vektor - core.ac.uk · dot product (inner product) • perkalian titik (dot product) a•b (dibaca...

VEKTOR

Definisi Vektor

Vektor adalah besaran yang mempunyai besardan arah

Besar vektor artinya panjang vektor

Arah vektor artinya sudut yang dibentuk dengansumbu X positif

Vektor disajikan dalam bentuk ruas garisberarah

2

A

B

ditulis vektor AB atau u

A disebut titik pangkalB disebut titik ujung

u

45X

Gambar Vektor

Notasi Penulisan Vektor

Bentuk vektor kolom:

4

3u

0

2

1

PQatau

Bentuk vektor baris:

4 ,3 AB atau 0 ,3 ,2 v

Vektor ditulis dengan notasi:i, j dan k

misal : a = 3i – 2j + 7k

VEKTOR DI R2

Vektor di R2 adalah

vektor yang terletak di satu Bidang

Atau

Vektor yang hanya mempunyaidua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R2

OA PA OP

OA OQ OP

O Pi

j

X

A(x,y)Y

OP = xi; OQ= yj

Jadi OA =xi + yj

atau a = xi + yj

a

x

y

i vektor satuan searah

sumbu Xj vektor satuan searah

sumbu Y

Q

Vektor di R3

Vektor di R3

adalah Vektor yang terletak di

ruang dimensi tiga atau

Vektor yang mempunyai

tiga komponen

yaitu x, y dan z

Misalkan koordinat titik T di R3

adalah (x, y, z) maka OP = xi;

OQ = yj dan OS = zk

X

Y

Z

T(x,y,z)

Oxi

yj

zk

PQ

S

X

Y

Z

T(x,y,z)

O

t

P

QR(x,y)

S

xiyj

zk

OP + PR = OR atau

OP + OQ = OROR + RT = OT atau

OP + OQ + OS = OT

Jadi

OT = xi + yj + zk

atau t = xi + yj + zk

Panjang vektor

Dilambangkan dengan

tanda ‘harga mutlak’

Di R2, panjang vektor:

2

1

a

a a

atau a = a1i + a2jDapat ditentukan dengan

teorema Pythagoras

2

2

2

1 a aa

Di R3 , panjang vektor:

222 y x zv

z

y

x

v

atau v = xi + yj + zk

Dapat ditentukan dengan

teorema Pythagoras

Contoh:

1. Panjang vektor:

4

3 a

adalah 22 4 3a = 25 = 5

2. Panjang vektor: 2k -j i2 v

adalah 222 )2(1 2 v

= 9 = 3

Vektor Satuan

adalah suatu vektor yang

panjangnya satu

Vektor satuan searah sumbu X,

sumbu Y , dan sumbu Z

berturut-turut

adalah vektor i , j dan k

1

0

0

dan

0

1

0

,

0

0

1

kji

ALJABAR VEKTOR

Kesamaan vektor

Penjumlahan vektor

Pengurangan vektor

Perkalian vektor dengan

bilangan real

Kesamaan Vektor

Misalkan: a = a1i + a2j + a3k dan

b = b1i + b2j + b3k

Jika: a = b , makaa1 = b1

a2 = b2

dan

a3 = b3

Kesamaan Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama besar bilabesar dan arahnya sama.

Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)

Jika u = v, maka

|u| = |v|

arah u = arah v

a=c dan b=d

18

19

a b

Dua vektor sama,

a = b

a b

Dua Vektor

mempunyai besar

sama, arah

berbeda

a b

Dua vektor arah

sama, besaran

beda

a

b

Dua Vektor besar

dan arah berbeda

Contoh

Diketahui:

a = i + xj - 3k dan

b = (x – y)i - 2j - 3k

Jika a = b, maka x + y = ....

