh struktur. Idealisasi redaman Non-klasik sesuai untuk analisis ketikamekanisme redaman sangat berbeda dalam sistem struktural. Karena struktur jembatan kebanyakan didominasi satu jenis bahan bangunan, jembatan struktur bisa menjadi ideal sebagai sistem struktur klasik redaman. Jadi, matriks redaman dari Persamaan. (35,22) akan menjadi diagonal matriks untuk kebanyakan struktur jembatan. Dan, persamaan modus bentuk n atau persamaan umum n modal diberikan oleh

ÿn+2 ξnωnY n+ω2 yn

Persamaan (35,24) mirip dengan Persamaan. (35,7) dari sistem SDOF. Juga, sifatgetaran dari setiap mode dapat ditentukan dengan menyelesaikan Persamaan. (35,24).

GAMBAR 35,15 variasi redaman Rayleigh dengan frekuensi alami.

Rayleigh dampingPeredaman struktur adalah terkait dengan jumlah energi yang hilang selama gerakannya. Ini bisa diasumsikan bahwa sebagian energi yang hilang akibat deformasi, dan dengan demikian redaman bisa menjadi ideal sebagai sebanding dengan kekakuan struktur. Mekanisme lain disipasienergi dapat dikaitkan dengan massa struktur, dan dengan demikian redaman ideal sebagai proporsional dengan massa struktur. Dalam Rayleigh damping, diasumsikan bahwa redaman proporsional dengan massa dan kekakuan struktur.

Ca0 Ma1K

Peredaman umum dari modus n kemudian diberikan oleh

Cn=a0 M n+a1 Kn

Cn=a0 M n+a1ωn2 M n

ξn=Cn

2 M nωn

ξn=a0

21

ωn

+a1

2ωn

Gambar 35,15 menunjukkan variasi redaman Rayleigh dengan frekuensi alami. Koefisien a0 dan va1dapat ditentukan dari rasio redaman tertentu pada dua mode yang dominan independen (katakanlah, enggan dan mode j). Mengekspresikan Persamaan. (35,29) untuk kedua mode akan memimpin sebagai berikut persamaan:

ξ i=a0

21ωi

a1

2ω1

ξ j=a0

21

ω j

a1

2ω j

Jika rasio redaman baik pada mode it h dan  jt h adalah sama dengan persamaan, dapat ditunjukkan bahwa

a0=ξ2 ωi ω j

ωi+ω j

a1=ξ2

ωi+¿ω j¿

Penting untuk dicatat bahwa rasio redaman pada modus antara modus it h dan  jt h kurang dari ξ. Dan, dalam masalah praktis rasio redaman tertentu harus dipilih untuk memastikan nilai wajar dalam semua bentuk modus yang terletak antara ith dan bentuk modus jth.

35.3.3 Modal Analisis dan Faktor Partisipasi ModalPada bagian sebelumnya, kita telah membahas sifat getaran dasar sistem MDOF.Sekarang, kita akan melihat respon dari sistem MDOF terhadap gerakan gempa tanah.Persamaan dasar gerak dari MDOF untuk pergerakan tanah diberikan oleh Persamaan gempa bumi.(35,14) diulangi di sini:

[ M ] {ü }+ [ C ] {u }+ [ K ] {u }=− [ M ] {B }üg

Perpindahan ini pertama dinyatakan dalam bentuk mode alami, dan kemudian dikalikan dengan modus alami matriks transformasi untuk mendapatkan pernyataan berikut:

[ M ¿ ] { ÿ }+ [C ¿ ] { y }+[ K ¿ ] { y }=− [Φ ]T [ M ] {B }ug

Dan, persamaan bentuk modus nthdiberikan oleh

M n¿ ÿn+2ξn ωn yn

¿+ω2 M n¿ Y n=Ln úg

DimanaM n

¿= {ϕn }T [ M ] {ϕn }

Ln=− {ϕn }T [ M ] [ B ]

Ln disebut sebagai faktor partisipasi modal dari mode nth. Dengan membagi Persamaan. (35,34) dengan M n

¿, modal persamaan umum dari mode nth menjadi

ÿn+2 ξnωn yn+ω2 yn=( Ln

M n¿ )üg

Persamaan (35,34) mirip dengan persamaan gerak sistem SDOF, dan dengan demikian yn dapat ditentukan dengan menggunakan metode yang serupa dengan yang dijelaskan untuk sistem SDOF. Setelah yn ditentukan, perpindahan karena mode nth akan diberikan oleh U n ( t )=ϕn Y n (t ). Perpindahan total akibat untuk kombinasi dari semua bentuk modus kemudian dapat ditentukan dengan menjumlahkan semua perpindahan untuk setiap mode dan diberikan oleh

( t )=∑ ϕn Y n (t )

GAMBAR 35,16 Tiga-span menerus bingkai jembatan struktur adalah contoh MDOF. (a)Skema diagram, (b)

longitudinal derajat kebebasan; (c) tingkat melintang kebebasan; (d) rotasi derajatkebebasan; (e) Bentuk Modus 1;

(f) Bentuk Modus 2, (g) Bentuk Modus 3.Pendekatan ini kadang-kadang disebut sebagai metode superposisi mode klasik. Mirip dengan estimasi perpindahan total, kekuatan elemen juga dapat Diestimasi dengan menambahkan unsur kekuatan untuk setiap bentuk mode.

35.3.4 Contoh Sistem MDOF

Jembatan ditampilkan pada Gambar 35,16 adalah struktur frame tiga span berkesinambungan. Rincian jembatan adalah sebagai berikut: panjang bentang adalah 18,3, 24,5, dan 18,3 m., panjangkolom 9,5 m, luas bangunanadalah 5,58 m2; momen inersia dari suprastruktur adalah 70,77 m4; momen inersia kolom 0.218m4; modulus elastisitas beton 20700 Mpa. Tentukan mode getaran dan frekuensi jembatan.

SolusiSeperti yang ditunjukkan pada Gambar 35.16b, c, dan d, lima derajat kebebasan yang tersedia untuk struktur ini. Kekakuandan matriks massa diperkirakan secara terpisah dan hasilnya diberikan di sini.

