statistika lingkungan

TEORI PROBABILITAS

Probabilitas - pendahuluanStatistika deskriptif : menggambarkan data

Statistik inferensi kesimpulan valid dan perkiraan akurat ttg populasi dengan mengobservasi sampel

Teori probabilitas sbg dasar statistika inferens

Kategori Probabilitas Probabilitas Apriori: probabilitas yang telah

ditentukan sebelumnya P[A]= n (A)/n(S)

Probabilitas frekuensi relatif (empiris): probabilitas berdasarkan fakta setelah kejadian P[A]= f/n ; f=jumlah kejadian A muncul; n= jumlah sampel /eksperimen

Probabilitas subyektif: probabilitas berdasarkan pertimbangan seseorang

Contoh:1. Probabilitas bayi cacat yang dilahirkan oleh

seorang Ibu yang menderita campak Jerman saat hamil?

2. Probabilitas anak kidal yang dilahirkan dari pasangan kidal dan tidak kidal?

3. Hasil analisa air sungai menunjukkan bahwa dari pengalaman yang ada , 8 % dari 100 sampel mengandung kadar fosfat yang tdk terdeteksi jika dianalisa dengan menggunakan metode rutin.

PERANAN PROBABILITASPembuatan model, analisis matematis, simulasi

komputer banyak didasarkan atas asumsi yang dalam kondisi ideal model kuantitatif mungkin bisa mendekati atau jauh dari kondisi sebenarnya.

Dalam pengembangan desain rekayasa keputusan dirumuskan pada ketidakpastian banyak keputusan terpaksa harus diambil:* tanpa memandang kelengkapan informasi* fenomena alamiah bersifat acak atau tak tentu

PERANAN PROBABILITASKuantifikasi ketidakpastian dan penilaian

pengaruhnya pada perilaku dan perancangan suatu sistem melibatkan konsep atau metode probabilitas (kemungkinan).

Variabel acak variabel yang tidak dapat diramalkan dengan pasti nilainya hanya dapat diramalkan dengan probabilitas.

PERANAN PROBABILITASKetidakpastian yang lain pemodelan atau

penaksiran tidak sempurna nilai rerata tidak akan bebas dari kesalahan terutama bila datanya terbatas.

Dalam beberapa hal taksiran lebih baik didasarkan atas pertimbangan seorang ahli

DASAR-DASAR PROBABILITASProbabilitas mengacu pada terjadinya suatu peristiwa (event)

relatif terhadap peristiwa lain ada lebih dari satu kemungkinan masalah menjadi tidak tertentu (non deterministik).

sebagai ukuran numerik dari kecenderungan terjadinya suatu peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa lain.

memerlukan identifikasi himpunan semua kemungkinan, yaitu ruang kemungkinan (possibility space) dan peristiwa yang ditinjau

DASAR-DASAR PROBABILITAS Contoh : aerator taksiran kemungkinan masa layan selama 6 tahun

adalah 50%.Digunakan 3 aerator pertanyaan: berapa probabilitas 1 aerator masih baik setelah 6 tahun?

Satu aerator yang baik 3 kombinasi : B-R-R, R-R-B dan R-B-R probabilitas adalah 3/8 atau 37,5%

Aerator 1 B B B R R R B R

Aerator 2 B B R R B R R B

Aerator 3 B R R R B B B R

Konsep ProbabilitasRuang sampel: gabungan semua kemungkinan dalam

suatu masalah probabilitasTitik Sampel: setiap kemungkinan secara individualSifat ruang sampel: Diskrit – kontinu, berhingg atau tidak

berhingga. Suatu peristiwa sub himpunan dari ruang sampel.

S

A

S

Variabel DiskritDistribusi probabilitas variabel acak diskrit: gabungan seluruh kemungkinan yang terjadi

serta probabilitas untuk terjadi.

Expected value: merupakan nilai rata-rata (µx) semua kemungkinan peristiwa, dengan nilai setiap kemungkinan merupakan frekuensi relatif atau probabilitas

04/21/23 Dwina Roosmini11

ELEMEN TEORI HIMPUNANPeristiwa mustahil (impossible event)

peristiwa yang tidak mempunyai titik sampel himpunan kosong.

Peristiwa tertentu (certain event) S peristiwa yang mengandung semua titik sampel dalam ruang sampel.