Jawab:a = i + xj - 3k dan

b = (x – y)i - 2j - 3k

a = b

1 = x - y

x = -2; disubstitusikan

1 = -2 – y; y = -3

Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

Penjumlahan Vektor

33

22

11

c

ba

ba

ba

a

a

a

a

3

2

1

b

b

b

b

3

2

1

Misalkan: dan

Jika: a + b = c , maka vektor

Contoh

1-

2p-

3

a

3

6

p

b

2

4q

5-

c

Diketahui:

Jika a + b = c , maka p – q =....

dan

2

4

5

3)1(

6 2

3

qp

p

jawab: a + b = c

2

4

5

3

6

p

1-

2p-

3

q

2

4

5

3)1(

6 2

3

qp

p

3 + p = -5 p = -8

-2p + 6 = 4q

16 + 6 = 4q

22 = 4q q = 5½;

Jadi p – q = -8 – 5½

= -13½

Pengurangan Vektor

Jika: a - b = c , maka c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 -

b3)k

Misalkan: a = a1i + a2j + a3k

danb = b1i + b2j + b3k

X

Y

O

A(4,1)

B(2,4)

a

b

Perhatikan gambar:

3

2-

vektor posisi:

titik A(4,1) adalah:

1

4 a

titik B(2,4) adalah:

4

2 b

vektor AB =

Jadi secara umum: ab AB

1

4

4

2 ab

3

2-

1

4 a

4

2 b

3

2- AB

vektor AB =

Contoh 1

2

3

2

2

5

3

-

4

2

1

Jawab:

Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan

B(1,2,4). Tentukan komponen-komponen vektor AB

ab AB

2

3

2

AB Jadi

Contoh 2

Diketahui titik-titik P(-1,3,0)

dan Q(1,2,-2).

Tentukan panjang vektor PQ

(atau jarak P ke Q)

Jawab: P(1,2,-2)

Q(-1,3,0)

PQ = q – p =

2

1

2

2-

2

1

-

0

3

1-

2

2

1

p

0

3

1

q

2

1

2

PQ

222 )2()1(2PQ

39PQ Jadi

Perkalian Vektor dengan Bilangan Real

3

2

1

3

2

1

.

.

.

c

am

am

am

a

a

a

m

a

a

a

a

3

2

1

Misalkan:

Jika: c = m.a, maka

dan

m = bilangan real

Contoh

4

1

2

32

6

1

2

3

2

1

x

x

x

Diketahui:

Vektor x yang memenuhi

a – 2x = 3b adalah....

Jawab:

misal

6

1-

2

a

4

1-

2

b

dan

x

3

2

1

x

x

x

4

1

2

32

6

1

2

3

2

1

x

x

x

12

3

6

2

2

2

6

1

2

3

2

1

x

x

x

2 – 2x1 = 6 -2x1 = 4 x1= -2

-1 – 2x2 = -3 -2x2 = -2 x2 = 1

6 – 2x3 = 12 -2x3 = 6 x3 = -3

Jadi

3

1

2

xvektor

Elemen Identitas

Vektor nol ditulis 0

Vektor nol disebut elemen identitas

u + 0 = 0 + u = u

Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.

u – u = u + (-u) = 0

36

Sifat-Sifat Operasi Vektor

• Komutatif a + b = b + a

• Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c)

• Elemen identitas terhadap penjumlahan

• Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor

• Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|

• 1u = u

• 0u = 0, m0 = 0.

• Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 037

Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)

• (mn)u = m(nu)

• |mu| = |m||u|

• (-mu) = - (mu) = m (-u)

• Distributif : (m+n)u = mu + nu

• Distributif : m(u+v) = mu + mv

• u+(-1)u = u + (-u) = 0

38

Dot Product (Inner Product)

• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.

39

cos|||| baba

Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :

212121 ccbbaaba

a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}

a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}

a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product

• Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:

40

bbaa

ba

ba

ba

||||cos

Contoh Perkalian Dot Product

• a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]

• Hitung sudut antara dua vektor tsb

41