analisi vektor

Download Analisi Vektor

Post on 23-Nov-2015

108 views

Category:

Documents

16 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

aljabar

TRANSCRIPT

Aljabar vektor

BAB I

VEKTOR DAN SKALAR

A. PendahuluanPada bagian ini akan dibahas definisi dari scalar dan vector.Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, seperti massa, panjang, waktu, suhu dan sebarang bilangan riil. Skalar dinyatakan oleh huruf- huruf biasa seperti dalam aljabar elementer. Operasi-operasi dengan skalar mengikuti aturan- aturan yang sama seperti halnya dalam aljabar elementer.Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya. Secara grafis, vektor digambarkan sebagai sepotong garis berarah/ anak panah (directed line segment), seperti dinyatakan dalam gambar 1.1.Panjang segmen garis menyatakan besarnya, sedangkan ujung anak panah menyatakan arahnya.

Berdasarkan gambar 1.1, ujung pangkal anak panah O disebut titik asal atau titik pangkal vektor dan ujung kepala P disebut titik terminal atau terminus.

Secara analitis/ tulis, vektor dinyatakan dengan beberapa cara. Pertama, vektor dinyatakan oleh sebuah huruf baik huruf besar maupun kecil dengan anak panah di atasnya, seperti atau dalam gambar 1.1.Kedua, jika vektor dalam karya cetakan, maka dinyatakan dengan cetakan tebal seperti A atau a. Dalam handout ini akan dipergunakan notasi huruf dengan cetakan tebal. Adapun panjang/ besar vektor A atau a dinyatakan dengan (A (atau (a (.

Berdasakan besarnya, vektor dibedakan menjadi dua, yaitu

1. Vektor Nol ( Null vector )

Vektor nol adalah vektor yang besarnya nol dan dinotasikan dengan 02. Vektor Satuan ( Unit Vector )

Vektor Satuan adalah vektor yang besarnya satu

B. Aljabar vektorAljabar vektor meliputi operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian vektor dengan skalar.1. Dua vektor yang saling berlawanan arahDua vektor dikatakan saling berlawanan arah jika terdapat sebuah vektor yang arahnya berlawanan arah dengan suatu vektor a tetapi memiliki besar sama, dan dinyatakan dengan a

Gambar 1.2(b) merupakan contoh vektor saling berlawanan arah

2. Kesamaan dua vektor

Dua vektor a dan b dikatakan sama jika memenuhi tiga syarat berikut ini

a. sama panjang

b. Sejajar

c. SearahContoh

3. Penjumlahana. Cara PoligonJumlah dari vektor a dan b ( notasi a + b )adalah sebuah vektor c yang dibentuk dengan menempatkan titik awal dari b pada titik terminal a dan kemudian menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal b.Contoh

Penjumlahan vektor ini dapat diperluas ke dalam lebih dari dua vektor. (lihat gambar 1.4)

SHAPE \* MERGEFORMAT

4. Pengurangan / Selisih

Selisih vektor a dan b ( notasi a -b )adalah jumlah dari a dan b, akibatnya

a b = a +(-b)

lihat gambar 1.5 berikut

5. Perkalian vektor dengan skalar

Perkalian sebuah vektor a dengan sebuah skalar (notasi a ) adalah sebuah vektor yang sejajar dengan a dan mempunyai panjang ( a (=( (( a ( Dimana: Jika > 0, maka a searah dengan a

Jika < 0, maka a berlawanan arah dengan a

Lihat gambar 1.6 SHAPE \* MERGEFORMAT

C. Hukum- hukum aljabar vektorJika diketahui vektor- vektor a, b dan c dan skalar m dan n, maka berlaku

1. Hukum komutatif untuk penjumlahan: a + b =b+aLihat gambar 1.72. Hukum asosiatifa + ( b + c ) = (a + b )+ cLihat gambar 1.8