[ K ]=[126318588 0 0 0 0

0 1975642681 −1194370500 −1520122814 −146432886300 −1194370500 1975642681 14643288630 15201228140 −1520122814 14643288630 479327648712 1195868571430 −14643288630 1520122814 119586857143 479327648712

][ M ]=[

81872 0 0 0 00 286827 0 0 00 0 286827 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

]Prosedur Kondensasi akan menghilangkan rotasi derajat kebebasan dan akan

menghasilkan tiga derajat kebebasan. (Prosedur kondensasi dilakukan secara terpisah dan hasilnya diberikan di sini.) Persamaan gerak getaran bebas dari struktur adalah

[M]{u} + [K]{u} = {0}

Subtitusikan kekakuan dan matriks massa kental ke dalam persamaan di atas dan memberikan

[81871 0 00 268827 00 0 268827]{u1

u2

u3}+[126318588 0 0

0 1975642681 −11943705000 −1194370500 1975642681 ]{u1

u2

u3}={000}

Persamaan di atas dapat disusun kembali dalam bentuk berikut:

1

ω2[ M ]−1 [ K ] {ϕ }= {ϕ }

Substitusikan nilai-nilai yang sesuai dalam pernyataan di atas memberikan hasil berikut

1ωn

2 [1

8181720 0

01

2868270

0 01

286827][126318588 0 0

0 1518171572 −12156259770 −1215625977 1518171572 ]{ϕ1 n

ϕ2 n

ϕ3 n}={ϕ1 n

ϕ2 n

ϕ3 n}

1ωn

2 [154.39 0 00 5292.9 −4238.20 −4238.2 5292.9 ]{ϕ1 n

ϕ2 n

ϕ3 n}={ϕ1 n

ϕ2 n

ϕ3 n}

Dengan asumsi mode getaran yang berbeda, frekuensi alami struktur dapat diperkirakan.

Pergantian mode getaran{1 0 0 }T akan mengakibatkan frekuensi alami pertama.

1ωn

2 [154.39 0 00 5292.9 −4328.20 −4238.2 5292.9 ]{100}= 1

ωn2 [154.39

00 ]={100}

Kemudian, ωn2=154.39 dan ωn=12.43 rad / s

Dengan mengganti mode getaran {0 1 1 }T  dan {0 1 −1 }T  dalam pernyataan di atas, dua frekuensi alami yang lain diperkirakan sekitar 32.48 dan 97.63 rad / s.

35.3.5 Multiple-Dukungan EksitasiSejauh ini kita telah mengasumsikan bahwa semua mendukung dari sistem struktural menjalani gerakan tanah yang sama. Asumsi ini berlaku untuk struktur dengan pondasi Yang saling mendukung dan berdekatan satu sama lain. Namun, untuk struktur jembatan bentang panjang, mungkin mendukung banyak spasi. Seperti dijelaskan pada Bagian 35.1.2, bumi bergerak di lokasi yang tergantung pada lapisan tanah lokal dan jarak dari pusat gempa. Dengan demikian, struktur jembatan dengan dukungan yang terletak jauhdari satu sama lain mungkin mengalami eksitasi bumi yang berbeda.Sebagai contoh, 35.17c Gambar, d, dan e menunjukkan gerakan gempa diperkirakan di Dermaga Pier W3 dan Pier W6 dari San Francisco Bay Bridge Oakland (SFOBB) di California. Jarak antara Pier Pier W3 dan W6 dari SFOBB adalah sekitar 1411 m. Eksitasi ini diperkirakan oleh California Departemen Perhubungan dengan mempertimbangkan sifat tanah dan batuan di sekitar SFOBB dan dugaan gerakan bumi di San Andreas dan patahan Hayward. Catatan bahwa gerakan Bumi di Dermaga Pier W3 dan W6 sangat berbeda. Selanjutnya,Gambar 35.17c, d, dan e menunjukkan bahwagerak Bumi tidak hanya bervariasi dengan lokasi, tetapi juga bervariasi dengan arah.Jadi, untuk mengevaluasi respon panjang, dukungan yang banyak, dan struktur jembatan yang rumit, dianjurkan menggunakan dari eksitasi gempa yang sebenarnya yang masing-masing saling mendukung.

Persamaan gerak dari suatu eksitasi multisupport akan sama dengan Persamaan.(35,14), tetapi satu-satunya perbedaan adalah bahwa { B }ug sekarang digantikan oleh array perpindahan. Dan,persamaan gerak untuk sistem multisupport menjadi

MuCuKuMug

Dimana {ug } memiliki percepatan di setiap lokasi dukungan dan memiliki nilai nol pada lokasi yang tidak ada dukungan . Dengan menggunakan prosedur uncoupling dijelaskan dalam bagian sebelumnya, persamaan modal dari mode  nth

ke-n dapat ditulis sebagai

Y n+2 ξn ωn Y n+ω2 Y n=−∑i=1

N g Ln

M n

ug

Dimana  N g adalah jumlah dukungan eksternal yang tinngi.Tanggapan deformasi dari mode nth dapat ditentukan seperti yang dijelaskan

pada bagian sebelumnya. Setelah respon perpindahan struktur untuk semua bentuk modus diperkirakan, respon dinamik total dapat diperoleh dengan menggabungkan perpindahan.

35.3.6 Analisis Riwayat WaktuKetika struktur memasuki rentang nonlinier, atau memiliki sifat redaman nonklasik, analisis modal tidak dapat digunakan. Metode integrasi numerik, kadang-kadang disebut sebagai analisis riwayat waktu, diperlukan untuk mendapatkan tanggapan yang lebih akurat dari struktur.

GAMBAR 35,17 San Francisco Bay Bridge-Oakland. (a) Sekitar peta, (b) elevasi rencana umum, (c) gerakanmemanjang di tingkat batu; (d) gerakan melintang di tingkat batu; (e) gerakan vertikal di tingkat batu, (f) respon perpindahandi atas Dermaga W3.

Dalam analisis riwayat waktu, skala waktu dibagi menjadi sejumlah tahap-tahap kecil, dτ. Mari kita katakan respon pada ith  interval waktu telah ditentukan dan dinotasikan oleh ui , ui ,ui. Lalu, responsistem pada ith interval waktu i akan memenuhi persamaan gerak (Persamaan 35,39).

