analisi vektor
DESCRIPTION
aljabarTRANSCRIPT
Aljabar vektor
BAB I
VEKTOR DAN SKALAR
A. PendahuluanPada bagian ini akan dibahas definisi dari scalar dan vector.Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, seperti massa, panjang, waktu, suhu dan sebarang bilangan riil. Skalar dinyatakan oleh huruf- huruf biasa seperti dalam aljabar elementer. Operasi-operasi dengan skalar mengikuti aturan- aturan yang sama seperti halnya dalam aljabar elementer.Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya. Secara grafis, vektor digambarkan sebagai sepotong garis berarah/ anak panah (directed line segment), seperti dinyatakan dalam gambar 1.1.Panjang segmen garis menyatakan besarnya, sedangkan ujung anak panah menyatakan arahnya.
Berdasarkan gambar 1.1, ujung pangkal anak panah O disebut titik asal atau titik pangkal vektor dan ujung kepala P disebut titik terminal atau terminus.
Secara analitis/ tulis, vektor dinyatakan dengan beberapa cara. Pertama, vektor dinyatakan oleh sebuah huruf baik huruf besar maupun kecil dengan anak panah di atasnya, seperti atau dalam gambar 1.1.Kedua, jika vektor dalam karya cetakan, maka dinyatakan dengan cetakan tebal seperti A atau a. Dalam handout ini akan dipergunakan notasi huruf dengan cetakan tebal. Adapun panjang/ besar vektor A atau a dinyatakan dengan (A (atau (a (.
Berdasakan besarnya, vektor dibedakan menjadi dua, yaitu
1. Vektor Nol ( Null vector )
Vektor nol adalah vektor yang besarnya nol dan dinotasikan dengan 02. Vektor Satuan ( Unit Vector )
Vektor Satuan adalah vektor yang besarnya satu
B. Aljabar vektorAljabar vektor meliputi operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian vektor dengan skalar.1. Dua vektor yang saling berlawanan arahDua vektor dikatakan saling berlawanan arah jika terdapat sebuah vektor yang arahnya berlawanan arah dengan suatu vektor a tetapi memiliki besar sama, dan dinyatakan dengan a
Gambar 1.2(b) merupakan contoh vektor saling berlawanan arah
2. Kesamaan dua vektor
Dua vektor a dan b dikatakan sama jika memenuhi tiga syarat berikut ini
a. sama panjang
b. Sejajar
c. SearahContoh
3. Penjumlahana. Cara PoligonJumlah dari vektor a dan b ( notasi a + b )adalah sebuah vektor c yang dibentuk dengan menempatkan titik awal dari b pada titik terminal a dan kemudian menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal b.Contoh
Penjumlahan vektor ini dapat diperluas ke dalam lebih dari dua vektor. (lihat gambar 1.4)
SHAPE \* MERGEFORMAT
4. Pengurangan / Selisih
Selisih vektor a dan b ( notasi a -b )adalah jumlah dari a dan b, akibatnya
a b = a +(-b)
lihat gambar 1.5 berikut
5. Perkalian vektor dengan skalar
Perkalian sebuah vektor a dengan sebuah skalar (notasi a ) adalah sebuah vektor yang sejajar dengan a dan mempunyai panjang ( a (=( (( a ( Dimana: Jika > 0, maka a searah dengan a
Jika < 0, maka a berlawanan arah dengan a
Lihat gambar 1.6 SHAPE \* MERGEFORMAT
C. Hukum- hukum aljabar vektorJika diketahui vektor- vektor a, b dan c dan skalar m dan n, maka berlaku
1. Hukum komutatif untuk penjumlahan: a + b =b+aLihat gambar 1.72. Hukum asosiatifa + ( b + c ) = (a + b )+ cLihat gambar 1.8
3. Hukum komutatif perkalian vektor dengan skalarm a = a m
4. Hukum distributif
( m + n ) a = m a + n a5. Hukum distributif
m ( a + b ) = m a + m b6. Hukum asosiatif untuk perkalian skalar m ( n a ) = ( m n ) aD. Komponen vektor dalam ruang dan bidangPada sistem sumbu koordinat x, y, z diletakkan
1. vektor satuan i pada arah sumbu x positif
2. vektor satuan j pada arah sumbu y positif
3. vektor satuan k pada arah sumbu z positif
Berdasarkan gambar 1.9, misalkan diketahui titik P(x,y,z). Di dalam ruang berdimensi tiga vektor dari titik asal O ke titik P dinamakan vektor posisi ( position vector) untuk titik P. Vektor posisi untuk titik P ditulis dengan OP atau p. Akibatnya p = OP = x i + y j + z kDimana x adalah koefisien i , y adalah koefisien j dan z adalah koefisien k. Setiap titik dalam ruang mempunyai vektor posisi.Vektor p = x i + y j + z k juga dapat ditulis sebagai p=( x,y,z).Contoh
Titik A(a1,a2,a3) mempunyai vektor posisi a = a1 i + a2 j + a3 k
Titik B(b1,b2,b3) mempunyai vektor posisi b = b1 i + b2 j + b3 k
Titik C(3,1,2) mempunyai vektor posisi c = 3 i + j + 2 kE. Aljabar vektor dalam ruang dan bidangJika diketahui vektor a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k dan m,n sebarang skalar, maka berlaku
1. Penjumlahan dua vektor
a + b = (a1 + a2 ) i + ( a2 + b2 ) j + ( a3 + b3 ) k2. Pengurangan dua vektor
a - b = (a1 - a2 ) i + ( a2 - b2 ) j + ( a3 - b3 ) k
3. Perkalian vektor dengan skalar m
m a = ( m a1) i + ( m a2 ) j + ( m a3 ) kBerdasarkan definisi kesamaan dua vektor, dua vektor a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k dikatakan sama jika hanya jika a1 = b1, a2 = b2 , a3 = b3Latihan
1. Diketahui vektor a = 2 i -3 j + 4 k , b = i + 5 j -3 k , c = 7 i - j +2 k. Tentukan: a. a b + 2 cb. 3 c -1/2( 2 a b )
2. Sebuah mobil bergerak ke arah utara sejauh 3 km, kemudian 5 km ke arah timur laut. Gambarkan perpindahan ini secara grafis
3. Buktikan bahwa diagonal-diagonal dari jajaran genjang saling berpotongan di tengah.
BAB II
HASIL KALI TITIK DAN HASIL KALI SILANGA. Hasil Kali Titik/ Dot Product/ Inner Product1. DefinisiMisalkan diberikan a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k dua vektor dalam R3. Hasil kali titik dari vektor a dan b yang dinotasikan dengan a ( b adalah
a ( b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .......................................... 2.1Sebagai catatan, hasil kali titik merupakan suatu besaran skalar.
