struktur data & algoritma -...

Struktur Data & Algoritma

Suryana Setiawan, Ruli Manurung & Ade Azurat(acknowledgments: Denny)‏

1

Fasilkom UI

SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P

AVL Tree

Semester Ganjil – 2009/2010

2SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Tujuan

Memahami variant dari Binary Search Tree yang

balanced

3SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Outline

AVL Tree

Definition

Property

operations

4SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Motivasi

Binary Search Tree yang tidak balance dapat membuat

seluruh operasi memiliki kompleksitas running time

O(n) pada kondisi worst case.

5SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

X X

AVL Trees

Untuk setiap node dalam tree, ketinggian subtree di

anak kiri dan subtree di anak kanan hanya berbeda

maksimum 1.

H

H-1H-2

6SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

AVL Trees

10

5

3

20

2

1 3

10

5

3

20

1

43

5

7SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

AVL Trees

12

8 16

4 10

2 6

14

8SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

12

8 16

4 10

2 6

14

1

Insertion pada AVL Tree

Setelah insert 1

9SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Insertion pada AVL Tree

Untuk menjamin kondisi balance pada AVL tree,

setelah penambahan sebuah node. jalur dari node baru

tersebut hingga root di simpan dan di periksa kondisi

balance pada tiap node-nya.

Jika setelah penambahan, kondisi balance tidak

terpenuhi pada node tertentu, maka lakukan salah satu

rotasi berikut:

Single rotation

Double rotation

10SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Kondisi tidak balance

RP

Q

k1

k2

Q

k2

P

k1

R

Sebuah penambahan pada subtree:

P (outside) - case 1

Q (inside) - case 2

Sebuah penambahan pada subtree:

Q (inside) - case 3

R (outside) - case 4

HP=HQ=HR

11SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

A

k2

B

k1

CCBA

k1

k2

Single Rotation (case 1)‏

HA=HB+1HB=HC

12SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Single Rotation (case 4)‏

C

k1

B

k2

AA B C

k2

k1

HA=HBHC=HB+1

13SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Q

k2

P

k1

RR

P

Q

k1

k2

Keterbatasan Single Rotation

Single rotation tidak bisa digunakan untuk kasus 2 dan

3 (inside case)‏

HQ=HP+1HP=HR

14SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

C

k3

A

k1

D

B

k2

Double Rotation: Langkah

C

k3

A

k1

D

B

k2

HA=HB=HC=HD

15SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

C

k3

A

k1

DB

k2

Double Rotation: Langkah

16SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

C

k3

A

k1

D

B

k2

C

k3

A

k1

DB

k2

Double Rotation

HA=HB=HC=HD

17SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

B

k1

D

k3

A

C

k2

B

k1

D

k3

A C

k2

Double Rotation

HA=HB=HC=HD

18SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

3

Contoh

penambahan 3 pada AVL tree

11

8 20

4 16 27

8

8

11

4 20

3 16 27

19SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Contoh

penambahan 5 pada AVL tree

5

11

8 20

4 16 27 8

11

5 20

4 16 27

8

20SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

AVL Trees: Latihan

Coba simulasikan penambahan pada sebuah AVL

dengan urutan penambahan:

10, 85, 15, 70, 20, 60, 30, 50, 65, 80, 90, 40, 5, 55

21SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Operasi: Remove pada AVL Tree

1. Menghapus node pada AVL Tree sama dengan menghapus binary search

tree procedure dengan perbedaan pada penanganan kondisi tidak balance.

2. Penanganan kondisi tidak balance pada operasi menghapus node AVL tree,

serupa dengan pada operasi penambahan. Mulai dari node yang diproses

(dihapus) periksa seluruh node pada jalur yang menuju root (termasuk

root) untuk menentukan node tidak balance yang pertama

3. Terapkan single atau double rotation untuk menyeimbangkan tree.

4. Bila Tree masih belum balance, ulangi lagi dari langkah 2.

22SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Menghapus node X pada AVL Trees

Deletion:

Kasus 1: jika X adalah leaf, delete X

Kasus 2: jika X punya 1 child, X digantikan oleh child tsb.