[ M ] {ui }+ [C ] {ui }+ [ K ] {u i }=−[ M ] ugi (35.41)

Metode langkah waktu memungkinkan kita untuk selangkah lebih maju dan menentukan tanggapan U i+1, ui+1 , ui+1 pada interval waktu  i + 1th memenuhi persamaan. (35,39). Dengan demikian, persamaan gerak pada interval waktu i + 1th akan menjadi

[ M ] {ui+1 }+ [ C ] {ui+1 }+ [ K ] {U i+1 }=−[ M ] {ugi+1 } (35.42)

Persamaan (35,42) perlu diselesaikan sebelum melanjutkan ke langkah waktu berikutnya. Dengan melalui semua langkah waktu, respon struktur yang sebenarnya bisa ditentukan pada semua waktu instan.

Contoh Analisis Riwayat WaktuThe Pier W3 dari SFOBB dimodelkan menggunakan program [13] ADINA dan analisis nonlinier dilakukan dengan riwayat waktu perpindahan. Riwayat waktu perpindahan dalam tiga arah ini diterapkan pada bagian dermaga W3 dan tanggapan dari dermaga W3 dipelajari untuk memperkirakan kebutuhan dermaga W3. Salah satu hasil, respon perpindahan di atas Dermaga W3, ditunjukkan pada Gambar 35.17f.

35.4 Analisis Spektrum Respon  Analisis spektrum respon adalah metode perkiraan analisis dinamis yang memberikan respom maksimum (percepatan, kecepatan, atau perpindahan) dari suatu sistem SDOF dengan rasio redaman yang sama,tetapi dengan frekuensi alami yang berbeda, merespon eksitasi seismik tertentu. Model Struktural dengan n derajat kebebasan dapat ditransformasikan ke n sistem tunggal-derajat dan prinsip respon spektra dapat diterapkan untuk sistem dengan banyak derajat kebebasan. Untuk jembatan yang paling biasa, sebuahriwayat waktu lengkap tidak diperlukan. Karena desain umumnya didasarkan pada respon  maksimal gempa bumi, analisis respons spektrum mungkin metode yang paling umum digunakan dalam desain kantor untuk menentukan respon struktur maksimum akibat beban hidup. Dalam hal ini, kita akan membahas prosedur dasar analisis spektrum respons untuk struktur jembatan.

35.4.1 Analisis spektral Single-Mode Analisa spektral single-mode didasarkan pada asumsi bahwa desain kekuatan gempa untuk respon struktur terutama untuk getran pertama mode. Metode ini yang paling cocok untuk jembatan biasa elastis linear

untuk menghitung kekuatan dan deformasi, tetapi tidak berlaku untuk jembatan yang tidak teratur (mencakup tidak seimbang, kekakuan tidak setara dalam kolom, dll) karena mode yang lebih tinggi dari getaran mempengaruhidistribusi kekuatan dan perpindahan yang dihasilkan secara signifikan. Metode ini dapat diterapkanuntuk jembatan superstruktur yang kontinu dan maupun yang tidak kontinu baik dalam arah longitudinal atau melintang. Pondasi yang fleksibilitas pada penyangga dapat dimasukkan dalam analisis. Analisis single-mode didasarkan pada metode energi Rayleigh's - sebuah metode perkiraan yangmengasumsikan bentuk getaran untuk struktur. Periode alami struktur ini kemudian dihitung denganmenyamakan energi maksimum  potensial dan kinetik yang terkait dengan bentuk yang diasumsikan. gaya inersia pe (x) dihitung menggunakan periode alami, dan desain kekuatan dan perpindahankemudian dihitung dengan menggunakan analisis statis. Prosedur yang lebih rinci dapat dijelaskan dalam contoh berikutlangkah-langkah:1.Terapkan beban yang seragam atas bentang struktur dan hitung perpindahan statis yang sesuai U s(x). Defleksi struktur yang dibebani dengan gempa, us(x , t) adalah perkiraan dengan fungsi bentuk,us(x), dikalikan dengan fungsi amplitudo umum, u(t ), yang memenuhi kondisi batas geometris dari sistem struktural.Defleksi dinamis ini ditampilkan sebagai

u ( x , t )=us ( x ) u(t) (35.43)

2. Hitung parameter umum α ,β, dan γ  gunakan persamaan berikut:

α=∫U s ( x ) dx (35.44)

β=∫w (x ) us ( x ) d x (35.45)

γ=∫w(x )[us(x)]2 d x (35.46)

Dimana w(x) adalah berat beban mati dari superstruktur jembatan dan bangunan bawah anak sungai.

3. Hitung periode T n

T n=2π √ γpo gα

(35.47)

Dimana g adalah percepatan gravitasi (m /s2 ¿.

4. Hitung beban statis yang mendekati efek inersia yang terkait denganperpindahan menggunakan kurva ARS atau persamaan berikut [4]:

pe (x )=β C sm

γw ( x )us(x)

(35.48)

C sm=1.2 AS

T m2/3

(35.49)

Dimana w(x) adalah respons akibat gempa berdimensi koefisien elastis, A adalah koefisien percepatan dari peta percepatan koefisien, S adalah tanah yang berdimensi koefisien berdasarkan pada tipe profil tanah, T n adalah periode struktur yang ditetapkan di atas,pe (x) adalah intensitas beban gempa statik ekuivalen yang diterapkan untuk mewakili modus utama getaran (N / mm).

5. Aplikasikan perhitungan beban pe (x) untuk struktur seperti yang ditunjukkan

pada Gambar 35,18 dan Hitung defleksi struktur dan kekuatannya.

Metode ini merupakan prosedur yang berulang, dan perhitungan yang sebelumnya digunakan sebagai parameter masukanuntuk perulangan baru yang mengarah ke periode yang baru dan bentuk defleksi. Proses ini dilanjutkan sampai bentukdiasumsikan sesuai dengan bentuk modus mendasar.