Contoh
Tentukan a ( b jika diketahui a = 2 i + 10 j -12 k dan b = -3 i + 4 k
Penyelesaian
a ( b = -6 + 0 48 = 54
2. Sifat- sifat hasil kali titikJika a, b, c adalah vektor- vektor dalam R3 dan (, ( suatu skalar, maka berlaku
a. a ( a 0 dan a ( a = 0 jika dan hanya jika a = 0b. a ( b = b ( ac. ( (a ( b ) = ( a ( b = a ( (b = ( a ( b ) (d. a ( (b + c) = a ( b + a ( c dan (a + b) ( c = a ( c + b ( ce. Jika a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k maka a (b=a1b1+a2b2+a3b3 a ( a = ( a (2 = a1 a1 + a2 a2 + a3 a3 = a1 2 + a22+ a32
b ( b = ( b (2 = b1 b1 + b2 b2 + b3 b3 = b1 2 + b22+ b32 f. a ( b = 0 dan a , b bukan vektor nol , maka a dan b saling tegak lurus.g. Khusus untuk vektor- vektor satuan pada arah- arah positif sumbu- sumbu koordinat berlaku
i ( i = 1
j ( j = 1
k ( k = 1i i( j = j ( i = 0
j j( k = k ( j= 0
i i( k = k ( i = 0
Berdasarkan teorema Phytagoras panjang vektor a = a1 i + a2 j + a3 k adalah: (a (= ......................................................... 2.2
Akibatnya a ( a = a1 a1 + a2 a2 + a3 a3 = a1 2 + a22+ a32 = (a (2Misalkan diketahui vektor a dan b sesuai gambar 2.1 dibawah ini
Berdasarkan hukum kosinus diperoleh
(b-a (2 = (b (2 + (a (2- 2 (b ( (a ( cos ( ...................... 2.3Karena(b-a (2 = (b-a ) ( ( b-a )= b((b-a)-a((b-a)=(b ( b) (b ( a) (a ( b) + (a ( a) = b ( b + a ( a 2 ( a ( b )= (b (2 + (a (2 - 2 ( a ( b ).......................................2.4Berdasarkan persamaan 2.3 dan 2.4 diperoleh
(b (2 + (a (2 - 2 ( a ( b ) = (b (2 + (a (2- 2 (b ( (a ( cos ( ( a ( b ) = (b ( (a ( cos ( .................. 2.5
Adapun arti geometris dari persamaan 2.5 adalah sebagai berikut
Berdasarkan gambar 2.2 di atas. Diperoleh (b(cos( = panjang proyeksi b pada a (a ( b) = (a( (b(cos ( = panjang a kali panjang proyeksi b pada a ( a ( b) = (b( (a (cos ( = panjang b kali panjang proyeksi a pada bJika a = a1 i + a2 j + a3 k dan e adalah vektor satuan pada arah a maka e dapat dicari dari
Contoh
Diketahui a = -2 i + j + 3 k b = i - 4 j
c = 3 i - j + 2 k Tentukan
a) a ( b
b) (a (, (b (, (c (
c) (a + b (, (a + c (
d) (a - b ) ( c
e) 3a ( 2bf) (a + b ) ( c
g) cos (. Dimana ( merupakan sudut yang dibentuk a dan b
h) Vektor satua e pada arah a
Penyelesaian
a. a ( b = -2 4 + 0 = -6b. (a ( = =
(b ( = =
(c ( = =
c. a + b = - i -3 j + 3 k maka ( a + b ( = =
a + c = i + 5 k maka ( a + c (= =
d. Diketahui a b = -3 i +5 j + 3 k dan c = 3 i - j + 2 k maka
(a - b ) ( c = -9 -5 + 6 = -8
e. Diketahui 3a = -6 i + 3 j + 9 k dan 2b =2 i - 8 j maka3a ( 2b = -12 24 = -36f. Diketahui a + b = - i -3 j + 3 k dan c = 3 i - j + 2 k maka (a + b ) ( c = -3 + 3 +6 = 6
g.
( = arccos (-389) =112,88
h.
Latihan1. Misalkan diberikan a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 Buktikan a ( b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
2. Tentukan m sehingga a = 2 i + j + k dan b = mi -2 j -2 k saling tegak lurus3. Buktikan hukum kosinusB. Hasil kali silang/ Cross productDiberikan a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k. Hasil kali silang yang dinotasikan dengan a ( b didefinisikan sebagai vektor
a( b = ..............................2.6Adapun sifat aljabar dari hasil kali silang berdasarkan definisii di atas adalah sebagai berikut. Misalkan a , b , c adalah vektor dan m,n adalah skalar makaa. a ( b = -b ( a
b. a ( ( b + c ) = a ( b + a ( c
c. m (a ( b ) = ( m a ) ( b = a ( ( m b ) = (a ( b ) md. a ( ( m b + n c ) = m (a ( b ) + n (a ( c )
e. ( m a + n b ) ( c = m (a ( c ) + n (b ( c )
f. i ( i = j ( j = k ( k = 0i ( j = k
j (k = ik (i = j
Gambar 2.3 dapat digunakan untuk membantu mengingat sifat 6.Selanjutnya misalkan a = a1i + a2 j + a3 k dan b =b1 i +b2 j +b3 k, maka berdasarkan berdasarkan persamaan 2.6 diperoleh( a ( b (2 = + +
=( a2 b3 a3 b2 )2 + ( a1 b3 a3 b1 )2 + ( a1 b2 a2 b1 )2
= (a1 2 + a22+ a32) (b1 2 + b22+ b32) ( a1 b1 +a2 b2 + a3 b3)2 = ( a (2 ( b (2 - ( a ( b )2
= ( a (2 ( b (2 - ( a (2 ( b (2 cos2(
= ( a (2 ( b (2 sin2( ......................................................2.7dimana ( adalah sudut yang dibentuk oleh a dan b. Berdasarkan persamaan 2.7, dapat disimpulkan bahwa a ( b adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang memuat a dan b dengan panjang ( a ( ( b ( ( sin(( .Terdapat dua kemungkinan vektor yang memenuhi kondisi ini, karena ada dua pilihan arah yang tegak lurus ( normal ) terhadap bidang P yang memuat a dan b.
