uts wavelet

UJIAN TENGAH SEMESTER

WAVELET TERAPAN

Rabu, 14 April 2010

1. Perhatikan fomula deret Fourier berikut:

f ( x )∈L2[−π ,π ]

f ( x )=a02

+∑n=1

∞

(ancos (nx )¿+bn sin (nx))¿

an=1π∫−π

π

f ( x ) cos (nx )dx

bn=1π∫−π

π

f ( x ) sin (nx )dx

Buat program deret Fourier dalam MATLAB/ SKYLAB!

2. Hasil program soal no. 1 diterapkan pada:

a. f ( x )={ 1 ,∧0≤ x≤ π−1 ,∧−π ≤ x≤0

b. f ( x )={x+π ,−π ≤x ≤−π2

π2,−π2≤x ≤

π2

π−x , π2≤ x≤π

3. f ( x )=sin (πx )+cos (2 πx )+0.6 I[12 , 1]

(x)

I[ 12 ,1]

( x )={ 1 , 12 ≤x ≤10 , yang lain

Buat program untuk:

1

f 3, f 15 , f 63

4. Bangkitkan matriks W bertipe 100x100 dengan struktur sebagai berikut:

5. Misalkan kita mempunyai image yang disimpan dalam matriks A bertipe 450x450. Kita hanya ingin menampilkan daerah yang dibatasi 4 titik: (151,151), (300,151), (300,300), (151,300).

M=[Z150 Z150 Z150Z150 I 150 Z150Z150 Z150 Z150

]Z150=zeros (150 )

I 150=identity (150 )

Hitung MA dan MAM!

Jawaban

1-2. Deret Fourier

Permasalahan soal no. 1 dan 2 merupakan permasalahan deret Fourier, oleh karenanya akan dijawab bersama-sama.

2

Diberikan formulasi deret Fourier sebagai berikut:

f ( x )∈L2[−π ,π ]

f ( x )=a02

+∑n=1

∞

(ancos (nx )¿+bn sin (nx))¿

di mana an=1π∫−π

π

f ( x ) cos (nx )dx

bn=1π∫−π

π

f ( x ) sin (nx )dx

Akan dicari deret Fourier untuk fungsi-fungsi berikut:

a. f ( x )={ 1 ,∧0≤ x≤ π−1 ,∧−π ≤ x≤0

b. f ( x )={x+π ,−π ≤x ≤−π2

π2,−π2≤x ≤

π2

π−x , π2≤ x≤π

Solusi untuk (a).

Deret Fourier untuk f ( x )={ 1 ,∧0≤ x≤ π−1 ,∧−π ≤ x≤0

Perhatikan source code program yang dibuat dengan menggunakan MATLAB berikut.

3

Jalankan program ‘fourier1’ di Command Window untuk n=1 (suku ke-1 deret Fourier).

Diperoleh nilai-nilai deret Fourier untuk f ( x )={ 1 ,∧0≤ x≤ π−1 ,∧−π ≤ x≤0 dengan −π ≤x ≤π sebagai

berikut.

4

Pendefinisian an dan bn

Pendefinisian a0

∑n=1

∞

(ancos (nx )¿+bnsin (nx))¿

an dan bn untuk

f ( x )={ 1 ,∧0≤ x≤ π−1 ,∧−π ≤ x≤0

Perhatikan grafik yang terbentuk pada Gambar (1) di halaman 7.

Selanjutnya, ulangi proses di atas untuk mencari deret Fourier fungsi f ( x )={ 1 ,∧0≤ x≤ π−1 ,∧−π ≤ x≤0 untuk

suku ke-3 dan ke-5.

Catatan: Perhatikan bahwa deret Fourier untuk suku ke-n dengan n bilangan genap positif, sama dengan deret Fourier untuk suku n-1 sebelumnya.

5

Perhatikan grafik yang terbentuk pada Gambar (2) di halaman 7.

Untuk memastikan deret Fourier yang terbentuk sama dengan deret Fourier fungsi, dilakukan perbandingan dengan cara mem-plot grafik fungsi deret Fourier untuk n=1, n=3, dan n=5 dengan

f ( x )≈S1 ( x )= 4πsin (x)

f ( x )≈S3 (x )= 4πsin ( x )+ 4

3πsin (3x )

f ( x )≈S5 (x )= 4πsin ( x )+ 4

3πsin (3x )+ 4

5πsin (5x )

6

Deret Fourier untuk n=3 dan n=5

Perhatikan grafik yang terbentuk pada Gambar (3) di halaman berikutnya.

Hasil perbandingan menunjukkan grafik (dan nilai) yang dihasilkan sama persis dengan grafik (dan nilai) yang dihasilkan melalui program ‘fourier1’. Sehingga program ‘fourier1’ dapat digunakan untuk

menghitung deret Fourier fungsi f ( x )={ 1 ,∧0≤ x≤ π−1 ,∧−π ≤ x≤0 hingga suku ke-n.

Analisis:

Semakin besar nilai n, maka fungsi yang terbentuk semakin menyerupai bentuk fungsi aslinya.