Peristiwa komplementer (complementary event) E semua titik sampel dalam S yang tidak terkandung dalam E

ELEMEN TEORI HIMPUNAN

Pasien hipertensi

Pasien kelebihan berat badan Pasien perokok

Not mutually exclusive

Mamalia Unggas

Mutually exclusive

Binatang

IndependenPeristiwa terjadi dengan bebas

Kelinci yang diinokulasi virus polioDarah kelinci mengandung antibodi cacar

Kelinci yang diinokulasi virus polioDarah kelinci mengandung antibodi polio

Aturan Probabilitas1. Probabilitas adalah nilai antara 0 dan 1 yang

merupakan hasil suatu proses atau eksperimen/pengamatan

2. Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut komplemen A dengan lambang A’. Jika P(A) merupakan probabilitas kejadian A maka

P(A’)= 1- P(A)

3. Jika peristiwa A dan B ME, maka probabilitas A dan B terjadi bersama adalah 0

04/21/23 Dwina Roosmini17

Aturan probabilitas (lanj.)4. Jika persitiwa A dan B ME, maka

probabilitas baik A atau B terjadi adalah jumlah probabilitas masing-masing P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P (B)

5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah P(A atau B)= P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)

6. Jika dua peristiwa saling dependen, maka probablilitas kondisional B terjadi setelah A terjadi adalah P(B/A)= P(A dan B)/P(A)

04/21/23 Dwina Roosmini18

Aturan probabilitas (lanj.)7. Jika peristiwa A dan B independen, probabilitas

bahwa baik peristiwa A dan B akan terjadi adalah:

P(A dan B) = P(AB) = P(A) x P(B) 8. Jika peristiwa A dan B not independen,

probabilitas bahwa A dan B akan terjadi adalah:

P(A dan B)= P(AB) = P (A) x P(B/A)

04/21/23

Dwina Roosmini19

Contoh:Analisa kimia air laut menunjukkan

kandungan Pb dan Hg. Hasil analisa menunjukkan bahwa pada sampel dekat dekat muara sungai, 38% sampel mengandung Hg atau Pb tinggi, 32 % sampel mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan Hg. Berapa probabilitas bahwa sampel tersebut akan mengandung Hg dan berapa yang hanya mengandung Pb?

Probabilitas dalam melempar dadu mendapatkan nilai genap?

Lokasi produksi

mobil

Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama pemakaian

Jumlah

Ya Tidak

US 7 293 300

Non US 13 187 200

20 480 500

a. Pembelian 1 bh mobil Probabilitas mobil perlu perbaikan ?

b. Probabilitas jumlah mobil br perlu perbaikan dan diproduksi di US?

c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan?

d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di US?

e. Probabilitas mobil baru produksi US yang perlu perbaikan ?

a. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?

P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan/jumlah total mobil baru

= 20/500 = 0,04 = 4%

b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?

P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan diproduksi di USA/jumlah total mobil baru

= 7/500 = 0,014 = 0,14%

Mutually Exclusivec. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan

dan yang tidak memerlukan perbaikan?

P(mobil memerlukan perbaikan atau tidak memerlukan perbaikan) = (20/500) + (480/500) = 1

Not Mutually Exclusived. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan

dan mobil yang diproduksi di USA

P(mobil memerlukan perbaikan atau diproduksi di USA) = P(memerlukan perbaikan)+ P(diproduksi di USA) - P(memerlukan perbaikan dan diproduksi di USA)= (20/500) + (300/500) – (7/500) = 0,626 = 62,6 %

IndependenProbabilitas akan diperoleh angka 5 pada 2

kali pelemparan dadu?

P(A dan B) = P(A) x P(B)

Distribusi ProbabilitasTerdapat 2 kelompok: Distribusi probabilitas diskrit Distribusi probabilitas kontinu

04/21/23 Dwina Roosmini27

Distribusi Probabilitas Diskrit

BinomialHypergeometri

kPoissonGeometrikMultinomial

NormalBinomialUniformLog NormalGamma

04/21/23 Dwina Roosmini28

Distribusi Probabilitas Kontinu

Expected Value µx=E(x)=∑ Xi P(Xi)

X= Variabel acak distkrit Xi= Hasil X pada perlakuan I P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X i = 1,2,3,….,n

Varians = σx2=∑(Xi-µx)2 P(Xi)

Standard Deviasi = σx

04/21/23 Dwina Roosmini29

Contoh: Data kecelakaan lalu lintas

XFrek. Relatif

P(X)

0 6 0,10

1 12 0,20

2 27 0,45

3 9 0,15

4 3 0,05

5 3 0,05

04/21/23 Dwina Roosmini 30

Nilai rata-rata/Expected value?

Varians dan standard deviasi?