Berdasarkan gambar 2.4 jelas menunjukan dua pilihan n1 dan n2 yang tegak lurus terhadap P dengan ( n1 ( =( -n1 ( = ( a ( ( b ( ( sin(( .Selanjutnya vektor mana yang mewakili a ( b, n1 atau n2. Berdasarkan k (i = j maka vektor tersebut adalah vektor tersebut adalah n1.Sebenarnya ada cara yang praktis untuk menentukan arah n1 yang mewakili a ( b dalam berbagai posisi. Cara tersebut yang dikenall dengan kaidah tangan kanan. Adapun caranya adalah gunakan telapak tangan kanan sedemikian sehingga melengkung dari a ke b melaluii sudut (, Maka ujung ibu jari menunjukkan arah dari a ( b. Akibatnya jika urutan verktor dibalik yaitu dari b ke a maka diperoleh - a ( b, dengan kata lain arahnya berlawanan.Berdasarkan gambar 2.4 terlihat bahwa b sin ( merupakan tinggi jajaran genjang yang dilukiskan oleh a dan b dan ( a ( merupakan panjang alas jajaran genjang yang dilukiskan oleh a dan b. Oleh karena itu diperoleh
( a ( b (= ( a ( ( b ( ( sin(( = Luas jajaran genjang yang dilukiskan oleh a dan bJadi dapat disimpulkan bahwa a ( b merupakan vektor yang tegak lurus pada a dan b yang besarnya samadengan luas jajaran genjang yang dilukiskan oleh a dan bSelain menggunakan kaidah tangan kanan, arah a ( b dapat diibaratkan seperti arah maju sekrup putar kanan yaitu sekrup diputar dari a ke b.ContohDiketahui a = 2 i - 3 j k dan b = i + 4 j -2 k. Tentukan a. a ( bb. b ( ac. ( a + b ) ( ( a b )Penyelesaian
a. a ( b =
= 10 i + 3 j +11 kb. b ( a= - a ( b = - (10 i + 3 j +11 k )
c. a + b = 3 i + j 3 ka b= i - 7 j k( a + b ) ( ( a b )=
= ( -1-21) i (3+3) j + (-21-1) k
=-22 i -6 j 22 kSelain enam sifat tersebut di atas, masih ada satu sifat yang juga tidak kalah penting yaitu jika a , b , c adalah vektor maka sifat assosiatif tidak berlaku.a ( ( b ( c ) ( (a ( b )( c Latihan
1. Diketahui a = 3 i - j + k dan b = i + 2 j k. Tentukan
a. a ( b
b. ( a + b ) ( ( a b )2. Jika a = 3 i - 2 j + 2 k , b = 2 i + j k dan a = i 2 j + 2 k , tentukan
a. a ( b
b. b ( c
c. a ( ( b ( c )
3. Buktikan a ( b =
C. Hasil Kali Tripel SkalarJika diketahui tiga vektor yaitu a = a1 i +a2 j +a3 k , b =b1 i +b2 j + b3 k dan c = c1 i +c2 j +c3 k. Selanjutnya didefinisikan Hasil Kali Tripel Skalar dari vektor a, b dan c sebagi berikut a ( ( b ( c ) yang dinotasikan dengan [ a, b , c ]Berdasarkan persamaan 2.1 dan 2.6 maka diperoleh
a ( ( b ( c ) = a (
= (a1 i +a2 j +a3 k) ( { ( b2c3 - b3 c2 ) i ( b1c3 - b3 c1 ) j + ( b1c2 b2c1 ) k= a1( b2c3 - b3 c2 ) - a2 ( b1c3 - b3 c1 ) + a3( b1c2 b2c1 )
=
Jadi diperoleh rumusan sebagai berikuta ( ( b ( c ) =
2.8
Berdasarkan sifat determinan maka diperoleh
[ a, b , c ] = [c , a, b ] = [ b , c , a ] 2.9
Gambar 2.5 berikut dapat dipergunakan untuk memahami persamaan 2.9.Latihan1. Diketahui vektor-vektor a= 3i - j + 2 k, b= 2 i + j k dan c= i - j +2 k a). Tunjukkan bahwa [ a, b , c ] = [c , a, b ] = [ b , c , a ] b). Tunjukkan a ( ( a ( c ) = 02. Diketahui a = a1i + a2 j + a3k, b =b1 i +b2 j +b3 k, dan c = c1i + c2 j + c3k
Buktikan bahwa: (a). [ a, b , c ] = [c , a, b ] = [ b , c , a ]
(b). a ( ( a ( c ) = 0 (c). ax(b+c) = axb + axc
D. Hasil Kali Tripel VektorJika diketahui tiga vektor yaitu a = a1 i +a2 j +a3 k , b =b1 i +b2 j + b3 k dan c = c1 i +c2 j +c3 k. Selanjutnya didefinisikan Hasil Kali Tripel vektor dari vektor a, b dan c sebagi berikut
a ( ( b ( c ) atau ( a ( b ) ( c Adapun definisi kedua rumusan tersebut adalah
a((b(c ) = ( a ( c ) b - ( a ( b ) c 2.10(a(b)(c = ( a ( c ) b - (b ( c ) a 2.11 Berdasarkan rumus 2.10 dan 2.11 di atas tampak bahwa ruas kanan adalah kombinasi linear vektor- vektor di dalam kurung di ruas kiri dengan koefisien- koefisien kombinasi linear adalah dot product vektor di luar kurung dengan vektor di dalam kurung, dimulai dengan dua vektor yang berjauhan.Berdasarkan rumus 2.10 dan 2.11. dapat disimpulkan bahwa Hasil Kali Tripel vektor dari vektor tidak berlaku sifat assosiatif.
a ( ( b ( c ) ( ( a ( b ) ( c
Adapun rumus-rumus pengembangan yang melibatkan empat vektor a, b , c dan d adalah sebagai berikut
( a( b ) ( ( c(d ) = ( a( c ) ( b ( d ) - ( a ( d ) ( b ( c ) 2.12( a(b ) x ( c(d ) = [ a, c , d ] b - [ b, c , d ] a 2.13( a(b ) x ( c(d ) = [ a, b , d ] c - [ a, b , c ] d 2.14
Selanjutnya berdasarkan persamaan 2.13 dan 2.14 diperoleh
[ a, b , c ] d = [ d, b , c ] a + [ d, c , a ] b +[ d, a , b] c
ContohDiketahui vektor- vektor a= 3i - j + 2 k, b= 2 i + j k , c= i - j +2 k dan d = 2 i + 3 j + 5 k. Tentukan a. a ( ( b ( c ) dan ( a ( b ) ( c
b. ( a ( b ) ( ( c ( d )c. ( a ( b ) x ( c ( d )Penyelesaian
a. a ( ( b ( c ) = ( a ( c ) b - ( a ( b ) c= ( 3 + 1 +4 ) b -( 6 -1 2 ) c= 8 b -3 c= 8 (2 i + j k ) -3 (i - j +2 k )
= 13i + 11 j -10 k( a ( b ) ( c = ( a ( c ) b - (b ( c ) a
= ( 3 + 1 +4 ) b ( 2 2 2 ) a= 8 b + 2 a= 8 (2 i + j k ) + 2 (3i - j + 2 k )
= 22 i + 6 j 4 kb. ( a ( b ) ( ( c ( d ) = ( a ( c ) ( b ( d ) - ( a ( d ) ( b ( c ) = (8) (4) (13) (2)
= 58
d. ( a ( b ) x ( c ( d ) = [ a, b , d ] c - [ a, b , c ] d
dimana[ a, b , d ] =
=
= 3(8) + 12 + 2 (4)= 44
[ a, b , c ] =
=
= (1)(3) + (5)(1) + (-3)(2)
=2
Jadi
( a ( b ) x ( c ( d ) = [ a, b , d ] c - [ a, b , c ] d
= 44 c 2 d
= 44 (i - j +2 k ) 2 (2 i + 3 j + 5 k)
= 40 i 50 j +78 k Latihan
1. Diketahui vektor2: a=i - 2 j - 3 k, b=2 i + j k, c= i +3 j -2 kTentukan
a. ( a ( ( b ( c ) ( dan ( ( a ( b ) ( c ) (b. a ( ( b ( c )c. ( a ( b ) ( c )d. ( a ( b ) x ( b ( c ) e. ( a ( b ) ( b ( c ) 2. Buktikan persamaan 2.10 dan 2.11
3. Buktikan a ( ( b ( c ) + b ( ( c ( a ) + c ( ( a ( b ) = 0BAB III
DIFFERENSIAL3.1 Turunan Biasa dari vektorMisalkan R(u) suatu vektor yang tergantung pada variabel skalar tunggal u.Maka
....................................................... 3.1
dimana (u menunjukan suatu pertambahan dalam u. Lihat gambar di bawah ini.