35.4.2 Metode Pembebanan-seragamMetode pembebanan-seragam pada dasarnya merupakan metode statis ekivalen yang menggunakan beban lateral yang seragam untuk menghitung pengaruh beban gempa. Untuk struktur jembatan sederhana dengan kesejajaran yang relatif lurus, kemiringan yang kecil, kekakuan yang seimbang, substruktur yang relatif ringan, dan tanpa engsel, metode pembebanan-seragam dapat diterapkan untuk menganalisis struktur untuk beban gempa. Metode initidak cocok untuk jembatan dengan substruktur yang kaku seperti dinding dermaga. Metode ini mengasumsikan kontinuitas dari struktur dan mendistribusikan gaya gempa untuk seluruh elemen jembatan dan didasarkan pada modus dasar getaran baik dalam arah longitudinal atau melintang [5]. Periode

35,18 GAMBAR Metode analisis spektral single-mode . (a) Rencana tampilan jembatan yang dikenakan gerak gempa melintang. (b) Perpindahan fungsi menggambarkan posisi melintang dari lantai jembatan. (c) Defleksi bentuk karena pembebanan statis yang seragam. (d) Getaran bebas melintang dari jembatan yang mengasumsikan bentuk modus. (e) Pembebanan melintang (f) Pembebanan longitudinal.

Getaran yang diambil sebagai sebuah osilator massa pegas ekivalen tunggal. Perpindahan maksimum yang terjadi secara acak di bawah beban seragam digunakan untuk menghitung kekakuan semi ekuivalen. Koefisien respon gempa elastis C sm atau kurva ARS kemudian digunakan untuk menghitung beban gempa seragam yang setara, dengan menggunakan perpindahan dan kekuatannya dihitung. Ikuti langkah-langkah berikut secara garis besar metode beban seragam:

GAMBAR 35,19 Idealisasi Struktur dan defleksi bentuk untuk metode beban seragam. (a) Struktur idealisasi; (b) Defleksi bentuk dengan perpindahan maksimum 1 mm.

5. Hitung total berat W dari struktur termasuk elemen struktural dan terkait lainnyabeban seperti dinding dermaga, penyangga, kolom, dan pondasi, dengan

horisontal yang seragam atas panjang jembatan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 35.19. Ia memiliki satuan gaya / satuan panjang dan dapat ditetapkan sebesar 1 N / mm.2. Hitung perpindahan statis pada beban seragam dengan menggunakan analisis statis.3. Hitung perpindahan maksimum dan sesuaikan dengan 1 mm dengan menyesuaikan seragambeban.4. Hittung Kekakuan lateral jembatan K dengan menggunakan persamaan berikut:

K=po L

usmax(35.50)

Dimana L adalah panjang total jembatan (mm), dan us max adalah perpindahan maksimum(mm).

5. Hitung total berat W dari struktur termasuk elemen struktural dan terkait lainnyabeban seperti dinding dermaga, penyangga, kolom, dan pondasi, dengan

W =∫w ( x ) dx (35.51)

dimana w (x) adalah nominal beban, mati unfactored dari superstruktur jembatan dan substruktur anak sungai.

6. Hitung periode struktur dengan menggunakan persamaan berikut:

T n=2π

31.623 √ WgK

(35.52)

Dimana g adalah percepatan gravitasi.7. Hitung kekuatan gempa statis ekivalen Pedengan menggunakan kurva ARS atau dengan menggunakan persamaan berikut:

Pe=C sm

L (35.53)

8. Hitung lendutan struktur dan kekuatannya dengan mengaplikasikan Pe ke struktur.

35.4.4 Analisis spektral MultimodeMetode analisis spektral multimode lebih canggih dari analisa spektral single-mode  dan sangat efektif dalam menganalisis respon struktur elastis linier yang lebih kompleks keeksitasi gempa. Metode ini sesuai untuk struktur dengan geometri yang tidak teratur,massa, atau kekakuan. Penyimpangan ini menyebabkan kopel dalam tiga arah orthogonal dalam setiap mode getaran. Juga, untuk jembatan ini, beberapa mode getaran berkontribusi pada respon yang lengkap terhadap struktur. Analisis spektral multimode biasanya dilakukan dengan pemodelan struktur jembatanyang terdiri dari elemen frame tiga-dimensi dengan massa struktural terpusat di berbagai lokasi untuk mewakili mode getaran komponen. Biasanya, lima elemen per rentang cukupuntuk mewakili tiga mode pertama getaran. Sebagai aturan umum praktis adalah, untuk menangkap mode getaran ith, rentang harus memiliki setidaknya (2i-1) elemen. Untuk bentang panjang lebih banyak strukturelemen harus digunakan untuk menangkap semua mode kontribusi getaran. Untuk memperoleh respon yang wajar, jumlah mode harus sama untuk setidaknya tiga kali jumlah bentang. Analisa ini biasanya dilakukan dengan sebuah program komputer analisis dinamis seperti ADINA [13], GTSTRUDL [14], SAP2000 [15], ANSYS [16], dan NASTRAN [17]. Untuk jembatan dengan cadik bents,-C bents, dan bents satu kolom, rotasi momen inersia suprastruktur harus dimasukkan. Diskontinuitas pada engsel dan penyangga harus dimasukkan dalam model. Kolom dan dermaga harus memiliki simpul perantara pada titik-titik triwulan di samping simpul diujung kolom.

Dengan menggunakan program yang telah disebutkan di atas, frekuensi, bentuk modus, kekuatan anggota, dan sendi perpindahan dapat dihitung. Langkah-langkah berikut ini merangkum persamaan yang digunakan dalam analisa spektral multimode[5].

1. Hitung dimensi bentuk modus {ϕi } dan frekuensi yang sesuai ωi dengan 

[ [ K ]−ω2 [ M ] ] {u }=0 (35.54)

Dimana

ui=∑j=1

n

ϕ j y j=Φ y i

(35.55)

y j= modal amplitudo dari modus jth; ϕ j= faktor bentuk dari modus jth; Φ = modus-bentuk matriks. Periode untuk mode ith kemudian dapat dihitung dengan

T i=2 πωi

(i=1,2 , ….. , n) (35.56)

2. Tentukan modus amplitudo maksimum absolut bagi riwayat seluruh waktu yang diberikan oleh

Y i ( t )max=T i

2 Sa(ξ i ,T i)

4 π 2

{ϕi }T [ M ] {B }ug

{ϕi }T [ M ] {ϕi }

(35.57)

3. Hitung nilai dari setiap respon kuantitas Z (t) (geser, momen, perpindahan) dengan menggunakan persamaan berikut:

z (t )=∑i=1

n

A iY i( t)

Dimana koefisien Ai adalah fungsi dari bentuk matriks mode (Φ) dan hubungan antara kekuatan dan perpindahan.