Expected value=µx= Ex= ∑ Xi P(Xi)=

(0)*(0,10)+(1)*(0,20)+(2)*(0,45)+(3)*(0,15)+(4)*(0,05)+(5)*(0,05)= 2

Varians= (0-2)2*(0,10)+(1-2)2*(0,2)+(2-2)2*(0,45)+ (3-

2)2*(0,15)+ (4-2)2*(0,05)+(5-2)2*(0,05)= 1,4

Standard Deviasi= √1,4=1,18

04/21/23 Dwina Roosmini31

Distribusi BinomialDigunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi:

1.Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak

2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya

3. Hanya ada dua kemungkinan hasil

4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya

04/21/23 Dwina Roosmini32

Distribusi Binomial

04/21/23 Dwina Roosmini 33

Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p

Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p

Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b

Distribusi Binomial

xnx

xnx pxnx

pnpp

x

npnxb

)1(

)!(!

!)1(),;(

)1( pnp

04/21/23 Dwina Roosmini 34

Dimana x= 0,1,2,3,…n

n!=n(n-1)(n-2)(n-3)……..

0!=1

Rerata= =n*p

Simpangan baku=

Distribusi BinomialTentukan probabilitas untuk mendapatkan secara tepat dua peristiwa dalam 4 sampel, dimana probabilitas keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3.

2646,0)3,01(3,02

4)3,0,4;2( 242

b

Dwina Roosmini35 04/21/23

Tabel Distribusi Binomialn x p

0,05 0,1 0,5

16 0 ……

1 0,8108

2 0,9571

3 0,9930

),;1(),;(),;( pnxBpnxBpnxb

04/21/23 Dwina Roosmini36

Distribusi Hipergeometris Berlaku jika pengambilan sampel dilakukan tanpa

pengembalian kembali

Jumlah sampel n, dari N populasi a diantaranya rusak

Sampel 1= probabilitas mengambil yang rusak = a/N

Sampel 2= terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak:

1. a/(N-1) jika sampel 1 yang terambil bukan yang rusak dan2. (a-1)/(N-1) jika sampel 1 terambil yang rusak

Probabilitas mendapatkan x berhasil dalam n percobaan= h

04/21/23 Dwina Roosmini37

Distribusi hipergeometrik

)1(2))((.2

)/(

,...2,1,0)()(dan

:dimana

)(),,;(

NNnNaNan

NanrataRata

nxaNxnax

n

Nxn

aN

x

a

xPNanxh

04/21/23 Dwina Roosmini38

Distribusi HipergeometrikSuatu kotak yang berisi 40 suku cadang akan memenuhi persyaratan penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 suku cadang yang cacat. Dipilih 5 sampel suku cadang secara acak, berapa kemungkinan mendapat tepat satu yang cacat dalam 5 sampel diatas bila dalam kotak tersebut berisi 3 yang cacat

04/21/23 Dwina Roosmini39

Distribusi Poisson Observasi yang dapat dilakukan pada kejadian

diskret dalam suatu area kesempatan, contoh: jumlah telepon panggilan perjam pada kantor polisi; jumlah laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dll

Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan p<< n.p ≤10

Batasan:1. konstant untuk setiap unit waktu dan ruang2. probabilitas lebih dari satu peristiwa dalam satu titik

waktu atau ruang adalah 03. peristiwa satu dengan lainnya independen

04/21/23 Dwina Roosmini40

Distribusi Poisson

s peristiwa rata-rata

,...3,2,1,0untuk !

);(

xx

xexP

04/21/23 Dwina Roosmini41

Hasil pengukuran kualitas udara selama 9 perioda menunjukkan hasil sebagai berikut:

3, 1, 10, 2, 4, 6, 8, 2 ppb

Pada konsentrasi rendah hanya akan dilaporkan sampai dengan besaran tertentu. Berapakah probabilitas bahwa pada perioda monitoring berikutnya hanya ada satu atau kurang dari satu ppb?

Distribusi GeometrisBila peristiwa berhasil pertama akan dicapai

setelah x percobaan, gagal= x-1.Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal

(x-1) pada percobaan (x-1) adalah g

p

dengan

xppxPpxg

/1

1)1()();(

Dwina Roosmini42 04/21/23

Distribusi MultinomialSampel n bersifat bebas

Semua hasil merupakan mutually exclusive

Digunakan jika hasil pengamatan terdapat lebih dari 2, mis: nilai A, B, C, D

xkpkxpxpxkxxx

nxkxxxm ...2211!!...3!2!1

!),...,3,2,1(

Dwina Roosmini43 04/21/23