Akibatnya turunan biasa dari vektor R(u) terhadap skalar u adalah
............................... 3.2
jika limitnya ada.3.2 Kurva kurva ruangJika r(u) vektor posisi dari sebarang titik (x,y,z) yang tergantung pada variabel skalar tunggal u. Maka r = x(u) i + y(u) j + z(u) k, dimana x,y dan z dianggap sebagai fungsi u. Berdasarkan persamaan 3.1 diperoleh
..............................................................3.3
Akibatnya berdasarkan persamaan 3.2 diperoleh
Karena r = x(u) i + y(u) j + z(u) k , akibatnya diperoleh
Jadi
................................... 3.4
Karena merupakan fungsi vektor terhadap u, maka dapat dicari dst.
Jika u merupakan waktu maka merupakan kecepatan dan merupakan percepatan.contoh
1. Diketahui a = 5t2 i + sin 3t j + e4t k . tentukan dan
2. Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva dengan persamaan parameter
x = 4t esin 2t , y = cos 3t2 dan z = 5t3.
a. tentukan kecepatan dan percepatan pada sembarang waktu
b. tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t =0
Penyelesaian
1. Diketahui a = 5t2 i + sin 3t j + e4t k maka
= 10t i + 3cos 3t j + 4e4t k
= 10 i 9sin 3t j + 16e4t k
2. Diketahui persaman parameter x = 4t esin 2t , y = cos 3t2 dan z = 5t3. maka diperoleh vektor posisi dari (x,y,z) sebagai berikut
r = 4t esin 2t i + cos 3t2 j + 5t3 k
akibatnya diperoleh
a. v (t)== (4 esin 2t+8t cos2t esin 2t) i - 6t sin 3t2 j + 15t2 k
a (t)== {4esin 2tcos 2t. (2) + (8 cos2t + [8t. (-sin2t).2)esin2t + 8tcos2t esin 2tcos2t.2) i (6 sin 3t2+6tcos3t2.6t) j + 30t k
= b. v (o) = 4i dan a (t)= 16 i 3.3 Rumus- rumus diferensiasiJika A, B, dan C adalah fungsi fungsi vektor dari variabel skalar tunggal u yang differensiabel dan ( suatu fungsi skalar dari u yang differensiabel maka diperoleh rumus-rumus differensiasi fungsi vektor sebagai berikut
a. ( A+ B ) = A + Bb. ( A( B ) = A( B + (A)( B
c. ( A ( B ) = A ( B + (A) ( B
d. (( A ) = ( A +( Ae. (A( (B ( C))= A( (B (C)+A((B ( C) + ( A)( (B ( C)
f. (A ((B(C)) = A( (B(C) + A( (B ( C) + ( A) ( (B ( C)
g. ( A (B )(C =( A ( B )(C+ (A( B )( C + ((A)( B )( CBukti
1. ( A+ B ) = A + B
Bukti
Misalkan A = a1(u) i + a2(u) j + a3(u) k B = b1(u) i + b2(u) j + b3 k
( A+ B )= [{ a1(u)+ b1(u)} i+{ a2(u)+ b2(u)} j +{a3(u)+ b3(u)} k ]
= { a1(u)+ b1(u)} i +{ a2(u)+ b2(u)} j + {a3(u)+ b3(u)} k
={ a1(u)+ b1(u)} i + { a2(u)+ b2(u)} j +{a3(u)+b3(u)} k
={a1(u) i +a2(u)j+a3(u) k}+ {b1(u) i +b2(u)j+b3(u) k}
= A + B2. ( A( B ) = A( B + A( B
Bukti
Misalkan A = a1(u) i + a2(u) j + a3(u) k dan A = b1(u) i + b2(u) j + b
( A( B ) = {a1(u) b1(u) + a2(u) b2(u) + a3(u) b3(u)}
= { a1(u) b1(u)}+ { a2(u) b2(u)}+ { a3(u) b3(u)}
= {a1(u) b1(u)+ [a1(u)] b1(u)}+{a2(u)b2(u)+ [a2(u)] b2(u)}+ { a3(u) b3(u)+ [a3(u)] b3(u)}
= { a1(u) b1(u)+ a2(u) b2(u)+ a3(u) b3(u)}+ { [a1(u)] b1(u)}+ [a2(u)] b2(u) + [a3(u)] b3(u)}
= A( B + A( B
Contoh
Diketahui A = 5t2 i + sin 3t j + e4t k , B = sin t i - cos 5t j , C = 3t2 i + t j + t3 k dan ( = 4te2tTentukan ( A( B ), ( A ( B ), (( A ), A( ( B ( C ).
