riset operasionaluipnusra.id/siamad/public/uploads/files_stamp/transmisi/...riset operasional...
Post on 01-Dec-2020
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Riset OperasionalPertemuan 3:
“Program Linier: Metode Simpleks”Dosen : MOH. ALI ALBAR, ST., M.Eng
Program Studi Teknik Informatika
Fakultas Teknik UNRAM
2016
Merupakan perluasan metode grafik
Prinsip kerja metode simpleks dan grafik sebenarnya sama, yaitu mencari
nilai fungsi di titik ujung daerah fisibel.
Hanya saja dalam metode simpleks, pencarian iteratif dilakukan secara
numerik sehingga terhindar dari keterbatasan jumlah variabel seperti yang
dialami oleh metode grafik.
3.1 Bentuk Standar Simpleks
Sebelum melakukan proses iterasi metode simpleks, masalah harus terlebih dahulu
dibawa ke bentuk standar metode simpleks
Bentuk standar metode simpleks adalah sebagai berikut:
Maksimumkan/Minimumkan
dengan kendala:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
...
...
...
...
, , ..., 0 , , ..., 0
n n
n n
m m mn n m
n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
X x x x dan b b b b
1 1 2 2 ... n nf X c x c x c x
Dalam notasi vektor/matriks, bentuk standar simpleks dapat dinyatakan
sebagai
Maksimumkan/Minimumkan
dengan kendala:
11 12 1 1 1
21 12 2 2 2
1 2
1 2
0, 0
...
...; ; ; , , ...,
... ... ... ... ... ...
...
n
n
n
m m mn n n
Ax b
x b dengan
a a a x b
a a a x bA x b c c c c
a a a x b
z c x
Dalam bentuk standar metode simpleks, ada 2 hal yang harus diperhatikan:
1. Semua kendala harus berbentuk persamaan. Apabila kendala berbentuk
pertidaksamaan, maka harus diubah ke bentuk persamaan dengan
penambahan variabel slack secukupnya. Koefisien variabel slack dalam fungsi
sasaran = 0
2. Semua ruas kanan kendala tidak boleh negatif. Apabila ada kendala yang ruas
kanannya negatif maka harus diubah dulu menjadi tak negatif dengan
mengalikan kendala tersebut dengan (-1).
Contoh 3.1 Jadikan betuk berikut ini menjadi bentuk standar simpleks:
a. Maksimumkan
Kendala:
b. Minimumkan
Kendala:
1 2z x x
1 2
1 2
1 2
5 5
2 4
, 0
x x
x x
x x
1 2 32 4z x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 2 3 7
2 2 8
, , 0
x x x
x x x
x x x
Penyelesaian
Jadikan bentuk berikut ini menjadi bentuk standar simpleks :
a. Maksimumkan Z = x1 + x2
Kendala x1 + 5 x2 5
2 x1 + x2 4 x1, x2 0Penyelesaian :
Tiap kendala yg berbentuk pertidaksamaan harus ditambah
variabel slack agar menjadi persamaan
Kendala x1 + 5 x2 = 5
2 x1 + x2 = 4
Maksimumkan Z = x1 + x2
x1, x2 0
x 3
x4
+
+
+ x3 + x400
, x3 , x4
x3 dan x4 adalah
variabel slack. Koefisien
variabel slack di fungsi
tujuan = 0
b. Minimumkan Z = 2 x1 - x2 + 4 x3
Kendala 5 x1 + 2 x2 - 3 x3 -7
2 x1 - 2 x2 + x3 8
x1, x2, x3 0
Penyelesaian :
Ada 2 syarat bentuk standar simpleks :
• Ruas kanan (konstanta) kendala tidak negatif (tidak dipenuhi oleh kendala-1)
kalikan kedua ruas dengan -1
• Semua kendala berbentuk persamaan (tidak dipenuhi oleh kedua kendala)
tambahkan 2 buah variabel slack
Untuk kendala
, variabel
slack bertanda
negatif
Karena kedua kendala berbentuk pertidaksamaan, maka
tambahkan variabel slack untuk tiap kendala
Minimumkan Z = 2 x1 - x2 + 4 x3
Kendala -5 x1 - 2 x2 + 3 x3 7
2 x1 - 2 x2 + x3 8
x1, x2, x3 0
Kalikan kedua ruas kendala 1 dengan -1. Model menjadi :
Kendala -5 x1 - 2 x2 + 3 x3 = 7
2 x1 - 2 x2 + x3 = 8
Minimumkan Z = 2 x1 - x2 + 4 x3
x1, x2 , x3 0
x4
x5
-
+
+ x4 + x500
, x4, x5
Perhatikan bahwa tanda
berubah menjadi akibat
perkalian kedua ruas
dengan (-1)
3.2 Metode Simpleks
Setelah menjadi bentuk standar simpleks, soal siap dimasukkan dalam tabel
simpleks untuk diselesaikan.