4.  Menghitung nilai maksimum Z (t) selama gempa bumi dengan menggunakan metode kombinasi modus yang dijelaskan di bagian selanjutnya.

Aturan Kombinasi modus Metode Kombinasi Modus adalah alat yang sangat berguna untuk menganalisis jembatan dengan sejumlah besar derajat kebebasan. Dalam sistem struktur linier, respon maksimum dapat diestimasi dengan kombinasi modus setelah memperhitungkan frekuensi alami dan bentuk modus struktur yang menggunakan analisis getaran bebas. Tanggapan maksimum tidak dapat dihitung dengan menambahkan respon maksimum dari setiap mode karena mode yang berbeda akan mencapai nilai maksimum pada waktu yang berbeda. Jumlah mutlak dari kontribusi modal individu memberikan batas atas yang umumnya sangatkonservatif dan tidak direkomendasikan untuk desain. Ada beberapa perbedaan empiris atau metode statistik yang tersedia untuk memperkirakan respons maksimum struktur dengan menggabungkan kontribusimode yang berbeda dari getaran dalam analisis spektral. Dua metode yang umum digunakan adalah kuadrat akar jumlah kuadrat (SRSS) dan kuadrat kombinasi lengkap (CQC).

Untuk struktur undamped, hasil perhitungan dengan menggunakan metode CQC identik dengan perhitungan menggunakan metode SRSS. Untuk struktur dengan jarak dekat bentuk modus dominan, metode CQC lebih tepat sedangkan SRSS perkiraan hasil yang tidak akurat. Kecermatan mode spasi adalah sekitar 10% darisatu sama lain dalam hal frekuensi alami. Metode SRSS cocok untuk memperkirakan jumlahrespon maksimum untuk struktur dengan mode spasi yang baik. Secara teoritis, semua bentuk modus harustermasuk untuk menghitung respon, tetapi bentuk modus sedikit dapat digunakan bila yang sesuaipartisipasi massa adalah lebih dari 85% dari massa struktur total. Secara umum, faktor yang dianggap

menentukan jumlah mode yang diperlukan untuk modus kombinasi tergantung pada strukturkarakteristik jembatan, distribusi spasial, dan kandungan frekuensi gempapembebanan. Daftar berikut metode modus [14] merangkum beberapa kombinasi umum yang digunakanuntuk menghitung total respon maksimum. Variabel z merupakan nilai maksimum dari beberaparespon kuantitas (perpindahan, geser, dll), Zi adalah nilai puncak dari kuantitas mode ith,dan N merupakan jumlah mode yang berkontribusi.

1. Jumlah absolut: Jumlah absolut adalah jumlah kontribusi modal:

z=∑i=1

N

|Z i|

2. SRSS atau Metode Akar kudrat Rerata (RMS)  : Metode ini menghitung maksimal dengan mengambil akar kuadrat dari jumlah kuadrat dari kontribusi modal:

z=[∑i=1

N

Z i2]

1 /2

(35.60)

3.  Akar  Kuadrat Puncak Rerata (PRMS): nilai mutlak kontribusi modal terbesar ditambahkan dengan akar kuadrat rerata kontribusi modal yang tersisa:

z j=|max zi|(35.61)

z=[∑i=1

N

Z i2]

2

+Z j dengani ≠ j

(35.62)

4. CQC: Korelasi Cross antara semua mode yang dianggap:Z=[∑i=1

∑j=1

Zi ρij Z j ](35.63)

ρij=8√ξi ξ j (ξ i+ξ j ) r3 /2

(1−r 2)2+4 ξ i ξ j ( 1+r2 )+4 (ξ i

2+ξ j2)r2

(35.64)Dimana

r=ω j

ωi

(35.65)

5. Metode Kelompok Komisi Pengaturan Nuklir  : Metode ini mirip dengan metode RMS

dengan akuntansi tambahan untuk kelompok mode frekuensi yang berada dalam 10%.

Z=[∑i=1

N

Z i2+∑

g=1

G

∑n= s

e

∑m=s

e

|Zng× Zm

g|]1/2

n ≠ m

(35.66)Dimana G adalah jumlah kelompok; s adalah bentuk modus angka di mana kelompok gth yang memulai; e adalah Bentuk modus nomor dimana kelompok gth yang berakhir; dan Zi

g merupakan kontribusi modal ith dalam grup gth.

6. Metode Sepuluh Persen Komisi Pengaturan Nuklir: Metode ini mirip denganMetode RMS dengan perhitungan tambahan untuk semua mode frekuensi yang berada dalam10%.

Z=[∑i=1

N

Z i2+2∑|Zn Zm|]

1/2

(35.67)

Dengan ketentuan tambahan harus memenuhi

ωn−ωm

ωm

≤0.1 for 0.1 ≤m ≤ n≤ N

(35.68)

7. Metode Penjumlahan ganda Komisi Pengaturan Nuklir: Metode ini mirip dengan metode CQC.

Z=[∑i=1

N

∑j=1

N

|Z i Z j|εij]1 /2

(35.69)ε ij=¿¿

(35.70)

ωi'=ω [1−ξ i

2 ]1/2

(35.71)

ξ i'=ξ i+

2td ωi

(35.72)Dimana t d

 adalah durasi gerak dukungan.

