respect, professionalism, &...
Post on 19-Feb-2018
237 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Penampang
Pertemuan – 4, 5, 6
Mata Kuliah : Mekanika Bahan
Kode : TSP – 205
SKS : 3 SKS
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• TIU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti
luas, momen statis, momen inersia
• TIK : Mahasiswa mampu menentukan pusat berat dan momen inersia
suatu penampang
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Sub Pokok Bahasan :
Pusat Berat
Momen Inersia
Teorema Sumbu Sejajar
Momen Inersia Polar
Produk Inersia
Rotasi Sumbu
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Letak pusat berat (CoG) merupakan besaran dasar yang penting, yang merupakan titik tolak untuk menentukan besaran penampang yang lainnya
• Suatu benda sembarang berada dalam koordinat xy, memiliki pusat berat di titik C, maka luas dari bidang tersebut dapat didefinisikan menggunakan integral sebagai berikut :
Pusat Berat (Center of Gravity)
dAA
dA adalah elemen diferensial dari area yang mempunyai koordinat x dan y
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Momen pertama (statis momen) dari area tersebut terhadap sumbu x dan y masing-masing didefinisikan sebagai berikut :
• Momen pertama menunjukkan jumlah dari hasil kali setiap area diferensial dan koordinatnya
• Momen pertama dapat bertanda positif atau negatif
• Momen pertama memiliki satuan panjang pangkat tiga (mm3, m3, in3)
Pusat Berat (Center of Gravity)
dAyQx dAxQy
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Koordinat pusat berat C sama dengan momen pertama dibagi luas
• Untuk kasus khusus, letak CoG suatu penampang dapat ditentukan dengan mudah
Pusat Berat (Center of Gravity)
dA
dAx
A
Qx
y
dA
dAy
A
Qy x
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)
Contoh 1
Sebuah semi segmen parabolik OAB dibatasi dengan sumbu x, sumbu y dan kurva parabolik yang mempunyai puncak di A. Persamaan kurva tersebut adalah :
Dengan b adalah alas dan h adalah tinggi semi segmen. Tentukan lokasi pusat berat C untuk semi segmen tersebut.
2
2
1b
xh)x(fy
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Jawab :
dA = ydx = dxb
xh
2
2
1
A = 3
21
0
2
2 bhdx
b
xhdA
b
15
41
22
2
0
2
2
22 bhdx
b
xhdA
yQ
b
x
41
2
0
2
2 hbdx
b
xhxxdAQ
b
y
8
3b
A
Qx
y
5
2h
A
Qy x
2
2
1b
xh)x(fy
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Penampang-penampang standar yang umum dijumpai dalam dunia teknik (persegi panjang, lingkaran, segitiga dsb.) pada umumnya sudah ditabelkan lokasi pusat beratnya
• Yang sering dijumpai pula adalah adanya penampang yang merupakan gabungan dari beberapa bentuk penampang standar
• Untuk menghitung lokasi pusat berat penampang gabungan tersebut, maka penampang tersebut dapat dibagi-bagi menjadi beberapa komponen
• Misal diasumsikan bahwa area gabungan dibagi menjadi n bagian, dan luas bagian ke-i diberi notasi Ai
Pusat Berat (Center of Gravity)
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Selanjutnya dapat diperoleh luas dan momen pertama dengan penjumlahan sebagai berikut :
• Koordinat pusat berat penampang gabungan adalah :
Pusat Berat (Center of Gravity)
n
i
iAA1
n
i
iix AyQ1
n
i
iiy AxQ1
n
i
i
n
i
iiy
A
Ax
A
Qx
1
1
n
i
i
n
i
ii
x
A
Ay
A
Qy
1
1
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)
Contoh 2
Sebuah penampang tersusun dari balok baja terbuat dari profil sayap lebar W 500.200 dengan pelat penutup 150 mm × 12 mm yang dilas di flens atas dan profil kanal C 250× 90. Tentukan lokasi pusat berat penampang diukur terhadap sumbu x dalam gambar.
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Jawab :
2
3
2
2
2
1
407.4
420.11
180012150
mm
mm
mm
A
A
A
mm
mm
mm
3,1493,242/500
0
2562/122/500
3
2
1
y
y
y
3
1
3
332211
2
321
3
1
1,165.197
627.17
i
iix
i
i
AyAyAyAyQ
AAAAA
mm
mm
mm185,11627.17
1,165.197
A
Qy x
Soal 2.1 – 2.10
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Momen Inersia (I) suatu bidang terhadap sumbu x dan y didefinisikan dalam bentuk integral sebagai berikut :
• Karena elemen dA dikalikan dengan kuadrat jarak dari sumbu referensi, maka momen inersia disebut juga momen kedua dari area
• Momen Inersia suatu area selalu bernilai positif dan memiliki satuan panjang pangkat empat (mm4, in4, m4 dst.)