Bentuk awal tabel simpleks adalah:
Beberapa bagian penting dalam tabel simpleks adalah:
1. Koefisien-koefisien model program linier
Koefisien fungsi sasaran diletakkan pada baris paling atas.
Matriks kendala diletakkan pada bagian tengah.
Disebelah kanannya adalah nilai ruas kanan kendala
Semua koefisien harus dalam bentuk standar simpleks.
Pada setiap iterasi, nilai matriks A dan vektor b akan selalu direvisi.
2. Variabel basis
Diantara variabel-variabel yang ada, beberapa diantaranya merupakan variabel basis
Variabel basis akan menentukan penyelesaian program linier.
Revisi tabel pada tiap iterasi dilakukan dengan mengubah variabel basisnya.
Variabel basis diletakkan pada kolom ke 2. Koefisiennya diletakkan pada kolom paling kiri.
1 2, , ..., nc c c
ijA a
1 2, , ..., 0mb b b
3. Perhitungan nilai fungsi dan pengecekan optimalitas
Baris paling bawah dipakai untuk menentukan apakah tabel yang dibuat
sudah optimal.
Jika sudah optimal maka iterasi dihentikan.
Jika belum optimal, maka tabel perlu direvisi dengan mengubah variabel
basisnya.
Nilai fungsi pada setiap iterasi tampak pada sel di ujung kanan bawah.
Bagan alir
keseluruhan
proses
penyelesaian
program linier
dengan metode
simpleks
Bagan alir revisi
tabel apabila
tabel belum
optimal
Contoh 3.2
Program Linier – Simpleks Kendala
Contoh 3.2 : Selesaikan dengan metode simpleks !
Maksimumkan Z = 3x1 + 2 x2
Kendala x1 + 2 x2 20
3x1 + x2 20 ; x1, x2 0
Penyelesaian :
Ubah ke bentuk standar simpleks
Kendala x1 + 2 x2 = 20
3 x1 + x2 = 20
Maksimumkan Z = 3x1 + 2 x2
x1, x2 0
+ x3
+ x4
+ 0 x3 + 0 x4
, x3 , x4
var basis :
x3 dan x4
x1 bi
cj
x4x3x2xj
Iterasi Awal
20/3
201 0
3 11x40
2 1
0
x30
20
20/1 = 20
zj 00 00
3 02
0
0cj - zj
3 0
q
02
(cB)i (xB)i
Nilai fungsi
Koefisien fungsi tujuanCalon basis
Elemen
Kunci
keluar
dari basis
Variabel & koefisien
basis
Maksimumkan Z = 3x1 + 2 x2 + 0 x3 + 0 x4
Kendala x1 + 2 x2 + x3 = 20
3x1 + x2 + x4 = 20
0*1 + 0*3 0*2 + 0*1
0*20 + 0*20
Masih ada yg > 0 (soal maks) tabel perlu direvisi
Revisi Tabel (1)
Elemen di baris dimana basis keluar : masing-masing dibagi
dengan elemen kunci