Kombinasi efekDampak gerakan tanah di dua arah horisontal ortogonal harus digabungkan ketikaperancangan jembatan dengan konfigurasi geometris sederhana. Untuk jembatan dengan bentang panjang, cadik bents, dan dengan bentang kantilever, atau di

mana efek karena masukan vertikal yang signifikan, vertikal harus dimasukkan dalam desain bersama dengan dua input horisontal ortogonal.Ketika jembatanstruktur dianalisis secara independen sepanjang masing-masing arah menggunakan analisis respon spektra, maka tanggapan yang dikombinasikan baik menggunakan metode, seperti aturan kombinasi SRSS sebagaimana dimaksud dalam bagian sebelumnya, atau menggunakanmetode alternatif yang dijelaskan di bawah. Untuk struktur yang dirancang dengan menggunakan analisis statik ekivalen Atau analisa modal, efek gempa harusditentukan dengan menggunakan Metode alternatif untuk kasus beban berikut:

1. Kasus beban gempa 1: 100% melintang + 30% + 30% memanjang Vertikal2. Kasus beban gempa 2: 30% melintang + 100% memanjang + 30% Vertikal3. Kasus beban gempa 3: 30% melintang + 30% + 100% memanjang Vertikal

Untuk struktur yang dirancang dengan menggunakan analisis riwayat waktu, respon struktur dihitung dengan menggunakan masukan pergerakan yang digunakan dalam arah ortogonal secara bersamaan. Di mana hal ini tidak layak, prosedur alternatif di atas dapat digunakan untuk menggabungkan tanggapan independen.

35.4.4 Metode Spektrum Respon Dengan Banyak-DukunganCatatan dari gempa bumi baru-baru ini menunjukkan bahwa gerakan tanah gempa secara signifikan dapat bervariasi pada lokasi dukungan yang berbeda untuk memperbanyak dukungan pada struktur lama. Ketika perbedaan gerakan tanah yang diterapkan pada titik-titik dukungan berbagai struktur jembatan, respon total dapat dihitung dengansuperposisi tanggapan karena masukan dukungan yang independen. Analisis ini melibatkan kombinasi respon dinamis dari satu-masukan dan respon semu-statik yang dihasilkan dari gerak yang mendukung relatif terhadap satu sama lain. Efek kombinasi kekuatan dinamis dan semu-statis

berakibat eksitasi dukungan yang banyak pada sebuah jembatan yang bergantung pada konfigurasi struktural jembatan dan karakteristik gerakan tanah. Baru-baru ini, Kiureghian dkk. [7] Menyajikan studi secara komprehensiftentang spektrum respons dukungan multi-(MSRS) metode yang didasarkan pada prinsip-prinsip fundamental teori getaran stasioner acak untuk analisis gempa untuk struktur dengan dukungan yang banyak dengan perhitungan untuk efek variabilitas antara pergerakan dukungan. Menggunakan aturan kombinasi MSRS, respon sistem struktur linier mengalami eksitasi dukung  multiple dapat dihitung secara langsung dalam hal respon spectra konvensional pada tingkat dukungan kebebasan dan koherensi sebuahfungsi yang menggambarkan variabilitas spasial gerakan tanah. Perhitungan metode ini untuk tiga efek penting dari gerakan tanah variabilitas spasial, yaitu, efek inkoherensi, efek bagian gelombang, dan efek respon situs. Ketiga komponen gerakan tanah ini variabilitas spasial bisa sangat mempengaruhi respons dari jembatan dengan dukungan yang banyak dan dapat memperkuat atau deamplify respon oleh salah satu urutan magnitudo. Dua keterbatasan yang penting dari metode ini

adalah nonlinier dalamkomponen struktural jembatan dan / atau koneksi dan efek dari interaksi tanah-struktur. Ini Metode solusi yang efisien, akurat, dan fleksibel dan membutuhkansedikit  waktu komputasi kurang dari pada analisis riwayat waktu. Berikut adalah langkah-langkah yang menggambarkan prosedur analisis MSRS.

1. Tentukan kebutuhan analisis variabel dukungan gerak: Tiga faktor yang mempengaruhi respons struktur di bawah eksitasi dukungan multiple adalah jarak antara dukungan struktur, tingkat keragaman kondisi tanah lokal, dan kekakuan struktur. Faktor pertama, jarak antara pendukung, pengaruh yang inkoherensi dan bagian efek gelombang. Faktor kedua, tingkat keragaman kondisi tanah lokal, mempengaruhi respon tempat. Faktor ketiga, kekakuan superstruktur, memainkan peranan penting dalam menentukan kebutuhan akan analisis gerak variabel-dukungan.Struktur yang kakuseperti jembatan box-girder bisa menghasilkan kekuatan internal yang besar di bawah dukungan variabel gerak, sedangkan struktur fleksibel seperti jembatan suspensi mudah sesuai denganvariabel dukungan gerakan.

2. Tentukan fungsi respon frekuensi untuk setiap lokasi dukungan. Program-program seperti SHAKE [18] dapat digunakan untuk mengembangkan fungsi-fungsi ini menggunakan data sumur bor dan analisis respons tempat waktu-domain. Respon spektrum plot, perpindahan tanah maksimum dalam tiga arah ortogonal untuk setiap lokasi dukungan, dan fungsi koherensi untuk setiap pasangan derajat kebebasan diminta untuk melakukan analisis MSRS. Laporan komprehensif oleh Kiureghian[7] menyediakan semua formula yang dibutuhkan untuk menjelaskan pengaruh nonlinier dalam perilaku tanahdan frekuensi tempat yang melibatkan kedalaman batuan dasar.

3. Hitung aktivitas Struktural: seperti frekuensi modal yang efektif, rasio redaman, pengaruh koefisien dan faktor partisipasi modal yang efektif (ωi , ξ i , ak , dan bki) harus dihitung secara eksternal dan diberikan sebagai input.

4. Tentukan bidang respon spectra, perpindahan tanah maksimum dalam tiga arah, dankoherensi fungsi untuk setiap pasangan derajat dukungan kebebasan yang dibutuhkan untuk melakukan analisis MSRS: Tiga komponen fungsi koherensi yang inkoherensi, efek bagian gelombang bagian, dan tempatefek respon. Analisis oleh berbagai rekaman digunakan untuk menentukan inkoherensi komponen tersebut. Model-model untuk metode empiris yang banyak tersedia [19]. Parameter seperti kecepatan gelombang geser, arah perambatan gelombang gempa bumi, dan

sudut kejadian digunakan untuk menghitung efek bagian gelombang. Fungsi respon frekuensiditentukan dalam langkah sebelumnya yang digunakan untuk menghitung komponen respon tempat.