Momen Inersia
dAyI x
2
dAxI y
2
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Tinjau sebuah persegi panjang dengan lebar b dan tinggi h
• Sumbu x, y melalui pusat berat C
• Elemen luas diferensial dA, diambil berupa strip horizontal tipis dengan lebar b dan tinggi dy (dA = b∙dy)
• Sehingga momen inersia terhadap sumbu x adalah :
Momen Inersia
12
32
2
22 bhdybydAyI
/h
/h
x
Iy = ??? IBB = ???
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Radius Girasi
• Radius Girasi suatu area bidang didefinisikan sebagai akar dari momen inersia untuk area tersebut dibagi dengan luasnya
• Radius Girasi (r) terhadap sumbu x dan y dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut :
Momen Inersia
A
Ir x
x A
Ir
y
y
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia
Contoh 3
Tentukan momen inersia Ix dan Iy dari sebuah semi segmen parabolik OAB dengan persamaan :
(area ini sama dengan yang dipakai dalam Contoh 4-1)
2
2
1b
xh)x(fy
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Jawab :
Elemen diferensial dA dipilih berupa strip vertikal yang lebarnya
dx dan tingginya y.
dxb
xhydxdA
2
2
1
15
21
3
2
2
0
22 hbdx
b
xhxdAxI
b
y
Karena dxy
ydxdI x3
)(3
1 33 , maka :
105
161
33
3
0
3
2
23
0
3 bhdx
b
xhdx
yI
bb
x
Soal 2.11 – 2.17
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Teorema sumbu sejajar memberikan hubungan antara momen inersia terhadap sumbu berat dan momen inersia terhadap sumbu lain yang sejajar dengannya.
• Tinjau suatu area sembarang dengan pusat berat C yang dilengkapi dengan dua sistem koordinat, yaitu sistem xcyc (yang berpusat di pusat berat C), serta sistem xy (yang sejajar xcyc, dan berpusat di O)
• Jarak antara kedua sistem koordinat adalah d1 dan d2.
Teorema Sumbu Sejajar
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Dengan menggunakan definisi momen inersia, maka dapt dituliskan persamaan untuk momen inersia Ix, terhadap sumbu x yaitu :
• Dengan cara sama dituliskan momen inersia terhadap y, Iy :
• Kedua persamaan tersebut menyatakan teorema sumbu sejajar untuk momen inersia
Teorema Sumbu Sejajar
dAdydAddAydAdyI x
2
11
22
1 2
2
1dAII xcx
2
2dAII ycy
Teorema Sumbu Sejajar : Momen Inersia suatu area terhadap sembarang sumbu di dalam bidangnya sama dengan momen inersia terhadap sumbu berat sejajar ditambah dengan hasil kali luas tersebut dan kuadrat jarak antara kedua sumbu
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Teorema Sumbu Sejajar
• Tentukan besarnya IBB dengan menggunakan teorema sumbu sejajar
• Samakah hasilnya dengan menggunakan teknik integral ?
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Teorema Sumbu Sejajar
Contoh 4
Tentukan momen inersia Ic terhadap sumbu horizontal C-C yang melalui pusat berat C untuk penampang dalam gambar berikut. Lokasi pusat berat sudah ditentukan dalam kuliah sebelumnya.
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Jawab :
Dari contoh sebelumnya diperoleh :
2
3
2
2
2
1
407.4
420.11
180012150
mm
mm
mm
A
A
A
mm
mm
mm
3,149
0
256
3
2
1
y
y
y
c = 11,185 mm
44
3
44
2
433
1
10342
10800.47
600.2112
12150
12
mmI
mmI
mmbh
I
Inersia masing-masing bagian terhadap sumbu C-C :
42
3333
42
222
42
1111
5,844.486.87
3,690.428.479
6,816.539.128
mmcyAII
mmcAII
mmcyAII
c
c
c
Sehingga Ic = Ic1 + Ic2 + Ic3 = 695.455.351,4 mm4
Soal 2.18 – 2.21
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia Polar
• Momen inersia yang dibahas sejauh ini didefinisikan terhadap sumbu yang terletak di dalam bidang area itu sendiri, seperti sumbu x dan y dalam gambar
• Kini akan ditinjau sumbu yang tegak lurus bidang area dan berpotongan dengan bidang tersebut di titik pusat O
• Momen inersia terhadap sumbu yang tegak lurus ini disebut momen inersia polar (Ip) yang dapat didefinisikan dalam bentuk :
dAI p
2
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia Polar
• Besaran adalah jarak dari titik O ke elemen luas diferensial dA
• Karena 2 = x2 + y2, maka :
• Dengan menggunakan teorema sumbu sejajar dapat dinyatakan pula bahwa :
dAydAxdAyxdAI p
22222
yxp III
2AdIICpOp
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia Polar
Contoh 5
Tentukan momen inersia polar (Ip) dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, terhadap pusat berat C, serta terhadap titik B di tepi luar lingkaran.