a d
e hf
b c
g
var calon basis
var keluar dari basis
elemen kunci
'e
ef
' 1f
ff
'g
gf
'h
hf
'b e
a af
' 0b f
b bf
'b g
c cf
'b h
d df
(1) (1)2
3
3 002
zj
cj - z
j
201 0
3 11
2 1
0 20
Revisi Tabel (2)
zj
cj - z
j
x1
bi
cj
qx4
x3
x2
(cB)i (x
B)i
xj
20/3
20/1 = 20
x4
0
x3
0
00 00
3 02
0
0
x3
x13
0 0
1
-1/3
0
1
1/3
5/3
1/3 20/3
40/3
3 1 1020
0 01 -1
8
20
(0) (1)1
3
(1) (1)0
3
(1) (3)1
3
(20) (1)20
3
zj
cj - z
j
x1
zj
cj - z
j
x1
bi
cj
qx4
x3
x2
(cB)i (x
B)i
xj
3 002
Revisi Tabel (3)
x3
x13
0 0
1
-1/3
0
1
1/3
5/3
1/3 20/3
40/3
3 1 1020
0 01 -1
8
20
x2
3
2 0
1
-1/5
-1/5
3/5
0
1
2/5 4
8
3
0
2 4/5
-3/5
3/5
028
-4/5
Tabel Opt
x1 = 4
x2 = 8
f(X) = 28
(1/ 3) (0)1
5/ 3
(1/ 3) (1)0
5/ 3
1 (1/ 3) ( 1/ 3)
3 5/ 3
20 (1/ 3) (40/ 3)
3 5/ 3
zj 0
0 00
3 02
0
0cj - z
j
3 0
x1
bi
cj
qx4
x3
x2
02
(cB)i (x
B)i
xj
0
1x1
3
1
0
x3
0 53
13
13
13
403
203
/ = 8403
53
/ = 20203
13
20/3
201 0
3 11x4
0
2 1
0
x3
0
20
20/1 = 20
zj 28
3 2
0 0cj - z
j
35
35
45
45
0
1x1
3
1
0
x2
2 35
25
15
15
8
4
zj 20
3 11
0 -11
0
0cj - z
j
Interpretasi Geometris
A (0,10)
B (20,0)
C (0, 20)
D (20/3, 0)
x1 + 2x2 = 20
3x1 + x2 = 20
x1 = 0
x2 = 0
x1 = 20/3
x2 = 0
x1 = 4
x2 = 8
Contoh 3.3
Selesaikan soal berikut dengan metode simpleks
Maksimumkan
Kendala:
1 2 3 1 2 3, , 5 15 30f x x x x x x
1 2 3
1 1 2 3
3 1 2 3
1 2 3
20 50 80 4000
0.5
0.2
, , 0
x x x
x x x x
x x x x
x x x
Penyelesaian
Lakukan sedikit penyederhanaan
Maksimumkan
Kendala:
1 2 3 1 2 3, , 5 15 30f x x x x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 5 8 400
0
4 0
, , 0
x x x
x x x
x x x
x x x
Penyelesaian
Bentuk standar simpleks:
Maksimumkan
Kendala:
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, , , , , 5 15 30 0 0 0f x x x x x x x x x x x x
1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 6
1 2 3 4 5 6
2 5 8 400
0
4 0
, , , , , 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
LANJUTAN TABEL
Maka titik optimalnya adalah
1 1 1
2000 1200 800 52000, ,
41 41 41 41x x dan x dengan nilai maksimum
x1, x2 0, x3 , x4
Contoh 3.4
Program Linier – Simpleks dgn Kendala (1)
Contoh 3.4 : Selesaikan dengan metode simpleks !