35.5 Analisis Dinamis Inelastik35.5.1 Persamaan Gerak

Analisis dinamik inelastik biasanya dilakukan untuk mengevaluasi pentingnyakeamanan dari jembatanyang untuk menentukan respon inelastis jembatan ketika mengalami desian pergerakan tanah gempa. Analisis dinamik inelastik memberikan respon ukuran yang realistis karena model perhitungan inelastis untuk redistribusi tindakan internal karena perilaku perpindahan komponen gaya nonlinier[20-25]. Analisis dinamik inelastik mempertimbangkan redaman nonlinear, kekakuan, deformasi beban, perilaku anggota termasuk tanah, dan sifat massa. Sebuah integrasi langkah-demi-langkah Prosedur ini adalah metode yang paling kuat yang digunakan untuk analisis dinamik nonlinier. Salah satu asumsi yang pentingprosedur ini adalah bahwa percepatan bervariasi secara linear sedangkan sifat-sifat sistem seperti redaman dan kekakuan tetap konstan selama selang waktu. Dengan menggunakan prosedur ini, sebuah sisitem nonlinier diperkirakan sebagai serangkaian sistem linier dan respon dihitung untuk serangkaian kecil interval waktu yang sama ∆t dan keseimbangan didirikan pada awal dan akhir setiap interval.

Ketepatan prosedur ini tergantung pada panjang selisih waktu ∆t. Kali iniPeningkatan harus cukup kecil untuk mempertimbangkan laju perubahan beban p(t), redaman nonlinier dan sifat kekakuan, dan periode getaran alami. Sebuah sistem SDOF dan karakteristiknya ditampilkan dalam Gambar 35,20. Karakteristik termasuk kekuatan pegas dan peredam, gaya yang bekerja pada massa sistem, dan beban yang acak. Keseimbangan gaya dapat ditampilkan sebagai

f i (t )+f d (t )+ f s ( t )=p(t)(35.73)

dan tambahan persamaan gerak untuk waktu t dapat ditampilkan sebagai

m ∆ u (t )+c (t ) Δu (t )+k (t ) Δu (t )=Δ p(t )(35.74)

Kelancaran redamanf d ( t ) , kekuatan elastis f s ( t ) yang kemudian dihitung dengan menggunakan kecepatan awal u (t ), nilai perpindahan, sifat nonlinier dari sistem, redaman, dan kekakuan untukinterval. sifat struktural baru dihitung pada awal setiap interval waktu berdasarkanpada keadaan cacat saat ini. Respon yang lengkap kemudian dihitung dengan menggunakan perpindahandan nilai-nilai kecepatan dihitung pada akhir setiap langkah waktu sebagai kondisi awal untuk interval waktu berikutnya dan mengulangi sampai waktu yang diinginkan.

35.5.2 Pemodelan PertimbanganSebuah model struktur jembatan harus memiliki tingkat yang cukup kebebasan dan pilihan yang tepat linier / elemen nonlinier sehingga respon yang realistis dapat diperoleh. Analisis non linier biasanya didahului dengan analisis linier sebagai bagian dari prosedur analisis lengkap untuk menangkap fisik daninteraksi mekanik untuk input gempa bumi dan respon struktur. Keluaran dari solusi respon linearSolusi kemudian digunakan untuk memprediksi yang nonlinier yang mempengaruhi tanggapan secara signifikan danmodel mereka secara tepat. Dengan kata lain, insinyur dapat membenarkan efek dari setiap elemen nonlinier yang

diperkenalkan di lokasi yang sesuai dan membangun kepercayaan dalam analisis nonlinier. Sementaradiskretisasi model, insinyur harus menyadari dari trade-off antara akurasi, komputasiwaktu, dan penggunaan informasi seperti daerah yang signifikan geometris dan materialnonlinier. Elemen nonlinear  harus memiliki perilaku material untuk mensimulasikan hubungan histeresisbeban siklik reverse yang diamati dalam percobaan.

Masalah umum dalam pemodelan struktur jembatan termasuk geometri, kekakuan,distribusi massa, dan batas kondisi. Dalam penyangga umum suprastruktur, penutup bents, kolom dan dinding dermaga,sendi yang ekspansif, dan pondasi mata air adalah unsur yang dimasukkan dalam model struktural. Distribusi massa dalam model struktural tergantung pada jumlah elemen yang digunakan untuk mewakilikomponen jembatan. Model ini harus mampu mensimulasikan Mode getaranseluruh komponen yang berkontribusi terhadap respon gempa bumi struktur.

Suprastruktur: suprastruktur dan bent caps biasanya dimodelkan menggunakan elemen linier elastis balok tiga dimensi. Model Detail mungkin memerlukan elemen balok nonlinier.

GAMBAR 35,20 Definisi suatu sistem dinamik nonlinier. (a) struktur dasar SDOF; (b) gaya kesetimbangan, (c)redaman nonlinier; (d) kekakuan nonlinier; (e)beban yang diterapkan.

Kolom dan dinding dermaga:Kolom dan dinding dermaga biasanya dimodelkan menggunakan elemen balok nonlinier yang memiliki sifat respon dengan permukaan hasil yang diuraikan oleh beban aksial dan lentur biaksial. Beberapa karakteristik dari perilaku kolom meliputi degradasi kekakuan awal karena beton retak, lentur menghasilkan pada akhir tetap dari kolom, pengerasan regangan, jepitan pada titik pembalikan beban. Tindakan geser dapat dimodelkan baik menggunakan hubungan deformasi beban linier maupun nonlinier untuk kolom. Untuk kolom dan dinding dermaga, torsi dapat dimodelkan dengan sifat elastis linier. Untuk out-of loading-pesawat, respon lentur dinding dermaga adalah mirip dengan kolom, sedangkan untuk di-plane loading perilaku nonlinier biasanya tindakan geser.

Ekspansi sendi: Perluasan sendi dapat dimodelkan dengan menggunakan Elemen kesenjangan yang mensimulasikan perilaku nonlinier dari sendi. Variabeltermasuk gap awal, kemampuan geser dari sendi, dan karakteristik deformasi nonlinier beban dari kesenjangan.

Pondasi dan penyangga: pondasi biasanya dimodelkan menggunakan elemen pegasnonlinier untuk mewakili kekakuan translasi dan rotasi dari pondasi untuk mewakili perilaku yang diharapkan selama gempa desain. Penyangga dimodelkan Menggunakanpegas nonlinier dan unsur unsur kesenjangan untuk mewakili tindakan tanah,kekakuan kelompok tiang, dan gap di kursi.

