Analisa Numerik

Integrasi Numerik

2

Review Ide Pemakaian Polinom Interpolasi

• Review ide pemakaian polinom interpolasi dlm. menaksir turunan dan integrasi :

1. f(x) diketahui, tetapi sulit dioperasikan (turunkan, integrasi).

2. f(x) tdk. diketahui, tetapi harga f(x) pd. titik x0, x1, ..., xk diketahui.

• Jk. L adalah operator pengganti turunan atau integrasi, mk. penaksiran harga turunan atau integrasi secara umum berbentuk :

• Proses penggantian L(f) dng. L(Pk) disebut diskritisasi,

disebut kesalahan diskritisasi.

)()()( )1( rrk fhConstPLxL

)()1( rr fhConst

3

Review Ide Pemakaian Polinom Interpolasi

• Masalah ketelitian, sulit dicapai karena :1. Terbatasnya panjang word suatu komputer.

2. Hilangnya digit signifikan pada saat dua nilai yang hampir sama dikurangi.

• Jd. ada h optimum, dimana utk. hh hfEhfE )()(

4

Aturan Dasar

[a, b] dibagi-bagi menjadi N interval (tidak perlu sama).

a = x0 < x1 < x2 < ... <xn = b

Misal : Pi, k(x) (i = 1, ..., N) adalah polinom interpolasi utk. f(x) pd. interval (xi-1, xi).

Catatan : Utk. kemudahan pembahasan, dimisalkan xi–xi-1 sama

xi = a + ih, i = 0, ..., N, h = (b-a)/N

Notasi fs = f(a + sh), mk. fi = f(xi), i = 0, ..., N

b

a

dxxffI )()(

N

i

x

x

ki

N

i

x

x

b

a

i

i

i

i

dxxPdxxfdxxffI1

,1

11

)()()()(

5

Aturan-Aturan Dasar

di mana I(Pk) = A0f(x0) + A1f(x1) + ... + Akf(xk) [jumlah berbobot

Ai]

xi, f(xi) i = 0, ..., k diketahui :

Ai dpt. dihitung dng. Ai = I(li), li = polinom Langrange ke-i.

k = 0, x0 = a Aturan Segi Empat

)()()(

)()(

fEPIfI

dxxffI

k

b

a

)(],,,[)( 0 xxxxffE kk

b

a

2

))(('

)()()(2abf

E

afabRfI

R

f(x)

6

Aturan-Aturan Dasar

– k = 0, x0 = (a+b)/2 Aturan Titik Tengah

– k = 1, x0 = a, x1 = b Aturan Trapesium

– k = 2, x0 = a, x1 = (a+b)/2, x2 = b Aturan Simpson

12

))((''

)]()()[(2

1)(

3abfE

bfafabTfI

T

24

))((''

)2

()()(

3abfE

bafabMfI

M

90

]2

)()[(''

)}()2

(4)({6

)(

5abf

E

bfba

fafab

SfI

S

f(x)

f(x)

f(x)

7

Aturan-Aturan Dasar

– k = 3, x0 = x1 = a, x2 = x3 = b Aturan Trapesium Terkoreksi

720

))((''

)](')('[12

)()]()([

2)(

5

2

abfE

bfafab

bfafab

CTfI

CT

f(x)

8

Aturan Gabungan (Composite Rules)

• Aturan segiempat

2

)(')(

2

))((')()()(

2

1

21

11

1

hfxhf

xxfxfxxdxxf

ii

iiiiii

x

x

i

i

),(,2

))(('

),(,2

)('

)()(

11

2

11

bahabf

E

xxhf

E

xfhRNfI

RN

iii

N

i

iRN

N

ii

9

Aturan Gabungan (Composite Rules)• Aturan Simpson

),(120

)()2)((

]42[6

90

)2)((]4[

6

)()(

),(90

)2)((]4[

6)(

,,

4

1 21

1

10

1

5

1 211

1

5

211

11

1 1

1

baabhf

E

ffffh

S

hffff

h

dxxffI

xxhf

fffh

dxxf

hxxdanxbxa

iv

SN

N

ii

N

iiNN

E

N

i

iiv

S

N

iii

x

x

x

x

iii

iiv

iii

x

x

iiii

SNN

i

i

i

i

i

i

f(x)

10

Aturan Gabungan (Composite Rules)

• Aturan TrapesiumDng. cara yg. sama diperoleh

• Aturan Titik Tengah12

)()(''

)(2

)(

2

0

1

1

abhfE

ffh

fhTfI

TN

N

N

iiN

24

)()(''