Perhatikan grafik fungsi f ( x )={ 1 ,∧0≤ x≤ π−1 ,∧−π ≤ x≤0 pada gambar (4).

7

Gambar (1). Gambar (2).

Grafik fungsi untuk n = 1 Grafik fungsi untuk n = 1, n=3, dan n = 5

Gambar (3). Gambar (4).

Grafik fungsi S1 ( x ), S3 ( x ), dan S5 ( x ) Grafik fungsi f ( x )

Solusi (b).

8

Deret Fourier untuk f ( x )={x+π ,−π ≤x ≤−π2

π2,−π2≤x ≤

π2

π−x , π2≤ x≤π

Perhatikan source code program yang dibuat dengan menggunakan MATLAB berikut.

Jalankan program ‘fourier2’ di Command Window untuk n=1 (suku ke-1 deret Fourier).

9

Pendefinisian an dan bn

Pendefinisian a0

∑n=1

∞

(ancos (nx )¿+bnsin (nx))¿

an dan bn untuk

f ( x )={x+π ,−π ≤x ≤−π2

π2,−π2≤x ≤

π2

π−x , π2≤ x≤π

Diperoleh nilai-nilai deret Fourier untuk

f ( x )={x+π ,−π ≤x ≤−π2

π2,−π2≤x ≤

π2

π−x , π2≤ x≤π

dengan −π ≤x ≤π sebagai berikut.

10

Perhatikan grafik yang terbentuk pada Gambar (5) di halaman 12.

Selanjutnya, ulangi proses di atas untuk mencari deret Fourier fungsi untuk suku ke-2 dan ke-3.

11

Perhatikan grafik yang terbentuk pada Gambar (6) di halaman 12.

Untuk memastikan deret Fourier yang terbentuk sama dengan deret Fourier fungsi, dilakukan perbandingan dengan cara mem-plot grafik fungsi deret Fourier untuk n=1, n=2, dan n=3 dengan

f ( x )≈S1 ( x )=3 π8

+ 2πcos (x)

f ( x )≈S1 ( x )=3 π8

+ 2πcos (x)−1

πcos(2 x)

f ( x )≈S1 ( x )=3 π8

+ 2πcos (x)−1

πcos(2 x)+ 2

9 πcos (3 x)

12

Deret Fourier untuk n=2 dan n=3

Perhatikan grafik yang terbentuk pada Gambar (7) di halaman berikutnya.

Hasil perbandingan menunjukkan grafik (dan nilai) yang dihasilkan sama persis dengan grafik (dan nilai) yang dihasilkan melalui program ‘fourier2’. Sehingga program ‘fourier2’ dapat digunakan untuk menghitung deret Fourier fungsi

f ( x )={x+π ,−π ≤x ≤−π2

π2,−π2≤x ≤

π2

π−x , π2≤ x≤π

hingga suku ke-n.

Analisis:

13

Semakin besar nilai n, maka fungsi yang terbentuk semakin menyerupai bentuk fungsi aslinya.

Perhatikan grafik fungsi f ( x )={x+π ,−π ≤x ≤−π2

π2,−π2≤x ≤

π2

π−x π2≤ x≤π

pada gambar (8).

Lebih jauh lagi, fungsi f ( x ) cukup didekati oleh deret Fourier fungsi Sn ( x ) dengan n=3, karena suku-suku deret yang dominan adalah 4 suku pertama deret tersebut.

Gambar (5). Gambar (6).

Grafik fungsi untuk n = 1 Grafik fungsi untuk n = 1, n=2, dan n = 3

14

Gambar (7). Gambar (8).

Grafik fungsi S1 ( x ), S2 ( x ), dan S3 ( x ) Grafik fungsi f ( x )

15

3. Basis Haar

Basis yang menjadi basis dasar dalam Wavelet adalah basis Haar, yakni

ψ ( x )={ 1 ,0≤x ≤12

−1, 12≤x ≤1

0 , yang lain

Akan dicari pendekatan nilai f ( x ) sampai orde ke-n

f n=¿ψ0 , f >¿ψ0+¿ψ1 , f >¿ψ1+¿ψ2 , f >¿ψ2+…+¿ψn , f >¿ψn ¿¿¿¿

dengan

n=2 j+k

ψ0={ 1 ,0≤ x≤10 , yang lain

¿ψn , f≥∫ψ n ( x ) f ( x )dx

ψ j , k (x )=2 j /2ψ (2 j x−k )

Pertama, akan dicari nilai fungsi f ( x )=sin (πx )+cos (2 πx )+0.6 I[12 , 1]

(x)

dengan I[ 12 ,1]( x )={ 1 , 12 ≤x ≤10 , yang lain

Perhatikan source code program berikut.

16

Tampilan nilai fungsi f ( x ) adalah sebagai berikut.

Grafik fungsi f ( x ) dapat dilihat pada Gambar (9) di halaman 19.

Selanjutnya, untuk menentukan nilai pendekatan fungsi f ( x ) sampai orde ke-n digunakan basis Haar sebagai building block dalam Wavelet.

Perhatikan beberapa source code program di bawah ini.