35.6 RingkasanBab ini telah menyajikan prinsip-prinsip dasar dan metode analisis dinamik untuk desain jembatan yang tahan gempa. Respon spektrum analisis yang SDOF atau setara SDOF berbasis analisis statik ekivalen - efisien, nyaman, dan paling sering digunakan untuk jembatan biasa dengan konfigurasi sederhana. Analisis dinamik elastis diperlukan untuk jembatan dengan konfigurasi yang rumit. Sebuah spektrum respons multisupport analisis baru-baru ini dikembangkan oleh Kiureghian dkk. [7] dengan menggunakan modus massa balok elemen terpusat dapat digunakan sebagai pengganti dari suatu analisa riwayat waktu elastis.Analisis respons spektrum inelastik adalah sebuah konsep yang berguna, namun pendekatan yang sekarang hanya berlaku untuk struktur SDOF. Sebuah nonlinier aktual analisis riwayat waktu dinamik mungkin diperlukan untuk beberapa jembatan penting dan kompleks, tetapi analisis dinamik linier (analisis kekakuan dinamik garis potong) dan analisis inelastik statis (tekanan statis-over analisis) (Bab 36) adalah alternatif terbaik[8] untuk kebanyakan jembatan.

Referensi1. Clough, RW dan Penzien, J., Dinamika Struktur, 2nd ed, McGraw

Hill., New York,1993.2. Caltrans, Pedoman Generasi Respon - Rock Sejarah Motion Spectrum

KompatibelWaktu untuk Aplikasi untuk Jembatan Tol Caltrans Seismic Retrofit Proyek, DewanPenasehat Caltrans seismik ad hoc Komite Interaksi Tanah-Foundation-Struktur,California Departemen Perhubungan, Sacramento, 1996.

3. Caltrans, Pedoman pelaksanaan Analisis Respon Site untuk aplikasi pegembangkan pergerakan Tanah Gempa untuk Jembatan Tol Caltrans Proyek renovasi gempa ,Dewan Penasehat Caltrans seismik ad hoc Komite InteraksiTanah-pondasi-Struktur, California Departemen Perhubungan, Sacramento, 1996.

4. AASHTO, LRFD Spesifikasi Desain Jembatan, Asosiasi jalan raya Negara dan Transportasi Amerika Pejabat, Washington, DC, 1994

5. AASHTO, LRFD Spesifikasi Desain Jembatan, 1996 Versi Sementara, Asosiasi jalan raya Negara dan Transportasi Amerika Pejabat, Washington, DC, 1996.

6. Wilson, E. L, der Kiureghian, A., dan Bayom, EP, Sebuah pengganti untuk metode SSRS dalam analisis gempa, J. Gempa Eng. Struct. Dyn, 9., 187, 1981.

7. Kiureghian, AE, Keshishian, P., dan Hakobian, A., Dukungan Respon Beberapa Spektrum Analisis Jembatan Termasuk Pengaruh Situs Respon dan Kode MSRS,Laporan No UCB/EERC-97/02, Universitas California, Berkeley, 1997.

8. Powell, GH, Konsep dan Prinsip bagi Aplikasi Analisis Struktur Nonlinier dalam DesainJembatan, Laporan No.UCB/SEMM-97/08, Jurusan Teknik Sipil, Universitas California,Berkeley, 1997.

9. Chmielewski, T., Kratzig, WB, Link, M., Meskouris, K., dan Wunderlich, W., Fenomenadan evaluasi respon struktur dinamis, dalam Dinamika Teknik Sipil Struktur, WB Kratzigdan H.-J. Niemann, Eds, A.A.. Balkema, Rotterdams, 1996.

10. Chopra, AK, Dinamika Struktur, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995.

11. Lindeburg, M., Desain gempa Struktur Bangunan: Pendahuluan Profesional untukkekuatan Gempa dan Detail Desain, Publikasi Profesional, Belmont, CA, 1998.

12. Caltrans, Spesifikasi Desain Jembatan, California Departemen Perhubungan,Sacramento, CA, 1991.

13. ADINA, Panduan Pengguna, Adinda R & D, Inc, Watertown, MA, 1995.14. GTSTRUDL, Panduan Pengguna, institut teknologi Georgia, Atlanta, 1996.15. SAP2000, Panduan Pengguna, Komputer dan Struktur Inc, Berkeley, CA, 1998.16. ANSYS, Panduan Pengguna, jilid. 1 dan 2, Versi 4.4, Sistem Analisis Swanson, In

c,Houston, TX,1989.17. NASTRAN, Panduan Pengguna,  Perusahaanv Schwendler MacNeal, Los

Angeles, CA.18. Idriss, IM, Sun JI, dan Schnabel, PB, petunjuk Pengguna untuk SHAKE91: progra

m komputer untuk melakukan analisis setara respon linier gempa endapan tanah horizontal berlapis, Laporan Pusat Geotechnical Modeling, Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan, universitas California di Davis, 1991.

19. Abrahamson, NA, Schneider, JF, dan Stepp, JC, Aplikas fungsi empiris koherensi spasial aplikasi untuk analisis interaksi tanah-struktur, Gempa Spectra, 7, 1991.

20. Imbsen & Associates, Desain Jembatan dan Jalan Raya tahan gempa, Sacramento, CA, 1992.

21. Priestly, MJN, Seible, F., dan Calvi, GM Desain, gempa dan Renovasi Jembatan, JohnWiley & Sons, New York, 1996.

22. Mandi, K.-J., Prosedur Elemen Hingga dalam Analisis Teknik, 2nd ed., Prentice-Hall,Englewood Cliffs, NJ, 1996.

23. ATC 32, Peningkatan Kriteria Desain gempa untuk Jembatan California: RekomendasiSementara, Dewan Teknologi Terapan, 1996.

24. Buchholdt, HA, Dinamika Struktural untuk Insinyur, Thomas Telford, London, 1997.

25. Paz, M., Dinamika Struktural Teori dan Komputasi, 3rd ed, Van Nostrand Reinhold,New York, 1991.