IPC = ??? IPB = ???
Jawab :
2
24
0
32 rddAI
r
cP
2
3
2
422
42 r
rrr
AdIIcPBP
Soal 2.22 – 2.25
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Produk Inersia
• Produk inersia suatu area terhadap sumbu x dan y, didefinisikan dalam bentuk integral sebagai berikut :
• Produk inersia dapat bertanda positif, negatif atau bernilai nol
• Produk inersia suatu area adalah nol terhadap sepasang sumbu yang salah satunya merupakan sumbu simetri dari area tersebut
xydAI xy
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Produk Inersia
• Dengan menggunaka teorema sumbu sejajar, maka produk inersia dapat dituliskan sebagai berikut :
• Produk Inersia untuk suatu area terhadap sepasang sumbu dalam bidang sama dengan produk inersia terhadap sumbu yang sejajar sumbu berat ditambah hasil kali luas dan koordinat pusat berat terhadap sepasang sumbu tersebut
21 ddAII yc.xcxy
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Produk Inersia
Contoh 6
Tentukanlah produk inersia Ixy dari penampang-penampang dalam gambar berikut.
Soal 2.26 – 2.31
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Tinjau suatu area bidang dalam sistem sumbu xy, maka besarnya momen inersia dan produk inersia terhadap sumbu-sumbu tersebut adalah :
• Selanjutnya terdapat sumbu x1y1 yang sepusat dengan sumbu xy namun diputar melalui sudut q berlawanan jarum jam terhadap xy
Rotasi Sumbu
dAyI x
2
dAxI y
2
xydAI xy
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
q
q
q
x
y
x
y
dA
qq sinycosxx 1
qq sinxcosyy 1
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Sehingga momen inersia terhadap sumbu x1 adalah
Rotasi Sumbu
dAsinxcosydAyI x
22
11 qq
xydAcossindAxsindAycos qqqq 22222
qqqq cossinIsinIcosI xyyx 222
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Dengan mengingat hubungan trigonometri :
• Maka momen inersia terhadap sumbu x1 adalah :
• Dengan cara sama dapat diperoleh momen inersia untuk sumbu y1
Rotasi Sumbu
qq 212
12 coscos
qq 2222
1 sinIcosIIII
I xy
yxyx
x
qq 212
12 cossin qqq 22 sincossin
qq 2222
1 sinIcosIIII
I xy
yxyx
y
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Produk inersia terhadap sumbu x1y1 dapat dituliskan sebagai berikut :
• Dengan menggunakan aturan trigonometri sekali lagi dapat dirumuskan produk inersia terhadap sumbu x1y1 dalam bentuk :
Rotasi Sumbu
qq 222
11 cosIsinII
I xy
yx
yx
dAsinxcosysinycosxdAyxI yx qqqq1111
qqqq 22 sincosIcossinII xyyx
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Dari rumusan untuk Ix1 dan Iy1, akhirnya dapat diperoleh suatu hubungan khusus sebagai berikut :
• Persamaan ini hendak menunjukkan bahwa jumlah momen inersia terhadap sepasang sumbu akan tetap konstan apabila sumbu-sumbunya diputar terhadap pusatnya
• Ingat pula hubungan Ix + Iy = Ip!!