Minimumkan Z = 12x1 + 5 x2
Kendala 4 x1 + 2 x2 80
2 x1 + 3 x2 90 ; x1, x2 0
Penyelesaian :
Ubah ke bentuk standar simpleks
Kendala 4 x1 + 12 x2 = 80
2 x1 + 3 x2 = 90
Minimumkan Z = 12x1 + 5 x2
- x3
- x4
+ 0 x3 + 0 x4
x3 dan x4 var
slack, tapi bukan
var basis krn
koefisien ≠ 1
Contoh 3.4
Program Linier – Simpleks dgn Kendala (2)
Tambahkan variabel semu x5, x6 agar muncul var basis
Soal me-min koef x5, x6 di fungsi sasaran = M (bil positif besar)
Minimumkan Z = 12x1 + 5 x2 + 0 x3 + 0 x4 + M x5 + M x6
Kendala 4 x1 + 2 x2 - x3 + x5 = 80
2 x1 + 3 x2 - x4 + x6 = 90
x1, ... , x6 0
Variabel basis : x5, x6
Contoh 3.4
Program Linier – Simpleks dgn Kendala (3)
zj
cj - z
j
bi
q(cB)i
cj
(xB)i
xj x
1x
2x
4x
3x
5x
6
12 005 MM
4
2 3
2
0
0
-1
-1 0
1
1
0 90
80 20
45
x5
M
x6
M
6M -M-M M M5M
12-6M MM5-5M 00170 M
zj
cj - z
j
40
25
50 M +
240
1/2
0
-1
-1/4 0
1
1/4
-1/2 50
20x1
12
x6
M
1
0 2
1/2
12 -M(M-6)/2 M2M + 6 (-M+6)/2
0 M-2M-1 0(-M+6)/2 (3M-6)/2Ada yg negatif
(kendala >=)
Tabel perlu
direvisi 4/4 = 1 2/4 = 1/2 3 – (2*2/4) = 2 0 – (-1*2/4) = 1/2
Contoh 3.4
Program Linier – Simpleks dgn Kendala (4)
zj
cj - z
j
bi
q(cB)i
cj
(xB)i
xj x
1x
2x
4x
3x
5x
6
12 005 MM
30
-
x1
12
x2
5
12 1/2-13/4 13/4 -1/25
0 -1/213/40 M+1/2M-13/4215
zj
cj - z
j
200
x4
0
x2
5 -1/2
1
0
-3/2 -1
0
3/2
1/2 40
304
2 -1
0
10 0-5/2 0-5 5/2
2 010 M5/2 M - 5/2
1/4
1/4
-1/2
-3/8 -1/4
1/2
3/8
-1/4 25
15/21
0 1
0
Tabel Optimal dengan :
x1 = 0 (krn bukan variabel basis)
x2 = 40
x3 = 0 (krn bukan variabel basis)
x4 = 30
Penyelesaian soal asli :
x1 = 0
x2 = 40
Semua cj – zj
Tdk ada yg negatif
Tabel optimal
Contoh 3.5
Selesaikan soal berikut dengan metode simpleks
Minimumkan
Kendala:
4 6x y z
2 10
4 20
3 40
, , 0
x y
y z
x z
x y z
Penyelesaian
Model terlebih dahulu dijadikan bentuk standar
Minimumkan
Kendala:
4 5 64 6 0 0 0x y z x x x
4
5
6
4 5 6
2 10
4 20
3 40
, , , , , 0
x y x
y z x
x z x
x y z x x x
Penyelesaian
Karena matriks kendala belum membentuk submatriks identitas maka pada
baris/kendala kedua dan ketiga harus ditambah variabel semu
Karena soalnya meminimumkan maka koefisien pada fungsi
sasaran = M (suatu bilangan positif besar)
Bentuk standar simpleks:
Minimumkan
Kendala:
7 8x dan x
7 8x dan x
4 5 6 7 84 6 0 0 0x y z x x x Mx Mx
4
5 7
6 8
4 5 6 7 8
2 10
4 20
3 40
, , , , , , , 0
x y x
y z x x
x z x x
x y z x x x x x
LANJUTAN TABEL
Maka penyelesaian masalahnya adalah 0, 0, 40x y dan z
Contoh 3.6
Selesaikan soal berikut dengan metode simpleks
Maksimumkan
Kendala:
1 230 20f x x
1 2
1 2
1 2
1 2
8
6 4 12
5 8 20
, 0
x x
x x
x x
x x
Penyelesaian
Jadikan bentuk standar simpleks dalam bentuk persamaan
Maksimumkan
Kendala:
1 2 3 430 20 0 0f x x x x
1 2 3
1 2 4
1 2
1 2 3 4
8
6 4 12
5 8 20
, , , 0
x x x
x x x
x x
x x x x
Penyelesaian
Dalam kendalanya belum terbentuk matrik identitas,sehingga perlu
ditambahkan variabel semu pada kendala ke-2 dan ke-3
Bentuk standar simpleks:
Maksimumkan
Kendala:
1 2 3 4 5 630 20 0 0f x x x x Mx Mx
1 2 3
1 2 4 6
1 2 5
1 2 3 4 5 6
8
6 4 12
5 8 20
, , , , , 0
x x x
x x x x
x x x
x x x x x x
LANJUTAN TABEL
Maka penyelesaian masalahnya adalah
1 24, 0 120x x dengan nilai maksimum fungsi
3.3 Kejadian Khusus
3.3.1 Alternatif Penyelesaian
Alternatif penyelesaian berarti ada 2 penyelesaian atau lebih yang
menghasilkan nilai optimal yang sama.