Penyelesaian
a. ( A( B ) = A( B + A( B
= {(5t2 i + sin 3t j + e4t k) ( (cos t i +5 sin 5t j)} +{ (10t i + 3cos 3t j + 4e4t k) ( ( sin t i - cos 5t j ) }
= {5t2 cos t+ 5sin 3t sin 5t }+ { 10t sin t - 3cos 3t cos 5t }b. ( A ( B )= A ( B + A ( BA ( B = -e4t 5 sin 5t i + e4t cos t j +( 25 t2 sin 5t- sin 3t cos t ) k
A ( B = 4e4t cos 5t i + 4e4t sin t j + ( -10t cos 5t-3cos 3t sin t) k
( A ( B )= (-e4t 5 sin 5t + 4e4t cos 5t ) i + (e4t cos t + 4e4t sin t) j + {( 25 t2 sin 5t- sin 3t cos t ) + ( -10t cos 5t-3cos 3t sin t) } k
c. (( A ) = ( A +( A= (4te2t) (10t i + 3cos 3t j + 4e4t k) + (4e2t+8te2t)( 5t2 i + sin 3t j + e4t k)= {40t2 e2t+20t2 e2t+40t3 e2t}i + { 12te2tcos 3t + 4e2t sin 3t + 8te2t sin 3t } j + {16te2t e4t+4e2t e4t+8te2t e4t) k
= {40t2 e2t+20t2 e2t+40t3 e2t}i + { 12te2tcos 3t + 4e2t sin 3t + 8te2t sin 3t } j + (24te6t + 4e6t) k
d. (A((B(C) = A( (B (C) + A( (B ( C ) + A( (B ( C )
= {(5t2 i + sin 3t j + e4t k ) ( (-3t2 cost i - 3t2 sint j + (sint + 6t cost ) k} + {(5t2 i + sin 3t j + e4t k ) ( (5t3 sin t i - t3 cost j + (t cost 15 3t2 sint ) k }+ { (10t i + 3cos 3t j + 4e4t k) ( (t3 cost i - t3 sin t j + ( t sin t + 3 t2 cost ) k= { -15t4 cos t - 3t2sin 3t sint + e4t(sint + 6t cost )} + { 25t5 sin t - t3 cost sin 3t + e4t(t cost 15 3t2 sint )}+{ 10 t4 cost - 3 t3cos 3t sin t +4e4t( t sin t + 3 t2 cost )Latihan1. Jika A dan B adalah fungsi vektor dari variabel skalar tunggal u yang differensiabel. Buktikan bahwa ( A ( B ) = A ( B + A ( B
2. Vektor kedudukan dari sebuah partikel yang bergerak diberikan oleh r = cos(t i + sin (t j dimana ( merupakan suatu konstanta. Tunjukkan bahwa
a. Kecepatan v dari partikel tegak lurus terhadap rb. Percepatan a arahnya menuju titik asal dan besarnya sebanding dengan jarak ke titik asal.
c. Tunjukkan bahwa r ( v merupakan vektor konstan
3. Buktikan bahwa A ( B - A ( B = ( A ( B - A ( B)3.4 Turunan parsial dari vektor- vektorJika A adalah sebuah vektor yang tergantung pada lebih dari satu variabel skalar, misalnya variabel x,y dan z, maka vektor A dapat ditulis sebagai
A = A (x,y,z)
Turunan parsial dari A terhadap x, terhadap y dan terhadap z adalah
=
=
=
Sebagaimana telah dipelajari di kalkulus, turunan yang lebih tinggi dapat didefinisikan sebagai berikut
= (), = () , = ()
= () , = () , = ()
Adapun aturan aturan untuk turunan parsial dari vektor- vektor mirip dengan yang dipelajari di kalkulus. Jadi jika A dan B dalah fungsi- fungsi vektor dari variabel skalar x,y dan z, maka
a. ( A( B) = A( B + A( B
b. ( A ( B ) = A ( B + A ( B
c. ( A( B) = {(A( B)}= { A( B + A( B }
Contoh
Diketahui A = ( 2x2y - x4 ) i + ( exy-y sinx ) j + x2cosy k. Tentukan , , ,
Penyelesaian
=( 4xy - 4x3 ) i + ( yexy-y cosx ) j + 2xcosy k
= 2x2 i + ( xexy- sinx ) j - x2siny k
= ( 4y - 12x2 ) i + ( y2 exy+ y sinx ) j + 2cosy k
= 4x i + ( xyexy- cosx ) j - 2xsiny kBAB IV
GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL4.1 Operator Del atau Nabla
Pada awal pembahasan bab ini, akan diperkenalkan terlebih dahulu tentang suatu operator Del atau Nabla.Adapun notasi untuk operator del tersebut adalah ( dengan definisi sebagai berikut:
( = i +j +k ...........................................................4.1
Pada persamaan 4.1 di atas menunjukkan ( merupakan suatu vektor, akibatnya memiliki sifat sifat sama dengan sifat- sifat vektor yang sudah dibahas pada bab terdahulu.
Adapun manfaat dari operator del tersebut adalah digunakan pada pembahasan tentang gradien, divergensi dan curl.
4.2 Gradien
Misalkan ((x,y,z) fungsi skalar yang terdefinisi dan differensiabel pada tiap- tiap titik (x,y,z) dalamsuatu daerah tertentu dari ruang. Gradien (, ditulis (( atau grad ( didefinisikan sebagai
((= (i +j +k ) (
= i +j +k
= (,,) .............................................................4.2
Contoh
Diketahui fungsi skalar f (x,y,z) = 2x + 3y2 sin z dan g (x,y,z) = 3x2y y3z2. Tentukan
a. (f dan (gb. (( f + g )
c. (( f g )Jawab
a. (f = i +j +k = 2 i + 6y j + cos z k
(g= i +j +k = 6xy i + (3x2 3y2z2 ) j 2y3z k
b. f + g = 2x + 3y2 sin z + 3x2y y3z2(( f + g ) = (2 + 6xy) i + (6y + 3x2 3y2z2 ) j + (cos z 2y3z ) k
c. f g = (2x + 3y2 sin z ) (3x2y y3z2)
= 6x3y + 9x2y2 - 3x2 sin z - 2x y3z2 - 3y4z2 + y3z2 sin z
(( f g ) = (18x2y + 18xy2 - 6x sin z - 2 y3z2) i + (6x3 + 18x2y - 6x y2z2 - 12y3z2 + 3y2z2 sin z) j +(-3x2 cos z - 4x y3z - 6y4z + 2y3z sin z + y3z2 cos z )kSifat- sifatSelanjutnya akan dibahas sifat- sifat gradien. Jika diketahui f (x,y,z) dan g(x,y,z) fungsi- fungsi skalar yang terdefinisi dan terdifferensial pada tiap- tiap (x,y,z)pada daerah tertentu di ruang, maka berlaku a. (( f + g ) = (f + (g b. (( f g ) = f (g + g ( f Bukti
a. (( f + g ) = (i +j +k ) ( f + g )
= i +j +k
= (+) i + ( +) j + ( + )k
= (i+ j + k ) + ( i + j + k )
= { (i +j +k ) f }+ {(i +j +k ) g }
= (f + (gb. (( f g) = (i +j +k ) ( f g )
= i +j +k
= (f + g) i + (f + g) j + (f + g) k
= (f i + f j + f k ) + ( g i + g j + gk )
= f ( i + j + k ) + g ( i + j + k )
= f (i +j +k ) g + g (i +j +k ) f = f (g + g ( f 4.3 DivergensiMisalkan A = a1i + a2j + a3k fungsi vektor yang terdefinisi dan terdifferensial dalam suatu daerah tertentu dari ruang. Maka divergensi dari A ditulis ( ( A didefinisikan sebagai berikut
( ( A = (i +j +k ) ( (a1i + a2j + a3k )