3. Hukum komutatif perkalian vektor dengan skalarm a = a m

4. Hukum distributif

( m + n ) a = m a + n a5. Hukum distributif

m ( a + b ) = m a + m b6. Hukum asosiatif untuk perkalian skalar m ( n a ) = ( m n ) aD. Komponen vektor dalam ruang dan bidangPada sistem sumbu koordinat x, y, z diletakkan

1. vektor satuan i pada arah sumbu x positif

2. vektor satuan j pada arah sumbu y positif

3. vektor satuan k pada arah sumbu z positif

Berdasarkan gambar 1.9, misalkan diketahui titik P(x,y,z). Di dalam ruang berdimensi tiga vektor dari titik asal O ke titik P dinamakan vektor posisi ( position vector) untuk titik P. Vektor posisi untuk titik P ditulis dengan OP atau p. Akibatnya p = OP = x i + y j + z kDimana x adalah koefisien i , y adalah koefisien j dan z adalah koefisien k. Setiap titik dalam ruang mempunyai vektor posisi.Vektor p = x i + y j + z k juga dapat ditulis sebagai p=( x,y,z).Contoh

Titik A(a1,a2,a3) mempunyai vektor posisi a = a1 i + a2 j + a3 k

Titik B(b1,b2,b3) mempunyai vektor posisi b = b1 i + b2 j + b3 k

Titik C(3,1,2) mempunyai vektor posisi c = 3 i + j + 2 kE. Aljabar vektor dalam ruang dan bidangJika diketahui vektor a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k dan m,n sebarang skalar, maka berlaku

1. Penjumlahan dua vektor

a + b = (a1 + a2 ) i + ( a2 + b2 ) j + ( a3 + b3 ) k2. Pengurangan dua vektor

a - b = (a1 - a2 ) i + ( a2 - b2 ) j + ( a3 - b3 ) k

3. Perkalian vektor dengan skalar m

m a = ( m a1) i + ( m a2 ) j + ( m a3 ) kBerdasarkan definisi kesamaan dua vektor, dua vektor a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k dikatakan sama jika hanya jika a1 = b1, a2 = b2 , a3 = b3Latihan

1. Diketahui vektor a = 2 i -3 j + 4 k , b = i + 5 j -3 k , c = 7 i - j +2 k. Tentukan: a. a b + 2 cb. 3 c -1/2( 2 a b )

2. Sebuah mobil bergerak ke arah utara sejauh 3 km, kemudian 5 km ke arah timur laut. Gambarkan perpindahan ini secara grafis

3. Buktikan bahwa diagonal-diagonal dari jajaran genjang saling berpotongan di tengah.

BAB II

HASIL KALI TITIK DAN HASIL KALI SILANGA. Hasil Kali Titik/ Dot Product/ Inner Product1. DefinisiMisalkan diberikan a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k dua vektor dalam R3. Hasil kali titik dari vektor a dan b yang dinotasikan dengan a ( b adalah

a ( b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .......................................... 2.1Sebagai catatan, hasil kali titik merupakan suatu besaran skalar.

Contoh

Tentukan a ( b jika diketahui a = 2 i + 10 j -12 k dan b = -3 i + 4 k

Penyelesaian

a ( b = -6 + 0 48 = 54

2. Sifat- sifat hasil kali titikJika a, b, c adalah vektor- vektor dalam R3 dan (, ( suatu skalar, maka berlaku

a. a ( a 0 dan a ( a = 0 jika dan hanya jika a = 0b. a ( b = b ( ac. ( (a ( b ) = ( a ( b = a ( (b = ( a ( b ) (d. a ( (b + c) = a ( b + a ( c dan (a + b) ( c = a ( c + b ( ce. Jika a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k maka a (b=a1b1+a2b2+a3b3 a ( a = ( a (2 = a1 a1 + a2 a2 + a3 a3 = a1 2 + a22+ a32

b ( b = ( b (2 = b1 b1 + b2 b2 + b3 b3 = b1 2 + b22+ b32 f. a ( b = 0 dan a , b bukan vektor nol , maka a dan b saling tegak lurus.g. Khusus untuk vektor- vektor satuan pada arah- arah positif sumbu- sumbu koordinat berlaku

i ( i = 1

j ( j = 1

k ( k = 1i i( j = j ( i = 0

j j( k = k ( j= 0

i i( k = k ( i = 0

Berdasarkan teorema Phytagoras panjang vektor a = a1 i + a2 j + a3 k adalah: (a (= ......................................................... 2.2