)(

2

1 2

abhfE

fhMfI

MN

N

iiiN

f(x)

f(x)

11

Aturan Gabungan (Composite Rules)

• Aturan Trapesium Terkoreksi

720

)()(

)](')('[12

)(2

][12

)(][

2

)()(

4

2

01

'1

'2

11

1

1

abhfE

bfafh

ffh

fhCT

ffxx

ffxx

fI

ivCTN

N

N

iiN

iiii

ii

N

i

iii

f(x)

12

Contoh• Dng. memakai aturan trapesium gabungan, tentukan

N sehingga teliti sampai 6 digits

Jwb. :Errornya adalah –f’’()N-2/12 , (a, b)∈

Batas atas errornya adalah :

max |f’’(x)| pd. [0, 1] terjadi pada x = 0 atau x = 0, 1

dxe x 1

0

2

Nhbaexf x 1,1,0,)(2

2

10 12

)(''max

N

f

5,2,0)23(4)('''

)24()(''

102

2

2

2

xxxxexf

xexfx

x

2}2,2max{|})1(''||,)0(''max{|)(''max 1

10

efff

5783

10

10.512

2

3

72

N

N

13

Metoda Adaptif Quadrature• Adaptif lebar sub interval ditentukan oleh perilaku lokal

integralnya (fungsinya).– Besar interval keseluruhan tidak harus sama.

• Cocok utk. menghitung I(f) dlm. ketelitian tertentu dng. penghitungan fungsi lebih sedikit jika subinterval ditentukan dengan baik.

• Perhatikan aturan trapesium gabungan

di mana a = x0 < x1 < ... < xN = b tidak perlu berjarak sama.

Besar error tergantung

Jd. jika f’’(x) ‘kecil’, maka pakai interval ‘besar’.jika f’’(x) ‘besar’, maka pakai interval ‘kecil’.

N

i

iiiii

N

i

ii xxfxfxf

xxfI

1

31

11

1

12

))(('')]()([

2)(

),(12

))((''1

31

iiiiii xxxxf

14

Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson

• Diberikan f(x) pada [a, b] dan bilangan kecil > 0. Cari p

(aproksimasi) terhadap di mana |P – I| ≤ dng.

memakai penghitungan fungsi sesedikit mungkin.

• Misal : xi+1 – xi = h

–

Dng. subinterval ini hitung Si pendekatan dari Ii

Si = h/6 {f(xi) + 4f(xi + h/2) + f(xi+1)}

b

a

dxxfI )(

1

)(i

i

x

x

i dxxfI

xi xi + h/2 xi+1

h

15

Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson

–

Hitung pendekatan dari Ii

– Dng. memakai Error Simpson

diperoleh :

h

xi xi + h/4 xi+1xi + 3h/4xi + h/2

iS

)}()4

3(4)

2(2)

4(4)({

12 1 iiiiii xfh

xfh

xfh

xfxfh

S

)(15

1

12

21

)(2

90.2

)2

21(

90.2

)4

(90

)(.2

)2

(90

)(

4

4

4

5

5

4

4

5

5

5

5

iiii

ii

iiiv

iv

ii

iv

ii

iv

ii

SSSS

SI

SShf

hfSS

hfSI

hfSI

16

Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson

• Jk. [a, b] ada N interval maka errornya memenuhi

lalu :

N

ii

iii

SP

ab

hSSE

1

)(15

1

17

Contoh• Contoh Dengan memakai adaptive quadrature yg. berdasarkan

aturan Simpson, cari aproksimasi (pendekatan) thd. integral :

dng. ketelitian kesalahan = 0.0005 (harga

sebenarnya I = 2/3).

Jawab : [0, 1] [0, ½] dan [½, 1]

pada [½, 1], h = ½

1

0

dxxI

00025.0)0005.0(12

10000018775.0)(

15

1]1,

2

1[

43096219.0}18744

328542

1{24

1]1,

2

1[

43093403.0}14342

1{12

1]1,

2

1[

SSE

S

S

ok

18

Contoh

pada [0, ½]

[0, ½] [0, ¼] dan [¼, ½]

00025.000043499.0]2

1,0[

23211709.0}21

8344

128140{

12

1]

2

1,0[

22559223.0}21

4140{

12

1]

2

1,0[

E

S

S

000125.0)0005.0(14

110.664.0]

2

1,

4

1[

15236814.0]2

1,

4

1[

15235819.0]2

1,

4

1[

6

E

S

S