= + + .................................................. 4.3
Contoh
1. Diketahui fungsi vektor A = x2 z i 2 y3 z2 j + x y2 z k . Tentukan ( ( A pada titik (1,-1,1).
2. Diketahui suatu fungsi skalar ( = 2 x3 y2z4 . Tentukan ( ( (( Penyelesaian1. (( A = + +
= 2x z 6 y2 z2 + x y2 2. (( = (i +j +k ) (= i +j +k
= 6 x2 y2z4 i+ 4 x3 yz4 j + 8 x3 y2z3 k
(((( = + +
= 12 x y2z4+ 4 x3 z4 + 24 x3 y2z2 Sifat-sifatSelanjutnya akan dibahas sifat- sifat divergensi. Misalkan A (x,y,z) = a1i + a2j + a3k , B (x,y,z) = b1i + b2j + b3k fungsi fungsi vektor dan ((x,y,z) fungsi skalar yang terdefinisi dan differensiabel pada tiap- tiap titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dari ruang.
a. ( ( ( A + B ) = ( ( A + ( ( B atau div ( A + B ) = div A + div B
b. ((((A) = (( ( A + ( (( ( A )
c. (((( = (2(= + +
Dengan + + disebut operator Laplace
Bukti
a. ( ( ( A + B ) = (i +j +k ) ( [( a1+ b1) i+ ( a2+ b2) j + (a3+ b3) k ]
= ( + + )
= (+) + (+) +(+)
= ( + + ) + ( + + )
= (i +j +k ) ( A + (i +j +k ) ( B
= ( ( A + ( ( B
b. ( ( ((A ) = (i +j +k ) ( ((a1i +(a2j + (a3k )
= ( + + )
= ( ( + a1 ) + ( ( + a2 ) + ( ( + a3 ) = (a1 + a2 + a3) + (( + ( + ( )
= {( a1i + a2j + a3k ) ( ( i + a2 j + a3k )}+ ( (++)
= (( ( A + ( (( ( A )
c. ((((= (( (i +j +k )
= () +() +()
= i +j +k = (2(Latihan
1. Misalkan U dan V adalah fungsi- fungsi skalar. Buktikan bahwa
((( U (V V (U) = U (2V - V (2U
2. Hitunglah divergensi dari fungsi vektor berikut
a. F (x,y,z) = exy i + cos(x+y) j + xy2 z k
b. G(x,y,z) = ( x2 + 2xy3 + z) ( 3 i - 4j +k )
4.4 Curl/ RotasiMisalkan A = a1i + a2j + a3k fungsi vektor yang terdefinisi dan terdifferensial dalam suatu daerah tertentu dari ruang. Maka Curl A atau Rotasi A yang dinotasikan dengan Curl A Atau Rot A atau ( X A didefinisikan dengan( X A = (i +j +k ) X (a1i + a2j + a3k )
=
= i - j + k
= (- ) i (-) j + (-) k .............. 4.4
Contoh
1. Misalkan A = xz3 i 2x2yz j + 2yz 4 k. Tentukan curl A pada titik (1,-1,1)
2. Jika A = x2y i 2xz j + 2yz k . Tentukan curl dari curl A
Penyelesaian1. ( X A = (i +j +k ) X (xz3 i 2x2yz j + 2yz 4 k )
=
= (- ) i (-) j+(-) k= (2z 4 + 2x2y ) i + (3xz2 ) j 4xyz k2. curl curl A = ( X (( X A)
= ( X
= ( X [ ( 2x + 2z ) i ( x2 + 2z ) k ]
=
= ( 2x +2 ) jSifat- sifatMisalkan A (x,y,z) = a1i + a2j + a3k , B (x,y,z) = b1i + b2j + b3k fungsi fungsi vektor dan ((x,y,z) fungsi skalar yang terdefinisi dan differensiabel pada tiap-tiap titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dari ruang. Maka berlaku sifat:a. ( X ( A + B ) = ( X A + ( X B
b. ( X ((A ) = ( (( ) X A + ( (( X A )c. ( X ( (( ) = 0Bukti
a. (X(A + B) =(i +j +k ) X( (a1+b1) i+( a2+ b2) j+(a3+ b3) k )
=
= (- ) i (-) j + (-) k
= ((+)-(+))i ((+)-(-)) j + ((+) (+)k= ((-)+(-))i - ((-) + (-)) j + ((-)+(-))k
= ((-)i + (-)j + (-)k) + ((-)i + (-) j + (-)k)= +
=( X A + ( X B
b. ( X ((A ) = (i +j +k )X ((a1i +(a2j + (a3k )
=
=((-)i + (-)j + (-)k)
=(((+
)-(
+
))i + ((
+
)-(
+
))j + ((
+
)-(
+
)) k
= [(
-
) i + (
-
) j + (
-
) k ] + [(-) i + (-) j + (-) k ]= + ( (( X A )
=( (( ) X A + ( (( X A )
c. ( X ( (( )= ( X (i +j +k )
=
= [()-()] i + [()-()] j + [()-()] k
= [- ] i + [-] j + [-)] k
= 0latihan
1. Diberikan fungsi vektor F = 3x2yi + (x3 + y2)j. Tunjukkan bahwa curl F = 0
2. Sebuah vektor V dikatakan irrasional jika curl V = 0. carilah konsanta a,b,c sehingga V = (x + 2y + az)i + (bx 3y z)j + (4x + cy + 2z)k irrasionalRANGKUMAN RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG (Berdasarkan pembahasan di atas, maka dapat dirangkum rumus- rumus yang mengandung (. Jika A dan B adalah fungsi vektor yang differensiabel serta f dan g fungsi fungsi skalar dari kedudukan (x,y,z) yang differensiabel, maka
1. (( f + g ) = (f + (g 2. ( ( ( A + B ) = ( ( A + ( ( B atau div ( A + B ) = div A + div B
3. ( ( ((A ) = (( ( A + ( (( ( A )
4. (((( = (2(= + +
Dengan + + disebut operator Laplace
5. ( X ( A + B ) = ( X A + ( X B
6. ( X ((A ) = ( (( ) X A + ( (( X A )7. ( X ( (( ) = 08. ((( ( X A ) = 09. ( X ( ( X A ) = ( (((A ) - (2 A10. ((( A X B) = B (( ( X A ) - A (( ( X B )11. ( X (A X B )= ( B ( ( ) A - B( ((A ) - ( A ( ( ) B + A( ((B )12. ( (A ( B ) = ( B ( ( ) A + ( A ( ( ) B + B X ( ( X A ) + A X( ( X B )O
P
Gambar 1.1
EMBED Equation.3
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a=b
ab
ab
(a)
Gambar 1.2
(b)
(c)
a
a
b
b
a+b
Gambar 1.3
a
b
c
c
b
c
b
a
a+b
(a+b)+cC
Gambar 1.4
a
b
a
a-b
Gambar 1.5
b
-b
a
2a
-a
Gambar 1.6
a
b
Gambar 1.7
a+b
b
a
b
a
b+a
b
c
b
a
a+b
(a+b)+c=a+(b+c)
Gambar 1.8
c
a
b+c
x
y
z
P(x,y,z)
i
j
k
x i
y j
z k
O
P0
P1
P2
P3
Gambar 1.9
(
b
a
Gambar 2.1
O
(b - a (
z
y
x
b
(
a
((b ( cos (
b
(
((a ( cos (
a
Gambar 2.2
e
a
EMBED Equation.3
i
j
k
Gambar 2.3
(
(
a
b
(b( (sin((
P
n1
--n1= n2
Gambar 2.4
a
b
c
X
R(u)
R(u+(u)-R(u)
R(u+(u)
8
_1362826672.unknown
_1362826802.unknown
_1362826867.unknown
_1362826932.unknown
_1362826964.unknown
_1362826998.unknown
_1362827014.unknown
_1362827030.unknown
_1362827038.unknown
_1362827042.unknown