Akibatnya a ( a = a1 a1 + a2 a2 + a3 a3 = a1 2 + a22+ a32 = (a (2Misalkan diketahui vektor a dan b sesuai gambar 2.1 dibawah ini

Berdasarkan hukum kosinus diperoleh

(b-a (2 = (b (2 + (a (2- 2 (b ( (a ( cos ( ...................... 2.3Karena(b-a (2 = (b-a ) ( ( b-a )= b((b-a)-a((b-a)=(b ( b) (b ( a) (a ( b) + (a ( a) = b ( b + a ( a 2 ( a ( b )= (b (2 + (a (2 - 2 ( a ( b ).......................................2.4Berdasarkan persamaan 2.3 dan 2.4 diperoleh

(b (2 + (a (2 - 2 ( a ( b ) = (b (2 + (a (2- 2 (b ( (a ( cos ( ( a ( b ) = (b ( (a ( cos ( .................. 2.5

Adapun arti geometris dari persamaan 2.5 adalah sebagai berikut

Berdasarkan gambar 2.2 di atas. Diperoleh (b(cos( = panjang proyeksi b pada a (a ( b) = (a( (b(cos ( = panjang a kali panjang proyeksi b pada a ( a ( b) = (b( (a (cos ( = panjang b kali panjang proyeksi a pada bJika a = a1 i + a2 j + a3 k dan e adalah vektor satuan pada arah a maka e dapat dicari dari

Contoh

Diketahui a = -2 i + j + 3 k b = i - 4 j

c = 3 i - j + 2 k Tentukan

a) a ( b

b) (a (, (b (, (c (

c) (a + b (, (a + c (

d) (a - b ) ( c

e) 3a ( 2bf) (a + b ) ( c

g) cos (. Dimana ( merupakan sudut yang dibentuk a dan b

h) Vektor satua e pada arah a

Penyelesaian

a. a ( b = -2 4 + 0 = -6b. (a ( = =

(b ( = =

(c ( = =

c. a + b = - i -3 j + 3 k maka ( a + b ( = =

a + c = i + 5 k maka ( a + c (= =

d. Diketahui a b = -3 i +5 j + 3 k dan c = 3 i - j + 2 k maka

(a - b ) ( c = -9 -5 + 6 = -8

e. Diketahui 3a = -6 i + 3 j + 9 k dan 2b =2 i - 8 j maka3a ( 2b = -12 24 = -36f. Diketahui a + b = - i -3 j + 3 k dan c = 3 i - j + 2 k maka (a + b ) ( c = -3 + 3 +6 = 6

g.

( = arccos (-389) =112,88

h.

Latihan1. Misalkan diberikan a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 Buktikan a ( b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

2. Tentukan m sehingga a = 2 i + j + k dan b = mi -2 j -2 k saling tegak lurus3. Buktikan hukum kosinusB. Hasil kali silang/ Cross productDiberikan a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k. Hasil kali silang yang dinotasikan dengan a ( b didefinisikan sebagai vektor

a( b = ..............................2.6Adapun sifat aljabar dari hasil kali silang berdasarkan definisii di atas adalah sebagai berikut. Misalkan a , b , c adalah vektor dan m,n adalah skalar makaa. a ( b = -b ( a

b. a ( ( b + c ) = a ( b + a ( c

c. m (a ( b ) = ( m a ) ( b = a ( ( m b ) = (a ( b ) md. a ( ( m b + n c ) = m (a ( b ) + n (a ( c )

e. ( m a + n b ) ( c = m (a ( c ) + n