Adanya alternatif penyelesaian dalam metode simpleks dapat dilihat pada
tabel optimalnya.
Alternatif penyelesaian didapat dengan “memaksa” variabel xk menjadi basis
(meskipun sebenarnya tabelnya sudah optimal).
Contoh 3.7
Selesaikan soal berikut dengan metode simpleks
Maksimumkan
Kendala:1 2 1 2, 3f x x x x
1 2
1 2
1 2
2 20
3 20
, 0
x x
x x
x x
Penyelesaian
Bentuk standar masalah tersebut adalah sebagai berikut:
Maksimumkan
Kendala:
1 2 3 4 1 2 3 4, , , 3 0 0f x x x x x x x x
1 2 3
1 2 4
1 2 3 4
2 20
3 20
, , , 0
x x x
x x x
x x x x
Tampak pada iterasi kedua, tabel tersebut sudah otimal dengan penyelesaian
optimal (karena bukan variabel basis pada tabel optimal)
Tampak bahwa pada tabel optimalnya, meskipun bukan variabel basis
1 2
200
3x dan x
2 2 0c z 2x
Jika dipaksa menjadi basis
Tampak bahwa tabel sudah optimal dengan penyelesaian
2x
1 24 8x dan x
3.3.2 Penyelesaian Tak Terbatas
Penyelesaian tak terbatas berarti bisa diperbesar (atau diperkecil)
sampai titik tak berhingga.
Perhatikan bagan alir untuk merevisi tabel yang belum optimal
Setelah mendapatkan calon basis, langkah berikutnya adalah menguji apakah
ada elemen (elemen dalam kotak vertikal) yang
Jika ada maka langkah berikutnya adalah menghitung nilai dan menentukan
variabel yang harus keluar dari basis.
Akan tetapi, apabila semua , maka berarti penyelesaiannya tak
terbatas (bisa dikatakan juga bahwa soal tidak memiliki penyelesaian)
( )f x
qika 0
0ika
Contoh 3.8
Selesaikan soal berikut dengan metode simpleks
Maksimumkan
Kendala:1 2 1 2, 2 3f x x x x
1 2
1 2
1 2
2 4
3
, 0
x x
x x
x x
Penyelesaian
Bentuk standar simpleks:
Maksimumkan
Kendala:
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5, , , , 2 3 0 0f x x x x x x x x x Mx
1 2 3
1 2 4 5
1 2 3 4 5
2 4
3
, , , , 0
x x x
x x x x
x x x x x
Pada iterasi kedua, . Karena satu-satunya yang masih bernilai positif,
maka menjadi calon basis.
Akan tetapi sehingga nilai tidak bisa dicari. Ini
berarti bahwa soal memiliki penyelesaian tak terbatas
4 4 3 0c z
4x
14 242 0 1 0a dan a q
3.3.3 Soal Tidak Fisibel
Berarti soal tidak memiliki daerah fisibel (tidak memiliki titik yang memenuhi
semua kendala).
Dalam metode simpleks, variabel semu berfungsi sebaga katalisator agar
muncul matriks identitas sehingga proses simpleks dapat dilakukan.
Ada kalanya variabel semu tetap merupakan variabel basis pada tabel
optimalnya. Hal ini menunjukkan bahwa soalnya tidak fisibel.
Contoh 3.9
Selesaikan soal berikut dengan metode simpleks
Maksimumkan
Kendala:1 2 1 2, 4 3f x x x x
1 2
1 2
1
1 2
3
2 3
4
, 0
x x
x x
x
x x
Penyelesaian
Bentuk standar simpleks:
Maksimumkan
Kendala:
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, , , , , 4 3 0 0 0f x x x x x x x x x x x Mx
1 2 3
1 2 4
1 5 6
1 2 3 4 5 6
3
2 3
4
, , , , , 0
x x x
x x x
x x x
x x x x x x
Pada tabel terakhir, semua . Ini menunjukkan bahwa tabel sudah optimal.