Rotasi Sumbu
yxyx IIII 11
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
Contoh 7
Tentukan Ix1, Iy1 dan Ix1y1 dari suatu penampang Z pada gambar. Jika sumbu xy diputar 30o berlawanan jarum jam. Gunakan nilai h = 200 mm, b = 90 mm dan t = 15 mm
Dari perhitungan yang sudah dilakukan diperoleh :
Ix = 29,29∙106 mm4
Iy = 5,667∙106 mm4
Ix = -9,366∙106 mm4
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Soal 2.32 – 2.35
....
sin,cos,,,,
sinIcosIIII
I
oo
xy
yxyx
x
60103669602
1066752929
2
1066752929
2222
666
1 qqIx = 29,29∙106 mm4
Iy = 5,667∙106 mm4
Ix = -9,366∙106 mm4
q 30o
....
sin,cos,,,,
sinIcosIIII
I
oo
xy
yxyx
y
60103669602
1066752929
2
1066752929
2222
666
1 qq
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Persamaan – persamaan untuk momen inersia dengan sumbu yang dirotasi sering disebut juga sebagai persamaan transformasi
• Pada persamaan tersebut terdapat variabel sudut rotasi q, yang besarnya dapat berubahan- ubah
• Pada suatu nilai q tertentu, maka akan menghasilkan nilai fungsi yang maksimum atau minimum.
• Nilai maksimum dan minimum dari momen inersia tersebut dinamakan sebagai momen inersia utama (principal moments of inertia)
• Sedangkan sumbu yang berkaitan dinamakan sumbu utama (principal axes)
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Untuk mencari nilai q yang menghasilkan momen inersia Ix1 yang maksimum atau minimum, maka dapat diambil turunan Ix1 terhadap q dan menyamakannya dengan nol
• Dari persamaan tersebut dapat dituliskan hubungan :
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
02221 qqq
cosIsinIId
dIxyyx
x
yx
xy
pII
Itan
22q
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Sudut qp menunjukkan sudut yang memberikan sumbu utama
• Persamaan tersebut akan menghasilkan dua nilai sudut 2qp dalam selang 0o – 360o, yang keduanya berbeda 180o
• Hal ini berarti kedua harga qp berselisih 90o, atau dengan kata lain keduanya saling tegak lurus
• Salah satu sumbu berkaitan dengan momen inersia maksimum dan satu lagi dengan momen inersia minimum
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Sekarang tinjau variasi produk inersia Ix1y1 apabila sudut q bervariasi
• Jika q = 0, diperoleh Ix1y1 = Ixy
• Jika q = 90o, diperoleh Ix1y1 = − Ixy
• Artinya selama berputar 90o, produk inersia akan berubah tanda, dan berarti pula pada salah satu sumbu ada nilai produk inersia yang sama dengan nol
• Samakan persamaan Ix1y1 dengan nol
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
0222
11
qq cosIsinII
I xy
yx
yx
0222 qq cosIsin)II( xyyxMerupakan persamaan untuk sumbu utama
Produk Inersia bernilai nol pada sumbu utama
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
• Sumbu utama yang melalui pusat O adalah sepasang sumbu orthogonal dengan momen inersia maksimum dan minimum
•Orientasi sumbu utama dinyatakan dengan sudut qp
•Produk inersia adalah nol pada sumbu utama • Sumbu simetri selalu merupakan sumbu utama • Titik yang dilewati oleh semua sumbu utama
disebut titik utama (principal point)
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Dari rumusan untuk tan 2qp, dapat dituliskan pula
• R selalu diambil bernilai positif, dan merupakan sisi miring segitiga dalam gambar
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
R
IIcos
yx
p2
2
qR
Isin
xy
p
q2
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Substitusikan nilai cos 2qp dan sin 2qp ke dalam rumusan untuk Ix1, guna mendapatkan momen inersia utama yang lebih besar
• Momen inersia utama yang lebih kecil diperoleh dari I1 + I2 = Ix + Iy, atau
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
2
2
122
xy
yxyxI
IIIII
2
2
222
xy
yxyxI
IIIII
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
Contoh 8
Tentukan orientasi sumbu utama serta besarnya momen inersia utama dari suatu penampang Z pada gambar. Gunakan nilai h = 200 mm, b = 90 mm dan t = 15 mm
Dari perhitungan yang sudah dilakukan diperoleh :
Ix = 29,29∙106 mm4
Iy = 5,667∙106 mm4
Ix = -9,366∙106 mm4
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Jawab :
Hasil perhitungan momen inersia memberikan :
Ix = 29,29∙106 mm4 Iy = 5,667∙106 mm4 Ixy = − 9,366∙106 mm4
Dari persamaan 2.26 :
7930,02
2tan
yx
xy
pII
Iq 2qp = 38,4o atau 218,4o
Sehingga qp = 19,2o dan 109,2o
Dengan menggunakan kedua harga qp ini dalam persaman
transformasi untuk Ix1 , diperoleh I1 = 32,6∙106 mm4 dan I2 = 2,4∙106
mm4.
qq 2222
1 sinIcosIIII
I xy
yxyx
x
qq 2222
1 sinIcosIIII
I xy
yxyx
y
Soal 2.36 – 2.38
top related