_1362827044.unknown
_1362827046.unknown
_1369478455.unknown
_1362827047.unknown
_1362827045.unknown
_1362827043.unknown
_1362827040.unknown
_1362827041.unknown
_1362827039.unknown
_1362827034.unknown
_1362827036.unknown
_1362827037.unknown
_1362827035.unknown
_1362827032.unknown
_1362827033.unknown
_1362827031.unknown
_1362827022.unknown
_1362827026.unknown
_1362827028.unknown
_1362827029.unknown
_1362827027.unknown
_1362827024.unknown
_1362827025.unknown
_1362827023.unknown
_1362827018.unknown
_1362827020.unknown
_1362827021.unknown
_1362827019.unknown
_1362827016.unknown
_1362827017.unknown
_1362827015.unknown
_1362827006.unknown
_1362827010.unknown
_1362827012.unknown
_1362827013.unknown
_1362827011.unknown
_1362827008.unknown
_1362827009.unknown
_1362827007.unknown
_1362827002.unknown
_1362827004.unknown
_1362827005.unknown
_1362827003.unknown
_1362827000.unknown
_1362827001.unknown
_1362826999.unknown
_1362826981.unknown
_1362826989.unknown
_1362826994.unknown
_1362826996.unknown
_1362826997.unknown
_1362826995.unknown
_1362826991.unknown
_1362826992.unknown
_1362826990.unknown
_1362826985.unknown
_1362826987.unknown
_1362826988.unknown
_1362826986.unknown
_1362826983.unknown
_1362826984.unknown
_1362826982.unknown
_1362826973.unknown
_1362826977.unknown
_1362826979.unknown
_1362826980.unknown
_1362826978.unknown
_1362826975.unknown
_1362826976.unknown
_1362826974.unknown
_1362826968.unknown
_1362826971.unknown
_1362826972.unknown
_1362826970.unknown
_1362826966.unknown
_1362826967.unknown
_1362826965.unknown
_1362826948.unknown
_1362826956.unknown
_1362826960.unknown
_1362826962.unknown
_1362826963.unknown
_1362826961.unknown
_1362826958.unknown
_1362826959.unknown
_1362826957.unknown
_1362826952.unknown
_1362826954.unknown
_1362826955.unknown
_1362826953.unknown
_1362826950.unknown
_1362826951.unknown
_1362826949.unknown
_1362826940.unknown
_1362826944.unknown
_1362826946.unknown
_1362826947.unknown
_1362826945.unknown
_1362826942.unknown
_1362826943.unknown
_1362826941.unknown
_1362826936.unknown
_1362826938.unknown
_1362826939.unknown
_1362826937.unknown
_1362826934.unknown
_1362826935.unknown
_1362826933.unknown
_1362826899.unknown
_1362826915.unknown
_1362826924.unknown
_1362826928.unknown
_1362826930.unknown
_1362826931.unknown
_1362826929.unknown
_1362826926.unknown
_1362826927.unknown
_1362826925.unknown
_1362826920.unknown
_1362826922.unknown
_1362826923.unknown
_1362826921.unknown
_1362826918.unknown
_1362826919.unknown
_1362826916.unknown
_1362826907.unknown
_1362826911.unknown
_1362826913.unknown
_1362826914.unknown
_1362826912.unknown
_1362826909.unknown
_1362826910.unknown
_1362826908.unknown
_1362826903.unknown
_1362826905.unknown
_1362826906.unknown
_1362826904.unknown
_1362826901.unknown
_1362826902.unknown
_1362826900.unknown
_1362826883.unknown
_1362826891.unknown
_1362826895.unknown
_1362826897.unknown
_1362826898.unknown
_1362826896.unknown
_1362826893.unknown
_1362826894.unknown
_1362826892.unknown
_1362826887.unknown
_1362826889.unknown
_1362826890.unknown
_1362826888.unknown
_1362826885.unknown
_1362826886.unknown
_1362826884.unknown
_1362826875.unknown
_1362826879.unknown
_1362826881.unknown
_1362826882.unknown
_1362826880.unknown
_1362826877.unknown
_1362826878.unknown
_1362826876.unknown
_1362826871.unknown
_1362826873.unknown
_1362826874.unknown
_1362826872.unknown
_1362826869.unknown
_1362826870.unknown
_1362826868.unknown
_1362826834.unknown
_1362826851.unknown
_1362826859.unknown
_1362826863.unknown
_1362826865.unknown
_1362826866.unknown
_1362826864.unknown
_1362826861.unknown
_1362826862.unknown
_1362826860.unknown
_1362826855.unknown
_1362826857.unknown
_1362826858.unknown
_1362826856.unknown
_1362826853.unknown
_1362826854.unknown
_1362826852.unknown
_1362826843.unknown
_1362826847.unknown
_1362826849.unknown
_1362826850.unknown
_1362826848.unknown
_1362826845.unknown
_1362826846.unknown
_1362826844.unknown
_1362826838.unknown
_1362826840.unknown
_1362826842.unknown
_1362826839.unknown
_1362826836.unknown
_1362826837.unknown
_1362826835.unknown
_1362826818.unknown
_1362826826.unknown
_1362826830.unknown
_1362826832.unknown
_1362826833.unknown
_1362826831.unknown
_1362826828.unknown
_1362826829.unknown
_1362826827.unknown
_1362826822.unknown
_1362826824.unknown
_1362826825.unknown
_1362826823.unknown
_1362826820.unknown
_1362826821.unknown
_1362826819.unknown
_1362826810.unknown
_1362826814.unknown
_1362826816.unknown
_1362826817.unknown
_1362826815.unknown
_1362826812.unknown
_1362826813.unknown
_1362826811.unknown
_1362826806.unknown
_1362826808.unknown
_1362826809.unknown
_1362826807.unknown
_1362826804.unknown
_1362826805.unknown
_1362826803.unknown
_1362826737.unknown
_1362826770.unknown
_1362826786.unknown
_1362826794.unknown
_1362826798.unknown
_1362826800.unknown
_1362826801.unknown
_1362826799.unknown
_1362826796.unknown
_1362826797.unknown
_1362826795.unknown