17

Keterangan: Fungsi utama yang menghitung nilai pendekatan fungsi f ( x ) sampai orde ke-n.

Keterangan: Fungsi yang digunakan untuk mencari

¿ψn , f >ψn=(∫ψn ( x ) f ( x )dx )ψn

18

Keterangan: Fungsi yang digunakan untuk mencari fungsi

ψ j , k (x )=2 j /2ψ (2 j x−k )

Terakhir, dicari nilai pendekatan fungsi f ( x ) sampai orde ke-n.

Untuk f 3, n=3.

19

Perhatikan grafik fungsi yang terbentuk pada Gambar (10) di halaman 19.

Untuk f 15, n=15.

20

Perhatikan grafik fungsi yang terbentuk pada Gambar (11) di halaman 19.

Untuk f 63, n=63.

21

Perhatikan grafik fungsi yang terbentuk pada Gambar (12) di halaman 19.

22

Analisis:

Dari hasil grafik fungsi yang terbentuk, dapat dilihat bahwa untuk nilai orde n=3 dan n=15, grafik yang terbentuk semakin rapat, mendekati fungsi f ( x ) yang sebenarnya. Namun untuk nilai orde n=63, grafik yang terbentuk tidak menyerupai fungsi f ( x ) yang sebenarnya.

23

4. Pembangkitan matriks W

Akan dibangkitkan matriks W berukuran 100x100 dengan struktur sebagai berikut:

Perhatikan bahwa matriks W berukuran nxn dengan n bilangan genap positif.

Source code program yang dibuat dengan memanfaatkan MATLAB pada halaman selanjutnya dapat digunakan untuk membangkitkan matriks W berukuran nxn (tidak hanya 100x100) dengan struktur di atas.

24

Hasil running program yang dijalankan pada Command Window dapat dilihat pada gambar di bawah.

Catatan: Karena layar jendela kerja tidak memungkinkan untuk menampilkan matriks W berukuran 100x100, maka akan dibangkitkan matriks W berukuran 14x14 untuk mewakili struktur matriks yang terbentuk.

25

Catatan: Matriks W berukuran nxn dengan struktur di atas hanya dapat dibangkitkan untuk n bilangan genap (positif). Bila n bilangan bulat negatif atau n bilangan ganjil, maka matriks W tidak dapat dibangkitkan.

26

5. Image Processing

Misal diberikan gambar grayscale berukuran 450x450. Dari gambar tersebut hanya akan ditampilkan daerah yang dibatasi oleh 4 titik, yakni (151,151), (300,151), (300,300), dan (151,300).

Berikut langkah-langkah penyelesaiannya:

Pertama akan dimasukkan gambar ke jendela kerja MATLAB (perhatikan bahwa gambar harus berada di work Directory MATLAB).

Catatan:

1. Karena gambar yang digunakan bukan berupa gambar grayscale, maka akan diubah terlebih dahulu menjadi gambar grayscale dengan kombinasi:

Gray = 0,3 * red + 0,5 * green + 0,2 * blue

2. Karena gambar yang digunakan tidak berukuran 450x450 (ukuran lebih besar, yakni 640x480), maka gambar akan di-crop terlebih dahulu menjadi ukuran yang diinginkan dengan menggunakan perintah ‘imcrop’.

Perhatikan gambar yang terbentuk pada Gambar (13) di halaman 26.

Langkah ke-2 adalah membentuk matriks M dengan struktur:

M=[Z150 Z150 Z150Z150 I 150 Z150Z150 Z150 Z150

]di mana Z150=zeros (150 ) matriks nol berukuran 150x150

I 150=identity (150 ) matriks identitas berukuran 150x150

27

Mengubah gambar menjadi gambar grayscale

Panggil gambar

Mengubah ukuran gambar menjadi 450x450

Catatan:

Perhatikan ukuran dan class matriks yang terbentuk. Gunakan perintah ‘whos’. Ternyata matriks M (diwakili dengan matriks ‘m’) yang terbentuk berukuran 450x450 dengan class ‘double’, sementara gambar grayscale (diwakili dengan matriks ‘a’) yang digunakan berupa matriks berukuran 450x450 dengan class ‘uint8’. Karena operasi perkalian matriks harus memiliki dimensi dan class yang sama (umumnya berupa ‘scalar’), maka class matriks a akan diubah terlebih dahulu menjadi class bertipe ‘double’. Gunakan perintah ‘im2double’.

Langkah terakhir adalah melakukan perkalian matriks M*A dan M*A*M.

Melalui perkalian matriks M*A*M akan ditampilkan gambar dalam batasan daerah yang diinginkan, yakni (151,151), (300,151), (300,300), dan (151,300).

28

Membangkitkan matriks M

Perhatikan gambar yang terbentuk pada halaman selanjutnya.

29

Melakukan perkalian matriks m*a dan m*a*m, serta menampilkan

gambar yang terbentuk

Gambar (13). Gambar (14).

Gambar grayscale yang digunakan Hasil perkalian M*A

Gambar (15). Hasil perkalian M*A*M

30