Akan tetapi yang merupakan variabel semu masih tetap merupakan variabel basis.
Berarti soalnya tidak fisibel sehingga tidak memiliki penyelesaian optimal.
0j jc z
6x
3.3.4 Kemerosotan (Degeneracy)
Berarti ada titik sudut daerah fisibel yang terbentuk dari perpotongan 3 garis
atau lebih (umumnya, suatu titik terbentuk dari perpotongan 2 garis).
Jika titik merupakan perpotongan 3 garis atau lebih maka akan muncul
beberapa minimum yang sama.
Dalam hal ini boleh di ambil sembarang
Pemilihan yang berbeda akan menghasilkan jumlah iterasi yang berbeda
pula, meskipun hasil akhirnya sama.
q
q
q
Contoh 3.10
Selesaikan soal berikut dengan metode simpleks
Maksimumkan
Kendala:1 2 1 2, 5 3f x x x x
1 2
1 2
1 2
1 2
4 2 12
4 10
4
, 0
x x
x x
x x
x x
Penyelesaian
Bentuk standar simpleks:
Maksimumkan
Kendala:
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5, , , , 5 3 0 0 0f x x x x x x x x x x
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 2 3 4 5
4 2 12
4 10
4
, , , , 0
x x x
x x x
x x x
x x x x x
Pada iterasi ke-2 terdapat 2 buah nilai minimum yang sama-sama bernilai 2.
Untuk itu dipilih salah satunya secara sembarang.
q
3 5x atau x
TABEL 1
TABEL 2
Kedua tabel menghasilkan penyelesaian optimal yang sama, yaitu
1 22 2x dan x
3.3.5 Variabel Penyusun Tak Bersyarat
Dalam bentuk standar program linier disyaratkan bahwa semua variabel
penyusun harus
Apabila ada variabel penyusun yang bernilai bebas (boleh negatif), maka
sebelum masuk ke proses simpleks, masalah harus terlebih dahulu
ditransformasikan sehingga semua variabel penyusunnya
Caranya adalah dengan menyatakan variabel yang bernilai bebas sebagai
selisih 2 variabel baru yang keduanya
0
0
0
Contoh 3.11
Selesaikan soal berikut dengan metode simpleks
Maksimumkan
Kendala:1 2 3 1 2 3, , 3 2f x x x x x x
1 2 3
1 2
2 3
2 5 12
6 8 22
, 0
x x x
x x
x x
Penyelesaian
Perhatikan bahwa yang disyaratkan hanyalah saja, sedangkan
boleh bernilai sembarang.
Untuk menjadikan ke bentuk standar program linier, maka dinyatakan sebagai
selisih dua variabel baru
Dengan mensubstitusi ke model didapatkan:
Maksimumkan
Kendala:
2 3 4 5 4 5 2 3, , , 3( ) 2f x x x x x x x x
4 5 2 3
4 5 2
2 3 4 5
2( ) 5 12
6( ) 8 22
, , , 0
x x x x
x x x
x x x x
4 5x dan x
1 4 5x x x
2 3x dan x1x
1x
Bentuk standarnya:
Maksimumkan
Kendala:
2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7, , , , , 2 3 3 0 0f x x x x x x x x x x x x
2 3 4 5 6
2 4 5 7
2 3 4 5 6 7
5 2 2 12
8 6 6 22
, , , , , 0
x x x x x
x x x x
x x x x x x
Perhatikan bahwa variabel basis awal boleh diambil 3 6x ataupun x
Penyelesaian optimal:
Penyelesaian soal aslinya adalah
Perhatikan di sini bahwa yang bernilai sembarang tidak berarti harus bernilai negatif
dan juga tidak boleh diasumsikan sehingga proses simpleks juga tidak dapat
langsung digunakan.
2
3
4
5 6 7
0
28 14
6 3
22 11
6 3
0
x
x
x
x x x
1
2
3
11
3
0
14
3
x
x
x
1x0
TUGAS
Terakhir dikumpulkan Senin, 26-9-2016
No. 1
No. 2
No. 3
SELESAI
top related