_1362826790.unknown
_1362826792.unknown
_1362826793.unknown
_1362826791.unknown
_1362826788.unknown
_1362826789.unknown
_1362826787.unknown
_1362826778.unknown
_1362826782.unknown
_1362826784.unknown
_1362826785.unknown
_1362826783.unknown
_1362826780.unknown
_1362826781.unknown
_1362826779.unknown
_1362826774.unknown
_1362826776.unknown
_1362826777.unknown
_1362826775.unknown
_1362826772.unknown
_1362826773.unknown
_1362826771.unknown
_1362826753.unknown
_1362826762.unknown
_1362826766.unknown
_1362826768.unknown
_1362826769.unknown
_1362826767.unknown
_1362826764.unknown
_1362826765.unknown
_1362826763.unknown
_1362826758.unknown
_1362826760.unknown
_1362826761.unknown
_1362826759.unknown
_1362826755.unknown
_1362826756.unknown
_1362826754.unknown
_1362826745.unknown
_1362826749.unknown
_1362826751.unknown
_1362826752.unknown
_1362826750.unknown
_1362826747.unknown
_1362826748.unknown
_1362826746.unknown
_1362826741.unknown
_1362826743.unknown
_1362826744.unknown
_1362826742.unknown
_1362826739.unknown
_1362826740.unknown
_1362826738.unknown
_1362826705.unknown
_1362826721.unknown
_1362826729.unknown
_1362826733.unknown
_1362826735.unknown
_1362826736.unknown
_1362826734.unknown
_1362826731.unknown
_1362826732.unknown
_1362826730.unknown
_1362826725.unknown
_1362826727.unknown
_1362826728.unknown
_1362826726.unknown
_1362826723.unknown
_1362826724.unknown
_1362826722.unknown
_1362826713.unknown
_1362826717.unknown
_1362826719.unknown
_1362826720.unknown
_1362826718.unknown
_1362826715.unknown
_1362826716.unknown
_1362826714.unknown
_1362826709.unknown
_1362826711.unknown
_1362826712.unknown
_1362826710.unknown
_1362826707.unknown
_1362826708.unknown
_1362826706.unknown
_1362826689.unknown
_1362826697.unknown
_1362826701.unknown
_1362826703.unknown
_1362826704.unknown
_1362826702.unknown
_1362826699.unknown
_1362826700.unknown
_1362826698.unknown
_1362826693.unknown
_1362826695.unknown
_1362826696.unknown
_1362826694.unknown
_1362826691.unknown
_1362826692.unknown
_1362826690.unknown
_1362826681.unknown
_1362826685.unknown
_1362826687.unknown
_1362826688.unknown
_1362826686.unknown
_1362826683.unknown
_1362826684.unknown
_1362826682.unknown
_1362826676.unknown
_1362826679.unknown
_1362826680.unknown
_1362826678.unknown
_1362826674.unknown
_1362826675.unknown
_1362826673.unknown
_1362826608.unknown
_1362826640.unknown
_1362826656.unknown
_1362826664.unknown
_1362826668.unknown
_1362826670.unknown
_1362826671.unknown
_1362826669.unknown
_1362826666.unknown
_1362826667.unknown
_1362826665.unknown
_1362826660.unknown
_1362826662.unknown
_1362826663.unknown
_1362826661.unknown
_1362826658.unknown
_1362826659.unknown
_1362826657.unknown
_1362826648.unknown
_1362826652.unknown
_1362826654.unknown
_1362826655.unknown
_1362826653.unknown
_1362826650.unknown
_1362826651.unknown
_1362826649.unknown
_1362826644.unknown
_1362826646.unknown
_1362826647.unknown
_1362826645.unknown
_1362826642.unknown
_1362826643.unknown
_1362826641.unknown
_1362826624.unknown
_1362826632.unknown
_1362826636.unknown
_1362826638.unknown
_1362826639.unknown
_1362826637.unknown
_1362826634.unknown
_1362826635.unknown
_1362826633.unknown
_1362826628.unknown
_1362826630.unknown
_1362826631.unknown
_1362826629.unknown
_1362826626.unknown
_1362826627.unknown
_1362826625.unknown
_1362826616.unknown
_1362826620.unknown
_1362826622.unknown
_1362826623.unknown
_1362826621.unknown
_1362826618.unknown
_1362826619.unknown
_1362826617.unknown
_1362826612.unknown
_1362826614.unknown
_1362826615.unknown
_1362826613.unknown
_1362826610.unknown
_1362826611.unknown
_1362826609.unknown
_1362826575.unknown
_1362826592.unknown
_1362826600.unknown
_1362826604.unknown
_1362826606.unknown
_1362826607.unknown
_1362826605.unknown
_1362826602.unknown
_1362826603.unknown
_1362826601.unknown
_1362826596.unknown
_1362826598.unknown
_1362826599.unknown
_1362826597.unknown
_1362826594.unknown
_1362826595.unknown
_1362826593.unknown
_1362826584.unknown
_1362826588.unknown
_1362826590.unknown
_1362826591.unknown
_1362826589.unknown
_1362826586.unknown
_1362826587.unknown
_1362826585.unknown
_1362826580.unknown
_1362826582.unknown
_1362826583.unknown
_1362826581.unknown
_1362826577.unknown
_1362826578.unknown
_1362826576.unknown
_1362826559.unknown
_1362826567.unknown
_1362826571.unknown
_1362826573.unknown
_1362826574.unknown
_1362826572.unknown
_1362826569.unknown
_1362826570.unknown
_1362826568.unknown
_1362826563.unknown
_1362826565.unknown
_1362826566.unknown
_1362826564.unknown
_1362826561.unknown
_1362826562.unknown
_1362826560.unknown
_1362826551.unknown
_1362826555.unknown
_1362826557.unknown
_1362826558.unknown
_1362826556.unknown
_1362826553.unknown
_1362826554.unknown
_1362826552.unknown
_1362826547.unknown
_1362826549.unknown
_1362826550.unknown
_1362826548.unknown
_1362826543.unknown
_1362826545.unknown
_1362826546.unknown
_1362826542.unknown
_1362826541.unknown