Kasus 3: jika X punya 2 child, ganti X secara rekursif dengan

predecessor-nya secara inorder

Rebalancing

23SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 55 (Kasus 1)‏

60

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

55

24SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 55 (Kasus 1)‏

60

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

55

25SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 50 (Kasus 2)‏

60

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

55

26SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 50 (Kasus 2)‏

60

20 70

10 40 65 85

5 15 3050 80 90

55

27SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 60 (Kasus 3)‏

60

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

55

prev

28SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 60 (Kasus 3)‏

55

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

29SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 55 (Kasus 3)‏

55

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

prev

30SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 55 (Kasus 3)‏

50

20 70

10 40 65 85

5 15 30 80 90

31SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 50 (Kasus 3)‏

50

20 70

10 40 65 85

5 15 30 80 90

prev

32SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 50 (Kasus 3)‏

40

20 70

10 30 65 85

5 15 80 90

33SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 40 (Kasus 3)‏

40

20 70

10 30 65 85

5 15 80 90

prev

34SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 40 : Rebalancing

30

20 70

10 65 85

5 15 80 90

Kasus ?

35SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 40: setelah rebalancing

30

7010

20 65 855

15 80 90

Single rotation is preferred!

36SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 5

30

7010

20 65 855

15 80 90

37SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 5

30

7010

20 65 85

15 80 90

Double rotation is required!

38SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 5 (After Rotation)

30

70

1020 65 85

15

80 90

Double rotation is required!

39SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 10 & 15

30

70

1020 65 85

15

80 90

Double rotation is required!

40SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 10 & 15

30

7020

65 85

80 90

Single rotation is required!

41SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 10 & 15

30

70

2065

85

80 90

Single rotation is required!

42SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 60

30

50

2040

70

60 80

1015

5

4590

43SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 60 (Setelah rotasi pertama)

30

50

2040

80

70 90

1015

5

45

44SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Delete 60 (Setelah rotasi kedua)

30

5020

4080

70 90

1015

5 45

45SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Jumlah node minimum pada AVL Tree

Sebuah AVL Tree dengan tinggi H memiliki paling tidak sebanyak FH+3-1

nodes, dimana Fi elemen ke-i dari deret bilangan fibonacci.

S0 = 1

S1 = 2

SH = SH-1 + SH-2 + 1

SH-1

SH-2

H

H-1H-2

46SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

AVL Tree: analisa (1)

1.3282log1.44

5/

(roughly)leastathasHheightofTree

1.6182/51

5/

3

)+(N<H

φ

AVL

)+(=φ

φF

+H

i

i

47SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

AVL Tree: analisa (2)‏

Tinggi sebuah AVL tree merupakan fungsi logaritmik

dari jumlah seluruh node. (ukuran AVL Tree)

Oleh karena itu, seluruh operations pada AVL trees

juga logaritmik

48SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Implementasi AVL Tree

Beberapa method sama atau serupa dengan Binary

Search Tree.

Perbedaan utama terdapat pada tambahan proses

balancing dengan single dan double rotation.

Perlu tidak nya dilakukan balancing perlu diperiksa

setiap kali melakukan insert dan remove.

Kita akan pelajari lebih dalam bagaimana implementasi

method insert pada AVL Tree.

49SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Ide

Setiap kali melakukan insert, perlu mencek pada node

yang dilewati apakah node tersebut masih balance

atau tidak.

Proses insertion adalah top-down, dari root ke leaf.

Proses pengecekan balancing adalah bottom-up, dari

leaf ke root.

50SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Algoritma insertion

1. Letakkan node baru pada posisi yang sesuai

sebagaimana pada Binary Search Tree. Proses

pencarian posisi dapat dilakukan secara rekursif.

2. Ketika kembali dari pemanggilan rekursif, lakukan

pengecekan apakah tiap node yang dilewati dari leaf

hingga kembali ke root, apakah masih balance atau

tidak.

3. Bila seluruh node yang dilewati hingga kembali ke

root masih balance. Proses selesai.

51SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Algoritma insertion (lanj.)

1. Untuk setiap node yang tidak balance lakukan

balancing.

a. Bila insertion terjadi pada “outside” lakukan single

rotation

b. Bila insertion terjadi pada “inside” lakukan double

rotation.

2. Lakukan pengecekan dan balancing hingga root.

52SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Diskusi?

Bagaimana menentukan insertion terjadi pada bagian

“inside” atau “outside” ?

53SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Pseudo code

public static <A extends Comparable<A>> AvlNode<A>

insert( A x, AvlNode<A> t ){

if( t == null )

t = new AvlNode<A>( x, null, null );

else if( x.compareTo( t.element ) < 0 )

{

t.left = insert( x, t.left );

if(Math.abs(height( t.left ) - height( t.right )) == 2 )

if( x.compareTo( t.left.element ) < 0 )

t = rotateWithLeftChild( t );

else

t = doubleWithLeftChild( t );

}

else if( x.compareTo( t.element ) > 0 )

{

// simetris dengan program diatas

}

return t;

}

54SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Diskusi

Apakah implementasi tersebut sudah efisien?

Perhatikan pemanggilan method height !

55SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Pseudo code

public static <A extends Comparable<A>> AvlNode<A>

insert( A x, AvlNode<A> t ){

if( t == null )

t = new AvlNode<A>( x, null, null );

else if( x.compareTo( t.element ) < 0 )

{

t.left = insert( x, t.left );

if(Math.abs(height( t.left ) - height( t.right )) == 2 )

if( x.compareTo( t.left.element ) < 0 )

t = rotateWithLeftChild( t );

else

t = doubleWithLeftChild( t );

}

else if( x.compareTo( t.element ) > 0 )

{

// simetris dengan program diatas

}

return t;

}

56SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Pseudo code AvlNode

class AvlNode<A extends Comparable<A>> extends BinaryNode<A>{

// Constructors

AvlNode( A theElement ) {

this( theElement, null, null );

}

AvlNode( A theElement, AvlNode<A> lt, AvlNode<A> rt ) {

element = theElement;

left = lt;

right = rt;

height = 0;

}

public int height(){

return t.height;

}

// Friendly data; accessible by other package routines

A element; // The data in the node

AvlNode<A> left; // Left child

AvlNode<A> right; // Right child

int height; // Height

}

57SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Pseudo code

public static <A extends Comparable<A>> AvlNode<A>

insert( A x, AvlNode<A> t ){

if( t == null )

t = new AvlNode<A>( x, null, null );

else if( x.compareTo( t.element ) < 0 )

{

t.left = insert( x, t.left );

if(Math.abs(height( t.left ) - height( t.right )) == 2 )

if( x.compareTo( t.left.element ) < 0 )

t = singleRotateWithLeftChild( t );

else

t = doubleRotateWithLeftChild( t );

}

else if( x.compareTo( t.element ) > 0 )

{

// simetris dengan program diatas

}

t.height = max( height( t.left ), height( t.right ) ) + 1;

return t;

}

58SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Diskusi

Apakah ada cara lain?

Hanya menyimpan nilai perbandingan saja.

• Nilai -1, menyatakan sub tree kiri lebih tinggi 1 dari sub tree kanan.

• Nilai +1, menyatakan sub tree kanan lebih tinggi 1 dari sub tree kiri

• Nilai 0, menyatakan tinggi sub tree kiri = tinggi sub tree kanan

Kapan dilakukan rotasi?

• Bila harus diletakkan ke kiri dan node tersebut sudah bernilai -1

maka dinyatakan tidak balance

• Berlaku simetris

• Lihat contoh animasi

59SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Pseudocode: Single rotasi

static <A extends Comparable<A>> AvlNode<A>

singleRotateWithLeftChild( AvlNode<A> k2 )

{

AvlNode<A> k1 = k2.left;

k2.left = k1.right;

k1.right = k2;

// update tinggi kedua node.

return k1;

}

60SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Pseudocode: Double rotasi

static <A extends Comparable<A>> AvlNode<A>

doubleRotateWithLeftChild( AvlNode<A> k3 )

{

k3.left = singleRotateWithRightChild( k3.left );

return singleRotateWithLeftChild( k3 );

}

61SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

AVL Trees: Latihan

Coba simulasikan urutan proses pada sebuah AVL Tree

berikut ini

insert 10, 85, 15, 70, 20, 60, 30,

delete 15, 10,

insert 50, 65, 80,

delete 20, 60,

insert 90, 40, 5, 55

delete 70

Gambarkan kondisi akhir dari AVL Tree tersebut.

62SUR – HMM – AA Fasilkom UI - IKI20100/ IKI80110P Semester Ganjil – 2009/2010

Rangkuman

Mencari elemen, menambahkan, dan menghapus,

seluruhnya memiliki kompleksitas running time O(log

n) pada kondisi worst case

Insert operation: top-down insertion dan bottom up

balancing